নির্ণায়ক
Determinants
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
সেকি তাকাকাজু (১৬৪৩ খ্রিষ্টাব্দ-১৭০৮ খ্রিষ্টাব্দ)
একঘাত সমীকরণ জোট (System of linear equations) এর সমাধান করার প্রয়াসেই মূলত নির্ণায়কের উৎপত্তি। ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতেও একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। তবে নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে সমসংখ্যক চলক ও সমীকরণবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয়ের জন্য নির্ণায়ক পদ্ধতি অত্যন্ত সহজ ও কার্জকর।
ম্যাট্রিক্সের ন্যায় নির্ণায়কেরও সূচনা খ্রীষ্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকের পূর্বে। প্রাচীন ব্যবিলন ও চীন থেকেই এই ধারণা পাওয়া যায়। এরপর দীর্ঘ্য সময় এই সম্পর্কিত উল্লেখযোগ্য কোনো অগ্রগতি সাধিত হয়নি।
স্থানাংক জ্যামিতিতে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়, একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান, ভেক্টর জ্যামিতিতে নির্ণায়ক ব্যবহৃত হয়।
১৬৮৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম জাপানি গনিতবিদ সেকি তাকাকাজু (Seki Takakazu) (১৬৪২ খ্রিষ্টাব্দ-১৭০৮ খ্রিষ্টাব্দ) একটি নতুন বীজগণিত স্বরলিপি ব্যবস্থা তৈরি করেছিলেন এবং জ্যোতির্বিদ্যার গণনা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে ইনফিনাইটিমাল ক্যালকুলাস এবং ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ নিয়ে কাজ করেছিলেন। তিনি জার্মান পলিম্যাথ গণিতবিদ এবং দার্শনিক গটফ্রেড লিবনিজ straight3লিবনিজ ( gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬) এবং ব্রিটিশ গণিতবিদ স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3 ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। এর সমসাময়িক হলেও সেকির কাজটি স্বাধীন ছিল। তার উত্তরসূরীরা পরবর্তীতে এডো পিরিয়ডের শেষ অবধি জাপানি গণিতে বিদ্যালয়ের প্রভাবশালী হয়ে ওঠে। সেকি তাকাকাজু নির্ণায়ক বিষয়ক প্রাথমিক ধারনা প্রকাশ করেন। তিনি \(2\times2, \ 3\times3, \ 4\times4\) এবং \(5\times5\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নিরূপন করেন এবং সমীকরণের সমাধান নির্ণয়ে নির্ণায়কের ব্যবহার প্রসঙ্গে ধারনা দেন। একই বছরে জার্মান গণিতবিদ গটফ্রেড লিবনিজ straight3লিবনিজ ( gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬) অনুরূপ ধারনা ও প্রয়োজনিয়তা উল্লেখ করেন।
সার সংক্ষেপ
নির্ণায়কের সংজ্ঞা (Definition of Determinants) নির্ণায়কের সারি এবং কলাম (Row and Column of Determinants) নির্ণায়কের বিস্তৃতি এবং মাণ (Expansion of Determinants) নির্ণায়কের পদ (Terms of Determinants) নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণ (Leading diagonal of Determinants) নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণ (Secondary diagonal of Determinants) নির্ণায়কের অনুরাশি (Minor of Determinants) নির্ণায়কের সহগুণক (Cofactor of Determinants) নির্ণায়কের মাণ (Value of Determinants) নির্ণায়কের ভুক্তি ও সহগুণক সম্পর্কিত আলোচনা নির্ণায়কের ধর্মাবলি (Properties of Determinants) কোনো নির্ণায়কের একটি সারির (বা কলামের) সকল ভুক্তি শূন্য হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে। কোনো নির্ণায়কের দুইটি সারি (বা কলাম) একই হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে কোনো নির্ণায়কের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে স্থানান্তর করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে
নির্ণায়ক
Determinants
নির্ণায়কের সংজ্ঞা
Definition of Determinants
বীজগাণিতিক রাশিমালার এক ধরনের পদ্ধতিগত প্রকাশই হলো নির্ণায়ক।
\(a_{1}x+b_{1}y=0\)
\(a_{2}x+b_{2}y=0\)
সমীকরণদ্বয়ের সহগসমূহ \((a_{1}, \ b_{1}, \ a_{2}, \ b_{2})\) কে দুইটি খাড়া সরলরেখা আকারে প্রকাশিত বর্গাকৃতির সুবিন্যাস্ত রাশিসমূহকে নির্ণায়ক বলে। নির্ণায়ক হচ্ছে একটি বিশেষ আকারের লিখিত বর্গ ম্যাট্রিক্সের সংখ্যা রাশি।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right|\) ইহা দ্বিতীয় ক্রমের (Second order) নির্ণায়ক।
উল্লেখ্য যে, নির্ণায়ক একটি ফাংশন যার ডোমেন সকল বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট। প্রত্যেক নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে যা একটি সংখ্যা বা একটি রাশি বা একটি ফাংশন হতে পারে।
নির্ণায়ককে \(\Delta\) (ডেল্টা) বা \(D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নির্ণায়কের সারি (Row) ও কলাম (Column) সংখ্যা সমান হওয়া বাঞ্ছনীয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) ইহা তৃতীয় ক্রমের ( Third order) নির্ণায়ক।
\(A=\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} \\a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(|A|=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right|=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\)
একটি \(n\) ক্রমের নির্ণায়ক নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়।
\(\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array}\right|\)
নির্ণায়কের সারি এবং কলাম
Row and Column of a Determinants
নির্ণায়কের সারি এবং কলামঃ নির্ণায়কের ভুক্তিগুলির আনুভূমিক বিন্যাসকে সারি এবং উল্লম্ব বিন্যাসকে কলাম বলা হয়। অর্থাৎ বাম থেকে ডানের ভুক্তিগুলি নিয়ে সারি এবং উপর থেকে নিচের ভুক্তিগুলি নিয়ে কলাম গঠিত হয়। সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাসকে দুই প্রকারে বিশ্লেষণ করা হয়।
যথাঃ আনুভূমিক রেখা বরাবর এবং উল্লম্ব রেখা বরাবর। সংখাগুলির আনুভূমিক রেখাগুলিকে সারি (row) এবং উল্লম্ব রেখাগুলিকে কলাম (column) বলা হয়।
straight3
নির্ণায়কের বিস্তৃতি
Expansion of Determinants
নির্ণায়কের বিস্তৃতিঃ সারাসের চিত্র ব্যবহার করে একটি নির্ণায়কের বিস্তৃতি নিম্নে দেখানো হলো।
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির জন্য সারাসের চিত্র নিম্নরূপঃ
\(a_{1}\) \(a_{2}\) \(a_{3}\) \(a_{1}\) \(a_{2}\)
\(b_{1}\) \(b_{2}\) \(b_{3}\) \(b_{1}\) \(b_{2}\)
\(c_{1}\) \(c_{2}\) \(c_{3}\) \(c_{1}\) \(c_{2}\)
\(=\) \(a_{1}b_{2}c_{3}\)\(+\)\(a_{2}b_{3}c_{1}\)\(+\)\(a_{3}b_{1}c_{2}\)\(-\)\(a_{3}b_{2}c_{1}\)\(-\)\(a_{1}b_{3}c_{2}\)\(-\)\(a_{2}b_{1}c_{3}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ নির্দেশ করে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির জন্য সারাসের চিত্র নিম্নরূপঃ
\( \ \ \ 2\) \(-3\) \( \ \ \ 1\) \( \ \ \ 2\) \(-3\)
\( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\) \(-4\) \( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\)
\(-2\) \( \ \ \ 5\) \( \ \ \ 6\) \(-2\) \( \ \ \ 5\)
\(=\) \(2\times2\times6\)\(+\)\((-3)\times(-4)\times(-2)\)\(+\)\(1\times3\times5\)\(-\)\((-2)\times2\times1\)\(-\)\(5\times(-4)\times2\)\(-\)\(6\times3\times(-3)\)
\(=\) \(24\)\(-\)\(24\)\(+\)\(15\)\(+\)\(4\)\(+\)\(40\)\(+\)\(54\)
\(=147-24\)
\(=123\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ।
নির্ণায়কের পদঃ সারাসের চিত্র ব্যবহার করে নির্ণায়কের বিস্তৃতি বা মাণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত \(a_{1}b_{2}c_{3}, \ a_{2}b_{3}c_{1}, \ a_{3}b_{1}c_{2}, \ a_{3}b_{2}c_{1}, \ a_{1}b_{3}c_{2}, \ a_{2}b_{1}c_{3}\) প্রত্যেকটি নির্ণায়কের এক একটি পদ।
নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণঃ নির্ণায়কের \(a_{1}, \ b_{2}, \ c_{3}\) ভুক্তিগুলি যে কর্ণ গঠন করে তাকে নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণ বলে। নিম্নে মূখ্য কর্ণের স্বচিত্র প্রতিবেদন দেওয়া হলো।
  \(a_{1}\) \(a_{2}\) \(a_{3}\)  
\(b_{1}\) \(b_{2}\) \(b_{3}\)
\(c_{1}\) \(c_{2}\) \(c_{3}\)
নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণঃ নির্ণায়কের \(a_{3}, \ b_{2}, \ c_{1}\) ভুক্তিগুলি যে কর্ণ গঠন করে তাকে নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণ বলে। নিম্নে মাধ্যমিক কর্ণের স্বচিত্র প্রতিবেদন দেওয়া হলো।
  \(a_{1}\) \(a_{2}\) \(a_{3}\)  
\(b_{1}\) \(b_{2}\) \(b_{3}\)
\(c_{1}\) \(c_{2}\) \(c_{3}\)
নির্ণায়কের অনুরাশি এবং সহগুণক
Minor and Cofactor of Determinants
অনুরাশিঃ নির্ণায়কের কনো একটি ভুক্তি যে সারি ও কলামে অবস্থিত সে সারি ও কলামের ভুক্তিগুলি বাদ দিয়ে যে ভুক্তিগুলি অবশিষ্ট থাকে তাদের নিয়ে গঠিত নির্ণায়ককে ঐ ভুক্তির অনুরাসি বলে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সকল অনুরাশি নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{11}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{21}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{31}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array}\right|=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{12}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{22}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{32}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}\right|=a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{13}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{23}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{33}\) এর অনুরাশি ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কে দুইটি ভুক্তির অনুরাশি নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(2\) এর অনুরাশি ,
