আমরা জানি,
ইংরেজি বর্ণমালায় মোট \(26\) টি বর্ণ আছে। এই \(26\) টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার \(5\) টি করে বর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দের সংখ্যা \(={^{26}P_{5}}\)
\(=\frac{26!}{(26-5)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{26.25.24.23.22.21!}{21!}\)
\(=26.25.24.23.22\)
\(=7893600\)

\(5\) টি স্থান \(2\) টি বিশেষ বস্তু দ্বারা পূরণের উপায় \(={^{5}P_{2}}\)
\(=\frac{5!}{(5-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3!}{3!}\)
\(=5.4\)
\(=20\)
অবশিষ্ট \((10-2)=8\) টি বস্তু হতে প্রতিবার \(3\) টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(={^{8}P_{3}}\)
\(=\frac{8!}{(8-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{8.7.6.5!}{5!}\)
\(=8.7.6\)
\(=336\)
\(\therefore 10\) টি বস্তু হতে প্রতিবার \(5\) টি নিয়ে যাতে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা \(=20\times336\)
\(=6720\)

\(10\) টি বস্তু হতে \(2\) টি বিশেষ বস্তু বর্জন করা হলে অবশিষ্ট \((10-2)=8\) টি বস্তু থাকে।
অবশিষ্ট \(8\) টি বস্তু হতে প্রতিবার \(2\) টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(={^{8}P_{2}}\)
\(=\frac{8!}{(8-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{8.7.6!}{6!}\)
\(=8.7\)
\(=56\)

দেওয়া আছে,
\({^{2n+1}P_{n-1}}:{^{2n-1}P_{n}}=3:5\)
\(\Rightarrow \frac{^{2n+1}P_{n-1}}{^{2n-1}P_{n}}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{(2n+1)!}{(2n+1-n+1)!}}{\frac{(2n-1)!}{(2n-1-n)!}}=\frac{3}{5}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(\Rightarrow \frac{\frac{(2n+1).2n.(2n-1)!}{(n+2)!}}{\frac{(2n-1)!}{(n-1)!}}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{(2n+1).2n.(2n-1)!}{(n+2)!}\times\frac{(n-1)!}{(2n-1)!}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2n(2n+1)}{(n+2).(n+1).n.(n-1)!}\times(n-1)!=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2(2n+1)}{(n+2)(n+1)}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{4n+2}{n^2+3n+2}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 3n^2+9n+6=20n+10\)
\(\Rightarrow 3n^2+9n+6-20n-10=0\)
\(\Rightarrow 3n^2-11n-4=0\)
\(\Rightarrow 3n^2-12n+n-4=0\)
\(\Rightarrow 3n(n-4)+1(n-4)=0\)
\(\Rightarrow (n-4)(3n+1)=0\)
\(\Rightarrow n-4=0, \ 3n+1=0\)
\(\Rightarrow n=4, \ n=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore n=4\) কারণ \(n\) ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে না।

'\(ENGINEERING\)' শব্দটিতে \(11\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(3\) টি \(E,\) \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সবকয়টি বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{11!}{3!3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times{3.2.1}\times2\times2}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4}{6\times4}\)
\(=11.10.9.8.7.5\)
\(=277200\)
\(E\) বর্ণ \(3\) টিকে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে পাই \(9\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সুতরাং \(E\) বর্ণ \(3\) টি পাশাপাশি থাকবে তখন বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{9!}{3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times2\times2}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4}{4}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
\(E\) বর্ণ \(3\) টিকে প্রথম স্থানের জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(8\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সুতরাং \(E\) বর্ণ \(3\) টি দ্বারা আরম্ভ হয় এরূপ বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{8!}{3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4.3!}{3!\times2\times2}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4}{4}\)
\(=8.7.6.5\)
\(=1680\)
প্রদত্ত শব্দটিতে \(5\) টি স্বরবর্ণ \(E, \ I, \ E, \ E, \ I\) যাদের মধ্যে \(3\) টি \(E\) ও \(2\) টি \(I\) আছে।
স্বরবর্ণ \(5\) টিকে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে পাই \(11-5+1=7\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সুতরাং এদের বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{7!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{7.6.5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=7.6.5.2\)
\(=420\)
স্বরবর্ণ \(5\) টির নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{5!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=5.2\)
\(=10\)
স্বরবর্ণ \(5\) টিকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা\(=420\times10\)
\(=4200\)
স্বরবর্ণ \(5\) টিকে পৃথক রেখে বিন্যাস সংখ্যা\(=\text{মোট বিন্যাস সংখ্যা}-\text{স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা}\)
\(=277200-4200\)
\(=273000\)
ক্রম পরিবর্তন না করায় \(5\) টি স্বরবর্ণ \(E, \ I, \ E, \ E, \ I\) পরস্পরের মধ্যে আগের বর্ণটি পরে এবং পরের বর্ণটি আগে আসতে পারে না। তাই স্বরবর্ণ \(5\) টি একজাতীয় বর্ণের ন্যায় অবস্থান করে। তাহলে \(11\) টি বর্ণের মধ্যে \(5\) টি স্বরবর্ণ এক জাতীয়, \(3\) টি \(N\) অন্য এক জাতীয় এবং \(2\) টি \(G\) অপর এক জাতীয়।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{11!}{5!3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5!}{5!\times{3.2.1}\times2}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6}{6\times2}\)
\(=11.10.9.4.7\)
\(=27720\)
প্রথম ও শেষ স্থানটি \(G\) \(2\) টির জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(11-2=9\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(E,\) \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R\) আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{9!}{3!3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times{3.2.1}\times2}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4}{6\times2}\)
\(=9.8.7.5.2\)
\(=5040\)
স্বরবর্ণ \(5\) টি নির্দিষ্ট (১ম, ৪র্থ, ষষ্ঠ, ৭ম এবং ৯ম) স্থানে নিজেরা বিন্যস্ত হয় যাদের মধ্যে \(3\) টি \(E,\) ও \(2\) টি \(I\) আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{5!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=5.2\)
\(=10\)
ব্যঞ্জনবর্ণ \(6\) টি নির্দিষ্ট (২য়, ৩য়, ৫ম, ৮ম , ১০ম এবং ১১ম) স্থানে নিজেরা বিন্যস্ত হয় যাদের মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) ও \(1\) টি \(R\)আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{6!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=6.5.2\)
\(=60\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(=10\times60\)
\(=600\)
\(R\) বর্ণটিকে প্রথম স্থানের জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(10\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(E,\) \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) ও \(2\) টি \(I\) আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{10!}{3!3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times{3.2.1}\times2\times2}\)
\(=\frac{10.9.8.7.6.5.4}{6\times4}\)
\(=10.9.8.7.5\)
\(=25200\)
ব্যঞ্জনবর্ণ \(6\) টিকে স্থির রেখে স্বরবর্ণ \(5\) টি যাদের মধ্যে \(3\) টি \(E,\) ও \(2\) টি \(I\) আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{5!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=5.2\)
\(=10\)
\(3\) টি \(E,\) \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) ও \(2\) টি \(I\) কে আলাদাভাবে একটি করে বর্ণ বিবেচনা করলে \(1\) টি \(R\) সহ মোট বর্ণ সংখ্যা \(5\) টি।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)

