ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক
Matrix and determinants
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর মধ্যে পার্থক্য (Defference between Matrix and Determinant)ব্যাতিক্রমী ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular and Non-Singular Matrix)বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (Inverse Matrix of a Square Matrix)বর্গ ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট (Adjoint of a Square Matrix)বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট (Properties of Inverse Matrix)অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স (Orthogonal Matrix)একঘাত সমীকরণ জোট ও এর সমাধান (System of linear equations and it's solution)ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান (Solution of system of linear equations using cramer's rule)তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানবর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Trace of Square Matrix)অধ্যায় \(1C\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(1C\) / \(Q.6\)- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যে পার্থক্য
Defference between Matrix and Determinant
ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক
১। ম্যাট্রিক্স আয়তাকার বা বর্গাকার যে কোনো আকৃতির হতে পারে। অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে। ১। নির্ণায়ক সর্বদা বর্গাকৃতির হয়ে থাকে। অর্থাৎ নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা সর্বদা সমান হয়।
২। ম্যাট্রিক্সকে তৃতীয় বন্ধনী \([ \ \ ]\) অথবা প্রথম বন্ধনী \(( \ \ )\) অথবা দুই জোড়া উল্লম্ব রেখা \(|| \ \ ||\) এর সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) অথবা \(\left(\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right)\) অথবা \(\left|\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\right|\)
২। নির্ণায়ককে দুইটি উল্লম্ব রেখার সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\)
৩। ম্যাট্রিক্সের কোনো মান নেই। ৩। নির্ণায়কের মান আছে।
৪। কোনো ম্যাট্রিক্সকে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়।
যেমনঃ \(k\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka & kb \\kc & kd \end{bmatrix}\)
৪। কোনো নির্ণায়ককে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ নির্ণায়ককের যে কোনো একটি সারি বা কলামের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়।
যেমনঃ \(k\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}ka & kb \\c & d \end{array}\right|\)
ব্যাতিক্রমী ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular and Non-Singular Matrix
ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=12-12\)
\(=0\)
অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Non-Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(\begin{bmatrix}5 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স।
কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}5 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\)
\(=15-12\)
\(=3\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স
Inverse Matrix of a Square Matrix
দুইটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর গুণফল যদি একক ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে এদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অর্থাৎ যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(A\) এর জন্য একটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
\(B\) থাকে যেন \(AB=BA=I\) হয়, (যেখানে, \(I\) হলো একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স) তবে \(B\) ম্যাট্রিক্সকে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।
\(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে \(A^{-1}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অপরপক্ষে \(A\) ম্যাট্রিক্সকেও \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
দ্রষ্টব্যঃ শুধুমাত্র অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।
উদাহরণঃ \(\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\ \frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) হলে,
\(AB=\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & -10+10 \\ 3-3 & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
আবার,
\(BA=\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & 4-4 \\ \frac{-15}{2}+\frac{15}{2} & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
সুতরাং, \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(B\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A\)
অর্থাৎ \(A=B^{-1}\) এবং \(B=A^{-1}\)
দ্রষ্টব্যঃ দুই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix}\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট
Adjoint of a Square Matrix
ধরি, \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এবং \(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্টকে সংক্ষেপে \(adj A\) দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং নিম্নোলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
\(adj A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^{t}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}\) ➜ ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।

