সমাবেশ
Combination
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
সমাবেশ (Combination)বিভিন্ন বস্তুর সমাবেশ (Combination of different things)\(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)\(^nC_{n}=1\) সম্পূরক সমাবেশ (Complementary combination)\(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)\(^nC_{0}=1\)\(^nC_{r}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\) শর্তাধীন সমাবেশ (Conditional combination ) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\) সূত্রের ব্যাখ্যা অধ্যায় \(5B\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(5B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(5B\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
সমাবেশ
Combination
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল (ক্রম বর্জন করে) গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে।
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r \ (r\le{n})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত \(^{n}C_{r}\) বা \(C(n,r)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তিনটি বস্তু \(A, \ B, \ C\) থেকে দুইটি করে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দলগুলি হবে- \(AB, \ AC, \ BC\)
আবার, \(3\) টি বস্তু একবারে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দল হবে- \(ABC\)
উপরের প্রত্যেকটি দলকে এক একটি সমাবেশ বলা হয়।
বিভিন্ন বস্তুর সমাবেশ
Combination of different things
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\); যেখানে, (\(n\) এবং \(r\) প্রত্যেকেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) )
\(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) তাহলে প্রত্যেক সমাবেশে \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন প্রত্যেক সমাবেশের অন্তর্গত \(r\) সংখ্যক বস্তুকে তাদের নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন উপায়ে বিন্যাস করলে \(^{r}P_{r}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। এরূপ \(^{n}C_{r}\) সংখ্যক সমাবেশ থেকে \(r!\times{^{n}C_{r}}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে এবং এটি \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার সমান।
সুতরাং \(^{r}P_{r}\times{^{n}C_{r}}={^{n}P_{r}}\)
\(\Rightarrow r!\times{^{n}C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜ \(\because {^{n}P_{n}}=n!\)
এবং \({^{n}P_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\)

\(\therefore {^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে, তাদের \(r \ (r\ge{p})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ সংখ্যাঃ
\[{\sum_{i=0}^{p}}{^{n-p}C_{r-i}}={^{n-p}C_{r}}+{^{n-p}C_{r-1}}+{^{n-p}C_{r-2}}+...+{^{n-p}C_{r-p}}\]
উদাহরণঃ \(DHAKA\) শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(DHAKA\) শব্দটিতে মোট \(5\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(A\) এবং \(3\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।
বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে বাছাইয়ের উপায় \(={^{5-2}C_{3}}+{^{5-2}C_{3-1}}+{^{5-2}C_{3-2}}\)
\(={^{3}C_{3}}+{^{3}C_{2}}+{^{3}C_{1}}\)
\(=1+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}\) ➜ \(\because {^{n}C_{n}}=1\)
এবং \({^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(=1+\frac{3.2!}{2!1!}+\frac{3.2!}{1!2!}\)
\(=1+3+3\) ➜ \(\because 1!=1\)

\(=7\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে কমপক্ষে \(r \ (r\le{p})\) সংখ্যক বস্তু বাছাইয়ের উপায়ঃ
\[{\sum_{i=r}^{p}}{^{p}C_{i}}={^{p}C_{r}}+{^{p}C_{r+1}}+{^{p}C_{r+2}}+...+{^{p}C_{p}}\]
অনুসিদ্ধান্তঃ \[{\sum_{r=0}^{n}}{^{n}C_{r}}=2^n\]
\(^nC_{n}=1\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}\) ➜ যখন, \(r=n\)

\(=\frac{n!}{n!0!}\)
\(=\frac{n!}{n!.1}\) ➜ \(\because 0!=1\)

\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{n}}=1\)
\(n\) সংখ্যক বস্তু সবগুলো একত্রে নিয়ে \(^{n}C_{n}\) সংখ্যক অর্থাৎ একটি মাত্র সমাবেশ পাওয়া যায়।
সম্পূরক সমাবেশ
Complementary combination
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \((n-r)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যার সমান।
\(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-n+r)!}\) ➜ যখন, \(r=n-r\)

\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(={^{n}C_{r}}\)
\(\therefore {^nC_{r}}={^nC_{n-r}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}C_{r}}={^{n^{\prime}}C_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}C_{r}}={^{n}C_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(^nC_{0}=1\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}\) ➜ যখন, \(r=0\)

\(=\frac{n!}{0!n!}\)
\(=\frac{n!}{1.n!}\) ➜ \(\because 0!=1\)

\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{0}}=1\)
প্রমাণ কর যে,
\({^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
ঢাঃ ২০১২,২০১০,২০০৭,২০০৪; সিঃ২০০৯,২০০৭,২০০৫; বঃ ২০১৪,২০১২,২০০৮; যঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৪,২০০৮;
রাঃ ২০১২,২০০৮,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬,২০০৫; কুঃ২০১৪,২০১২,২০০৭; দিঃ২০১৩,২০১০; মাঃ ২০১২,২০১০ ।
প্রমাণঃ
\(L.S={^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(=\frac{n!}{r(r-1)!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\) ➜ \(\because r!=r(r-1)!\)
এবং \((n-r+1)!=(n-r+1)(n-r)!\)

\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\times\frac{n+1}{r(n-r+1)}\)
\(=\frac{(n+1)n!}{r(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}\)
\(=\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}\) ➜ \(\because (n+1)n!=(n+1)!,\)
\(r(r-1)!=r!\)
এবং \((n-r+1)(n-r)!=(n-r+1)!\)

\(=\frac{(n+1)!}{r!(n+1-r)!}\)
\(={^{n+1}C_{r}}\) ➜ \(\because \frac{n!}{r!(n-r)!}={^{n}C_{r}}\)

\(=R.S\)
\(\therefore {^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
শর্তাধীন সমাবেশ
Conditional combination
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-p)\) সংখ্যক বস্তু সব রকমে বেছে নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r-p}}\) সমাবেশগুলির প্রত্যেকের সঙ্গে ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু মিলিত করলে, সমাবেশগুলির প্রত্যেকটিতে \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি সব সময় থাকবে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
উদাহরণঃ \(8\) জন বালক ও \(2\) জন বালিকার মধ্যে থেকে বালিকাদের,
\((a)\) সর্বদা গ্রহণ করে
\((b)\) সর্বদা বর্জন করে \(6\) জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
সমাধানঃ
\((a)\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা গ্রহণ করলে \(8\) জন বালক থেকে \(4\) জনকে নিতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{4}}\times{^2C_{2}}\)
\(=\frac{8!}{4!(8-4)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)

\(=\frac{8.7.6.5.4!}{4!\times{4.3.2.1}}\)
\(=\frac{8.7.6.5}{24}\)
\(=2.7.5\)
\(=70\)
\((b)\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা বর্জন করলে \(8\) জন বালক থেকে \(6\) জনকে নিতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{6}}\times{^2C_{0}}\)
\(=\frac{8!}{6!(8-6)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{0}}=1\)

\(=\frac{8.7.6!}{6!\times{2.1}}\)
\(=4.7\)
\(=28\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কোনো সময় না থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু কোনো সময় থাকবে না। অতএব, ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r}}\) সমাবেশগুলির কোনো সময়ই ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি থাকবে না।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার অন্তত একটি বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
প্রমাণঃ
প্রত্যেক বস্তুকে গ্রহণ করা বা বর্জন করা যায়। সুতরাং প্রত্যেকটি বস্তুর জন্য \(2\) টি উপায়ে গ্রহণ বা বর্জন করা যায়। এরূপ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর জন্য মোট উপায়ের সংখ্যা \(=2\times2\times2 ... ... n \ \text{সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\)
\(=2^n\)
কিন্তুএর ভিতর সকলকে বর্জন করার উপায়ও অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
উদাহরণঃ \(5\) টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত \(1\) টি স্বরবর্ণ বাছাই উপায় \(=2^5-1\)
\(=32-1\)
\(=31\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় , \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় এবং \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন হলে যেকোনো সংখ্যক নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং ৩য় প্রকারের \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন \(p\) সংখ্যক বস্তু হতে \(1\) টি, \(2\) টি \(... .... ..., \ p\) সংখ্যকটি অথবা একটিও না নেয়া যেতে পারে। অর্থাৎ \((p+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যেতে পারে।
অনুরূপভাবে, \(q\) সংখ্যক বস্তু \((q+1)\) সংখ্যকভাবে এবং \(r\) সংখ্যক বস্তু \((r+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যায়।
আবার, \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর প্রত্যেকটির জন্য দুই রকম উপায়ে গ্রহণ করা যায়। সুতরাং, মোট \(2^{k}\) সংক্যক উপায়ে গ্রহণ করা যায়।
\(p, \ q, \ r\) ও \(k\) সংখ্যক বস্তু থেকে যেকোনো সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সমাবেশ \((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}\) এর মধ্যে একটি সমাবেশে কোনো বস্তু উপস্থিত থাকবে না। তাই সমাবেশ সংখ্যা হবে
\((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় এবং \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় হলে প্রতিটির অন্ততঃ একটি নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\)
অনুসিদ্ধান্তঃ ১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং \(r\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)2^r-1\)
উদাহরণঃ \(4\) টি দুই টাকা, \(1\) টি দশ টাকা, \(3\) টি বিশ টাকা এবং \(1\) টি একশত টাকার নোট হতে টাকা নেওয়ার উপায় \(=(4+1)(3+1)2^2-1\)
\(=5\times4\times4-1\)
\(=80-1\)
\(=79\)
নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু একাধিক ভাগে বিভক্ত হওয়ার সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তুকে \(n\) সংখ্যক ভাগে বিভক্ত করতে হবে যেন ভাগগুলিতে \(p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, ..., \ p_{n}\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
প্রথম ধাপে \(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{1}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}\) উপায়ে।
দ্বিতীয় ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{2}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, \(n\) তম ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{n}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{n}}C_{p_{n}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) মোট সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}}\times{^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}}\times{... ... }\times{^{p_{n}}C_{p_{n}}}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{1})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{2})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!(p_{n}-p_{n})!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{3}+ ...+p_{n})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... .... p_{n}!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \((m+n+p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(m, \ n\) ও \(p\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে তিনটি ভাগে বিভক্ত করার সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(m=n=p\) হলে, তিনটি ভাগ একই হবে এবং এক্ষেত্রে ভাগগুলিকে নিজেদের মধ্যে \(3!\) উপায়ে বিন্যাস করা যায়।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
আবার, বস্তুগুলিকে তিনজন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\)
উদাহরণঃ \(52\) খানা তাস \(4\) টি ভাগে সমানভাবে ভাগ করার উপায় \(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
কিন্তু \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। নির্বাচিত \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) অথবা \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{2}C_{1}}=2\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে অপর দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times2\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\times2\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(=\frac{2(p+q)!}{p!q!}\)
\(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) ➜ \(\because 2=2!\)

\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ এক দলে \(2\) জন ও অন্য দলে \(4\) জন অন্তর্ভুক্ত করে \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে ভাগ করার উপায় \(=\frac{2!6!}{2!4!}\)
\(=\frac{6.5.4!}{4!}\)
\(=30\)
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রতিবারে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(q\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
উদাহরণঃ \(12\) জন সদস্যের একটি কমিটি থেকে \(7\) জন ও \(5\) জনের দুইটি উপকমিটি গঠনের উপায় \(=\frac{12!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8.7!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8}{120}\) ➜ \(\because 5!=120\)

\(=792\)
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে সমানভাবে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)

\(=\frac{(2p)!}{p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
উদাহরণঃ \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে \(3\) জন করে অন্তর্ভুক্ত করার উপায় \(=\frac{6!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4}{3!}\)
\(=\frac{6.5.4}{6}\) ➜ \(\because 3!=6\)

\(=20\)
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে একটি দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে অন্য দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে। কিন্তু উভয় দলেই \(p\) সংখ্যক বস্তু থাকায় তাদের মধ্যে পরস্পর বিনিময় করলেও সমাবেশের কোনো পরবর্তন হয় না।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\times\frac{1}{2!}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\times\frac{1}{2!}\) ➜ \(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)