প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক অবশ্যই বিজোড় হয় অর্থাৎ অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক \(3\) ও \(5\) হবে।
আবার, যেসমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি \(5\) অংকবিশিষ্ট হবে না।
তাহলে, শেষ স্থানটি \(3\) এর জন্য স্থির রেখে প্রথম স্থানটি পর্যায়ক্রমে \(6, \ 5, \ 2\) কে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=3\times{^3P_{3}}\)
\(=3\times{3!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times6\)
\(=18\)
পুনরায়, শেষ স্থানটি \(5\) এর জন্য স্থির রেখে প্রথম স্থানটি পর্যায়ক্রমে \(6, \ 3, \ 2\) কে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=3\times{^3P_{3}}\)
\(=3\times{3!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times6\)
\(=18\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা \(=18+18\)
\(=36\)

'\(DAUGHTER\)' শব্দটিতে \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।
সবগুলি বর্ণের সাজানো সংখ্যা \(={^8P_{8}}\)
\(=8!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=40320\)
শব্দটিতে \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ যার মধ্যে \(3\) টি স্বরবর্ণ \(A, \ E, \ U\) আছে।
স্বরবর্ণ \(3\) টিকে একত্রে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে পাই \(8-3+1=6\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ।
সুতরাং এদের বিন্যাস সংখ্যা \(={^6P_{6}}\)
\(=6!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
স্বরবর্ণ \(3\) টির নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(={^3P_{3}}\)
\(=3!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3.2.1\)
\(=6\)
\(\therefore\) স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি রেখে সাজানো \(=720\times6\)
\(=4320\)
এখন, স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে সাজানো \(=40320-4320\)
\(=36000\)

'\(PERMUTATION\)' শব্দটিতে \(11\) টি বর্ণ আছে। যার মধ্যে \(5\) টি স্বরবর্ণ এবং \(6\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদেরকে স্থির রেখে \(6\) টি ব্যঞ্জনবর্ণের সাজনো সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে \(2\) টি \(T\) আছে।
সুতরাং এদের বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{6!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{6.5.4.3.2!}{2!}\)
\(=6.5.4.3\)
\(=360\)
'\(PERMUTATION\)' শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা বলে,
পুনরায় সাজানো সংখ্যা \(=360-1\)
\(=359\)

পাঁচটি পতাকার সম্ভাব্য নির্বাচন নিম্নরূপঃ

	সাদা \(1\) টি	সবুজ \(2\) টি	লাল \(3\) টি
(\(a\))	\(1\)	\(2\)	\(2\)
(\(b\))	\(1\)	\(1\)	\(3\)
(\(c\))	\(0\)	\(2\)	\(3\)

\((a)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=5.2.3\)
\(=30\)
\((b)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{3!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!}\)
\(=5.4\)
\(=20\)
\((c)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{3!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=5.2\)
\(=10\)
মোট সংকেত সংখ্যা \(=30+20+10\)
\(=60\)

'\(ALLAHABAD\)' শব্দটিতে মোট \(9\) টি বর্ণের মধ্যে \(4\) টি \(A\) এবং \(2\) টি \(L\) এবং অবশিষ্ট বর্ণগুলি ভিন্ন।
প্রদত্ত শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে মোট সাজানো সংখ্যা \(=\frac{9!}{4!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4!}{4!\times2}\)
\(=9.8.7.3.5\)
\(=7560\)
\(A\) চারটিকে একত্রে একটি বর্ণ মনে করলে বর্ণের সংখ্যা হবে \(9-4+1=6\) টি যার মধ্যে \(2\) টি \(L\) আছে।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{6!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{6.5.4.3.2!}{2!}\)
\(=6.5.4.3\)
\(=360\)
\(A\) চারটির নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{4!}{4!}\)
\(=1\)
\(A\) চারটিকে একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা \(=360\times1\)
\(=360\)
\(9\) টি স্থানের মধ্যে \(4\) টি জোড় স্থান \(4\) টি স্বরবর্ণ অর্থাৎ \(4\) টি \(A\) দ্বারা পূরণের উপায় \(=\frac{4!}{4!}\)
\(=1\)
অবশিষ্ট \(5\) টি বিজোড় স্থান \(5\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণ করতে হবে, যার মধ্যে \(2\) টি \(L\) আছে।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3.2!}{2!}\)
\(=5.4.3\)
\(=60\)
\(\therefore\) স্বরবর্ণগুলি জোড় স্থানে রেখে সাজানো সংখ্যা \(=1\times60\)
\(=60\)