যেখানে \(A_{ij}=a_{ij}\) এর সহগুণক \(=(-1)^{i+j}\times{a_{ij}}\) এর অনুরাশি।
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাটিক্স নির্ণয়ঃ যদি \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তবে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj A\)
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট
Properties of Inverse Matrix
কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স মূল ম্যাট্রিক্সের সমান। অর্থাৎ \(A\) ম্যাট্রিক্স হলে \((A^{-1})^{-1}=A\)
\(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(AB\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ঐ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের সমান।
অর্থাৎ \(A\) একটি ম্যাট্রিক্স হলে \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^{t}\)
কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা হবে অনন্য।
অর্থাৎ \(A^{-1}=B\) এবং \(A^{-1}=C\) হলে, \(B=C\)
অব্যাতিক্রমী প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হবে।
অর্থাৎ যদি \(A^{t}=A \Rightarrow \left(A^{-1}\right)^t=A^{-1}\) হয়।
\(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(BA\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((BA)A^{-1}=B\left(AA^{-1}\right)=B\)
অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স
Orthogonal Matrix
যদি কোনো ম্যাট্রিক্স \((A)\) কে এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স \((A^{t})\) দ্বারা গুণ করলে গুণফল অভেদক বা একক ম্যাট্রিক্স হয় অথবা যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স বলে।
অর্থাৎ \(A^{t}A=AA^{t}=I\) অথবা \(A^{t}=A^{-1}\) হলে, \(A\) ম্যাট্রিক্সটি হলো অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}\) এবং \(C=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{bmatrix}\) প্রত্যেকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
একঘাত সমীকরণ জোট ও এর সমাধান
System of linear equations and it's solution
একঘাত সমীকরণ জোটঃ \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ ... ... +a_{n}x_{n}=b \) কে \(x_{1}, \ x_{2}, ... ..., \ x_{n}\) চলকের একঘাত সমীকরণ বলা হয়, যেখানে \(a_{1}, \ a_{2}, ... ..., \ a_{n}\) হলো ধ্রুবক।
এইরূপ একাধিক একঘাত সমীকরণকে একত্রে একঘাত সমীকরণ জোট বলা হয়।
নির্ণায়কের সাহায্যে সমসংখ্যক চলক ও সমীকরণবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। সমাধান নির্ণয়ের এই পদ্ধতি ১৭৫০ খ্রিষ্টাব্দে সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার (Gabriel Cramer) straight3 ক্রেমার (১৭০৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৭৫২ খ্রিষ্টাব্দ)
গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার ছিলেন জেনেভান গণিতবিদ। তিনি চিকিত্সক জিন ক্র্যামার এবং অ্যান মাললেট ক্র্যামারের পুত্র ছিলেন।
প্রতিষ্ঠা করেন বিধায় একে ক্রেমারের নিয়ম (Cramer's Rule) বলা হয়।
ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using cramer's rule
দুই চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y=c_{1} .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y=c_{2} .......(2)\)
এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|\ne{0}\)
\(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|\)
এবং \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|\)
এখন, \((1)\) ও \((2)\) বজ্রগুণ করে ,
\(a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0\)
\(a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0\)
\(\frac{x}{-b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}}=\frac{y}{-c_{1}a_{2}+c_{2}a_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}}=\frac{y}{c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{y}{\left|\begin{array}{c}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\)
\(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} .......(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} .......(3)\)
এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\ne{0}\)
\(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)
\(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{array}\right|\)
এবং \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{z}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{array}\right|\)
এখন,
\(\frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}, \ \frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\)
\(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}, \ z=\frac{D_{z}}{D}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using inverse myatrix
ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\)
সমীকরণ জোটটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখে পাই,
\(\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_{1} \\d_{2} \\d_{3} \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow AX=B\) যেখানে, \(A=\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}d_{1} \\d_{2} \\d_{3} \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=A^{-1}B\) হতে,
ম্যাট্রিক্স সমতা প্রয়োগ করে \(x, \ y, \ z\) এর মান পাওয়া যায়।
বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস
Trace of Square Matrix
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলির যোগফলকে ঐ বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
এর ট্রেস বলা হয়।
যেমনঃ
  \(-4\) \(6\) \(3\)  
\( \ \ \ 5\) \(9\) \(7\)
\(-3\) \(7\) \(1\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।

যার ট্রেস \(=-4+9+1\)
\(=-4+10\)
\(=6\)
অধ্যায় \(1C\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) নিম্নের ম্যাট্রিক্সগুলির বিপরীত যোগ্যতা নির্ণয় কর।
\((i)\) \(A=\begin{bmatrix}5 & 4 \\7 & 10 \end{bmatrix}\)
\((ii)\) \(B=\begin{bmatrix}4 & 8 \\5 & 10 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \((i) \ A\) বিপরীত যোগ্য।
\((ii) \ B\) বিপরীত যোগ্য নয়।

উদাহরণ \(2.\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 4 \end{bmatrix}\) হলে, \(adj(A)\) এবং \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ 4 & -3 \\-1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \ \ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(3.\) \(\begin{bmatrix} \ \ 2 & -1 & -1 \\1 & -2 & \ \ 1 \\1 & -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 3 & -3 & 3 \\ \ \ 1 & -5 & 3 \\-1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\)
বঃ ২০০১৫ ।

উদাহরণ \(4.\) নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমাধান করঃ
\((a)\)
\(x+4y=11\)
\(4x-y=10\)
উত্তরঃ \((i) \ x=3, \ y=2\)

উদাহরণ \(5.\) নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমাধান করঃ
\((a)\)
\(2x+y-z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
উত্তরঃ \(x=\frac{11}{5}, \ y=\frac{7}{5}, \ z=-\frac{21}{5}\)

\((b)\)
\(2x+y-2z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
উত্তরঃ \(x=1, \ y=2, \ z=-3\)

উদাহরণ \(6.\) ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করঃ
\(x-y+2z=1\)
\(2x+6y-z=2\)
\(x+3y-3z=5\)
উত্তরঃ \(x=\frac{16}{5}, \ y=-1, \ z=-\frac{8}{5}\)

উদাহরণ \(7.\) \(A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\4 & 0 & 3 \\2 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix}2 \\5 \\4 \end{bmatrix}\)
\((a) \ A\times{C}\) নির্ণয় কর।
\((b) \ A^{-1}\) নির্ণয় কর।
\((c) \ A\times{B}=C\) হলে, ক্রামারের নিয়মে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) \ \begin{bmatrix}30 \\20 \\27 \end{bmatrix}\)
\((b) \ \frac{1}{7}\begin{bmatrix}-9 & -2 & 12 \\-2 & -2 & 5 \\12 & 5 & -16 \end{bmatrix}\)
\((c) \ \ x=\frac{20}{7}, \ y=\frac{6}{7}, \ z=-\frac{15}{7}\)

উদাহরণ \(8.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\3 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -\frac{5}{13} & \ \ \frac{2}{13} & \ \ \frac{6}{13} \\ \ \ \frac{7}{13} & \ \ \frac{5}{13} & -\frac{11}{13} \\ \ \ \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} & \ \ \frac{4}{13} \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(9.\) \(B=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \\2 & 6 & 4 \\1 & 4 & 6 \end{bmatrix}\) হলে, \(B^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য নয়।