\(=\frac{(2p)!}{2!p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি গ্রুপে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B, \ C\) ও \(D\) \(4\) টি গ্রুপে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
সূত্রের ব্যাখ্যাঃ
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((ab, \text{ ও} \ cd)\) অথবা \((ac, \text{ ও} \ bd)\) অথবা \((ad, \text{ ও} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{2!(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{(2)^2}\) ➜ \(\because 2!=2\)

\(=\frac{4.3}{4}\)
\(=3\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে \(A\) ও \(B\) দুইটি গ্রুপে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((A \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bd)\)
অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bc)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3.2!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2}\) ➜ \(\because 2!=2\)

\(=6\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
\(52\) খানা তাস সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
\(52\) খানা তাস চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
অধ্যায় \(5B\)-এর উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) যদি \({^nC_{12}}={^nC_{8}}\) হয়, তবে \({^{22}C_{n}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(231\)

\(Ex.2\) যদি \({^nC_{r}}:{^nC_{r+1}}:{^nC_{r+2}}=1:2:3\) হয়, তবে \(n\) এবং \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n=14, \ r=4\)

\(Ex.3.\) \(17\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(5\) টি স্বরবর্ণ থেকে \(3\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(2\) টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(816000\)
সিঃ২০০৬; চঃ২০১০ ।

\(Ex.4.\) \(THESIS\) শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবারে \(4\) টি বর্ণ নিয়ে মোট সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮; ঢাঃ ২০১৩,২০০৮; বঃ ২০০৬,২০০৩; রাঃ ২০১৫,২০১৩; দিঃ ২০১৫, ২০১২; কুঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; মাঃ২০১৪ ।

\(Ex.5.\) \(7\) জন পুরুষ ও \(4\) জন মহিলার মধ্য থেকে \(4\) জনের একটি \(COMMITTEE\) গঠন করতে হবে,
\((a)\) \({^nC_{7}}={^nC_{3}}\) হলে, \({^nP_{3}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটির স্বরবর্ণগুলি একত্রে না রেখে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
\((c)\) অন্তত একজন মহিলাকে নিয়ে কতভাবে কমিটি গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 720, \ (b) \ 43200, \ (c) \ 295\)

\(Ex.6.\) ভারতীয় গণিতবিদ ভাস্করা-II সর্ব প্রথম তার রচিত \(LILAVATI\) গ্রন্থে \(n\) সংখ্যক বস্তুকে সাজানোর নয়ম বর্ণনা করেন এবং \(8, \ 7, \ 5, \ 2, \ 0\) সংখ্যাগুলি বিভিন্নভাবে সাজান।
\((a)\) \(OMR\)সিটের একটি সারিতে \(10\) টি বৃত্ত আছে। কমপক্ষে একটি বৃত্ত কতভাবে ভরাট করা যাবে?
\((b)\) প্রত্যেক অঙ্ক প্রত্যেক সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে উদ্দীপকের অঙ্গগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটি থেকে প্রতিবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 2^{10}-1, \ (b) \ 60, \ (c) \ 354\)

\(Ex.7.\) এর মান নির্ণয় করঃ
\((a) \ {^{20}C_{3}}\)
\((b) \ {^{100}C_{97}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 1140, \ (b) \ 161700\)

\(Ex.8.\) যদি \({^nC_{n-12}}={^nC_{8}}\) হয়, তবে \({^{22}C_{n}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(231\)

\(Ex.9.\) \(DADDY \ DID \ A \ DEADLY \ DEED\) বাক্যটির বর্ণগুলি থেকে যতগুলি সমাবেশ গঠন করা যাবে তার সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1919\)

\(Ex.10.\) কোনো কলেজের বিতর্ক ক্লাবে \(5\) জন একাদশ শ্রেণির এবং \(8\) জন দ্বাদশ শ্রেণির ছাত্র রয়েছে।
\((a)\) একটি অষ্টভুজের কতটি কর্ণ আছে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(2\) জন একাদশ শ্রেণির ছাত্রকে পাশাপাশি নারেখে বিতার্কিক দলটিকে কত প্রকারে এক সারিতে সাজানো যাবে?
\((b)\) বিতর্ক প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণের জন্য \(\) জনের একটি দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে যাতে দলে অন্তত \(\) জন দ্বাদশ শ্রেণির বিতার্কিক অন্তর্ভুক্ত থাকে?
উত্তরঃ \((a) \ 20\)
\((b) \ {^{9}P_{5}}\times8!\)
\((c) \ 1246\)

\(Ex.11.\) এক ব্যক্তির নিকট \(10\) টি দশ টাকার, \(5\) টি পাঁচ টাকার , \(2\) টি দুই টাকার এবং \(1\) টি এক টাকার নোট আছে। তিনি কত প্রকারে দরিদ্র ভান্ডারে দান করতে পারেন।
উত্তরঃ \(395\)

\(Ex.12.\) \(20\) বাহুবিশিষ্ট একটি সমতলিক ক্ষেত্রের কৌনিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যেতে পারে? ক্ষেত্রটির কতগুলি কর্ণ আছে?
উত্তরঃ \(1140, \ 170\)
দিঃ ২০১১; যঃ ২০১০ ।

\(Ex.13.\) '\(PROFESSOR\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা ও বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(48, \ 738\)
সিঃ২০০৯; চঃ ২০০২ ।

\(Ex.14.\) প্রমাণ কর যে, \({^{6}C_{4}}+{^{6}C_{3}}+{^{7}C_{3}}=70\)

\(Ex.15.\) \(16\) বাহুবিশিষ্ট একটি সমতলিক ক্ষেত্রের কৌনিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যেতে পারে? ক্ষেত্রটির কতগুলি কর্ণ আছে?
উত্তরঃ \(560, \ 104\)

\(Ex.16.\) একটি টেস্ট ম্যাচে বাংলাদেশ ক্রিকেট দলে \(8\) জন ব্যাটসম্যান, \(6\) জন বোলার এবং \(2\) জন উইকেট রক্ষক রাখা হলো। এদের মধ্য থেকে \(11\) জন খেলোয়াড় নিয়ে কয়টি দল গঠন করা যায় যাতে সর্বোদা \(5\) জন বোলার ও কমপক্ষে \(1\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
উত্তরঃ \(1092\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Ex.17.\) \(12\) জন ছাত্রের মধ্য থেকে প্রতি কমিটিতে \(4\) জন হিসেবে মোট \(3\) টি কমিটি গঠন করতে হবে। কত উপায়ে ঐ কমিটিগুলি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(\frac{(15)!}{(5!)^3}\)

\(Ex.18.\) \(8\) জন বালক ও \(2\) জন বালিকার মধ্যে থেকে বালিকাদের,
\((a)\) সর্বদা গ্রহণ করে
\((b)\) সর্বদা বর্জন করে \(6\) জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 70\)
\((b) \ 28\)

\(Ex.19.\) '\(PARALLEL\)' শব্দটি থেকে কমপক্ষে \(1\) টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(95\)

\(Ex.20,\) একাদশ শ্রেণির \(6\) জন ছাত্র থেকে অন্তত একজন, দ্বাদশ শ্রেণির \(7\) জন ছাত্র থেকে অন্তত একজন এবং \(3\) শিক্ষক থেকে কমপক্ষে একজন নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(56007\)

\(Ex.21.\) '\(MISSISSIPPI\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(5\) টি বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যায়?
উত্তরঃ \(550\)

অধ্যায় \(5B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) এর মান নির্ণয় করঃ
\((a) \ {^{16}C_{13}}\)
\((b) \ {^{100}C_{98}}\)
উত্তরঃ \((a) \ 560, \ (b) \ 4950\)

\(Q.1.(ii)\) \({^{n}C_{5}}={^{n}C_{7}}\) হলে, \({^{n}C_{11}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)

\(Q.1.(iii)\) \({^{2n}C_{r}}={^{2n}C_{r+2}}\) হলে, \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n-1\)

\(Q.1.(iv)\) \({^{n}C_{2}}=\frac{2}{5}\times{^{n}C_{4}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\)

\(Q.1.(v)\) \({^{n}P_{3}}=2\times{^{n}C_{4}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\)
দিঃ২০১৭ ।

\(Q.1.(vi)\) \({^{n}P_{r}}=240\) এবং \({^{n}C_{r}}=120\) হলে, \(n\) ও \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16, \ 2\)
চঃ২০১১; রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.1.(vii)\) \({^{n}P_{r}}=54\) এবং \({^{n}C_{r}}=9\) হলে, \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
ঢাঃ২০১৭ ।

\(Q.1.(viii)\) \({^{n+3}C_{2}}:{^{n+8}C_{3}}=3:56\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.1.(ix)\) যদি \({^{n}P_{2}}=3\times{^{n}C_{3}}\) হয় তবে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ, যঃ ২০১৮ ।

\(Q.1.(x)\) \({^{n}C_{2}}={^{3}P_{1}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
চঃ২০১৯ ।

\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n}C_{r}}={^{n-1}C_{r}}+{^{n-1}C_{r-1}}\)

\(Q.1.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n}C_{r}}+{^{n}C_{r+1}}+{^{n+1}C_{r}}={^{n+2}C_{r+1}}\)

\(Q.1.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \({^{12}C_{4}}+{^{12}C_{3}}={^{13}C_{4}}\)

\(Q.1.(xiv)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n+1}C_{r}}+{^{n+1}C_{r-1}}={^{n+2}C_{r}}\)

\(Q.1.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n}C_{r+1}}+{^{n}C_{r}}={^{n+1}C_{r+1}}\); যেখানে, \(n\) এবং \(r\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(n\ge{r}\)

\(Q.1.(xvi)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n}C_{r}}={^{n-2}C_{r}}+2\times{^{n-2}C_{r-1}}+{^{n-2}C_{r-2}}\); যখন, \(n\gt{r}\gt{2}\)

\(Q.1.(xvii)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n+2}C_{r}}={^{n}C_{r}}+2\times{^{n}C_{r-1}}+{^{n}C_{r-2}}\); যখন, \(n\gt{r}\gt{2}\)

\(Q.1.(xviii)\) প্রমাণ কর যে, \({^{8}C_{8}}+{^{8}C_{7}}+{^{9}C_{7}}+{^{10}C_{7}}={^{11}C_{8}}\)

\(Q.1.(xix)\) \({^{n}C_{5}}={^{n}C_{n-10}}\) হলে, \({^{n}C_{12}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(455\)

অধ্যায় \(5B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \(n\) সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের \(\frac{1}{2}n(n-3)\) সংখ্যক কর্ণ আছে। আরও দেখাও যে, এর কৌনিক বিন্দুগুলির সংযোগ রেখা দ্বারা \(\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)\) সংখ্যক বিভিন্ন ত্রিভুজ গঠন করা যায়।
ঢঃ ২০০৫; সিঃ, চঃ ২০১৬ ।

\(Q.2.(ii)\) \(12\) বাহুবিশিষ্ট একটি সমতলিক ক্ষেত্রের কৌনিক বিন্দুর সংযোগ রেখা দ্বারা কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যেতে পারে? ক্ষেত্রটির কতগুলি কর্ণ আছে?
উত্তরঃ \(220, \ 54\)
দিঃ ২০১১; চঃ ২০০৩; যঃ ২০১০; বিআইটিঃ ১৯৯৯-২০০০ ।

\(Q.2.(iii)\) একটি দশ ভুজের কৌনিক বিন্দুগুলির সংযোগ রেখার সাহায্যে কতগুলি কর্ণ টানা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(35\)

\(Q.2.(iv)\) কোনো সমতলে অবস্থিত \(15\) টি বিন্দুর মধ্যে \(5\) টি বিন্দু সমরেখ। এছাড়া কোনো তিনটি বিন্দুও সমরেখ নয়। ঐ \(15\) টি বিন্দু সংযোগ করে কতগুলি সরলরেখা এবং কতগুলি ত্রিভুজ পাওয়া যাবে?
উত্তরঃ \(96, \ 445\)

