জটিল সংখ্যা
Complex Numbers
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
জিরোলামো কার্দানো
Gerolamo Cardano
(১৫০১ খ্রিস্টাব্দ-১৫৭৬ খ্রিস্টাব্দ)
ইতালিয়ান গণিতবিদ
মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সেট মিলে বাস্তব সংখ্যার সেট গঠিত হয়। বাস্তব সংখ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো এর বর্গ সবসময় অঋণাত্মক। কিন্তু \(\sqrt{-1}, \ \sqrt{-4}, \ \sqrt{-5}, \ .....\) প্রভৃতি এর বর্গ যথাক্রমে \(-1, \ -4, \ -5, \ .....\) প্রভৃতি যা ঋণাত্মক। এ ধরনের সংখ্যার উদ্ভব হয়েছে \(x^2+1=0, \ x^2+4=0, \ x^2+5=0, \ ....\) প্রভৃতি সমীকরণ থেকে। এ জাতীয় সমীকরণ সমাধানের চেষ্টার ক্ষেত্রে যে সকল সংখ্যা যা বাস্তব সংখ্যা থেকে ভিন্ন তাই কাল্পনিক সংখ্যা।
জটিল সংখ্যা হচ্ছে বাস্তব সংখ্যার বর্ধিত রূপ। যা \(i, \ (i=\sqrt{-1})\) দ্বারা সূচিত একটি কাল্পনিক এককের সংযুক্তির মাধ্যমে গঠিত। খৃষ্টপূর্ব \(50\) অব্দে গ্রিক গণিতবিদ ও প্রকৌশলী আলেকজান্দ্রিয়ার হেরন জটিল সংখ্যার ধারণা দেন। জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ সর্বপ্রথম প্রবর্তন করেন ইতালীয় গণিতবিদ Rafael Bombelli (1526-1572)। তিনি জটিল সংখ্যার আদর্শরূপ \(a+ib\) ব্যবহার করেন। রেনে দেকার্তে এবং ১৭৭৭ সালে অয়লার \(\sqrt{-1}\) এর জন্য \(i\) প্রতীক আবিষ্কার করেন। ১৮০৬ সালে রবার্ট আরগাঁ জটিল সংখ্যাকে সমতলে চিত্রের সাহায্যে উপস্থাপন করেন যা Argand Diagram নামে পরিচিত। প্রকৌশলী ও বিজ্ঞানীরা বীমের বৈশিষ্ট্য ও অনুনাদ বিশ্লেষণে \(i\) ব্যবহার করেন। প্রবাহী পদার্থ, পাইপের ভিতরের পানির প্রবাহ, ইলেক্ট্রিক সার্কিট, রেডিও তরঙ্গ প্রেরন ইত্যাদি ক্ষেত্রে জটিল সংখ্যা বিভিন্ন অভিনব সমস্যার সমাধান করে। সবচেয়ে মজার ব্যাপার হলো জটিল সংখ্যা আবিষ্কার না হলে আমরা মোবাই ফোনে কথা বলা কিংবা রেডিও শুনতে পারতাম না।
সার সংক্ষেপ
ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background) জটিল সংখ্যা (Complex Number)জটিল সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস (Classification of Complex numbers) জটিল সংখ্যা এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Complex numbers and their geometric replicas) জটিল সংখ্যার রৈখিক প্রকাশ (Linear expression of complex numbers) জটিল সংখ্যার পোলার আকার (Polar size of complex numbers) জটিল সংখ্যার ভেক্টর আকার (Vector size of complex numbers) জটিল সংখ্যার মডুলাস (পরমমান) এবং আর্গুমেন্ট (নতি) (Modulus of complex numbers and argument) কাল্পনিক একক এবং এর প্রকৃতি (Imaginary unit and its nature) জটিল সংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ (Addition and Subtraction of complex numbers) জটিল সংখ্যার গুণ এবং ভাগ (Multiplication and division of complex numbers) দুইটি জটিল সংখ্যার সমতা (Equality of Two complex numbers) অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (Conjugate complex numbers) জটিল রাশিকে A+iB আকারে প্রকাশ (Express complex numbers in the form of A+iB) জটিল সংখ্যার ধর্ম (Characteristics of complex numbers) জটিল সংখ্যার যোগ ও বিয়োগের জ্যামিতিক প্রতিরূপ জটিল সংখ্যার গুণ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Multiplication of complex numbers and its geometric counterpart) জটিল সংখ্যার ভাগ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Division of complex numbers and its geometric counterpart)বিশেষ দ্রষ্টব্য (Special note) জটিল সংখ্যার বর্গমূল (Square roots of complex numbers) একের ঘনমূল (Cube root of one) একের জটিল ঘনমূল দুইটির বৈশিষ্ট্য (Properties of Complex Cube Roots of One) একের জটিল ঘনমূল এর প্রকৃতি (Nature of the complex cube root of one) অধ্যায় \(3\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(3\) / \(Q.6\)-এর ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
জটিল সংখ্যা
Complex Number
যদি \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে \(a+ib\) আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা বা জটিল রাশি বলে যেখানে, \(i=\sqrt{-1}\) । \(a\) কে সংখ্যাটির বাস্তব অংশ এবং \(b\) কে কাল্পনিক অংশ বলা হয়। যদি \(Z=a+ib\) হয়, তবে \(Z\) এর বাস্তব অংশকে সংক্ষেপে \(Re(Z)\) এবং কাল্পনিক অংশকে \(Im(Z)\) অর্থাৎ, \(Re(Z)=a\) ও \(Im(Z)=b\) দ্বারা প্রকাশ করা করা হয়। সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a=0\) হলে, তাকে কাল্পনিক সংখ্যা বলে। আবার, কাল্পনিক অংশ \(b=0\) হলে তাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে \((a, b)\) ক্রমজোড় (ordered pair) আকারে প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(1+2i=(1, 2); \ 0+i=(0, 1); 2-5i=(2, -5)\) ইত্যাদি।
জটিল সংখ্যার সেট যে সকল সংখ্যা সেটের সুপার সেট তা চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপনঃ
realNumber
বাস্তব সংখ্যার ক্রমজোড় হিসেবে জটিল সংখ্যাঃ
জটিল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রমজোড় \((x, y)\) হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাটি হচ্ছে জটিল সমতলে একটি বিন্দু, ঠিক যেমন বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখার উপর একটি বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা যায়। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয় জটিল সমতল বা জেড প্লেন। এ ক্ষেত্রে \(x\) অক্ষ বরাবর বাস্তব অংশ এবং \(y\) অক্ষ বরাবর সংখ্যাটির কাল্পনিক অংশ ধরা হয়। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় \((x, 0)\) আকারের প্রতিটি জটিল সংখ্যাই আসলে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর একেকটি বিন্দু, এবং এরা একই সাথে একেকটি বাস্তব সংখ্যা। এভাবে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দিকে যেতে থাকলে আমরা \(\mathbb{R}\) এর প্রতিটি সংখ্যা অর্থাৎ প্রত্যেকটা বাস্তব সংখ্যাকেই খুঁজে পাব। তার মানে আমরা এই \(x\) অক্ষকে আমাদের পরিচিত সংখ্যারেখা হিসেবে ভাবতে পারি।
অতএব, দেখা যাচ্ছে সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দুই আসলে জটিল সমতলের অন্তর্ভুক্ত। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় যে, \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)। যদি \((x, y)\) ক্রমজোড়টিকে আমরা \(Z\) নাম দেই তাহলে \(Z=(x, y)\) যেখানে \(Re(Z)=x\) এবং \(Im(Z)=y\) লেখা যায়।
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Z_{2}=(x_{2}, y_{2})\) সমান হবে যদি তারা জটিল সমতলে একই বিন্দু নির্দেশ করে, অর্থাৎ \((x_{1}, y_{1})=(x_{2}, y_{2})\) হয়, জটিল সংখ্যা পদ্ধতি আসলে বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতির একটা প্রাকৃতিক প্রবৃদ্ধি (Natural Extension)।
জটিল সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাস
Classification of Complex numbers
realNumber
জটিল সংখ্যা এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (আরগাঁ চিত্র)
Complex numbers and their geometric replicas
যে কোনো জটিল সংখ্যা \(a+ib\) এর ক্রমজোড় \((a, b)\) কে বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করে সমতলে নির্দেশ করা যায়। চিত্রের মাধ্যমে এ পদ্ধতি ১৮০৬ খৃস্টাব্দে প্রথম প্রকাশ করেন গণিতবিদ রবার্ট আরগাঁ। তার নাম অনুসারে জটিল সংখ্যা সমতলে স্থাপনের চিত্রকে আরগাঁ চিত্র (Argand diagram) বলা হয়।question
মনে করি,
\(XOX^{\prime}\) ও \(YOY^{\prime}\) সরলরেখাদ্বয় কোনো সমতলে পরস্পরকে লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, \(XOX^{\prime}\) কে \(x\) অক্ষ এবং \(YOY^{\prime}\) কে \(y\) অক্ষ বলা হয়। \(x\) অক্ষকে বাস্তব অক্ষ এবং \(y\) অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ ধরা হলে, \(P(a, b)\) বিন্দুটি জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে নির্দেশ করবে, যেখানে জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a\) কে \(P\) বিন্দুটির ভুজ (বাস্তব অক্ষ বরাবর) এবং কাল্পনিক অংশ \(b\) কে \(P\) বিন্দুটির কোটি (কাল্পনিক অক্ষ বরাবর) হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
যদি \(b=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(x\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(a\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
আবার, \(a=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(y\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(b\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
Example: question
\(-2+3i\) সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র পাশে দেখানো হলোঃ
\(-2+3i\) সংখ্যাটির ক্রমজোড় \((-2, 3)\)
জটিল সংখ্যার ভেনচিত্র
Venn diagram of complex numbers
realNumber
জটিল সংখ্যার পোলার আকার
Polar size of complex numbers
\(Z=x+iy\) হলে \(Z\) কে কার্তেসীয় আকারের জটিল সংখ্যা বলা হয়। একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,
\(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
এখন, \(Z=x+iy\)
\(\Rightarrow Z=r\cos{\theta}+ir\sin{\theta}\)
\(=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\(=re^{i\theta}\) ➜ \(\because \cos{\theta}+i\sin{\theta}=e^{i\theta}\)

\(re^{i\theta}\) কে \(Z\) পোলার আকার বলা হয়।
\(\therefore re^{i\theta}=x+iy\)
এক্ষেত্রে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(r\) এবং \(\theta\) যথাক্রমে \(Z\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট।
দ্রষ্টব্যঃ \(\cos{\theta}+i\sin{\theta}=re^{i\theta}\) এবং \(\cos{\theta}-i\sin{\theta}=re^{-i\theta}\) এই সূত্র অয়লারের সূত্র (Euler's formula) নামে পরিচিত।
উদাহরণঃ \(Z=3+5i\) জটিল সংখ্যার পোলার আকার \(Z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
যেখানে, \(r=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{5}{3}}\)
জটিল সংখ্যার ভেক্টর আকার
Vector size of complex numbers
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy=(x, y)\) কে ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}\) হিসেবে চিহ্নিত করা যায়।realNumber
যার \(O\) আদি বিন্দু এবং \(P\) প্রান্ত বিন্দু।
দৈর্ঘ্য \(OP\) হলো \(\overrightarrow{OP}\) বা \((Z=x+iy)\) এর পরমমান
এবং \(Z=x+iy=\overrightarrow{OP}\) কে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর বলা হয়।
জটিল সংখ্যার মডুলাস (পরমমান) এবং আর্গুমেন্ট (নতি)
Modulus of complex numbers and argument
\(Z=x+iy\) জটিল সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র \(P\) বিন্দু এবং \(P\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,realNumber
চিত্রানুযায়ী \(OP=r\) এবং \(\angle{XOP}=\theta\)
\(r=OP=\sqrt{x^2+y^2}\) কে \(Z\) এর মডুলাস (প্রকৃতমান বা পরমমান) বলা হয়
এবং একে \(|Z|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ, \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\{Re(Z)\}^2+\{Im(Z)\}^2}\) ।
চিত্রানুযায়ী \(x=r\cos{\theta}\) এবং \(y=r\sin{\theta}\) তাহলে \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\) কে \(Z\) এর আর্গুমেন্ট বলা হয়।
যদি, \(-\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\) হয় তবে \(\theta\) কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়। \(Z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্টকে \(Arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(x\) এবং \(y\) এর মান নির্দিষ্ট থাকলেও ত্রিকোণমিতিক নিয়ম অনুযায়ী \(\theta\) এর অসংখ্য মান হতে পারে।
\(2n\pi+\theta\) কে সাধারণ আর্গুমেন্ট বলা হয়, যেখানে \(n\) যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\theta\) মুখ্য আর্গুমেন্ট। ইহাকে \(arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
অর্থাৎ, \(arg(Z)=2n\pi+\theta\)
উদাহরণঃ \(4+3i\) এর মডলাস এবং আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি \(Z=4+3i\)
\(\Rightarrow x=4, \ y=3\) ➜ \(Z=x+iy\) এর সহিত তুলুনা করে।