  \( \ \ \ 2\) \(-3\) \( \ \ \ 1\)  
\( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\) \(-4\)
\(-2\) \( \ \ \ 5\) \( \ \ \ 6\)
\(=\left|\begin{array}{c} 2 & -4 \\ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|=12-(-20)=12+20=32\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(3\) এর অনুরাশি ,
  \( \ \ \ 2\) \(-3\) \( \ \ \ 1\)  
\( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\) \(-4\)
\(-2\) \( \ \ \ 5\) \( \ \ \ 6\)
\(=\left|\begin{array}{c} -3 & 1 \\ \ \ 5 & 6 \end{array}\right|=-18-5=-23\)
সহগুণকঃ নির্ণায়কের কনো একটি ভুক্তির অনুরাসির সামনে যথাযথ চিহ্ন বসালে তাকে ঐ ভুক্তির সহগুণক বলে।
একটি ভুক্তি \(i\) তম সারি এবং \(j\) তম কলামে অবস্থান করলে তার সগুণকের চিহ্ন হবে \((-1)^{i+j}\) অর্থাৎ \((i,j)\) তম সহগুণকের চিহ্ন \((-1)^{i+j}\)। সহগুণকের চিহ্ন সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য নিম্নে আলোচনা করা হলো।
যেমনঃ \(3\) ক্রমের একটি নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সহগুণকের চিহ্ন নিম্নে দেখানো হলো-
\(\left|\begin{array}{c} (-1)^{1+1} & (-1)^{1+2} & (-1)^{1+3} \\ (-1)^{2+1} & (-1)^{2+2} & (-1)^{2+3} \\ (-1)^{3+1} & (-1)^{3+2} & (-1)^{3+3} \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} (-1)^{2} & (-1)^{3} & (-1)^{4} \\ (-1)^{3} & (-1)^{4} & (-1)^{5} \\ (-1)^{4} & (-1)^{5} & (-1)^{6} \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}\right|\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কে ভুক্তিগুলির সকল সহগুণক নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{11}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{2}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{21}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{3}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})=-(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,1)\) তম ভুক্তি, \(a_{31}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{12}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{3}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{22}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,2)\) তম ভুক্তি, \(a_{32}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}\right|=(-1)^{5}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})=-(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{13}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=(-1)^{4}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{23}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right|=(-1)^{5}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})=-(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((3,3)\) তম ভুক্তি, \(a_{33}\) এর সহগুণক ,
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
\(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=(-1)^{6}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -3 & \ \ 1 \\ \ \ 3 & \ \ 2 & -4 \\ -2 & \ \ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|\) নির্ণায়কে দুইটি ভুক্তির সহগুণক নিম্নে দেখানো হলো।
নিম্নের নির্ণায়কে \((1,1)\) তম ভুক্তি, \(2\) এর সহগুণক ,
  \( \ \ \ 2\) \(-3\) \( \ \ \ 1\)  
\( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\) \(-4\)
\(-2\) \( \ \ \ 5\) \( \ \ \ 6\)
\(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -4 \\ 5 & \ \ 6 \end{array}\right|=(-1)^{2}\{12-(-20)\}=12+20=32\)
নিম্নের নির্ণায়কে \((2,1)\) তম ভুক্তি, \(3\) এর সহগুণক ,
  \( \ \ \ 2\) \(-3\) \( \ \ \ 1\)  
\( \ \ \ 3\) \( \ \ \ 2\) \(-4\)
\(-2\) \( \ \ \ 5\) \( \ \ \ 6\)
\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -3 & 1 \\ \ \ 5 & 6 \end{array}\right|=(-1)^{3}(-18-5)=-(-23)=23\)
নির্ণায়কের মাণঃ নির্ণায়কের মাণ নির্ণয়ের বহুল প্রচলিত পদ্ধতি নিম্নে আলোচনা করা হলো।
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(a_{21}\) \(a_{22}\) \(a_{23}\)
\(a_{31}\) \(a_{32}\) \(a_{33}\)
নির্ণায়কটি প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=\)\(a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})\)\(-\)\(a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\)\(+\)\(a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ।
নির্ণায়কটি দ্বিতীয় সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=-\)\(a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\)\(+\)\(a_{22}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31})\)\(-\)\(a_{23}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})\)
\(=-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{13}a_{32}+a_{22}a_{11}a_{33}-a_{22}a_{13}a_{31}-a_{23}a_{11}a_{32}+a_{23}a_{12}a_{31}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ।
নির্ণায়কটি তৃতীয় সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেঃ
\(=\)\(a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})\)\(-\)\(a_{32}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\)\(+\)\(a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\)
\(=a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{13}a_{22}-a_{32}a_{11}a_{23}+a_{32}a_{13}a_{21}+a_{33}a_{11}a_{22}-a_{33}a_{12}a_{21}\)
\(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\)
ইহাই নির্ণায়কটির মাণ।
ইহা স্পষ্ট যে, নির্ণায়কটির যে কোনো একটি সারি বরাবর বিশ্লেষণ করা হলে এর মাণ পাওয়া যাবে।
অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, নির্ণায়কটির যে কোনো একটি কলাম বরাবর বিশ্লেষণ করা হলেও এর মাণ পাওয়া যাবে।
নির্ণায়কের ভুক্তি ও সহগুণক সম্পর্কিত আলোচনাঃ
\(\left|\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{array}\right|\) নির্ণায়কের,
ভুক্তিগুলি \(=a_{11}, \ a_{12}, \ a_{13}, \ b_{21}, \ b_{22}, \ b_{23}, \ c_{31}, \ c_{32}, \ c_{33}\)
  \(a_{11}\) \(a_{12}\) \(a_{13}\)  
\(b_{21}\) \(b_{22}\) \(b_{23}\)
\(c_{31}\) \(c_{32}\) \(c_{33}\)
সহগুণকগুলিঃ
\(a_{11}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+1}(b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32})\)
\(=(-1)^{2}(b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32})=b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32}=A_{11}\)
\(a_{12}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+2}(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})\)
\(=(-1)^{3}(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})=-(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})=A_{12}\)
\(a_{13}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+3}(b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31})\)
\(=(-1)^{4}(b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31})=b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31}=A_{13}\)
\(b_{21}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(=(-1)^{3}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})=B_{21}\)
\(b_{22}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+2}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})\)
\(=(-1)^{4}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}=B_{22}\)
\(b_{23}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+3}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)
\(=(-1)^{5}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})=B_{23}\)
\(c_{31}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+1}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})\)
\(=(-1)^{4}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}=C_{31}\)
\(c_{32}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+2}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(=(-1)^{5}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})=C_{32}\)
\(c_{33}\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{3+3}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\)
\(=(-1)^{6}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}=C_{33}\)
ভুক্তিগুলিকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুন করে যোগ করিঃ
\(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\)
\(=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\) ➜ \(\because A_{11}=b_{22}c_{33}-b_{23}c_{32}\)
\(A_{12}=-(b_{21}c_{33}-b_{23}c_{31})\)
\(A_{13}=b_{21}c_{32}-b_{22}c_{31}\)