\(5\) টি স্থান \(2\) টি বিশেষ বস্তু দ্বারা পূরণের উপায় \(={^{5}P_{2}}\)
\(=\frac{5!}{(5-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3!}{3!}\)
\(=5.4\)
\(=20\)
অবশিষ্ট \((12-2)=10\) টি বস্তু হতে প্রতিবার \(3\) টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(={^{10}P_{3}}\)
\(=\frac{10!}{(10-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{10.9.8.7!}{7!}\)
\(=10.9.8\)
\(=720\)
\(\therefore 12\) টি বস্তু হতে প্রতিবার \(5\) টি নিয়ে যাতে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা \(=20\times720\)
\(=14400\)

\(L.S={^{n}P_{r}}+r\times{^{n}P_{r-1}}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!}+r\times\frac{n!}{(n-r+1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{n!}{(n-r)!}+r\times\frac{n!}{(n-r+1)(n-r)!}\) ➜Note যেহেতু, \(n!=n(n-1)!\)
\(\therefore (n-r+1)!=(n-r+1)(n-r)!\)

\(=\frac{n!}{(n-r)!}\left(1+\frac{r}{n-r+1}\right)\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!}\left(\frac{n-r+1+r}{n-r+1}\right)\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!}\left(\frac{n+1}{n-r+1}\right)\)
\(=\frac{(n+1)n!}{(n-r+1)(n-r)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{(n-r+1)!}\) ➜Note যেহেতু, \((n+1)n!=(n+1)!\)
এবং \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!\)

\(=\frac{(n+1)!}{(n+1-r)!}\)
\(={^{(n+1)}P_{r}}\) ➜Note যেহেতু, \(\frac{n!}{(n-r)!}={^{n}P_{r}}\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)

প্রথম রাশি,
\(^{5}P_{2}\)
\(=\frac{5!}{(5-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3!}{3!}\)
\(=5.4\)
\(=20\)
দ্বিতীয় রাশি,
\(^{10}P_{3}\)
\(=\frac{10!}{(10-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{10.9.8.7!}{7!}\)
\(=10.9.8\)
\(=720\)

দেওয়া আছে,
\(^{n}P_{4}=14\times{^{n-2}P_{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{n!}{(n-4)!}=14\times\frac{(n-2)!}{(n-2-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-4)(n-5)!}=14\times\frac{(n-2)!}{(n-5)!}\) ➜Note যেহেতু, \(n!=n(n-1)(n-2)!\)
এবং \((n-4)!=(n-4)(n-5)!\)

\(\Rightarrow \frac{n(n-1)}{n-4}=14\)
\(\Rightarrow \frac{n^2-n}{n-4}=14\)
\(\Rightarrow n^2-n=14n-56\)
\(\Rightarrow n^2-n-14n+56=0\)
\(\Rightarrow n^2-15n+56=0\)
\(\Rightarrow n^2-7n-8n+56=0\)
\(\Rightarrow n(n-7)-8(n-7)=0\)
\(\Rightarrow (n-7)(n-8)=0\)
\(\Rightarrow n-7=0, \ n-8=0\)
\(\therefore n=7, \ n=8\)

সংকেতকারকের মোট পতাকা আছে \(\) টি এর মধ্যে \(2\) টি সবুজ ও \(3\) টি লাল।
একসঙ্গে \(6\) টি পতাকা ব্যবহার করে সংকেত সংখ্যা \(=\frac{6!}{2!3!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=6.5.2\)
\(=60\)
\(5\) টি পতাকার সম্ভাব্য নির্বাচন নিম্নরূপঃ

	সাদা \(1\) টি	সবুজ \(2\) টি	লাল \(3\) টি
(\(1\))	\(0\)	\(2\)	\(3\)
(\(2\))	\(1\)	\(1\)	\(3\)
(\(3\))	\(1\)	\(2\)	\(2\)

\((1)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!3!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!\times2}\)
\(=5.2\)
\(=10\)
\((2)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{3!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3!}{3!}\)
\(=5.4\)
\(=20\)
\((3)\) এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা অর্থাৎ সংকেত সংখ্যা \(=\frac{5!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=5.2.3\)
\(=30\)
মোট সংকেত সংখ্যা \(=10+20+30\)
\(=60\)

প্রদত্ত অঙ্কগুলি \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)
প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের টেলিফোন নম্বর গঠন করতে হলে, প্রথম স্থানে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(9\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি রাখতে হব এবং অঙ্কগুলি প্রতিটি স্থানে পুনরাবৃত্তি হতে পারে।
এখন, \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(9\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি নিয়ে প্রথম স্থান টি সাজানোর উপায় \(={^9P_{1}}\)
\(=\frac{9!}{(9-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8!}{8!}\)
\(=9\)
আবার, \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(10\) টি অঙ্কের যেকোনো \(4\) টি নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থানে পুনরাবৃত্তিসহ সাজানোর উপায় \(=10^{4} \) ➜Note পুনরাবৃত্তির নিয়মানুযায়ী,
বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)