\(Z\) এর মডুলাস \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এবং \(Z\) এর আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
\(\therefore \) মডুলাস \(=5\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
কাল্পনিক একক এবং এর প্রকৃতি
Imaginary unit and its nature
\(\sqrt{-1}\) কে কাল্পনিক একক বলা হয় এবং একে \(i\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(i=\sqrt{-1}\)
\(\therefore i^2=-1\)
\(i^3=i^2.i=-i\)
\(i^4=i^2\times{i^2}=-1\times-1=1\)
\(i^5=i^2\times{i^2}\times{i}=-1\times-1\times{i}=i\) ইত্যাদি।
\(n\) যে কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে সাধারণভাবে,
\(i^{4n+1}=i^{4n}.i=(i^{2})^{2n}.i=(-1)^{2n}.i=\{(-1)^{2}\}^n.i\)\(=1^n.i=1.i=i\)
\(i^{4n+2}=i^{4n}.i^2=(i^{2})^{2n}\times-1=(-1)^{2n}\times-1\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-1=1^n\times-1=1\times-1=-1\)
\(i^{4n+3}=i^{4n}.i^2.i=(i^{2})^{2n}\times-1\times{i}=(-1)^{2n}\times-i\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-i=1^n\times-i=1\times-i=-i\)
\(i^{4n+4}=i^{4n}.i^4=(i^{2})^{2n}.(i^2)^2=(-1)^{2n}.(-1)^2\)\(=\{(-1)^{2}\}^n.1=1^n=1\) ইত্যাদি।
আবার,
\(i^{-1}=\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i\)
\(i^{-2}=\frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
\(i^{-3}=\frac{1}{i^3}=\frac{1}{i^2.i}=\frac{1}{-1.i}\)\(=\frac{1}{-i}=\frac{i}{-i^2}=\frac{i}{-(-1)}=\frac{i}{1}=i\)
\(i^{-4}=\frac{1}{i^4}=\frac{1}{i^2.i^2}=\frac{1}{(-1)(-1)}\)\(=\frac{1}{1}=1\) ইত্যাদি।
জটিল সংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ
Addition and Subtraction of complex numbers
জটিল সংখ্যার যোগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর যোগফল \(Z_{1}+Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}+Z_{2}=x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4-2)+i(-3+5)\)
\(=2+2i\)
জটিল সংখ্যার বিয়োগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর বিয়োগফল \(Z_{1}-Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}-Z_{2}=x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2}\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4+2)+i(-3-5)\)
\(=6-8i\)
জটিল সংখ্যার গুণ এবং ভাগ
Multiplication and division of complex numbers
জটিল সংখ্যার গুণঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর গুণফল \(Z_{1}Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(=x_{1}x_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})-y_{1}y_{2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর গুণফল \(=\{4\times-2-(-3)\times5\}+i\{4\times5+(-2)\times-3\}\)
\(=\{-8+15\}+i\{20+6\}\)
\(=7+26i\)
জটিল সংখ্যার ভাগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর ভাফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{2}-iy_{2})\) গুণ করে।

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর ভাফল \(=\frac{\{4\times-2+(-3)\times5\}-i\{4\times5-(-2)\times-3\}}{(-2)^2+5^2}\)
\(=\frac{\{-8-15\}-i\{20-6\}}{4+25}\)
\(=\frac{-23-14i}{29}\)
\(=-\frac{23}{29}-\frac{14}{29}i\)
দুইটি জটিল সংখ্যার সমতা
Equality of Two complex numbers
\(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে অর্থাৎ, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(x_{1}=x_{2}\) এবং \(y_{1}=y_{2}\) হয়।

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা।
এবং \(Z_{1}=Z_{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}+iy_{1}=x_{2}+iy_{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=iy_{2}-iy_{1}\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=-i(y_{1}-y_{2})\)
\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2=i^2(y_{1}-y_{2})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2=-(y_{1}-y_{2})^2\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2=0\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=0, \ y_{1}-y_{2}=0\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\therefore x_{1}=x_{2}, \ y_{1}=y_{2}\)
\(\therefore Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে অর্থাৎ, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(x_{1}=x_{2}\) এবং \(y_{1}=y_{2}\) হয়।
অর্থাৎ, একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ যথাক্রমে অপর একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমান হলে জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে।
\(Z_{1}=3+5i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে।
\(Z_{1}=5+3i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}\ne{Z_{2}}\) হবে কারণ, \(Re(Z_{1})\ne{Re(Z_{1})}\) এবং \(Im(Z_{1})\ne{Im(Z_{1})}\)।
অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা
Conjugate complex numbers
জটিল সংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে একটি বিশেষ অবস্থা লক্ষ করি, \(a+ib\) এর সাথে \(a-ib\) গুণ করলে পাই, \(a^2-i^2b^2=a^2+b^2\in{\mathbb{R}}\) যা একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং কোনো জটিল সংখ্যাকে যে জটিল সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে ফলাফল বাস্তব সংখ্যা হয় তাদের পরস্পর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়।
\(a+ib\) এবং \(a-ib\) জটিল সংখ্যা দুইটির একটিকে অপরটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা নির্ণয় করেতে শুধুমাত্র কাল্পনিক একক \(i\) এর চিহ্নের পরিবর্তন করতে হয়।
কোনো জটিল সংখ্যাকে \(Z\) দ্বারা প্রকাশ করলে, তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যাকে \(\overline{Z}\) অথবা \(Z^{\star}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং \(Z=a-ib\) হলে, \(\overline{Z}=a+ib\) বা \(Z^{\star}=a+ib\)
ফরাসি গণিতবিদ অগাস্টিন কসি (1789-1857) ১৮২১ খ্রিস্টাব্দে অনুবন্ধী শব্দটি প্রবর্তন করেন।
\(2+3i, \ 2-3i\) ও \(3i\) জটিল সংখ্যাগুলির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা যথাক্রমে \(2-3i, \ 2+3i\) ও \(-3i\)realNumber
উল্লেখ্য জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী সংখ্যাটিতে বাস্তব অংশের কোনো পরিবর্তন হয় না, কিন্তু কাল্পনিক অংশের চিহ্নের পরিবর্তন হয়।
যদি \(x\) কোনো বাস্তব সংখ্যা হয় তবে একে \(x+i.0\) লেখা যায় এবং সংখ্যাটির অনুবন্ধী সংখ্যা \(x-i.0=x\) হয়। অর্থাৎ কোনো জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ শূন্য (0) হলে তার অনুবন্ধী সংখ্যা ও ঐ সংখ্যাটি একই।
জটিল সমতলে কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এবং তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(\overline{Z}=x-iy\) পাশের চিত্রে দেখানো হলো।
জটিল রাশিকে A+iB আকারে প্রকাশ
Express complex numbers in the form of A+iB
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\ne{0}\) দ্বারা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) কে ভাগ করলে তা, \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\) হয়।
এ রাশিটিকে \(A+iB\) আকারে পরিণত করার পদ্ধতি নিম্নরূপঃ
\(\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}-ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-i^2y_{1}y_{2}}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) যা \(A+iB\) আকারের।
অর্থাৎ, ভাগ আকৃতির জটিল রাশিকে, রাশিটির হরের অনুবন্ধী সংখ্যা দ্বারা লব ও হরকে গুণ করে সরল করলে অপর একটি জটিল রাশি আকারে পরিণত করা যায়।
উদাহরণঃ \(\frac{-1+2i}{3+4i}\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\(\frac{-1+2i}{3+4i}\)
\(=\frac{(-1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((3-4i)\) গুণ করে।

\(=\frac{-3+4i+6i-8i^2}{3^2-4^2i^2}\)
\(=\frac{-3+10i+8}{9+16}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{5+10i}{25}\)
\(=\frac{5}{25}+\frac{10}{25}i\)
\(=\frac{1}{5}+i\frac{2}{5}\)
\(A+iB\) আকারে প্রকাশ করঃ
\((1)\) \((a+ib)(c+id)\)
\((2)\) \(\frac{(1+i)^3}{4+3i}\)
\((3)\) \(\frac{5+2i}{4-3i}\)

সমাধানঃ
\((1)\)
দেওয়া আছে,
\((a+ib)(c+id)\)
\(=ac+iad+ibc+i^2bd\)
\(=ac+iad+ibc-bd\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=(ac-bd)+i(ad+bc)\) যা \(A+iB\) আকারের।
\((2)\)
দেওয়া আছে,
\(\frac{(1+i)^3}{4+3i}\)
\(=\frac{1^3+3.1^2.i+3.1.i^2+i^3}{4+3i}\) ➜ \(\because (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(=\frac{1+3i-3-i}{4+3i}\) ➜ \(\because i^2=-1, \ i^3=-i\)

\(=\frac{-2+2i}{4+3i}\)
\(=\frac{(-2+2i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((4-3i)\) গুণ করে।

\(=\frac{-8+6i+8i-6i^2}{4^2-3^2i^2}\)
\(=\frac{-8+14i+6}{16+9}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{-2+14i}{25}\)
\(=-\frac{2}{25}+i\frac{14}{25}\) যা \(A+iB\) আকারের।
\((3)\)
দেওয়া আছে,
\(\frac{5+2i}{4-3i}\)
\(=\frac{(5+2i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((4+3i)\) গুণ করে।

\(=\frac{20+15i+8i+6i^2}{4^2-3^2i^2}\)
\(=\frac{20+23i-6}{16+9}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{14+23i}{25}\)
\(=\frac{14}{25}+i\frac{23}{25}\) যা \(A+iB\) আকারের।
জটিল সংখ্যার ধর্ম
Characteristics of complex numbers
কোনো জটিল সংখ্যা \(x+iy=0\) হবে, যদি \(x=0\) এবং \(y=0\) হয়।
প্রমাণঃ
\(x+iy=0,\) যেখানে \(x,y\in{\mathbb{R}}\)
\(\therefore x=-iy\)
\(\Rightarrow x^2=i^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2=-y^2\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=0\)
\(\therefore x=0, \ y=0\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

দুইটি জটিল সংখ্যা \(x_{1}+iy_{2}\) \(x_{1}+iy_{2}\) সমান হবে যদি প্রথমটির বাস্তব অংশ \((x_{1})=\) দ্বিতীয়টির বাস্তব অংশ \(x_{2}\) এবং প্রথমটির কাল্পনিক অংশ \((y_{1})=\) দ্বিতীয়টির কাল্পনিক অংশ \(y_{2}\) হয়।

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা।
এবং \(Z_{1}=Z_{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}+iy_{1}=x_{2}+iy_{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=iy_{2}-iy_{1}\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=-i(y_{1}-y_{2})\)
\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2=i^2(y_{1}-y_{2})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2=-(y_{1}-y_{2})^2\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow (x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2=0\)
\(\Rightarrow x_{1}-x_{2}=0, \ y_{1}-y_{2}=0\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\therefore x_{1}=x_{2}, \ y_{1}=y_{2}\)
\(\therefore Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে অর্থাৎ, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(x_{1}=x_{2}\) এবং \(y_{1}=y_{2}\) হয়।
অর্থাৎ, একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ যথাক্রমে অপর একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমান হলে জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে।
কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধীর অনুবন্ধী ঐ জটিল সংখ্যাই অর্থাৎ \(\overline{\overline{Z}}=Z\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=\overline{x-iy}\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=x+iy\) ➜ \(\because \overline{x-iy}=x+iy\)

\(\therefore \overline{\overline{Z}}=Z\)
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর সমষ্টি \(Z+\overline{Z}\) এবং গুণফল \(Z\overline{Z}\) উভয়ে বাস্তব সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
এখন, \(Z+\overline{Z}\)
\(=x+iy+x-iy\)
\(=2x\) যা বাস্তব।
আবার,
\(Z\overline{Z}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\) যা বাস্তব। ➜ \(\because i^2=-1\)

দুইটি অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর বিয়োগফল \(Z-\overline{Z}\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা এবং ভাগফল \(\frac{Z}{\overline{Z}}\) একটি জটিল সংখ্যা।

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
এখন, \(Z-\overline{Z}\)
\(=x+iy-x+iy\)
\(=2iy\) যা কাল্পনিক সংখ্যা।
আবার,
\(\frac{Z}{\overline{Z}}\)
\(=\frac{x+iy}{x-iy}\)
\(=\frac{(x+iy)^2}{(x+iy)(x-iy)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x+iy)\) গুণ করে।

\(=\frac{x^2+2xiy+i^2y^2}{x^2-i^2y^2}\)
\(=\frac{x^2+2xiy-y^2}{x^2+y^2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{x^2-y^2+i2xy}{x^2+y^2}\)
\(=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2}\) যা জটিল সংখ্যা।
অনুবন্ধী নয় এরূপ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) এর যোগফল \((Z_{1}+Z_{2}),\) বিয়োগফল \((Z_{1}-Z_{2}),\) গুণফল \((Z_{1}Z_{2})\) এবং ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রতিটিই এক একটি জটিল সংখ্যা।

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)
এখন, \(Z_{1}+Z_{2}\)
\(=x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\) যা জটিল সংখ্যা।
আবার, \(Z_{1}-Z_{2}\)
\(=x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\) যা জটিল সংখ্যা।
আবার, \(Z_{1}Z_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-y_{1}y_{2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\) যা জটিল সংখ্যা।
আবার, \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\)
\(=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{2}-iy_{2})\) গুণ করে।

\(=\frac{x_{1}x_{2}-ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-i^2y_{1}y_{2}}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) যা জটিল সংখ্যা।
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর মূলও একটি জটিল সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(\sqrt[n]{a+ib}=x\)
তাহলে, \(a+ib=x^n\)
যদি \(x\) বাস্তব সংখ্যা হয় তবে \(x^n\) ও একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যা \((a+ib)\) একটি বাস্তব সংখ্যা \((x^n)\) এর সমান হয়ে যায়, যা অসম্ভব। অতএব, \(x\) একটি জটিল সংখ্যা হবে। অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যার \(n-\)তম (যে কোনো সসীমতম) মূলও জটিল সংখ্যা হবে। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যার মূল একটি জটিল সংখ্যা।
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর শক্তির সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে শক্তিবিশিষ্ট জটিল সংখ্যাটিও একটি জটিল সংখ্যা।

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\)
তাহলে, \(Z^2=(x+iy)^2\)
\(=x^2+2xiy+i^2y^2\)
\(=x^2+2xiy-y^2\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=(x^2-y^2)+i2xy\) যা জটিল সংখ্যা।
আবার, \(Z^3=(x+iy)^3\)
\(=x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3\)
\(=x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3\) ➜ \(\because i^2=-1, \ i^3=-i\)

\(=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3\) যা জটিল সংখ্যা।
অনুরূপভাবে অগ্রসর হলে \(Z^n\) একটি জটিল সংখ্যা দেখানো যাবে। এখানে \(n\) যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
জটিল সংখ্যার মডুলাস (পরমমান) এবং আর্গুমেন্ট (নতি) সংক্রান্ত ধর্ম
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) হলে
(a) \(|Z|=|\overline{Z}|=|-Z|=|-\overline{Z}|\)
(b) \(|Z|^2=|\overline{Z}|^2=|-Z|^2=|-\overline{Z}|^2=Z\overline{Z}\)