\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) সেমি দীর্ঘ্য সাতটি সরলরেখাংশ থেকে চারটি করে নিয়ে \(32\) টি চতুর্ভুজ তৈরি করা যাবে।
ঢঃ ২০০৩; বঃ ২০১৬,২০১৫,২০১০; দিঃ ২০০৯; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৬; সিঃ ২০১২,২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৪; যঃ২০০৯; কুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ।

\(Q.2.(vi)\) একটি পঞ্চভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(vii)\) \(4\) জন ভদ্রমহিলাসহ \(10\) জনের মধ্য থেকে \(5\) জনের একটি কমিটি কত প্রকারে গঠন করা যেতে পারে যেন প্রত্যেক কমিটিতে অন্ততপক্ষে \(1\) জন ভদ্রমহিলা থাকবে?
উত্তরঃ \(246\)
ঢাঃ ২০১৬; বঃ ২০০৪; মাঃ ২০১৩; ঢাঃবিঃ ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.2.(viii)\) প্রত্যেক কমিটিতে কমপক্ষে \(1\) জন পুরুষ ও \(1\) জন মহিলা নিয়ে \(6\) জন পুরুষ ও \(4\) জন মহিলার মধ্য থেকে \(5\) জনকে নিয়ে কতগুলি কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(246\)

\(Q.2.(ix)\) \(6\) জন ও \(8\) জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে \(11\) জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে \(6\) জনের দল থেকে কমপক্ষে \(4\) জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(344\)
সিঃ ২০১৫,২০১১; বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.2.(x)\) \(14\) জন খেলোয়াড়ের মধ্যে \(5\) জন বল করতে পারে এবং \(2\) জন উইকেট রক্ষা করতে পারে। অন্তত \(1\) জন উইকেট রক্ষক এবং \(3\) জন বোলার নিয়ে কত প্রকারে \(11\) জনের একটি ক্রিকেট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(342\)
রাঃ ২০১৪; বিআইটিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯ ।

\(Q.2.(xi)\) গণিতের প্রশ্নপত্রের দুইটি গ্রুপের প্রতি গ্রুপে \(5\) টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে \(6\) টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্রুপ থেকে \(4\) টির বেশি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে পারবে?
উত্তরঃ \(200\)
যঃ ২০০৩; সিঃ ২০১৩ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.2.(xii)\) \(6\) জন গণিত ও \(4\) জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেক \(6\) জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্টতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(115\)
যঃ ২০১২,২০০৪; কুঃ ২০০৯; চঃ ২০১৩; বঃ ২০১৩,২০০৩ ।

\(Q.2.(xiii)\) \(8\) জন ভদ্রলোক ও \(6\) জন ভদ্রমহিলা পরিচালকবৃন্দের সমন্বয়ে গঠিত একটি পরিষধ থেকে \(5\) জন ভদ্রলোক ও \(3\) জন ভদ্রমহিলা সমন্বয়ে একটি কমিটি কত রকমে গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(1120\)

\(Q.2.(xiv)\) \(8\) জন ব্যটসম্যান, \(6\) জন বোলার এবং \(2\) জন উইকেট রক্ষক থেকে কতভাবে \(11\) জনের খেলোয়াড়ের দল গঠন করা যাবে যাতে সর্বদা \(5\) জন বোলার এবং কমপক্ষে \(1\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
উত্তরঃ \(1092\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xv)\) \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে যতগুলি সমাবেশ হতে পারে তার সংখ্যা নির্ণয় কর। যেখানে, \(n\) এবং \(r\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(n\ge{r}\)
উত্তরঃ \({{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(Q.2.(xvi)\) একটি একদিনের ম্যাচে \(BANGLADESH\) ক্রিকেট দলে \(8\) জন ব্যটসম্যান, \(6\) জন বোলার এবং \(2\) জন উইকেট রক্ষক থেকে কতভাবে \(11\) জনের খেলোয়াড়ের দল গঠন করা যাবে যাতে সর্বদা \(5\) জন বোলার এবং কমপক্ষে \(1\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
উত্তরঃ \(1092\)
দিঃ ২০১৯,২০১৭ ।

\(Q.2.(xvii)\) একটি একদিনের ম্যাচে \(NEWZEALAND\) ক্রিকেট দলে \(7\) জন ব্যটসম্যান, \(6\) জন বোলার এবং \(2\) জন উইকেট রক্ষক থেকে কতভাবে \(11\) জনের খেলোয়াড়ের দল গঠন করা যাবে যাতে সর্বদা \(5\) জন বোলার এবং কমপক্ষে \(1\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
উত্তরঃ \(462\)
দিঃ ২০১৯,২০১৭ ।

\(Q.2.(xviii)\) \(6\) জন বিজ্ঞান ও \(4\) জন কলা বিভাগের ছাত্র হতে \(6\) জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। বিজ্ঞানের ছাত্রদেরকে সংখ্যাগরিষ্টতা দিয়ে কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(115\)
চঃ ২০১৩; বঃ২০১৩,২০০৩; যঃ২০১২,২০০৮; কুঃ২০০৯ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.2.(xix)\) \(4\) জন বিজ্ঞান ও \(3\) জন কলা বিভাগের ছাত্র হতে \(5\) জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। বিজ্ঞানের ছাত্রদেরকে সংখ্যাগরিষ্টতা দিয়ে কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(15\)
বুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬।

\(Q.2.(xx)\) একটি বিদ্যুৎ উৎপাদন কেন্দ্রে কর্মরত \(5\) জন যন্ত্র প্রকৌশলী ও \(4\) জন তড়িৎ প্রকৌশলীর মধ্য থেকে \(4\) জনের একটি গ্রুপ গঠন করতে হবে। কতভাবে এটি গঠন করা যেতে পারে যাতে গ্রুপটিতে অন্ততঃ \(1\) জন যন্ত্র ও \(1\) জন তড়িৎ প্রকৌশলী থাকে?
উত্তরঃ \(120\)
বুয়েটঃ ২০১০-২০১১।

\(Q.2.(xxi)\) একটি ক্লাবের নির্বাহী কমিটির সদস্য \(21\) জন যার মধ্যে \(8\) জন মহিলা ও \(13\) জন পুরুষ। \(1\) জন মহিলা সদস্য সভাপতি হলে সভাপতিকে বাদ দিয়ে \(11\) জন সদস্যবিশিষ্ট কতগুলো উপকমিটি গঠন করা যাবে যাতে কমপক্ষে \(4\) জন মহিলা সদস্য অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
উত্তরঃ \(105820\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xxii)\) \(15\) জন খেলোয়াড়ের মধ্যে \(5\) জন বোলার এবং \(3\) জন উইকেট রক্ষক। এদের মধ্য হতে \(11\) জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট দল কত উপায়ে গঠন করা যেতে পারে যাতে অন্তত \(4\) জন বোলার ও \(2\) জন উইকেট রক্ষক থাকে।
উত্তরঃ \(630\)
রাঃ ২০১৪ ।

\(Q.2.(xxiii)\) প্রতি গ্রুপে \(5\) টি করে প্রশ্ন আছে এমন দুইটি গ্রুপে বিভক্ত \(10\) টি প্রশ্ন থেকে একজন পরীক্ষার্থীকে \(6\) টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্রুপ থেকে \(4\) টির বেশি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে পারবে?
উত্তরঃ \(200\)
সিঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(xxiv)\) \(10\) খানা ও \(12\) খানা বইয়ের দুইজন মালিক কতভাবে দুইখানার পরিবর্তে দুইখানা বই পরস্পরের মধ্যে বিনিময় করতে পারবে?
উত্তরঃ \(2970\)

\(Q.2.(xxv)\) দুইজনকে কখনো একত্রে না নিয়ে, \(9\) জন ব্যক্তি হতে \(5\) জনকে একত্রে কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(91\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(1\) হতে \(30\) সংখ্যাগুলির যে তিনটির সমষ্টি জোড় তাদেরকে কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(2030\)

\(Q.2.(xxvii)\) কোনো নির্বাচনে \(5\) জন পদপ্রার্থী আছেন, তার মধ্যে \(3\) জনকে নির্বাচন করতে হবে। একজন ভোটার যত ইচ্চছা ভোট দতে পারেন, কিন্তু যত জন নির্বাচিত হবেন তার চেয়ে বেশি ভোট দিতে পারবেন না। তিনি মোট কতভাবে ভোট দিতে পারবেন?
উত্তরঃ \(25\)

\(Q.2.(xxviii)\) রহিম ও রফির যথাক্রমে \(8\) টি ও \(10\) টি বই আছে। তারা কত প্রকারে বইগুলি বিনিময় করতে পারবে?
\((a)\) যদি একটির পরিবর্তে একটি
\((b)\) \(2\) টির পরিবর্তে \(2\) টি বই দেয়া হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 80\)
\((b) \ 1260\)

অধ্যায় \(5B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) একটি ক্লাবের নির্বাহী কমিটিতে \(1\) জন চেয়ারম্যান, \(2\) জন ভাইস চেয়ারম্যান এবং \(8\) জন সদস্য আছেন। \(1\) জন চেয়ারম্যান, \(1\) জন ভাইস চেয়ারম্যান এবং \(4\) জন সদস্য নিয়ে কত উপায়ে সাব-কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(140\)

\(Q.3.(ii)\) একটি কলেজের অধ্যাপকের \(3\) টি খালি পদের জন্য \(10\) জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যেকোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?
উত্তরঃ \(175\)
ঢাঃ ২০০৯।

\(Q.3.(iii)\) এক ব্যক্তির \(6\) জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারে?
উত্তরঃ \(63\)
কুঃ ২০০৩।

\(Q.3.(iv)\) এক ব্যক্তির \(12\) জন বন্ধু আছে তাদের মধ্যে \(8\) জন আত্মীয়। সে কত প্রকারে \(7\) জন বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারেন যাদের মধ্যে \(5\) জন আত্মীয় থাকবেন?
উত্তরঃ \(336\)
বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; বুটেক্সঃ ২০১২-২০১৩।

\(Q.3.(v)\) একজন পরীক্ষার্থীকে \(12\) টি প্রশ্ন থেকে \(6\) টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। তাকে প্রথম \(5\) টি থেকে ঠিক \(4\) টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে পারে?
উত্তরঃ \(105\)
ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৭; যঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(vi)\) কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে হলে \(6\) টি বিষয়ের প্রতিটিতে ন্যুনতম নম্বর পেতে হয়। একজন ছাত্র কত রকমে অকৃতকার্য হতে পারে?
উত্তরঃ \(63\)

\(Q.3.(vii)\) \(9\) ব্যক্তির একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি এবং অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
উত্তরঃ \(246\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১১,২০০৬; বঃ ২০০৯,২০০৫; চঃ২০০৯; রাঃ২০১৬,২০০৭,২০০৫; সিঃ২০১৪,২০১০,২০০৪; কুঃ২০১০; যঃ ২০১১; দিঃ২০১৪; মাঃ ২০০৯ ।

\(Q.3.(viii)\) \(7\) জন লোকের একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, যার একটিতে \(6\) জনের বেশি এবং অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে যদি কোনো গাড়ি যাত্রীবিহীন না থাকে?
উত্তরঃ \(98\)
যঃ ২০০৫; মাঃ ২০১১; বুটেক্সঃ২০০৭-২০০৮, ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.3.(ix)\) \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি এবং অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
উত্তরঃ \(330\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(x)\) \(10\) জন লোক দুইটি শয়নকক্ষে কত রকমভাবে রাত্রি যাপন করতে পারবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1024\)

\(Q.3.(xi)\) '\(ABAHONI\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার তিনটি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(135\)

\(Q.3.(xii)\) '\(DEGREE\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে যেকোনো \(4\) টি বর্ণ প্রত্যেকবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(7\)
রাঃ ২০১১; কুঃ ২০১৫; যঃ ২০১৩, ২০০৭ ।

