বিন্যাস
Permutations
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
ভাস্করা- II (১১১৪ খ্রিস্টাব্দ-১১৮৫ খ্রিস্টাব্দ)
ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ
বৈচিত্রময় পৃথিবীতে মানুষ বিচিত্রভাবে সাজতে চায়। ক্রম বিবেচনা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো বিন্যাস এবং উপেক্ষা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো সমাবেশ। উদাহরণস্বরূপ, ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগের পাঁচটি ফোন নম্বরের একটি হলো \(8626182\) । এক্ষেত্রে কোনো একটি অংকের ক্রম পরিবর্তন করলে কাঙ্ক্ষিত সংযোগ পাওয়া সম্ভব নয়। তাই আমরা বলতে পারি ফোন নম্বরের ক্ষেত্রে ক্রম একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, ক্রম বিবেচনা করে সাজানোর এই প্রক্রিয়া হলো বিন্যাস। আবার, ধরা যাক, বাংলাদেশ (B), পাকিস্তান (P) ও ভারত (I) তিনটি দল একটি ত্রিদেশীয় সিরিজে প্রত্যেকেই প্রত্যেকের সাথে একটি করে ম্যাচ খেলে, তাহলে খেলার ফিক্সচার হবে (\(B \ VS \ P\)), (\(B \ VS \ I\)) ও (\(P \ VS \ I\)) কিন্তু ফিক্সচারটি অন্যভাবে লিখা যায় (\(P \ VS \ B\)), (\(I \ VS \ B\)) ও (\(I \ VS \ P\))। এখানে দুইটি ফিক্সচার একই অর্থ বহন করে। এক্ষেত্রে ক্রমের বিষয়টি উপেক্ষিত। ক্রম বিবেচনা না করে সাজানোর এই প্রক্রিয়া হলো সমাবেশ।
সর্বপ্রথম ১১৫০ সালের দিকে সংখ্যাতত্ত্বের বিন্যাস ও এর নিয়ম সম্পর্কে নিদর্শন পাওয়া যায়। ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর ৮৫০ খ্রিস্টাব্দে বিন্যাস ও সমাবেশের সাধারণ ধর্মাবলি আবিষ্কার করেন। পরবর্তীতে ভাস্ককরা- II 'লীলাবতী' (Lilavati) গ্রন্থে বিন্যাস ও সমাবেশের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ও কৌশল লিপিবদ্ধ করেন। 'Solution of numerical Equation' এ জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ straight3 জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেজ
(১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ)
জোসেফ-লুই ল্যাগ্রাঞ্জ, জিউসেপ লুইগি ল্যাংরেঞ্জ বা লেগ্রাঙ্গিয়া নামেও রিপোর্ট করা হয়েছিল, তিনি ছিলেন একজন ইতালীয় গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী, পরবর্তীতে ফরাসি ভাষায় প্রাকৃতিকীকরণ করেছিলেন। তিনি বিশ্লেষণ, সংখ্যা তত্ত্ব এবং শাস্ত্রীয় এবং স্বর্গীয় যান্ত্রিক উভয় ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন।
(Joseph louis Lagrage) (১৭৩৬খ্রিস্টাব্দ-১৮১৫খ্রিস্টাব্দ) বিন্যাস ও সমাবেশের আধুনিকায়ন করেন। টেলিযোগাযোগ ব্যবস্থায় ব্যবহৃত ভুল চিহ্নিতকরণ এবং সংশোধন অ্যালগরিদমে বিন্যাস ব্যবহৃত হয়। ব্যবহারিক জীবনে, গণিত ও বিজ্ঞানে এটির প্রয়োজন অনস্বীকার্য।
সার সংক্ষেপ
ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background) গণনার যোজন ও গুণন বিধি (Addition and multiplicatiion law of counting)বিন্যাস (Permutations)\(n!\) এর ব্যাখ্যা বা ফ্যাকটোরিয়াল \(n\) (Factorial n) \(0!\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(0!\)) বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\) বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\) \(^nP_{0}=1\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(^nP_{0}=1\)) বিন্যাস সংখ্যা \(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)(Permutations of such objects is not all different) বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)(Permutations in which objects can be repeated) চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\) অথবা, \(=\frac{(n-1)!}{2}\)(Cycle Permutations)বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r}}\) বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\) (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\)) অধ্যায় \(1A\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
গণনার যোজন ও গুণন বিধি
Addition and multiplicatiion law of counting
গণনার যোজন বিধিঃ একটি কাজ সম্ভাব্য \(m\) সংখ্যক উপায়ে অথবা কাজটি সম্ভাব্য \(n\) সংখ্যক উপায়ে অথবা কাজটি সম্ভাব্য \(r\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করতে পারলে, কাজটি একত্রে সম্ভাব্য \((m+n+r)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে।
ধরি,
কোনো শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে \(a, \ b, \ c, \ d\) নামের চার জন শিক্ষক আছেন। তাঁদের মধ্যে থেকে প্রতিবারে একজন, দুইজন ও তিনজন করে নিয়ে কতগুলি কমিটি গঠন করা যাবে? সমস্যাটি নিম্নরূপে সমাধান করা যায়ঃ
addpermutation
অতএব মোট কমিটির সংখ্যা \(=4+6+4=14\) ইহাই গণনার যোজন বিধি।
গণনার গুণন বিধিঃ যদি \(m\) সংখ্যক উপায়ে কোনো একটি কাজ সম্পন্ন করা যায় এবং ঐ কাজের উপর নির্ভরশীল দ্বিতীয় একটি কাজ \(n\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তবে কাজ দুইটি একত্রে \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে।
গণনার উপাদানগুলি তালিকাবদ্ধ আকারে সাজানো থাকলে গণনা খুবই সহজ হয়। গণনা খুবই কঠিন যদি গণনার উপাদানগুলি সুবিন্যস্ত না থাকে কিংবা গণনার আকার অনেক বড় হয়। এখানে আমরা গণনার সুবিধাজনক পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব।
মনে করি,
তন্ময়ের ভিন্ন ভিন্ন 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট আছে। এগুলোর মধ্য থেকে সে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট কত উপায়ে পছন্দ করতে পারবে তা নিচের চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো।
multipermutation
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে সে 12 উপায়ে একটি টিশার্ট ও একটি হাফ প্যান্ট পরতে পারবে। মজার ব্যাপার হচ্ছে সে মাত্র 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট দ্বারা 12 বার ভিন্ন ভিন্ন পোশাক পরতে পারবে।
এখানে তন্ময় তার 4টি টিশার্ট থেকে 1টি টিশার্ট বেছে নিতে পারে 4 উপায়ে।
আবার প্রতিটি টিশার্ট এর জন্য 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে 3 উপায়ে।
সুতরাং 4টি টিশার্ট ও 3টি হাফ প্যান্ট থেকে 1টি টিশার্ট ও 1টি হাফ প্যান্ট বেছে নিতে পারে \(4\times3=12\) উপায়ে। অতএব গণনার মূল তত্ত্বটি দাঁড়ায় যদি \(m\) সংখ্যক উপায়ে কোনো একটি কাজ সম্পন্ন করা যায় এবং ঐ কাজের উপর নির্ভরশীল দ্বিতীয় একটি কাজ \(n\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তবে কাজ দুইটি একত্রে \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। এটাই গণনার গুণন বিধি। একে সাধারণ বিধিতে পরিণত করা যায়।
উপরের দুইটি কাজ \((m\times{n})\) সংখ্যক উপায়ের একটি উপায়ে সম্পদিত হওয়ার পর তৃতীয় একটি কাজ p সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা গেলে তিনটি কাজ একত্রে \((m\times{n}\times{p})\) সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
বিন্যাস
Permutations
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একেবারে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে। \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সাজানোর সংখ্যাই হলো বিন্যাস সংখ্যা। এখানে \(n\) ও \(r\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) হবে। যেখানে, \(n=Total \ Number\) এবং \(r=Taken \ Number\)
বিন্যাস সংখ্যাকে \(^nP_{r}\) বা \(nPr\) বা \(P(n,r)\) দ্বারা সূচিত করা হয়।
যেমনঃ \(a, \ b, \ c\) তিনটি বর্ণ থেকে দুটি করে নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(ab, \ ba, \ bc, \ cb, \ ac, \ ca\)
অর্থাৎ \(^3P_{2}=6\)
আবার, সব কয়টি নিয়ে সাজানোর উপায়ঃ
\(abc, \ acb, \ bac, \ bca, \ cab, \ cba\)
অর্থাৎ \(^3P_{3}=6\)
\(n!\) এর ব্যাখ্যা বা ফ্যাকটোরিয়াল
Explanation or factorial of n (n!)
সাংকেতিক চিহ্ন \(!\) বা permutationmark দ্বারা ফ্যাক্টোরিয়ালকে প্রকাশ করা হয় এবং প্রথম \(n\) সংখ্যক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ক্রমিক গুণফলকে \(n!\) বা permutationmark দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বর্তমানে \(n!\) চিহ্নটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
সুতরাং,
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(6!=6.5.4.3.2.1=720\)
\(5!=5.4.3.2.1=120\)
\(4!=4.3.2.1=24\)
\(3!=3.2.1=6\)
\(2!=2.1=2\)
\(1!=1\) ইত্যাদি।
আবার, \(n!=n(n-1)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\)
\(... \ ... \ ... \ ..\)
\(\therefore n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(0!\) এর ব্যাখ্যা
Explanation of \(0!\)
আমরা জানি,
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3) .....3.2.1\)
\(\Rightarrow n!=n(n-1)!\) ➜ \(\because (n-1)!=(n-1)(n-2) ...... 3.2.1\)