\(=a_{11}b_{22}c_{33}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
আবার,
\(b_{21}B_{21}+b_{22}B_{22}+b_{23}B_{23}\)
\(=-b_{21}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})+b_{22}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})-b_{23}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\) ➜ \(\because B_{21}=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(B_{22}=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}\)
\(B_{23}=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)

\(=-a_{12}b_{21}c_{33}+a_{13}b_{21}c_{32}+a_{11}b_{22}c_{33}-b_{22}a_{13}c_{31}-a_{11}b_{23}c_{32}+a_{12}b_{23}c_{31}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
আবার,
\(c_{31}C_{31}+c_{32}C_{32}+c_{33}C_{33}\)
\(=c_{31}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-c_{32}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+c_{33}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜ \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=c_{31}a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}c_{31}-a_{11}b_{23}c_{32}+a_{13}b_{21}c_{32}+a_{11}b_{22}c_{33}-a_{12}b_{21}c_{33}\)
\(=a_{11}b_{22}c_{33}+a_{12}b_{23}c_{31}+a_{13}b_{21}c_{32}-a_{11}b_{23}c_{32}-a_{12}b_{21}c_{33}-a_{13}b_{22}c_{31}\)
যা নির্ণায়কটির মাণ।
সিদ্ধান্তঃ
কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের ভুক্তিগুলিকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুন করে যোগ করলে তা ঐ নির্ণায়কের মাণের সমান হয়।
ভুক্তিগুলিকে অপর সারির অনুরূপ ভুক্তির সহগুণক দ্বারা গুণ করে যোগ করিঃ
\(a_{11}B_{21}+a_{12}B_{22}+a_{13}B_{23}\)
\(=-a_{11}(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})+a_{12}(a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31})-a_{13}(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\) ➜ \(\because B_{21}=-(a_{12}c_{33}-a_{13}c_{32})\)
\(B_{22}=a_{11}c_{33}-a_{13}c_{31}\)
\(B_{23}=-(a_{11}c_{32}-a_{12}c_{31})\)

