\((i)\)
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স,
\(A=\begin{bmatrix}5 & 4 \\7 & 10 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c}5 & 4 \\7 & 10 \end{array}\right|\)
\(=50-28\)
\(=22\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
সুতরাং, ইহা বিপরীত যোগ্য।
\((ii)\)
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স,
\(B=\begin{bmatrix}4 & 8 \\5 & 10 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(B)=\left|\begin{array}{c}4 & 8 \\5 & 10 \end{array}\right|\)
\(=40-40\)
\(=0\)
\(\therefore A\) ব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-12\)
\(=0\)
ম্যাট্রিক্স,
সুতরাং, ইহা বিপরীত যোগ্য নয়।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স,
\(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c}2 & 3 \\1 & 4 \end{array}\right|\)
\(=8-3\)
\(=5\)
\(\therefore det(A)=5\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(|A|\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}4=(-1)^{2}4=4\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}1=(-1)^{3}1=-1\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}3=(-1)^{3}3=-3\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}2=(-1)^{4}2=2\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} \\A_{2,1} & A_{2,2} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 4 & -3 \\-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=4, \ A_{2,1}=-3\)
এবং \(A_{1,2}=-1, \ A_{2,2}=2\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} \ \ 4 & -3 \\-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=5\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 4 & -3 \\-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)

\(=\begin{bmatrix} \ \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \ \ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \ \ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

ধরি,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & -1 & -1 \\1 & -2 & \ \ 1 \\1 & -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -1 & -1 \\1 & -2 & \ \ 1 \\1 & -1 & \ \ 2 \end{array}\right|\)
\(=2\{-2\times2-1\times(-1)\}+1\{1\times2-1\times1\}-1\{1\times(-1)+2\times1\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=2\{-4+1\}+\{2-1\}-\{-1+2\}\)
\(=2\{-3\}+1-1\)
\(=-6\)
\(\therefore det(A)=-6\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(|A|\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} -2 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(-4+1)\)
\(=-3\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 1 \\1 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(2-1)\)
\(=(-1)(1)\)
\(=-1\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-1+2)\)
\(=1\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -1 & -1 \\-1 & \ \ 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-2-1)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\1 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(4+1)\)
\(=5\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-2+1)\)
\(=(-1)(-1)\)
\(=1\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -1 & -1 \\ -2 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-1-2)\)
\(=-3\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 1 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(2+1)\)
\(=(-1)3\)
\(=-3\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(-4+1)\)
\(=-3\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -3 & 3 & -3 \\-1 & 5 & -3 \\ \ \ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-3, \ A_{2,1}=3, \ A_{3,1}=-3\)
\(A_{1,2}=-1, \ A_{2,2}=5, \ A_{3,2}=-3\)
এবং \(A_{1,3}=1, \ A_{2,3}=1, \ A_{3,3}=-3\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-6}\begin{bmatrix} -3 & 3 & -3 \\-1 & 5 & -3 \\ \ \ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-6\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} -3 & 3 & -3 \\-1 & 5 & -3 \\ \ \ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}\)

\(=-\frac{1}{6}\begin{bmatrix} -3 & 3 & -3 \\-1 & 5 & -3 \\ \ \ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} -3\times-1 & 3\times-1 & -3\times-1 \\-1\times-1 & 5\times-1 & -3\times-1 \\ \ \ 1\times-1 & 1\times-1 & -3\times-1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 3 & -3 & 3 \\ \ \ 1 & -5 & 3 \\-1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\)

\((a)\)
প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(x+4y=11\)
\(4x-y=10\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 4 \\4 & -1 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(=-1-16\)
\(=-17\)
\(\therefore D=-17\ne{0}\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 11 & \ \ 4 \\10 & -1 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=-11-40\)
\(=-51\)
\(\therefore D_{x}=-51\)
এবং \(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 1 & 11 \\4 & 10 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=10-44\)
\(=-34\)
\(\therefore D_{y}=-34\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{-51}{-17}\) ➜Note \(\because D_{x}=-51, \ D=-17\)

\(\therefore x=3\)
এবং \(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{-34}{-17}\) ➜Note \(\because D_{y}=-34, \ D=-17\)

\(\therefore y=2\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(x=3, \ y=2\)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(2x+y-z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 2 & 1 & -1 \\3 & 2 & \ \ 2 \\5 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y, \ z\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(c_{1}^{\prime}=c_{1}+c_{3}\times2\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{3}\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\3+4 & 2+2 & 2 \\5+6 & 4+3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\7 & 4 & 2 \\11 & 7 & 3 \end{array}\right|\)
\(=-1\left|\begin{array}{c} 7 & 4 \\11 & 7 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির শেষ ভুক্তি \(-1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=-1(49-44)\)
\(=-1(5)\)
\(=-5\)
\(\therefore D=-5\ne{0}\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 10 & 1 & -1 \\1 & 2 & \ \ 2 \\4 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(c_{1}^{\prime}=c_{1}+c_{3}\times10\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{3}\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\1+20 & 2+2 & \ \ 2 \\4+30 & 4+3 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\21 & 4 & \ \ 2 \\34 & 7 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=-1\left|\begin{array}{c} 21 & 4 \\34 & 7 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির শেষ ভুক্তি \(-1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=-1(147-136)\)
\(=-1(11)\)
\(=-11\)
\(\therefore D_{x}=-11\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 2 & 10 & -1 \\3 & 1 & \ \ 2 \\5 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(c_{1}^{\prime}=c_{1}+c_{3}\times2\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{3}\times10\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\3+4 & 1+20 & \ \ 2 \\5+6 & 4+30 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 0 & 0 & -1 \\7 & 21 & \ \ 2 \\11 & 34 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=-1\left|\begin{array}{c} 7 & 21 \\11 & 34 \end{array}\right|\)
\(=-1(238-231)\)
\(=-1(7)\)
\(=-7\)
\(\therefore D_{y}=-7\)
এবং \(D_{z}=\left|\begin{array}{c} 2 & 1 & 10 \\3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 4 \end{array}\right|\) ➜Note \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=2\{2\times4-1\times4\}-1\{3\times4-1\times5\}+10\{3\times4-2\times5\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=2\{8-4\}-1\{12-5\}+10\{12-10\}\)
\(=2\{4\}-1\{7\}+10\{2\}\)
\(=8-7+20\)
\(=28-7\)
\(=21\)
\(\therefore D_{z}=21\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{-11}{-5}\) ➜Note \(\because D_{x}=-11, \ D=-5\)