প্রমাণঃ
(a) ধরি, \(Z=x+iy\)
তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
\(-Z=-x-iy\)
এবং \(-\overline{Z}=-x+iy\)
এখন, \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(|\overline{Z}|=\sqrt{x^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(|-Z|=\sqrt{(-x)^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(|-\overline{Z}|=\sqrt{(-x)^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
সুতরাং,\(|Z|=|\overline{Z}|=|-Z|=|-\overline{Z}|\)
(b) ধরি, \(Z=x+iy\)
তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
\(-Z=-x-iy\)
এবং \(-\overline{Z}=-x+iy\)
এখন, \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow |Z|^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow |Z|^2=x^2+y^2\)
\(|\overline{Z}|=\sqrt{x^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow |\overline{Z}|^2=x^2+y^2\)
\(|-Z|=\sqrt{(-x)^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow |-Z|^2=x^2+y^2\)
\(|-\overline{Z}|=\sqrt{(-x)^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow |-\overline{Z}|^2=x^2+y^2\)
এবং \(Z\overline{Z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2\)
সুতরাং,\(|Z|^2=|\overline{Z}|^2=|-Z|^2=|-\overline{Z}|^2=Z\overline{Z}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(|Z_{1}+Z_{2}|^2=(Z_{1}+Z_{2})(\overline{Z_{1}+Z_{2}})\) ➜ \(\because |Z|^2=Z\overline{Z}\)

\(=(Z_{1}+Z_{2})(\overline{Z_{1}}+\overline{Z_{2}})\) ➜ \(\because \overline{Z_{1}+Z_{2}}=\overline{Z_{1}}+\overline{Z_{2}}\)

\(=Z_{1}\overline{Z_{1}}+Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}}+Z_{2}\overline{Z_{2}}\)
\(=|Z_{1}|^2+2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})+|Z_{2}|^2\) ➜ \(\because Z\overline{Z}=|Z|^2, \ Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}}=2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})\)

\(\therefore |Z_{1}+Z_{2}|^2\le{|Z_{1}|^2+2|Z_{1}\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because Re(Z)\le{|Z|}\)

\(\Rightarrow |Z_{1}+Z_{2}|^2\le{|Z_{1}|^2+2|Z_{1}||\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)

\(\Rightarrow |Z_{1}+Z_{2}|^2\le{(|Z_{1}|+|Z_{2}|)^2}\)
\(\therefore |Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(|Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+|Z_{3}|}\)
\(|Z_{1}+Z_{2}+....+Z_{n}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+....+|Z_{n}|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|^2=(Z_{1}-Z_{2})(\overline{Z_{1}-Z_{2}})\) ➜ \(\because |Z|^2=Z\overline{Z}\)

\(=(Z_{1}-Z_{2})(\overline{Z_{1}}-\overline{Z_{2}})\) ➜ \(\because \overline{Z_{1}-Z_{2}}=\overline{Z_{1}}-\overline{Z_{2}}\)

\(=Z_{1}\overline{Z_{1}}-Z_{1}\overline{Z_{2}}-Z_{2}\overline{Z_{1}}+Z_{2}\overline{Z_{2}}\)
\(=Z_{1}\overline{Z_{1}}-(Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}})+Z_{2}\overline{Z_{2}}\)
\(=|Z_{1}|^2-2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})+|Z_{2}|^2\) ➜ \(\because Z\overline{Z}=|Z|^2, \ Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}}=2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})\)

\(\therefore |Z_{1}-Z_{2}|^2\le{|Z_{1}|^2+2|Z_{1}\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because Re(Z)\le{|Z|}\)

\(\Rightarrow |Z_{1}-Z_{2}|^2\le{|Z_{1}|^2+2|Z_{1}||\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)

\(\Rightarrow |Z_{1}-Z_{2}|^2\le{(|Z_{1}|+|Z_{2}|)^2}\)
\(\therefore |Z_{1}-Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\ge{|Z_{1}|-|Z_{2}|}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|^2=(Z_{1}-Z_{2})(\overline{Z_{1}-Z_{2}})\) ➜ \(\because |Z|^2=Z\overline{Z}\)

\(=(Z_{1}-Z_{2})(\overline{Z_{1}}-\overline{Z_{2}})\) ➜ \(\because \overline{Z_{1}-Z_{2}}=\overline{Z_{1}}-\overline{Z_{2}}\)

\(=Z_{1}\overline{Z_{1}}-Z_{1}\overline{Z_{2}}-Z_{2}\overline{Z_{1}}+Z_{2}\overline{Z_{2}}\)
\(=Z_{1}\overline{Z_{1}}-(Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}})+Z_{2}\overline{Z_{2}}\)
\(=|Z_{1}|^2-2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})+|Z_{2}|^2\) ➜ \(\because Z\overline{Z}=|Z|^2, \ Z_{1}\overline{Z_{2}}+Z_{2}\overline{Z_{1}}=2Re(Z_{1}\overline{Z_{2}})\)

\(\therefore |Z_{1}-Z_{2}|^2\ge{|Z_{1}|^2-2|Z_{1}\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because Re(Z)\le{|Z|}\)

\(\Rightarrow |Z_{1}-Z_{2}|^2\ge{|Z_{1}|^2-2|Z_{1}||\overline{Z_{2}}|+|Z_{2}|^2}\) ➜ \(\because |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)

\(\Rightarrow |Z_{1}-Z_{2}|^2\ge{(|Z_{1}|-|Z_{2}|)^2}\)
\(\therefore |Z_{1}-Z_{2}|\ge{|Z_{1}|-|Z_{2}|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-y_{1}y_{2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|=|x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})|\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|=\sqrt{(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^2+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^2}\) ➜ \(\because |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|^2=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^2+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|^2=(x_{1}^2+y_{1}^2)(x_{2}^2+y_{2}^2)\) ➜ \(\because (ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|^2=|x_{1}+iy_{1}|^2|x_{2}+iy_{2}|^2\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|^2=|Z_{1}|^2|Z_{2}|^2\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|^2=(|Z_{1}||Z_{2}|)^2\)
\(\therefore |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
অর্থাৎ, দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস তাদের মডুলাসের গুণফলের সমান।
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(Z\times\frac{1}{Z}=1\)
\(\Rightarrow \left|Z\times\frac{1}{Z}\right|=|1|\)
\(\Rightarrow |Z|\times\left|\frac{1}{Z}\right|=1\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)

\(\therefore \left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা এবং \(Z_{2}\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে, \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা এবং \(Z_{2}\ne{0}\)
তাহলে, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\left|Z_{1}\times\frac{1}{Z_{2}}\right|\)
\(=|Z_{1}|\times\left|\frac{1}{Z_{2}}\right|\) ➜ \(\because |ab|=|a||b|\)

\(=|Z_{1}|\times\frac{1}{|Z_{2}|}\)
\(=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
\(\therefore \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
অর্থাৎ, দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের মডুলাস তাদের মডুলাসের ভাগফলের সমান।
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-y_{1}y_{2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow Z_{1}Z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\)
\(\Rightarrow arg(Z_{1}Z_{2})=\tan^{-1}{\left\{\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{x_{1}x_{2}}}{\frac{x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}}\right\}}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{1}x_{2})\) ভাগ করে।

\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{y_{2}}{x_{2}}+\frac{y_{1}}{x_{1}}}{1-\frac{y_{1}}{x_{1}}.\frac{y_{2}}{x_{2}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{y_{1}}{x_{1}}+\frac{y_{2}}{x_{2}}}{1-\frac{y_{1}}{x_{1}}.\frac{y_{2}}{x_{2}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{y_{1}}{x_{1}}}+\tan^{-1}{\frac{y_{2}}{x_{2}}}\) ➜ \(\because \tan^{-1}{\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)}=\tan^{-1}{a}+\tan^{-1}{b}\)

\(=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)
\(\therefore arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{2}-iy_{2})\) গুণ করে।

\(=\frac{x_{1}x_{2}-ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-i^2y_{1}y_{2}}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+ix_{2}y_{1}-ix_{1}y_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(\therefore \frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(\therefore arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}}{\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}\right)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{2}^2+y_{2}^2)\) গুণ করে।

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}}{\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}}\right)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((x_{1}x_{2})\) ভাগ করে।

\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{y_{1}}{x_{1}}-\frac{y_{2}}{x_{2}}}{1+\frac{y_{1}}{x_{1}}.\frac{y_{2}}{x_{2}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{y_{1}}{x_{1}}}-\tan^{-1}{\frac{y_{2}}{x_{2}}}\) ➜ \(\because \tan^{-1}{\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)}=\tan^{-1}{a}-\tan^{-1}{b}\)

\(=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)
\(\therefore arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)
জটিল সংখ্যার যোগ ও বিয়োগের জ্যামিতিক প্রতিরূপ
Geometrical Reprsentation of the Addition and subtraction of complex numbers
ধরি, জটিল সমতলে \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দু দ্বারা সূচিত। । \(OPRQ\) একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি, যেখানে \(OP\) এবং \(OQ\) সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। realNumber
\(P, \ Q\) ও \(R\) বিন্দু হতে \(x\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(PA, \ QB\) ও \(RC\) লম্ব অঙ্কন করি। তাহলে \(A\) ও \(B\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, 0)\) ও \((x_{2}, 0)\)।
এখানে, \(OC=OX\) এর উপর, \(OR\) এর লম্ব অভিক্ষেপ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(PR \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(OQ \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ➜ \(\because OQ\parallel{PR}\)
এবং \(OQ=PR\)

\(=OA+OB\)
\(=x_{1}+x_{2}\)
আবার, \(OY\) এর উপর লম্ব অভিক্ষেপ অঙ্কন করে এভাবে দেখানো যায়, \(RC=y_{1}+y_{2}\)
সুতরাং, \(R\) বিন্দুর ভুজ \(x_{1}+x_{2}\) এবং কোটি \(y_{1}+y_{2}\)
অর্থাৎ, \(R\) বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2})\)
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}+Z_{2}\) ➜ \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সুতরাং, জটিল সমতলে \(R\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত জটিল সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল প্রকাশ করে।
অনুরূপভাবে, \(OQ^{\prime}SP\) সামান্তরিক অঙ্কন করি যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে \(OQ^{\prime}\) ও \(OP\)
এখানে, \(-Z_{2}=-x_{2}-iy_{2}\) জটিল সংখ্যাটি \(Q^{\prime}\) বিন্দু সূচিত করে। পূর্বের ন্যায় অগ্রসর হয়ে দেখানো যায় যে, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটিই \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে এবং \(S\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2})\)।
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})-(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}-Z_{2}\) ➜ \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সতরাং, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে।
চিত্র হতে,
\(OR\le{OP+PR}\)
\(\Rightarrow OR\le{OP+OQ}\)
\(\therefore |Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
জটিল সংখ্যার গুণ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ
Multiplication of complex numbers and its geometric counterpart
ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল,
\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\times{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i(\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}})-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=r_{1}r_{2}\{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)

\(\therefore Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(|Z_{1}Z_{2}|=|r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}|\)
\(=r_{1}r_{2}|\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}|\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{1}\) ➜ \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=r_{1}r_{2}\)
\(\therefore |Z_{1}Z_{2}|=r_{1}r_{2}\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
আবার,
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=\tan^{-1}{\left\{\frac{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{r_{1}r_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\therefore Arg(Z_{1}Z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের গুণফলের সমান।
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের যোগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ realNumber
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর গুণফল \(Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=r_{1}r_{2}=|Z_{1}||Z_{2}|=OP.OQ\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{POA}\) এর সমান \(\angle{QOR}\) অঙ্কন করি যেন \(OR=\frac{OP.OQ}{OA}\) হয়।
তাহলে, \(R\) বিন্দুই \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল প্রকাশ করে।
\(P, A\) এবং \(R, Q\) যোগ করি। উৎপন্ন ত্রিভুজদ্বয় \(POA\) এবং \(ROQ\) হতে \(\angle{POA}=\angle{ROQ}\) এবং \(\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{OA}\) পাওয়া যায়। সুতরাং \(POA\) এবং \(ROQ\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
অতএব আরগাঁ চিত্রে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের জন্য \(OX\) হতে নির্বাচিত স্কেলে \(OA=1\) অংশ কেটে নিয়ে অঙ্কিত \(POA\) ত্রিভুজের সদৃশ \(ROQ\) ত্রিভুজ আঁকতে হবে, যেখানে \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) অবস্থিত তার বিপরীত পাশে \(OR\) অবস্থিত। তাহলে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল \(R\) দ্বারা প্রকাশিত হবে।
জটিল সংখ্যার ভাগ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ
Division of complex numbers and its geometric counterpart
ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের ভাগফল,
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}\) ➜ লব ও হরের সাথে \((\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})\) গুণ করে।

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}-i^2\sin^2{\theta_{2}}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}+\sin^2{\theta_{2}}}\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})}{1}\) ➜ \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)

\(\therefore \frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\right|\)
\(=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\right|\times|\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}|\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{1}\) ➜ \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\therefore \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\Rightarrow \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
আবার,
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\frac{r_{1}}{r_{2}}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের ভাগফলের সমান।
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের বিয়োগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ realNumber
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}=\frac{OP}{OQ}\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OP\) এর যে পাশে \(OQ\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{QOX}\) এর সমান \(\angle{POR}\) অঙ্কন করি যেন \(\angle{OQP}\) এর সমান \(\angle{OAR}\) হয়।
তাহলে চিত্রানুযায়ী, \(\angle{QOX}=\theta_{2}=\angle{POR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}+\angle{POX}=\angle{POX}+\angle{XOR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}=\angle{XOR}=\angle{AOR}\)
আবার, \(\angle{OQP}=\angle{OAR}\)
সুতরাং, \(OPQ\) এবং \(OAR\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে, \(\frac{OR}{OP}=\frac{AR}{PQ}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{1}{OQ}\) ➜ \(\because OA=1\)