উদাহরণ \(10.\) \(C=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 2 & -3 \\ \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \\ \ \ 4 & -2 & \ \ 5 \end{bmatrix}\) হলে, \(C^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -5 & \ \ 4 & -3 \\ \ \ 10 & -7 & \ \ 6 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(11.\) যদি \(\begin{bmatrix}3 & 1 & 9 \\2x & 2 & 6 \\x^2 & 3 & 3 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1, \ 3\)

উদাহরণ \(12.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -4 & 1 \\-2 & \ \ 1 & 0 \\-1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 3 & -4 \\3 & 5 & -7 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(13.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\2 & 5 & -4 \\3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(14.\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & 2 & -1 \\ \ \ 1 & 1 & \ \ 2 \\-1 & 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} \ \ x & 2 & y \\ \ \ 1 & 2 & 2 \\-1 & z & 2 \end{bmatrix}\)
\((a) \ A+I=C\) হলে, \(x, \ y, \ z\) নির্ণয় কর।
\((b) \ |2A^{2}|\) নির্ণয় কর।
\((c) \ AB=I\) হলে, \(B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4, \ -1, \ 3\)
\((b) \ 5000\)
\((c) \ -\frac{1}{25}\begin{bmatrix} -5 & -5 & \ \ 5 \\ -3 & \ \ 2 & -7 \\ \ \ 4 & -11 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

উদাহরণ \(15.\) \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} -2 \\ \ \ 1 \\ \ \ 4 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(AX=B\) সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\ -5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
\(\left(\frac{1}{2}, \ 7, \ -\frac{9}{2}\right)\)
রাঃ২০১৬; মাঃ ২০১৫ ।

উদাহরণ \(16.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}\)
\((a) \ |A|\) নির্ণয় কর।
\((b) \ A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
\((c) \ AX=B\) হলে, ক্রামারের নিয়মে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) -1\)
\((b) \ \begin{bmatrix} \ \ 7 & -3 & -3 \\ -1 & \ \ 0 & \ \ 1 \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\((c) \ (1, \ 1, \ 1)\)

উদাহরণ \(17.\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\ 3 & -1 & \ \ 3 \\ 2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\)
\((a)\) 'সকল অভেদ ম্যাট্রিক্সেই স্কেলার ম্যাট্রিক্স'- ব্যাখ্যা কর।
\((b) \ \left(A^T\right)^{-1}\) নির্ণয় কর।
\((c) \ AB=C\) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের ( ক্রামারের নিয়মে) সাহায্যে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((b) \ \frac{1}{15}\begin{bmatrix} \ \ 10 & -3 & -11 \\ \ \ 5 & -3 & -1 \\ -5 & \ \ 6 & \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\((c) \ (2, \ 2, \ 1)\)

অধ্যায় \(1C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(x\) এর যে সব মানের জন্য \(\begin{bmatrix}x^2 & 2x \\5 & 3 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0, \ \frac{10}{3}\)
কুঃ২০১৭ ।

\(Q.1.(ii)\) \(p\) এর মান কত হলে, \(\begin{bmatrix}p-2 & 3 \\4 & 5 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে।
উত্তরঃ \(\frac{22}{5}\)
বঃ২০১৭ ।

\(Q.1.(iii)\) \(\alpha\) এর মান কত হলে, \(\begin{bmatrix}\alpha+4 & 8 \\2 & \alpha-2 \end{bmatrix}\) ব্যাতিক্রমী হবে।
উত্তরঃ \(4, \ -6\)
ঢাবিঃ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.1.(iv)\) যদি \(\begin{bmatrix}x & 2 \\x & 2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হয় তবে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x\in{\mathbb{R}}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।

\(Q.1.(v)\) \(\begin{bmatrix}x+5 & 5 \\3 & x-9 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6, \ 10\)

\(Q.1.(vi)\) \(\begin{bmatrix}a+3 & 6 \\5 & a-4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6, \ 7\)

\(Q.1.(vii)\) \(\begin{bmatrix}a-2 & 6 \\2 & a-3 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1, \ 6\)

\(Q.1.(viii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & \ \ y \\1 & x & \ \ 0 \\5 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-3 & \ \ 1 & \ \ x \\ \ \ 1 & -y & \ \ 0 \\ \ \ 5 & \ \ 0 & -7 \end{bmatrix}\) এবং \(C=A-B\) একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{5}{2}, \ \frac{5}{2}\right)\)

\(Q.1.(ix)\) \(3\begin{bmatrix}s & v & w \\x & x-y & v \\w & u & s \end{bmatrix}\) একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(0, \ -\frac{1}{3}\right)\)

\(Q.1.(x)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & \ \ y \\1 & 3 & \ \ 5 \\5 & 1 & -2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-3 & 1 & \ \ 3 \\ \ \ 1 & 2 & \ \ 3 \\ \ \ 5 & x & -7 \end{bmatrix}\) এবং \(C=A+B\) একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(7, \ 7\right)\)

\(Q.1.(xi)\) \(A=\begin{bmatrix}1 & \ \ x & 0 \\0 & \ \ 1 & 2 \\2 & -2 & 1 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}4 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & \ \ y \\ 5 & 8 & -7 \end{bmatrix}\) এবং \(C=A-B\) একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(2, \ -8\right)\)

\(Q.1.(xii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & -2 & -4 \\y & \ \ 3 & \ \ x \\1 & -2 & -3 \end{bmatrix}\) একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(4, \ -1\right)\)

\(Q.1.(xiii)\) \(A=\begin{bmatrix}-5 & y & \ \ 0 \\ \ \ 3 & 5 & \ \ 0 \\ \ \ 1 & x & -1 \end{bmatrix}\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, \ y)\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(2, \ -8\right)\)