\(\therefore x=\frac{11}{5}\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{-7}{-11}\) ➜Note \(\because D_{y}=-7, \ D=-5\)

\(\therefore y=\frac{7}{11}\)
এবং \(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{21}{-5}\) ➜Note \(\because D_{z}=21, \ D=-5\)

\(\therefore z=-\frac{21}{5}\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(x=\frac{11}{5}, \ y=\frac{7}{11}, \ z=-\frac{21}{11}\)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(2x+y-2z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 2 & 1 & -2 \\3 & 2 & \ \ 2 \\5 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y, \ z\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(=2\left(2\times3-2\times4\right)-1\left(3\times3-2\times5\right)-2\left(3\times4-2\times5\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=2\left(6-8\right)-\left(9-10\right)-2\left(12-10\right)\)
\(=2\left(-2\right)-\left(-1\right)-2\left(2\right)\)
\(=-4+1-4\)
\(=-8+1\)
\(=-7\)
\(\therefore D=-7\ne{0}\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 10 & 1 & -2 \\1 & 2 & \ \ 2 \\4 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=10\left(2\times3-2\times4\right)-1\left(1\times3-2\times4\right)-2\left(1\times4-2\times4\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=10\left(6-8\right)-\left(3-8\right)-2\left(4-8\right)\)
\(=10\left(-2\right)-\left(-5\right)-2\left(-4\right)\)
\(=-20+5+8\)
\(=-20+13\)
\(=-7\)
\(\therefore D_{x}=-7\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 2 & 10 & -2 \\3 & 1 & \ \ 2 \\5 & 4 & \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=2\left(1\times3-2\times4\right)-10\left(3\times3-2\times5\right)-2\left(3\times4-1\times5\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=2\left(3-8\right)-10\left(9-10\right)-2\left(12-5\right)\)
\(=2\left(-5\right)-10\left(-1\right)-2\left(7\right)\)
\(=-10+10-14\)
\(=-14\)
\(\therefore D_{y}=-14\)
এবং \(D_{z}=\left|\begin{array}{c} 2 & 1 & 10 \\3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 4 \end{array}\right|\) ➜Note \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=2\{2\times4-1\times4\}-1\{3\times4-1\times5\}+10\{3\times4-2\times5\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=2\{8-4\}-1\{12-5\}+10\{12-10\}\)
\(=2\{4\}-1\{7\}+10\{2\}\)
\(=8-7+20\)
\(=28-7\)
\(=21\)
\(\therefore D_{z}=21\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{-7}{-7}\) ➜Note \(\because D_{x}=-7, \ D=-7\)

\(\therefore x=1\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{-14}{-7}\) ➜Note \(\because D_{y}=-14, \ D=-7\)

\(\therefore y=2\)
এবং \(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{21}{-7}\) ➜Note \(\because D_{z}=21, \ D=-7\)

\(\therefore z=-3\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(x=1, \ y=2, \ z=-3\)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(x-y+2z=1\)
\(2x+6y-z=2\)
\(x+3y-3z=5\)
সমীকরণ জোটের ম্যাট্রিক্স আকার,
\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & \ \ 2 \\2 & \ \ 6 & -1 \\1 & \ \ 3 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \ \ 2 \\2 & \ \ 6 & -1 \\1 & \ \ 3 & -3 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} ......(1)\)
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \ \ 2 \\2 & \ \ 6 & -1 \\1 & \ \ 3 & -3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} 1 & -1 & \ \ 2 \\2 & \ \ 6 & -1 \\1 & \ \ 3 & -3 \end{array}\right|\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{1}\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}+c_{2}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & \ \ 0 \\2 & 6+2 & -1+12 \\1 & 3+1 & -3+6 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\2 & 8 & 11 \\1 & 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 8 & 11 \\ 4 & 3 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=24-44\)
\(=-20\)
\(\therefore det(A)=-20\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 6 & -1 \\3 & -3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(-18+3)\)
\(=-15\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\1 & -3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-6+1)\)
\(=(-1)(-5)\)
\(=5\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 2 & 6 \\1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(6-6)\)
\(=0\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -1 & \ \ 2 \\ \ \ 3 & -3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(3-6)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 2 \\1 & -3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-3-2)\)
\(=-5\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 1 & -1 \\1 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(3+1)\)
\(=(-1)(4)\)
\(=-4\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -1 & \ \ 2 \\ \ \ 6 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(1-12)\)
\(=-11\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-1-4)\)
\(=(-1)(-5)\)
\(=5\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & -1 \\ 2 & \ \ 6 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(6+2)\)
\(=8\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -15 & 3 & -11 \\5 & -5 & 5 \\0 & -4 & 8 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-15, \ A_{2,1}=3, \ A_{3,1}=-11\)
\(A_{1,2}=5, \ A_{2,2}=-5, \ A_{3,2}=5\)
এবং \(A_{1,3}=0, \ A_{2,3}=-4, \ A_{3,3}=8\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-20}\begin{bmatrix} -15 & 3 & -11 \\5 & -5 & 5 \\0 & -4 & 8 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-20\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)