\(\therefore OR=\frac{OP}{OQ}\)
আবার, \(\angle{XOR}=\angle{POR}-\angle{POX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
অতএব, \(R\) বিন্দুই দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রকাশ করে।
\(Question.\) \(Z_{1}=2+3i, \ Z_{2}=2-2i\) হলে, জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখাওঃ
\((a) \ Z_{1}+Z_{2}\)
\((b) \ Z_{2}-Z_{1}\)
\((c) \ Z_{1}Z_{2}\)
\((d) \ \frac{Z_{1}}{Z_{2}}\)
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ
Special note:
\(|Z-k_{1}|=k_{2}\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((k_{1}, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k_{2}\)
\(|Z|=k\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k\)
\(|aZ+k_{1}|=|aZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(|aZ+k_{1}|=|bZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Z\overline{Z}=a^2\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\)
\(|Z+k|=x\) বা, \(|Z+k|=y\) সমীকরণটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(|Z+k|+|Z-k|=r\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Question.1\) \(Z_{1}, \ Z_{2}, \ Z_{3}\) ও \(Z_{4}\) জটিল সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}+Z_{3}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{||Z_{2}|-|Z_{3}||}\) যখন \(|Z_{2}|\ne{|Z_{3}|}\)
\((b) \ \left|\frac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}+Z_{4}}\right|=\frac{|Z_{1}|+|Z_{2}|}{||Z_{3}|-|Z_{4}||}\) যখন \(|Z_{3}|\ne{|Z_{4}|}\)
উদাহরণের যাহায্যে \((1)\) ও \((2)\) এর সত্যতা যাচাই কর।
\((2) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z-2|=3\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। এটি কিসের সমীকরণ নির্দেশ করে?
\((3) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z+2i|\gt{3}\) দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।
জটিল সংখ্যার বর্গমূলঃ
Square roots of complex numbers:
\(a+ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}}, \ b\gt{0})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a+ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}+i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\sqrt{a+ib}=x+iy .........(1)\)
\(\Rightarrow a+ib=(x+iy)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow a+ib=x^2+2xiy+i^2y^2\)
\(\Rightarrow a+ib=x^2+2xyi-y^2\) ➜ \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow a+ib=x^2-y^2+2xyi\)
\(\Rightarrow x^2-y^2=a ........(2)\) ➜ বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে।

এবং \(2xy=b ........(3)\)
এখন, \(x^2+y^2=\sqrt{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\) ➜ \(\because a+b=\sqrt{(a-b)^2+4ab}\)

\(=\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2}\)
\(=\sqrt{(a)^2+(b)^2}\) ➜ \(\because x^2-y^2=a, \ 2xy=b\)

\(\therefore x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2} .......(4)\)
\((4)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(x^2+y^2+x^2-y^2=\sqrt{a^2+b^2}+a\)
\(\Rightarrow 2x^2=\sqrt{a^2+b^2}+a\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}+a\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}+a}}\)
\(\therefore x=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}}\)
আবার, \((4)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(x^2+y^2-x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}-a\)
\(\Rightarrow 2y^2=\sqrt{a^2+b^2}-a\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}-a\)
\(\Rightarrow y=\pm{\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}-a}}\)
\(\therefore y=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}}\)
\(x, \ y\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{a+ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}+i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
(প্রমাণিত)
আবার, \(b\lt{0}\) হলে,
\(a-ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a-ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}-i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
একের ঘনমূলঃ
Cube root of one:
\(1\) এর ঘনমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt[3]{1}=1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\sqrt[3]{1}=x\)
\(\Rightarrow 1=x^3\) ➜ উভয় পার্শে ঘন করে।

\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\) ➜ \(\because a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{1^2-4.1.1}}}{2.1}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{1-4}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{-3}}}{2}\)
\(\therefore x=1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
\(\therefore \sqrt[3]{1}=1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
(প্রমাণিত)
একের তিনটি ঘনমূল \(1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)। এদের মধ্যে \(1\) বাস্তব এবং অপর দুইটি \(\left\{\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\right\}\) জটিল।
বিষেশ দ্রষ্টব্যঃ যে কোনো বাস্তব সংখ্যা \(a^3\) এর তিনটি ঘনমূল হচ্ছে \(a, \ a\omega, \ a\omega^2.\)
একের জটিল ঘনমূল দুইটির বৈশিষ্ট্যঃ
Properties of Complex Cube Roots of One:
একের জটিল ঘনমূল দুইটির গুণফল \(1\) অর্থাৎ একটি অপরটির বিপরীত।
অতএব, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\frac{1}{\omega}=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\omega}=\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)}\) ➜ ব্যাস্তকরণ করে।

\(=\frac{2}{\left(-1+\sqrt{-3}\right)}\)
\(=\frac{2\left(-1-\sqrt{-3}\right)}{\left(-1+\sqrt{-3}\right)\left(-1-\sqrt{-3}\right)}\) ➜ লব ও হরের সাথে \(\left(-1-\sqrt{-3}\right)\) গুণ করে।

\(=\frac{2\left(-1-\sqrt{-3}\right)}{(-1)^2-\left(\sqrt{-3}\right)^2}\)
\(=\frac{2\left(-1-\sqrt{-3}\right)}{1+3}\)
\(=\frac{2\left(-1-\sqrt{-3}\right)}{4}\)
\(=\frac{2}{4}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
\(\therefore \frac{1}{\omega}=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
(প্রমাণিত)
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \frac{1}{\omega}\)।
আবার, \(\omega\times\omega^3=1\) ➜ যেহেতু জটিল মূল দ্বয়ের গুণফল \(1\)।

\(\therefore \omega^3=1\)।
একের জটিল ঘনমূল দুইটি একটি অপরটির বর্গ।
অর্থাৎ, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\omega^2=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)

প্রমাণঃ
ধরি, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\)
\(\Rightarrow \omega^2=\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{-3}\right)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(=\frac{1}{4}\left\{(-1)^2+2(-1)\sqrt{-3}+(\sqrt{-3})^2\right\}\) ➜ \(\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(=\frac{1}{4}\left\{1-2\sqrt{-3}-3\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left(-2-2\sqrt{-3}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\times2\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
\(\therefore \omega^2=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
(প্রমাণিত)
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \omega^2\)।
একের ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য \((0)\)।
অর্থাৎ, \(\omega^2+\omega+1=0\)

প্রমাণঃ
\(L.S=\omega^2+\omega+1\)
\(=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)+\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)+1\) ➜ \(\because \omega^2=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
এবং \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}-1+\sqrt{-3}\right)+1\)
\(=\frac{1}{2}(-2)+1\)
\(=-1+1\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore \omega^2+\omega+1=0\)
(প্রমাণিত)
দ্রষ্টব্যঃ
\(\omega^3=1\) \(\omega^2+\omega+1=0\) \(\omega^{n+2}+\omega^{n+1}+1=0\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)
একের জটিল ঘনমূল এর প্রকৃতি
Nature of the complex cube root of one
\(\omega\) একের জটিল ঘনমূলের একটি হলে,
অপর জটিল ঘনমূলটি হয় \(\omega^2\)
সে ক্ষেত্রে \(\omega^3=1\)
তাহলে, \(\omega^4=\omega^3\times\omega=1\times\omega=\omega\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^5=\omega^3\times\omega^2=1\times\omega^2=\omega^2\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^6=(\omega^3)^2=1^2=1\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

অতএব, \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\(\omega^{3n}=(\omega^3)^n=1^n=1\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+1}=\omega^{3n}\times\omega=(\omega^3)^n\times\omega=1^n\times\omega=\omega\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+2}=\omega^{3n}\times\omega^2=(\omega^3)^n\times\omega^2=1^n\times\omega^2=\omega^2\) ➜ \(\because \omega^3=1\)

অর্থাৎ, \(\omega^{n}=1, \ \omega, \ \omega^2\) হবে যদি \(n\) কে \(3\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে \(0, \ 1, \ 2\) হয়।
অধ্যায় \(3\)-এর উদাহরণসমুহ
question
\(Ex.1.\) \(4+3i\) জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
উত্তরঃ মডুলাস\(=5\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
যঃ ২০০০; রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫, ২০১২-২০১৩।

\(Ex.2.\) \(\frac{3+2i}{5-7i}\) এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
উত্তরঃ আর্গুমেন্ট \(=-\tan^{-1}{(31)}\)

\(Ex.3.\) \(Z_{1}=1+i\sqrt{3}, \ Z_{2}=\sqrt{3}-i\) হলে দেখাও যে, \(arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)

\(Ex.4.\) \(-8-6\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বর্গমূল \(=\pm{(1-3i)}\)
কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০১৩; চঃ ২০১৪; সিঃ ২০১১,২০০৫; যঃ ২০১৪,২০১০,২০০৭; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৯;।

\(Ex.5.\) \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\) হলে দেখাও যে, \(4(x^2-y^2)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\)
ঢাঃ ২০১১; কুঃ ২০১৩,২০০৯; রাঃ ২০১৩,২০১১; চঃ ২০১৪; সিঃ ২০১৩,২০০৭; বঃ২০১২,২০০৮; যঃ ২০১৪,২০১২,২০০৯; দিঃ ২০১৩; মাঃ ২০১৯; রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, ২০০৮-২০০৯, ২০১১-২০১২।

\(Ex.6.\) যদি \(x=2+\sqrt{-3}\) হয় তবে \(3x^4-17x^3+41x^2-35x+5\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় মান \(=5\)
রুয়েটঃ ২০০১-২০০২।

\(Ex.7.\) \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z-8|+|Z+8|=20\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
বঃ ২০১৪; রাঃ ২০১০; যঃ ২০০৫; সিঃ ২০০৯ ।

\(Ex.8.\) \(\sqrt{-3+\sqrt{-3+\sqrt{-3+.....\infty}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় মান \(=\frac{1}{2}(1\pm{i\sqrt{11}})\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Ex.9.\) মান নির্ণয় করঃ \(\sqrt[6]{-64}\)
উত্তরঃ নির্ণেয় মান \(=\pm{2i}, \ \pm{(\sqrt{3}\pm{i})}\)
সিঃ ২০০২; যঃ ২০০৩; ঢাঃ২০০৬; রাঃ২০১৪; দিঃ২০১১; কুয়েটঃ২০০৩-২০০৪; রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Ex.10.\) দেখাও যে, \((1-\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{10})\)
\(+(1-\omega^{3n-1})(1-\omega^{3n-2})=12\)
রাঃ ২০০১; বঃ ২০০৪; চঃ ২০০৪; মাঃ২০০৯; দিঃ ২০১১ ।

\(Ex.11.\) \(x=p+q, \ y=p\omega+q\omega^2, \ z=p\omega^2+q\omega\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2=6pq\)
সিঃ ২০১৩,২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১২,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০১৩,২০১০; রাঃ২০১১ ।

Read Example
অধ্যায় \(3\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
question
নিচের জটিল সংখ্যাগুলির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর এবং তাদেরকে পোলার আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(1+\sqrt{3}i\)
উত্তরঃ \(2, \ \frac{\pi}{3}, \ 2\left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)\)
চঃ ২০০০; রুয়েটঃ ২০১০-২০১১,২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.1.(i).(b)\) \(3-5i\)
উত্তরঃ \(\sqrt{34}, \ \theta=-\tan^{-1}{\left(\frac{5}{3}\right)}, \ \sqrt{34}\left(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\right)\)
চঃ ২০০০।

\(Q.1.(i).(c)\) \(-\sqrt{3}+i\)
উত্তরঃ \(2, \ \frac{5\pi}{6}, \ 2\left(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}}\right)\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.1.(i).(d)\) \(-1+\sqrt{3}i\)
উত্তরঃ \(2, \ \frac{2\pi}{3}, \ 2\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}}\right)\)
যঃ ২০০২।

\(Q.1.(i).(e)\) \(-8-6i\)
উত্তরঃ \(10, \ \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}-\pi, \ 10\left(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\right)\)

\(Q.1.(i).(f)\) \(\frac{1+2i}{1-3i}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
বুয়েটঃ ২০১৬-২০১৭।

নিচের জটিল সংখ্যাগুলির মুখ্য আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii).(a)\) \(-2+2i\)
উত্তরঃ \(\frac{3\pi}{4}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(ii).(b)\) \(-4-4i\)
উত্তরঃ \(-\frac{3\pi}{4}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(ii).(c)\) \(1-\frac{i}{1-\frac{1}{1+i}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{2}\)

\(Q.1.(ii).(d)\) \(\frac{1}{2-i}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
কুঃ ২০১৭ ।

\(Q.1.(ii).(e)\) \(\frac{1}{-2+2\sqrt{3}i}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2\pi}{3}\)

\(Q.1.(iii)\) \(Z=-2-2\sqrt{3}i\) একটি জটিল রাশি। \(arg\left(\sqrt{Z}\right)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{3}\)

\(Q.1.(iv)\) \(Z=2-3i\) হলে, \(Img\left(Z^2\right)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-12i\)

\(Q.1.(v)\) \(Z_{1}=8-8\sqrt{3}i, \ Z_{2}=1+\sqrt{3}i\) হলে, \(arg\left(\sqrt{\overline{Z_{1}}-10Z_{2}}\right)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{3}\) অথবা \(\frac{2\pi}{3}\)

নিচের জটিল সংখ্যাগুলিকে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(vi).(a)\) \(\frac{5+2i}{4-3i}\)
উত্তরঃ \(\frac{14}{25}+i\frac{23}{25}\)
মাঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(vi).(b)\) \(\frac{1+5i}{1-2i}+\frac{5-3i}{2+3i}\)
উত্তরঃ \(\left(-\frac{112}{65}\right)+i\left(-\frac{14}{65}\right)\)

\(Q.1.(vi).(c)\) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3\)
উত্তরঃ \(0+i(-1)\)
মাঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(vi).(d)\) \(\frac{4-3i}{5+2i}\)
উত্তরঃ \(\frac{14}{29}+i\left(-\frac{23}{29}\right)\)

নিচের জটিল সংখ্যাগুলিকে পোলার আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(vii).(a)\) \((2\sqrt{3}-2i)(-2\sqrt{3}+6i)\)
উত্তরঃ \(16\sqrt{3}\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)\)
মাঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(viii)\) \(Z_{1}=1+i\sqrt{3}, \ Z_{2}=\sqrt{3}-i\) হলে দেখাও যে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)