\(\Rightarrow n(n-1)!=n!\)
\(\therefore (n-1)!=\frac{n!}{n} .......(1)\)
\((1)\) সমীকরণে \(n=1\) বসিয়ে,
\((0)!=\frac{1!}{1}\)
\(\Rightarrow 0!=\frac{1}{1}\) ➜ \(\because 1!=1\)

\(\therefore 0!=1\)
\(0!=1\)
সবগুলি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার কয়েকটি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
Permutations with a few objects at a time from all the different objects \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{when,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)

\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে যত প্রকার বিন্যাস গঠন করা যায় তা
\(^nP_{r}\) এর সমান।
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ১ম স্থানটি সাজানো যায় \(n\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{1}=n\) উপায়ে।
১ম স্থানটি যেকোনো একটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-1)\) টি।
\((n-1)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে ২য় স্থানটি সাজানো যায় \((n-1)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম দুইটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{2}=n(n-1)\) উপায়ে।
১ম দুটি স্থান যেকোনো দুইটি দ্বারা পূর্ণ করার পর অবশিষ্ট বস্তু থাকে \((n-2)\) টি।
\((n-2)\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে যেকোনো একটি নিয়ে তৃতীয় স্থানটি সাজানো যায় \((n-2)\) উপায়ে।
\(\therefore\) গুণনবিধি অনুযায়ী ১ম তিনটি স্থান একত্রে সাজানো যায় \(n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অর্থাৎ \(^nP_{3}=n(n-1)(n-2)\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, অগ্রসর হলে বলা যায় যে, \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থানের জন্য \(r\) সংখ্যক উৎপাদক সৃষ্টি হবে।
অর্থাৎ , \(^nP_{r}=n(n-1)(n-2) ......... r\text{ সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... {n-(r-1)}\)
\(=n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ......... (n-r+1)(n-r) ...... 3.2.1}{(n-r) ...... 3.2.1}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((n-r) ...... 3.2.1\) গুণ করে।

\(\therefore ^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)(n-r) ... 3.2.1=n!\)
\((n-r) ... 3.2.1=(n-r)!\)

সবকয়টি বস্তু একেবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
Permutations with all the objects at a time \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে সবকয়টি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)

\(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\Rightarrow ^nP_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}\) ➜ \(r=n\) বসিয়ে।

\(=\frac{n!}{0!}\)
\(=\frac{n!}{1}\) ➜ \(\because 0!=1\)

\(=n!\)
\(\therefore ^nP_{n}=n!\)
\(^nP_{0}=1\) এর ব্যাখ্যা
Explanation of \(^nP_{0}=1\)
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
\(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ (\text{যখন, n এবং r ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং} \ n\ge{r})\)
\(\therefore ^nP_{0}=\frac{n!}{(n-0)!}\) ➜ \(r=0\) বসিয়ে।

\(=\frac{n!}{n!}\)
\(=1\)
\(\therefore {^nP_{0}}=1\)
\(^nP_{0}=1\)
সবগুলি ভিন্ন নহে এরূপ বস্তুর বিন্যাস
Permutations of such objects is not all different
\(n\) সংখ্যক বস্তুর সব কয়টি একবারে নিয়ে সাজানো সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, \(q\) সংখ্যক বস্তু দ্বিতীয় প্রকার, \(r\) সংখ্যক বস্ত তৃতীয় প্রকার এবং অবশিষ্ট বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন। সবগুলি বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(x\) হলে,
\(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(x\); এদের যেকোনো একটি থেকে যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হতো, তবে সাজানোর পদ্ধতি পরিবর্তন করে \(p!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস তৈরি করা যেত। অতএব, যদি \(p\) একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে (\(x\times{p!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যায়।
অনুরয়পভাবে, যদি \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয় তবে দ্বিতীয় সেট বিন্যাসের প্রত্যেকটি থেকে \(q!\) সংখ্যক নতুন বিন্যাস পাওয়া যায়। অতএব, যদি \(p\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু ও \(q\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তুর সবগুলি স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা (\(x\times{p!}\)\(\times{q!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই। অধিকন্ত যদি \(r\) সংখ্যক একজাতীয় বস্তু স্বতন্ত্র হয়, তবে আমরা মোট (\(x\times{p!}\) \(\times{q!}\)\(\times{r!}\)) সংখ্যক বিন্যাস পাই।
এখন সবগুলি বস্তুই স্বতন্ত্র, ফলে, \(n\) সংখ্যক বস্তুর সবকয়টিকে একেবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(n!\)
তাহলে, \(x\times{p!}\times{q!}\times{r!}=n!\)
\(\therefore x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)
বস্তুসমূহের পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে এরূপ ক্ষেত্রে বিন্যাস
Permutations in which objects can be repeated
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা , যেখানে যেকোনো বস্তুর \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে।
\(r \text{ সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা } =n^{r}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে ক্রম বিবেচনা করে প্রতিবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যেখানে যেকোনো বস্তুর \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে।
এখানে \(n\) সংখ্যক বস্তু দ্বারা \(r\) সংখ্যক শূন্য স্থান যত প্রকারে পূরণ করা যায় তা হলো নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।
এক্ষেত্রে প্রথম স্থান, দ্বিতীয় স্থান, প্রথম তৃতীয় স্থান ইত্যাদির প্রত্যেকটি স্থান \(n\) সংখ্যক উপায়ে পূরণ করা যায়, কারণ সবগুলি বস্তু বার বার ব্যবহার করা যায়। সুতরাং তিনটি স্থান একত্রে \(n\times{n}\) \(\times{n}\) বা \(n^{3}\) উপায়ে পূরণ করা যায়।
অর্থাৎ বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{3}\)
এভাবে অগ্রসর হলে, \(r\) সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে \(r\) সংখ্যক স্থান পূরণের উপায় তথা নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)
চক্র বিন্যাস
Cycle Permutations
নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে সব কয়টি একেবারে নিয়ে যত প্রকারে বৃত্তাকারে বা চক্রাকারে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে একটি চক্র বিন্যাস বলে। চক্র বিন্যাস নির্ণয় করতে হলে একটি বস্তুকে স্থির রাখতে হয়। সুতরাং \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে একটি বস্তুকে স্থির রেখে অবশিষ্ট \((n-1)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\)।
যদি চক্রাকারে বিন্যাস সংখ্যা ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত একই হয়, তবে \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে একেবারে সবগুলি নিয়ে চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{(n-1)!}{2}\)
যখন ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত ভিন্ন হয়, অর্থাৎ উভয় দিক থেকে দেখার সুযোগ নেইঃ
চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\)
যখন ডানাবর্ত এবং বামাবর্ত একই হয়, অর্থাৎ উভয় দিক থেকে দেখা যায়ঃ
চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{(n-1)!}{2}\)
q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা বর্জন করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস
যখন কোনো \(q\) সংখ্যক বস্তু কোনো বিন্যাসেরই অন্তর্গত হয় না তখন একে একেবারে বর্জন করলে অবশিষ্ট \((n-q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস গঠন করতে হয়।
অতএব এই ক্ষেত্রেঃ
বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r}}\)
q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা গ্রহণ করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\))
q সংখ্যক বস্তুকে সর্বদা গ্রহণ করে n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে প্রত্যেকবার r সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\) (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\))
বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)

প্রমাণঃ
ধরি,
\(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে নির্দিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে পৃথক করে রাখা হলো। অতঃপর \((n-q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-q)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস গঠন করা হলে মোট \(^{n-q}P_{r-q}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। আবার \(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুর একপাশ থেকে একটির পর একটি বিবেচনা করলে, ১ম বস্তুটি সাজানো যাবে \((r-q+1)\) প্রকারে, ২য় বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+2)\) প্রকারে এবং এভাবে \(q\) তম বস্তুটিকে সাজানো যাবে \((r-q+q)\) বা \(r\) প্রকারে।
\(q\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তুকে সাজানো যাবে মোট \(=(r-q+1)(r-q+2) ........ r\) প্রকারে।
\(=r ........ (r-q+1)(r-q+2)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+2)(r-q+1)\)
\(=r(r-1) ........ (r-q+1)\)
\(=\frac{r(r-1) ........ (r-q+1)(r-q)!}{(r-q)!}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((r-q)!\) গুণ করে,