\(=-a_{11}a_{12}c_{33}+a_{11}a_{13}c_{32}+a_{11}a_{12}c_{33}-a_{12}a_{13}c_{31}-a_{11}a_{13}c_{32}+a_{12}a_{13}c_{31}\)
\(=0\)
আবার,
\(a_{11}C_{31}+a_{12}C_{32}+a_{13}C_{33}\)
\(=a_{11}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-a_{12}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+a_{13}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜ \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=a_{11}a_{12}b_{23}-a_{11}a_{13}b_{22}-a_{11}a_{12}b_{23}+a_{12}a_{13}b_{21}+a_{11}a_{13}b_{22}-a_{12}a_{13}b_{21}\)
\(=0\)
আবার,
\(b_{21}C_{31}+b_{22}C_{32}+b_{23}C_{33}\)
\(=b_{21}(a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22})-b_{22}(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})+b_{23}(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\) ➜ \(\because C_{31}=a_{12}b_{23}-a_{13}b_{22}\)
\(C_{32}=-(a_{11}b_{23}-a_{13}b_{21})\)
\(C_{33}=a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}\)

\(=a_{12}b_{21}b_{23}-a_{13}b_{21}b_{22}-a_{11}b_{22}b_{23}+a_{13}b_{21}b_{22}+a_{11}b_{22}b_{23}-a_{12}b_{21}b_{23}\)
\(=0\)
সিদ্ধান্তঃ
কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের ভুক্তিগুলিকে অপর কোনো সারি বা কলামের অনুরূপ ভুক্তির সহগুণক দ্বারা গুণ করে যোগ করলে যোগফল শূন্য (0) হয়।
নির্ণায়কের ধর্মাবলি
Properties of Determinants
কোনো নির্ণায়কের একটি সারির (বা কলামের) সকল ভুক্তি শূন্য হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে।
যেমনঃ \(D_{1}=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=0\)
আবার,
\(D_{2}=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & 0 \\ b_{1} & b_{2} & 0 \\ c_{1} & c_{2} & 0 \end{array}\right|=0\)

কোনো নির্ণায়কের দুইটি সারি (বা কলাম) একই হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে।
যেমনঃ \(D_{1}=\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=0\)
আবার,
\(D_{2}=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{2} \\ b_{1} & a_{2} & a_{2} \\ c_{1} & a_{2} & a_{2} \end{array}\right|=0\)

কোনো নির্ণায়কের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে স্থানান্তর করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)

কোনো নির্ণায়কের দুইটিসারি (বা কলাম ) পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের সাংখ্যিক মাণ একই থাকে কিন্তু চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)

কোনো নির্ণায়কের যেকোনো সারি (বা কলাম ) এর প্রত্যেক ভুক্তিকে যেকোনো সংখ্যা \(m\) দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়কের মাণকে ঐ সংখ্যা \('m'\) দ্বারা গুণ বুঝায়।
যেমনঃ \(A=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\) হলে,
\(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ mc_{1} & mc_{2} & mc_{3} \end{array}\right|=m\left|\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=mA\)

