ম্যাট্রিক্স
Matrix
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
আর্থার ক্যালি (১৮২১ খ্রিষ্টাব্দ-১৮৯৫ খ্রিষ্টাব্দ)
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের সূচনা হয় খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকের পূর্বে। প্রাচীন ব্যাবিলন ও চীন থেকেই ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত ধারনা পাওয়া যায়। ইংরেজ গণিতবিদ জেমস জোসেফ সিলভেস্টার straight3 সিলভেস্টার (১৮১৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৮৯৭ খ্রিষ্টাব্দ)
ইংরেজ গণিতবিদ জেমস জোসেফ সিলভেস্টার (১৮১৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৮৯৭ খ্রিষ্টাব্দ) ১৮৫০ খ্রিস্টাব্দে সর্বপ্রথম ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে ধারনা ব্যাক্ত করেন।
১৮৫০ খ্রিস্টাব্দে সর্বপ্রথম ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে ধারনা ব্যাক্ত করেন। তারই সহকারী আর্থার ক্যালি (Arthur Cayley) বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ধারনাসহ ম্যাট্রিক্সের তাৎপর্য তুলে ধরেন। এটি তিনি ১৮৫৩ খ্রিস্টাব্দে প্রকাশ করেন। পরবর্তিতে তিনি ১৮৫৮ খ্রিস্টাব্দে তাঁর পত্রিকা 'A memoir on the theory of matrices' এ প্রথমে বিশ্লেষণমূলকভাবে ম্যাট্রিক্সকে প্রকাশ করেন। এ কারনে আর্থার ক্যালিকে 'ম্যাট্রিক্স' এর জনক বলা হয়। বিখ্যাত পদার্থবিজ্ঞানী হেইজেনবার্গ straight3 হেইজেনবার্গ (১৯০১ খ্রিষ্টাব্দ-১৯৭৬ খ্রিষ্টাব্দ)
ভার্নার কার্ল হেইজেনবার্গ ছিলেন জার্মান গবেষণা কাউন্সিলের সভাপতি, পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞান কমিশনের চেয়ারম্যান, পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞান ওয়ার্কিং গ্রুপের চেয়ারম্যান এবং আলেকজান্ডার ভন হাম্বোল্ট ফাউন্ডেশনের সভাপতি।
১৯২৫ খ্রিস্টাব্দে কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় প্রথম ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার শুরু করেন। গণিতে সমীকরণ জোটের সমাধান, পরিসংখ্যানের সম্ভাবনা তত্ত্বে, উচ্চতর অর্থনীতিতে, ব্যবসায় গণিতে আয়-ব্যয় হিসাব ইত্যাদিতে ম্যাট্রিক্স বহুলভাবে ব্যবহৃত হয়। শেয়ারের ক্রয়-বিক্রয় হিসাব, কোন প্রকার ট্রেজারি বন্ডে কী পরিমান অর্থ বিনিয়োগ করতে হবে তা বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।
১৬৮৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম জাপানি গনিতবিদ সেকি তাকাকাজু (Seki Takakazu)straight3সেকি (১৬৪২ খ্রিষ্টাব্দ-১৭০৮ খ্রিষ্টাব্দ)
সেকি তাকাকাজু একটি নতুন বীজগণিত স্বরলিপি ব্যবস্থা তৈরি করেছিলেন এবং জ্যোতির্বিদ্যার গণনা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে ইনফিনাইটিমাল ক্যালকুলাস এবং ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ নিয়ে কাজ করেছিলেন। তিনি জার্মান পলিম্যাথ গণিতবিদ এবং দার্শনিক গটফ্রিড লাইবনিজ এবং ব্রিটিশ গণিতবিদ আইজাক নিউটনের সমসাময়িক হলেও সেকির কাজটি স্বাধীন ছিল। তার উত্তরসূরীরা পরবর্তীতে এডো পিরিয়ডের শেষ অবধি জাপানি গণিতে বিদ্যালয়ের প্রভাবশালী হয়ে ওঠে।
নির্ণায়ক বিষয়ক প্রাথমিক ধারনা প্রকাশ করেন। তিনি \(2\times2, \ 3\times3, \ 4\times4\) এবং \(5\times5\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নিরূপন করেন এবং সমীকরণের সমাধান নির্ণয়ে নির্ণায়কের ব্যবহার প্রসঙ্গে ধারনা দেন। একই বছরে জার্মান গণিতবিদ লিবনিজ অনুরূপ ধারনা ও প্রয়োজনিয়তা উল্লেখ করেন।
১৯৫০ সালে সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার (Gabriel Cramer) straight3 ক্রেমার (১৭০৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৭৫২ খ্রিষ্টাব্দ)
গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার ছিলেন জেনেভান গণিতবিদ। তিনি চিকিত্সক জিন ক্র্যামার এবং অ্যান মাললেট ক্র্যামারের পুত্র ছিলেন।
নির্ণায়কের সাহায্যে একঘাতিক সমীকরণ জোটের সমাধান করেন। স্থানাংক জ্যামিতিতে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়, একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান ও ভেক্টর জ্যামিতিতে নির্ণায়ক ব্যবহৃত হয়।
বিভিন্ন ধরনের তথ্য সংগ্রহ ও সংরক্ষণের জন্য আমরা সর্বদা বিভিন্ন উপায় অবলম্বন করে থাকি। আর এই সংগৃহীত তথ্য ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে এমনভাবে সাজানো হয় যেন পরবর্তিতে ঐ তথ্য বোঝা ও বিশ্লেষণ করা সহজতর হয়।
সার সংক্ষেপ
ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম ম্যাট্রিক্সের ক্রম ম্যাটিক্সের সাধারণ আকার ম্যাটিক্সের প্রকারভেদ সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix) কলাম ম্যাট্রিক্স (Column Matrix) বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix) ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ (Principal or main diagonal) উর্ধ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Upper Triangular Matrix) নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Lower Triangular Matrix) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix) স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix) একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স (Unit or Identity Matrix)শুন্য ম্যাট্রিক্স (Zero or Null Matrix) সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix)শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স (Nilpotent Matrix)অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স (Involutory Matrix)বিম্ব ম্যাট্রিক্স (Transpose of a Matrix)প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ( Skew Symmetric Matrix) উপ-ম্যাট্রিক্স ( Sub Matrix)উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স ( Orthogonal Matrix) ম্যাট্রিক্সের ট্রেস ( Trace of Matrix) পর্যায়বৃত্ত ম্যাট্রিক্স ( Periodic Matrix) অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স ( Conjugate Matrix)হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স ( Hermitian Matrix) বিহারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স (Skew Hermitian Matrix) ম্যাটিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্সের সমতা (Equality of Matrices) ম্যাট্রিক্সের যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction of Matrices) ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন (Scalar Multiplication of a Matrix) ম্যাট্রিক্সের গুণন (Multiplication of Matrices) গুণন যোগ্যতা
ম্যাট্রিক্স ও ম্যাটিক্সের প্রকারভেদ
Matrix and Types of Matrices
ম্যাট্রিক্স
Matrix
বিজ্ঞান ও গণিতের বিভিন্ন তথ্য আয়তাকারে সারি (আনুভূমিক রেখা) ও কলাম (উল্লম্ব রেখা) বরাবর সাজালে যে আয়তাকার বিন্যাস পাওয়া যায় একে ম্যাট্রিক্স বলে। এই বিন্যাস শুধুমাত্র তথ্য সংরক্ষণেই সীমাবদ্ধ নয়। গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানেও ম্যাট্রিক্সের ভূমিকা অপরিসীম।
যেমনঃ একজন ছাত্র একটি নির্দিষ্ট সপ্তাহে, কোন দিনে কত সময় গণিত, পদার্থ ও রসায়ন অধ্যয়ন করেছে তা আয়তাকারে সাজালে তিনটি সারি ও সাতটি কলামবিশিষ্ট একটি বিন্যাস পাওয়া যায়। যা নিম্নে দেখানো হলো।
Sub\Day Sat Sun Mon Tues Wed Thus Fri
Math.