\(=-\frac{1}{20}\begin{bmatrix} -15 & 3 & -11 \\5 & -5 & 5 \\0 & -4 & 8 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \ \ 2 \\2 & \ \ 6 & -1 \\1 & \ \ 3 & -3 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{20}\begin{bmatrix} -15 & 3 & -11 \\5 & -5 & 5 \\0 & -4 & 8 \end{bmatrix}\)
\((1)\) হতে,
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{20}\begin{bmatrix} -15 & 3 & -11 \\5 & -5 & 5 \\0 & -4 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{20}\begin{bmatrix} -15+6-55 \\ 5-10+25 \\ 0-8+40 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{20}\begin{bmatrix} -64 \\ 20 \\ 32 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{64}{20} \\ -\frac{20}{20} \\ -\frac{32}{20} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{16}{5} \\ -1 \\ -\frac{8}{5} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow x=\frac{16}{5}, \ y=-1, \ z=-\frac{8}{5}\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(x=\frac{16}{5}, \ y=-1, \ z=-\frac{8}{5}\)

\((a)\) দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(A\times{C}=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 2+20+8 \\ 8+0+12 \\ 4+15+8 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 30 \\ 20 \\ 27 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A\times{C}=\begin{bmatrix} 30 \\ 20 \\ 27 \end{bmatrix}\)
\((b)\) দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\)
\(det(A)=\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times4\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\4 & 0-16 & 3-8 \\2 & 3-8 & 2-4 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \\4 & -16 & -5 \\2 & -5 & -2 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -16 & -5 \\ -5 & -2 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=32-25\)
\(=7\)
\(\therefore det(A)=7\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 0 & 3 \\3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(0-9)\)
\(=-9\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 4 & 3 \\2 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(8-6)\)
\(=(-1)(2)\)
\(=-2\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 4 & 0 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(12-0)\)
\(=12\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(8-6)\)
\(=(-1)(2)\)
\(=-2\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\2 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(2-4)\)
\(=-2\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(3-8)\)
\(=(-1)(-5)\)
\(=5\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(12-0)\)
\(=12\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(3-8)\)
\(=(-1)(-5)\)
\(=5\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\ 4 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(0-16)\)
\(=-16\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\-2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-9, \ A_{2,1}=-2, \ A_{3,1}=12\)
\(A_{1,2}=-2, \ A_{2,2}=-2, \ A_{3,2}=5\)
এবং \(A_{1,3}=12, \ A_{2,3}=5, \ A_{3,3}=-16\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\-2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=7\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\-2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)

\(=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\-2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\-2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)
\((c)\) দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\) এবং \(A\times{B}=C\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}x+4y+2z \\4x+3z \\2x+3y+2z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x+4y+2z=2 \\ 4x+3z=5 \\ 2x+3y+2z=4 \end{cases}\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y, \ z\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times4\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\4 & 0-16 & 3-8 \\2 & 3-8 & 2-4 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \\4 & -16 & -5 \\2 & -5 & -2 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -16 & -5 \\ -5 & -2 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=32-25\)
\(=7\)
\(\therefore D=7\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 2 & 4 & 2 \\5 & 0 & 3 \\4 & 3 & 2 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times2\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\5 & 0-10 & 3-5 \\4 & 3-8 & 2-4 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 2 & \ \ 0 & \ \ 0 \\5 & -10 & -2 \\4 & -5 & -2 \end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{c} -10 & -2 \\-5 & -2 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(2\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=2(20-10)\)
\(=2(10)\)
\(=20\)
\(\therefore D_{x}=20\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\4 & 5 & 3 \\2 & 4 & 2 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times2\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\4 & 5-8 & 3-5 \\2 & 4-4 & 2-4 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \\4 & -3 & -2 \\2 & \ \ 0 & -2 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -3 & -2 \\ \ \ 0 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(6+0)\)
\(=6\)
\(\therefore D_{y}=6\)
এবং \(D_{z}=\left|\begin{array}{c} 1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 5 \\2 & 3 & 4 \end{array}\right|\) ➜Note \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times4\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\4 & 0-16 & 5-8 \\2 & 3-8 & 4-4 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \\4 & -16 & -3 \\2 & -5 & \ \ 0 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -16 & -3 \\ -5 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(0-15)\)
\(=-15\)
\(\therefore D_{z}=-15\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{20}{7}\) ➜Note \(\because D_{x}=20, \ D=7\)

\(\therefore x=\frac{20}{7}\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{6}{7}\) ➜Note \(\because D_{y}=6, \ D=7\)

\(\therefore y=\frac{6}{7}\)
এবং \(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{-15}{7}\) ➜Note \(\because D_{z}=-15, \ D=7\)

\(\therefore z=-\frac{15}{7}\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(x=\frac{20}{7}, \ y=\frac{6}{7}, \ z=-\frac{15}{7}\)

দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\3 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\)
\(det(A)=\left|\begin{array}{c}1 & 2 & 4 \\3 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3 \end{array}\right|\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1}\times2\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times4\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\3 & 2-6 & 1-12 \\2 & 1-4 & 3-8 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 0 & \ \ 0 \\3 & -4 & -11 \\2 & -3 & -5 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -4 & -11 \\-3 & -5 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=20-33\)
\(=-13\)
\(\therefore det(A)=-13\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 2 & 1 \\1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(6-1)\)
\(=5\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 3 & 1 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(9-2)\)
\(=(-1)(7)\)
\(=-7\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 3 & 2 \\2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3-4)\)
\(=-1\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(6-4)\)
\(=(-1)(2)\)
\(=-2\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3-8)\)
\(=-5\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(1-4)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(2-8)\)
\(=-6\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(1-12)\)
\(=(-1)(-11)\)
\(=11\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(2-6)\)
\(=-4\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 5 & -2 & -6 \\-7 & -5 & \ \ 11 \\ -1 & \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=5, \ A_{2,1}=-2, \ A_{3,1}=-6\)
\(A_{1,2}=-7, \ A_{2,2}=-5, \ A_{3,2}=11\)
এবং \(A_{1,3}=-1, \ A_{2,3}=3, \ A_{3,3}=-4\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-13}\begin{bmatrix} \ \ 5 & -2 & -6 \\-7 & -5 & \ \ 11 \\ -1 & \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-13\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 5 & -2 & -6 \\-7 & -5 & \ \ 11 \\ -1 & \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)