\(=\frac{r!}{(r-q)!}\)
\(={^{r}P_{q}}\) প্রকারে।
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\)
n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের বিন্যাসে r সংখ্যক বর্ণ একই ক্রমে থাকলে তার বিন্যাস সংখ্যাঃ
ধরি,
\(A, \ B, \ D, \ E, \ U\) \(5\) টি ভিন্ন বর্ণ এমনভাবে বিন্যস্ত করা হলো যেখানে স্বরবর্ণ \(3\) টি \(A, \ E, \ U\) একই ক্রমে অবস্থান করে। নিচে ছকের মাধ্যমে \(A, \ E, \ U\) এর কিছু সম্ভাব্য অবস্থান দেখানো হলোঃ
AEU
AEU
AEU
AEU
দেখা যাচ্ছে \(5\) টি ঘরের \(3\) টি তে \(A, \ E, \ U\) ক্রমানুসারে অবস্থান করার পর অবশিষ্ট \(2\) টি ঘরে \(B\) ও \(D\) অবস্থান করতে পারে। সুতরাং \(B\) ও \(D\) কে বিন্যাস করা যায় \(^{5}P_{2}\) উপায়ে। যেহেতু প্রতি বিন্যাসে \(A, \ E, \ U\) এর অভ্যন্তরীণ কোনো বিন্যাস নেই তাই \(^{5}P_{2}\) বা \(^{5}P_{5-2}\) -ই হলো নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা।
অতএব, \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের বিন্যাসে \(r\) সংখ্যক বর্ণ একটি ক্রমে থাকলে তার বিন্যাস সংখ্যা \(^{n}P_{n-r}\) বা \(\frac{n!}{r!}\) ।
অর্থাৎ উক্ত \(r\) সংখ্যক বর্ণকে একজাতীয় বর্ণ হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
অতএব এই ক্ষেত্রেঃ
বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{n!}{r!}\)
প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে \(n\) (\(2\lt{n}\le{9}\)) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়ঃ
প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে \(n\) (\(2\lt{n}\le{9}\)) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক (সবগুলি) দ্বারা যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টিঃ
বিন্যাসকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টি \(=\text{অঙ্কগুলোর সমষ্টি}\times(n-1)!\times{n}\text{ সংখ্যক} \ 1 \ \text{দ্বারা গঠিত সংখ্যা} \)

উদাহরণঃ \(2, \ 4, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলি থেকে প্রতিবারে \(4\) টি / সবগুলি নিয়ে যে সংখ্যাগুলি গঠন করা যায় তাদের যোগফল কত?
সমাধানঃ
এখানে,
\(n=4\)
\(\therefore\) বিন্যাসকৃত সংখ্যাগুলির সমষ্টি \(=\text{অঙ্কগুলোর সমষ্টি}\times(n-1)!\times{n}\text{ সংখ্যক} \ 1 \ \text{দ্বারা গঠিত সংখ্যা} \)
\(=(2+4+7+8)\times(4-1)!\times1111\)
\(=21\times3!\times1111\)
\(=21\times6\times1111\) ➜ \(\because 3!=6\)

\(=139986\)
অধ্যায় \(1A\)-এর উদাহরণসমুহ
\(Ex.1\) ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেকবার \(5\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(7893600\)

\(Ex.2\) \(10\) টি বস্তুর একবারে \(5\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
উত্তরঃ \(6720\)
সিঃ২০০৩; কুঃ২০১০ ।

\(Ex.3\) \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা বর্জন করে, \(10\) টি বস্তুর একবারে \(2\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(6720\)
ঢাঃ২০০৩ ।

\(Ex.4\) \({^{2n+1}P_{n-1}}:{^{2n-1}P_{n}}=3:5\) হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n=4\)

\(Ex.5\) '\(ENGINEERING\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত রকমভাবে সাজানো যায় যখন
\((a)\) সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে।
\((b)\) কতগুলিতে \(E\) বর্ণ তিনটি পাশাপাশি থাকবে।
\((c)\) কতগুলিতে \(E\) বর্ণ তিনটি প্রথমে থাকবে।
\((d)\) কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে।
\((e)\) কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে না।
\((f)\) স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন না করে।
\((g)\) প্রথমে ও শেষে \(G\) থাকবে।
\((h)\) স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণগুলির আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে।
\((i)\) \(R\) প্রথম স্থানে থাকবে।
\((j)\) ব্যঞ্জনবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন না করে।
\((k)\) তিনটি \(E\) তিনটি \(N\) দুইটি \(G\) ও দুইটি \(I\) আলাদাভাবে একত্রে থাকে।
উত্তরঃ \((a) \ 277200,\) \((b) \ 15120,\) \((c) \ 1680,\) \((d) \ 4200,\) \((e) \ 273000,\) \((f) \ 27720,\) \((g) \ 5040,\) \((h) \ 600,\) \((i) \ 25200,\) \((j) \ 10,\) \((k) \ 120\)
বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯, ২০০৩-২০০৪ ।

\(Ex.6\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার মাত্র ব্যবহার করে \(6, \ 5, \ 2, \ 3, \ 0\) দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষংককতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(36\)
কুঃ২০১৩,২০০৬; চঃ ২০১১, ২০০৫; ঢাঃ ২০১৬,২০১৪,২০১১,২০০৭; দিঃ ২০১১; যঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০০৯; সিঃ ২০১৩,২০১০,২০০৭ ।

\(Ex.7\) স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে '\(DAUGHTER\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত সংখ্যক উপায়ে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(36000\)
বঃ২০০৩; চঃ ২০১০ ।

\(Ex.8\) '\(PERMUTATION\)' শব্দটির বর্ণগুলি মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?
উত্তরঃ \(359\)
বঃ২০০৫; চঃ ২০১৫, ২০০৪; ঢাঃ ২০০৯; দিঃ ২০১৩ ।

\(Ex.9\) একজন সংকেত প্রদানকারীর \(6\) টি পতাকা আছে যার মধ্যে \(1\) টি সাদা, \(2\) টি সবুজ ও \(3\) টি লাল। তিনি \(5\) টি পতাকা সারিতে ব্যবহার করে কতটি বিভিন্ন সংকেত দিতে পারবেন?
উত্তরঃ \(60\)
চুয়েটঃ২০১৩-২০১৪, ২০০৪-২০০৫; কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; দিঃ ২০১০ ।

\(Ex.10\) '\(ALLAHABAD\)' শব্দটির সব কয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর। এদের কতগুলিতে \(A\) চারটি একত্রে থাকবে? এদের কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি জোড় স্থান দখল করবে?
উত্তরঃ \(7560, \ 360, \ 60\)

\(Ex.11\) \(12\) টি বস্তুর একবারে \(5\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
উত্তরঃ \(14400\)

\(Ex.12\) প্রমাণ কর যে, \(^{n}P_{r}+r\times{^{n}P_{r-1}}={^{n+1}P_{r}}\)

\(Ex.13\) \(^{5}P_{2}\) এবং \(^{10}P_{3}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20, \ 720\)

\(Ex.14\) যদি, \(^{n}P_{4}=14\times{^{n-2}P_{3}}\) হয়, তবে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\) বা, \(8\)

\(Ex.15\) একজন সংকেত প্রদানকারীর \(6\) টি পতাকা আছে যার মধ্যে \(1\) টি সাদা, \(2\) টি সবুজ ও \(3\) টি লাল।
\((a)\) তিনি একসঙ্গে \(6\) টি পতাকা ব্যবহার করে কতটি বিভিন্ন সংকেত দিতে পারবেন?
\((b)\) একসঙ্গে \(5\) টি পতাকা ব্যবহার করে কতটি বিভিন্ন সংকেত দিতে পারবেন?
উত্তরঃ \((a) \ 60, \ (b) \ 60\)

\(Ex.16\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় যেকোনো সংক্যকবার নিয়ে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা নিম্নরূপ শর্তে কত কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
\((a)\) প্রথম স্থানে শূন্য \((0)\) ব্যবহার না করে পাঁচ অঙ্কের টেলিফোন নম্বরের সংখ্যা।
\((b)\) \(01710\) থেকে \(01769\) পর্যন্ত কোডে গ্রামীণ ফোনের নম্বর সংখ্যা।
উত্তরঃ \((a) \ 90000,\) \((b) \ 60000000\)

\(Ex.17\) \(ENGINEERING\) শব্দটির সবগুলি বর্ণকে কতরকমে সাজানো যায় নির্ণয় কর। তাদের কতগুলোতে \(E\) তিনটি পাশাপাশি স্থান দখল করেবে এবং কতগুলোতে এরা প্রথম স্থান দখল করবে?
উত্তরঃ \(277200,\) \(15120,\) \(1680\)