কোনো নির্ণায়কের একটি সারি (বা কলাম ) এর প্রত্যেক ভুক্তিকে দুই বা (ততোধিক) সংখ্যার যোগফলরূপে প্রকাশ করা সম্ভব হলে নির্ণায়কটিকেও দুইটি বা (ততোধিক) নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1}+a & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+b & b_{2} & b_{3} \\ c_{1}+c & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{c} a & a_{2} & a_{3} \\ b & b_{2} & b_{3} \\ c & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)

একটি নির্ণায়কের একটি সারি (বা কলামের ) ভুক্তিগুলির সাথে ঐ নির্ণায়কের অপর এক বা একাধিক সারির বা (কলামের) ভুক্তিগুলির \(m\) গুনিতক যোগ করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} a_{1}+mb_{1} & a_{2}+mb_{2} & a_{3}+mb_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)

অধ্যায় \(1B\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(\left|\begin{array}{c} 13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21 \end{array}\right|\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)

উদাহরণ \(2.\) \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\) নির্ণায়কের \(a_{1}, \ b_{1}, \ c_{1}\) এর সহগুণক যথাক্রমে \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) হলে দেখাও যে, \(a_{3}A_{1}+b_{3}B_{1}+c_{3}C_{1}=0\)
কুঃ ২০১৪,২০০৮; রাঃ ২০১৪ ।

উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(\left|\begin{array}{c} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array}\right|=abc(a-b)(b-c)(c-a)\)
বঃ ২০১২; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১৫,২০১২,২০০৯; বাকাসিবোঃ ২০১৭ ।

উদাহরণ \(4.\) প্রমাণ কর যে, \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & p & p^{2} \\ 1 & p^{2} & p^{4} \end{array}\right|=p(p-1)^2(p^2-1)\)
চঃ ২০১৫,২০১২; কুঃ ২০১৫; মাঃ ২০১৩,২০১০; ঢাঃ ২০১২,২০০৭; রাঃ ২০১১,২০১০; যঃ,বঃ ২০০৯; বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮,২০০৮-২০০৯; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯, ২০১২-২০১৩, ২০১৩-২০১৪ ।

উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \(\left|\begin{array}{c} a & b & ax+by \\ b & c & bx+cy \\ ax+by & bx+cy & 0 \end{array}\right|=-(ax^2+2bxy+cy^2)(ac-b^2)\)
দিঃ, কুঃ, রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৯; চঃ ২০১৫,২০১৩,২০১২,২০০৯; ঢাঃ ০১৫,২০১০;যঃ২০১৪,২০১০; বঃ২০১৪,২০০৭; সিঃ ২০১২,২০০৫ ।

উদাহরণ \(6.\) প্রমাণ কর যে, \(\left|\begin{array}{c} -2a & a+b & a+c \\ a+b & -2b & b+c \\ c+a & c+b & -2c \end{array}\right|=4(a+b)(b+c)(c+a)\)
বঃ২০১১ ।

উদাহরণ \(7.\) সমাধান করঃ \(\left|\begin{array}{c} 3+x & 4 & 2 \\ 4 & 2+x & 3 \\ 2 & 3 & 4+x \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(x=-9, \ \pm{\sqrt{3}}\)
যঃ২০১৯; চঃ,কুঃ ২০০৭; ঢাঃ২০০৫; চুয়েটঃ ২০১৪-২০১৪ ।

উদাহরণ \(8.\) প্রমাণ কর যে, \(\left|\begin{array}{c} bc & ca & ab \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array}\right|\) \(=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)\)

উদাহরণ \(9.\) \(\left|\begin{array}{c} 13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)

উদাহরণ \(10.\) \(\left|\begin{array}{c} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1 \end{array}\right|\) নির্ণায়কে \(5\) এর অনুরাশি এবং \(7\) এর সহগুণক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-33, \ 6\)

অধ্যায় \(1B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নির্ণায়কের মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i) (a)\) \(\left|\begin{array}{c} 7 & 17 & 29 \\ 11 & 19 & 31 \\ 13 & 23 & 37 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(36\)

\(Q.1.(i) (b)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(0\)
চুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ।

\(Q.1.(i) (c)\) \(\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & -\omega & \ \ \omega^2 \\ -\omega & \ \ \omega^2 & \ \ 1 \\ \ \ \omega^2 & \ \ 1 & -\omega \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(-4\)
বুয়েটঃ২০১০-২০১১; কুঃ ২০১০ ।

\(Q.1.(i) (d)\) \(\left|\begin{array}{c} \ \ 10 & -5 & 3 \\ \ \ 4 & \ \ 20 & 11 \\ -30 & \ \ 15 & 14 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(5060\)

\(Q.1.(i) (e)\) \(\left|\begin{array}{c} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(4xyz\)
চঃ ২০১৪; কুঃ২০১১; যঃ ২০০৫; কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

\(Q.1.(i) (f)\) \(\left|\begin{array}{c} -a^2 & \ \ ab & \ \ ac \\ \ \ ab & -b^2 & \ \ bc \\ \ \ ac & \ \ bc & -c^2 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(4a^2b^2c^2\)
সিঃ২০০৯,২০০৬; রাঃ২০০৮; চঃ ২০০৪,২০০২; কুঃ২০০১ ।

\(Q.1.(i) (g)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2-bc & b^2-ca & c^2-ab \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(0\)
যঃ২০০৩; রুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(i) (h)\) \(\left|\begin{array}{c} b+c & b-c & c-b \\ a-c & c+a & c-a \\ a-b & b-a & a+b \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(8abc\)

\(Q.1.(i) (i)\) \(\left|\begin{array}{c} 10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60 \\ 70 & 80 & 90 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.1.(i) (j)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b^2+c^2 & c^2+a^2 & a^2+b^2 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \((a-b)(b-c)(c-a)\)

সমাধান করঃ
\(Q.1.(ii) (a)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(a, \ b\)