\(Q.3.(xiii)\) '\(CAMBRIDGE\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(5\) টি বর্ণ নিয়ে যদি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা হয়, তবে তাদের কতগুলিতে সবকয়টি স্বরবর্ণ বর্তমান থাকবে?
উত্তরঃ \(1800\)
কুঃ ২০০৭; চঃ ২০০৪ ।

\(Q.3.(xiv)\) '\(PROFESSOR\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(738\)
সিঃ২০০৯; কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.3.(xv)\) '\(AMERICA\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার তিনটি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(135\)
বঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xvi)\) প্রত্যেকবার চারটি করে বর্ণ নিয়ে '\(EXAMINATION\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে মোট কয়টি বিন্যাস গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(2454\)
বঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(xvii)\) '\(ALGEBRA\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার তিনটি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(135\)

\(Q.3.(xviii)\) '\(ENGLAND\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(5\) টি বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \(1320\)
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xix)\) '\(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\)' অঙ্কগুলো হতে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ অঙ্কগুলোর মধ্য হতে \(4\) টি করে অঙ্ক কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(15\)
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xx)\) '\(EQUATION\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে দুইটি স্বরবর্ণ এবং একটি ব্যঞ্জন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যাবে যেখানে স্বরবর্নগুলির ক্রম পরিবর্তন হবে না?
উত্তরঃ \(90\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxi)\) '\(PRACTICE\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(1020\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxii)\) '\(LOGARITHMS\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(3\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ \(2\) টি স্বরবর্ণ কতভাবে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(105\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxiii)\) \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\) এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদের দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি এবং অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি শিক্ষার্থী ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
উত্তরঃ \(330\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(xxiv)\) \(12\) টি বিভিন্ন ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(5\) টি স্বরবর্ণ থেকে \(3\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(2\) টি স্বরবর্ণ সমন্বয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(264000\)
চঃ ২০১০ ।

\(Q.3.(xxv)\) '\(PERMUTATIONS\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(1\) টি স্বরবর্ণ \(2\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ সমন্বয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যেতে পারে যেখানে প্রতি ক্ষেত্রে স্বরবর্ণটি মাঝখানে থাকবে?
উত্তরঃ \(155\)
ঢাঃ ২০১৫; বুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.3.(xxvi)\) \(OMR\)সিটের একটি সারিতে \(20\) টি বৃত্ত আছে। কমপক্ষে একটি বৃত্ত কতভাবে ভরাট করা যাবে?
উত্তরঃ \(1048575\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(21\) টি বিভিন্ন ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(5\) টি স্বরবর্ণ থেকে প্রতিবার \(1\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ এবং কমপক্ষে \(2\) টি স্বরবর্ণ কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(54525926\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(20\) ব্যক্তির একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে। প্রতিটি যানবাহনের ধারন ক্ষমতা \(20\) । দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
উত্তরঃ \(1048576\)

\(Q.3.(xxix)\) \(A, \ B\) ও \(C\) কে কতভাবে \(12\) খানা বই দেওয়া যাবে যেন \(A\) ও \(B\) একত্রে \(C\) এর দ্বিগুণ পায়?
উত্তরঃ \(126720\)

\(Q.3.(xxx)\) \(23\) জন খেলোয়াড় দ্বারা \(11\) সদস্যের দুইটি ক্রিকেট দল কতভাবে গঠন করা যায়? \(23\) জনের মধ্যে \(2\) জন উইকেট কিপিং করতে পারে এবং তাদেরকে দুইটি দলে রেখে কতভাবে দুইটি ক্রিকেট দল গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(\frac{23!}{2!(11!)^2}, \ \frac{21!}{(10!)^2}\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(23\) জন খেলোয়াড়ের মধ্যে \(2\) জন উইকেট রক্ষক। তাদেরকে দুইটি দলে রেখে \(A\) ও \(B\) দল নামে দুইটি ক্রিকেট দল কতভাবে গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(2\times\frac{21!}{(10!)^2}\)

\(Q.3.(xxxii)\) একটি কোম্পানি দুইটি ফ্যাক্টরির জন্য \(15\) জনকে নিয়োগ দিয়েছে। একটি ফ্যাক্টরিতে \(5\) জনকে ও অপরটিতে \(10\) জনকে কতভাবে নিয়োগ দেওয়া যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2!\times\frac{15!}{5!10!}\)

\(Q.3.(xxxiii)\) একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে \(16\) টি দল অংশ গ্রহণ করে। র‍্যাংকিং-এ শির্ষ \(8\) টি দল থেকে দুইটি দল এবং অপর \(8\) টি দল থেকে দুইটি দল নিয়ে \(4\) দলের \(4\) টি গ্রুপ কতভাবে গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11025, \ 6350400\)

\(Q.3.(xxxiv)\) \(2, \ 3, \ 4, \ 5\) অঙ্কগুলি একবার এবং \(6\) দুইবার পর্যন্ত ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(72\)

\(Q.3.(xxxv)\) '\(EXAMINATION\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রত্যেকবার চারটি করে বর্ণ নিয়ে বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হলো, এদের কতগুলিতে একপ্রান্তে \(N\) এবং অন্য প্রান্তে \(A\) থাকবে?
উত্তরঃ \(114\)

\(Q.3.(xxxvi)\) '\(MATHEMATICS\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রত্যেকবার \(1\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(198\)

\(Q.3.(xxxvii)\) একজন পরীক্ষার্থীকে \(12\) টি প্রশ্ন থেকে \(7\) টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। তাকে প্রথম \(5\) টি থেকে ঠিক \(4\) টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে পারে?
উত্তরঃ \(175\)
সিঃ ২০০১ ।

\(Q.3.(xxxviii)\) \(21\) টি বিভিন্ন ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(5\) টি স্বরবর্ণ থেকে প্রতিবার \(2\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ এবং \(3\) টি স্বরবর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(252000\)

\(Q.3.(xxxix)\) '\(ENGINEERING\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রত্যেকবার \(3\) টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা হলো, এদের কতগুলিতে অন্তত একটি স্বরবর্ণ বর্তমান থাকবে?
উত্তরঃ \(91\)

\(Q.3.(xL)\) '\(EXPRESSION\)' শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশ ও বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(113, \ 2190\)

\(Q.3.(xLi)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় যেকোনো সংক্যকবার নিয়ে \(2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(4\) অঙ্কের কতগুলি পৃথক সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(840\)

\(Q.3.(xLii)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(5, \ 1, \ 7, \ 0, \ 9, \ 3\) অঙ্কগুলি দ্বারা ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে? এদের মধ্যে কতগুলি সংখ্যায় শতক স্থানে \(0\) থাকবে?
উত্তরঃ \(600, \ 120\)

\(Q.3.(xLiii)\) \(3, \ 4, \ 0, \ 5, \ 6\) অঙ্কগুলির একটিকেও পুনরাবৃত্তি না করে \(10\) এবং \(1000\) এর মধ্যবর্তী কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(64\)

\(Q.3.(xLiv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(10000\) অপেক্ষা ছোট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(1820\)

\(Q.3.(xLv)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(1000\) অপেক্ষা ছোট এবং \(5\) দ্বারা বিভাজ্য কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(154\)

\(Q.3.(xLvi)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4\) অঙ্কগুলি দ্বারা \(3\) অঙ্কের বেশি নয়, এরূপ কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(68\)

\(Q.3.(xLvii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) অঙ্কগুলি যে কোনো সংখ্যকবার ব্যবহার করে \(4\) অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়? এ সংখ্যাগুলির কয়টিতে একই অঙ্ক একাধিকবার থাকবে?
উত্তরঃ \(505\)

\(Q.3.(xLviii)\) '\(EQUATION\)' শব্দটির সবগুলি বর্ণ প্রতিবার ব্যবহার করে কত প্রকারে দুইটি শব্দ গঠন করা যেতে পারে, যেন \(E, \ Q, \ U\) বর্ণ তিনটি এক শব্দে এবং \(O, \ N\) বর্ণ দুইটি অপর শব্দে সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে?
উত্তরঃ \(6048\)

\(Q.3.(xLix)\) '\(MOTHERLAND\)' শব্দটি থেকে \(3\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ ও \(2\) টি স্বর বর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(105\)

\(Q.3.(L)\) \(7\) টি বিভিন্ন ব্যঞ্জনবর্ণ এবং \(3\) টি বিভিন্ন স্বরবর্ণ থেকে দুইটি ব্যঞ্জনবর্ণ ও একটি স্বরবর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়, যাতে স্বরবর্ণটি ব্যঞ্জনবর্ণের মাঝখানে থাকে?
উত্তরঃ \(126\)

\(Q.3.(Li)\) '\(FUNCTION\)' শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবারে \(3\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \(228\)

অধ্যায় \(5B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(10\) টি বস্তুর মধ্যে \(2\) টি এক জাতীয় এবং বাঁকিগুলি ভিন্ন ভিন্ন। ঐ বস্তুগুলি থেকে প্রতিবারে \(5\) টি করে নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(182\)

\(Q.4.(ii)\) একজন বালকের সাদা, লাল, নীল, হলুদ, বেগুনি ও কালো রঙের প্রত্যেকের \(4\) টি করে একই আকৃতির মার্বেল আছে। সে প্রত্যেকবার তিনটি করে মার্বেল পর পর টেবিলে সাজালে মার্বেলগুলি সে কত উপায়ে সাজাতে পারবে?
উত্তরঃ \(216\)

\(Q.4.(iii)\) \(12\) খানা পুস্তকের মধ্যে \(5\) খানা পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
\((a)\) যাতে দুইখানা নির্দিষ্ট পুস্তক সর্বদাই থাকবে।
\((b)\) যাতে দুইখানা নির্দিষ্ট পুস্তক সর্বদাই বাদ থাকবে।
উত্তরঃ \((a) \ 120, \ (b) \ 252\)

\(Q.4.(iv)\) দেখাও যে, প্রতিটি বিকল্পসহ \(8\) টি প্রশ্ন থেকে একজন পরীক্ষার্থী একটি অথবা একাধিক প্রশ্ন \(3^8-1\) উপায়ে বাছাই করতে পারে।

\(Q.4.(v)\) একটি সংকেত প্রদানের জন্য সারিতে \(4\) টি পতাকা প্রয়োজন হলে, \(1\) টি হলুদ, \(2\) টি সবুজ ও \(3\) টি লাল পতাকাগুলি সারিতে সারিতে ব্যবহার করে কতটি সংকেত প্রদান করা যাবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(38\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(vi)\) \(8\) জন শিক্ষার্থীকে কত ভাবে সমান \(2\) টি গ্রুপে বিভক্ত করা যায়?
উত্তরঃ \(35\)

\(Q.4.(vii)\) একটি সভায় উপস্থিত প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা \(45\) হলে ঐ সভায় কত জন লোক উপস্থিত ছিল?
উত্তরঃ \(10\)

\(Q.4.(viii)\) \(7\) টি আম, \(5\) টি পেয়ারা ও \(3\) টি আপেল থেকে কমপক্ষে একটি ফল কত উপায়ে নেওয়া যায়?
উত্তরঃ \(191\)

\(Q.4.(ix)\) \(1800\) সংখ্যাটির গুণনীয়কের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36\)

\(Q.4.(x)\) \(20\) জন ব্যক্তি প্রতিবারে যেকোনো \(9\) টি চেয়ারে কতভাবে গোল টেবিলে অংশগ্রহণ করতে পারে?
উত্তরঃ \({^{20}C_{9}}\times8!\)

\(Q.4.(xi)\) একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে \(8\) টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে, মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
উত্তরঃ \(28\)

\(Q.4.(xii)\) কত প্রকারে \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(\frac{52!}{(13!)^4}\)

\(Q.4.(xiii)\) \(n(A)=4\) হলে, \(P(A)\) সেটের কমপক্ষে একটি উপাদান কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(65535\)

\(Q.4.(xiv)\) কোনো পরীক্ষায় তিনটি বিষয়ের প্রতিটির পূর্ণমান \(100\) । একজন ছাত্র কতভাবে \(200\) নম্বর পেতে পারে?
উত্তরঃ \(5151\)