\(=10000\)
সুতরাং প্রদত্ত শর্তে টেলিফোন নম্বর গঠন করা যায় \(=10000\times9\)
\(=90000\)
প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা গ্রামীণ ফোনের নম্বর গঠন করতে হলে, \((1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6)\) এই \(6\) টি অঙ্ক হতে যে কোনো \(1\) টি অঙ্ককে নিয়ে ৪র্থ স্থানটি পূর্ণ করা যায়,\(={^6P_{1}}\)
\(=\frac{6!}{(6-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{6.5!}{5!}\)
\(=6\)
প্রদত্ত \(10\) টি অঙ্ক হতে যে কোনো \(1\) টি অঙ্ককে নিয়ে ৫ম স্থানটি পূর্ণ করা যায়,\(={^{10}P_{1}}\)
\(=\frac{10!}{(10-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{10.9!}{9!}\)
\(=10\)
সুতরাং \(01710\) থেকে \(01769\) পর্যন্ত গ্রামীণ ফোনের কোড নম্বর গঠন করার উপায় \(=6\times10\)
\(=60\)
আবার, \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(10\) টি অঙ্কের যেকোনো \(6\) টি নিয়ে অবশিষ্ট \(11-5=6\) টি স্থানে পুনরাবৃত্তিসহ সাজানোর উপায় \(=10^{6} \) ➜Note পুনরাবৃত্তির নিয়মানুযায়ী,
বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)

\(=1000000\)
সুতরাং প্রদত্ত শর্তে গ্রামীণ ফোনের নম্বর গঠন করা যায় \(=1000000\times60\)
\(=60000000\)

'\(ENGINEERING\)' শব্দটিতে \(11\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(3\) টি \(E,\) \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{11!}{3!3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times{3.2.1}\times2\times2}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4}{6\times4}\)
\(=11.10.9.8.7.5\)
\(=277200\)
আবার, \(E\) বর্ণ \(3\) টিকে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে পাই \(9\) টি বর্ণ যাদের মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I,\) \(1\) টি \(R,\) আছে।
সুতরাং \(E\) বর্ণ \(3\) টি পাশাপাশি থাকবে তখন বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{9!}{3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3!}{3!\times2\times2}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4}{4}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
\(E\) তিনটি প্রথম স্থান দখল করে এরূপ বিন্যাস সংখ্যায়, এদের বিবেচনার বাইরে রেখে, বাকি বর্ণগুলি দ্বারা গঠিত বিন্যাস সংখ্যা বের করা যায়। \(E\) তিনটি বাদ দিয়ে অবশিষ্ট বর্ণ থাকে \(8\) টি, যার মধ্যে \(3\) টি \(N,\) \(2\) টি \(G,\) \(2\) টি \(I\) আছে।
\(E\) তিনটি প্রথম স্থানে থেকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{8!}{3!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4.3!}{3!\times2\times2}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4}{4}\)
\(=8.7.6.5\)
\(=1680\)