\(Q.1.(xiv)\) \(A=\begin{bmatrix}2 & -3 & 3 \\3 & \ \ a & 3 \\7 & -3 & a \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}-1 & 1 & -1 \\ \ \ 2 & 0 & \ \ 3 \\ \ \ 5 & 2 & \ \ 0 \end{bmatrix}\) এবং \(C=A-B\) ম্যাট্রিক্স ব্যাতিক্রমী হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-2, \ \frac{10}{3}\right)\)

\(Q.1.(xv)\) \(\begin{bmatrix} \ \ \beta-2 & 1 \\-5 & \beta+4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হলে, \(\beta\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(1, \ -3\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\alpha\) এর মান কত হলে, \(\begin{bmatrix}\alpha+5 & 2 \\3 & \alpha \end{bmatrix}\) ব্যাতিক্রমী হবে।
উত্তরঃ \(1, \ -6\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\alpha\) এর মান কত হলে, \(\begin{bmatrix} \ \ 2\alpha & \alpha-1 \\-5 & \alpha+2 \end{bmatrix}\) ব্যাতিক্রমী হবে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}, \ -5\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\alpha\) এর মান কত হলে, \(\begin{bmatrix}-4 & 1 & -1 \\ \alpha & 11 & 9 \\ 11 & 16 & 14 \end{bmatrix}\) ব্যাতিক্রমী হবে।
উত্তরঃ \(6\)

অধ্যায় \(1C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
নিচের ম্যাট্রিক্সগুলির বিপরীত যোগ্যতা যাচাই করঃ
\(Q.2.(i)\) (a) \(\begin{bmatrix}6 & 9 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য নয়।

\(Q.2.(i)\) (b) \(\begin{bmatrix}2 & 5 \\10 & 25 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য নয়।

\(Q.2.(i)\) (c) \(\begin{bmatrix}28 & 29 & 30 \\31 & 33 & 35 \\34 & 37 & 40 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য নয়।

\(Q.2.(i)\) (d) \(\begin{bmatrix} \ \ 4 & 4 & 0 \\ \ \ 3 & 7 & 6 \\-3 & 11 & 15 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ বিপরীত যোগ্য।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(ii)\) (a) \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}-2 & \ \ 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (b) \(\begin{bmatrix}-2 & \ \ 1 \\ \ \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}\)
ঢাবিঃ২০১০-২০১১ ।

\(Q.2.(ii)\) (c) \(\begin{bmatrix} \ \ \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \ \ \cos{\theta} \end{bmatrix}\)
ঢাবিঃ২০১৩-২০১৪ ।

\(Q.2.(ii)\) (d) \(\begin{bmatrix}1 & \ \ 1 & -1 \\ 0 & -2 & \ \ 2 \\ 1 & \ \ 2 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix}1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{10} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\)
কুঃ২০১৭ ।

\(Q.2.(ii)\) (e) \(\begin{bmatrix}2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & \ \ 1 \\ 1 & -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \ \ \frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\)
বঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) (f) \(\begin{bmatrix}1 & \ \ 2 & \ \ 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & \ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ 1 & \ \ 1 \\ -2 & -2 & \ \ 4 \\ \ \ 9 & \ \ 3 & -9 \end{bmatrix}\)
দিঃ২০১৭ ।

\(Q.2.(ii)\) (g) \(\begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 5 \\ 2 & 5 & 11 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{5}{6} & -\frac{1}{3} & \ \ 0 \\ -\frac{1}{3} & \ \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ \ \ 0 & -\frac{1}{6} & \ \ \frac{1}{6} \end{bmatrix}\)
সিঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) (h) \(\begin{bmatrix} \ \ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ \ \ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -2 & \ \ 1 & \ \ 2 \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 1 \\ \ \ 6 & -3 & -5 \end{bmatrix}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ২০১৮ ।

\(Q.2.(ii)\) (i) \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{5}{8} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{7}{8} & \ \ \frac{3}{8} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (j) \(\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{3}{2} & -\frac{7}{4} \\ -\frac{1}{2} & \ \ \frac{3}{4} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (k) \(\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)
কুঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) (l) \(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -9 & -2 & \ \ 12 \\ -2 & -2 & \ \ 5 \\ \ \ 12 & \ \ 5 & -16 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৭ ।

\(Q.2.(ii)\) (m) \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & \ \ 3 \\ 1 & 0 & \ \ 4 \\ 3 & 2 & -5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -8 & \ \ 11 & \ \ 4 \\ \ \ 17 & -19 & -5 \\ \ \ 2 & -1 & -1 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(ii)\) (n) \(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 3 & -5 \\ -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(ii)\) (o) \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & \ \ 3 \\ 2 & 5 & -4 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{3}{2} & -\frac{11}{10} & -\frac{6}{5} \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 1 \\ -\frac{1}{2} & \ \ \frac{7}{10} & \ \ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (p) \(\begin{bmatrix} -1 & -5 \\ -2 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -\frac{3}{13} & -\frac{5}{13} \\ -\frac{2}{13} & \ \ \frac{1}{13} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (q) \(\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 5 & -4 \\ -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (r) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 0 & -3 \\ \ \ 0 & 0 & \ \ \frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \ \ \frac{3}{4} \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (s) \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \ \ 1 & -1 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 2 \\-5 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) (t) \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{14}\begin{bmatrix} \ \ 5 & 1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (u) \(\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{22}\begin{bmatrix} \ \ 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (v) \(\begin{bmatrix} \ \ 1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (w) \(\begin{bmatrix} \ \ 7 & -3 \\ -11 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 11 & 7 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (x) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & \ \ 1 & \ \ 5 \\ -1 & -2 & -2 \\ \ \ 3 & \ \ 1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{17}\begin{bmatrix} -2 & \ \ 3 & \ \ 8 \\ -4 & -11 & -1 \\ \ \ 5 & \ \ 1 & -3 \end{bmatrix}\)