\(Q.4.(xv)\) \(277200\) সংখ্যাটির উৎপাদকের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(180\)

\(Q.4.(xvi)\) \(3\) টি নারিকেল, \(4\) টি আপেল ও \(2\) টি কমলা লেবু থেকে প্রত্যেক প্রকার ফলের কমপক্ষে একটি করে ফল কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(315\)

\(Q.4.(xvii)\) \(6\) টি বাক্সকে \(1, \ 2, \ 3, \ ............., \ 6\) দ্বারা নির্দিষ্ট করা হলো। প্রতিটি বাক্সে লাল অথবা সবুজ বল এমনভাবে রাখতে হবে যেন কমপক্ষে একটি বাক্সে অবশ্যই সবুজ বল থাকবে এবং সবুজ বল সম্বলিত বাক্সগুলি ক্রমানুসারে থাকবে। সর্বমোট যত উপায়ে কাজটি করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21\)
বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ।

\(Q.4.(xviii)\) \(15\) জন ছাত্রের মধ্য থেকে প্রতি কমিটিতে \(5\) জন হিসেবে মোট \(3\) টি কমিটি গঠন করতে হবে। কত উপায়ে ঐ কমিটিগুলি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(\frac{(15)!}{(5!)^3}\)
চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.4.(xix)\) \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু \((n\gt{r})\) নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার মধ্যে যেগুলিতে একটি বিশেষ বস্তু অন্তর্ভুক্ত থাকে এবং যেগুলিতে উহা অন্তর্ভুক্ত থাকে না তারা পরস্পর সমান হলে দেখাও যে, \(n=2r.\)

\(Q.4.(xx)\) \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু \((n\gt{r})\) নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার মধ্যে যেগুলিতে \(2\) টি বিশেষ বস্তু অন্তর্ভুক্ত থাকে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর। এদের কতগুলিতে বিশেষ বস্তু দুইটি পাশাপাশি থাকবে?
উত্তরঃ \(\frac{r!(n-2)!}{(r-2)!(n-r)!}, \ \frac{2(r-1)(n-2)!}{(n-r)!}\)

\(Q.4.(xxi)\) \(n\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু \((n\gt{r})\) নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার মধ্যে যেগুলিতে \(2\) টি বিশেষ বস্তুর উভয়েই অন্তর্ভুক্ত থাকে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(n-2)!}{(n-r)!}(n^2+2r^2-2nr-n)\)

\(Q.4.(xxii)\) একটি সংকেত তৈরি করতে তিনটি পতাকার প্রয়োজন হয়। \(6\) টি বিভিন্ন রঙের প্রত্যেকটির \(4\) টি করে \(24\) টি পতাকা দ্বারা কতগুলি সংকেত দেওয়া যেতে পারে?
উত্তরঃ \(216\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(13\) জন বালকের একটি দলে \(5\) জন বালক সেনা আছে। কত প্রকারে \(7\) জন বালক বাছাই করা যায় যাতে \(3\) ঠিক তিন জন বালক সেনা থাকে। কতগুলিতে অন্তত \(3\) তিন জন বালক সেনা থাকবে?
উত্তরঃ \(700, \ 1008\)

\(Q.4.(xxiv)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) চিহ্নিত \(8\) টি কাউন্টার থেকে অন্যূন একটি বিজোড় ও একটি জোড় কাউন্টার নিয়ে চারটি কাউন্টারের কতগুলি সমাবেশ গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(68\)

\(Q.4.(xxv)\) একটি সমতলে \(n\) সংখ্যক সরলরেখা টানা হলো। যদি কোনো দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল না হয়, এবং কোনো তিনটিও সমবিন্দু না হয়, তবে সেখানে কতগুলো ছেদবিন্দু থাকবে?
উত্তরঃ \({^{n}C_{2}}\)

\(Q.4.(xxvi)\) শূন্যে অবস্থিত \(n\) সংখ্যক বিন্দুর মধ্যে কোনো তিনটি বিন্দু সমরেখ নয় এবং কোনো চারটি বিন্দু এক সমতলে নয়। \(n\) এর কত মানের জন্য বিন্দুগুলোর সংযোগ রেখার দ্বারা প্রাপ্ত সরলরেখার সংখ্যা ও সমতলের সংখ্যা সমান হবে?
উত্তরঃ \(5\)

\(Q.4.(xxvii)\) শূন্যে অবস্থিত \(n\) সংখ্যক বিন্দুর মধ্যে কোনো তিনটি বিন্দু সমরেখ নয় এবং কোনো চারটি বিন্দু এক সমতলে নয়, কেবল \(p\) সংখ্যক বিন্দু এক সমতলে অবস্থিত। ঐ বিন্দুগুলি দ্বারা কতগুলো ভিন্ন সমতল গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \({^{n}C_{3}}-{^{p}C_{3}}+1\)

\(Q.4.(xxviii)\) কোনো সমতলে অবস্থিত \(n\) সংখ্যক বিন্দুর মধ্যে \(p\) সংখ্যক বিন্দু সমরেখ, বাকিগুলোর যেকোনো তিনটি বিন্দু সমরেখ নয়। ঐ \(n\) সংখ্যক বিন্দুগুলি সংযোগ করে মোট কতগুলো সরলরেখা পাওয়া যাবে? এদের দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}n(n-1)-\frac{1}{2}p(p-1)+1, \ \frac{n(n-1)(n-2)-p(p-1)(p-2)}{6}\)

\(Q.4.(xxix)\) ক্রিকেট বিশ্বকাপ \(-2007\) এ \(4\) টি গ্রুপ থেকে \(2\) টি করে দল শীর্ষ আটে উঠে। নিজ গ্রুপের দল ব্যতীত এই \(8\) টি দলের প্রতিটি দল পরস্পরের মুখোমুখি হলে শীর্ষ আটে মোট কয়টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
উত্তরঃ \(24\)

\(Q.4.(xxx)\) \(n(A)=2, \ n(B)=3\) হলে, \(P(A\times{B})\) সেটের কমপক্ষে একটি উপাদান কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(2^{64}-1\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(n(A)=3, \ n(B)=4\) হলে, \(A, \ B\) \(J_{5}\) প্রত্যেক সেটের কমপক্ষে একটি উপাদান কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \(3255\)

\(Q.4.(xxxii)\) \(11\) ডিজিট বিশিষ্ট গ্রামীণফোন মোবাইল নম্বরে বাম দিক হতে প্রথম চারটি স্থান \(0171\) দ্বারা নির্ধারিত। গ্রামীণফোন সারা দেশে সর্বাধিক কত সংখ্যক মোবাইল সংযোগ দিতে পারবে? এদের কত সংখ্যক \(5\) দ্বারা বিভাজ্য হবে? কতগুলোর ঠিক শেষের তিনটি ডিজিট এক রকম হবে তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10^{7}, \ 2\times10^{6}, \ 9\times10^{4}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) \(11\) ডিজিট বিশিষ্ট টেলিটক মোবাইল নম্বরে বাম দিক হতে প্রথম চারটি স্থান \(0155\) দ্বারা নির্ধারিত। বাম দিক হতে ৫ম ডিজিট জোড় সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হলে, সারা দেশে সর্বাধিক কত সংখ্যক টেলিটকের মোবাইল সংযোগ দেওয়া যাবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\times10^{6}\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(3\) অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার বাম দিক থেকে প্রথম দুইটি অঙ্কের সমষ্টি \(4\), প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে গঠিত সংখ্যার সমষ্টি \(1998\) এবং সংখ্যাটির উৎপাদকের সংখ্যা \(8\) হলে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(135\)

\(Q.4.(xxxv)\) দুইটি ধনাত্মক চিহ্নকে পাশাপাশি না রেখে \(m\) সংখ্যক ধনাত্মক ও \(n\) সংখ্যক ঋনাত্মক চিহ্ন \(m\lt{n}\) যত প্রকারে এক সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}\)

\(Q.4.(xxxvi)\) কোনো একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা \(44\)। এর বাহুর সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\)

\(Q.4.(xxxvii)\) বিপিএলে \(8\) টি দল একই গ্রুপে খেলে। একটি দল অপরের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে গ্রুপ পর্যায়ে কতটি খেলা হবে?
উত্তরঃ \(28\)

\(Q.4.(xxxviii)\) শূন্যে অবস্থিত \(15\) টি বিন্দুর মধ্যে যেকোনো তিন বা ততোধিক বিন্দু সমরেখ নয় এবং কোনো চারটি বিন্দু এক সমতলে নয়, কেবল \(5\) টি বিন্দু এক সমতলে অবস্থিত। ঐ বিন্দুগুলি দ্বারা কতগুলো ভিন্ন সমতল গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(446\)

\(Q.4.(xxxix)\) \(20\) টি বিভিন্ন বস্তু থেকে \(8, \ 7, \ 5\) টি বস্তুর গ্রুপ কত প্রকারে ভাগ করা যায়?
উত্তরঃ \(\frac{20!}{8!7!5!}\)

\(Q.4.(xL)\) \(18\) টি বিভিন্ন বস্তুকে কত রকমে \(3\) টি গ্রুপে ভাগ করা যায় যাতে প্রতিটি গ্রুপে \(6\) টি করে বস্তু থাকবে?
উত্তরঃ \(\frac{18!}{3!(6!)^3}\)

\(Q.4.(xLi)\) কত প্রকারে \(15\) টি পুরুস্কার সমান \(3\) টি গ্রুপে ভাগ করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \(\frac{15!}{3!(5!)^3}\)

\(Q.4.(xLii)\) \(15\) জন ছাত্রের মধ্য হতে প্রতি কমিটিতে \(5\) জন হিসেবে মোট \(3\) টি কমিটি গঠন করতে হবে। কত উপায়ে ঐ কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \(\frac{15!}{3!(5!)^3}\)

\(Q.4.(xLiii)\) একটি নৌকার \(8\) জন মাঝির মধ্যে \(3\) জন কেবল এক পাশে দাঁড় টানতে পারে এবং \(2\) জন কেবল অপর পাশে দাঁড় টানতে পারে। মাঝিদেরকে কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?
উত্তরঃ \(1728\)

অধ্যায় \(5B\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) দৃশ্যকল্প-১: \({^{n+1}C_{r}}={^{n}C_{n-r}}+{^{n}C_{r-1}} \ (1\le{r}\le{n})\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\frac{1}{r!}{^{n}P_{r}}:{^{n}C_{r+1}}:\frac{1}{(r+2)!}{^{n}P_{r+2}}=1:2:3\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \({^{141}C_{39}}+{^{141}C_{101}}+{^{142}C_{101}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর সত্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে \(n\) ও \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ {^{143}C_{102}}\)
\((c) \ n=14, \ r=4\)

\(Q.5.(ii)\) \(EXAMINATION\) ছাত্র-ছাত্রীদের নিকট একটি সুপরিচিত শব্দ।
\((a)\) স্বরবর্ণগুলো ক্রমানুসারে রেখে উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটি কত উপায়ে বিন্যাস করা যায়?
\((b)\) ব্যঞ্জন বর্ণগুলো একত্রে রেখে উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের শব্দটি থেকে প্রতিবারে \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 27720\)
\((b) \ 75600\)
\((c) \ 2454\)

\(Q.5.(iii)\) কলেজের শিক্ষকদের যোগদানের সময় \(LECTURER\) পদবিতে ডাকা হয় এবং পদোন্নতি পেয়ে \(PROFESSOR\) হয়ে চাকুরী থেকে অবসরে যান।
\((a)\) \(8\) টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে একবারে \(4\) টি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে দুইটি রঙিন বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
\((b)\) প্রথম ও শেষে \(R\) রেখে ১ম ও ২য় ইংরেজি শব্দ দুইটির বিন্যাসের অনুপাত বের কর।
\((c)\) ব্যঞ্জন বর্ণগুলো একত্রে না রেখে ২য় ইংরেজি শব্দটিকে কত উপায়ে পুনর্বিন্যাস কর যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 360\)
\((b) \ 2:7\)
\((c) \ 43199\)