প্রদত্ত অঙ্কগুলি \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)
এখানে মোট সার্থক অঙ্ক \( 9\) টি যথাঃ \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)
এই সার্থক অঙ্ক \( 9\) টির সবগুলি নিয়ে সংখ্যা গঠনের মোট উপায় \(={^9P_{9}}\)
\(=9!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=9.8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=362880\)
এখানে মোট সার্থক অঙ্ক \( 9\) টি যথাঃ \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)
এর মধ্যে জোড় অঙ্ক \(4\) টি \((2, \ 4, \ 6, \ 8)\) এবং বিজোড় অঙ্ক \(5\) টি \((1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9)\)
এখন \(4\) টি জোড় অঙ্ককে \(4\) টি জোড় স্থানে সাজানোর উপায় \(={^4P_{4}}\)
\(=4!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
আবার, \(5\) টি বিজোড় অঙ্ককে \(5\) টি বিজোড় স্থানে সাজানোর উপায় \(={^5P_{5}}\)
\(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
সুতরাং প্রদত্ত শর্তে মোট সংখ্যা \(=24\times120\)
\(=2880\)
এখানে মোট সার্থক অঙ্ক \( 9\) টি যথাঃ \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)
এই \( 9\) টি অঙ্ক হতে প্রতিবার \(5\) টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠনের উপায় \(={^9P_{5}}\)
\(=\frac{9!}{(9-5)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে প্রথমে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
\(10\) টি অঙ্ক হতে \(5\) টি করে নিয়ে \(5\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^{10}P_{5}}\)
\(=\frac{10!}{(10-5)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{10.9.8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=10.9.8.7.6.5\)
\(=30240\)
আবার, প্রথমে শূন্য \((0)\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে প্রতিবার \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থানে সাজানোর উপায় \(={^{9}P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
\(\therefore \) প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠনের উপায় \(=30240-3024\)
\(=27216\)
প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে শেষ স্থানে বিজোড় অঙ্ক রাখতে হবে এবং প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
\(5\) টি বিজোড় অঙ্ক হতে যেকোনো \(1\) টিকে নিয়ে শেষ স্থানটি সাজানোর উপায় \(={^5P_{1}}\)
\(=\frac{5!}{(5-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4!}{5!}\)
\(=5\)
শেষ স্থানে যেকোনো \(1\) টি বিজোড় অঙ্ক রাখার পর অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক থেকে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
শেষ স্থানে বিজোড় অঙ্ক রেখে সাজানোর উপায় \(=5\times3024\)
\(=15120\)
আবার, প্রথম স্থানটি শূন্য \((0)\) জন্য স্থির রেখে শেষ স্থানে পর্যায়ক্রমে \((1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9)\) রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=5\times{^8P_{3}}\)
\(=5\times\frac{8!}{(8-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=5\times\frac{8.7.6.5!}{5!}\)
\(=5\times8.7.6\)
\(=1680\)
\(\therefore \) প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠনের মোট উপায় \(=15120-1680\)
\(=13440\)
প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে শেষ স্থানে \(0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8\) অঙ্কগুলি রাখতে হবে এবং প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
শেষ স্থানটি শূন্য \((0)\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক থেকে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
\(2, \ 4, \ 6, \ 8\) অঙ্কগুলির যেকোনো একটি নিয়ে শেষ স্থানটি সাজানোর উপায় \(={^4P_{1}}\)
\(=\frac{4!}{(4-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{4.3!}{3!}\)
\(=4\)
শেষ স্থনটি যে কোনো একটি জোড় অঙ্ক দ্বারা পূরণের পর অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
শেষ স্থানে জোড় অঙ্ক রেখে সাজানো সংখ্যা \(=4\times3024\)
\(=12096\)
আবার, প্রথম স্থানটি শূন্য \((0)\) জন্য স্থির রেখে শেষ স্থানে পর্যায়ক্রমে \(2, \ 4, \ 6, \ 8\) রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=4\times{^8P_{3}}\)
\(=4\times\frac{8!}{(8-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=4\times\frac{8.7.6.5!}{5!}\)
\(=4\times8.7.6\)
\(=1344\)
শেষ স্থানে জোড় অঙ্ক রেখে \(5\) অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা \(=12096-1344\)
\(=10752\)
প্রদত্ত শর্তে জোড় সংখ্যা গঠনের উপায় \(=3024+10752\)
\(=13776\)
\(50000\) থেকে \(60000\) এর মধ্যবর্তী সংখ্যা গঠন করতে হলে প্রথম স্থানে \(5\) রাখতে হবে
প্রথম স্থনটি \(5\) জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
\(50000\) অপেক্ষা বড় পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা গঠন করতে হলে প্রথম স্থানে \(5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(5\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি রাখতে হবে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(={^5P_{1}}\)
\(=\frac{5!}{(5-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4!}{4!}\)
\(=5\)
প্রথম স্থনে \(5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(5\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি রাখার পর অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
\(\therefore\) \(50000\) অপেক্ষা বড় পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা \(=5\times3024\)
\(=15120\)
\(50000\) অপেক্ষা বড় সর্বাধিক ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে প্রথম স্থানে \(5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(5\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি রাখতে হবে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(={^5P_{1}}\)
\(=\frac{5!}{(5-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4!}{4!}\)
\(=5\)
প্রথম স্থনে \(5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) এই \(5\) টি অঙ্কের যেকোনো \(1\) টি রাখার পর অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(4\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(5-1=4\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{4}}\)
\(=\frac{9!}{(9-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}\)
\(=9.8.7.6\)
\(=3024\)
\(\therefore\) \(50000\) অপেক্ষা বড় পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা \(=5\times3024\)
\(=15120\)
প্রদত্ত \(10\) টি অঙ্ক হতে \(6\) টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠনের উপায় \(={^{10}P_{6}}\)
\(=\frac{10!}{(10-6)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{10.9.8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=10.9.8.7.6.5\)
\(=151200\)
এদের মধ্যে প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) হলে সংখ্যাগুলি \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট হবে না।
এখন, প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(5\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(6-1=5\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{5}}\)
\(=\frac{9!}{(9-5)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=9.8.7.6.5\)
\(=15120\)
\(\therefore 6\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=151200-15120\)
\(=136080\)
\(50000\) অপেক্ষা বড় সর্বাধিক \(6\) অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=15120+136080\)
\(=151200\)
\(1000\) অপেক্ষা ছোট পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে, সংখ্যাগুলি \(1, \ 2\) এবং \(3\) অঙ্কবিশিষ্ট হবে এবং শেষ স্থানে \(0\) অথবা \(5\) রাখতে হবে। আবার, প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
\(5\) বিভাজ্য \(1\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=1\) টি।
\(5\) বিভাজ্য \(2\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ স্থানে শূন্য \((0)\) অথবা \(5\) রাখতে হবে এবং প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
এখন, শেষ স্থানে শূন্য \((0)\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(1\) টি অঙ্ক নিয়ে প্রথম স্থানটি সাজানোর উপায় \(={^9P_{1}}\)
\(=\frac{9!}{(9-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8!}{8!}\)
\(=9\)
আবার, শেষ স্থানে \(5\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(1\) টি অঙ্ক নিয়ে প্রথম স্থানটি সাজানোর উপায় \(={^9P_{1}}\)
\(=\frac{9!}{(9-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8!}{8!}\)
\(=9\)
আবার, প্রথম স্থানে \(0\) এবং শেষ স্থানে \(5\) রেখে সংখ্যা হবে \(1\) টি যা \(05\) উক্ত সংখ্যাটি \(2\) অঙ্কবিশিষ্ট নয়।
সুতরাং শেষ স্থানে \(5\) রেখে \(2\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপুর্ণ সংখ্যা হবে \(9-1=8\) টি ।
সুতরাং প্রদত্ত অঙ্কগুলির সাহায্যে গঠিত \(5\) দ্বারা বিভাজ্য অর্থপুর্ণ \(2\) অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হবে \(9+8=17\) টি ।
আবার, \(5\) বিভাজ্য \(3\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ স্থানে শূন্য \((0)\) অথবা \(5\) রাখতে হবে এবং প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) রাখা যাবে না।
শেষ স্থানে \(0\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(2\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(3-1=2\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{2}}\)
\(=\frac{9!}{(9-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7!}{7!}\)
\(=72\)
শেষ স্থানে \(5\) রেখে অবশিষ্ট \(10-1=9\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(2\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(3-1=2\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^9P_{2}}\)
\(=\frac{9!}{(9-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{9.8.7!}{7!}\)
\(=72\)
আবার, প্রথম স্থানে \(0\) এবং শেষ স্থানে \(5\) রেখে অবশিষ্ট \(10-2=8\) টি অঙ্ক হতে যেকোনো \(1\) টি অঙ্ক নিয়ে অবশিষ্ট \(3-2=1\) টি স্থান সাজানোর উপায় \(={^8P_{1}}\)
\(=\frac{8!}{(8-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{8.7!}{7!}\)
\(=8\)
সুতরাং শেষ স্থানে \(5\) রেখে \(3\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপুর্ণ সংখ্যা হবে \(72-8=64\) টি ।
সুতরাং প্রদত্ত অঙ্কগুলির সাহায্যে গঠিত \(5\) দ্বারা বিভাজ্য \(3\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপুর্ণ সংখ্যা হবে \(72+64=136\) টি ।
অতএব \(1000\) অপেক্ষা ছোট পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য অর্থপূর্ণ মোট সংখ্যা \(=1+17+136\)
\(=154\)