Physics

Chemistry
5 3 2 4 1 6 0
1 0 2 4 6 2 3
4 6 5 3 1 2 0
উপরের সাজানো ব্যবস্থাটির ম্যাট্রিক্স আকার নিম্নরূপঃ
\(\begin{bmatrix}5 & 3 & 2 & 4 & 1 & 6 & 0 \\1 & 0 & 2 & 4 & 6 & 2 & 3 \\4 & 6 & 5 & 3 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\) অথবা, \(\left(\begin{array}{c}5 & 3 & 2 & 4 & 1 & 6 & 0 \\1 & 0 & 2 & 4 & 6 & 2 & 3 \\4 & 6 & 5 & 3 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)\) অথবা, \(\left|\left|\begin{array}{c}5 & 3 & 2 & 4 & 1 & 6 & 0 \\1 & 0 & 2 & 4 & 6 & 2 & 3 \\4 & 6 & 5 & 3 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right|\right|\)
\(\left\{\begin{array}{c}2x+5y=-2\\ 3x-2y=7\end{array}\right\}\) সমীকরণ জোটের সমাধান করার জন্য যে সকল তথ্য প্রয়োজন এর সবকিছুই \(\begin{bmatrix}2 & \ \ 5 & -2 \\3 & -2 & \ \ 7 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্স হতে পাওয়া যায়।
ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমেই উপরোক্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। বর্তমানে গাণিতিক সমস্যা কম্পিউটারের মাধ্যমে অল্প সময়ে সমাধান করা হয়ে থাকে। কম্পিউটারের মাধ্যমে সমাধানের ক্ষেত্রে, সংখ্যার এই আয়তাকার বিন্যাসের ভূমিকা তথা ম্যাট্রিক্সের ভূমিকা অপরিসীম।
ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামঃ ম্যাট্রিক্সে সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাসকে দুই প্রকারে বিশ্লেষণ করা হয়।
যথাঃ আনুভূমিক রেখা বরাবর এবং উল্লম্ব রেখা বরাবর। সংখাগুলির আনুভূমিক রেখাগুলিকে সারি (row) এবং উল্লম্ব রেখাগুলিকে কলাম (column) বলা হয়।
straight3
ম্যাট্রিক্সের ক্রমঃ \(m\) সংখ্যক সারি ও \(n\) সংখ্যক কলামবিশিষ্ট কোনো ম্যাট্রিক্সকে \(m\times{n}\) (পড়তে হবে \(m\) বাই \(n\)) ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(\begin{bmatrix}1 & \ \ 4 & -3 \\2 & -6 & \ \ 7 \end{bmatrix}\) কে \(2\times3\) ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
কোনো ম্যাট্রিক্সের মোট ভুক্তি সংখ্যা, এর সারি ও কলাম সংখ্যার গুনফলের সমান হয়। উপরের ম্যাট্রিক্সটিতে মোট ছয়টি ভুক্তি আছে এবং ম্যাট্রিক্সটির সারি ও কলাম সংখ্যার গুণফলও (\(2\times3=6\)) ছয়।
ম্যাটিক্সের সাধারণ আকার
General form of Matrix
\(2\times2\) ক্রমের যে কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A=\left[a_{ij}\right]_{2\times2}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)
\(3\times3\) ক্রমের যে কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A=\left[a_{ij}\right]_{3\times3}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)
\(m\times{n}\) ক্রমের যে কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A=\left[a_{ij}\right]_{m\times{n}}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}\)
ম্যাটিক্সের প্রকারভেদ
Classification of Matrices
সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix): যে ম্যাটিরক্সের কেবল একটি সারি বিদ্যমান তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\) একটি সারি ম্যাট্রিক্স এবং এর ক্রম \(1\times3\)
কলাম ম্যাট্রিক্স (Column Matrix): যে ম্যাটিরক্সের কেবল একটি কলাম বিদ্যমান তাকে কলাম ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(B=\begin{bmatrix}-4 \\ \ \ 5 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\) একটি কলাম ম্যাট্রিক্স এবং এর ক্রম \(3\times1\)
বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix): যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি \(3\times3\) ক্রমের বা সংক্ষেপে \(3\) ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।
ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ (Principal or main diagonal): মনে করি \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) একটি \(n\) ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।

এখানে, \(a_{11}, \ a_{22}, \ ..., \ a_{nn}\) ভুক্তিগুলি নিয়ে যে কর্ণ গঠিত তাকে মূখ্য বা প্রধান কর্ণ বলা হয়।
যেমনঃ
straight3
একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার ছায়াঘেরা কর্ণটি মূখ্য বা প্রধান কর্ণ ।
উর্ধ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Upper Triangular Matrix): কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের নিম্নস্থ সবগুলি ভুক্তি শুন্য \((0)\) হলে ( অর্থাৎ \(a_{ij}=0\) যখন \(i\gt{j}\)) তাকে উর্ধ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ
straight3
একটি \(3\) ক্রমের উর্ধ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স।
নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Lower Triangular Matrix): কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের উপরোস্থ সবগুলি ভুক্তি শুন্য \((0)\) হলে ( অর্থাৎ \(a_{ij}=0\) যখন \(i\lt{j}\)) তাকে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ
straight3
একটি \(3\) ক্রমের নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স।
কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix): কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) কে \(n\) ক্রমের কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(a_{ij}=0\) হয়, যখন \(i\ne{j};\) অর্থাৎ মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি শুন্য \((0)\) হবে।
যেমনঃ
straight3
একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।
স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix): কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্স কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) কে \(n\) ক্রমের কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(a_{ij}=0\) হয়, যখন \(i\ne{j};\)
অর্থাৎ কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি শুন্য \((0)\) হলে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলা হবে।
এর অশুন্য ভুক্তিগুলি সমান হলে, ঐ কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ
straight3
একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স।
একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স (Unit or Identity Matrix): কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left[a_{ij}\right]_{n\times{n}}\) কে \(n\) ক্রমের একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স যদি \(a_{ij}=0\) হয়, যখন \(i\ne{j};\) এবং \(a_{ij}=1\) যখন \(i=j\) হয়।
অর্থাৎ কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি শুন্য \((0)\) এবং প্রধান কর্ণের প্রত্যেক ভুক্তি এক \((1)\) হলে তাকে একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অভেদক ম্যাট্রিক্সকে \(I_{n}\) দ্বারা সূচিত করা হয়।
যেমনঃ \(I_{n}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & ... & 0 \\0 & 1 & 0 &... & 0 \\0 & 0 & 1 &... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... \\0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}_{n\times{n}}\) একটি \(n\) ক্রমের একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স।
যেমনঃ \(I_{3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{3\times{3}}\) একটি \(3\) ক্রমের একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স।
যেমনঃ \(I_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}_{2\times{2}}\) একটি \(2\) ক্রমের একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স।
শুন্য ম্যাট্রিক্স (Zero or Null Matrix): কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল ভুক্তি শুন্য \((0)\) হলে তাকে শুন্য ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) একটি \(4\times3\) ক্রমের শুন্য ম্যাট্রিক্স।
সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Idempotent Matrix): বর্গাকার কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^2=A\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & -1 \\12 & -3 \end{bmatrix}\) এখানে \(A^2=A\) সুতরাং \(A\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।
শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স (Nilpotent Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) কে শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^n=0\) হয়, যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\) যদি সর্বনিম্ন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা \(n\) এর জন্য \(A^n=0\) হয়, তবে ম্যাট্রিক্স \(A\) কে সূচক (index) \(n\) এর শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ 4 & \ \ 4 \\-4 & -4 \end{bmatrix},\) এখানে \(A^2=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=0\) সুতরাং \(A\) একটি শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স।
একইভাবে \(A^3=0, \ A^4=0\)ইত্যাদি। সুতরাং \(A\) হলো সূচক \(2\) এর শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স।
অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স (Involutory Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) কে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^2=I\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}2 & -3 \\1 & -2 \end{bmatrix},\) এখানে \(A^2=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=I\) সুতরাং \(A\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
বিম্ব ম্যাট্রিক্স (Transpose of a Matrix): কোনো ম্যাট্রিক্স \(A\) এর যথাযথ সারি এবং কলাম বিনিময় করলে যে নতুন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে \(A\) ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স অথবা বিম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হয়। \(A\) ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সকে \(A^{t}\) বা \(A^{\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 3 \\1 & 2 \\5 & 9 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{t}=\begin{bmatrix}4 & 1 & 5 \\3 & 2 & 9 \end{bmatrix}\) হলো \(A\) এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স।
প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) কে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^{t}=A\) হয়, অর্থাৎ \(a_{ij}=a_{ji}\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}-2 & 3 & -1 \\ \ \ 3 & 4 & \ \ 6 \\-1 & 6 & -5 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{t}=\begin{bmatrix}-2 & 3 & -1 \\ \ \ 3 & 4 & \ \ 6 \\-1 & 6 & -5 \end{bmatrix}\)
অর্থাৎ \(A=A^{t}\) সুতরাং \(A\) হলো একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স ( Skew Symmetric Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) কে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^{t}=-A\) হয়, অর্থাৎ \(a_{ij}=-a_{ji}\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ 0 & \ \ 3 & 4 \\-3 & \ \ 0 & 7 \\-4 & -7 & 0 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{t}=\begin{bmatrix}0 & -3 & -4 \\3 & \ \ 0 & -7 \\4 & \ \ 7 & \ \ 0 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} \ \ 0 & \ \ 3 & 4 \\-3 & \ \ 0 & 7 \\-4 & -7 & 0 \end{bmatrix}=-A\)
অর্থাৎ \(A^{t}=-A\) সুতরাং \(A\) হলো একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
উল্লেখ্য যে, প্রত্যেক বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিসমূহ শুন্য, অর্থাৎ \(a_{ij}=0\) যখন \(i=j\)
উপ-ম্যাট্রিক্স ( Sub Matrix): কোনো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর যেকোনো সংখ্যক কলাম ও যেকোনো সংখ্যক সারির ভুক্তি বাদ দিয়ে গঠিত অপর একটি ম্যাট্রিক্সকে মূল ম্যাট্রিক্সের উপ-ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 & 3 \\4 & \ \ 5 & 6 \\7 & \ \ 8 & 9 \\3 & -1 & 4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সের উপ-ম্যাট্রিক্সগুলি \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\4 & 5 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}2 & 3 \\5 & 6 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}4 & 5 \\7 & 8 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}4 & \ \ 5 \\7 & \ \ 8 \\3 & -1 \end{bmatrix}\) ইত্যাদি।
উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স ( Orthogonal Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) কে উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(AA^{t}=A^{t}A=I\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}\cos{x} & \sin{x} \\-\sin{x} & \cos{x} \end{bmatrix}\) একটি উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স।
ম্যাট্রিক্সের ট্রেস ( Trace of Matrix): কোনো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তি সমূহের যোগফলকে ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Trace) বলা হয়।
যেমনঃ
  \(-4\) \(6\) \(3\)  
\( \ \ \ 5\) \(9\) \(7\)
\(-3\) \(7\) \(1\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।