\(Q.5.(iv)\) \(ARGENTINA\) এবং \(BRAZIL\) বিশ্ব ফুটবলের দুই খ্যাতিনাম দেশ।
\((a)\) \({^{n}P_{r}}=24\) এবং \({^{n}C_{r}}=4\) হলে, \(n\) ও \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে উদ্দীপকের প্রথম ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি কত উপায়ে বিন্যাস করা যায় নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দ দুইটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যার অনুপাত \(7:2\) যেখানে প্রথম শব্দটির প্রথমে ও শেষে \(A\) থাকে।
উত্তরঃ \((a) \ n=4, \ r=3\)
\((b) \ 86400\)

\(Q.5.(v)\) \(BANGLABAZAR\) ঢাকার একটি প্রসিদ্ধ স্থান।
\((a)\) \(8!\) সংখ্যাটি \(2^{n}\) দ্বারা বিভাজ্য হলে \(n_{max}=\) কত?
\((b)\) যেকোনো একটি স্বরবর্ণকে প্রথম স্থানে রেখে উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটিকে পুনরায় কত উপায়ে সাজানো যেতে পারে?
\((c)\) প্রত্যেকবার যেকোনো \(4\) টি বর্ণ নিয়ে ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ n_{max}=7\)
\((b) \ 302400\)
\((c) \ 1231\)

\(Q.5.(vi)\) \(PROPER EDUCATION\) উন্নত জাতি গঠনে কার্যকর ভূমিকা পালন করে।
\((a)\) \(20\) সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যায়?
\((b)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে কতভাবে বিন্যাস করা যায় তা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের প্রথম ইংরেজি শব্দটি হতে যেকোনো \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 380\)
\((b) \ 348480\)
\((c) \ 102\)

\(Q.5.(vii)\) মোস্তাফিজুর রহমান বাংলাদেশের একজন সেরা বোলার। তিনি বললেন যে তার বলিং অ্যাকশন পুরোপুরি \(IDIOSYNCRATIC.\)
\((a)\) \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, \({^{n}P_{n}}={^{n}P_{n-1}}\) এর তাৎপর্য কী?
\((b)\) উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটিতে একাধিকবার রয়েছে এমন বর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে কতভাবে সাজানো যেতে পারে?
\((c)\) প্রত্যেকবারে যেকোনো \(5\) টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দটি দ্বারা কতভাবে শব্দ গঠন করা যেতে পারে?
উত্তরঃ \((b) \ 515289600\)
\((c) \ 41290\)

\(Q.5.(viii)\) একজন শিক্ষার্থী গণিত বই খুলে \(234567\) সংখ্যাটি দেখতে পেল।
\((a)\) \({^{4n}P_{3}}:{^{2n}P_{2}}=2:1\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় করে \(n\) সম্পর্কে মতামত তুলে ধর।
\((b)\) উদ্দীপকের সংখ্যাটির \(6\) টি অঙ্ক ব্যবহার করে \(4000\) থেকে \(6000\) এর মধ্যে কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে?
\((c)\) উদ্দীপকের সংখ্যাটির প্রত্যেকটি অঙ্ককে যদি সে.মি. এককে দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট \(6\) টি সরলরেখা বিবেচনা করা হয় তবে উক্ত সরলরেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 120\)
\((c) \ \text{ ত্রিভুজ}=13, \ \text{ চতুর্ভুজ}=15\)

\(Q.5.(ix)\) কোনো হোটেলে পর পর সাজানো \(9\) টি কক্ষ রয়েছে। প্রতিটি কক্ষের দরজায় \(PASSWORD\) দেওয়ার জন্য \(4\) টি করে \(RING\) রয়েছে। প্রতিটি \(RING\) এ \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলো রয়েছে। যেকোনো দরজায় \(PASSWORD\) রাখলেও চলবে, না রাখলেও চলবে।
\((a)\) উদ্দীপকের অঙ্কগুলির একটিকেও পুনরাবৃত্তি না করে \(6000\) থেকে \(8000\) এর মধ্যে কতটি সংখ্যা গঠন করা যায়?
\((b)\) উদ্দীপকের অঙ্কগুলিকে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ছয় অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
\((c)\) উদ্দীপকের \(RINGPASSWORD\) শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 420\)
\((b) \ 9000\)
\((c) \ 5910\)

\(Q.5.(x)\) বাংলাদেশের একমাত্র রাষ্ট্রীয় মোবাইল ফোন সেবাদানকারী প্রতিষ্ঠান \(TELETALK \ BANGLADESH \ LIMITED\) এর অপারেট কোড \(015\) এবং বাংলাদেশের মোবাইল ফোন নম্বরগুলি \(11\) অঙ্কবিশিষ্ট।
\((a)\) বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যে কোন প্রক্রিয়ায় মোবাইল ফোন নম্বর তৈরি করা যায়?
\((b)\) \(TELETALK \ BANGLADESH \ LIMITED\) সর্বোচ্চ কতজন গ্রাহককে সেবা দিতে পারবে, যাতে প্রতিটি ফোন নম্বরে চতুর্থ অঙ্ক \(5\) হয়?
\((c)\) যদি শেষ \(4\) টি একই অঙ্কবিশিষ্ট ফোন নম্বরগুলিকে বিশেষ ফোন নম্বর বিবেচনায় বিক্রয় না করে তবে, \(TELETALK \ BANGLADESH \ LIMITED\) বর্তমান ব্যবস্থায় সর্বোচ্চ কতজন গ্রাহককে সংযোগ দিতে পারবে?
উত্তরঃ \((b) \ 10^{7}\)
\((c) \ 10^{8}-10^{5}\)

\(Q.5.(xi)\) একটি কোম্পানিতে \(14\) টি ভিন্ন ভিন্ন দপ্তরের জন্য \(14\) জন কর্মকর্তা নিয়োগ করা হলো, যাদের মধ্যে \(8\) জন পুরুষ ও \(6\) জন মহিলা। দুটি বিশেষ দপ্তরে মহিলা কর্মকর্তা পদায়ন বাধ্যতামূলক।
\((a)\) \(PENCIL\) শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতরকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?
\((b)\) নতুন নিয়োগপ্রাপ্ত কর্মকর্তাবৃন্দকে কতভাবে বিভিন্ন দপ্তরে পদায়ন করা যাবে?
\((c)\) নতুন নিয়োগপ্রাপ্ত কর্মকর্তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ \(5\) জন পুরুষ ও সর্বনিম্ন \(3\) জন মহিলার সমন্বয়ে কত রকমে \(8\) জনের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 719\)
\((b) \ 30\times12!\)
\((c) \ 2534\)

\(Q.5.(xii)\) এক ব্যক্তি তার জন্মদিনের অনুষ্ঠানে \(12\) জন্য বন্ধু ও \(6\) জন পারিবারিক আত্মীয়কে আমন্ত্রণ জানানোর সিদ্ধান্ত নিলেন। পারিবারিক আত্মীয়দের মাঝে \(3\) জন পুরুষ, \(2\) জন মহিলা এবং \(1\) শিশু ছিল। অনুষ্ঠানে আমন্ত্রিত প্রত্যেক ব্যক্তি প্রত্যেক ব্যক্তির সাথে একবার করে করমর্দন করলেন।
\((a)\) \(9\) বাহুবিশিষ্ট একটি সামতলিক ক্ষেত্রের কতগুলি কর্ণ আছে?
\((b)\) অনুষ্ঠানে মোট কতটি করমর্দন সম্পন্ন হবে এবং কতটি করমর্দন শুধুমাত্র বন্ধু ও পারিবারিক সদস্যের মাঝে সম্পন্ন হবে?
\((c)\) পারিবারিক আত্মীয়দের জন্য কত উপায়ে \(5\) টি আসন নির্ধারন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 27\)
\((b) \ 153, \ 72\)
\((c) \ 6\)

\(Q.5.(xiii)\) কলেজের বার্ষিক ক্রিড়া প্রতিযোগিতা পরিচালনার জন্য পুরুস্কার ক্রয় কমিটিতে \(5\) জন, অথিতি আপ্যায়নে \(4\) জন এবং শৃঙ্খলা রক্ষার দায়িত্বে \(3\) জন লোক নিয়োজিত।
\((a)\) \(7\times{^{n}P_{3}}={^{n+1}P_{4}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত বার্ষিক ক্রিড়া সুষ্ঠুভাবে পরিচালনার্থে প্রত্যেক কমিটি থেকে অন্ততঃপক্ষে \(1\) জন অন্তর্ভুক্ত রেখে \(6\) সদস্যের কমিটি কতভাবে বাছাই করা যায়?
\((c)\) কমপক্ষে আপ্যায়ন কমিটির \(2\) জন এবং শৃঙ্খলা কমিটির \(1\) জনকে অন্তর্ভুক্ত রেখে \(7\) জনের দল কতভাবে গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 6\)
\((b) \ 805\)
\((c) \ 636\)

\(Q.5.(xiv)\) দৃশ্যকল্প-১: কোনো পরীক্ষায় \(A\) সেটে \(6\) টি প্রশ্ন ও \(B\) সেটে \(4\) টি রয়েছে।
দৃশ্যকল্প-২: একজন মহিলা সপিং মলে গিয়ে \(20\) টি রাজশাহী সিল্ক, \(15\) টি চুমকি কাতান, \(10\) টি প্রাইড ও \(5\) টি চন্দ্রবিন্দু ব্র্যান্ডের শাড়ি পছন্দ করলেন।
\((a)\) একজন পরীক্ষার্থী কতভাবে \(3\) টি প্রশ্ন উত্তর করতে পারবে যেখানে \(B\) সেট হতে ঠিক \(2\) টি প্রশ্নের উত্তর করা লাগবে?
\((b)\) যদি \(B\) সেটের প্রতিটি প্রশ্নের বিকল্প প্রশ্ন থাকে, তবে পুরো প্রশ্নপত্র থেকে কতভাবে এক বা একাধিক প্রশ্নের উত্তর দেয়া যায়?
\((c)\) মহিলাটি কতভাবে এক বা একাধিক শাড়ি বাছাই করতে পারবে?
উত্তরঃ \((a) \ 36\)
\((b) \ 5183\)
\((c) \ 22175\)

\(Q.5.(xv)\) '\(PRACTICE \ SHARPENS \ KNOWLEDGE\)'
\((a)\) একটি পঞ্চভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের শেষ শব্দটির বর্ণগুলির সাজানো ব্যবস্থায় কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে না?
\((c)\) উদ্দীপকের প্রথম শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবারে \(4\) টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 5\)
\((b) \ 166320\)
\((c) \ 1020\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(xvi)\) \(MUAZUL\) এর জন্ম তারিখ \(24.06.1987\)
\((a)\) \({^{n}C_{2}}={^{3}P_{1}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে জন্ম তারিখে ব্যবহৃত অঙ্কগুলি দ্বারা \(8\) অঙ্কের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?
\((c)\) উদ্দীপকের শব্দটি থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ n=3\)
\((b) \ 35280\)
\((c) \ 11\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(xvii)\) \(NAMITA\) তার ক্লাসে জার্মান পদার্থবিদ '\(EINSTEIN\)' এর থিওরি অব রিলেটিভিটি সম্পর্কে আলোচনা করে।
\((a)\) \({^{2n+1}P_{n+1}}:{^{2n}P_{n+2}}=5:2\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় নামটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে কত প্রকারে সাজানো যায়?
\((c)\) উদ্দীপকের প্রথম নামটির বর্ণগুলো থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি বর্ণ কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ n=2\)
\((b) \ 4680\)
\((c) \ 11\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(xviii)\) \(THESIS\) শব্দটিতে \(6\) টি বর্ণ আছে।
\((a)\) সম্পূরক সমাবেশ ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে কত প্রকারে সাজানো যায় বের কর।
\((c)\) দেখাও যে, উদ্দীপকের শব্দটি থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা \(11\)
উত্তরঃ \((a) \ \)
\((b) \ 240\)
\((c) \ 11\)
রাঃ, কুঃ, চঃ, বঃ ২০১৮ ।