\(Q.1.(ii) (b)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 4 & x \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 22 & 4 & x \\ 26 & 5 & 8 \\ 30 & 6 & 9 \end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(7\)
বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.1.(ii) (c)\) \(\left|\begin{array}{c} a & a & x \\ c & c & c \\ b & x & b \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(a, \ b\)

\(Q.1.(ii) (d)\) \(\left|\begin{array}{c} x^2 & x & \ \ 2 \\ 2 & 1 & \ \ 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(0, \ 2\)
বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(ii) (e)\) \(\left|\begin{array}{c} x+4 & 3 & 3 \\ 3 & x+4 & 5 \\ 5 & 5 & x+1 \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(-11, \ -1, \ 3\)
বুয়েটঃ২০০১-২০০২ ।

\(Q.1.(ii) (f)\) \(\left|\begin{array}{c} x-3 & 1 & -1 \\ \ \ 1 & x-5 & \ \ 1 \\ -1 & 1 & x-3 \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(2, \ 3, \ 6\)
কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.1.(ii) (g)\) \(\left|\begin{array}{c} x+a & a & a \\ b & x+b & b \\ c & c & x+c \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(0, \ -(a+b+c)\)

\(Q.1.(ii) (h)\) \(\left|\begin{array}{c} 2+x & 3 & 1 \\ 3 & 1+x & 2 \\ 1 & 2 & 3+x \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(-6, \ \pm\sqrt{3}\)

\(Q.1.(ii) (i)\) \(\left|\begin{array}{c} 15-2x & 11 & 10 \\ 11-3x & 17 & 16 \\ 7-x & 14 & 13 \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.1.(ii) (j)\) \(\left|\begin{array}{c} x & a & b \\ a & x & b \\ a & b & x \end{array}\right|=0\)
উত্তরঃ \(a, \ b, \ -(a+b)\)

অধ্যায় \(1B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
বিস্তার না করে প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\left|\begin{array}{c} 2 & a & 6-a \\ 3 & b & 9-b \\ 9 & c & 27-c \end{array}\right|=0\)
দিঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(ii)\) \(\left|\begin{array}{c} xy(x+y) & yz(y+z) & zx(z+x) \\ xy & yz & zx \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=xyz\left|\begin{array}{c} x+y & y+z & z+x \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{array}\right|\)
সিঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\left|\begin{array}{c} 2 & a & b+c \\ 2 & b & c+a \\ 2 & c & a+b \end{array}\right|=0\)
কুঃ২০০৫ ।

\(Q.2.(iv)\) \(\left|\begin{array}{c} x & -a & x+a \\ y & -b & y+b \\ z & -c & z+c \end{array}\right|=0\)
সিঃ২০১৭ ।

\(Q.2.(v)\) \(\left|\begin{array}{c} a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b \\ a+6b & a+7b & a+8b \end{array}\right|=0\)

\(Q.2.(vi)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & x-a & y-b \\ 1 & x_{1}-a & y_{1}-b \\ 1 & x_{2}-a & y_{2}-b \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 1 & x & y \\ 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \end{array}\right|\)

\(Q.2.(vii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{array}\right|=abc\left|\begin{array}{c} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{array}\right|\)
যঃ২০১৩; ঢাঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭,২০০৩; কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.2.(viii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & x_{1}+a & y_{1}+b \\ 1 & x_{2}+a & y_{2}+b \\ 1 & x_{3}+a & y_{3}+b \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{array}\right|\)
সিঃ২০০৭; চঃ ২০১১ ।

বিস্তার না করে প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(ix)\) \(\left|\begin{array}{c} b+c & c+a & a+b \\ q+r & r+p & p+q \\ y+z & z+x & x+y \end{array}\right|=2\left|\begin{array}{c} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array}\right|\)
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.2.(x)\) \(\left|\begin{array}{c} bc & ca & ab \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a}+b & \frac{1}{b}+c & \frac{1}{c}+a \end{array}\right|=0\)
বুয়েটঃ ২০৯৪ ।

\(Q.2.(xi)\) \(\left|\begin{array}{c} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} y & b & q \\ x & a & p \\ z & c & r \end{array}\right|\)

\(Q.2.(xii)\) \(\left|\begin{array}{c} bc & a & a^2 \\ ca & b & b^2 \\ ab & c & c^2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array}\right|\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b \end{array}\right|=0\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\left|\begin{array}{c} 2 & a & 6-a \\ 3 & b & 9-b \\ 9 & c & 27-c \end{array}\right|=0\)

\(Q.2.(xv)\) \(\left|\begin{array}{c} a+12b & a+13b & a+14b \\ a+14b & a+15b & a+16b \\ a+16b & a+17b & a+18b \end{array}\right|=0\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\left|\begin{array}{c} x & -a & x+a \\ y & -b & y+b \\ z & -c & z+c \end{array}\right|=0\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\left|\begin{array}{c} \log{x} & \log{y} & \log{z} \\ \log{2x} & \log{2y} & \log{2z} \\ \log{3x} & \log{3y} & \log{3z} \end{array}\right|=0\)

অধ্যায় \(1B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\left|\begin{array}{c} -a^2 & \ \ ab & \ \ ac \\ \ \ ab & -b^2 & \ \ bc \\ \ \ ac & \ \ bc & -c^2 \end{array}\right|=4a^2b^2c^2\)
সিঃ২০০৯,২০০৬; রাঃ২০০৮; চঃ ২০০৪,২০০২; কুঃ২০০১ ।

\(Q.3.(ii)\) \(\left|\begin{array}{c} x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right|=xyz(x-y)(y-z)(z-x)\)
সিঃ২০০৮; বঃ২০১০; মাঃ ২০১২,২০০৯,২০০৬,২০০৪ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)\)
চঃ২০১০; মাঃ ২০০১।