'\(TRIANGLE\)' শব্দটিতে মোট \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।
সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা \(={^8P_{8}}\)
\(=8!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=40320\)
আবার, শব্দটিতে মোট \(8\) টি বর্ণ যার মধ্যে স্বরবর্ণ \(3\) টি ও ব্যঞ্জন বর্ণ \(5\) টি।
স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে মোট বর্ণ সংখ্যা \(8-3+1=6\) টি।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(={^6P_{6}}\)
\(=6!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(={^3P_{3}}\)
\(=3!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3.2.1\)
\(=6\)
স্বরবর্ণগুলি একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা \(=720\times6\)
\(=4320\)
স্বরবর্ণগুলি পাশাপাশি না রেখে সাজানো সংখ্যা \(=40320-4320\)
\(=36000\)

'\(MATHEMATICS\)' শব্দটিতে মোট \(11\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(M,\) \(2\) টি \(A\) ও \(2\) টি \(T\) আছে।
সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{11!}{2!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4.3.2!}{2!\times2\times2}\)
\(=11.10.9.8.7.3.5.2.3\)
\(=4989600\)
আবার, শব্দটিতে মোট \(11\) টি বর্ণ যার মধ্যে স্বরবর্ণ \(4\) টি ও ব্যঞ্জন বর্ণ \(7\) টি।
স্বরবর্ণ \(4\) টির মধ্যে \(2\) টি \(A\)আছে।
স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে মোট বর্ণ সংখ্যা \(11-4+1=8\) টি যার মধ্যে \(2\) টি \(M,\) ও \(2\) টি \(T\) আছে।
এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{8!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{8.7.6.5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=8.7.6.5.2.3\)
\(=10080\)
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{4!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{4.3.2!}{2!}\)
\(=4.3\)
\(=12\)
\(\therefore\) স্বরবর্ণগুলি একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা \(=10080\times12\)
\(=120960\)
স্বরবর্ণগুলি একত্রে না রেখে সাজানো সংখ্যা \(=\text{সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে সাজানো সংখ্যা}-\text{স্বরবর্ণগুলি একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা}\)
\(=4989600-120960\)
\(=4868640\)
প্রথম স্থানটি \(I\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(11-1=10\) টি বর্ণের মধ্যে \(2\) টি \(M,\) \(2\) টি \(A\) ও \(2\) টি \(T\) আছে।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{10!}{2!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2!}{2!\times2\times2}\)
\(=10.9.8.7.3.5.2.3\)
\(=453600\)
প্রথম এবং শেষ স্থান দুইটি \(T\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(11-2=9\) টি বর্ণের মধ্যে \(2\) টি \(M\) ও \(2\) টি \(A\)আছে।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{9!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{9.8.7.6.5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=9.8.7.6.5.2.3\)
\(=90720\)
\(2\) টি \(M,\) \(2\) টি \(A\) ও \(2\) টি \(T\) কে পৃথকভাবে একটি করে বর্ণ বিবেচনা করলে মোট \(11-2-2-2+1+1+1=8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ দাঁড়ায়।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(={^8P_{8}}\)
\(=8!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=40320\)
স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন না করে।
অর্থাৎ স্বরবর্ণ \(4\) টিকে একজাতীয় বর্ণ বিবেচনা করে,
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{11!}{4!2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{11.10.9.8.7.6.5.4!}{4!\times2\times2}\)
\(=11.10.9.2.7.6.5\)
\(=415800\)
স্বরবর্ণগুলিকে স্থির রেখে অবশিষ্ট \(7\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(M\) ও \(2\) টি \(T\) আছে।
এক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=7.6.5.2.3\)
\(=1260\)
স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে।
অর্থাৎ স্বরবর্ণ \(4\) টির নিজেদের স্থানে বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{4!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{4.3.2!}{2!}\)
\(=12\)
আবার, ব্যঞ্জনবর্ণ \(7\) টির নিজেদের স্থানে বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=1260\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=1260\times12\)
\(=15120\)
ব্যঞ্জনবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন করবে না।
অর্থাৎ ব্যঞ্জনবর্ণগুলি স্থির রেখে স্বরবর্ণ \(4\) টির বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{4!}{2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{4.3.2!}{2!}\)
\(=12\)

প্রদত্ত \(6\) টি অঙ্ক হতে প্রতিবার \(3\) টি করে নিয়ে সাজানো সংখ্যা \(={^6P_{3}}\)
\(=\frac{6!}{(6-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{6.5.4.3!}{3!}\)
\(=6.5.4\)
\(=120\)