\(Q.2.(ii)\) (y) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -3 & \ \ 2 \\ \ \ 4 & \ \ 1 & -1 \\ -3 & \ \ 2 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{80}\begin{bmatrix} \ \ 7 & 19 & 1 \\ -17 & 11 & 9 \\ \ \ 11 & 7 & 13 \end{bmatrix}\)
সিঃ২০১৬; বঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) (z) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & \ \ 6 \\ 0 & 2 & -4 \\ 4 & 0 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{52}\begin{bmatrix} \ \ 6 & -3 & -16 \\ -16 & -18 & \ \ 8 \\ -8 &\ \ 4 & \ \ 4 \end{bmatrix}\)
সিঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(iii)\) \(B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & \ \ 3 \\ 1 & 0 & \ \ 2 \\ 3 & 4 & -5 \end{bmatrix}\) হলে, \(B^{t}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -8 & \ \ 11 & \ \ 4 \\ \ \ 17 & -19 & -5 \\ \ \ 2 & -1 & -1 \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(iv)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & \ \ 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাইপূর্বক \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -26 & -7 & \ \ 12 \\ \ \ 11 & \ \ 3 & -5 \\ -5 & -1 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
কুঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(v)\) \(A=\begin{bmatrix} 3+x & 4 & 2 \\ 4 & 2+x & 3 \\ 2 & 3 & 4+x \end{bmatrix}\) এবং \(x=-1\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{16}\begin{bmatrix} -6 & -6 & \ \ 10 \\-6 & \ \ 2 & \ \ 2 \\ \ \ 10 & \ \ 2 & -14 \end{bmatrix}\)
যঃ২০১৯ ।

\(Q.2.(vi)\) \(x-y+z=2, \ 2x+z=5, \ x+2y-3z=-4\) সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলি নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -2 & -1 & -1 \\ \ \ 7 & -4 & \ \ 1 \\ \ \ 4 & -3 & \ \ 2 \end{bmatrix}\)
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(vii)\) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=A^{t}\) হলে, \(B\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -4 & \ \ 2 & \ \ 0 \\ \ \ 2 & -1 & -1 \\ \ \ 4 & -3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(viii)\) \(B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}; \ C=\begin{bmatrix} -2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6 \end{bmatrix}\) এবং \(A=B+C\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -5 & \ \ 4 & -3 \\ \ \ 10 & -7 & \ \ 6 \\ \ \ 8 & -6 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)
সিঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(ix)\) \(x+y+z=1, \ lx+my+nz=k, \ l^2x+m^2y+n^2z=k^2\) সমীকরণগুলির \(x, \ y, \ z\) এর সহগ নিয়ে গঠিত \(A\) একটি ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে \(l=1, \ m=2, \ n=-1\)
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \ \ 0 & \ \ \frac{1}{3} \\ \ \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \ \ \frac{1}{6} \end{bmatrix}\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(x)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{R}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরগুলির \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স \(A\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 0 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & \ \ 0 \\ -1 & 0 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xi)\) \(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \ \ \frac{1}{2} \\-4 & \ \ 3 & -1 \\ \ \ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \ \ \frac{1}{2} \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৫; রাঃ ২০১৬ ।

\(Q.2.(xii)\) সমাধান পদ্ধতিতে \(A=\begin{bmatrix} 0 & -2 & \ \ 0 \\ 2 & \ \ 1 & \ \ 3 \\ 3 & \ \ 3 & -1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} & \ \ \frac{3}{11} \\-\frac{1}{2} & 0 & \ \ 0 \\ -\frac{3}{22} & \frac{3}{11} & -\frac{2}{11} \end{bmatrix}\)

অধ্যায় \(1C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমীকরণ জোটের সমাধান করঃ
\(Q.3.(i) (a)\)
\(2x+3y=4\)
\(x-y=7\)
উত্তরঃ \((5, \ -2)\)
বঃ২০০৪; চঃ ২০০৯ ।

\(Q.3.(i) (b)\)
\(x+3y+2=0\)
\(2x+y+3=0\)
উত্তরঃ \(\left(-\frac{7}{5}, \ -\frac{1}{5}\right)\)
রাঃ২০১৭ ।

\(Q.3.(i) (c)\) \(\frac{2}{7}x+\frac{3}{7}y-\frac{5}{7}z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2z}{5}=1\)
উত্তরঃ \((-1, \ -2, \ -3)\)
সিঃ২০১৭; দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i) (d)\)
\(x+2y-z=5\)
\(3x-y+3z=7\)
\(2x+3y+z=11\)
উত্তরঃ \((2, \ 2, \ 1)\)
বুটেক্সঃ২০১০-২০১১; বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ।

\(Q.3.(i) (e)\)
\(x+y+z=6\)
\(5x-y+2z=9\)
\(3x+6y-5z=0\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)