\(Q.3.(iv)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)
চঃ২০০৫; বঃ ২০১০।

\(Q.3.(v)\) \(\left|\begin{array}{c} a & a & a \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a^4 \end{array}\right|=a^2(a-1)^2(a^2-1)\)
চঃ২০০৩; রাঃ ২০০৫।

\(Q.3.(vi)\) \(\left|\begin{array}{c} a^2 & ab & b^2 \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=(a-b)^3\)
সিঃ ২০০৩।

\(Q.3.(vii)\) \(\left|\begin{array}{c} a+x & b+x & c+x \\ a+y & b+y & c+y \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(x-y)\)
রুয়েটঃ ২০১০-২০১১; বিআইটিঃ ২০০১-২০০২।

\(Q.3.(viii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1+x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & 1+x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & x_{2} & 1+x_{3} \end{array}\right|=1+x_{1}+x_{2}+x_{3}\)
রাঃ ২০১৩; মাঃ২০১১; যঃ ২০০৮,২০০৪।

\(Q.3.(ix)\) \(\left|\begin{array}{c} x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z \end{array}\right|=4xyz\)
চঃ ২০১৪; কুঃ২০১১; যঃ ২০০৫; কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮।

\(Q.3.(x)\) \(\left|\begin{array}{c} a^2 & bc & ca+c^2 \\ a^2+ab & b^2 & ca \\ ab & b^2+bc & c^2 \end{array}\right|=4a^2b^2c^2\)
ঢাঃ ২০১৬;রাঃ২০১৫,২০১৩; যঃ ২০০৮,২০০৪; দিঃ ২০১৫।

\(Q.3.(xi)\) \(\left|\begin{array}{c} 2a & b+c & b-c \\ 2b & a-c & a+c \\ a+b & a & b \end{array}\right|=-2(a+b)(a-b)^2\)

\(Q.3.(xii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & -a & a^2 \\ a^2 & 1 & -a \\ -a & a^2 & 1 \end{array}\right|=(1+a)^2(1-a+a^2)^2\)
রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩।

\(Q.3.(xiii)\) \(\left|\begin{array}{c} a+b+2c & a & b \\ c & b+c+2a & b \\ c & a & c+a+2b \end{array}\right|=2(a+b+c)^3\)
যঃ ২০১৫,২০০৭; দিঃ২০১১,২০০৯; মাঃ২০০৮ ।

\(Q.3.(xiv)\) \(\left|\begin{array}{c} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{array}\right|=(a+b+c)^3\)
ঢাঃ ২০১৩,২০০৮; কুঃ২০১৩,২০০৬; চঃ২০০৮; যঃ২০১১; রাঃ২০০৪; বঃ ২০০২; বাকাসিবোঃ ২০১৫; রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.3.(xv)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2-bc & b^2-ca & c^2-ab \end{array}\right|=0\)
যঃ২০০৩; রুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.3.(xvi)\) \(\left|\begin{array}{c} x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^3-1 & y^3-1 & z^3-1 \end{array}\right|=(xyz-1)(x-y)(y-z)(z-x)\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ২০১৮; দিঃ২০০১৬,২০১৩,২০১০; বঃ২০১৬,২০১৫,২০০৮; সিঃ২০১৫,২০১৪,২০১১,২০০৪; ঢাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৬,২০০৩; রাঃ,যঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(xvii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1+a^2-b^2 & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a^2+b^2 & 2a \\ 2b & -2a & 1-a^2-b^2 \end{array}\right|=(1+a^2+b^2)^3\)
সিঃ২০১৬,২০১৩,২০১০; যঃ, চঃ ২০১৬; রাঃ ২০০৯; দিঃ২০১৪; কুয়েটঃ ২০১১-২০১২,২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.3.(xviii)\) \(\left|\begin{array}{c} (b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1 \end{array}\right|=-2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)
চঃ ২০০৬ ।

প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(xix)\) \(\left|\begin{array}{c} (b+c)^2 & a^2 & bc \\ (c+a)^2 & b^2 & ca \\ (a+b)^2 & c^2 & ab \end{array}\right|=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(b-c)(c-a)(a-b)\)
চঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(xx)\) \(\left|\begin{array}{c} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{array}\right|=4a^2b^2c^2\)
কুঃ ২০১২,২০০৪; বিআইটিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯ ।

\(Q.3.(xxi)\) \(\left|\begin{array}{c} (b+c)^2 & a^2 & a^2 \\ b^2 & (c+a)^2 & b^2 \\ c^2 & c^2 & (a+b)^2 \end{array}\right|=2abc(a+b+c)^3\)
কুঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(xxii)\) \(\left|\begin{array}{c} p & a & b+c \\ p & b & c+a \\ p & c & a+b \end{array}\right|=0\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(\left|\begin{array}{c} 3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b \end{array}\right|=0\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\left|\begin{array}{c} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{array}\right|=abc\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(Q.3.(xxv)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+y \end{array}\right|=xy\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(\left|\begin{array}{c} 0 & b-a & c-a \\ a-b & 0 & c-b \\ a-c & b-c & 0 \end{array}\right|=0\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(\left|\begin{array}{c} (a+b)^2 & ca & bc \\ ca & (b+c)^2 & ab \\ bc & ab & (c+a)^2 \end{array}\right|=2abc(a+b+c)^3\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\left|\begin{array}{c} qr & rp & pq \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \\ \frac{1}{p}+q & \frac{1}{q}+r & \frac{1}{r}+p \end{array}\right|=0\)

\(Q.3.(xxix)\) \(\left|\begin{array}{c} a+b+c & -c & -b \\ -c & a+b+c & -a \\ -b & -a & a+b+c \end{array}\right|=2(b+c)(c+a)(a+b)\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\)
চঃ২০০৫; বঃ ২০১০।