\(Ex.18\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র নিয়ে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা নিম্নরূপ শর্তে কত কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
\((a)\) সার্থক অঙ্কগুলি হতে সবগুলি অঙ্ক ব্যবহার করে।
\((b)\) সার্থক অঙ্কগুলি হতে সবগুলি অঙ্ক ব্যবহার করে এবং জোড় অঙ্কগুলিকে জোড় স্থানে ও বিজোড় অঙ্কগুলিকে বিজোড় স্থানে রেখে।
\((c)\) সার্থক অঙ্কগুলি হতে যে কোনো পাঁচটি অঙ্ক ব্যবহার করে
\((d)\) প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা।
\((e)\) প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা।
\((f)\) প্রদত্ত অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা।
\((g)\) \(50000\) থেকে \(60000\) এর মধ্যবর্তী সংখ্যা।
\((h)\) \(50000\) অপেক্ষা বড় পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা।
\((i)\) \(50000\) অপেক্ষা বড় সর্বাধিক ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা।
\((j)\) \(1000\) অপেক্ষা ছোট পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য অর্থপূর্ণ সংখ্যা।
উত্তরঃ \((a) \ 362880,\) \((b) \ 2880,\) \((c) \ 15120,\) \((d) \ 3024,\) \((e) \ 13440,\) \((f) \ 13776,\) \((g) \ 3024,\) \((h) \ 15120,\) \((i) \ 151200,\) \((j) \ 154\)

\(Ex.19\) স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে \(TRIANGLE\) শব্দটির বর্ণগুলিকে কত রকমে সাজানো যায়, তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36000\)

\(Ex.20\) '\(MATHEMATICS\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত রকমভাবে সাজানো যায় যখন
\((a)\) সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে।
\((b)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে থাকবে।
\((c)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে থাকবে না।
\((d)\) প্রথমে \(I\) থাকবে।
\((e)\) প্রথমে \(T\) ও শেষে \(T\) থাকবে।
\((f)\) \(2\) টি \(M,\) \(2\) টি \(A\) এবং \(2\) \(T\) একত্রে থাকবে।
\((g)\) স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন করবে না।
\((h)\) স্বরবর্ণ স্থান পরিবর্তন করবে না।
\((i)\) স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন করবে না।
\((j)\) ব্যঞ্জনবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন করবে না।
উত্তরঃ \((a) \ 4989600,\) \((b) \ 10080,\) \((c) \ 486840,\) \((d) \ 453600,\) \((e) \ 90720,\) \((f) \ 40320,\) \((g) \ 415800,\) \((h) \ 1260,\) \((i) \ 15120,\) \((j) \ 12\)
ঢাঃ ১০০৬; রাঃ ২০১৬,২০০৯,২০০৬; যঃ,চঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৬, ২০১২; সিঃ ২০১৪,২০০৪; কুঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৪; বঃ ২০১৬,২০১৪; মাঃ ২০১১ ।

\(Ex.21\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার নিয়ে \(8, \ 9, \ 7, \ 6, \ 3, \ 2\) অঙ্কগুলি দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(120\)

\(Ex.22\) '\(CALCULUS\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায় যেন প্রথম ও শেষ বর্ণ \('U'\) থাকে?
উত্তরঃ \(180\)

\(Ex.23\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার নিয়ে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(600\)

\(Ex.24\) \(4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) এর প্রত্যেকটিকে যেকোনো সংখ্যকবার নিয়ে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়? এ সংখ্যাগুলির কয়টিতে একই অঙ্ক একাধিকবার থাকবে?
উত্তরঃ \(505\)

\(Ex.25\) '\(EQUATION\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিম্নরূপ শর্তে কত রকমভাবে সাজানো যায়ঃ
\((a)\) সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে।
\((b)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ ব্যবহার করে।
\((c)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ ব্যবহার করে প্রথমে \(Q\) রেখে।
\((d)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ ব্যবহার করে প্রথমে \(Q\) এবং শেষে \(N\) রেখে।
\((e)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ ব্যবহার করে যেখানে \(Q\) সর্বদা অন্তভুক্ত থাকবে, কিন্ত \(N\) থাকবে না।
\((f)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ নিয়ে পুনরাবৃত্তি করে।
\((g)\) যেকোনো \(4\) টি বর্ণ নিয়ে দুই বা ততোধিক একই বর্ণ নিয়ে।
\((h)\) \(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে, স্বরবর্ণকে মাঝখানে রেখে।
\((i)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে জোড় স্থানে রেখে।
\((j)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে শুরুতে স্বরবর্ণ রেখে।
\((k)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে।
\((l)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক রেখে।
\((m)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির অবস্থান পরিবর্তন না করে।
\((n)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির এবং ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে।
\((o)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন না করে।
\((p)\) সবগুলি বর্ণ নিয়ে ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে বিজোড় স্থানে রেখে।
উত্তরঃ \((a) \ 40320,\) \((b) \ 1680,\) \((c) \ 210,\) \((d) \ 30,\) \((e) \ 480,\) \((f) \ 4096,\) \((g) \ 2416,\) \((h) \ 30,\) \((i) \ 2880,\) \((j) \ 25200,\) \((k) \ 2880,\)\((l) \ 34440,\)\((m) \ 6,\)\((n) \ 720,\)\((o) \ 336,\)\((p) \ 2880\)

\(Ex.26\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় যেকোনো সংক্যকবার নিয়ে \(2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(4\) অঙ্কের কতগুলি পৃথক সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(840\)

\(Ex.27\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার মাত্র ব্যবহার করে \(8, \ 5, \ 4, \ 7, \ 0\) দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষংককতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(36\)
ঢাঃ২০১৪ ।

অধ্যায় \(5A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(^{17}P_{3}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4080\)

\(Q.1.(ii)\) \(^{2n}P_{3}=2\times{^{n}P_{4}}\) হয় তাহলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\)

\(Q.1.(iii)\) \({^{n-1}P_{3}}:{^{n+1}P_{3}}=5:12\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\)
রাঃ ২০০৫ ।

\(Q.1.(iv)\) \(4\times{^{n}P_{3}}=5\times{^{n-1}P_{3}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\)
রাঃ ২০০৫ ।

\(Q.1.(v)\) \({^{2n+1}P_{n+1}}:{^{2n}P_{n+2}}=5:2\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(vi)\) প্রমাণ কর যে, প্রথম \(n\) সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার গুণফল \(\frac{(2n)!}{2^{n}n!}\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
উত্তরঃ \(2\)
কুঃ ২০১১ ।

\(Q.1.(vii)\) \(^{n}P_{4}=6\times{^{n}P_{3}}\) হয় তাহলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9\)

\(Q.1.(viii)\) \(10\) টি বর্ণের কিছু সংখ্যক এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন। যদি তাদের সবগুলিকে একত্রে নিয়ে \(30240\) টি শব্দ গঠন করা যায়, তবে কতগুলি বর্ণ একজাতীয়?
উত্তরঃ \(5\)

\(Q.1.(ix)\) \(^{4n}P_{3}=2\times{^{2n}P_{4}}\) হয় তাহলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.1.(x)\) \({^{2n+1}P_{n-1}}:{^{2n-1}P_{n}}=3:5\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, \ 3\)

\(Q.1.(xi)\) \(9\) টি বর্ণের কিছু সংখ্যক এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন। যদি তাদের সবগুলিকে একত্রে নিয়ে \(3024\) টি শব্দ গঠন করা যায়, তবে কতগুলি বর্ণ একজাতীয়?
উত্তরঃ \(5\)

অধ্যায় \(5A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(6, \ 5, \ 2, \ 3, \ 0\) অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়।
উত্তরঃ \(60\)
বঃ ২০০৮; রাঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(ii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়।
উত্তরঃ \(120\)

\(Q.2.(iii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(312\)
ঢাঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(iv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 1, \ 2, \ 5, \ 6\) অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।

\(Q.2.(v)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা যতগুলি বিভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়, যাদের প্রথমে ও শেষে জোড় অঙ্ক থাকবে, তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60480\)

\(Q.2.(vi)\) কোনো সংখ্যায় কোনো অংকের পুনরাবৃত্তি না করে \(0, \ 3, \ 5, \ 6, \ 8\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(4000\) অপেক্ষা বড় কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(168\)

\(Q.2.(vii)\) \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলির প্রত্যেককে একবারের বেশি না নিয়ে \(1000\) অপেক্ষা ছোট এবং \(5\) দ্বারা বিভাজ্য কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(154\)

\(Q.2.(viii)\) কোনো সংখ্যায় কোনো অংকের পুনরাবৃত্তি না করে \(0, \ 1, \ 3, \ 5, \ 6\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(3000\) অপেক্ষা বৃহত্তর এবং চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(72\)

\(Q.2.(ix)\) পুনরাবৃত্তি না করে \(1, \ 3, \ 0, \ 3, \ 5, \ 5\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(100000\) অপেক্ষা বৃহত্তর কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(150\)

\(Q.2.(x)\) \(3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলির একটিকেও পুনরাবৃত্তি না করে \(5000\) এবং \(6000\) এর মধ্যবর্তি কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(60\)
রাঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(xi)\) \(24. \ 06. \ 1987\) তারিখে ব্যবহৃত অঙ্কগুলোকে প্রত্যাক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে অঙ্কগুলো দ্বারা আট অংকের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(35280\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4\) অঙ্কগুলোকে যেকোনো সংখ্যকবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কের বেশি নয় এমন কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(84\)