যার ট্রেস \(=-4+9+1\)
\(=-4+10\)
\(=6\)
পর্যায়বৃত্ত ম্যাট্রিক্স ( Periodic Matrix): যদি \(A\) যেকোনো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
ও \(A^{k+1}=A, \ k\in{\mathbb{N}}\) হয়, তবে \(A\) কে পর্যায়বৃত্ত ম্যাট্রিক্স ও \(k\) কে পর্যায়কাল বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -3 & -5 \\-1 & \ \ 4 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}\) একটি পর্যায়বৃত্ত ম্যাট্রিক্স যার পর্যায়কাল \(2\) । কারণ এখানে, \(A^{3}=A^{2+1}=A\)
অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স ( Conjugate Matrix): কোনো \(A\) ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি জটিল সংখ্যা হলে, প্রত্যেক জটিল সংখ্যার স্থলে তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বসিয়ে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে \(A\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং এটিকে \(\overline{A}\) প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3-2i \\1+2i & i-2 \end{bmatrix}\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স, \(\overline{A}=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3+2i \\1+2i & -i-2 \end{bmatrix}\)
হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স ( Hermitian Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) কে হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(\left(\overline{A}\right)^{t}=A\) হয় অর্থাৎ \(i, \ j\) এর সকল মানের জন্য \(\overline{a_{ij}}=a_{ji}\) হয়। এরূপ ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সের কর্ণের ভুক্তিসমূহ বাস্তব সংখ্যা এবং কর্ণ ব্যতীত অন্য সকল ভুক্তি বাস্তব সংখ্যা ও জটিল সংখ্যা উভয়ই হতে পারে।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3-i \\3+i & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \overline{A}=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3+i \\3-i & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \left(\overline{A}\right)^{t}=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3-i \\3+i & 3 \end{bmatrix}\)
\(\therefore \left(\overline{A}\right)^{t}=A\)
\(\therefore A\) একটি হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স।
আবার,
\(B=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 3-i & 4 \\3+i & \ \ 5 & i \\ \ \ 4 & -i & 0 \end{bmatrix}\) ও একটি হারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স।
বিহারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স (Skew Hermitian Matrix): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) কে বিহারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(\left(\overline{A}\right)^{t}=-A\) হয় অর্থাৎ \(i, \ j\) এর সকল মানের জন্য \(\overline{a_{ij}}=-a_{ji}\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}0 & i \\i & 0 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \overline{A}=\begin{bmatrix} \ \ 0 & -i \\-i & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \left(\overline{A}\right)^{t}=\begin{bmatrix} \ \ 0 & -i \\-i & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \left(\overline{A}\right)^{t}=-\begin{bmatrix}0 & i \\i & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore \left(\overline{A}\right)^{t}=-A\)
\(\therefore A\) একটি বিহারমিসিয়ান ম্যাট্রিক্স।
ম্যাটিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ
Equality, Addition, Subtraction and Multiplication of Matrices
ম্যাট্রিক্সের সমতা (Equality of Matrices): দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A=\left[a_{ij}\right]\) এবং \(B=\left[b_{ij}\right]\) কে সমান ম্যাট্রিক্স (Equal Matrix) বলা হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের মাত্রা একই হয় এবং প্রথমটির প্রতিটি ভুক্তি অপরটির অনুরূপ ভুক্তির সমান হয়।
দুইটি সমান ম্যাট্রিক্সের জন্য -
প্রতীকে \(\left[a_{ij}\right]=\left[b_{ij}\right]\) হবে যদি \(a_{ij}=b_{ij} \ (i=1, \ 2, \ 3, \ ... \ ... m, \ j=1, \ 2, \ 3, \ ... \ ... n)\) হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 & \ \ 5 \\1 & 0 & -9 \\9 & 2 & \ \ 7 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & 3 & \ \ 5 \\1 & 0 & -9 \\9 & 2 & \ \ 7 \end{bmatrix}\) দুইটি সমান ম্যাট্রিক্স
অর্থাৎ \(A=B\)
ম্যাট্রিক্সের যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction of Matrices): দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করা যাবে যদি ম্যাট্রিক্স দুইটির ক্রম (Order) একই হয়। দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল বা বিয়োগফল একটি ম্যাট্রিক্স হবে যার প্রতিটি ভুক্তি ম্যাট্রিক্স দুইটির অনুরূপ ভুক্তির যোগফল বা বিয়োগফল হবে।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 6 \\9 & 2 \end{bmatrix}\) দুইটি ম্যাট্রিক্স
এখন,
\(A+B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 6 \\9 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2+1 & 3+6 \\1+9 & 0+2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A+B=\begin{bmatrix}3 & 9 \\10 & 2 \end{bmatrix}\)
এবং
\(A-B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 6 \\9 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2-1 & 3-6 \\1-9 & 0-2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A-B=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -3 \\-8 & -2 \end{bmatrix}\)
\(A+B\) নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
A+B=   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(+\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\) \(1\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\) \(10\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\) \(2\)
\(9\) \(10\) \(-3\) \(3\)
=   \(-1+13\) \( \ \ \ 3+14\) \(1+3\) \(6+1\)  
\(-4+15\) \(-3+1\) \(4+16\) \(0+10\)
\( \ \ \ 7+4\) \( \ \ \ 2+7\) \(8+8\) \(5+2\)
\( \ \ \ 9+9\) \( \ \ \ 10+10\) \(11+(-3)\) \(12+3\)
=   \(12\) \( \ \ \ 17\) \(4\) \(7\)  
\(11\) \(-2\) \(20\) \(10\)
\( \ \ \ 11\) \(9\) \(16\) \(7\)
\(18\) \( \ \ \ 20\) \(8\) \(15\)
\(A-B\) নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
A-B=   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(-\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\) \(1\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\) \(10\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\) \(2\)
\(9\) \(10\) \(-3\) \(3\)
=   \(-1-13\) \( \ \ \ 3-14\) \(1-3\) \(6-1\)  
\(-4-15\) \(-3-1\) \(4-16\) \(0-10\)
\( \ \ \ 7-4\) \( \ \ \ 2-7\) \(8-8\) \(5-2\)
\( \ \ \ 9-9\) \( \ \ \ 10-10\) \(11-(-3)\) \(12-3\)
=   \(-14\) \( -11\) \(-2\) \( \ \ \ 5\)  
\(-19\) \(-4\) \(-12\) \(-10\)
\( \ \ \ 3\) \(-5\) \( \ \ \ 0\) \( \ \ \ 3\)
\( \ \ \ 0\) \( \ \ \ 0\) \( \ \ \ 14\) \( \ \ \ 9\)
ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন (Scalar Multiplication of a Matrix): \(k\) একটি ধ্রুবসংখ্যা হলে \(kA\) এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রতিটি ভুক্তি \(A\) ম্যাট্রিক্সের প্রতিসঙ্গী ভুক্তির \(k\) গুণ।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\5 & 6 \end{bmatrix}\) হলে,