'\(CALCULUS\)' শব্দটিতে \(2\) টি \(C,\) \(2\) টি \(L\) এবং \(2\) টি \(U\) সহ মোট \(8\) টি বর্ণ আছে ।
প্রথম ও শেষ স্থান দুইটি \(U\) দুইটির জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(8-2=6\) টি স্থান অবশিষ্ট \(8-2=6\) টি অঙ্ক দ্বারা পূরণের উপায় (যার মধ্যে \(2\) টি \(C\)এবং \(2\) টি \(L\) আছে)
এই ক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(=\frac{6!}{2!2!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{6.5.4.3.2!}{2!\times2}\)
\(=6.5.2.3\)
\(=180\)

প্রদত্ত \(6\) টি অঙ্ক একেবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা \(={^6P_{6}}\)
\(=6!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=6.5.4.3.2.1\)
\(=720\)
যে সমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট হবে না।
প্রথম স্থানটি \(0\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(6-1=5\) টি স্থান \(6-1=5\) টি অঙ্ক দ্বারা পূরণের উপায় \(={^5P_{5}}\)
\(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
\(\therefore 6\) অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=720-120\)
\(=600\)

প্রদত্ত \(5\) টি অঙ্ক হতে প্রত্যেকবার \(4\) টি অঙ্ক (প্রত্যেকটি একাধিকবার ) নিয়ে \(4\) অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা \(=5^{4}\) ➜Note পুনরাবৃত্তির নিয়মানুযায়ী,
বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)

\(=625\)
প্রদত্ত \(5\) টি অঙ্ক হতে প্রত্যেকবার \(4\) টি অঙ্ক (প্রত্যেকটি কেবল একবার ) নিয়ে \(4\) অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা \(={^5P_{4}}\)
\(=\frac{5!}{(5-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3.2.1!}{1!}\)
\(=5.4.3.2\)
\(=120\)
\(\therefore\) একই অঙ্ক একাধিকবার থাকবে এরূপ সংখ্যা \(=625-120\)
\(=505\)

'\(EQUATION\)' শব্দটিতে মোট \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ যার মধ্যে \(5\) টি স্বরবর্ণ ও \(3\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
সবগুলি বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^8P_{8}}\)
\(=8!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=40320\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ ব্যবহার করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^8P_{4}}\)
\(=\frac{8!}{(8-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=8.7.6.5\)
\(=1680\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ ব্যবহার করে প্রথমে \(Q\) রেখে।
অর্থাৎ প্রথম স্থানটি \(Q\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(7\) টি বর্ণ হতে \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^7P_{3}}\)
\(=\frac{7!}{(7-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{7.6.5.4!}{4!}\)
\(=7.6.5\)
\(=210\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ ব্যবহার করে প্রথমে \(Q\) এবং শেষে \(N\) রেখে।
অর্থাৎ প্রথম স্থানটি \(Q\) এর জন্য এবং শেষ স্থানটি \(N\) এর জন্য স্থির রেখে অবশিষ্ট \(6\) টি বর্ণ হতে \(2\) টি করে বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^6P_{2}}\)
\(=\frac{6!}{(6-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{6.5.4!}{4!}\)
\(=6.5\)
\(=30\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ ব্যবহার করে যেখানে \(Q\) সর্বদা অন্তভুক্ত থাকবে, কিন্ত \(N\) থাকবে না।
\(Q\) সর্বদা অন্তভুক্ত রেখে এবং \(N\) বাদ রেখে অবশিষ্ট \(6\) টি বর্ণ হতে \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^6P_{3}}\)
\(=\frac{6!}{(6-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{6.5.4.3!}{3!}\)
\(=6.5.4\)
\(=120\)
আবার, \(4\) টি স্থান \(1\) টি \(Q\) দ্বারা পূরণের উপায় \(={^4P_{1}}\)
\(=\frac{4!}{(4-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{4.3!}{3!}\)
\(=4\)
\(\therefore\) \(Q\) সর্বদা অন্তভুক্ত রেখে এবং \(N\) বাদ রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=120\times4\)
\(=480\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ নিয়ে পুনরাবৃত্তি করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=8^{4}\) ➜Note পুনরাবৃত্তির নিয়মানুযায়ী,
বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)

\(=4096\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ নিয়ে পুনরাবৃত্তি করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=8^{4}\) ➜Note পুনরাবৃত্তির নিয়মানুযায়ী,
বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)