\(Q.2.(xiii)\) \(1, \ 2, \ 3\) অঙ্কগুলোকে যেকোনো সংখ্যকবার ব্যবহার করে চার অঙ্কের বেশি নয় এমন কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(120\)

\(Q.2.(xiv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(4\) অঙ্কের কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(360\)

\(Q.2.(xv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(5000\) এবং \(6000\) এর মধ্যবর্তি কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(60\)
বঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(xvi)\) \(x^2+y^2+6x+8y+21=0\) বৃত্তের \(x^2, \ y^2, \ x\) এবং \(y\) এর সহগগুলি একত্রে ব্যবহার করে কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(12\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xvii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(5, \ 4, \ 3, \ 2, \ 0\) অঙ্কগুলি দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(36\)
বঃ২০০৮; দিঃ২০০৫; রাঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(xviii)\) পাসওয়ার্ড '\(10652\)' এর প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36\)
ঢাঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(xix)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(10000\) এর চেয়ে বড় যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5199960\)

\(Q.2.(xx)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 2, \ 3, \ 4\) অঙ্কগুলি দ্বারা যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(73660\)

\(Q.2.(xxi)\) প্রত্যেক সংখ্যায় \(5\) পাঁচবার এবং \(4\) চারবার ব্যবহার করে \(9\) অঙ্কের গঠিত ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যার গড় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(506172839\)

\(Q.2.(xxii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি একবার মাত্র ব্যবহার করে গঠিত ও \(5\) দ্বারা অবিভাজ্য \(7\) অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির মানের উর্ধক্রমানুসারে সাজানো হলো। উক্ত তালিকায় \(2000\) তম সংখ্যাটি কত?
উত্তরঃ \(4316527\)
রুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.2.(xxiii)\) \(100\) থেকে \(999\) সংখ্যাগুলির মধ্যে যে সব সংখ্যায় \(1\) টি জোড় ও \(2\) টি বিজোড় অঙ্ক আছে তাদের মোট সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(300\)
চুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.2.(xxiv)\) \(4, \ 5, \ 6, \ 7\) এবং \(8\) এর প্রত্যেকটি একটির সঙ্গে একবার মাত্র ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কয়টি বিজোড় সংখ্যা তৈরি করা যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24\)
কুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.2.(xxv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 0\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কবিশিষ্ট এবং \(4\) দ্বারা বিভাজ্য কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(30\)

\(Q.2.(xxvi)\) প্রতিটি অঙ্ক যতবার আছে এর বেশি সংখ্যকবার ব্যবহার না করে \(3, \ 4, \ 5, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\) এর বিজোড় অঙ্কগুলি সবসময় বিজোড় স্থানে রেখে \(7\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(18\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি যেকোনো সংখ্যকবার ব্যবহার করে \(10000\) এর ছোট কতগুলি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(2048\)

\(Q.2.(xxviii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের কতগুলি \(5\) দ্বারা বিভাজ্য হবে না?
উত্তরঃ \(720, \ 600\)

\(Q.2.(xxix)\) প্রতিটি অঙ্ক যতবার আছে এর বেশি সংখ্যকবার ব্যবহার না করে \(2, \ 2, \ 2, \ 3, \ 3, \ 4\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের কতগুলি \(400000\) অপেক্ষা বড় হবে?
উত্তরঃ \(60, \ 10\)

\(Q.2.(xxx)\) \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি যেকোনো সংখ্যকবার ব্যবহার করে \(10000\) অপেক্ষা ছোট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(4095\)

\(Q.2.(xxxi)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(10000\) অপেক্ষা বড় যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টি নির্ণয় কর?
উত্তরঃ \(6666600\)

\(Q.2.(xxxii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টি নির্ণয় কর?
উত্তরঃ \(7367625\)

\(Q.2.(xxxiii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 6\) অঙ্কগুলি দ্বারা চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(300\)

\(Q.2.(xxxiv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(5, \ 1, \ 7, \ 0, \ 4, \ 3\) অঙ্কগুলি দ্বারা ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের মধ্যে কতগুলি সংখ্যায় শতক স্থানে \(0\) থাকবে?
উত্তরঃ \(600, \ 120\)

\(Q.2.(xxxv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়, যাদের প্রথমে ও শেষে জোড় অঙ্ক থাকবে?
উত্তরঃ \(8640\)

\(Q.2.(xxxvi)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা তিন অঙ্কের বেশি নয়, এরূপ কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(130\)

\(Q.2.(xxxvii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) এর প্রত্যেকটিকে যেকোনো সংখ্যকবার নিয়ে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়? এ সংখ্যাগুলির কয়টিতে দুইটি বা তিনটি একই অঙ্ক থাকবে?
উত্তরঃ \(125, \ 65\)

\(Q.2.(xxxviii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(3, \ 1, \ 7, \ 0, \ 9, \ 5\) অঙ্কগুলি দ্বারা ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের মধ্যে কতগুলি সংখ্যায় দশক স্থানে \(0\) থাকবে?
উত্তরঃ \(600, \ 120\)

\(Q.2.(xxxix)\) কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্তি না করে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়, যাদের প্রথমে ও শেষে জোড় অঙ্ক থাকবে?
উত্তরঃ \(60480\)

\(Q.2.(xL)\) \(3, \ 3, \ 1, \ 1, \ 1, \ 4\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের কতগুলি \(400000\) অপেক্ষা বড় হবে?
উত্তরঃ \(60, \ 10\)

\(Q.2.(xLi)\) \(10652\) সংখ্যাটির প্রত্যেক অঙ্ককে প্রতি সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(36\)

অধ্যায় \(5A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) '\(EQUATION\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(40320\)

\(Q.3.(ii)\) '\(CRITICAL\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে কতগুলি বিন্যাস সংখ্যা পাওয়া যায়?
উত্তরঃ \(10080\)

\(Q.3.(iii)\) দেখাও যে, '\(RAJSHAHI\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা '\(BARISAL\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার চার গুণ।
রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; বঃ ২০০৬; ঢাঃ২০০৮; রাঃ ২০১৩; মাঃ ২০১৪,২০১০ ।

\(Q.3.(iv)\) দেখাও যে, '\(AMERICA\)' শব্দটির বর্ণগুলি যত রকমে সাজানো যায়, '\(CALCUTTA\)' শব্দটির বর্ণগুলি তার দ্বিগুণ প্রকারে সাজানো যায়।
ঢাঃ২০০৪; রাঃ ২০১৩; মাঃ ২০১২ ।

\(Q.3.(v)\) দেখাও যে, '\(AMERICA\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা , '\(CANADA\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
চঃ ২০১৩ ।

\(Q.3.(vi)\) দেখাও যে, '\(CHALLENGE\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা , '\(PROTECT\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার \(36\) গুণ।
চঃ ২০১৩ ।

\(Q.3.(vii)\) '\(MARKET\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(720\)
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(viii)\) '\(MATHEMATICS\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় তা বের কর এবং এদের কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে?
উত্তরঃ \(4989600, \ 120960\)
কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; ঢাঃ ১০০৬; রাঃ ২০১৬,২০০৯,২০০৬; যঃ,চঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৬, ২০১২; সিঃ ২০১৪,২০০৪; কুঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০০৪; বঃ ২০১৬,২০১৪; মাঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(ix)\) '\(DIGITAL\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় তা বের কর এবং এদের কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে?
উত্তরঃ \(2520, \ 360\)
যঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(x)\) '\(PARALLEL\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় তা বের কর; এবং স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক না রেখে বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তাও বের কর।
উত্তরঃ \(3360, \ 360\)
ঢাঃ ২০১২; রাঃ ২০১১; দিঃ ২০০৯; সিঃ ২০১১,২০০৮; চঃ ২০১৬,২০১২,২০০৮; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৭ ।

\(Q.3.(xi)\) স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক না রেখে '\(INSURANCE\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8640\)

\(Q.3.(xii)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে '\(ALUMINIUM\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে মোট কয়টি বিন্যাস পাওয়া যাবে?
উত্তরঃ \(1800\)

\(Q.3.(xiii)\) স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে '\(TRIANGLE\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত সংখ্যক উপায়ে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36000\)
ঢাঃ ২০০৫; সিঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; বঃ ২০১০; মাঃ ২০১৩,২০০৯ ।

\(Q.3.(xiv)\) স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে '\(NEWZEALAND\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত সংখ্যক উপায়ে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(438480\)
দিঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xv)\) '\(THESIS\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে?
উত্তরঃ \(240\)
রাঃ,চঃ,বঃ,কুঃ ২০১৮; বঃ ২০১২ ।

\(Q.3.(xvi)\) '\(MUJIBNAGAR\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে?
উত্তরঃ \(1753920\)
বঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xvii)\) '\(POSTAGE\)' শব্দটির বর্ণগুলি কতরকমে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি জোড় স্থান দখল করে? শব্দটির বর্ণগুলি কতরকমে সাজানো যায় যাতে ব্যঞ্জনবর্ণগুলি একত্রে থাকে?
উত্তরঃ \(144, \ 576\)
কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০; সিঃ ২০১৬; কুঃ ২০১৪।

