পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বিষয়ে সংজ্ঞা, সূত্র, ব্যাখ্যা ও উদাহরণসহ বিস্তারিত আলোচনা—পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ কী?, পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ কাকে বলে?, অন্তরজের…
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ (Successive Differentiation)
- অন্তরজের প্রতীক (Symbol of Differentiation)
- কতকগুলি বিশেষ ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ (The \(n^{th}\) derivative of the function)
- ম্যাকলরিনের উপপাদ্য (Maclurin's theorem)
- অধ্যায় \(ix.G\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(ix.G\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.G\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.G\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.G\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ
Successive Differentiation
\(x\) এর সাপেক্ষে \(y=f(x)\) এর প্রথম অন্তরজকে \(\frac{dy}{dx}, \ f^{\prime}(x), \ y_{1}\) বা \(y^{\prime}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যদি প্রথম অন্তরজও সাধারণত \(x\) এর একটি ফাংশন হয়। তবে \(x\) এর এই নতুন ফাংশনের \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজকে \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজ বলা হয়। \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজকে \(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\) বা সংক্ষেপে \(\frac{d^2y}{dx^2}, \ f^{\prime\prime}(x), \ y_{2}\) বা \(y^{\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অনুরূপভাবে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর অন্তরজকে \(f(x)\) এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয় এবং একে \(\frac{d^3y}{dx^3}, \ f^{\prime\prime\prime}(x), \ y_{3}\) বা \(y^{\prime\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এরূপভাবে \(f(x)\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(\frac{d^ny}{dx^n}, \ f^{n}(x), \ y_{n}\) বা \(y^{n}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
এভাবে কোনো ফাংশনকে ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করার প্রক্রিয়াকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলা হয়।
অন্তরজের প্রতীক
Symbol of Differentiation
\(\frac{dy}{dx}=y_{1}, \ \frac{dy_{1}}{dx}=y_{2}, \ \frac{dy_{2}}{dx}=y_{3}, \ ...\frac{dy_{n-1}}{dx}=y_{n}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=y_{2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=y_{3}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)=y_{4}\)
\(............\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=y_{n}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=y_{2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=y_{3}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)=y_{4}\)
\(............\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=y_{n}\)
ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ
The \(n^{th}\) derivative of the function
\(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)
\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)
\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)
\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)
\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)
\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)
\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
\(y_{n}=n!\)
\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)
\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)
\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)
\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)
\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)
\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
\(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
ম্যাকলরিনের উপপাদ্য
Maclurin's theorem
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(0)+ .......+\frac{x^n}{n!}f^{n}(0)+ ...\infty\)
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(0)+ .......+\frac{x^n}{n!}f^{n}(0)+ ...\infty\)
×
\(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)
\(y_{n}=n!\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=x^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=n\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=n(n-1)x^{n-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=n(n-1)\frac{d}{dx}(x^{n-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=n(n-1)(n-2)\frac{d}{dx}(x^{n-3})\)
...............
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{n-n}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{0}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.1\) ➜ \(\because x^{0}=1\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1\)
\(\therefore y_{n}=n!\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because n(n-1)(n-2)........3.2.1=n!\)
\(y=x^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=n\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=n(n-1)x^{n-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=n(n-1)\frac{d}{dx}(x^{n-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=n(n-1)(n-2)\frac{d}{dx}(x^{n-3})\)
...............