\(=\begin{bmatrix} \ \ 5\times\frac{1}{-13} & -2\times\frac{1}{-13} & -6\times\frac{1}{-13} \\-7\times\frac{1}{-13} & -5\times\frac{1}{-13} & \ \ 11\times\frac{1}{-13} \\ -1\times\frac{1}{-13} & \ \ 3\times\frac{1}{-13} & -4\times\frac{1}{-13} \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{13} & \ \ \frac{2}{13} & \ \ \frac{6}{13} \\ \ \ \frac{7}{13} & \ \ \frac{5}{13} & -\frac{11}{13} \\ \ \ \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} & \ \ \frac{4}{13} \end{bmatrix}\)

দেওয়া আছে,
\(B=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \\2 & 6 & 4 \\1 & 4 & 6 \end{bmatrix}\)
\(det(B)=\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 6 \\2 & 6 & 4 \\1 & 4 & 6 \end{array}\right|\)
\(=0\) ➜Note \(\left|\begin{array}{c}1 & 4 & 6 \\2 & 6 & 4 \\1 & 4 & 6 \end{array}\right|=0\)
যেহেতু, নির্ণায়কটির দুইটি সারি অনুরূপ।

\(\therefore det(B)=0\)
\(\therefore B\) ব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-12\)
\(=0\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore B\) বিপরীত যোগ্য নয়।

দেওয়া আছে,
\(C=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
\(det(C)=\left|\begin{array}{c} -1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \end{array}\right|\)
\(c_{2}^{\prime}=c_{2}+c_{1}\times2\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1}\times3\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c} -1 & \ \ 0 & 0 \\ \ \ 2 & \ \ 1+4 & \ \ 0-6 \\ \ \ 4 & -2+8 & \ \ 5-12 \end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c} -1 & 0 & \ \ 0 \\ \ \ 2 & 5 & -6 \\ \ \ 4 & 6 & -7 \end{array}\right|\)
\(=-1\left|\begin{array}{c} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{array}\right|\) ➜Note প্রথম সারির প্রথম ভুক্তি \(-1\) এর সহগুণক নিয়ে,

\(=-(-35+36)\)
\(=-1\)
\(\therefore det(C)=-1\ne{0}\)
\(\therefore C\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore C\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(C)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=C_{i,j}\)
তাহলে,
\(C_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 0 \\-2 & 5 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(5+0)\)
\(=5\)
\(C_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 2 & 0 \\4 & 5 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(10-0)\)
\(=(-1)(10)\)
\(=-10\)
\(C_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 2 & \ \ 1 \\4 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-4-4)\)
\(=-8\)
\(C_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -3 \\ -2 & 5 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(10-6)\)
\(=(-1)(4)\)
\(=-4\)
\(C_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} -1 & -3 \\ \ \ 4 & \ \ 5 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-5+12)\)
\(=7\)
\(C_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} -1 & \ \ 2 \\ \ \ 4 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(2-8)\)
\(=(-1)(-6)\)
\(=6\)
\(C_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -3 \\ 1 & \ \ 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0+3)\)
\(=3\)
\(C_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} -1 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-0+6)\)
\(=(-1)(6)\)
\(=-6\)
\(C_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} -1 & 2 \\ \ \ 2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(-1-4)\)
\(=-5\)
\(adj(C)=\begin{bmatrix}C_{1,1} & C_{1,2} & C_{1,3} \\C_{2,1} & C_{2,2} & C_{2,3} \\C_{3,1} & C_{3,2} & C_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}C_{1,1} & C_{2,1} & C_{3,1} \\C_{1,2} & C_{2,2} & C_{3,2} \\C_{1,3} & C_{2,3} & C_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(C)=\begin{bmatrix} \ \ 5 & -4 & \ \ 3 \\-10 & \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ 6 & -5 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because C_{1,1}=5, \ C_{2,1}=-4, \ C_{3,1}=3\)
\(C_{1,2}=-10, \ C_{2,2}=7, \ C_{3,2}=-6\)
এবং \(C_{1,3}=-8, \ C_{2,3}=6, \ C_{3,3}=-5\)

এখন,
\(C^{-1}=\frac{adj(C)}{det(C)}\)
\(=\frac{1}{det(C)}adj(C)\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} \ \ 5 & -4 & \ \ 3 \\-10 & \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ 6 & -5 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(C)=-1\)
এবং \(adj(C)=\begin{bmatrix} \ \ 5 & -4 & \ \ 3 \\-10 & \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ 6 & -5 \end{bmatrix}\)

\(=-1\begin{bmatrix} \ \ 5\times-1 & -4\times-1 & \ \ 3\times-1 \\-10\times-1 & \ \ 7\times-1 & -6\times-1 \\ -8\times-1 & \ \ 6\times-1 & -5\times-1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} -5 & \ \ 4 & -3 \\ \ \ 10 & -7 & \ \ 6 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
\(\therefore C^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & \ \ 4 & -3 \\ \ \ 10 & -7 & \ \ 6 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

দেওয়া আছে,
\(\begin{bmatrix}3 & 1 & 9 \\2x & 2 & 6 \\x^2 & 3 & 3 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-12\)
\(=0\)

\(\therefore \left|\begin{array}{c} 3 & 1 & 9 \\2x & 2 & 6 \\x^2 & 3 & 3 \end{array}\right|=0\) ➜Note ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শুন্য হয়।

\(\Rightarrow 3\left(2\times3-6\times3\right)-1\left(2x\times3-6\times{x^2}\right)+9\left(2x\times3-2\times{x^2}\right)=0\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(\Rightarrow 3\left(6-18\right)-\left(6x-6x^2\right)+9\left(6x-2x^2\right)=0\)
\(\Rightarrow 3\left(-12\right)-6x+6x^2+54x-18x^2=0\)
\(\Rightarrow -36+48x-12x^2=0\)
\(\Rightarrow -12(x^2-4x+3)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+3=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-x+3=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, \ x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, \ x=1\)
\(\therefore x=1, \ 3\)

দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -4 & 1 \\-2 & \ \ 1 & 0 \\-1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 0 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(1+0)\)
\(=1\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} -2 & 0 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-2+0)\)
\(=(-1)(-2)\)
\(=2\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} -2 & \ \ 1 \\-1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(2+1)\)
\(=3\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -4 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+2)\)
\(=(-1)(-2)\)
\(=2\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(1+2)\)
\(=3\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & -4 \\ -1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-1-4)\)
\(=(-1)(-5)\)
\(=5\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -4 & 2 \\ \ \ 1 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-2)\)
\(=-2\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0+4)\)
\(=(-1)(4)\)
\(=-4\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & -4 \\ -2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(1-8)\)
\(=-7\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 3 & -4 \\ 3 & 5 & -7 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=1, \ A_{2,1}=2, \ A_{3,1}=-2\)
\(A_{1,2}=2, \ A_{2,2}=3, \ A_{3,2}=-4\)
এবং \(A_{1,3}=3, \ A_{2,3}=5, \ A_{3,3}=-7\)

\(\therefore A\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স \(=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 3 & -4 \\ 3 & 5 & -7 \end{bmatrix}\)

দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
\(det(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=3\{1\times1-0\times-1\}+4\{-2\times1-0\times-1\}+2\{-2\times(-1)-1\times-1\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=3\{1+0\}+4\{-2+0\}+2\{2+1\}\)
\(=3-8+2\{3\}\)
\(=-5+6\)
\(=1\)
\(\therefore det(A)=1\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 0 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(1+0)\)
\(=1\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} -2 & 0 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-2+0)\)
\(=(-1)(-2)\)
\(=2\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} -2 & \ \ 1 \\-1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(2+1)\)
\(=3\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} -4 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+2)\)
\(=(-1)(-2)\)
\(=2\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3+2)\)
\(=5\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-3-4)\)
\(=(-1)(-7)\)
\(=7\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -4 & 2 \\ \ \ 1 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-2)\)
\(=-2\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0+4)\)
\(=(-1)(4)\)
\(=-4\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & -4 \\ -2 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(3-8)\)
\(=-5\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=1, \ A_{2,1}=2, \ A_{3,1}=-2\)
\(A_{1,2}=2, \ A_{2,2}=5, \ A_{3,2}=-4\)
এবং \(A_{1,3}=3, \ A_{2,3}=7, \ A_{3,3}=-5\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=1\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)

\(=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} \ \ x & 2 & y \\ \ \ 1 & 2 & 2 \\-1 & z & 2 \end{bmatrix}\) এবং \(A+I=C\)
এখন,
\(A+I\)

\(=\)		\( \ \ \ 3+1\)	\(2+0\)	\(-1+0\)
		\( \ \ \ 1+0\)	\(1+1\)	\( \ \ \ 2+0\)
		\(-1+0\)	\(3+0\)	\( \ \ \ 1+1\)

\(=\)		\( \ \ \ 4\)	\(2\)	\(-1\)
		\( \ \ \ 1\)	\(2\)	\( \ \ \ 2\)
		\(-1\)	\(3\)	\( \ \ \ 2\)

\(\therefore A+I=\begin{bmatrix} \ \ 4 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 2 & \ \ 2 \\ -1 & 3 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore \begin{bmatrix} \ \ 4 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 2 & \ \ 2 \\ -1 & 3 & \ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ x & 2 & y \\ \ \ 1 & 2 & 2 \\ -1 & z & 2 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A+I=C\)

\(\Rightarrow x=4, \ y=-1, \ z=3\) ➜Note উভয় ম্যাট্রিক্সের স্ব স্ব ভুক্তির সমতা নিয়ে,

\(\therefore (x, \ y, \ z)=(4, \ -1, \ 3)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)
এখন,

\(=\)		\( \ \ \ 3\times3+2\times1-1\times-1\)	\( \ \ \ 3\times2+2\times1-1\times3\)	\( \ \ \ 3\times-1+2\times2-1\times1\)
		\( \ \ \ 1\times3+1\times1+2\times-1\)	\( \ \ \ 1\times2+1\times1+2\times3\)	\( \ \ \ 1\times-1+1\times2+2\times1\)
		\(-1\times3+3\times1+1\times-1\)	\(-1\times2+3\times1+1\times3\)	\(-1\times-1+3\times2+1\times1\)

\(=\)		\( \ \ \ 9+2+1\)	\( \ \ \ 6+2-3\)	\(-3+4-1\)
		\( \ \ \ 3+1-2\)	\( \ \ \ 2+1+6\)	\(-1+2+2\)
		\(-3+3-1\)	\(-2+3+3\)	\( \ \ \ 1+6+1\)

\(=\)		\( \ \ \ 12\)	\(5\)	\(0\)
		\( \ \ \ 2\)	\(9\)	\(3\)
		\(-1\)	\(4\)	\(8\)

\(\therefore A^2=\begin{bmatrix} \ \ 12 & 5 & 0 \\ \ \ 2 & 9 & 3 \\-1 & 4 & 8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2A^2=2\begin{bmatrix} \ \ 12 & 5 & 0 \\ \ \ 2 & 9 & 3 \\-1 & 4 & 8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2A^2=\begin{bmatrix} \ \ 12\times2 & 5\times2 & 0\times2 \\ \ \ 2\times2 & 9\times2 & 3\times2 \\-1\times2 & 4\times2 & 8\times2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore 2A^2=\begin{bmatrix} \ \ 24 & 10 & 0 \\ \ \ 4 & 18 & 6 \\-2 & 8 & 16 \end{bmatrix}\)
এখন,
\(|2A^2|=\left|\begin{array}{c} \ \ 24 & 10 & 0 \\ \ \ 4 & 18 & 6 \\-2 & 8 & 16 \end{array}\right|\)
\(=2\times2\times2\left|\begin{array}{c} \ \ 12 & 5 & 0 \\ \ \ 2 & 9 & 3 \\-1 & 4 & 8 \end{array}\right|\) ➜Note প্রত্যেক কলাম হতে \(2\)
\(Common\) নিয়ে,