\(Q.3.(xviii)\) ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে বিজোড় স্থানে রেখে '\(EQUATION\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2880\)
যঃ ২০০৮।

\(Q.3.(xix)\) স্বরবর্ণগুলি কেবল মাত্র \((a)\) জোড় স্থানে \((b)\) বিজোড় স্থানে বসিয়ে '\(ARTICLE\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(144, \ 576\)
ঢাঃ ২০১০।

\(Q.3.(xx)\) '\(COURAGE\)' শব্দটির বর্ণগুলি নিয়ে কতগুলি বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
উত্তরঃ \(2880\)

\(Q.3.(xxi)\) '\(DIRECTOR\)' শব্দটির বর্ণগুলি হতে
\((a)\) স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন না করে,
\((b)\) স্বরবর্ণগুলির স্থান পরিবর্তন না করে, এবং
\((c)\) স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থানের পরিবর্তন না করে,
যত প্রকারে পুনরায় সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3359\) \((b) \ 59\) \((c) \ 359\)

\(Q.3.(xxii)\) '\(MATURITY\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে কত উপায়ে সাজানো যায়? এ উপায়গুলোর মধ্যে কয়টির প্রথমে \(M\) থাকবে?
উত্তরঃ \(20160 \ 2520\)

\(Q.3.(xxiii)\) '\(MILLENNIUM\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত উপায়ে সাজানো যায়? এদের মধ্যে কতগুলোতে প্রথমে ও শেষে \(M\) থাকবে?
উত্তরঃ \(226800 \ 5040\)
রাঃ ২০১৫; সিঃ ২০১২,২০০৬।

\(Q.3.(xxiv)\) '\(IMMEDIATE\)' শব্দটির সবকয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর। এদের মধ্যে কতগুলোতে প্রথমে \(T\) ও শেষে \(A\) থাকবে?
উত্তরঃ \(45360 \ 630\)
বঃ ২০১৫।

\(Q.3.(xxv)\) '\(TESTICLE\)' শব্দটির বর্ণগুলি কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে \(E\) থাকবে না?
উত্তরঃ \(9720\)
সিঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xxvi)\) '\(IDENTITY\)' শব্দটির সবকয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায়? এদের মধ্যে কতগুলোতে প্রথমে \(I\) ও শেষে \(T\) থাকবে? কতগুলোতে \(I\)দুইটি ও \(T\)দুইটি একত্রে থাকবে? কতগুলোতে প্রথমে ও শেষে \(I\) থাকবে?
উত্তরঃ \(10080, \ 720, \ 720, \ 360\)

\(Q.3.(xxvii)\) '\(LAUGHTER\)' শব্দটির সবকয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায়? এ ব্যবস্থাগুলোর কতটি \(L\) দ্বারা আরম্ভ হবে?
উত্তরঃ \(40320, \ 5040\)

\(Q.3.(xxviii)\) '\(SECOND\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দ এর সংখ্যা নির্ণয় কর, যাতে স্বরবর্ণ সর্বদা মধ্য স্থানে থাকে।
উত্তরঃ \(24\)

\(Q.3.(xxix)\) '\(PERMUTATIONS\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা সম্ভব যেন স্বরবর্ণগুলি সবসময় মাঝখানে থাকে?
উত্তরঃ \(155\)

\(Q.3.(xxx)\) '\(NEVER\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(60\)

\(Q.3.(xxxi)\) '\(COMMON\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(180\)

\(Q.3.(xxxii)\) '\(CALCULUS\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(5040\)

\(Q.3.(xxxiii)\) দেখাও যে, '\(BANDARBAN\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা , '\(SYLHET\)' শব্দটির বর্ণগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
চঃ ২০১৩ ।

\(Q.3.(xxxiv)\) দেখাও যে, '\(ISSAC \ NEWTON\)' বিজ্ঞানীর নামের শেষ অংশের বিন্যাস সংখ্যা , প্রথম অংশের বিন্যাস সংখ্যার \(6\) গুণ।
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xxxv)\) '\(DEPRESSION\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?
উত্তরঃ \(30240\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xxxvi)\) স্বরবর্ণগুলিকে \((a)\) কোনো সময়ই পৃথক না রেখে এবং \((b)\) কোনো সময়ই পাশাপাশি না রেখে '\(DAUGHTER\)' শব্দটির বর্ণগুলি কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4320, \ (b) \ 36000\)
চঃ ২০১০; বঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(xxxvii)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে '\(BANGLADESH\)' শব্দটির বর্ণগুলি কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1693440\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxxviii)\) '\(KNOWLEDGE\)' শব্দটির বর্ণগুলির সাজানো ব্যবস্থায় কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে না?
উত্তরঃ \(166320\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxxix)\) '\(EINSTEIN\)' শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(4680\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xL)\) সাতটি বর্ণ \(A, \ B, \ C, \ D, \ E, \ F\) ও \(G\) কে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন \(A\) এবং \(B\) বর্ণদ্বয় কখনই পাশাপাশি না থাকে। এই শর্ত মেনে বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?
উত্তরঃ \(3600\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.3.(xLi)\) '\(DAUGHTER\)' শব্দটির বর্ণগুলি মোট কতভাবে সাজানো যাবে? কতগুলি \(D\) দ্বারা শুরু হবে? কতগুলির প্রথমে \(D\) এবং শেষে \(R\) থাকবে? কতগুলির প্রথমে \(D\) কিন্তু শেষে \(R\) থাকবে না? কতগুলির প্রথমে \(D\) অথবা শেষে \(R\) থাকবে না?
উত্তরঃ \( \ 40320, \ 5040, \ 720, \ 4320, \ 30960\)
চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; বঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(xLii)\) \(10\) টি বস্তু থেকে একেবারে \(5\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
উত্তরঃ \(6720\)
কুঃ ২০১০; সিঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(xLiii)\) \(10\) টি বস্তু থেকে একেবারে \(5\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসে \(2\) টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?
উত্তরঃ \(6720\)

\(Q.3.(xLiv)\) '\(ARRANGE\)' শব্দটির বর্ণগুলি মোট কতভাবে সাজানো যায়, যাতে \(R\) দুইটি পাশাপাশি থাকবে না?
উত্তরঃ \(900\)

\(Q.3.(xLv)\) সাধারণ সূত্র ব্যবহার না করে \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার যেকোনো তিনটিকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n(n-1)(n-2)\)

\(Q.3.(xLvi)\) সাধারণ সূত্র ব্যবহার না করে \((p+q)\) সংখ্যক বস্তুর \(q\) সংখ্যক বস্তু এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন হলে, এদের সবগুলিকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(p+q)!}{p!}\)

\(Q.3.(xLvii)\) দেখাও যে, \(2\) খানা বিশেষ পুস্তক একত্রে না রেখে \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন পুস্তক যত রকমে সাজানো যায় তার সংখ্যা \((n-2)(n-1)!\) ।

\(Q.3.(xLviii)\) \(n\) সংখ্যক বর্ণ এক সারিতে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে, যাতে বিশেষ দুটি বর্ণ সারির প্রথমে বা শেষে না থাকে?
উত্তরঃ \((n-2)(n-3).(n-2)!\)

\(Q.3.(xLix)\) \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর \(r\) সংখ্যক একবারে নিয়ে কত রকমে এক সারিতে সাজানো যায়, যাতে বিশেষ দুটি বস্তু অন্তর্ভুক্ত থাকে কিন্তু তারা সারির প্রথমে বা শেষে থাকে না?
উত্তরঃ \(\frac{(n-2)!}{(n-r)!}(r-2)(r-3)\)

\(Q.3.(L)\) \(7\) টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ এবং \(3\) টি বিভিন্ন স্বরবর্ণ থেকে দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ ও একটি স্বরবর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়, যাতে স্বরবর্ণটি ব্যঞ্জনবর্ণের মাঝখানে থাকে?
উত্তরঃ \(126\)

\(Q.3.(Li)\) ইংরেজি বর্ণমালার \(26\) টি বর্ণ থেকে কত প্রকারে \(5\) টি বিভিন্ন বর্ণ সমন্বিত শব্দ গঠন করা যায়, যাদের মধ্যে \(A\) এবং \(L\) বর্ণ দুটি অবশ্যই থাকবে?
উত্তরঃ \(242880\)

\(Q.3.(Lii)\) দুটি যোগবোধক চিহ্ন পাশাপাশি না রেখে \(p\) সংখ্যক যোগবোধক চিহ্ন ও \(q\) সংখ্যক বিয়োগবোধক চিহ্ন \((p\lt{q})\) কত প্রকারে এক সারিতে সাজানো যায়, তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(q+1)!}{p!(q-p+1)!}\)

\(Q.3.(Liii)\) '\(COMMITTEE\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(45360\)

\(Q.3.(Liv)\) '\(INFINITESIMAL\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(129729600\)

\(Q.3.(Lv)\) '\(PROPORTION\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(151200\)