\(Q.3.(i) (f)\)
\(2x-y-z=6\)
\(x+3y+2z=1\)
\(3x-y-5z=1\)
উত্তরঃ \((3, \ -2, \ 2)\)
দিঃ২০১৫; বাকাশিবঃ২০১৮ ।

\(Q.3.(i) (g)\)
\(x+2y=5\)
\(3x+5y=14\)
উত্তরঃ \((3, \ 1)\)

\(Q.3.(i) (h)\)
\(x+2y+3z=14\)
\(2x+4y+7z=31\)
\(3x+5y+10z=43\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)

\(Q.3.(i) (i)\)
\(4x-y+4z=12\)
\(2x+3y+8z=12\)
\(6x+5y+12z=24\)
উত্তরঃ \((2, \ 0, \ 1)\)

\(Q.3.(i) (j)\)
\(3x+2y+z=3\)
\(6x+4y+3z=7\)
\(9x+8y+4z=11\)
উত্তরঃ \(\left(\frac{1}{3}, \ \frac{1}{2}, \ 1\right)\)

\(Q.3.(i) (k)\)
\(2x+y+3z=4\)
\(x+2z=0\)
\(3x+4y+5z=2\)
উত্তরঃ \((-4, \ 6, \ 2)\)
ঢাঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i) (l)\)
\(x+2y+3z=-1\)
\(2x+y+4z=2\)
\(3x+2y+z=3\)
উত্তরঃ \(\left(\frac{15}{8}, \ -\frac{5}{4}, \ -\frac{1}{8}\right)\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i) (m)\)
\(x-y+z=2\)
\(2x+z=5\)
\(x+2y-3z=-4\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)
বঃ ২০১৯ ।

নির্ণায়কের সাহায্যে (ক্রামারের নিয়মে) সমীকরণ জোটের সমাধান করঃ
\(Q.3.(i) (n)\)
\(x+y+z=1\)
\(x+2y+z=2\)
\(x+y+2z=0\)
উত্তরঃ \((1, \ 1, \ -1)\)

\(Q.3.(i) (o)\)
\(2x+y-z=-4\)
\(x-y+3z=3\)
\(x+2y-4z=1\)
উত্তরঃ সমাধান নেই।

\(Q.3.(i) (p)\)
\(4x+3y-2=0\)
\(x+2y-3=0\)
উত্তরঃ \((-1, \ 2)\)

\(Q.3.(i) (q)\)
\(x+y+z=1\)
\(2x+4y-3z=9\)
\(5x-4y+z=0\)
উত্তরঃ \((1, \ 1, \ -1)\)

\(Q.3.(i) (r)\)
\(x+y+z=1\)
\(x+2y+z=2\)
\(x+y+2z=0\)
উত্তরঃ \((1, \ 1, \ -1)\)

\(Q.3.(i) (s)\)
\(x-2y+3z=11\)
\(2x+y+2z=10\)
\(3x+2y+z=9\)
উত্তরঃ \((2, \ 0, \ 3)\)

\(Q.3.(i) (t)\)
\(x+4y=11\)
\(4x-y=10\)
উত্তরঃ \((3, \ 2)\)

\(Q.3.(i) (u)\)
\(3x-y=5\)
\(3x-2y=4\)
উত্তরঃ \((2, \ 1)\)

\(Q.3.(i) (v)\)
\(4x+3y=8\)
\(3x+2y=6\)
উত্তরঃ \((2, \ 0)\)

\(Q.3.(i) (w)\)
\(x+y+z=6\)
\(x-y+2z=3\)
\(x-3y+4z=1\)
উত্তরঃ \((3, \ 2, \ 1)\)

\(Q.3.(i) (x)\)
\(x+3y+2z=5\)
\(2x+y+3z=1\)
\(3x+2y+z=4\)
উত্তরঃ \(\left(\frac{2}{9}, \ \frac{17}{9}, \ -\frac{4}{9}\right)\)

\(Q.3.(ii)\) \(B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & \ \ 3 \\ 1 & 0 & \ \ 2 \\ 3 & 4 & -5 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\) এবং \(BX=C\) হলে, ক্রামারের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((-4, \ 6, \ 2)\)
ঢাঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(iii)\) \(B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ D=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\) এবং \(BC=D\) হলে, ক্রামারের নয়মে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \((0, \ 1, \ 1)\)
রাঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(iv)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & \ \ 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 28 \\ \ \ 14 \end{bmatrix}\) এবং \(AX=B\) হলে, সমীকরণ জোট ক্রামারের নিয়মে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((-2, \ 3, \ 5)\)
কুঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(v)\) \(M=\begin{bmatrix} x+2y+3z & 2x+y+4z & 3x+2y+z \end{bmatrix}\)\(N=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(M=N\) হলে, ক্রামারের নিয়মে সমাধান কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{15}{8}, \ -\frac{5}{4}, \ -\frac{1}{8}\right)\)
চঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(vi)\) ক্রামারের প্রক্রিয়ায় \(x-y+z=2, \ 2x+z=5, \ x+2y-3z=-4\) সমীকরণ জোট সমাধান কর।
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)
বঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(vii)\) \(2x+3y-5z=7, \ x-4y+z=4, \ \frac{3}{5}x-\frac{1}{5}y-\frac{2}{5}z=1\) সমীকরণ জোটটি ক্রামারের নিয়মে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((-1, \ -2, \ -3)\)
দিঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(viii)\) \(A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) এবং \(AX=B\) হলে, ক্রামারের পদ্ধতিতে \(x, \ y\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, \ -1)\)
বঃ২০১৭ ।