\(Q.5.(xix)\) সম্প্রতি ডিজি অফিস হতে \(PDS\) ফাইল আপ-টু ডেট করার জন্য প্রতিটি কলেজে নির্দেশ দেয়। নির্দেশমত আমাদের সহকর্মী মিঃ খান তার ইউজার আইডি '\(COMBINATION\), এবং পাসওয়ার্ড \(10652\) ব্যবহার করেন।
\((a)\) \({^{n}P_{r}}=54\) এবং \({^{n}C_{r}}=9\) হলে, \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) ইউজার আইডি এর বর্ণগুলি হতে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যাবে?
\((c)\) পাসওয়ার্ডের প্রত্যেক অঙ্ককে প্রতি সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ r=3\)
\((b) \ 2454\)
\((c) \ 36\)
ঢাঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xx)\) একটি একদিনের ম্যাচে \(NEWZEALAND\) ক্রিকেট দলে \(7\) জন ব্যাটসম্যান, \(6\) জন বোলার এবং \(2\) জন উইকেট কিপার রাখা হলো।
\((a)\) \({^{n}P_{3}}=2\times{^{n}C_{4}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপক হতে কতভাবে \(11\) জন খেলোয়াড়ের দল গঠন করা যাবে যাতে সর্বদা \(5\) জন বোলার এবং কমপক্ষে একজন উইকেট কিপার থাকবে?
\((c)\) স্বরবর্ণগুলোকে পাশাপাশি না রেখে \(NEWZEALAND\) শব্দের বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ n=15\)
\((b) \ 462\)
\((c) \ 438480\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xxi)\) প্রসিদ্ধ পদার্থবিজ্ঞানী \(ISSAC \ NEWTON\) ১৭৪২ সালে \(ENGLAND\) এ জন্মগ্রহণ করেন।
\((a)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলো হতে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ অঙ্কগুলোর মধ্য হতে \(4\) টি করে অঙ্ক কতভাবে বাছাই করা যায়?
\((b)\) দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বিজ্ঞানীর নামের শেষ অংশের বিন্যাস সংখ্যা নামের প্রথম অংশের বিন্যাস সংখ্যার \(6\) গুণ।
\((c)\) দৃশ্যকল্পের বিজ্ঞানীর জন্মভূমির নামের বর্ণগুলি থেকে প্রত্যেকবার \(5\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 15\)
\((c) \ 1320\)
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xxii)\) একটি ক্লাবের কার্যনির্বাহী কমিটির সদস্য \(21\) জন, যার মধ্যে \(8\) জন মহিলা ও \(13\) জন পুরুষ।
\((a)\) \(DEPRESSION\) শব্দটির অক্ষরগুলিকে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে?
\((b)\) একজন মহিলা সদস্য সভাপতি হলে সভাপতিকে বাদ দিয়ে \(11\) সদস্যবিশিষ্ট কতগুলো উপকমিটি গঠন করা যাবে যাতে কমপক্ষে \(4\) জন মহিলা সদস্য অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
\((c)\) কার্যনির্বাহী কমিটি হতে \(2\) জন পুরুষ বাদ দিয়ে অবশিষ্ট সদস্যবৃন্দকে এক সারিতে কতভাবে সাজানো যাবে যাতে দুইজন মহিলা সদস্য একত্রে না থাকে?
উত্তরঃ \((a) \ 30240\)
\((b) \ 105820\)
\((c) \ {^{12}P_{8}}\times11!\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xxiii)\) '\(AMERICA\)' এর একটি কোম্পানি থেকে দুইটি গাড়ি ভাড়া করা হলো যার একটিতে \(7\) জন এবং অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি ধরে না।
\((a)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটি অক্ষরগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে?
\((b)\) \(9\) জনের একটি দল গাড়ি দুইটিতে ভ্রমণ করবে। দলটি কত রকমে ভ্রমণ করতে পারবে?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে প্রতিবারে \(3\) টি করে অক্ষর নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 288\)
\((b) \ 246\)
\((c) \ 135\)

\(Q.5.(xxiv)\) \(GRAMEENPHONE\) কোম্পানির মোবাইল ফোন নম্বরগুলি \(11\) অঙ্কের, যা \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, 0\) অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত।
\((a)\) যদি \({^{n}P_{r}}=240\) এবং \({^{n}C_{r}}=120\) হয়, তবে \(n\) ও \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটি বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর যেখানে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে? মোবাইল নম্বরের প্রথম তিনটি অঙ্ক কোড নম্বর \(017\) হলে মোট কত সংখ্যক গ্রাহককে সংযোগ দেওয়া সম্ভব হবে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) সাতটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে সে.মি. এ প্রকাশিত উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম \(7\) টি অঙ্কের সমান। দেখাও যে একটি চতুর্ভুজ গঠন করার জন্য \(4\) টি সরলরেখা যত প্রকারে বাছাই করা যায় তার সংখ্যা \(32\)
উত্তরঃ \((a) \ n=16, \ r=2\)
\((b) \ 403200, \ 10^8\)

\(Q.5.(xxv)\) \(2, \ 3, \ 4, \ 6, \ 7, \ 8\) অঙ্কগুলির কোনোটি একবারের বেশি ব্যবহার না করে একটি কোম্পানি তাদের কর্মকর্তা ও কর্মচারিদের জন্য তিন অঙ্কের আইডি নম্বর গঠন করেন। বিজোড় আইডি নম্বরগুলি কর্মকর্তাদের জন্য এবং জোড় আইডি নম্বরগুলি কর্মচারিদের জন্য দেয়া হয়।
\((a)\) সর্বমোট কতটি আইডি নম্বর গঠন করা যাবে?
\((b)\) কর্মচারিদের জোড় আইডি নম্বর কতটি হবে?
\((c)\) \(300\) থেকে বড় এবং \(500\) থেকে ছোট কতটি আইডি নম্বর গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 120\)
\((b) \ 80\)
\((c) \ 40\)

\(Q.5.(xxvi)\) বাংলাদেশ ক্রিকেট দলে \(16\) জন ক্রিকেট খেলোয়াড় আছেন। এদের মধ্যে \(5\) জন ভালো বোলার, \(3\) জন উইকেট রক্ষক এবং বাকী কয়েকজন সাধারণ মানের বোলার হলেও উইকেট রক্ষক নন। এদের মধ্য থেকে \(11\) জন খেলোউয়াড় নিয়ে দল গঠন করতে হবে।
\((a)\) সর্বমোট কতটি দল গঠন করা যায়?
\((b)\) কয়টি দল গঠন করা যায় যাতে \(3\) জন ভালো বোলার, \(1\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
\((c)\) কয়টি দল গঠন করা যায় যাতে কমপক্ষে \(4\) জন ভালো বোলার ও \(2\) জন উইকেট রক্ষক থাকবে?
উত্তরঃ \((a) \ 4368\)
\((b) \ 240\)
\((c) \ 1456\)

\(Q.5.(xxvii)\) \(MAHFUZA\) একজন ছাত্রী। \(IDENTITY\) কার্ড করার জন্য আবেদন করেছে।
\((a)\) বিন্যাস কি ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি একত্রে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায় তা উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলিকে প্রথমে ও শেষে \(I\) রেখে সাজানো সংখ্যার \(7\) গুণ।
\((c)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \ 9000\)

\(Q.5.(xxviii)\) \(BANGLADESH\) ক্রিকেট দলে \(7\) জন ব্যটসম্যন, \(6\) জন বোলার ও \(2\) জন উইকেট কিপার রয়েছে।
\((a)\) \({^{n+1}C_{2}}+{^{n}C_{2}}+{^{n}C_{1}}=72\) হলে, \(n\) এর মান কত?
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি থেকে একটি স্বরবর্ণ ও দুইটি ব্যঞ্জন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যেতে পারে যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা মধ্যম স্থানে থাকে?
\((c)\)\(BANGLADESH\) ক্রিকেট দল থেকে কমপক্ষে \(1\) জন উইকেট রক্ষক এবং কমপক্ষে \(5\) জন বোলার নিয়ে কত উপায়ে \(11\) জনের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 8\)
\((b) \ 84\)
\((c) \ 567\)

\(Q.5.(xxix)\) \(8\) জন ও \(6\) জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে একটি \(KRICKET\) টিম গঠন করতে হবে।
\((a)\) বিন্যাস ও সমাবেশের সম্পর্ক স্থাপন কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি থেকে প্রতিবারে \(5\) টি বর্ণ নিয়ে মোট সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((c)\)উদ্দীপকের সাহায্যে \(11\) জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে \(8\) জনের দল থেকে অন্ততঃ \(5\) জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকে। ক্রিকেট টিমটি কত প্রকারে গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ {^{n}P_{r}}=r!{^{n}C_{r}}\)
\((b) \ 16\)
\((c) \ 364\)

\(Q.5.(xxx)\) একটি \(DEGREE\) কলেজে \(8\) জন গণিত ও \(6\) জন ইংরেজি বিভাগের শিক্ষক রয়েছে।
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(0!=1\)
\((b)\) দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির সবগুলি বর্ণ ব্যবহার করে মোট সাজানো সংখ্যা, স্বরবর্ণ তিনটি একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যার \(5\) গুণ।
\((c)\) গণিতের শিক্ষকদের সংখ্যাগরিষ্টতা দিয়ে উদ্দীপকে উল্লেখিত শিক্ষকদের মধ্য থেকে \(6\) জনের কতগুলো কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((c) \ 1414\)

\(Q.5.(xxxi)\) '\(HEXAGON\)' ছয় বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজ।
\((a)\) \({^{8}C_{4}}+{^{8}C_{3}}=a\) হলে, \(a\) এর মান কত?
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বহুভুজের কতগুলি কর্ণ আছে?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে প্রতিবারে \(5\) টি করে অক্ষর নিয়ে শব্দ গঠন করা হলে কতগুলিতে প্রদত্ত শব্দটির সবগুলো স্বরবর্ণ থাকবে?
উত্তরঃ \((a) \ 126\)
\((b) \ 9\)
\((c) \ 720\)

\(Q.5.(xxxii)\) \(n\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যে সম্পর্ক হলো \({^{n}P_{r}}={^{n}C_{r}}\times{r!}\) এবং \(F={^{n}C_{n-r}}+{^{n}C_{r-1}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \({^{n}P_{r}}={^{n}C_{r}}\times{r!}\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(F={^{n+1}C_{r}}; \ (1\le{r}\le{n})\)
\((c)\) \(\frac{1}{r!}{^{n}P_{r}}:{^{n}C_{r+1}}:\frac{1}{(r+2)!}{^{n}P_{r+2}}=1:2:3\) হলে, \(n\) ও \(r\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \ n=14, \ r=4\)

\(Q.5.(xxxiii)\) \(MATHEMATICS\) স্বাভাবিক সংখ্যা বলতে \(1\) এবং \(1\) এর সাথে বার বার \(1\) যোগ করে যে সকল সংখ্যা পাওয়া যায় তাদেরকে বুঝায়। যেমনঃ \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 6, \ 7\) ইত্যাদি।
\((a)\) দেখাও যে, \({^{n}C_{r}}+{^{n}C_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
\((b)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 6, \ 7\) সে.মি. দীর্ঘ সাতটি সরলরেখা থেকে প্রতিবার \(4\) টি সরলরেখা দ্বারা কত উপায়ে একটি চতুর্ভুজ গঠন করা যাবে?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলির ক্রম পরিবর্তন করবে না এবং কতগুলিতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকবে?
উত্তরঃ \((b) \ 32\)
\((c) \ 415800, \ 120960\)