\(kA=\begin{bmatrix}4k & 4k \\5k & 6k \end{bmatrix}\)
এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & 5 & 1 \\3 & 4 & 2 \\4 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) হলে,
\(4B=\begin{bmatrix}2\times4 & 5\times4 & 1\times4 \\3\times4 & 4\times4 & 2\times4 \\4\times4 & 1\times4 & 3\times4 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}8 & 20 & 4 \\12 & 16 & 8 \\16 & 4 & 12 \end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের গুণন (Multiplication of Matrices)
গুণন যোগ্যতাঃ \(A\) ও \(B\) ম্যাট্রিক্সের গুণফল \(AB\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(A\) এর কলামের সংখ্যা \(B\) এর সারি সংখ্যার সমান হয় এবং \(AB\) অসংজ্ঞায়িত হবে যদি \(A\) এর কলামের সংখ্যা \(B\) এর সারি সংখ্যার সমান না হয়।
গুণন প্রক্রিয়াঃ প্রথম ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি দ্বারা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি কলামকে গুণ করতে হবে। প্রথম ম্যাট্রিক্সের \(i-\)তম সারির প্রতিটি ভুক্তির সহিত দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের \(j-\)তম কলামের অনুরূপ ভুক্তিগুলি গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলির যোগফলই হবে গুণফল ম্যাট্রিক্সের \((i, \ j)\) তম ভুক্তি।
একটি \(3\times2\) ও একটি \(2\times2\) ক্রমের ম্যাট্রিক্সের গুণ প্রক্রিয়া নিম্নরূপঃ
\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22} \end{bmatrix}\)
দুইটি ম্যাট্রিক্স \(A\) ও \(B\) এর গুণফল \(AB\) সংজ্ঞায়িত হলে, \(AB\) নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ \(A\) এর প্রথম সারির ভুক্তিগুলি দ্বারা \(B\) এর প্রথম কলামের সকল অনুরূপ ভুক্তি গুণ করে গুণফলগুলি পর্যায়ক্রমে পাশাপাশি যোগ করতে হবে এবং এই যোগফল \(AB\) ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি হবে, যাকে \(AB\) এর \((1, \ 1)\)-তম ভুক্তি বলা হয়।
আবার, \(A\) এর প্রথম সারির ভুক্তিগুলি দ্বারা \(B\) এর দ্বিতীয় কলামের সকল অনুরূপ ভুক্তি গুণ করে গুণফলগুলি পর্যায়ক্রমে পাশাপাশি যোগ করতে হবে এবং এই যোগফল \(AB\) ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির দ্বিতীয় ভুক্তি হবে, যাকে \(AB\) এর \((1, \ 2)\)-তম ভুক্তি বলা হয়।
অনুরূপভাবে, \(A\) এর প্রথম সারির সাথে \(B\) এর অবশিষ্ট কলামগুলির প্রয়োগে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি পর্যায়ক্রমে \(AB\) ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির ভুক্তি হবে।
পুনরায়, \(A\) এর দ্বিতীয় সারি দিয়ে \(B\) এর প্রত্যেক কলামকে একইভাবে গুণ করলে প্রাপ্ত ফলকে \(AB\) ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারি বরাবর বসাতে হবে। এভাবে অগ্রসর হয়ে \(A\) এর সকল সারি প্রয়োগ সমাপ্ত হলে, \(AB\) ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
যেমনঃ ধরি,
\(A\) =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)  
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
, \(B\) =   \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
দুইটি ম্যাট্রিক্স, যেহেতু \(A\) এর ক্রম \(4\times4\) এবং \(B\) এর ক্রম \(3\times4,\) সুতরাং \(AB\) নির্ণয় সম্ভব এবং \(AB\) এর ক্রম হবে \(3\times4\)
\(AB\) এর \((1, \ 1)\)-তম ভুক্তি নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
AB =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(-1×13 + 3×15 + 1×4 + 6×9\) \(\Box\) \(\Box\)  
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(AB\) এর \((1, \ 2)\)-তম ভুক্তি নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
AB =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(\Box\) \(-1×14 + 3×1 + 1×7 + 6×10\) \(\Box\)  
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(AB\) এর \((1, \ 3)\)-তম ভুক্তি নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
AB =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(\Box\) \(\Box\) \(-1×3 + 3×16 + 1×8 + 6×-3\)  
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(AB\) এর \((2, \ 1)\)-তম ভুক্তি নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
AB =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)  
\(-4×13 + -3×15 + 4×4 + 0×9\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(AB\) এর \((2, \ 2)\)-তম ভুক্তি নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
AB =   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)  
\(\Box\) \(-4×14 + -3×1 + 4×7 + 0×10\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
\(\Box\) \(\Box\) \(\Box\)
অনুরূপভাবে, \(AB\) এর সকল ভুক্তি নির্ণয় করা যায়ঃ
AB=   \(-1\) \( \ \ \ 3\) \(1\) \(6\)   \(\times\)
\(-4\) \(-3\) \(4\) \(0\)
\( \ \ \ 7\) \( \ \ \ 2\) \(8\) \(5\)
\( \ \ \ 9\) \( \ \ \ 10\) \(11\) \(12\)
  \(13\) \(14\) \( \ \ \ 3\)  
\(15\) \(1\) \( \ \ \ 16\)
\(4\) \(7\) \( \ \ \ 8\)
\(9\) \(10\) \(-3\)
=   \(-1\times13+3\times15+1\times4+6\times9\) \(-1\times14+3\times1+1\times7+6\times10\) \(-1\times3+3\times16+1\times8+6\times-3\)  
\(-4\times13+(-3)\times15+4\times4+0\times9\) \(-4\times14+(-3)\times1+4\times7+0\times10\) \(-4\times3+(-3)\times16+4\times8+0\times-3\)
\( \ \ \ 7\times13+2\times15+8\times4+5\times9\) \( \ \ \ 7\times14+2\times1+8\times7+5\times10\) \( \ \ \ 7\times3+2\times16+8\times8+5\times(-3)\)
\( \ \ \ 9\times13+10\times15+11\times4+12\times9\) \( \ \ \ 9\times14+10\times1+11\times7+12\times10\) \( \ \ \ 9\times3+10\times16+11\times8+12\times-3\)
=   \(-13+45+4+54\) \(-14+3+7+60\) \(-3+48+8-18\)  
\(-52-45+16+0\) \(-56-3+28+0\) \(-12-48+32-0\)
\( \ \ \ 91+150+44+108\) \( \ \ \ 98+2+56+50\) \( \ \ \ 21+32+64-15\)
\( \ \ \ 117+150+44+108\) \( \ \ \ 126+10+77+120\) \( \ \ \ 27+160+88-36\)
=   \( \ \ \ 90\) \( \ \ \ 56 \) \( \ \ \ 35\)  
\(-81\) \(-31\) \(-28\)
\( \ \ \ 198\) \( \ \ \ 206\) \( \ \ \ 102\)
\( \ \ \ 419\) \( \ \ \ 333\) \( \ \ \ 239\)
অধ্যায় \(1A\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \((a)\) \(\begin{bmatrix}1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & 5 \\4 & 6 \end{bmatrix}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A=\begin{bmatrix}0 & \ \ 2 \\1 & \ \ 2 \\0 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}11 & 17 \end{bmatrix}\)
\((b) \ \begin{bmatrix} \ \ 8 & \ \ 10 & \ \ 12 \\ \ \ 9 & \ \ 12 & \ \ 15 \\-4 & -5 & -6 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(2.\) যদি \(A=\begin{bmatrix}8 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & \ \ 3 \\ 5 & 4 & \ \ 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-4 & 6 & 2 \\ \ \ 1 & 3 & 5 \\ \ \ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে ম্যাট্রিক্স দুইটির সমষ্টি ও অন্তর নির্ণয় কর। অতঃপর দেখাও যে, \(A+B=B+A\) এবং \(A-B\ne{B-A}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}4 & 10 & 1 \\ 1 & 4 & 10 \\ 10 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)
দিঃ২০১১; কুঃ,চঃ ২০০৫ ।

