সমতলে বৃত্ত

প্রমাণঃ
ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দুটি \(P(x, y)\) ।
\(O, P\) যোগ করি। \(P\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব টানি।
এখানে,
\(OP=r\) ➜Note বৃত্তের ব্যাসার্ধ
\(ON=x, PN=y\)
\(\triangle OPN\) সমকোণী। \(OP\) ইহার অতিভুজ।
\(\therefore ON^{2}+PN^{2}=OP^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\)
ধরি,
সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দুটি \(P(x, y)\) ।
\(C, P\) যোগ করি। \(C\) এবং \(P\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(CM\) এবং \(PN\) লম্ব টানি।
এখানে,
\(CP=r\) ➜Note বৃত্তের ব্যাসার্ধ
\(ON=x, PN=y, OM=h, CM=k\)
\(CQ=MN=ON-OM=x-h\)
\(PQ=PN-QN=PN-CM=y-k\) ➜Note \(\because CM=QN\)
\(\triangle CPQ\) সমকোণী। \(CP\) ইহার অতিভুজ।
\(\therefore CQ^{2}+PQ^{2}=CP^{2}\)
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) হলে,
বৃত্তের সমীকরণ হয়,
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} ..........(1)\)
এখন,
কেন্দ্র \(C(h, k)\Rightarrow c(-g, -f)\)
অর্থাৎ \(h=-g, k=-f\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r \Rightarrow \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) হলে,
\((1)\) সমীকরণ হতে পাই,
\((x+g)^{2}+(y+f)^{2}=(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}=g^{2}+f^{2}-c\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
ইহাই বৃত্তের নির্ণেয় সাধারণ সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) হলে,
বৃত্তের সমীকরণ হয়,
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore (\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}\)
\(r^{2}\) এর এই মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2} \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
মনে করি,
\(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\)
এবং বৃত্তের পরিধীর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(A, P\) এবং \(B, P\) যোগ করি।
এখন,
\(\angle APB\) অর্ধবৃত্তস্থ বিধায় এক সমকোণ।
\(\therefore PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\times \frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-y_{1})(y-y_{2})}{(x-x_{1})(x-x_{2})}=-1\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})(y-y_{2})=-(x-x_{1})(x-x_{2})\)
\(\therefore (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) দিয়ে যায়,
\(0^{2}+0^{2}+2g.0+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 0+0+0+0+c=0\)
\(\Rightarrow 0+c=0\)
\(\Rightarrow c=0\)
\(c\) এর এই মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+0=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0\)
ইহাই নির্ণেয় মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।

প্রমাণঃ
\(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-f\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-f)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=f^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-f^{2}=0\)
\(\Rightarrow g^{2}-c=0\)
\(\therefore g^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
\(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-g\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-g)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=g^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-g^{2}=0\)
\(\Rightarrow f^{2}-c=0\)
\(\therefore f^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত,
\((a)\) ও \((b)\) হতে প্রাপ্ত,
\(g^{2}=f^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

প্রমাণঃ
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A(x_{1}, 0)\) ও \(B(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+2gx+c=0\) যা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(x_{1}+x_{2}=-2g\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(x_{1}x_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|x_{1}-x_{2}|\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2g)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4g^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(g^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশ ।
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে \(C(x_{1}, 0)\) ও \(D(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(y^{2}+2fy+c=0\) যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(y_{1}+y_{2}=-2f\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(y_{1}y_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|y_{1}-y_{2}|\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2f)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4f^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(f^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশ ।

প্রমাণঃ
ধরি,
\(A(x_{1}, y_{1})\) ও \(B(x_{2}, y_{2})\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0 ......(1)\)
আবার,
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})(y_{1}-y_{2})=(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})=0 ....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+\)\(k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