\(Q.5.(xxxiv)\) \((1) \ PATRIOT\) \((2)\) \(8\) প্রশ্নের মধ্যে গ্রুপ\(-A\) তে \(4\) টি এবং গ্রুপ\(-B\) তে \(4\) টি প্রশ্ন আছে।
\((a)\) দেখাও যে, \({^{n-1}P_{r}}+r.{^{n-1}P_{r-1}}={^{n}P_{r}}\)
\((b)\) \((1)\) নং ইংরেজি শব্দ হতে \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যাবে?
\((c)\) যে কোনো গ্রুপ থেকে সর্বোচ্চ \(4\) টি করে প্রশ্ন নিয়ে একজন ছাত্র কত উপায়ে \(5\) টি প্রশ্নের উত্তর করতে পারবে?
উত্তরঃ \((b) \ 135\)
\((c) \ 56\)

\(Q.5.(xxxv)\) অখিল তার বিভিন্ন '\(DEPRESSION\)' এর কথা ডাঃ শহিদের কাছে বলার পর ডাঃ সাহেব মি. অখিল বাবুকে বিভিন্নভাবে সহযোগিতা করলেন।
\((a)\) প্রমাণ যে, \({^{n+1}C_{r}}+{^{n+1}C_{r-1}}={^{n+2}C_{r}}\)
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি পাশাপাশি না থাকে?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটি থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতগুলি সমাবেশ এবং বিন্যাস সংখ্যা গঠন করা যাবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 876960\)
\((b) \ 113\)
\((c) \ 2190\)

\(Q.5.(xxxvi)\) \(ALGEBRA\) গণিতের একটি অংশ।
\((a)\) \({^{n}P_{r}}=720\) এবং \({^{n}C_{r}}=120\) হলে, \(n, \ r\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) স্বরবর্ণগুলিকে জোড় স্থানে রেখে উদ্দীপকে ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় ?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটি থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস এবং সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ n=10, \ r=3\)
\((b) \ 72\)
\((c) \ 25, \ 480\)

\(Q.5.(xxxvii)\) বাংলাদেশের বর্তমান \(POPULATION\) প্রায় \(159308600\) যা আয়তনের তুলনায় বেশি।
\((a)\) \(AVATAR\) শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে ইংরেজি শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে পাশাপাশি না রেখে কতগুলি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
\((c)\) উদ্দীপকের সংখ্যাটির অঙ্কগুলো একবার মাত্র ব্যবহার করে \(7\) অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 7\)
\((b) \ 885600\)
\((c) \ 1920\)

\(Q.5.(xxxviii)\) বিজ্ঞান মেলা ও সাংস্কৃতিক প্রতিযোগিতা ২০১৭ কে সফলভাবে সম্পন্ন করার জন্য অধ্যক্ষ সাহেব অনেকগুলো কমিটি গঠন করলেন। প্রত্যেক \(COMMITTEE\) কে বলা হলো তারা যেন অপর কমিটির সাথে \(COMMUNICATION\) রক্ষা করে।
\((a)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম ইংরেজি শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যাবে যেন সবগুলি জোড়া বর্ণ পাশাপাশি না থাকে?
\((c)\) দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রত্যেকবার \(4\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বাছাই করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 45360\)
\((b) \ \frac{13!}{32}-8!\)
\((c) \ 185\)

\(Q.5.(xxxix)\) '\(BARISAL\)' থেকে '\(RAJSHAHI\)' যাওয়ার জন্য দুইটি গাড়ি ভাড়া করা হলো যার একটিতে \(9\) জন এবং অন্যটিতে \(6\) জনের বেশি ধরে না।
\((a)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটির বিন্যাস নির্ণয় কর যখন স্বরবর্ণগুলি অবস্থান বিনিময় না করে।
\((b)\) \(11\) জনের একটি দল গাড়ি দুইটিতে ভ্রমণ করবে। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত প্রথম ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রত্যেকবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ 60\)
\((b) \ 1474\)
\((c) \ 135\)

\(Q.5.(xL)\) '\(PARALLEL\)' একটি ইংরেজি শব্দ যার অর্থ সমান্তরাল।
\((a)\) \({^{n}P_{3}}=210\) হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলিকে কত উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যায়?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ইংরেজি শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রত্যেকবার \(6\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যায়?
উত্তরঃ \((a) \ n=7\)
\((b) \ 2999\)
\((c) \ 1920\)

\(Q.5.(xLi)\) \(14\) জন ক্রিকেটারের একটি দলে \(8\) জন ব্যাটসম্যান ও \(6\) জন বোলার আছে।
\((a)\) প্রমাণ যে, \({^{n}C_{r+1}}+{^{n}C_{r}}={^{n+1}C_{r+1}}\)
\((b)\) \(11\) জনের টিম কত প্রকারে গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর, যাতে অন্ততঃ \(4\) জন বোলার থাকে।
\((c)\) \(2\) জন বোলারকে পাশাপাশি না রেখে উক্ত \(14\) জনকে এক লাইনে কত প্রকারে বসানো যায়, তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 344\)
\((c) \ 60480\times8!\)

\(Q.5.(xLii)\) উদ্দীপক-১: '\(RAMSAGAR\)' দিনাজপুরের দক্ষিণাঞ্চলে অবস্থিত একটি ঐতিহ্যবাহী পিকনিক স্পট।
উদ্দীপক-২: \(10\) জন মহিলা এবং \(12\) জন পুরুষ।
\((a)\) \({^{n}C_{r}}\) এবং \({^{n}P_{r}}\) কি ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) উদ্দীপক-১ এর ইংরেজি শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপক-২ হতে \(10\) জনের কতগুলি কমিটি গঠন করা যায়, যেন কমিটিতে কমপক্ষে \(3\) জন মহিলা এবং \(6\) জনের বেশি পুরুষ না থাকে।
উত্তরঃ \((b) \ 3000\)
\((c) \ 527065\)

\(Q.5.(xLiii)\) \(6\) জন বিজ্ঞান বিভাগের এবং \(7\) জন ব্যবসায় শিক্ষা বিভাগের শিক্ষক থেকে বাছাই করে \(6\) জনের একটি \(COMMITTEE\) গঠন করা হলো।
\((a)\) \(4\times{^{n}P_{3}}=5\times{^{n-1}P_{3}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের ইংরেজি শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর। স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে রেখে শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
\((c)\) কমপক্ষে বিজ্ঞান বিভাগের একজন শিক্ষককে অন্তর্ভুক্ত রেখে উদ্দীপকে উল্লেখিত শিক্ষকদের দ্বারা কতটি কমিটি গঠন করা যাবে?
উত্তরঃ \((a) \ n=15\)
\((b) \ 45360, \ 2160\)
\((c) \ 1709\)

\(Q.5.(xLiv)\) ভারতীয় গণিতবিদ \(BHASKARA\) সর্বপ্রথম তার রচিত \(LILAVATI\) গ্রন্থে \(n\) সংখ্যক বস্তুকে সাজানোর নিয়ম বর্ণনা করেন এবং ক্রম বিবেচনা করে \(8, \ 7, \ 5, \ 2, \ 0\) সংখ্যাটি সাজান।
\((a)\) \({^{2n}C_{r}}={^{2n}C_{r+2}}\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় ইংরেজি শব্দটিকে কত রকমে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না থাকে?
\((c)\) প্রত্যেক অঙ্ক প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে উদ্দীপকের অঙ্কগুলি দ্বারা \(5\) অঙ্কের কতগুলি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব?
উত্তরঃ \((a) \ n=r+1\)
\((b) \ 4680\)
\((c) \ 36\)

\(Q.5.(xLv)\) গণিতে ব্যবহৃত অঙ্কগুলো হলো \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0\) ।
\((a)\) \(INTERESTING\) শব্দটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রথম \(5\) টি অঙ্ক সরলরেখার দৈর্ঘ্য নির্দেশ করলে দেখাও যে, একটি ত্রিভুজ গঠনের জন্য তিনটি সরলরেখা যত উপায়ে বাছাই করা যায় তার সংখ্যা \(3\) ।
\((c)\) উদ্দীপকের অঙ্কগুলি দ্বারা পুনরাবৃত্তি না করে \(1000\) এর অপেক্ষা ছোট ও \(5\) দ্বারা বিভাজ্য কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 2494800\)
\((c) \ 154\)

\(Q.5.(xLvi)\) \(PERMUTATION\) ও \(COMBINATIN\) ।
\((a)\) \({^{n+1}P_{3}}+{^{n+1}C_{3}}=392\) হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) এক জাতীয় \(2\) টি বর্ণ প্রান্তে রেখে উদ্দীপকে উল্লেখিত ২য় শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(5\) বর্ণের কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
\((c)\) প্রথম শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(2\) টি স্বরবর্ণ ও \(2\) টি ব্যঞ্জন বর্ণের সমন্বয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ n=7\)
\((b) \ 738\)
\((c) \ 2520\)

\(Q.5.(xLvii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7\) টি অঙ্ক ।
\((a)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত থেকে অন্তত একটি জোড় অঙ্ক ও অন্তত একটি বিজোড় অঙ্ক কতভাবে বাছাই করা যায়?
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত অঙ্কগুলি সাতটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য নির্দেশ করলে, তাদের সাহায্যে কতগুলি চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?
\((c)\) \(6\) দুইবার পর্যন্ত এবং অন্য সংখ্যাগুলি একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 105\)
\((b) \ 32\)
\((c) \ 228\)

\(Q.5.(xLviii)\) যেকোনো সংখ্যা গঠনে \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\) অঙ্কগুলি ব্যবহার হয় ।
\((a)\) প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে \(10\) অঙ্কের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়?
\((b)\) প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে \(10\) অঙ্কের কতগুলি অর্থপূর্ণ জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
\((c)\) প্রত্যেক সংখ্যায় \(1\) নয় বার এবং \(9\) একবার ব্যবহার করে \(10\) অঙ্কের যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের গড় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3265920\)
\((b) \ 1653120\)
\((c) \ 1999999999.8\)

\(Q.5.(xLix)\) '\(EQUATION\)' ।
\((a)\) দেখাও যে, \({^{n}P_{r}}+r{^{n}P_{r-1}}={^{n+1}P_{r}}\)
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দের স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায়?
\((c)\) কমপক্ষে \(1\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ অন্তর্ভুক্ত রেখে \(4\) বর্ণের কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((b) \ 37440\)
\((c) \ 1560\)

\(Q.5.(L)\) '\(CONFIDENCE\)' একটি ইংরেজি শব্দ।
\((a)\) \({^{n}P_{r}}=240\) ও \({^{n}C_{r}}=120\) হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দটির স্বরবর্ণগুলি থেকে প্রতিবার চারটি বর্ণ নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(2\) টি \(C\) ও \(2\) টি \(N\) অন্তর্ভুক্ত রেখে শব্দটির বর্ণগুলি থেকে \(6\) টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ n=16, \ r=2\)
\((b) \ 83\)
\((c) \ 1890\)

\(Q.5.(Li)\) '\(TECHNOLOGY\)' একটি ইংরেজি শব্দ।
\((a)\) \(COMMITTEE\) শব্দটির বর্ণগুলি ব্যবহার করে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত শব্দের \(O\) দুইটিকে পাশাপাশি না রেখে বর্ণগুলিকে কতভাবে সাজানো যায়।
\((c)\) কমপক্ষে \(1\) টি ব্যঞ্জন বর্ণ অন্তর্ভুক্ত রেখে \(3\) বর্ণের কতগুলি শব্দ গঠন করা যায়?
উত্তরঃ \((a) \ 45360\)
\((b) \ 1451520\)
\((c) \ 525\)

\(Q.5.(Lii)\) \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\) ।
\((a)\) \(540\) এর উৎপাদক সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত অঙ্কগুলো থেকে একটি মৌলিক সংখ্যা ও কমপক্ষে একটি কৃত্রিম সংখ্যা কতভাবে নির্বাচন করা যায়?
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বিজোড় অঙ্কগুলো প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেকটি কেবল একবার ব্যবহার করে যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তাদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 24\)
\((b) \ 28\)
\((c) \ 106656\)