\(Q.1.(ix)\) \(Z_{2}=-1-i\sqrt{3}, \ Z_{3}=\sqrt{3}-i\) হলে দেখাও যে, \(arg(Z_{2}Z_{3})=arg(Z_{2})+arg(Z_{3})\)

\(Q.1.(x)\) \(x^3-8=0\) সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)
দিঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(|Z_{1}+Z_{2}|^2+|Z_{1}-Z_{2}|^2=2(|Z_{1}|^2+|Z_{2}|^2)\)

\(Q.1.(xii)\) \(x^3-27=0\) সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)

\(Q.1.(xiii)\) \(t^3-1=0\) সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় \(x\) ও \(x\) হলে, \(\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{\overline{y}}\right|\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)

বর্গমূল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xiv).(a)\) \(7-30\sqrt{-2}\)
উত্তরঃ \(\pm{(5-3\sqrt{2}i)}\)
বঃ ২০১২ ।

\(Q.1.(xiv).(b)\) \(-7+24i\)
উত্তরঃ \(\pm{(3+4i)}\)
ঢাঃ ২০১২ ।

\(Q.1.(xiv).(c)\) \(1+i\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}+i(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
চঃ ২০০৫ ।

\(Q.1.(xiv).(d)\) \(x+i\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+x}+i\sqrt{1-x}\right)}\)
বঃ ২০০৩ ।

\(Q.1.(xiv).(e)\) \(x+i\sqrt{x^4+x^2+1}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{x^2+x+1}+i\sqrt{x^2-x+1}\right)}\)

\(Q.1.(xiv).(f)\) \(1-i\sqrt{x^2-1}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{x+1}-i\sqrt{x-1}\right)}\)

\(Q.1.(xiv).(g)\) \(-i\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)}\)
দিঃ ২০০৯ ।

\(Q.1.(xiv).(h)\) \(4-4\sqrt{-1}\)
উত্তরঃ \(\pm{\left\{(2\sqrt{2}+2)^{\frac{1}{2}}-i(2\sqrt{2}-2)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Q.1.(xiv).(i)\) \(\frac{5+12i}{3-4i}\)
উত্তরঃ \(\pm{\left(\frac{4}{5}+i\frac{7}{5}\right)}\)
কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০,২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.1.(xiv).(j)\) \(2+i\sqrt{x^2-4}, \ |x|\gt{2}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{x+2}+i\sqrt{x-2}\right)}\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.1.(xiv).(k)\) \(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{2}(1+\sqrt{-3})}\)

\(Q.1.(xiv).(l)\) \(i\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)}\)

\(Q.1.(xiv).(m)\) \(8i\)
উত্তরঃ \(\pm{2(1+i)}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.1.(xiv).(n)\) \(5i\)
উত্তরঃ \(\pm{\sqrt{\frac{5}{2}}(1+i)}\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xiv).(O)\) \(-3-4i\)
উত্তরঃ \(\pm{(1-2i)}\)
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xiv).(p)\) \(-5+12\sqrt{-1}\)
উত্তরঃ \(\pm{(2+3i)}\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xiv).(q)\) \(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(\pm{\left(\cos{\frac{\theta}{2}}+i\sin{\frac{\theta}{2}}\right)}\)
রুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.1.(xiv).(r)\) \(6i\)
উত্তরঃ \(\pm{\sqrt{3}(1+i)}\)

Read Short Question
অধ্যায় \(3\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
question
\(Q.2.(i)\) \(Z=-2-2\sqrt{3}i\) হলে, \(Arg\left(\sqrt{Z}\right)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{\pi}{3}\)
সিঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(ii)\) \(\overline{Z}\) এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা \(\sqrt{5}\) সঠিক কি না যাচাই কর। যেখানে \(\overline{Z}\) হচ্ছে \(Z=2+4i-i^2\) এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(iii)\) \(Z_{1}=2+3i, \ Z_{2}=1+2i\) হলে, \(Z_{1}-Z_{2}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{2}+1\right)^{\frac{1}{2}}-i\left(\sqrt{2}-1\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
কুঃ ২০১৭ ।

মান নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(iv).(a)\) \(\sqrt[3]{-1}\)
উত্তরঃ \(-1, \ \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(1-\sqrt{-3}\right)\)
ঢাঃ ২০০৪ ।

\(Q.2.(iv).(b)\) \(\sqrt[4]{-81}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{3}{\sqrt{2}}(1\pm{i})}\)
রাঃ ২০০৪; বঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০১০; যঃ ২০১১ ।

\(Q.2.(iv).(c)\) \(\sqrt[4]{1}\)
উত্তরঃ \(\pm{i}, \ \pm{1}\)

\(Q.2.(iv).(d)\) \(\sqrt[3]{i}\)
উত্তরঃ \(-i, \ \frac{1}{2}(i\pm{\sqrt{3}})\)
রাঃ,কুঃ ২০০৫,২০১২; চঃ ২০০৯,২০১৩; ঢাঃ ২০০৪; বঃ ২০১০; মাঃ ২০১৪ ।

\(Q.2.(iv).(e)\) \(\sqrt[3]{-i}\)
উত্তরঃ \(i, \ \frac{1}{2}(-i\pm{\sqrt{3}})\)
বঃ,যঃ ২০০১৩; চঃ ২০০১,২০০৬; ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০০৮; রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.2.(iv).(f)\) \(\sqrt[4]{-1}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1\pm{i})}\)

\(Q.2.(iv).(g)\) \(\sqrt[6]{64}\)
উত্তরঃ \(\pm{2}, \ \pm{\left(1\pm{i\sqrt{3}}\right)}\)

\(Q.2.(iv).(h)\) \(\sqrt[4]{-144}\)
উত্তরঃ \(\pm{\sqrt{6}(1\pm{i})}\)
সিঃ ২০০২ ।

\(Q.2.(iv).(i)\) \(y^3+1=0\) সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করে দেখাও যে, তাদের যোগফল শূন্য।
মাঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(iv).(j)\) \(-i\) এর ঘনমূল তিনটির যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

দেখাও যেঃ
\(Q.2.(v).(a)\) \(\sqrt{i}+\sqrt{-i}=\sqrt{2}\)
যঃ২০১২; কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭,২০০৮-২০০৯; রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.2.(v).(b)\) \(\sqrt[3]{i}+\sqrt[3]{-i}=0\) বা, \(\pm{\sqrt{3}}\)
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.2.(v).(c)\) \((5+12i)^{-\frac{1}{2}}+(5-12i)^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{13}\)
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.2.(v).(d)\) \(\left|\frac{x-iy}{x+iy}\right|=1\)
যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৭ ।

\(Q.2.(vi).(a)\) \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt[3]{a-ib}=x-iy\)
কুঃ ২০০৩; যঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯; দিঃ,সিঃ ২০১০; ঢাঃ২০১৩; বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪; টেক্সটাইলঃ ২০০৩-২০০৪; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.2.(vi).(b)\) \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\) হলে দেখাও যে, \(-2(x^2+y^2)=\frac{a}{x}-\frac{b}{y}\)
রাঃ ২০০১ ।

\(Q.2.(vi).(c)\) \(\sqrt[3]{a-ib}=x-iy\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\)
চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; রুয়েটঃ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.2.(vi).(d)\) \(x=\frac{a+ib}{a-ib}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((a^2+b^2)x^2+a^2+b^2=2(a^2-b^2)x\)

\(Q.2.(vi).(e)\) \(x+iy=\sqrt{\frac{p+iq}{r+is}}\) হলে দেখাও যে, \((x^2+y^2)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}\)
সিঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(vi).(f)\) \((a+ib)(c+id)=x+iy\) হলে দেখাও যে, \((a-ib)(c-id)=x-iy\)
যঃ ২০০৩; চঃ ২০০৪ ।

\(Q.2.(vi).(g)\) \(a^2+b^2=1\) হলে দেখাও যে, \(x\) এর একটি বাস্তব মান \(\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে; যেখানে \(a, \ b\in{\mathbb{R}}.\)
কুঃ২০১৪,২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১২,২০০৮; যঃ ২০০৮; বঃ ২০০৭; ঢাঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২; চঃ ২০১২; মাঃ ২০১৪ ।

\(Q.2.(vi).(h)\) \(x:y=(a+ib):(c+id)\) হলে দেখাও যে,
\((1)\) \(\frac{x}{y}=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\((2)\) \((c^2+d^2)x^2-2(ac+bd)xy+(a^2+b^2)y^2=0\)
রাঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৪, ২০০৪; সিঃ ২০০৯,২০০৫; যঃ ২০১৪,২০০৭, ২০১০; বঃ ২০১৪,২০০৯; দিঃ ২০১৪,২০১২; চঃ ২০১৪; বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.2.(vi).(i)\) \(x=-1+i\sqrt{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^4+4x^3+6x^2+4x=3\)
বুটেক্সঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(vi).(j)\) \(x=2-i\) হয়, তবে \(x^3-3x^2+x+10\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\)
বুটেক্সঃ ২০০৬-২০০৭ ।

\(Q.2.(vi).(k)\) \(x=3+2i\) এবং \(y=3-2i\) হলে দেখাও যে, \(x^2+xy+y^2=23\)
যঃ ২০০৫ ।

\(Q.2.(vi).(l)\) \(Z=-7+24i\) হলে, \(|\sqrt{Z}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\)

\(Q.2.(vi).(m)\) \(x+iy=\sqrt{\frac{a+ib}{c+id}}\) হলে দেখাও যে, \((x^2+y^2)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)

Read Board Question2
অধ্যায় \(3\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
question
\(Q.3.(i).(a)\) \(|Z-5|=3\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর, যেখানে \(Z=x+iy\)
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, 0)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(3\)
কুঃ ২০০৩, ঢাঃ,দিঃ,যঃ,সিঃ ২০১৮ ।

\(Q.3.(i).(b)\) \(Z=x+iy\) এবং \(|2Z-1|=|Z-2|\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\)
রাঃ ২০০৫; দিঃ ২০০৯; বঃ ২০১০; ঢঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(i).(c)\) \(Z=x+iy\) এবং \(3|Z-1|=2|Z-2|\) হলে প্রমাণ কর যে, \(5(x^2+y^2)=2x+7\)
যঃ ২০০৮; চঃ ২০১৩,২০১১ ।

\(Q.3.(i).(d)\) \(Z=x+iy\) এবং \(|Z-1|+|Z+1|=4\) হলে দেখাও যে, \(3x^2+4y^2=12\)
চঃ ২০১৭; কুঃ,চঃ,রাঃ,বঃ ২০১৮ ।

\(Q.3.(i).(e)\) \(Z=x+iy\) এবং \(arg\left(\frac{Z-2}{Z+1}\right)=\frac{\pi}{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2-x-2=0\)

\(Q.3.(i).(f)\) \(Z=x+iy\) হলে \(|Z+5|+|Z-5|=15\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=1125\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(i).(g)\) \(Z=x+iy\) হলে \(|Z+i|=|\overline{Z}+2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(i).(h)\) \(Z=x+iy\) হলে \(|Z-5|=3\) এর সঞ্চারপথ জ্যামিতিকভাবে কী নির্দেশ করে? চিত্র আঁক।
উত্তরঃ বৃত্ত
ঢাঃ,দিঃ,যঃ,সিঃ ২০১৮ ।

\(Q.3.(i).(i)\) \(Z\) একটি জটিল সংখ্যা হলে \(|2Z+3|=|3Z+1|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-6x-8=0\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i).(j)\) \(g(x)=2x-1, \ x\in{\mathbb{R}}\) একটি রাশি। \(|g(x)+2iy|=3\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(\frac{3}{2}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i).(k)\) \(f(x)=x-2\) এবং \(Z=p+iq\) হলে, \(|f(Z+6)|+|f(Z-2)|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{p^2}{5^2}+\frac{q^2}{3^2}=1\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.3.(i).(l)\) \(Z=x+iy\) হলে \(|Z+i|=|\overline{Z}+1|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\)

\(Q.3.(i).(m)\) \(Z=x+iy\) হলে দেখাও যে, \(|\overline{Z}-1|=|\frac{1}{Z}+1|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ \((x^2+y^2-2x)(x^2+y^2)^2=(x^2+y^2)(2x+1)\)

\(Q.3.(i).(n)\) \(Z=x+iy,\) একের কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\) হলে দেখাও যে, \(|Z+3|+|\overline{Z}-3|=5\left(\omega+\frac{1}{\omega}\right)\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ \(44x^2-100y^2=275\)

\(Q.3.(i).(o)\) \(Z=4+3i-i^2-i^3\) হলে, \(2Z\) ও \(\overline{Z}\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13\)

\(Q.3.(i).(p)\) \(Z=7+24i\) হলে \(|Z+625\frac{\overline{Z}}{Z}+\sqrt{Z}+x-iy|=3\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-1032x+618y+361728=0\)

\(Q.3.(ii).(a)\) \(\sqrt{-2+2\sqrt{-2+2\sqrt{-2+......\infty}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\pm{i}\)
কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.3.(ii).(b)\) \(\sqrt{i+\sqrt{i+\sqrt{i+......\infty}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1\pm{\sqrt{1+4i}}}{2}\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.3.(ii).(c)\) \(x+iy=2e^{-i\theta}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=4\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(ii).(d)\) \(re^{-i\theta}=\frac{3+2i}{2+3i}+\frac{1+5i}{1-2i}\) হলে \(r\) ও \(\theta\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r=\frac{3}{\sqrt{5}}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{\left\{\frac{22}{19}\right\}}\)
বুয়েটঃ ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.3.(ii).(e)\) \(Z=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{2}{1+Z}=1-i\tan{\frac{\theta}{2}}\)
রুয়েটঃ ২০১৯-২০২০ ।

\(Q.3.(ii).(f)\) \(2+i\sqrt{3}=e^{i\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.3.(ii).(g)\) \(\frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2i^{n-1}\)