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{n-n}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{0}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.1\) ➜ \(\because x^{0}=1\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1\)
\(\therefore y_{n}=n!\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because n(n-1)(n-2)........3.2.1=n!\)
×
\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)
\(y_{n}=e^x\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=e^x\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=e^x\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=e^x\)
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=e^x\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=e^x\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=e^x\)
×
\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=ae^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3e^{ax}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^{n}e^{ax}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^{n}e^{ax}\)
\(y=e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=ae^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3e^{ax}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^{n}e^{ax}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^{n}e^{ax}\)
×
\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\ln{a}.a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\ln{a}\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\ln{a}.a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(\ln{a})^2a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(\ln{a})^2\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^2a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^3a^{x}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\)
\(y=a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\ln{a}.a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\ln{a}\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\ln{a}.a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(\ln{a})^2a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(\ln{a})^2\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^2a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^3a^{x}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\)
×
\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^3.1.2.3.x^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)x^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x)^{n}}\)
\(y=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^3.1.2.3.x^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)x^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x)^{n}}\)
×
\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^3.1.2.3.x^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........nx^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x)^{n+1}}\)
\(y=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^3.1.2.3.x^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........nx^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x)^{n+1}}\)
×
\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(x+a)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+a)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}.1\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(x+a)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x+a)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
\(y=\ln{(x+a)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+a)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}.1\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(x+a)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x+a)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
×
\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x+a}\)
\(\Rightarrow y=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x+a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x+a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
\(y=\frac{1}{x+a}\)
\(\Rightarrow y=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x+a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x+a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
×
\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x-a}\)
\(\Rightarrow y=(x-a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x-a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x-a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x-a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x-a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
\(y=\frac{1}{x-a}\)
\(\Rightarrow y=(x-a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x-a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x-a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x-a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x-a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
×
\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{xa}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(xa)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa)^{n}}\)
\(y=\ln{xa}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(xa)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa)^{n}}\)
×
\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa+b)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa+b)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa+b)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa+b)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa+b)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa+b)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa+b)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa+b)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa+b)^{n}}\)
\(y=\ln{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa+b)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa+b)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa+b)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa+b)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa+b)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa+b)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa+b)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa+b)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa+b)^{n}}\)
×
\(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
×
\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\sin{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
×
\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=\sin{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
×
\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
\(y=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
×
\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
\(y=\cos{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
×
\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(y=\cos{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
×
\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx)}\}+\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.b+e^{ax}\sin{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.a+e^{ax}\cos{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx)}\cos{\theta}+\cos{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+\theta)}\}+r\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx)}\}+\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.b+e^{ax}\sin{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.a+e^{ax}\cos{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx)}\cos{\theta}+\cos{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+\theta)}\}+r\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx)}\}+\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}.b+e^{ax}\cos{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.a-e^{ax}\sin{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx)}\cos{\theta}-\sin{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+\theta)}\}+r\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx)}\}+\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}.b+e^{ax}\cos{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.a-e^{ax}\sin{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx)}\cos{\theta}-\sin{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+\theta)}\}+r\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{(bx+c)})+\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.b+e^{ax}\sin{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.a+e^{ax}\cos{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx+c)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+c+\theta)}\}+r\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{(bx+c)})+\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.b+e^{ax}\sin{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.a+e^{ax}\cos{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx+c)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+c+\theta)}\}+r\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{(bx+c)})+\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b+e^{ax}\cos{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.a-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx+c)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+c+\theta)}\}+r\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{(bx+c)})+\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b+e^{ax}\cos{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.a-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx+c)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+c+\theta)}\}+r\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)
Proof:
মনে করি,
\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4+ ..... (1)\)
\((1)\) নং কে পর্যায়ক্রম অন্তরীকরণ করে।
\(f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+4a_{4}x^3+ ..... \)
\(f^{''}(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^2+ ..... \)
\(f^{'''}(x)=6a_{3}+24a_{4}x+ ..... \)
\(...............\)
\(...............\)
\(x=0\) বসালে,
\(f(0)=a_{0}, \ f^{'}(0)=1!a_{1}, \ f^{''}(0)=2!a_{2}\), \( \ f^{'''}(0)=3!a_{3} ..... \ f^{n}(0)=n!a_{n}\)
\(\Rightarrow a_{0}=f(0), \ a_{1}=\frac{1}{1!}f^{'}(0), \ a_{2}=\frac{1}{2!}f^{''}(0)\), \( \ a_{3}=\frac{1}{3!}f^{'''}(0) ..... \ a_{n}=\frac{1}{n!}f^{n}(0)\)
এখন,
\(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3} ..... \ a_{n}\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)
\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4+ ..... (1)\)
\((1)\) নং কে পর্যায়ক্রম অন্তরীকরণ করে।
\(f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+4a_{4}x^3+ ..... \)
\(f^{''}(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^2+ ..... \)
\(f^{'''}(x)=6a_{3}+24a_{4}x+ ..... \)
\(...............\)
\(...............\)
\(x=0\) বসালে,
\(f(0)=a_{0}, \ f^{'}(0)=1!a_{1}, \ f^{''}(0)=2!a_{2}\), \( \ f^{'''}(0)=3!a_{3} ..... \ f^{n}(0)=n!a_{n}\)
\(\Rightarrow a_{0}=f(0), \ a_{1}=\frac{1}{1!}f^{'}(0), \ a_{2}=\frac{1}{2!}f^{''}(0)\), \( \ a_{3}=\frac{1}{3!}f^{'''}(0) ..... \ a_{n}=\frac{1}{n!}f^{n}(0)\)
এখন,
\(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3} ..... \ a_{n}\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)