প্রমাণঃ
\(A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের বাহিরে অবস্থিত।
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ...(1)\)
কেন্দ্রঃ \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) হতে \(f(x_{1},y_{1})\equiv x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 ...(2)\)
\(A, C\) যোগ করি,
\(AC\) রেখা বৃত্তের পরিধীকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে,
ব্যাসার্ধঃ \(CD=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\because A\) বৃত্তের বাহিরে অবস্থিত,
\(\therefore AC>CD\)
\(\Rightarrow AC^{2}>CD^{2}\)
\(\Rightarrow (x_{1}+g)^{2}+(y_{1}+f)^{2}>(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}>g^{2}+f^{2}-c\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c>0\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+y^{2}_{1}+2x_{1}g+2y_{1}f+c>0\)
\(\therefore f(x_{1},y_{1})>0\)
\(\therefore A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের বাহিরে অবস্থিত হবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})>0\) হয়।
\(A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের পরিধীর উপর অবস্থিত।
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ...(1)\)
কেন্দ্রঃ \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) হতে \(f(x_{1},y_{1})\equiv x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+2gx_{1}+2fy_{1}+c...(2)\)
\(A, C\) যোগ করি,
এখানে,
ব্যাসার্ধঃ \(AC=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\because A\) বৃত্তের পরিধীর উপর অবস্থিত,
\(\therefore AC=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\Rightarrow AC^{2}=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}^{2}\)
\(\Rightarrow (x_{1}+g)^{2}+(y_{1}+f)^{2}=(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}=g^{2}+f^{2}-c\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+y^{2}_{1}+2x_{1}g+2y_{1}f+c=0\)
\(\therefore f(x_{1},y_{1})=0\)
\(\therefore A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের পরিধীর উপর অবস্থিত হবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})=0\) হয়।
\(A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ...(1)\)
কেন্দ্রঃ \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) হতে \(f(x_{1},y_{1})\equiv x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 ...(2)\)
\(A, C\) যোগ করি,
\(CA\) রেখার বর্ধিতাংশ বৃত্তের পরিধীকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে,
ব্যাসার্ধঃ \(CD=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\because A\) বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত,
\(\therefore CD>AC \)
\(\Rightarrow CD^{2}>AC^{2}\)
\(\Rightarrow (\sqrt{g^{2}+f^{2}-c})^{2}>(x_{1}+g)^{2}+(y_{1}+f)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c>x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+2x_{1}g+g^{2}+y^{2}_{1}+2y_{1}f+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c<0\)
\(\Rightarrow x^{2}_{1}+y^{2}_{1}+2x_{1}g+2y_{1}f+c<0\)
\(\therefore f(x_{1},y_{1})<0\)
\(\therefore A(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত হবে যদি,
\(f(x_{1},y_{1})<0\) হয়।

প্রমাণঃ
বৃত্তের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)।
আমরা জানি,
কেন্দ্র মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a \ (a>0)\) বৃত্তের সমীকরণ
\(x^{2}+y^{2}=a^{2} ........(1)\)
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\) হলে,
\(x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\)
তবে, \( (1)\) হতে পাই,
\((r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}.1=a^{2}\) ➜Note \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(\Rightarrow r^{2}=a^{2}\)
\(\therefore r=a\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}\)।
আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2} ....(2)\)
মনে করি,
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\)
এবং কেন্দ্র \(C(h, k)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\)
তাহলে,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\) এবং \(h=r_{1}\cos\theta_{1}, k=r_{1}\sin\theta_{1}\)
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow (r\cos\theta-r_{1}\cos\theta_{1})^{2}+(r\sin\theta-r_{1}\sin\theta_{1})^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\cos\theta\cos\theta_{1}+r^{2}\sin^{2}\theta+\)\(r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\sin\theta\sin\theta_{1}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-2rr_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\sin\theta\sin\theta_{1})\)\(+r^{2}_{1}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}.1-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}.1=a^{2}\)
\(\therefore r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)।
আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ...(3)\)
কেন্দ্রঃ \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
মনে করি,
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\)
এবং কেন্দ্র \(C(-g, -f)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\)
তাহলে,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\) এবং \(-g=r_{1}\cos\theta_{1}, -f=r_{1}\sin\theta_{1}\)
\((3)\) হতে,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow (x+g)^{2}+(y+f)^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow \{x-(-g)\}^{2}+\{y-(-f)\}^{2}-(-g)^{2}-(-f)^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow (r\cos\theta-r_{1}\cos\theta_{1})^{2}+(r\sin\theta-r_{1}\sin\theta_{1})^{2}-\)\((r_{1}\cos\theta_{1})^{2}-(r_{1}\sin\theta_{1})^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\cos\theta\cos\theta_{1}+r^{2}\sin^{2}\theta+\)\(r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}\)\(-2rr_{1}\sin\theta\sin\theta_{1}-r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-2rr_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\)\(\sin\theta\sin\theta_{1})+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}.1-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)
\(\therefore r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।