\(Q.3.(xxxi)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 \end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\left|\begin{array}{c} x^2 & yz & zx+z^2 \\ x^2+xy & y^2 & zx \\ xy & y^2+yz & z^2 \end{array}\right|=4x^2y^2z^2\)
ঢাঃ ২০১৬;রাঃ২০১৫,২০১৩; যঃ ২০০৮,২০০৪; দিঃ ২০১৫।

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\left|\begin{array}{c} x+a & a & a \\ b & x+b & b \\ c & c & x+c \end{array}\right|=x^2(x+a+b+c)\)

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\left|\begin{array}{c} -bc & bc+b^2 & bc+c^2 \\ ca+a^2 & -ca & ca+c^2 \\ ab+a^2 & ab+b^2 & -ab \end{array}\right|=(bc+ca+ab)^3\)

\(Q.3.(xxxv)\) \(\left|\begin{array}{c} a^2-bc & b^2-ca & c^2-ab \\ c^2-ab & a^2-bc & b^2-ca \\ b^2-ca & c^2-ab & a^2-bc \end{array}\right|=(a^3+b^3+c^3-3abc)^2\)

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\left|\begin{array}{c} q+r & p-q & p \\ r+p & q-r & q \\ p+q & r-p & r \end{array}\right|=3pqr-p^3-q^3-r^3\)

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & a & a^2 \\ a^2 & 1 & a \\ a & a^2 & 1 \end{array}\right|=(a^3-1)^3\)

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\left|\begin{array}{c} \ln{x} & \ln{y} & \ln{z} \\ \ln{2x} & \ln{2y} & \ln{2z} \\ \ln{3x} & \ln{3y} & \ln{3z} \end{array}\right|=0\)
চঃ২০১৩ ।

\(Q.3.(xxxix)\) \(\left|\begin{array}{c} x & a & b+c \\ x & b & c+a \\ x & c & a+b \end{array}\right|=0\)

অধ্যায় \(1B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(x+y+z=1, \ lx+my+nz=k, \ l^2x+m^2y+n^2z=k^2\) সমীকরণগুলির \(x, \ y\) এবং \(z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে দেখাও যে, \(det(A)=(l-m)(m-n)(n-l)\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.4.(ii)\) \(\left|\begin{array}{c} \log{x} & \log{y} & \log{z} \\ \log{2x} & \log{2y} & \log{2z} \\ \log{3x} & \log{3y} & \log{3z} \end{array}\right|=0\)
বঃ২০১৩; রুয়েটঃ২০১১-২০১২; বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০; কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বিআইটিঃ ২০০০-২০০১ ।

\(Q.4.(iii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & \cos{2\alpha} & \sin{\alpha} \\ 1 & \cos{2\beta} & \sin{\beta} \\ 1 & \cos{2\gamma} & \sin{\gamma} \end{array}\right|=2(\sin{\alpha}-\sin{\beta})(\sin{\beta}-\sin{\gamma})(\sin{\gamma}-\sin{\alpha})\)
বঃ২০০৩ ।

\(Q.4.(iv)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ \sin{\alpha} & \sin{\beta} & \sin{\gamma} \\ \cos{\alpha} & \cos{\beta} & \cos{\gamma} \end{array}\right|=-4\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\sin{\frac{\beta-\gamma}{2}}\sin{\frac{\gamma-\alpha}{2}}\)
বিআইটিঃ ২০০২-২০০৩ ।

\(Q.4.(v)\) \(x, \ y, \ z\) অসমান এবং \(\left|\begin{array}{c} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{array}\right|=0\) হয়, তাহলে দেখাও যে \(xyz+1=0\)

\(Q.4.(vi)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ \sin{A} & \sin{B} & \sin{C} \\ \cos{A} & \cos{B} & \cos{C} \end{array}\right|=-4\sin{\frac{A-B}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}\)
বিআইটিঃ ২০০২-২০০৩ ।

\(Q.4.(vii)\) \(\left|\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\) নির্ণায়কের \(a_{1}, \ b_{1}, \ c_{1}\) এর সহগুণক যথাক্রমে \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) হলে দেখাও যে, \(a_{2}A_{1}+b_{2}B_{1}+c_{2}C_{1}=0\)
কুঃ ২০১৪,২০০৮; রাঃ ২০১৪ ।

\(Q.4.(viii)\) \(\left|\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \end{array}\right|=0\) সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a, \ b\)

নির্ণায়কের সংজ্ঞা (Definition of Determinants) নির্ণায়কের সারি এবং কলাম (Row and Column of Determinants)নির্ণায়কের বিস্তৃতি এবং মাণ (Expansion of Determinants) নির্ণায়কের পদ (Terms of Determinants) নির্ণায়কের মূখ্য কর্ণ (Leading diagonal of Determinants) নির্ণায়কের মাধ্যমিক কর্ণ (Secondary diagonal of Determinants)নির্ণায়কের অনুরাশি (Minor of Determinants)নির্ণায়কের সহগুণক (Cofactor of Determinants)নির্ণায়কের মাণ (Value of Determinants) নির্ণায়কের ভুক্তি ও সহগুণক সম্পর্কিত আলোচনা নির্ণায়কের ধর্মাবলি (Properties of Determinants) কোনো নির্ণায়কের একটি সারির (বা কলামের) সকল ভুক্তি শূন্য হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবে। কোনো নির্ণায়কের দুইটি সারি (বা কলাম) একই হলে নির্ণায়কটির মাণ শূন্য হবেকোনো নির্ণায়কের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে স্থানান্তর করলে নির্ণায়কের মাণ অপরিবর্তিত থাকে অধ্যায় \(1B\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(1B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Related Post

Post List

Multiple Choise

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Physical chemistry 11 and 12 standard