\(Q.3.(Lvi)\) '\(CHITTAGONG\)' শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(60480\)

\(Q.3.(Lvii)\) '\(TECHNOLOGY\)' শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(120960\)

\(Q.3.(Lviii)\) \(A, \ B, \ C, \ D, \ E, \ F\) বর্ণগুলি থেকে তিনটি বর্ণ দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় কর, যেখানে প্রতিটি বিন্যাসে কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ বর্তমান থাকে।
উত্তরঃ \(96\)

\(Q.3.(Lix)\) যদি '\(CAMBRIDGE\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে কেবল \(5\) টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা হয় তবে কতগুলিতে প্রদত্ত শব্দটির সব কয়টি স্বরবর্ণ বর্তমান থাকবে?
উত্তরঃ \(1800\)
কুঃ ২০০৭; চঃ ২০০৪ ।

\(Q.3.(Lx)\) \(\{A, \ B, \ C\}\) সেটের প্রতিটি বর্ণকে প্রতিটি শব্দে অন্তত একবার ব্যবহার করে \(5\) বর্ণবিশিষ্ট কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(150\)

\(Q.3.(Lxi)\) '\(CRICKET\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(2520\)

\(Q.3.(Lxii)\) '\(APPLICATION\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে ব্যবহার করে কত উপায়ে বর্ণগুলি সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(4989600\)

\(Q.3.(Lxiii)\) '\(TEXTILE\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় তা বের কর। এদের কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে? কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি জোড় স্থান দখল করবে?
উত্তরঃ \(1260, \ 180, \ 36\)
বুটেক্সঃ ২০০২-২০০৩ ।

\(Q.3.(Lxiv)\) '\(EXAMPLE\)' শব্দটির স্বরবর্ণগুলি সর্বদা বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(288\)

\(Q.3.(Lxv)\) '\(COMPUTER\)' শব্দটির বর্ণগুলি হতে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে গঠিত সব্দ সংখ্যা নির্ণয় কর যার প্রত্যেকটিতে কমপক্ষে একটি স্বরবর্ণ থাকে।
উত্তরঃ \(276\)

\(Q.3.(Lxvi)\) '\(CALCULUS\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথম ও শেষ বর্ণ \(U\) থাকে? কতগুলিতে প্রথমে ও শেষে একই বর্ণ থাকবে?
উত্তরঃ \(180, \ 540\)
বুটেক্সঃ ২০০৬-২০০৭; বিআইটিঃ ১৯৯৬-১৯৯৭ ।

\(Q.3.(Lxvii)\) '\(MECHANICS\)' শব্দটির স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণগুলি পৃথকভাবে একত্রে রেখে কতভাবে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(4320\)

\(Q.3.(Lxviii)\) '\(COMPUTER\)' শব্দটির বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে প্রথম স্থানে \(C\) থাকবে না কিন্তু শেষে \(R\) থাকবে।
উত্তরঃ \(4320\)

অধ্যায় \(5A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) দুইজন \(B.Sc.\) ক্লাশের ছাত্রকে পাশাপাশি না বসিয়ে \(14\) জন \(I.Sc.\) ক্লাশের ও \(10\) জন \(B.Sc.\) ক্লাশের ছাত্রকে কত রকমে একটি লাইনে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(14!\times{^{15}P_{10}}\)
যঃ ২০০৪।

\(Q.4.(ii)\) দুইজন কলা বিভাগের ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে \(5\) জন বিজ্ঞানের ছাত্র ও \(5\) জন কলা বিভাগের ছাত্র কত রকমে একটি গোল টেবিলের পাশে আসন নিতে পারে?
উত্তরঃ \(2880\)
ঢাঃ ২০১২; বঃ ২০১১ ।

\(Q.4.(iii)\) \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তুকে এক সারিতে কত রকমে সাজানো যেতে পারে যেন-
\((a)\) দুইটি বিশেষ বস্তু একত্রে থাকে এবং
\((b)\) দুইটি বিশেষ বস্তু প্রতি সাজানো ব্যবস্থায় একত্রে না থাকে ?
উত্তরঃ \((a) \ 10080\) \((b) \ 30240\)

\(Q.4.(iv)\) \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে কত প্রকার বিন্যাস হতে পারে, যাতে দুইটি নির্দিষ্ট বস্তু পাশাপাশি থকবে, তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2(r-1)\frac{(n-2)!}{(n-r)!}\)

\(Q.4.(v)\) দুইটি বালিকাকে পাশাপাশি না রেখে \(x\) সংখ্যক বালক ও \(y\) সংখ্যক বালিকাকে \((x\gt{y})\) এক লাইনে কত রকমে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(^{x+1}P_{y}\times{x!}\)

\(Q.4.(vi)\) একটি প্রফেসরের পদের জন্য \(3\) জন প্রার্থী এবং \(5\) জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হবে, কত প্রকারে ভোট দেয়া যেতে পারে?
উত্তরঃ \(243\)
কুঃ ২০০৯; যঃ ২০০৫; রাঃ ২০১০ ।

\(Q.4.(vii)\) একটি তালার তিনটি রিং এর প্রত্যেকটি \(15\) টি করে বর্ণ মুদ্রিত আছে। তিনটি বর্ণের একটি মাত্র বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা গেলে, কতগুলি বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা যাবে না?
উত্তরঃ \(3374\)

\(Q.4.(viii)\) তিনটি পুরুস্কারের একটি সদাচারের জন্য, একটি ক্রিড়ার জন্য ও একটি সাধারণ উন্নতির জন্য। \(10\) জন বালকের মধ্যে এগুলি কত রকমে বিতরণ করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(1000\)

\(Q.4.(ix)\) \(8\) টি ভিন্ন ধরনের মুক্তা কত রকমে একটি ব্যন্ডে লাগিয়ে একটি হার তৈরি করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(2520\)

\(Q.4.(x)\) \(7\) জন মেয়ে বৃত্তাকারে নাচবে। কত প্রকারে তারা পৃথক পৃথক ভাবে বৃত্তাকারে দাঁড়াতে পারবে?
উত্তরঃ \(720\)

\(Q.4.(xi)\) একজন বালকের ভিন্ন ভিন্ন আকারের \(11\) টি মার্বেল আছে, যার মধ্যে \(5\) টি কাল ও \(6\) টি সাদা। কাল রঙের মার্বেল মাঝখানে রেখে সে \(3\) টি মার্বেল এক সারিতে কত রকমে সাজাতে পারবে?
উত্তরঃ \(450\)

\(Q.4.(xii)\) \(9\) টি বলের মধ্যে \(7\) টি লাল ও \(2\) টি সাদা। বলগুলিকে এক সারিতে কত রকমে সাজানো যায়? দুইটি সাদা বল পাশাপাশি না রেখে বলগুলিকে যত প্রকারে এক সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36, \ 28\)

\(Q.4.(xiii)\) \(7\) টি সবুজ, \(4\) টি নীল এবং \(2\) টি লাল কাউন্টার এক সারিতে কত রকমে সাজানো যায়? এদের কতগুলিতে লাল কাউন্টার দুইটি একত্রে থাকবে?
উত্তরঃ \(25740, \ 3960\)

\(Q.4.(xiv)\) গণিতের \(5\) খানা, পদার্থ বিজ্ঞানের \(3\) খানা এবং রসায়ন বিজ্ঞানের \(2\) খানা পুস্তককে একটি তাকে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে যাতে একই বিষয়ের পুস্তকগুলি একত্রে থাকবে?
উত্তরঃ \(8640\)

\(Q.4.(xv)\) তিনটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?
উত্তরঃ \(27\)

\(Q.4.(xvi)\) একজন সংকেত প্রদানকারীর \(6\) টি পতাকা আছে যার মধ্যে \(1\) টি সাদা, \(2\) টি লাল ও \(3\) টি সবুজ। তিনি \(4\) টি পতাকা সারিতে ব্যবহার করে কতটি বিভিন্ন সংকেত দিতে পারবেন?
উত্তরঃ \(38\)
রাঃ২০০২; কুঃ ২০০১; দিঃ ২০১০ ।

\(Q.4.(xvii)\) একটি স্থানে \(1\) টি হলুদ, \(2\) টি সবুজ ও \(3\) টি লাল পতাকা বিদ্যমান। একটি সংকেত প্রদানের জন্য সারিতে চারটি পতাকা প্রয়োজন হলে, পতাকাগুলি সারিতে ব্যবহার করে কতটি সংকেত প্রদান করা যাবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(38\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(xviii)\) একটি তালার \(4\) টি রিং -এর প্রত্যেকটিতে \(5\) টি করে বর্ণ আছে; \(4\) টি বর্ণের একটি মাত্র বিন্যাসের তালাটি খোলা গেলে, কতগুলি বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা যাবে না?
উত্তরঃ \(624\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(xix)\) টেলিফোন ডায়ালে \(0\) হতে \(9\) পর্যন্ত লেখা থাকে। যদি কক্সবাজার শহরের টেলিফোনগুলি \(5\) অঙ্কবিশিষ্ট হয়, তবে ঐ শহরে কত টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে?
উত্তরঃ \(90000\)