\(=8\left|\begin{array}{c} \ \ 12 & 5 & 0 \\ \ \ 2 & 9 & 3 \\-1 & 4 & 8 \end{array}\right|\)
\(=8\{12(9\times8-3\times4)-5(2\times8-3\times-1)+0\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=8\{12(72-12)-5(16+3)\}\)
\(=8\{12(60)-5(19)\}\)
\(=8\{720-95\}\)
\(=8\{625\}\)
\(=5000\)
\(\therefore |2A^2|=5000\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) এবং \(AB=I\)
\(\Rightarrow A^{-1}AB=A^{-1}I\) ➜Note \(AB=I\) এর উভয় পার্শে
\(A^{-1}\) গুণ করে,

\(\Rightarrow IB=A^{-1}I\) ➜Note \(\because A^{-1}A=I\)

\(\therefore B=A^{-1} .......(1)\)
এখন,
\(det(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=3\{1\times1-2\times3\}-2\{1\times1-2\times-1\}-1\{1\times3-1\times-1\}\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=3\{1-6\}-2\{1+2\}-\{3+1\}\)
\(=3\{-5\}-2\{3\}-4\)
\(=-15-6-4\)
\(=-25\)
\(\therefore det(A)=-25\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(1-6)\)
\(=-5\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 2 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(1+2)\)
\(=(-1)(3)\)
\(=-3\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 1 \\-1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3+1)\)
\(=4\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 3 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(2+3)\)
\(=(-1)(5)\)
\(=-5\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & -1 \\ -1 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3-1)\)
\(=2\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(9+2)\)
\(=(-1)(11)\)
\(=-11\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 2 & -1 \\ 3 & \ \ 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(2+3)\)
\(=5\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 3 & -1 \\ 1 & \ \ 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(6+1)\)
\(=(-1)(7)\)
\(=-7\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(3-2)\)
\(=1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\-3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-5, \ A_{2,1}=-5, \ A_{3,1}=5\)
\(A_{1,2}=-3, \ A_{2,2}=2, \ A_{3,2}=-7\)
এবং \(A_{1,3}=4, \ A_{2,3}=-11, \ A_{3,3}=1\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-25}\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\-3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-25\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\-3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

\(=-\frac{1}{25}\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\-3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=-\frac{1}{25}\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\-3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\) এবং \(AX=B\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix} ......(1)\)
আবার,
\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=0-1\left(1\times1-3\times3\right)+2\left(1\times1-2\times3\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=-\left(1-9\right)+2\left(1-6\right)\)
\(=-\left(-8\right)+2\left(-5\right)\)
\(=8-10\)
\(=-2\)
\(\therefore det(A)=-2\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(2-3)\)
\(=-1\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(1-9)\)
\(=(-1)(-8)\)
\(=8\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(1-6)\)
\(=-5\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(1-2)\)
\(=(-1)(-1)\)
\(=1\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 0 & 2 \\3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(0-6)\)
\(=-6\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 0 & 1 \\3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-3)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3-4)\)
\(=-1\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(0-2)\)
\(=(-1)(-2)\)
\(=2\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(0-1)\)
\(=-1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-1, \ A_{2,1}=1, \ A_{3,1}=-1\)
\(A_{1,2}=8, \ A_{2,2}=-6, \ A_{3,2}=2\)
এবং \(A_{1,3}=-5, \ A_{2,3}=3, \ A_{3,3}=-1\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix} -10 & -5 & \ \ 5 \\ \ \ 3 & \ \ 3 & -6 \\ \ \ 11 & \ \ 1 & -7 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-2\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)

\(=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
\((1)\) হতে,
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2+1-4 \\ -16-6+8 \\ 10+3-4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3-4 \\ -22+8 \\ 13-4 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 \\ -14 \\ 9 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\times-\frac{1}{2} \\ -14\times-\frac{1}{2} \\ 9\times-\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 7 \\ -\frac{9}{2} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}, \ y=7, \ z=-\frac{9}{2}\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \(\left(\frac{1}{2}, \ 7, \ -\frac{9}{2}\right)\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=1\left(3\times3-4\times4\right)-3\left(1\times3-1\times4\right)+3\left(1\times4-1\times3\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(9-16\right)-3\left(3-4\right)+3\left(4-3\right)\)
\(=-7-3\left(-1\right)+3\)
\(=-4+3\)
\(=-1\)
\(\therefore det(A)=-1\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=1\left(3\times3-4\times4\right)-3\left(1\times3-1\times4\right)+3\left(1\times4-1\times3\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(9-16\right)-3\left(3-4\right)+3\left(4-3\right)\)
\(=-7-3\left(-1\right)+3\)
\(=-4+3\)
\(=-1\)
\(\therefore det(A)=-1\ne{0}\)
\(\therefore A\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore A\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(A)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(9-16)\)
\(=-7\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(3-4)\)
\(=(-1)(-1)\)
\(=1\)
\(A_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\1 & 4 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(4-3)\)
\(=1\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 4 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(9-12)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(3-3)\)
\(=0\)
\(A_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\1 & 4 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(4-3)\)
\(=(-1)(1)\)
\(=-1\)
\(A_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(12-9)\)
\(=3\)
\(A_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(4-3)\)
\(=(-1)(1)\)
\(=-1\)
\(A_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(3-3)\)
\(=0\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} \\A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} \\A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & A_{3,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} & A_{3,2} \\A_{1,3} & A_{2,3} & A_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} -7 & \ \ 3 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & \ \ 0 & -1 \\ \ \ 1 & -1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because A_{1,1}=-7, \ A_{2,1}=3, \ A_{3,1}=3\)
\(A_{1,2}=1, \ A_{2,2}=0, \ A_{3,2}=-1\)
এবং \(A_{1,3}=1, \ A_{2,3}=-1, \ A_{3,3}=0\)

এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -7 & \ \ 3 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & \ \ 0 & -1 \\ \ \ 1 & -1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(A)=-1\)
এবং \(adj(A)=\begin{bmatrix} -7 & \ \ 3 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & \ \ 0 & -1 \\ \ \ 1 & -1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)

\(=-1\begin{bmatrix} -7 & \ \ 3 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & \ \ 0 & -1 \\ \ \ 1 & -1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} -7\times-1 & \ \ 3\times-1 & \ \ 3\times-1 \\ \ \ 1\times-1 & \ \ 0\times-1 & -1\times-1 \\ \ \ 1\times-1 & -1\times-1 & \ \ 0\times-1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ 7 & -3 & -3 \\ -1 & \ \ 0 & \ \ 1 \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}\) এবং \(AX=B\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x+3y+3z \\ x+3y+4z \\ x+4y+3z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{cases}x+3y+3z=7 \\ x+3y+4z=8 \\ x+4y+3z=8\end{cases}\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y, \ z\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(=1\left(3\times3-4\times4\right)-3\left(1\times3-1\times4\right)+3\left(1\times4-1\times3\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(9-16\right)-3\left(3-4\right)+3\left(4-3\right)\)
\(=-7-3\left(-1\right)+3\)
\(=-4+3\)
\(=-1\)
\(\therefore D=-1\ne{0}\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 7 & 3 & 3 \\ 8 & 3 & 4 \\ 8 & 4 & 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=7\left(3\times3-4\times4\right)-3\left(8\times3-4\times8\right)+3\left(8\times4-3\times8\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=7\left(9-16\right)-3\left(24-32\right)+3\left(32-24\right)\)
\(=7\left(-7\right)-3\left(-8\right)+3\left(8\right)\)
\(=-49+24+24\)
\(=-49+48\)
\(=-1\)
\(\therefore D_{x}=-1\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 1 & 7 & 3 \\ 1 & 8 & 4 \\ 1 & 8 & 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=1\left(8\times3-4\times8\right)-7\left(1\times3-4\times1\right)+3\left(1\times8-1\times8\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(24-32\right)-7\left(3-4\right)+3\left(8-8\right)\)
\(=-8-7\left(-1\right)+3\left(0\right)\)
\(=-8+7+0\)
\(=-1\)
\(\therefore D_{y}=-1\)
এবং \(D_{z}=\left|\begin{array}{c} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 8 \\ 1 & 4 & 8 \end{array}\right|\) ➜Note \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=1\left(3\times8-8\times4\right)-3\left(1\times8-1\times8\right)+7\left(1\times4-3\times1\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(24-32\right)-3\left(8-8\right)+7\left(4-3\right)\)
\(=-8-3\left(0\right)+7\left(1\right)\)
\(=-8-0+7\)
\(=-1\)
\(\therefore D_{z}=-1\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{-1}{-1}\) ➜Note \(\because D_{x}=-1, \ D=-1\)

\(\therefore x=1\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{-1}{-1}\) ➜Note \(\because D_{y}=-1, \ D=-1\)

\(\therefore y=1\)
এবং \(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{-1}{-1}\) ➜Note \(\because D_{z}=-1, \ D=-1\)

\(\therefore z=1\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \((1, \ 1, \ 1)\)

\((a)\)
সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি \(1\) অর্থাৎ সমান এবং অপর ভুক্তিগুলি শুন্য। যাহা স্কেলার ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞাকে সমর্থন করে। অতএব, সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সেই স্কেলার ম্যাট্রিক্স।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)
ধরি,
\(D=A^{T}\)
\(\Rightarrow D=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}^{T}\)
\(\therefore D=\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ 3 & 2 \\ \ \ 2 & -1 & 3 \\ -1 & \ \ 3 & 1 \end{bmatrix}\) ➜Note নির্ণায়কে (ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের নিয়মানুযায়ী) সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে রূপান্তর করা হয়েছে।

এখন
\(det(D)=\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & \ \ 2 & 3 \\ \ \ 2 & -1 & 3 \\ -1 & \ \ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=1\left(-1\times1-3\times3\right)-3\left(2\times1-3\times-1\right)+2\left(2\times3+1\times-1\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(-1-9\right)-3\left(2+3\right)+2\left(6-1\right)\)
\(=-10-3\left(5\right)+2\left(5\right)\)
\(=-10-15+10\)
\(=-25+10\)
\(=-15\)
\(\therefore det(D)=-15\ne{0}\)
\(\therefore D\) অব্যাতিক্রমী যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 5 \end{array}\right|\)
\(=20-12\)
\(=8\ne{0}\)
ম্যাট্রিক্স,
\(\therefore D\) বিপরীত যোগ্য।
ধরি,
\(det(D)\) এর \((i,j)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=D_{i,j}\)
তাহলে,
\(D_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c} -1 & 3 \\ \ \ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(-1-9)\)
\(=-10\)
\(D_{1,2}=(1,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & 3 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(2+3)\)
\(=(-1)(5)\)
\(=-5\)
\(D_{1,3}=(1,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 2 & -1 \\ -1 & \ \ 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(6-1)\)
\(=5\)
\(D_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(3-6)\)
\(=(-1)(-3)\)
\(=3\)
\(D_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 2 \\-1 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(1+2)\)
\(=3\)
\(D_{2,3}=(2,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ 1 & 3 \\-1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(3+3)\)
\(=(-1)(6)\)
\(=-6\)
\(D_{3,1}=(3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} \ \ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(9+2)\)
\(=11\)
\(D_{3,2}=(3,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(3-4)\)
\(=(-1)(-1)\)
\(=1\)
\(D_{3,3}=(3,3)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 3 \\ 2 & -1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(-1-6)\)
\(=-7\)
\(adj(D)=\begin{bmatrix}D_{1,1} & D_{1,2} & D_{1,3} \\D_{2,1} & D_{2,2} & D_{2,3} \\D_{3,1} & D_{3,2} & D_{3,3} \end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}D_{1,1} & D_{2,1} & D_{3,1} \\D_{1,2} & D_{2,2} & D_{3,2} \\D_{1,3} & D_{2,3} & D_{3,3} \end{bmatrix}\) ➜Note ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