উদাহরণ \(3.\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) এবং \(BC\) নির্ণয় কর। \(BA\) নির্ণয় সম্ভব কি?
উত্তরঃ \(AB=\begin{bmatrix}8 & 5 \\ 20 & 13 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(BC=\begin{bmatrix}10 & 17 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}\)
বঃ২০০৯,২০০৬; যঃ২০১৩; মাঃ ২০০৯ ।

উদাহরণ \(4.\) যদি \(A=\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\ 0 & \ \ 2 \end{array}\right), \ B=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\) এবং \(C=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \((AB)C=A(BC)\)
ঢাঃ২০০৬; কুঃ২০১৪; রাঃ২০১৬,২০০৯ ; সিঃ২০১৩,২০০৮,২০০৪; চঃ২০১৬,২০১৪,২০১১,২০০৭; বঃ২০১৬,২০১৩; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৬; কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ।

উদাহরণ \(5.\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 \\5 & \ \ 0 & \ \ 2 \\1 & -1 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & \ \ 2 & 5 \\ 2 & \ \ 0 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}4 & \ \ 1 & 2 \\0 & \ \ 3 & 2\\1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\) হলে,
নির্ণয় করঃ
\((a) \ A+B\)
\((b) \ A-C\)
\((c) \ -2A\)
\((d)\) দেখাও যে, \(A+(B-C)=(A+B)-C\)
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}4 & \ \ 1 & -1 \\9 & \ \ 2 & \ \ 7 \\3 & -1 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
\((b) \ \begin{bmatrix}-3 & \ \ 1 & -5 \\ \ \ 5 & -3 & \ \ 0 \\ \ \ 0 & \ \ 1 & -2 \end{bmatrix}\)
\((c) \ \begin{bmatrix}-2 & -4 & \ \ 6 \\-10 & \ \ 0 & -4 \\ -2 & \ \ 2 & -2 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(6.\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 5 & -7 & \ \ 1 \\-1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 4 & -2 & -16 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\2 & 3 & 2\\1 & 5 & 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(AB\ne{BA}\)
বাকাশিবোঃ ২০১৫ ।

উদাহরণ \(7.\) যদি \(A\) ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(B=I-A\) ম্যাট্রিক্সটিও সমঘাতি।

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -3 & -4 \\-1 & \ \ 3 & \ \ 4 \\ \ \ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি শুন্যঘাতি।

উদাহরণ \(9.\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1 & -2 & -1 \\ \ \ 6 & \ \ 1 & \ \ 6 \\ \ \ 5 & \ \ 10 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) হয়, তবে
\((a) \ 3A-2B\)
\((b) \ AB\)
নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix} \ \ 5 & \ \ 7 & \ \ 5 \\ -6 & -11 & \ \ 0 \\ -1 & -26 & -1 \end{bmatrix}\)
\((b) \ \begin{bmatrix}10 & 9 & 10 \\ 0 & 33 & 0 \\ 0 & 22 & 0 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(10.\) \(\begin{bmatrix}2x+3y \\ x-2y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\ 2 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((x, y)=\left(\frac{16}{7}, \frac{1}{7}\right)\)

উদাহরণ \(11.\) একটি দোকানের পর পর তিন দিনে কোকাকোলা, আরসি কোলা ও স্প্রাইট বিক্রয় নিম্নের তালিকায় দেওয়া হলোঃ
বোতলের সংখ্যা
কোকাকোলা আরসি কোলা স্প্রাইট
প্রথম দিন 50 45 40
দ্বিতীয় দিন 45 50 45
তৃতীয় দিন 45 50 45
প্রতি বোতলে লাভ (টাকায়) 0.50 0.75 0.50
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে ঐ তিন দিনের মোট লাভ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(241.50\) টাকা।

উদাহরণ \(12.\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 4 & 5 \\8 & 6 & 7 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
\((a) \ |A|\) নির্ণয় কর।
\((b) \ B^2-2A+5I\) নির্ণয় কর।
\((c) \ AB=BA\) সত্য কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a) \ -20\)
\((b) \ \begin{bmatrix}-4 & \ \ 2 & -20 \\-6 & \ \ 2 & -16 \\-4 & -16 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
\((c)\) সত্য নয়।

উদাহরণ \(13.\) কোনো কোম্পানির চারটি কারখানা \((A, \ B, \ C, \ D)\) আছে। প্রতিটি কারখনায় ম্যানেজার, ফোরম্যান ও শ্রমিক নিম্নরূপে দেওয়া হলোঃ
স্টাফ কারখানা
ABCD
ম্যানেজার 1 1 2 1
ফোরম্যান 4 5 3 4
শ্রমিক 10 90 60 75
যদি প্রতি মাসে প্রত্যেক ম্যানেজারকে \(3500\) টাকা, প্রত্যেক ফোরম্যানকে \(2000\) টাকা এবং প্রত্যেক শ্রমিককে \(1000\) টাকা করে দেওয়া হয়, তবে প্রতিটি কারখানার প্রতি মাসের পরিশোধকৃত অর্থের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(A=21500\) টাকা, \(B=103500\) টাকা, \(C=73000\) টাকা, \(D=86500\) টাকা।

অধ্যায় \(1A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}2 & -5 & \ \ 1 \\ 3 & \ \ 0 & -4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(3A+4B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}10 & -23 & -9 \\ 9 & -4 & \ \ 8 \end{bmatrix}\)
বঃ২০০৪; মাঃ ২০১০ ।

\(Q.1.(ii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 1 & -1 \\ \ \ 2 & 3 & \ \ 4 \\ -4 & 5 & \ \ 6 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & -4 & \ \ 6 \\2 & \ \ 0 & -7 \\ 3 & \ \ 5 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(7A-5B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 16 & 27 & -37 \\ \ \ 4 & 21 & \ \ 63 \\ -43 & 10 & \ \ 42 \end{bmatrix}\)

\(Q.1.(iii)\) \(A=\begin{bmatrix}-1 & 9 & 6 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & -1 & -10 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্স দুইটির যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 8 & -4 \end{bmatrix}\)

\(Q.1.(iv)\) \(A=\begin{bmatrix}1 \\0 \\1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-2 \\ \ \ 3 \\ \ \ 5 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \((A+B)\) কত?
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-1 \\ \ \ 3 \\ \ \ 6 \end{bmatrix}\)

\(Q.1.(v)\) \(P=\begin{bmatrix}3 & -1 \\2 & -2 \end{bmatrix}\) এবং \(Q=\begin{bmatrix}2 & -1 \\2 & -3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \((P-Q)\) ম্যাট্রিক্সটি কত?
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(vi)\) \(A=\begin{bmatrix}8 & 4 & -1 \\0 & 1 & \ \ 3 \\5 & 4 & \ \ 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-4 & 6 & 2 \\ \ \ 1 & 3 & 7 \\ \ \ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হলে-
\((a)\) ম্যাট্রিক্সদ্বয়ের সমষ্টি ও অন্তর নির্ণয় কর।
\((b) \ 3A+7B\)
\((c) \ A-3B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}4 & 10 & 1 \\1 & 4 & 10 \\10 & 8 & 9 \end{bmatrix}; \) \(\begin{bmatrix} \ \ 12 & -2 & -3 \\-1 & -2 & -4 \\ \ \ 0 & \ \ 0 & \ \ 7 \end{bmatrix}; \) \((b) \ \begin{bmatrix}-4 & 54 & 11 \\ \ \ 7 & 24 & 58 \\ \ \ 50 & 40 & 31 \end{bmatrix}; \) \((c) \ \begin{bmatrix} \ \ 20 & -14 & -7 \\-3 & -8 & -18 \\ -10 & -8 & \ \ 5 \end{bmatrix}.\)
দিঃ২০১১; কুঃ ২০০৫ ।

\(Q.1.(vii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & -5 & \ \ 1 \\3 & \ \ 0 & -4 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 & -2 & -3 \\0 & -1 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}0 & \ \ 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\) হয় তবে, \((3A+4B-2C)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}10 & -25 & -5 \\7 & -2 & \ \ 10 \end{bmatrix}\)

\(Q.1.(viii)\) \(A=\begin{bmatrix}8 & 4 & -1 \\0 & 1 & \ \ 3 \\5 & 4 & \ \ 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-4 & 6 & 2 \\ \ \ 1 & 3 & 7 \\ \ \ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হয় তবে, \((3A-5B)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 44 & -18 & -13 \\-5 & -12 & -26 \\-10 & -8 & \ \ 19 \end{bmatrix}\)
কুঃ ২০০৫ ।

\(Q.1.(ix)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 & 3 \\4 & \ \ 3 & 2 \\6 & -5 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \((6A+2B)\) ও \((4A-3B)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}8 & \ \ 0 & 18 \\24 & \ \ 20 & 12 \\36 & -30 & 26 \end{bmatrix}; \ \begin{bmatrix}1 & \ \ 0 & 12 \\16 & \ \ 9 & 8 \\24 & -20 & 13 \end{bmatrix}.\)

\(Q.1.(x)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & \ \ 3 \\-5 & \ \ 0 \\ \ \ 1 & -4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-3 & \ \ 7 \\ \ \ 1 & -4 \\ \ \ 3 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) হলে, \((5A-2B)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 16 & \ \ 1 \\-27 & \ \ 8 \\-1 & -24 \end{bmatrix}.\)

\(Q.1.(xi)\) \(A=\begin{bmatrix}7 & -3 & 4 \\5 & \ \ 3 & 2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-2 & 7 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & 10 & -8 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}9 & 4 & -2 \\ 7 & 6 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) হলে-
\((a) \ A+B\)
\((b) \ A-B\)
\((c) \ 5A\)
\((d) \ 7B\)
\((e) \ -6C\)
\((f) \ 3A-4B+2C\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}5 & 4 & \ \ 9 \\6 & 13 & -6 \end{bmatrix};\) \((b) \ \begin{bmatrix}9 & -10 & -1 \\4 & -7 & \ \ 10 \end{bmatrix};\) \((c) \ \begin{bmatrix}35 & -15 & 20 \\25 & \ \ 15 & 10 \end{bmatrix};\) \((d) \ \begin{bmatrix}-14 & 49 & \ \ 35 \\ \ \ 7 & 70 & -56 \end{bmatrix};\) \((e) \ \begin{bmatrix}-54 & -24 & \ \ 12 \\-42 & -36 & -18 \end{bmatrix};\) \((f) \ \begin{bmatrix}47 & -29 & -12 \\25 & -19 & \ \ 44 \end{bmatrix}\)