একের জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে দেখাও যে,
\(Q.3.(iii).(a)\) \((1+\omega-\omega^2)(\omega+\omega^2-1)(\omega^2+1-\omega)=-8\)
বঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০১২; চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(Q.3.(iii).(b)\) \((1-\omega+\omega^2)^2+(1+\omega-\omega^2)^2=-4\)
চঃ ২০০০ ।

\(Q.3.(iii).(c)\) \((1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2)=4\)

\(Q.3.(iii).(d)\) \((1+\omega-\omega^2)^3-(1-\omega+\omega^2)^3=0\)

\(Q.3.(iii).(e)\) \((1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^4)(1+\omega^8)=1\)

\(Q.3.(iii).(f)\) \((x+y)^2+(x\omega+y\omega^2)^2+(x\omega^2+y\omega)^2=6xy\)
যঃ ২০০১; ঢাঃ ২০০৩; সিঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(iii).(g)\) \((1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega^4)(1-\omega^4+\omega^8)(1-\omega^8+\omega^{16})=16\)
বঃ ২০০৫,২০০২; রাঃ ২০০৮; যঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(iii).(h)\) \((-1+\sqrt{-3})^4+(-1-\sqrt{-3})^4=-16\)
বঃ ২০০৬; কুঃ ২০১৩,২০১০,২০০৮; যঃ ২০১৩,২০০৪; ঢাঃ ২০০৯; চঃ ২০১০; সিঃ ২০১৪,২০১২; রাঃ ২০১২,২০১৭; দিঃ ২০১৪ ।

\(Q.3.(iii).(i)\) \((-1+\sqrt{-3})^3+(-1-\sqrt{-3})^3=16\)

\(Q.3.(iv)\) একের জটিল ঘনমূল \(\omega, \ \omega^2\) হলে \((-1+\sqrt{-3})^7+(-1-\sqrt{-3})^7=16\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-128\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.3.(v)\) একের কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\) হলে \(\omega^{2018}+\omega^{2019}+\omega^{2020}+\omega^{2021}+\omega^{2022}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\omega^2\)

\(p=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ q=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\) হলে দেখাও যে,
\(Q.3.(vi).(a)\) \(p^3+p^{-3}=2\)

\(Q.3.(vi).(b)\) \(q^3+q^{-3}=2\)

\(Q.3.(vi).(c)\) \((1-p)(1-q)=3\)

\(Q.3.(vi).(d)\) \(p^4+p^2q^2+q^4=0\)
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.3.(vii)\) \(2x=-1+\sqrt{-3}\) এবং \(2y=-1-\sqrt{-3}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=-1\)
রাঃ ২০১৯ ।

Read Board Question3
অধ্যায় \(3\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
question
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করঃ
\(Q.4.(i).(a)\) \(a^2+ab+b^2\)
উত্তরঃ \((a-b\omega)(a-b\omega^2)\)

\(Q.4.(i).(b)\) \(a^2-ab+b^2\)
উত্তরঃ \((a+b\omega)(a+b\omega^2)\)

\(Q.4.(i).(c)\) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
উত্তরঃ \((a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)\)

\(Q.4.(i).(d)\) \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
উত্তরঃ \((a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)\)

\(Q.4.(ii)\) \((a\omega^2+b+c\omega)^3+(a\omega+b+c\omega^2)^3=0\) হলে দেখাও যে,
\(a=\frac{1}{2}(b+c)\) অথবা \(b=\frac{1}{2}(c+a)\) অথবা \(c=\frac{1}{2}(a+b)\)
কুঃ ২০১৭, ২০০২; বঃ ২০০৯ ।

\(Q.4.(iii)\) \(p(x)=a+bx+cx^2\) এবং \(\{p(\omega)\}^3+\left\{p\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0\) হলে দেখাও যে,
\(a=\frac{1}{2}(b+c)\) অথবা \(c=\frac{1}{2}(a+b),\) যেখানে একের একটি কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\)।
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.4.(iv)\) \(x=p+q, \ y=p+q\omega, \ z=p+q\omega^2\) হলে দেখাও যে, \(x^3+y^3+z^3=3(p^3+q^3)\)
রাঃ ২০১৪; কুঃ,চঃ,বঃ,রাঃ ২০১৮ ।

\(Q.4.(v)\) \(p=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+\sqrt{-1}\right)\) হলে দেখাও যে, \(p^6+p^4+p^2+1=0\)
ঢাঃ ২০০৫; চঃ ২০১০,২০০৮; বঃ ২০১১ ।

\(Q.4.(vi)\) \((a+b\omega+c\omega^2)^2+(a\omega+b+c\omega^2)^2+(a\omega+b\omega^2+c)^2=0\) হলে দেখাও যে, \(a=c\) অথবা \(b=\frac{1}{2}(c+a)\)

\(Q.4.(vii)\) \(x+y+z=0\) হলে দেখাও যে, \((x+y\omega+z\omega^2)^3+(x+y\omega^2+z\omega)^3=27xyz\)
ঢাঃ ২০০৭,২০০৫; রাঃ ২০১০,২০০৭,২০০২; সিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ।

\(Q.4.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \(\left[\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\right]^n+\left[\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\right]^n=2\) এবং \(-1,\) যখন \(n\) এর মান যথাক্রমে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য এবং \(3\) দ্বারা অবিভাজ্য।
ঢাঃ ২০০৮; রাঃ ২০০৯; কুঃ ২০০৬; যঃ ২০০৯ ।

\(Q.4.(ix)\) \((1+x+x^2)^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+.....+a_{2n}x^{2n}\) হলে দেখাও যে,
\(a_{0}+a_{3}+a_{6}+.....=3^{n-1}\)
চঃ ২০০৮ ।

\(Q.4.(x)\) \(n\in{\mathbb{N}}\) \(f(n)=(1-\omega^{3n+1})(1-\omega^{3n+2})\) হলে প্রমাণ কর যে,
\(f(0)\times f(1)\times f(2)\times ....\times f(n)=3^{n+1}\)
এবং \(f(-n)...f(-2)\times f(-1)\times f(0)\times f(1)\times f(2)\times ...\times f(n)\)\(=3^{2n+1}\)

\(Q.4.(xi)\) \(4^{\omega+3}=8^{\omega-1}\) হলে, \(\omega\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(9\)

Read Board Question4
অধ্যায় \(3\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
question
\(Q.5.(i)\) \(Z_{1}=-7-24i, \ Z_{2}=12i+2\)
\((a)\) \(Z_{1}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{1}{\overline{Z_{1}}}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) চিহ্নিত করে এদের যোগফলের পরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan{\frac{24}{7}}-\pi\)
\((b) \ \pm{\frac{3-4i}{25}}\)
\((c) \ 13\)

\(Q.5.(ii)\) \((1) \ (1+x)^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n.\)
\((2) \ (1+x+x^2)^n=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{2n}x^{2n}.\)
\((a)\) \((1+\omega-\omega^2)(\omega+\omega^2-1)(\omega^2+1-\omega)\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \((a_{0}-a_{2}+a_{4}-...)^2+(a_{1}-a_{3}+a_{5}- ...)^2\)\(=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\)
\((c)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(a_{0}+a_{3}+a_{6}+...=3^{n-1}\)
উত্তরঃ \((a) \ -8\)

\(Q.5.(iii)\) \(\overline{Z}=-1+\sqrt{3}i, \ f(x,y)=x+iy\)
\((a)\) \(2i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(Z^4+(\overline{Z})^4=-16\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(|f(x-8,y)|+|f(x+8,y)|=20\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ একটি উপবৃত্ত।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(1+i)}\)

\(Q.5.(iv)\) \(f(x)=a+bx+cx^2, \ g(x)=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}x)\)
\((a)\) \(i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a+b+c=0\) হলে দেখাও যে, \(\left\{f(\omega)\right\}^3+\left\{f(\omega^2)\right\}^3=27abc\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \([g(i)]^n+[g(-i)]^n=2\) এবং \(-1\) যখন \(n\) এর মান যথাক্রমে \(3\) দ্বারা বিভাজ্য এবং \(3\) দ্বারা অবিভাজ্য।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)}\)

\(Q.5.(v)\) \(x^3-1=0\) একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
\((a)\) \(3+ix^2y\) এবং \(x^2+y+4i\) পরস্পর অনুবন্ধী হলে, \(x\) এবং \(y\) এর বাস্তব মান নির্ণয় কর।
\((b)\) ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলগুলি নির্ণয় করে প্রমাণ কর যে, তাদের জটিল মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত।
\((c)\) প্রাপ্ত জটিল মূলদ্বয়ের একটি \(\omega\) হলে প্রমাণ কর য,
\((1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega^4)(1-\omega^4+\omega^8)...2n\) উৎপাদক পর্যন্ত \(=2^{2n}\)
উত্তরঃ \((a) \ x=\pm{2}, \ y=-1\)

\(Q.5.(vi)\) \(f(x)=x^2+x+1, \ g(x)=a+bx+cx^2\)
\((a)\) \(f(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একটি অপরটির বর্গের সমান।
\((c)\) \(\left\{g(\omega)\right\}^3+\left\{g\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0\) হলে দেখাও য,
\(a=\frac{1}{2}(b+c)\) অথবা, \(b=\frac{1}{2}(a+c)\) অথবা, \(c=\frac{1}{2}(a+b)\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}\)

\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=1+x, \ Z_{1}=3+2i\) এবং \(Z_{2}=3-2i\)
\((a)\) \(-2i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|Z_{1}^2+Z_{1}Z_{2}-\overline{Z_{2}}|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(f(\omega)\times f(\omega^2)\times f(\omega^4)\times ....n\) তম পদ পর্যন্ত \(=1,\) যেখানে \(n\) স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(1-i)}\)
\((b) \ 5\sqrt{13}\)

\(Q.5.(viii)\) \((1)\) আর্গন্ড চিত্রে \(A, \ B, \ C\) তিনটি বিন্দু
এবং \(\begin{bmatrix}-1 & \ \ \ 1 & \ \ \ i \\ \ \ \ i & -1 & \ \ \ 1 \\ \ \ \ 1 & \ \ \ i & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A \\ B \\ C \end{bmatrix}.\)
\((2)\) \(P=(1+i^{4n+1})(1+i^{4n-1})+i^{4n+3}\)
\((a)\) মান নির্ণয় করঃ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & -\omega & \ \ \ \omega^2 \\-\omega & \ \ \ \omega^2 & \ \ \ 1 \\ \ \ \ \omega^2 & \ \ \ 1 & -\omega \end{bmatrix}\)
\((b)\) \(|P|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(A, \ B, \ C\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
উত্তরঃ \((a) \ -4\)
\((b) \ \sqrt{5}\)

\(Q.5.(ix)\) \(x=\sqrt[3]{\omega+\omega^2}\)
এবং \(R=\sqrt{-2+2\sqrt{-2+2\sqrt{-2+ .... \infty}}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \((1-\omega+\omega^2)^2+(1+\omega-\omega^2)^2=-4\)
\((b)\) \(x\) এর জটিল মূলদ্বয় নির্ণয় করে এদের যেকোনো একটির বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(R\) এর পরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ \frac{1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{1-\sqrt{-3}}{2}, \ \pm{\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)}\)
\((c) \ \sqrt{2}\)

\(Q.5.(x)\) \(Z=x+iy, \ f(x)=|2x+4|\)
\((a)\) \(Im(Z^2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) সংখ্যা রেখায় \(f(x)\lt{6}\) এর সমাধান সেট নির্ণয় কর।
\((c)\) \(|Z-i|\ge{3}\) দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ 2xy\)
\((b) \ S=\{x\in{\mathbb{R}}: -5\lt{x}\lt{1}\}\)

\(Q.5.(xi)\) \(Z=3x+4y\)
সীমাবদ্ধতাঃ \(x\le{2y+2}\)
\(x\ge{6-2y}\)
\(y\le{x}\)
\(x\le{6}\)
\((a)\) \(y=1\) এবং \(|Z|\lt{1}\) হলে, \(x\) এর সীমা নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার আলোকে অভীষ্ট ফাংশন \(Z\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x=1, \ y=\sqrt{-1}\) এবং \(\frac{Z}{\overline{Z}}=A+iB\) হলে, \(|A-iB|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{5}{3}\lt{x}\lt{-1}\)
\((b) \ 14\)
\((c) \ 1\)

\(Q.5.(xii)\) \(Z=x+iy, \ f(\theta)=\frac{2}{3+\cos{\theta}+i\sin{\theta}}\)
\((a)\) \(-3-4i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(arg(Z-3i)=\pi\) এবং \(|Z+6|=5\) হলে, \(Z\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x_{1}+iy_{1}=f(\theta)\) হলে প্রমাণ কর যে, \(2(x_{1}^2+y_{1}^2)=3x_{1}-1\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(1-2i)}\)
\((b) \ -2+3i, \ -10+3i\)

\(Q.5.(xiii)\) \(Z_{1}=2\left(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}}\right),\)
\(Z_{2}=2\left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)\)
\((a)\) \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|Z_{1}-Z_{2}|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Z_{1}Z_{2}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{2}\)
\((b) \ 2\sqrt{2}\)

\(Q.5.(xiv)\) \(Z=3-5i, \ Z_{1}=1-i\)
\((a)\) \(|Z+Z_{1}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x=\frac{\overline{Z}}{\sqrt{2}}\) হলে দেখাও যে, \(x^4+16x^2+289=0\)
\((c)\) দেখাও যে, \(arg\left(\frac{Z}{Z_{1}}\right)=arg(Z)-arg(Z_{1})\)
উত্তরঃ \((a) \ 2\sqrt{13}\)

\(Q.5.(xv)\) \(Z_{1}=7-6i, \ Z_{2}=3+4i\)
\((a)\) \((1-\omega+\omega^2)^4+(1+\omega-\omega^2)^4\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\sqrt{Z_{1}Z_{2}}\) নির্ণয় কর।
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুর সাহায্যে \(Z_{1}+Z_{2}, \ Z_{1}-Z_{2}\) ও \(\overline{Z_{1}}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুগুলির অবস্থান দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ -16\)
\((b) \ \frac{1}{\sqrt{2}}\{(5\sqrt{85}+45)^{\frac{1}{2}}+i(5\sqrt{85}-45)^{\frac{1}{2}}\}\)