\(=4096\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ নিয়ে পুনরাবৃত্তি না করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^8P_{4}}\)
\(=\frac{8!}{(8-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!}\)
\(=8.7.6.5\)
\(=1680\)
যেকোনো \(4\) বর্ণ নিয়ে দুই বা ততোধিক একই বর্ণ ব্যবহার করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=4096-1680\)
\(=2416\)
\(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে, স্বরবর্ণকে মাঝখানে রেখে।
\(1\) টি মধ্য স্থান \(5\) টি স্বরবর্ণ দ্বারা পূরণের উপায় \(={^5P_{1}}\)
\(=\frac{5!}{(5-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4!}{4!}\)
\(=5\)
\(2\) টি পার্শ স্থান \(3\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণের উপায় \(={^3P_{2}}\)
\(=\frac{3!}{(3-2)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{3.2.1!}{1!}\)
\(=6\)
\(\therefore\) \(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে, স্বরবর্ণকে মাঝখানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=5\times6\)
\(=30\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে জোড় স্থানে রেখে।
\(8\) টি স্থানের মধ্যে \(4\) টি জোড় ও \(4\) টি বিজোড় স্থান আছে।
\(4\) টি জোড় স্থান \(3\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণের উপায় \(={^4P_{3}}\)
\(=\frac{4!}{(4-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{4.3.2.1!}{1!}\)
\(=24\)
আবার, \(5\) টি স্বরবর্ণ দ্বারা \(4\) টি বিজোড় স্থান পূরণের উপায় \(={^5P_{4}}\)
\(=\frac{5!}{(5-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3.2.1!}{1!}\)
\(=120\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=24\times120\)
\(=2880\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে শুরুতে স্বরবর্ণ রেখে।
অর্থাৎ প্রথম স্থানটি \(5\) টি স্বরবর্ণ দ্বারা পূরণের উপায় \(={^5P_{1}}\)
\(=\frac{5!}{(5-1)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4!}{4!}\)
\(=5\)
প্রথম স্থানটিতে \(1\) টি স্বরবর্ণ বসানোর পর অবশিষ্ট \(7\) টি বর্ণ দ্বারা \(7\) টি স্থান পূরণের উপায় \(={^7P_{7}}\)
\(=7!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=7.6.5.4.3.2.1\)
\(=5040\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে শুরুতে স্বরবর্ণ রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=5\times5040\)
\(=25200\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে।
অর্থাৎ \(5\) টি স্বরবর্ণকে একত্রে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে মোট বর্ণের সংখ্যা দাঁড়ায় \(8-5+1=4\) টি।
এইক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(={^4P_{4}}\)
\(=4!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
আবার, \(5\) টি স্বরবর্ণের নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(={^5P_{5}}\)
\(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=24\times120\)
\(=2880\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক রেখে।
সবগুলি বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^8P_{8}}\)
\(=8!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=8.7.6.5.4.3.2.1\)
\(=40320\)
অর্থাৎ \(5\) টি স্বরবর্ণকে একত্রে \(1\) টি বর্ণ বিবেচনা করে মোট বর্ণের সংখ্যা দাঁড়ায় \(8-5+1=4\) টি।
এইক্ষেত্রে সাজানো সংখ্যা \(={^4P_{4}}\)
\(=4!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=4.3.2.1\)
\(=24\)
আবার, \(5\) টি স্বরবর্ণের নিজেদের মধ্যে সাজানো সংখ্যা \(={^5P_{5}}\)
\(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=24\times120\)
\(=2880\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=40320-2880\)
\(=37440\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন না করে।
অর্থাৎ স্বরবর্ণগুলিকে স্থির রেখে ব্যঞ্জনবর্ণ \(3\) টির বিন্যাস সংখ্যা\(={^3P_{3}}\)
\(=3!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3.2.1\)
\(=6\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে।
অর্থাৎ স্বরবর্ণ \(5\) টির নিজেদের স্থানে বিন্যাস সংখ্যা\(={^5P_{5}}\)
\(=5!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=5.4.3.2.1\)
\(=120\)
আবার, ব্যঞ্জনবর্ণ \(3\) টির নিজেদের স্থানে বিন্যাস সংখ্যা\(={^3P_{3}}\)
\(=3!\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3.2.1\)
\(=6\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=120\times6\)
\(=720\)
সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন না করে।
অর্থাৎ স্বরবর্ণ \(5\) টিকে একজাতীয় বর্ণ বিবেচনা করে বিন্যাস সংখ্যা\(=\frac{8!}{5!}\) ➜Note \(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
\(=\frac{8.7.6.5!}{5!}\)
\(=8.7.6\)
\(=336\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে বিজোড় স্থানে রেখে।
\(8\) টি স্থানের মধ্যে \(4\) টি জোড় ও \(4\) টি বিজোড় স্থান আছে।
\(4\) টি বিজোড় স্থান \(3\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণের উপায় \(={^4P_{3}}\)
\(=\frac{4!}{(4-3)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{4.3.2.1!}{1!}\)
\(=24\)
আবার, \(5\) টি স্বরবর্ণ দ্বারা \(4\) টি জোড় স্থান পূরণের উপায় \(={^5P_{4}}\)
\(=\frac{5!}{(5-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{5.4.3.2.1!}{1!}\)
\(=120\)
\(\therefore\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(=24\times120\)
\(=2880\)

প্রদত্ত অঙ্কগুলি \(2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) অর্থাৎ \(7\) টি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক আছে।
\(7\) টি অঙ্ক হতে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা\(={^7P_{4}}\)
\(=\frac{7!}{(7-4)!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(=\frac{7.6.5.4.3!}{3!}\)
\(=7.6.5.4\)
\(=840\)

প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক অবশ্যই বিজোড় হয় অর্থাৎ অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক \(5\) ও \(7\) হবে।
আবার, যেসমস্ত সংখ্যার প্রথম স্থানে \(0\) থাকবে সেগুলি \(5\) অংকবিশিষ্ট হবে না।
তাহলে, শেষ স্থানটি \(5\) এর জন্য স্থির রেখে প্রথম স্থানটি পর্যায়ক্রমে \(8, \ 4, \ 7\) কে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=3\times{^3P_{3}}\)
\(=3\times{3!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times6\)
\(=18\)
পুনরায়, শেষ স্থানটি \(7\) এর জন্য স্থির রেখে প্রথম স্থানটি পর্যায়ক্রমে \(8, \ 5, \ 4\) কে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=3\times{^3P_{3}}\)
\(=3\times{3!}\) ➜Note যেহেতু, \(^{n}P_{n}=n!\)

\(=3\times{3.2.1}\)
\(=3\times6\)
\(=18\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা \(=18+18\)
\(=36\)