অধ্যায় \(1A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}3 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & \ \ 0 \\ 4 & \ \ 5 & -3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}19 & 14 & -12 \end{bmatrix}\)
কুঃ২০০৬ ।

\(Q.2.(ii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}8 & 4 & -1 \\0 & 1 & \ \ 3 \\5 & 4 & \ \ 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-4 & 6 & 2 \\ \ \ 1 & 3 & 7 \\ \ \ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-33 & 56 & 43 \\16 & 15 & 10 \\24 & 74 & 46 \end{bmatrix}\)
রাঃ২০০৫ ।

\(Q.2.(iii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\-2 & \ \ 1 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\-4 & -3 & 4 \\-5 & -5 & 6 \end{bmatrix}\)
কুঃ২০০৮ ।

\(Q.2.(iv)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 6 \\-3 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}4 & \ \ 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 16 & -6 \\-2 & -5 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}4 & 24 \\5 & 7 \end{bmatrix}\)
যঃ২০০৯ ।

\(Q.2.(v)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1 \\5 & 1 & \ \ 0 \\0 & 1 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -1 & \ \ 1 \\-15 & \ \ 6 & -5 \\ \ \ 5 & -2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AB=BA\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০০৫; চঃ২০০৮; রাঃ২০১০ ।

\(Q.2.(vi)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 0 & \ \ 2 \\1 & \ \ 2 \\0 & -1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AB\ne{BA}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}2 & 3 \\5 & 12 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix} \ \ 8 & \ \ 10 & \ \ 12 \\ \ \ 9 & \ \ 12 & \ \ 15 \\-4 & -5 & -6 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০০৮; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৫; রাঃ২০৮,২০০৩; যঃ২০১২,২০০৭; সিঃ২০১৪,২০১২,২০০৭; চঃ২০১০; দিঃ২০১৬,২০১৩; মাঃ২০১২ ।

\(Q.2.(vii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 & -2 \\3 & -2 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ \ \ 4 & 0 \\ \ \ 2 & 6 \end{bmatrix}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)
চঃ২০০৩; দিঃ২০১০ ।

\(Q.2.(viii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 5 & 2 & 9 \\-2 & 5 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 0 & 7 \\ 1 & 2 \\0 & 5 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(AB\ne{BA}\)
রাঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ix)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & -2 & \ \ 1 \\2 & \ \ 3 & -1 \\5 & \ \ 2 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 3 & \ \ 2 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 6 & \ \ 1 & -3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(BA\) নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 15 & \ \ 15 & -2 \\ \ \ 25 & -4 & \ \ 11 \\-7 & -15 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
চঃ২০০৪; যঃ২০০৩ ।

\(Q.2.(x)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\-2 & \ \ 1 & 0 \\-1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(AB=I_{3}=BA,\) যেখানে, \(I_{3}\) হলো \(3\) ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।
ঢাঃ২০১০; দিঃ২০১৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৮; সিঃ২০১০,২০০৫; চঃ২০১২; মাঃ২০১১ ।

\(Q.2.(xi)\) গুণফল নির্ণয় করঃ
\((a)\) \(\begin{bmatrix}1 \\6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & 2 \end{bmatrix}\)
\((b)\) \(\begin{bmatrix}2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -6 \end{bmatrix}\)
\((c)\) \(\begin{bmatrix} \ \ 1 & 6 \\-3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\ -7 \end{bmatrix}\)
\((d)\) \(\begin{bmatrix} \ \ 1 & 6 \\-3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 & 0 \\2 & 1 \end{bmatrix}\)
\((e)\) \(\begin{bmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}d_{1} \\d_{2} \\d_{3} \end{bmatrix}\)
\((f)\) \(\begin{bmatrix} a & b & c \\2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\)
\((g)\) \(\begin{bmatrix} a & b & c \\x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 5 & 8 \\3 & 6 & 9 \\4 & 7 & 10 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\18 & 12 \end{bmatrix};\) \((b) \ \begin{bmatrix}8 \end{bmatrix};\) \((c) \ \begin{bmatrix}-40 \\ -41 \end{bmatrix};\) \((d) \ \begin{bmatrix} \ \ 16 & -6 \\-2 & -5 \end{bmatrix};\) \((e) \ \begin{bmatrix} c_{1}d_{1}+ c_{2}d_{2}+c_{3}d_{3} \end{bmatrix};\) \((f) \ \begin{bmatrix} ax+by+cz \\ 2x+3y+4z \end{bmatrix};\) \((g) \ \begin{bmatrix} 2a+3b+4c & 5a+6b+7c & 8a+9b+10c \\2x+3y+4z & 5x+6y+7z & 8x+9y+10z \end{bmatrix};\)

\(Q.2.(xii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & \ \ 0 \\ 4 & \ \ 5 & -3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) নির্ণয় করে উহার মাত্রা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}6 & 1 & -3 \end{bmatrix}; \ \text{মাত্রাঃ} \ 1\times3\)

\(Q.2.(xiii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & \ \ 0 & -4 \\ 3 & -2 & \ \ 6 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) নির্ণয় কর। \(BA\) কি নির্ণয়যোগ্য?
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}11 & -6 & \ \ 14 \\ 1 & \ \ 2 & -14 \end{bmatrix}; \ (BA)\) নির্ণয়যোগ্য নয়।

\(Q.2.(xiv)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -1 \\ \ \ 1 & \ \ 0 \\-3 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & -2 & -5 \\3 & \ \ 4 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)
দিঃ ২০১০ ।

\(Q.2.(xv)\) \(A=\begin{bmatrix}-1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 3 & -3 & \ \ 5 \\ \ \ 5 & -5 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ 0 & \ \ 4 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & -3 & -3 \\-1 & \ \ 4 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) হলে, \((A^2-B^2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -2 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 3 & -4 & \ \ 3 \\ \ \ 5 & -5 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(A=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1 \\5 & 1 & \ \ 0 \\0 & 1 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -1 & \ \ 1 \\-15 & \ \ 6 & -5 \\ \ \ 5 & -2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) গুণন প্রক্রিয়ায় বিনিময়যোগ্য।
ঢাঃ২০০৫; চঃ ২০০৮ ।

\(Q.2.(xvii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -2 \\-2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}4 & \ \ 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 4 & \ \ 2 \\-4 & -2 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}8 & -8 \\6 & -6 \end{bmatrix}\)
যঃ২০০৯ ।

\(Q.2.(xviii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -2 \\-2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}8 & -8 \\6 & -6 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(xix)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\1 & 5 & 6 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}22 \\30 \end{bmatrix}, \ BA\) নির্ণয় সম্ভব নয়।

\(Q.2.(xx)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \cos{\beta} & -\sin{\beta} \\ \sin{\beta} & \cos{\beta} \end{bmatrix}\) হয় তবে দেখাও যে, \(AB=BA\)।

\(Q.2.(xxi)\) \(A=\begin{bmatrix}-1 & 3 & \ \ 2 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 6 & 1 & -3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & -2 & \ \ 1 \\2 & \ \ 3 & -1 \\5 & \ \ 2 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)

\(Q.2.(xxii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & \ \ 0 \\ 4 & \ \ 5 & -3 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) নির্ণয় কর। \(BA\) কি নির্ণয়যোগ্য যুক্তি দিয়ে বুঝাও।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 13 & \ \ 13 & -9 \\ -2 & -9 & \ \ 3 \end{bmatrix}; \ (BA)\) নির্ণয়যোগ্য নয়।

\(Q.2.(xxiii)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 1 & -1 \\ \ \ 2 & 3 & \ \ 4 \\ -4 & 5 & \ \ 6 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\1 & 4 & 2 \\1 & 6 & 9 \end{bmatrix}\) হলে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 3 & 7 & -4 \\ 9 & 42 & \ \ 44 \\ 7 & 44 & \ \ 60 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} \ \ 5 & 15 & 17 \\ \ \ 3 & 23 & 27 \\ -21 & 64 & 77 \end{bmatrix}.\)

\(Q.2.(xxiv)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}3 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 13 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(AB\) নির্ণয় কর। \(BA\) কি নির্ণয়যোগ্য?
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}26 & 58 & 92 \end{bmatrix}; \ BA\) নির্ণয়যোগ্য নয়।