\(Q.3.(ix)\) \(M=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ \ \ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) এবং \(M^{t}X=\begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 0 \\ \ \ 2 \end{bmatrix}\) হলে, নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান কর।
উত্তরঃ \((14, \ -7, \ -12)\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ২০১৮ ।

অধ্যায় \(1C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করঃ
\(Q.4.(i) (a)\)
\(x+y+z=6\)
\(x-2y+2z=3\)
\(2x+y-z=1\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)
সিঃ২০১৯ ।

\(Q.4.(i) (b)\)
\(x-2y+3z=11\)
\(2x+y+2z=10\)
\(3x+2y+z=9\)
উত্তরঃ \((2, \ 0, \ 3)\)

\(Q.4.(i) (c)\)
\(x+y+2z=3\)
\(3x+2z=4\)
\(2x+y+z=1\)
উত্তরঃ \((0, \ -1, \ 2)\)

\(Q.4.(i) (d)\)
\(2x+3y=4\)
\(x-y=7\)
উত্তরঃ \((5, \ -2)\)
বঃ২০০৪; চঃ ২০০৯ ।

\(Q.4.(i) (e)\)
\(2x-y-z=6\)
\(x+3y+2z=1\)
\(3x-y-5z=1\)
উত্তরঃ \((3, \ -2, \ 2)\)
দিঃ২০১৫; বাকাশিবঃ২০১৮ ।

\(Q.4.(i) (f)\)
\(x+y+z=1\)
\(x+2y+z=2\)
\(x+y+2z=0\)
উত্তরঃ \((1, \ 1, \ -1)\)

\(Q.4.(i) (g)\)
\(\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 & -1 \\3 & -1 & \ \ 3 \\2 & \ \ 3 & \ \ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ \((2, \ 2, \ 1)\)

\(Q.4.(i) (h)\)
\(\frac{x}{11}-\frac{2y}{11}+\frac{3z}{11}=\frac{x}{5}+\frac{y}{10}+\frac{z}{5}=\frac{x}{3}+\frac{2y}{9}+\frac{z}{9}=1\)
উত্তরঃ \((2, \ 0, \ 3)\)

\(Q.4.(i) (i)\)
\(2x-3y+4z=3\)
\(x+4y-5z=0\)
\(5x-y+z=5\)
উত্তরঃ \((1, \ 1, \ 1)\)

\(Q.4.(i) (j)\)
\(2x+y-2z=10\)
\(3x+2y+2z=1\)
\(5x+4y+3z=4\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ -3)\)

\(Q.4.(i) (k)\)
\(11x+3y+2z=23\)
\(3x+2y=7\)
\(x+z=4\)
উত্তরঃ \((1, \ 2, \ 3)\)

\(Q.4.(i) (l)\)
\(3x+2y=12\)
\(2x-3y=-5\)
উত্তরঃ \((2, \ 3)\)

\(Q.4.(i) (m)\)
\(x+2y+5z=3\)
\(2x-3y-7z=5\)
\(4x-2y+z=0\)
উত্তরঃ \((3, \ 5, \ -2)\)

\(Q.4.(i) (n)\)
\(5x+2y+z=8\)
\(x-2y-3z=-4\)
\(3x+y+z=7\)
উত্তরঃ \((2, \ -3, \ 4)\)

\(Q.4.(ii)\) যদি \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} -2 & \ \ 1 \\ \ \ 1 & -1 \end{bmatrix}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) এবং \(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\)

\(Q.4.(iii)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & \ \ 0 & 0 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^{3}=I\) এবং এ থেকে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(iv)\) যদি \(A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{5}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}\) হয়, তাহলে \(A^{2}+2A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 11 & -9 \\ -37 & \ \ 38 \end{bmatrix}\)
বুয়েটঃ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.4.(v)\) \(A=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(AB=\begin{bmatrix} 10 & 17 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}\) হলে, \(B\) ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)
রুয়েটঃ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.4.(vi)\) \(\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}B=I\) হলে, \(B\) ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \ \ \frac{3}{2} \\ \ \ 1 & -2 \end{bmatrix}\)
রুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.4.(vii)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -4 & 2 \\ -2 & \ \ 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\) এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স \(B\) নির্ণয় কর যেন \(AB=BA=I\) হয়।
উত্তরঃ \(B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)
কুঃ২০১৫ ।

\(Q.4.(viii)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}\) এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স \(B\) নির্ণয় কর যেন \(AB=BA=I\) হয়।
উত্তরঃ \(B=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 0 & -3 \\ \ \ 0 & 0 & \ \ \frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \ \ \frac{3}{4} \end{bmatrix}\)
ঢাঃ২০১৬ ।

\(Q.4.(ix)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & \ \ 3 & 4 \\ \ \ 3 & -1 & 6 \\ -1 & \ \ 5 & 1 \end{bmatrix}\) এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স \(B\) নির্ণয় কর যেন \(AB=BA=I_{3}\) হয়।
উত্তরঃ \(B=\begin{bmatrix} \ \ \frac{31}{2} & -\frac{17}{2} & -11 \\ \ \ \frac{9}{2} & -\frac{5}{2} & -3 \\ -7 & \ \ 4 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(x)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & \ \ 1 & 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} -11 & \ \ 2 & \ \ 2 \\ -4 & \ \ 0 & \ \ 1 \\ \ \ 6 & -1 & -1 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) ও \(BA\) নির্ণয় করে \(A\) ও \(B\) ম্যাট্রিক্সের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(AB=BA=I_{3}\)