\(Q.5.(xvi)\) \(a=\sqrt[4]{-81}, \ b=\sqrt[3]{-i}\)
\((a)\) \(-7+24i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(b\) এর জটিল মান দুইটির আর্গুমেন্ট \(\theta_{1}\) ও \(\theta_{2}\) হলে, \(|\theta_{1}-\theta_{2}|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(a\) এর মান চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটি যে চতুর্ভুজ গঠন করে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(3+4i)}\)
\((b) \ \frac{2\pi}{3}\)
\((c) \ 6\)

\(Q.5.(xvii)\) \(f(x)=x-3\)
\((a)\) \(f(2+\sqrt{3}i)\) এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|f(x)|\lt{\frac{1}{5}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(|x^2-9|\lt{\frac{31}{25}}\)
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(f(-5-6i)\) এর বর্গমূল দুইটির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2\pi}{3}\)

\(Q.5.(xviii)\) \(Z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\((a)\) \(\sqrt[3]{-1}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|Z|=1, \ \theta=\frac{2\pi}{3}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((a+b)^2+(aZ+bZ^2)^2+(aZ^2+bZ)^2=6ab\)
\((c)\) \(|Z|=2, \ \theta=\frac{5\pi}{6}\) হলে, \(Z\) ও \(\overline{Z}\) এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -1, \ \frac{1}{2}(1-\sqrt{-3}), \ \frac{1}{2}(1+\sqrt{-3})\)
\((c) \ \frac{\pi}{3}\)

\(Q.5.(xix)\) \(P=-1+\sqrt{3}i\) এবং \(Q\) একটি জটিল সংখ্যা,
যেখানে \(|Q|=2, \ arg(P)+arg(Q)=\frac{\pi}{2}\)
\((a)\) \(\frac{P}{\overline{P}}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\sqrt{P}=Z\) হলে, \(Z+\frac{1}{Z}\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Q\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\)
\((b) \ \frac{3+\sqrt{3}i}{2\sqrt{2}}\)
\((c) \ \sqrt{3}-i\)

\(Q.5.(xx)\) \(\begin{bmatrix} -1 & \ \ \ \omega & \ \ \ \omega^2 \\ \ \ \ \omega^2 & -1 & \ \ \ \omega \\ \ \ \ \omega & \ \ \ \omega^2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega \\ \omega^2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} ....(1)\)
যেখানে, \(\omega\) একের একটি জটিল ঘনমূল।
\(P=(3+4i)^{-\frac{1}{2}}+(3-4i)^{-\frac{1}{2}} ....(2)\)
\((a)\) \((1-\omega+\omega^2)^2+(1+\omega-\omega^2)^2\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(P=\frac{4}{5}\)
\((c)\) \((1)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(xyz=-8\)
উত্তরঃ \((a) \ -4\)

\(Q.5.(xxi)\) \(x=2+\sqrt{3}i\) এবং \(y=2-\sqrt{3}i\)
\((a)\) \(\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib\) হলে প্রমাণ কর যে, \(a^2+b^2=1\)
\((b)\) \(\frac{y}{x}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(x^2+xy+\frac{28}{x}=16\)
উত্তরঃ \((b) \ \pm{\frac{1}{\sqrt{7}}(2-\sqrt{3}i)}\)

\(Q.5.(xxii)\) \(Z=x+iy, \ 1\) এর ঘনমূল \(1, \ \omega, \ \omega^2\)
\((a)\) \((2\sqrt{3}-2i)(-2\sqrt{3}+6i)\) এর মডুলাস নির্ণয় কর।
\((b)\) \(arg(z-3i)=\pi\) এবং \(|Z+6|=5\) হলে, \(Z\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(i\) এর ঘনমূল তিনটি \(-i, \ -i\omega, \ -i\omega^2\)
উত্তরঃ \((a) \ 16\sqrt{3}\)
\((b) \ -2+3i, \ -10+3i\)
\((c) \ -i, \ -i\omega, \ -i\omega^2\)

\(Q.5.(xxiii)\) \(x=\sqrt[6]{-64}, \ Z_{1}=\sqrt{3}+i, \ Z_{2}=\sqrt{3}-i\)
\((a)\) \(-4-4i\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x=\pm{2i}, \ \pm{Z_{1}}, \ \pm{Z_{2}}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(Z_{1}^2+Z_{1}Z_{2}+\frac{8\sqrt{3}}{Z_{1}}=12\)
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3\pi}{4}\)

\(Q.5.(xxiv)\) \(Z_{1}=\frac{1+5i}{1-2i}+\frac{5-3i}{2+3i}, \ Z_{2}=\frac{i}{1+i}\)
\((a)\) \(i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Z_{2}\) ও \(\overline{Z_{2}}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।
\((c)\) \(Z_{1}\) এর আর্গুমেন্ট ষাটমূলক পদ্ধতিতে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)}\)
\((b) \ -127.87^{o}\)

\(Q.5.(xxv)\) \(Z=\frac{2}{3+\cos{\theta}-i\sin{\theta}}=x+iy, \ P=\frac{\overline{Z}}{Z}\)
\((a)\) \(|2Z-1|=|Z-2|\) হলে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(2(x^2+y^2)=3x-1\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\overline{P}=\frac{1}{P}=\frac{x^2-y^2+2xyi}{x^2+y^2}\)

\(Q.5.(xxvi)\) \(Z_{1}=2\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}}\right),\)
\(Z_{2}=2\left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)\)
\((a)\) \(Z_{1}Z_{2}\) এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|Z_{1}-Z_{2}|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুর অবস্থান আর্গন্ড চিত্রে দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ \pi\)
\((b) \ 2\)

\(Q.5.(xxvii)\) \(Z_{1}=4+4i, \ Z_{2}=3-5i\)
\((a)\) \(Z_{1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Z_{1}Z_{2}\) এর আর্গুমেন্ট তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত ষাটমূলক পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুর সাহায্যে \(Z_{1}+Z_{2}, \ Z_{1}-Z_{2}\) ও \(\overline{Z_{2}}\) দ্বারা সূচিত বিন্দুগুলির অবস্থান দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{\sqrt{2}\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}+i(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
\((b) \ -14.036^{o}\) (প্রায়)

\(Q.5.(xxviii)\) \(P=7-24i, \ Q=1+i, \ Z=x+iy\)
\((a)\) \(P\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) আর্গন্ড চিত্রে \(P\) ও \(Q\) দ্বারা সূচিত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((Z+1)(5-2i)=7+3i\) হলে, \(Z\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(4-3i)}\)
\((b) \ \sqrt{661}\)
\((c) \ 0+i\)

\(Q.5.(xxix)\) \(Z=1+i\sqrt{x^2-1}, \ Z_{1}=1-i\)
\((a)\) \(|Z+Z_{1}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\)\(y=\frac{\overline{Z_{1}}}{\sqrt{2}}\) হলে দেখাও যে, \(y^6+y^4+y^2+1=0\)
\((c)\) \(\sqrt{Z}=M+iN\) হলে, \(|M-iN|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{x^2-2\sqrt{x^2-1}+4}\)
\((c) \ \sqrt{x}\)

\(Q.5.(xxx)\) \(Z=3+4i\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \((1-\omega+\omega^2)^2+(1+\omega-\omega^2)^2=-4\)
\((b)\) \(x=\frac{\overline{Z}}{\sqrt{2}}\) হলে দেখাও যে, \(4x^4+28x^2+625=0\)
\((c)\) দেখাও যে, \(\left|\sqrt{Z}+\frac{1}{\sqrt{Z}}\right|=4\sqrt{\frac{2}{5}}\)

\(Q.5.(xxxi)\) \(Z=(3+4i)^{\frac{1}{2}} ....(1)\)
\(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy ....(2)\)
\((a)\) \(\sqrt[3]{-1}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\frac{1}{Z}+\frac{1}{\overline{Z}}=\frac{4}{5}\)
\((c)\) \((2)\) হতে দেখাও যে, \(-2(x^2+y^2)=\frac{a}{x}-\frac{b}{y}\)
উত্তরঃ \((a) \ 1, \ \frac{1}{2}(1+\sqrt{-3}), \ \frac{1}{2}(1-\sqrt{-3})\)

\(Q.5.(xxxii)\) \(a=\sqrt[4]{-4}, \ b=\sqrt[3]{1}\)
\((a)\) \(i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(b\) এর মান তিনটির সমষ্টি শূন্য।
\((c)\) আর্গন্ড চিত্রে \(a\) এর মান চারটি দ্বারা সূচিত বিন্দু চারটি যে চতুর্ভুজ গঠন করে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
\((c) \ 2\sqrt{2}\) একক।

\(Q.5.(xxxiii)\) একের একটি জটিল ঘনমূল \(Z=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\)
\((a)\) \(|\overline{Z}|\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(|1+Z|:|1-Z|\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(Z^4+\frac{1}{Z^4}+\frac{Z^{-1}}{\overline{Z}}=0\)
উত্তরঃ \((a) \ 1\)
\((b) \ \)

\(Q.5.(xxxiv)\) \(Z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\((a)\) দেখাও যে, \(\left|\frac{x-iy}{x+iy}\right|=1\)
\((b)\) \(|Z|=1, \ \theta=-\frac{\pi}{4}\) হলে, \(Z^6+Z^4+Z^2+1\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(|Z|=2, \ \theta=\frac{2\pi}{3}\) হলে, \(Z\) ও \(\overline{Z}\) এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 0\)
\((c) \ \pi\)

\(Q.5.(xxxv)\) একের একটি জটিল ঘনমূল \(\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\)
\(\ln(1-x+x^2)=a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4+ ....\)
\((a)\) \(\omega\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) আর্গন্ড চিত্রে \(\sqrt[4]{\omega+\omega^2}\) এর যে মানটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত তার আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(a_{3}+a_{6}+a_{9}+...=\frac{2}{3}\ln{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)}\)
\((b) \ -\frac{3\pi}{4}\)

\(Q.5.(xxxvi)\) \(Z=3x+2y\)
সীমাবদ্ধতাঃ \(x+2y\ge{4}\)
\(2x+y\ge{8}\)
\(x, y\ge{0}\)
\((a)\) \(x=1\) হলে, \(|Z|\lt{5}\) হতে \(y\) এর সীমা নির্ণয় কর।
\((b)\) জোগাশ্রয়ী প্রগ্রামটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে \(Z\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x=1, \ y=2\sqrt{-1}\) হলে, \(Z\) এর বর্গমূল দুইটির দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -4\lt{y}\lt{1}\)
\((b) \ 4\)
\((c) \ 2\sqrt{5}\)

\(Q.5.(xxxvii)\) \(\begin{cases}\sqrt{-3+\sqrt{-3+\sqrt{-3+...,}}} & \text{যখন } |x-5| \lt{4} \\ \sqrt{3}+i & \text{যখন } |x-5| \nless{4} \end{cases}\)
\((a)\) \(x\) এর কোন ব্যবধিতে উদ্দীপকে উল্লেখিত \(f(x)\) ফাংশনের মান \(\sqrt{3}+i\) হবে।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(|x-5|\nless{4}\) হলে, \(f(x)\) ও এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(1\lt{x}\lt{9}\) হলে, \(f(x)\) এর মডুলাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x\le{1} \ or \ x\ge{9}\)
\((b) \ \frac{\pi}{3}\)
\((c) \ \sqrt{3}\)

\(Q.5.(xxxviii)\) \((1) \ |a+b|\le{|a|+|b|},\)
\((2) \ x+iy=\frac{2}{3+\cos{\theta}+i\sin{\theta}}\)
\((a)\) যথাযথ কারণ উল্লেখ করে \(||7-12|-|3-5||\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(|a-b|\ge{|a|-|b|}\)
\((c)\) \((2)\) সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(2(x^2+y^2)=3x-1\)
উত্তরঃ \((a) \ 3\)

\(Q.5.(xxxix)\) \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}; \ a\lt{b}, \ d=a-c,\)
\(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\) এবং \(P=\frac{a+bk}{1+k}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(|d|\le{|a-b|+|b-c|}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(4(x^2-y^2)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\)
\((c)\) \(k\) ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে, \(a\lt{P}\lt{b}\)

\(Q.5.(xL)\) \(a=\sqrt{5}, \ b=\sqrt[4]{-144}\)
\((a)\) \(2\le{x}\le{8}\) অসমতাটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।
\((b)\) \(b\) এর মান চারটি নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(a\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
উত্তরঃ \((a) \ |x-5|\le{3}\)
\((b) \ \pm{\sqrt{6}(1\pm{i})}\)

\(Q.5.(xLi)\) \(Z=x+iy, \ Z_{1}=\sqrt{3}+i, \ Z_{2}=\sqrt{3}-i\)
\((a)\) \(13x^2-28xy+17y^2=0\) হলে, \(x:y\) কত?
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(|Z_{1}|+|Z_{2}|\gt{|Z_{1}+Z_{2}|}\)
\((c)\) \(arg(Z+1)=\frac{\pi}{6}, \ arg(Z-1)=\frac{2\pi}{3}\) হলে, \(Z\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (14\pm{5i}):13\)
\((c) \ \frac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)\)

\(Q.5.(xLii)\) \(Z=x+iy, \ f(x)=|3x-4|\)
\((a)\) \(Re(Z^2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\lt{2}\) অসমতাকে সংখ্যা রেখায় দেখাও।
\((c)\) \(|Z-i|\ge{3}\) দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।
উত্তরঃ \((a) \ x^2-y^2\)
\((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: \frac{2}{3}\lt{x}\lt{2}\right\}\)

\(Q.5.(xLiii)\) \(Z=3x+4y\)
সীমাবদ্ধতাঃ \(x+y\le{450}\)
\(2x+y\le{600}\)
\(x, y\ge{0}\)
\((a)\) \(y=1\) হলে, \(|Z|\lt{1}\) হতে \(x\) এর সীমা নির্ণয় কর।
\((b)\) জোগাশ্রয়ী প্রগ্রামটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে সর্বোচ্চকরণ কর।
\((c)\) \(x=1, y=\sqrt{-1}\) এবং \(\frac{Z}{\overline{Z}}=A+iB\) হলে, \(A-iB\)নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{5}{3}\lt{x}\lt{-1}\)
\((b) \ 1800\)
\((c) \ -\frac{7}{25}-i\frac{24}{25}\)