\(Q.2.(xxv)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 5 & 3 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} \ \ 7 & 1 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}-2 & 7 & 8 \\ \ \ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\) হলে-
\((a) \ AB\)
\((b) \ BC\)
\((c) \ A^2\)
\((d) \ B^2\)
\((e) \ BA\)
\((a) \ AC\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix} \ \ 26 & 14 \\ -13 & 5 \\ \end{bmatrix};\) \((b) \ \begin{bmatrix}-12 & 50 & 56 \\ 12 & -18 & -24 \end{bmatrix};\) \((c) \ \begin{bmatrix} \ \ 22 & 21 \\ -7 & 1 \end{bmatrix};\) \((d) \ \begin{bmatrix} \ \ 46 & 10 \\ -30 & 6 \end{bmatrix};\) \((e) \ \begin{bmatrix} \ \ 34 & \ \ 23 \\ -18 & -3 \end{bmatrix};\) \((f) \ \begin{bmatrix}-4 & \ \ 38 & \ \ 40 \\ \ \ 6 & -5 & -8 \end{bmatrix};\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(A=\begin{bmatrix}4 & 8 & 4 \\0 & 4 & 4 \\8 & 0 & 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -4 & \ \ 1 \\ \ \ 2 & \ \ 0 & -1 \\ -2 & \ \ 4 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(AB=BA=16I_{3}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -1 & \ \ 1 \\-3 & \ \ 2 & -1 \\-2 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\) হলে \(AB\) এবং \(BA\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}-11 & 6 & -1 \\-22 & 12 & -2 \\-11 & 6 & -1 \end{bmatrix}\)

অধ্যায় \(1A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix} \ \ 4 \\ \ \ 6 \\-1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1 & 2 & -5 & 6 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \((AB)C\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \((AB)C=A(BC)\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}13 & 26 & -65 & 78 \\40 & 80 & -200 & 240 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০১১; রাঃ২০১৩,২০১১; দিঃ২০১২ ।

\(Q.3.(ii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\0 & 1 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix}4 & 3 \\2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((AB)C=A(BC)\)
যঃ২০০৪ ।

\(Q.3.(iii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\0 & \ \ 2 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix}1 & 3 & 0 \\2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}2 \\3 \\1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((AB)C=A(BC)\)
কুঃ,চঃ২০১৫ ।

\(Q.3.(iv)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}3 & \ \ 2 \\5 & -1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(A^2-5A+6I\) নির্ণয় কর; যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 10 & -6 \\-15 & \ \ 22 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০০৭; সিঃ২০০৯; বঃ২০১২ ।

\(Q.3.(v)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 \\4 & -3 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(A^2\) এবং \(A^3\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(A^2+2A-11I=0\) যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(0=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 9 & -4 \\-8 & \ \ 17 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}-7 & \ \ 30 \\ \ \ 60 & -67 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ ২০০৩,২০১৪;দিঃ ২০১৪,২০০৯; চঃ ২০০৯,২০০৬; রাঃ ২০১২,২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৮,সিঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩ ।

\(Q.3.(vi)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 \\3 & -4 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(A^2\) এবং \(A^3\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(A^2+3A-10I=0\) যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(0=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 7 & -6 \\-9 & \ \ 22 \end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}-11 & \ \ 38 \\ \ \ 57 & -106 \end{bmatrix}\)
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.3.(vii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & \ \ 1 & 5 \\-1 & \ \ 4 & 3 \\ \ \ 4 & -7 & 5 \end{bmatrix}\) হলে, \(f(A)\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(f(x)=3x^2+5x\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 79 & -82 & 139 \\13 & \ \ 2 & 81 \\ 125 & -212 & 97 \end{bmatrix}\)
যঃ ২০১৫; ঢাঃ,দিঃসিঃযঃ ২০১৮ ।

\(Q.3.(viii)\) \(f(x)=x^2+3x\) হলে, \(f(A)+I\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 1 & -1 \\ \ \ 2 & 3 & \ \ 4 \\-4 & 5 & \ \ 6 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 25 & 4 & -8 \\ \ \ 2 & 41 & \ \ 46 \\-38 & 56 & \ \ 79 \end{bmatrix}\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(ix)\) \(M=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 & \ \ 1 \\3 & -3 & -1 \\2 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(M^2-3M+MI\) এর মান নির্ণয় কর। যেখানে, \(I\) একক ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 7 & -7 & -3 \\-14 & \ \ 20 & \ \ 28 \\ \ \ 1 & -1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(x)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 0 \end{bmatrix},\) \(B=A^{t}\) এবং \(f(x)=x^2-4x\) হলে \(f(B)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}0 & \ \ 2 & \ \ 0 \\2 & \ \ 3 & -1 \\4 & -3 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xi)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 \\2 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(A^2-4A-5I\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬; সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; কুঃ ২০১৩,২০০৭, চঃ ২০১৩; বঃ ২০১৫; মাঃ ২০১৪ ।

\(Q.3.(xii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -1 \\-1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1 & \ \ 1 \\ \ \ 1 &-1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((A+B)^2=A^2-B^2\)

\(Q.3.(xiii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}-2 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & -6 \\-2 & -2 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A^3+A^2-21A-45I=0\) যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(0=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) ।

\(Q.3.(xiv)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 3 & 2 \\ 2 & \ \ 0 & 3 \\1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^3-2A^2+A-2I\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}5 & \ \ 15 & 10 \\10 & \ \ 0 & 15 \\5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১২,২০০৪; সিঃ ২০০৬; যঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১,২০০৪; বঃ ২০১৪

\(Q.3.(xv)\) \(A=\begin{bmatrix}12 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\6 & 1 & 0 \end{bmatrix}\) হলে, \(5A^2-3I\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(I\) অভেদ ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}732 & 210 & 15 \\100 & 37 & 10 \\365 & 100 & 2 \end{bmatrix}\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xvi)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 \\6 & 4 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\4 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(C=A-B\) হলে, \(C^2+5B+3I\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}18 & 5 \\20 & 23 \end{bmatrix}\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xvii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\0 & \ \ 2 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix}1 & 3 & 0 \\2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}2 \\3 \\4 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((AB)C=A(BC)\)
চঃ২০১৫,২০১৪,২০১১; যঃ ২০১৫,২০১১,২০০৪; কুঃ ২০১৪,২০১০; সিঃ ২০১৩,২০০৮; বঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৯ ।

\(Q.3.(xviii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 0 & \ \ 2 \\1 & \ \ 2 \\0 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ \ \ 0 & 4 \\ \ \ 3 & 6 \end{bmatrix}\) হয়, দেখাও যে, \(AB+AC=A(B+C)\)
যঃ ২০০৭; বঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xix)\) \(f(t)=t^2-3t+2\) এবং \(A=\begin{bmatrix}2 & \ \ 3 & -1 \\2 & \ \ 0 & \ \ 2 \\1 & -2 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) হলে, \(f(A)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 5 & -1 & \ \ 7 \\ \ \ 0 & \ \ 4 & -8 \\ -5 & \ \ 9 & -3 \end{bmatrix}\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xx)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 & -3 \\-2 & 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-1 & 2 \\-3 & 7 \\ \ \ 5 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}5 & \ \ 1 \\1 & -3 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB-C^2+2I_{2}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-46 & \ \ 14 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}\)
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xxi)\) \(A=\begin{bmatrix}0 & \ \ 0 & 2i \\0 & -2i & 0 \\2i & \ \ 0 & 0 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2+4I=0;\) যেখানে \(I\) একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স এবং \(i^2=-1\)।
চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.3.(xxii)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 & 0 \\ \ \ 1 & 1 & 0 \\-1 & 4 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 & 2 & \ \ 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1 & 2 & \ \ 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে,
দেখাও যেঃ
\((a) \ AB=AC\)
\((b) \ A(BC)=(AB)C\)
\((c) \ A(B+C)=AB+AC\)
\((d) \ (A+B)C=AC+BC\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 3 & 2 \\ 2 & \ \ 0 & 3 \\1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^3-2A^2-I\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}5 & \ \ 12 & 8 \\8 & \ \ 1 & 12 \\4 & -4 & 5 \end{bmatrix}\)
সিঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(xxiv)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 4 \end{bmatrix},\) \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ 5 \\-1 & -2 \end{bmatrix}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((AB)C=A(BC)\)

\(Q.3.(xxv)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\1 & -2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -1 \\-1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A(B+C)=AB+AC\)
বঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xxvi)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\4 & 3 & 2 \\2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 4 \\3 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((A+B)^2\ne{A^2+2AB+B^2}\)
বঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xxvii)\) যদি \(f(x)=x^2-5x+6\) এবং \(A=\begin{bmatrix}2 & \ \ 0 & 1 \\2 & \ \ 1 & 3 \\1 & -1 & 0 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(f(A)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 1 & -1 & -3 \\-1 & -1 & -10 \\ -5 & \ \ 4 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -3 & -5 \\-1 & \ \ 4 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-1 & \ \ 3 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & -3 & -5 \\-1 & \ \ 3 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -2 & -4 \\-1 & \ \ 3 & \ \ 4 \\ \ \ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(AB=BA=0, \ AC=A\) এবং \(CA=C\)