\(Q.4.(xx)\) খুলনা শহরের টেলিফোন নম্বর \(72, \ 73\) বা \(76\) দিয়ে শুরু এবং \(6\) অঙ্কবিশিষ্ট হলে মোট সম্ভাব্য সংযোগ সংখ্যা কত?
উত্তরঃ \(3\times10^4\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Q.4.(xxi)\) একটি ক্লাবের কার্যনির্বাহী কমিটির সদস্য \(21\) জন যার মধ্যে \(8\) মহিলা ও \(13\) জন পুরুষ। কার্যনির্বাহী কমিটি হতে দুইজন পুরুষ বাদ দিয়ে অবশিষ্ট সদস্যবৃন্দকে এক সারিতে কতভাবে সাজানো যায় যাতে দুই জন মহিলা সদস্য একত্রে না থাকে।
উত্তরঃ \({^{12}P_{8}}\times11!\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(xxii)\) \(15\) সদস্যের একটি কমিটিকে গোলটেবিলে \(15\) টি আসনে কতভাবে বসানো যায়? প্রধান অতিথিকে মাঝের আসনে বসিয়ে তাদেরকে একটি লম্বা টেবিলে \(15\) টি আসনে কতভাবে বসানো যায় তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(14!, \ 14!\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(8\) জন মেয়ে বৃত্তাকারে নাচবে। কত প্রকারে তারা পৃথক পৃথক ভাবে বৃত্তাকারে দাঁড়াতে পারবে?
উত্তরঃ \(5040\)

\(Q.4.(xxiv)\) দুইজন কলা বিভাগের ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে \(8\) জন বিজ্ঞানের ছাত্র ও \(7\) জন কলা বিভাগের ছাত্র কত রকমে একটি গোল টেবিলের পাশে আসন নিতে পারে?
উত্তরঃ \(7!\times{^{8}P_{7}}\)
ঢাঃ ২০১২; বঃ ২০১১ ।

\(Q.4.(xxv)\) একটি লাইব্রেরীতে একখানা বইয়ের \(8\) কপি, দুইখানা বইয়ের প্রত্যেকের \(3\) কপি, তিনখানা বইয়ের প্রত্যেকের \(5\) কপি এবং দশখানা বইয়ের প্রত্যেকের \(1\) কপি করে আছে। সবগুলি একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?
উত্তরঃ \(\frac{39!}{8!(3!)^2(5!)^2}\)

\(Q.4.(xxvi)\) \(6\) টি পরীক্ষার খাতাকে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে, যাতে সবচেয়ে ভাল ও সবচেয়ে খারাপ খাতা দুইটি একত্রে না থাকে।
উত্তরঃ \(480\)

\(Q.4.(xxvii)\) একটি বালকের ভিন্ন ভিন্ন আকারের \(1\) টি সাদা, \(2\) টি লাল \(3\) টি সবুজ মার্বেল আছে। এদের মধ্য থেকে প্রতিবারে \(4\) টি মার্বেল নিয়ে একটির উপর আর একটি মার্বেল সাজালে কাজটি সে কত সংখ্যক উপায়ে করতে পারে?
উত্তরঃ \(38\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(6\) টি সবুজ, \(5\) টি কাল এবং \(2\) টি লাল কাউন্টার এক সারিতে কত রকমে সাজানো যায়? এদের কতগুলিতে লাল কাউন্টার দুইটি একত্রে থাকবে না?
উত্তরঃ \(36036, \ 30492\)

\(Q.4.(xxix)\) একটি লাইব্রেরীতে একই লেখকের বীজগণিতের \(6\) টি বই, দুইজন লেখকের প্রত্যেকের জ্যামিতির \(5\) টি বই, তিনজন লেখকের প্রত্যেকের বলবিদ্যার \(3\) টি বই এবং \(8\) জন লেখকের ইংরেজি \(1\) টি করে বই আছে। সবগুলি বই একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?
উত্তরঃ \(\frac{33!}{6!(5!)^2(3!)^3}\)

\(Q.4.(xxx)\) একটি তালার তিনটি রিং এর প্রত্যেকটি \(10\) টি করে বর্ণ মুদ্রিত আছে। তিনটি বর্ণের একটি মাত্র বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা গেলে, কতগুলি বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা যাবে না?
উত্তরঃ \(999\)

\(Q.4.(xxxi)\) একটি তালার \(4\) টি রিং এর প্রত্যেকটি \(5\) টি করে বর্ণ মুদ্রিত আছে। \(4\) টি বর্ণের একটি মাত্র বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা গেলে, কতগুলি বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা যাবে না?
উত্তরঃ \(624\)

\(Q.4.(xxxii)\) একজন কম্পিউটার ব্যবহারকারী গাণিতিক অঙ্ক ব্যবহার করে পাসওয়ার্ড দেয়। সে পুনরাবৃত্তি না করে (অর্থাৎ একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে) \(6\) অঙ্কের পাসওয়ার্ড কতভাবে দিতে পারে?
উত্তরঃ \(151200\)

\(Q.4.(xxxiii)\) \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু \((n\gt{r})\) নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার মধ্যে যেগুলিতে একটি বিশেষ বস্তু অন্তর্ভুক্ত থাকে এবং যেগুলিতে উহা অন্তর্ভুক্ত থাকে না তারা পরস্পর সমান হলে দেখাও যে, \(n=2r.\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(8\) সদস্যের একটি পরিবারের সবাই \(8\) আসন বিশিষ্ট গোলাকার ডাইনিং টেবিলে কতভাবে আসন নিতে পারে?
উত্তরঃ \(5040\)

\(Q.4.(xxxv)\) টেলিফোন ডায়ালে \(0\) হতে \(9\) পর্যন্ত লেখা থাকে। যদি ঢাকা শহরের টেলিফোনগুলি \(7\) অঙ্কবিশিষ্ট হয়, তবে ঢাকায় কতগুলি টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে?
উত্তরঃ \(10^7\)

\(Q.4.(xxxvi)\) টেলিফোন ডায়ালে \(0\) হতে \(9\) পর্যন্ত লেখা থাকে। যদি চট্টগ্রাম শহরের টেলিফোনগুলি \(7\) অঙ্কবিশিষ্ট হয়, তবে চট্টগ্রামে কতগুলি টেলিফোন সংযোগ দেওয়া সম্ভব যেখানে নম্বরগুলি \(0\) দ্বারা শুরু হবে না?
উত্তরঃ \(9000000\)

\(Q.4.(xxxvii)\) বাংলালিংকের মোবাইল নম্বরগুলি \(11\) অঙ্কের যার মধ্যে প্রথম তিনটি অঙ্ক \(019\) হলে মোট কতগুলি মোবাইল সংযোগ দেওয়া সম্ভব ?
উত্তরঃ \(10^8\)

\(Q.4.(xxxviii)\) একটি ফেইসবুক আইডির \(6\) অঙ্কের বা বর্ণের পাসওয়ার্ড দেওয়ার জন্য পুনরাবৃত্তি সহকারে-
\((a)\) ইংরেজি বর্ণমালা
\((b)\) গাণিতিক অঙ্কগুলি
\((c)\) উভয়টি ব্যবহার করে কতভাবে পাসওয়ার্ড দেওয়া যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ (26)^6, \ (b) \ (10)^6, \ (c) \ (36)^6\)

\(Q.4.(xxxix)\) একটি তালার \(4\) টি রিং এর প্রত্যেকটিতে \(0\) হতে \(9\) পর্যন্ত অঙ্কগুলি মুদ্রিত আছে। \(4\) অঙ্কের একটি মাংকেরসংখ্যার জন্য তালাটি খোলা গেলে, কতগুলি বিন্যাসের জন্য তালাটি খোলা যাবে না?
উত্তরঃ \(9999\)

ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background) গণনার যোজন ও গুণন বিধি (Addition and multiplicatiion law of counting)বিন্যাস (Permutations)\(n!\) এর ব্যাখ্যা বা ফ্যাকটোরিয়াল \(n\) (Factorial n) \(0!\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(0!\)) বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\) বিন্যাস সংখ্যা \(^nP_{n}=n! \ (\text{যখন, n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} )\) \(^nP_{0}=1\) এর ব্যাখ্যা (Explanation of \(^nP_{0}=1\)) বিন্যাস সংখ্যা \(x=\frac{n!}{p!\times{q!}\times{r!}}\)(Permutations of such objects is not all different) বিন্যাস সংখ্যা \(=n^{r}\)(Permutations in which objects can be repeated)চক্র বিন্যাস সংখ্যা \(=(n-1)!\) অথবা, \(=\frac{(n-1)!}{2}\)(Cycle Permutations)বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r}}\) বিন্যাস সংখ্যা \(={^{n-q}P_{r-q}}\times{^{r}P_{q}}\) (যেখানে, \(n\ge{r}\ge{q}\)) অধ্যায় \(1A\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Related Post

Post List

Multiple Choise

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Physical chemistry 11 and 12 standard