\(Q.5.(xLiv)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ করঃ
\(Z=x+iy, \ |Z+5|+|Z-5|=15 .....(1)\)
\(\frac{2x+3}{x-3}\lt{\frac{x+3}{x-1}} .....(2)\)
\((a)\) একের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপক \((1)\) হতে, সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপক \((2)\) এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যা রেখায় দেখাও।
উত্তরঃ \((b) \ 20x^2+36y^2=1125\)
\((c) \ S=\{x\in{\mathbb{R}}: 1\lt{x}\lt{3}\}\)
চঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xLv)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(x+iy=2e^{-i\theta}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(F=y-2x.\)
শর্তগুলিঃ \(x+2y\le{6}\)
\(x+y\ge{4}\)
\(x, y\ge{0}\)
\((a)\) \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z+i|=|\overline{Z}+2|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=4.\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে \(F\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-2y+3=0\)
\((c) \ -2\)
যঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xLvi)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(p=x-5, \ x\in{\mathbb{R}}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(f=2x+3y, \ g=5x+3y\)
যেখানে \(x, y\in{\mathbb{R}}\)
\((a)\) বাস্তব সংখ্যায় বিপরীত এর অস্তিত্বের ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(\frac{1}{|p|}\ge{3}, \ (x\ne{5})\) হলে, সমাধান সেট নির্ণয় করে সংখ্যা রেখায় দেখাও।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(f\le{12}, \ g\ge{15}\) এবং \(x,y\ge{0}\) হলে লেখচিত্রের মাধ্যমে সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি নির্বাচন কর। শর্তে কি পরিবর্তন করলে সম্ভাব্য ক্ষেত্রটি চতুর্ভুজ হবে?
উত্তরঃ \((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: \frac{14}{3}\le{x}\le{\frac{16}{3}} \ \text{এবং} \ x\ne{5}\right\}\)
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.5.(xLvii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=3x+1\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(|Z-5|=3\)
\((a)\) \(\mathbb{R}\) ও \(\mathbb{C}\) দ্বারা কী বোঝায়? এদের মধ্যে সম্পর্ক কী?
\((b)\) \(2|f(x-2)|\le{1}\) এর সমাধান সেট সংখ্যা রেখায় দেখাও।
\((c)\) \(Z=x+iy\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ এর সঞ্চারপথ জ্যামিতিকভাবে কী নির্দেশ করে? চিত্র আঁক।
উত্তরঃ \((a) \ \mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)
\((b) \ S=\left\{x\in{\mathbb{R}}: \frac{3}{2}\le{x}\le{\frac{11}{6}}\right\}\)
\((c)\) বৃত্ত নির্দেশ করে।
ঢঃ,দিঃ,যঃ,সিঃ ২০১৮ ।

\(Q.5.(xLviii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(|Z+1|+|Z-1|=4\)
যেখানে \(Z=x+iy.\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(a=p+q, \ b=p+\omega\) এবং \(c=p+\omega^2 q.\)
\((a)\) \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \(3x^2+4y^2=128\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \(a^3+b^3+c^3=3(p^3+q^3)\)
উত্তরঃ \((a) \ 0+i(-1)\)
কুঃ,চঃ,বঃ,রাঃ ২০১৮ ।

\(Q.5.(xLix)\) \(Z\) একটি জটিল সংখ্যা এবং \(f(x)=5x+1\)
\((a)\) \(S=\{x: x\in{\mathbb{R}}, \ -9\lt{f(x)}\lt{16}\}\) এর সুপ্রিমাম নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{1}{|f(x)|}\gt{\frac{1}{9}}, \ x\ne{-\frac{1}{5}}\) সমাধান করে সমাধান সেট সংখ্যা রেখায় উপস্থাপন কর।
\((c)\) \(|2Z+3|=|3Z+1|\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3\)
\((c) \ \left(x-\frac{3}{5}\right)^2+(y-0)^2=\left(\frac{7}{5}\right)^2\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(L)\) উদ্দীপকঃ \(g(x)=2x-1, \ x\in{\mathbb{R}}\) একটি রাশি,
\(A=\{a: a\in{\text{পূর্ণসংখ্যা এবং }} \ |g(a)|\lt{4}\}\)
এবং \(B=\{t: t\in{\text{স্বাভাবিক সংখ্যা এবং }} \ 2\lt{t}\lt{4}\}\)
\((a)\) \(-3\lt{g(x)}\lt{7}\) কে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।
\((b)\) \(|g(x)+2iy|=t\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A\) সেটটির সুপ্রিমাম ও ইনফিমাম বের কর।
উত্তরঃ \((a) \ |2x-3|\lt{5}\)
\((b)\) কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, 0\right);\) ব্যাসার্ধ \(=\frac{3}{2}\)
\((c)\) সুপ্রিমাম \(-1;\) ইনফিমাম \(2\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(Li)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(P(x)=a+bx+cx^2\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ একের একটি কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\)।
\((a)\) \(-3-4i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে যদি \(\left\{P(\omega)\right\}^3+\left\{P\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0\) হয়। তবে দেখাও য,
\(a=\frac{1}{2}(b+c)\) অথবা, \(c=\frac{1}{2}(a+b)\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(1+\omega+\omega^2=0\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(1-2i)}\)
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(Lii)\) \(f(x)=x-2\)
\((a)\) \(-1\le{f(x)}\le{11}\) অসমতাটি পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর।
\((b)\) \(\frac{f(x)}{f(x+2)}\gt{\frac{f(x+3)}{f(x+4)}}\) অসমতার সমাধান সেট সংখ্যা রেখায় দেখাও।
\((c)\) \(Z=p+iq\) হলে, \(|f(Z+6)|+|f(Z-2)|=10\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ |x-7|\lt{6}\)
\((b) \ \{x\in{\mathbb{R}}: x\lt{-4} \text{ অথবা} -2\lt{x}\lt{0}\}\)
\((c) \ \frac{p^2}{5^2}+\frac{q^2}{3^2}=1\)
বঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(Liii)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(Z=3x+4y\)
শর্তসমূহঃ \(x+y\le{450}\)
\(2x+y\ge{600}\)
\(y\ge{400}\)
এবং \(x, y\ge{0}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(y^2+y+1=0\)
\((a)\) \(5i\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে লেখচিত্রের সাহায্যে \(Z\) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির মূলদ্বয় \(p, \ q\) হলে দেখাও যে, \(p^{m}+q^{m}=\begin{cases}2, & \text{যখন } m \ \text{ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য}\\ -1, & \text{যখন } m \ \text{ অপর কোনো পূর্ণ সংখ্যা }\end{cases}\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(1+i)}\)
\((b) \ 1750\)
সিঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(Liv)\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(f(x)=|bx-c|\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(2x=-1+\sqrt{-3}\) এবং \(2y=-1-\sqrt{-3}\)
\((a)\) \(-5+12\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ এ, \(b=1, \ c=2\) এবং \(f(x)\lt{\frac{1}{4}}\) হলে দেখাও যে, \(f(x^2-2)\lt{\frac{17}{16}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=-1\)
উত্তরঃ \((a) \ \pm{(2+3i)}\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.5.(Lv)\) \(f(y)=y^3+1, \ p=m+in, \ q=x+iy\)
\((a)\) \(\frac{5+2i}{4-3i}\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) \(f(y)=0\) সমীকরণের মূলগুলি নির্ণয় করে দেখাও যে, তাদের যোগফল শূন্য।
\((c)\) \(\sqrt[3]{p}=q\) হলে দেখাও যে, \(x^2-y^2=\frac{1}{4}\left(\frac{m}{x}+\frac{n}{y}\right)\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{14}{25}+i\frac{23}{25}\)
মাঃ ২০১৯ ।

Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
question
নিচের জটিল সংখ্যাগুলির মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর এবং তাদেরকে পোলার আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.6.(i)\) \(1+\sqrt{3}i\)
উত্তরঃ \(2, \ \frac{\pi}{3}, \ 2\left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)\)
রুয়েটঃ ২০১০-২০১১,২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.6.(ii)\) \(-\sqrt{3}+i\)
উত্তরঃ \(2, \ \frac{5\pi}{6}, \ 2\left(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}}\right)\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(iii)\) \(\frac{1+2i}{1-3i}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)\)
বুয়েটঃ ২০১৬-২০১৭।

বর্গমূল নির্ণয় করঃ
\(Q.6.(iv)\) \(4-4\sqrt{-1}\)
উত্তরঃ \(\pm{\left\{(\sqrt{8}+2)^{\frac{1}{2}}-i(\sqrt{8}-2)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ।

\(Q.6.(v)\) \(\frac{5+12i}{3-4i}\)
উত্তরঃ \(\pm{\left(\frac{4}{5}+i\frac{7}{5}\right)}\)
কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০,২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.6.(vi)\) \(2+i\sqrt{x^2-4}, \ |x|\gt{2}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\sqrt{x+2}-i\sqrt{x-2}\right\}}\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(vii)\) \(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\)
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}+i\sin{\frac{\theta}{2}}\right)}\)
রুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

মান নির্ণয় করঃ
\(Q.6.(viii)\) \(\sqrt[3]{-i}\)
উত্তরঃ \(i, \ \frac{1}{2}(-1\pm{\sqrt{3})}\)
রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.6.(ix)\) \(-i\) এর ঘনমূল তিনটির যোগফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.6.(x)\) দেখাও যে, \(\sqrt{i}+\sqrt{-i}=\sqrt{2}\)
কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭,২০০৮-২০০৯; রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ।

\(Q.6.(xi)\) দেখাও যে, \(\sqrt[3]{i}+\sqrt[3]{-i}=0\) বা, \(\pm{\sqrt{3}}\)
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.6.(xii)\) দেখাও যে, \((5+12i)^{-\frac{1}{2}}+(5-12i)^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{13}\)
রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.6.(xiii)\) \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt[3]{a-ib}=x-iy\)
বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪; টেক্সটাইলঃ ২০০৩-২০০৪; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.6.(xiv)\) \(\sqrt[3]{a-ib}=x-iy\) হলে দেখাও যে, \(\sqrt[3]{a+ib}=x+iy\)
চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; রুয়েটঃ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.6.(xv)\) \(x:y=(a+ib):(c+id)\) হলে দেখাও যে,
\((1)\) \(\frac{x}{y}=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\((2)\) \((c^2+d^2)x^2-2(ac+bd)xy+(a^2+b^2)y^2=0\)
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.6.(xvi)\) \(x=-1+i\sqrt{2}\) হলে দেখাও যে, \(x^4+4x^3+6x^2+4x=3\)
বুটেক্সঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.6.(xvii)\) \(x=2-i\) হয়, তবে \(x^3-3x^2+x+10\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\)
বুটেক্সঃ ২০০৬-২০০৭ ।

\(Q.6.(xviii)\) \(\sqrt{-2+2\sqrt{-2+2\sqrt{-2+......\infty}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\pm{i}\)
কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.6.(xix)\) \(\sqrt{i+\sqrt{i+\sqrt{i+......\infty}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1\pm{\sqrt{1+4i}}}{2}\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.6.(xx)\) \(re^{-i\theta}=\frac{3+2i}{2+3i}+\frac{1+5i}{1-2i}\) হলে \(r\) ও \(\theta\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r=\frac{2}{\sqrt{5}}, \ \theta=\pi-\tan^{-1}{\frac{22}{19}}\)
বুয়েটঃ ২০১৭-২০১৮ ।

\(Q.6.(xxi)\) \(Z=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{2}{1+Z}=1-i\tan{\frac{\theta}{2}}\)
রুয়েটঃ ২০১৯-২০২০ ।

একের জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে দেখাও যে,
\(Q.6.(xxii)\) \((1+\omega-\omega^2)(\omega+\omega^2-1)(\omega^2+1-\omega)=-8\)
বঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০১২; চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ।

\(p=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ q=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\) হলে দেখাও যে,
\(Q.6.(xxiii)\) \(p^4+p^2q^2+q^4=0\)
চুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

Read Admission Question
ঐতিহাসিক পটভূমি (Historical Background) জটিল সংখ্যা (Complex Number)জটিল সংখ্যার ভেনচিত্র (Venn diagram of complex numbers) জটিল সংখ্যা এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Complex numbers and their geometric replicas) জটিল সংখ্যার রৈখিক প্রকাশ (Linear expression of complex numbers) জটিল সংখ্যার পোলার আকার (Polar size of complex numbers) জটিল সংখ্যার ভেক্টর আকার (Vector size of complex numbers) জটিল সংখ্যার মডুলাস (পরমমান) এবং আর্গুমেন্ট (নতি) (Modulus of complex numbers and argument) কাল্পনিক একক এবং এর প্রকৃতি (Imaginary unit and its nature) জটিল সংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ (Addition and Subtraction of complex numbers) জটিল সংখ্যার গুণ এবং ভাগ (Multiplication and division of complex numbers) দুইটি জটিল সংখ্যার সমতা (Equality of Two complex numbers) অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (Conjugate complex numbers) জটিল রাশিকে A+iB আকারে প্রকাশ (Express complex numbers in the form of A+iB) জটিল সংখ্যার ধর্ম (Characteristics of complex numbers) জটিল সংখ্যার যোগ ও বিয়োগের জ্যামিতিক প্রতিরূপ জটিল সংখ্যার গুণ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Multiplication of complex numbers and its geometric counterpart) জটিল সংখ্যার ভাগ এবং এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Division of complex numbers and its geometric counterpart)বিশেষ দ্রষ্টব্য (Special note) জটিল সংখ্যার বর্গমূল (Square roots of complex numbers) একের ঘনমূল (Cube root of one) একের জটিল ঘনমূল দুইটির বৈশিষ্ট্য (Properties of Complex Cube Roots of One) একের জটিল ঘনমূল এর প্রকৃতি (Nature of the complex cube root of one)