\(Q.3.(xxix)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 3 & 2 \\ 2 & \ \ 0 & 3 \\1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^3-2A^2+A\) নির্ণয় কর। যেখানে, \(I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) ।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}7 & \ \ 15 & 10 \\10 & \ \ 2 & 15 \\5 & -5 & 7 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১২,২০০৪; সিঃ ২০০৬; যঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১,২০০৪; বঃ ২০১৪

অধ্যায় \(1A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) দেখাও যে, \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -2 & -4 \\-1 & \ \ 3 & \ \ 4 \\ \ \ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

\(Q.4.(ii)\) দেখাও যে, \(B=\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ 1 & \ \ 3 \\ \ \ 5 & \ \ 2 & \ \ 6 \\-2 & -1 & -3 \end{bmatrix}\) একটি \(3\) সূচকের শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স।

\(Q.4.(iii)\) প্রমাণ কর যে, \(C=\begin{bmatrix}-5 & -8 & \ \ 0 \\ \ \ 3 & \ \ 5 & \ \ 0 \\ \ \ 1 & \ \ 2 & -1 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি ।

\(Q.4.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(D=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1 & \ \ 2 & \ \ 2 \\ \ \ 2 & -1 & \ \ 2 \\ \ \ 2 & \ \ 2 & -1 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি উল্লম্ব ।

\(Q.4.(v)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}12 & \ \ 3 & \ \ 0 \\ 6 & -9 & \ \ 3 \\ 3 & \ \ 3 & -3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3 & -3 & 0 \\ 6 & \ \ 3 & 9 \\12 & \ \ 3 & 24 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a) \ (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)
\((b) \ (AB)^{t}=B^{t}A^{t}\)

\(Q.4.(vi)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 & -2 \\ 2 & -1 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-3 & \ \ 1 \\ \ \ 2 & \ \ 4 \\ \ \ 1 & -2 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((AB)^{\prime}=B^{\prime}A^{\prime}\)
রাঃ ২০১৪ ।

\(Q.4.(vii)\) \(B+2I=\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) হলে, \(B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}2 & 3 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(viii)\) \(\begin{bmatrix}2 & -x \\ y-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 3+y \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\) হলে, \((x, y)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-8, 5)\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(ix)\) \(2\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}+F=I_{2}\) হলে, \(F\) ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর, যেখানে \(I_{2}\) একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(x)\) \(A=\begin{bmatrix}x+y & 6 \\ x-y & 9 \end{bmatrix}, \) \(B=\begin{bmatrix}7 & a+b \\ 3 & ab \end{bmatrix}\) এবং \(A=B\) হলে, \(a, \ b, \ c, \ x\) ও \(y\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=3, \ b=3, \ x=5, \ y=2\)

\(Q.4.(xi)\) \(A=\begin{bmatrix}a & a+1 \\ -a+1 & -a \end{bmatrix}\) এবং \(a=5\) হলে দেখাও যে, \(A\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
ঢাঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(xii)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & \ \ 6 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}3 & 7 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}\) হলে, \((AB-B^t-2C)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-4 & 1 \\ \ \ 10 & 10 \end{bmatrix}\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(xiii)\) \(A=\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(AB=\begin{bmatrix}10 & 17 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(B\) ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিসমূহ বের কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)
বুয়েটঃ ২০১৬-২০১৭ ।

\(Q.4.(xiv)\) \(\begin{bmatrix}x & 4 & 11 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} \ \ x \\ \ \ 4 \\ -1 \end{bmatrix}=0\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণ কর।
উত্তরঃ \(x=-2\pm{\sqrt{14}}i\)

\(Q.4.(xv)\) \(A=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \ \ \cos{\theta} \end{bmatrix}\) এবং \(A^2=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(\theta\) এর মান নির্ণ কর।
উত্তরঃ \(\theta=n\pi\pm{\frac{\pi}{6}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.4.(xvi)\) ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে নিম্নের তথ্য-তালিকা হতে বিক্রীত বইয়ের মোট লাভ নির্ণয় করঃ
গণিত পদার্থ রসায়ন
বইয়ের সংখ্যা 100 125 110
প্রতি বইয়ের ক্রয়মূল্য (টাকায়) 60.00 90.00 85.00
প্রতি বইয়ের বিক্রয়মূল্য (টাকায়) 70.00 102.00 96.00
উত্তরঃ \(3710\) টাকা।

\(Q.4.(xvii)\) \(\begin{bmatrix}1 & \ \ 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x & \ \ y \\ 6 & -3 \end{bmatrix}^t=\begin{bmatrix}9 & a+b-3 \\ 3 & ab+2 \end{bmatrix}+2I_{2}\) হলে, \(a, \ b, \ x, \ y\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1 \ \text{অথবা } 5, \ b=5 \ \text{অথবা } 1, \ x=7, \ y=4\)

\(Q.4.(xviii)\) ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে নিম্নের তথ্য-তালিকা হতে বিক্রীত কলমের মোট লাভ নির্ণয় করঃ
A প্রকারের কলম B প্রকারের কলম C প্রকারের কলম
ঢাকায় বিক্রীত কলমের সংখ্যা 140 155 132
রাজশাহীতে বিক্রীত কলমের সংখ্যা 130 100 148
প্রতি কলমে লাভ (টাকায়) 1.50 2.00 1.25
উত্তরঃ \(1265\) টাকা।

\(Q.4.(xix)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}-1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 3 & -3 & \ \ 5 \\ \ \ 5 & -5 & \ \ 5 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} \ \ 0 & \ \ 4 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & -3 & -3 \\-1 & \ \ 4 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -2 & 3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & 4 \\-3 & -4 & 1 \end{bmatrix}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((AB+C)^{t}=B^{t}A^{t}+C^t\)

\(Q.4.(xx)\) \(\begin{bmatrix}x & 4 & 4 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} \ \ x \\ \ \ 4 \\ -1 \end{bmatrix}=0\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণ কর।
উত্তরঃ \(x=-2\)

\(Q.4.(xxi)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 5 & 2 & 9 \\-2 & 5 & 3 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}0 & 7 \\1 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 \\3 & -4 \end{bmatrix}\)
\((a) \ \begin{bmatrix}3x-2y \\2x+5y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\4 \end{bmatrix}\) হলে, \((x, y)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ম্যাট্রিক্সের ক্রমের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(AB\ne{BA}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(C^2+3C-10I\) একটি শুন্য ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ \((a) \ (x, y)=(2, 0)\)
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.4.(xxii)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(A^2-KA-5I=0\) হলে \(K\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(K=5\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(A=\begin{bmatrix}4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((A-2I)(A-3I)=0.\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\begin{bmatrix}\cos{x} & -\sin{x} & 0 \\ \sin{x} & \ \ \cos{x} & 0 \\ 0 & \ \ 0 & 1 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(f(x).f(y)=f(x+y).\)

\(Q.4.(xxv)\) দেখাও যে, \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -3 & -5 \\-1 & \ \ 4 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & -3 & -4 \end{bmatrix}\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

\(Q.4.(xxvi)\) \(\begin{bmatrix} 3 & \ \ 7 \\x & -2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।

\(Q.4.(xxvii)\) \(\begin{bmatrix} \ \ a & 2 & \ \ d \\-2 & b & -3 \\-5 & 3 & \ \ c \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে \(a+b+c+d=?\)

\(Q.4.(xxviii)\) দেখাও যে, \(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -4 \\3 & 0 & \ \ 0 \\1 & 0 & -2 \end{bmatrix}\) একটি শুন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স এবং শুন্যঘাতির সূচক নির্ণয় কর।

\(Q.4.(xxix)\) \(A+B=\begin{bmatrix} 5 & 4 & \ \ 9 \\6 & 13 & -6 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix} 9 & -10 & -1 \\4 & -7 & \ \ 10 \end{bmatrix}\) হলে, \(A\) ও \(B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A=\begin{bmatrix}7 & -3 & 4 \\ 5 & \ \ 3 & 2 \end{bmatrix}; \ B=\begin{bmatrix}-2 & 7 & \ \ 5 \\ \ \ 1 & 10 & -8 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxx)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}\) এবং \(A^2+2A-11X=0\) হলে \(X\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxxi)\) যদি \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ 7 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ 6 & 0 & 9 \\ \ \ 7 & 1 & 5 \\ -3 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)

\(Q.4.(xxxii)\) চ্যাম্পিয়ন্স লীগে তিনটি দলের দশটি খেলা শেষে ফলাফল নিম্নরূপঃ
দল জয় পরাজয় ড্র
বার্সেলোনা 6 3 1
রিয়াল মাদ্রিদ 5 3 2
ম্যান ইউ 4 4 2
প্রতি খেলায় জয়, পরাজয় ও ড্র এর জন্য অর্জিত পয়েন্ট যথাক্রমে \(3, \ 0, \ 1\) হলে দল তিনটির প্রাপ্ত পয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\text{বার্সেলোনা}=19, \ \text{রিয়াল মাদ্রিদ}=17, \ \text{ম্যান ইউ}=14 \)