\(\therefore adj(D)=\begin{bmatrix} -10 & \ \ 3 & \ \ 11 \\ -5 & \ \ 3 & \ \ 1 \\ \ \ 5 & -6 & -7 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because D_{1,1}=-10, \ D_{2,1}=3, \ D_{3,1}=11\)
\(D_{1,2}=-5, \ D_{2,2}=3, \ D_{3,2}=1\)
এবং \(D_{1,3}=5, \ D_{2,3}=-6, \ D_{3,3}=-7\)

এখন,
\(D^{-1}=\frac{adj(D)}{det(D)}\)
\(=\frac{1}{det(D)}adj(D)\)
\(=\frac{1}{-15}\begin{bmatrix} -10 & \ \ 3 & \ \ 11 \\ -5 & \ \ 3 & \ \ 1 \\ \ \ 5 & -6 & -7 \end{bmatrix}\) ➜Note \(\because det(D)=-15\)
এবং \(adj(D)=\begin{bmatrix} -10 & \ \ 3 & \ \ 11 \\ -5 & \ \ 3 & \ \ 1 \\ \ \ 5 & -6 & -7 \end{bmatrix}\)

\(=-\frac{1}{15}\begin{bmatrix} -10 & \ \ 3 & \ \ 11 \\ -5 & \ \ 3 & \ \ 1 \\ \ \ 5 & -6 & -7 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{15}\begin{bmatrix} -10\times-1 & \ \ 3\times-1 & \ \ 11\times-1 \\ -5\times-1 & \ \ 3\times-1 & 1\times-1 \\ \ \ 5\times-1 & -6\times-1 & -7\times-1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore D^{-1}=\frac{1}{15}\begin{bmatrix} \ \ 10 & -3 & -11 \\ \ \ 5 & -3 & -1 \\ -5 & \ \ 6 & \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\(\therefore \left(A^{T}\right)^{-1}=\frac{1}{15}\begin{bmatrix} \ \ 10 & -3 & -11 \\ \ \ 5 & -3 & -1 \\ -5 & \ \ 6 & \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\) এবং \(AB=C\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x+2y-z \\ 3x-y+3z \\ 2x+3y+z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{cases}x+2y-z=5 \\ 3x-y+3z=7 \\ 2x+3y+z=11\end{cases}\)
এখানে,
\(D=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{array}\right|\) ➜Note \(x, \ y, \ z\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠত নির্ণায়ক।

\(=1\left(-1\times1-3\times3\right)-2\left(3\times1-3\times2\right)-1\left(3\times3+1\times2\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(-1-9\right)-2\left(3-6\right)-\left(9+2\right)\)
\(=-10-2\left(-3\right)-11\)
\(=-21+6\)
\(=-15\)
\(\therefore D=-15\ne{0}\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{c} 5 & \ \ 2 & -1 \\ 7 & -1 & \ \ 3 \\ 11 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{array}\right|\) ➜Note \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=5\left(-1\times1-3\times3\right)-2\left(7\times1-3\times11\right)-1\left(7\times3+1\times11\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=5\left(-1-9\right)-2\left(7-33\right)-\left(21+11\right)\)
\(=5\left(-10\right)-2\left(-26\right)-32\)
\(=-50+52-32\)
\(=-82+52\)
\(=-30\)
\(\therefore D_{x}=-30\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{c} 1 & 5 & -1 \\ 3 & 7 & \ \ 3 \\ 2 & 11 & \ \ 1 \end{array}\right|\) ➜Note \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=1\left(7\times1-3\times11\right)-5\left(3\times1-3\times2\right)-1\left(3\times11-7\times2\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(7-33\right)-5\left(3-6\right)-\left(33-14\right)\)
\(=-26-5\left(-3\right)-19\)
\(=-45+15\)
\(=-30\)
\(\therefore D_{y}=-30\)
এবং \(D_{z}=\left|\begin{array}{c} 1 & \ \ 2 & 5 \\ 3 & -1 & 7 \\ 2 & \ \ 3 & 11 \end{array}\right|\) ➜Note \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদগুলি নেয়া হয়েছে।

\(=1\left(-1\times11-7\times3\right)-2\left(3\times11-7\times2\right)+5\left(3\times3+1\times2\right)\) ➜Note প্রথম সারি বরাবর বিশ্লেষণ করে,

\(=\left(-11-21\right)-2\left(33-14\right)+5\left(9+2\right)\)
\(=-32-2\left(19\right)+5\left(11\right)\)
\(=-32-38+55\)
\(=-70+55\)
\(=-15\)
\(\therefore D_{z}=-15\)
এখন,
\(x=\frac{D_{x}}{D}\)
\(=\frac{-30}{-15}\) ➜Note \(\because D_{x}=-30, \ D=-15\)

\(\therefore x=2\)
\(y=\frac{D_{y}}{D}\)
\(=\frac{-30}{-15}\) ➜Note \(\because D_{y}=-30, \ D=-15\)

\(\therefore y=2\)
এবং \(z=\frac{D_{z}}{D}\)
\(=\frac{-15}{-15}\) ➜Note \(\because D_{z}=-15, \ D=-15\)

\(\therefore z=1\)
নির্ণেয় সমাধানঃ \((2, \ 2, \ 1)\)