\(Q.4.(xi)\) \(M=\begin{bmatrix} 0 & \ \ 1 & 1 \\ 1 & \ \ 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(adj(M)M=|M|I_{3}\)

\(Q.4.(xii)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}, \ f(x)=x^2+2x-11I\) এবং \(f(A)=0\) হলে, \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{11}\begin{bmatrix} 3 & \ \ 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xiii)\) \(E=\begin{bmatrix} 0 & \ \ 1 & 1 \\ 1 & \ \ 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটির সহগুণক ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 8 & -4 & -7 \\ -5 & -3 & \ \ 3 \\ -2 & \ \ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xiv)\) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & \ \ 0 \\ 5 & 0 & \ \ 2 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} \ \ 1 & -2 & \ \ 3 \\ -1 & \ \ 0 & \ \ 5 \\ \ \ 3 & \ \ 0 & -3 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) এর ট্রেস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.4.(xv)\) \(\begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\1 & \ \ 1 & 4 \\7 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ 2 \\ \ \ 1 \\ -3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) হলে, \((x, \ y, \ z)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, \ -9, \ 9)\)

\(Q.4.(xvi)\) \(\begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\1 & \ \ 1 & 4 \\7 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ 2 \\ \ \ 1 \\-3 \end{bmatrix}\) হলে, \((x, \ y, \ z)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{28}{39}, \ -\frac{83}{117}, \ \frac{71}{117}\right)\)

\(Q.4.(xvii)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \ \ 0 \\ 2 & -1 & \ \ 5 \\ 2 & \ \ 3 & -2 \end{bmatrix}\) এবং \(AB=BA=I\) হলে, \(B\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(B=\begin{bmatrix} \ \ \frac{13}{27} & \frac{2}{27} & \ \ \frac{5}{27} \\ -\frac{14}{27} & \frac{2}{27} & \ \ \frac{5}{27} \\-\frac{8}{27} & \frac{5}{27} & -\frac{1}{27} \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xviii)\) \(\begin{bmatrix} 1 & \ \ 1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} 10 & 9 & 10 \\ 0 & 33 & 0 \\ 0 & 22 & 0 \end{bmatrix}\) হলে, \(B\) ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ \ \ 6 & \ \ 1 & \ \ 6 \\ \ \ 5 & \ \ 10 & \ \ 5 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xix)\) \(A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & \ \ 2 \\ 2 & 4 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(f(x)=x^3+3x^2-x\) হলে, \(f(A)=I\) সমীকরণ হতে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 25 & -4 & -6 \\28 & \ \ 11 & \ \ 3 \\24 & \ \ 12 & \ \ 3 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xx)\) \(A=\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & \ \ 2 \\ 3 & 4 & -3 \end{bmatrix}\) এবং \(f(x)=x^3-4x^2-I\) হলে, \(f(A)=0\) সমীকরণ হতে \(A^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 1 & -7 & \ \ 6 \\ 8 & \ \ 10 & -18 \\ 2 & -25 & \ \ 23 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxi)\) \(A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ 3 & -5 \\ -4 & \ \ 7 \end{bmatrix}\) হলে, \(A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((AB)^T=B^TA^T\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & \ \ 0 & -2 \\ 2 & -1 & \ \ 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} -3 & \ \ 1 \\ \ \ 2 & \ \ 4 \\ \ \ 1 & -2 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((AB)^T=B^TA^T\)
রাঃ২০১৪ ।

\(Q.4.(xxiv)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 1 & 2 & \ \ 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ \ \ 2 & 3 & \ \ 4 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} -1 & \ \ 5 & \ \ 3 \\ \ \ 7 & -2 & \ \ 1 \\ \ \ 2 & \ \ 0 & -3 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \((AB)^T=B^TA^T\)

\(Q.4.(xxv)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^T+B=\left(A+B^T\right)^T\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) হলে , \((AB)^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 37 & -14 \\ -29 & \ \ 11 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxvii)\) \(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) হলে , হলে দেখাও যে, \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(A^{-1}=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & \ \ 2 & \ \ 1 \\ 1 & \ \ 1 & \ \ 1 \end{bmatrix}\) হলে ,\(A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\begin{bmatrix} \ \ 37 & -14 \\ -29 & \ \ 11 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স \(B\) নির্ণয় কর যেন \(AB=BA=I\) হয়।
উত্তরঃ \(B=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} \ \ 2 & -4 & \ \ 1 \\ \ \ 2 & \ \ 0 & -1 \\ -2 & \ \ 4 & \ \ 1 \end{bmatrix}\)

\(Q.4.(xxx)\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ \ \ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স \(B\) নির্ণয় কর যেন \(AB=BA=I\) হয়।
উত্তরঃ \(B=\begin{bmatrix} -2 & \ \ 1 & \ \ 2 \\ -1 & \ \ 1 & \ \ 1 \\ \ \ 6 & -3 & -5 \end{bmatrix}\)
সকলঃ ২০১৮ ।

\(Q.4.(xxxi)\) \(A=\begin{bmatrix} -2 & \ \ 6 & 4 \\ \ \ 1 & -3 & 2 \\ \ \ 1 & \ \ 5 & 2 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\frac{1}{64}\begin{bmatrix} -16 & \ \ 8 & 24 \\ \ \ 0 & -8 & 8 \\ \ \ 8 & \ \ 16 & 0 \end{bmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(B=A^{-1}\) হয়।