সমতলে বস্তুকণার গতি

সময়ের সাথে সাথে পারিপার্শ্বিক কোনো বস্তুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর অবস্থান পরিবর্তন হলে তাকে গতিশীল বলা হয়। বলবিদ্যার যে অংশে বলের ক্রিয়াধীন বস্তুর গতিশীল অবস্থা নিয়ে আলোচনা করা হয় তাকে গতিবিদ্যা বলা হয়। গতিবিদ্যা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। বস্তুর গতি সমতল, অসমতল, সরলরৈখিক কিংবা বক্ররৈখিক হতে পারে। এ অধ্যায়ে সমতলে সরলরৈখিক গতিপথ ও প্রক্ষেপকের বক্রগতিপথ আলোচনা করা হবে।

সরণঃ কোনো নির্দিষ্ট দিকে কোনো বস্তুকণার অবস্থানের পরিবর্তনকে বস্তু কণাটির সরণ বলে। যদি একটি বস্তু কণা \(A\) বিন্দু হতে \(B\) বিন্দুতে যায়, তখন বস্তু কণাটির সরণ হবে \(AB\) সরলরেখা। এর মান \(AB\) দৈর্ঘ্যের পরিমাণের সমান এবং দিক \(A\) থেকে \(B\) বরাবর। অর্থাৎ কোনো বস্তুকণার সরণ একটি ভেক্টর রাশি যার মান নির্দিষ্ট সময়ে বস্তু কণাটির গতি পথের শেষ ও আদি অবস্থানের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব এবং যার দিক হলো আদি থেকে শেষ অবস্থানের দিকে। একে \(s, \ x\) বা \(d\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। পাশের চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, \(A\) বিন্দু থেকে বিভিন্ন পথে \(B\) বিন্দুতে একটি বস্তুকণা যেতে পারে। বিভিন্ন অতিক্রান্ত দূরত্বের সবগুলি সরণ নয়। \(A\) ও \(B\) এর ন্যূনতম দূরত্ব \(5\) মিটার বস্তুকণাটির সরণ এবং এর দিক \(A\) থেকে \(B\) বরাবর। চিত্রে \(ACB\) ও \(ADB\) অতিক্রান্ত দূরত্ব যা স্কেলার রাশি, \(AB\) সরণ যা ভেক্টর রাশি।

বেগঃ কোনো বস্তুকণার সরণ পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে নির্দিষ্ট দিকে চলমান কোনো বস্তুকণার অবস্থান পরিবর্তনের হারই হলো বেগ। যদি কোনো বস্তুকণার \(t\) সময়ে \(s\) সরণ হয় তাহলে বেগ \(v=\frac{s}{t}.\) যদি গতিশীল কোনো বস্তুকণার বেগের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই বস্তুকণার বেগকে সুসম বেগ বা সমবেগ এবং মান ও দিক বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে তাহলে বস্তুকণার সেই বেগকে অসম বেগ বলে।
কোনো বস্তু কণা যে বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে তাকে আদি বেগ এবং শেষ মুহূর্তের বেগকে শেষ বেগ বলে। আদি বেগকে \(u\) বা \(v_{o}\) এবং শেষ বেগকে \(v\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ক্ষুদ্র \(\delta{t}\) সময়ে বস্তুকণাটির গতি পথে কোনো একটি বিন্দুতে অবস্থানের পরিবর্তন \(\delta{s}\) হলে ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ বা তাৎক্ষণিক বেগ \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{s}}{\delta{t}}=\frac{ds}{dt}\]
বেগ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত \(u, \ v\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
বেগের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/সেকেন্ড।
কোনো বস্তুকণা \(5\) সেকেন্ডে নির্দিষ্ট দিকে \(40\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে বা \(40\) মিটার সরণ হলে বেগ \(=\frac{40 \ m}{5 \ s}=8\) মিটার/সেকেন্ড।
সুতরাং বেগ \(=\frac{\text{সরণ}}{\text{সময়}}\) একক/সেকেন্ড।
বেগ দুই প্রকারঃ
\((i)\) সমবেগ।
\((ii)\) অসমবেগ।

সমবেগঃ যদি কোনো বস্তুর বেগের মান ও দিক সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে তাহলে বস্তুর বেগকে সমবেগ বলা হয়।
স্থিরাবস্থা থেকে বস্তুকণাটি \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\) সেকেন্ডে যথাক্রমে \(0.25, \ 0.50, \ 0.75, \ 1.00, \ 1.25, \ 1.50\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। সময় বনাম সরণ লেখচিত্রে \(7\) টি বিন্দু দ্বারা \(1\) সেকেন্ড পর পর একটি সরলরেখা বরাবর একই দিকে গতিশীল একটি বস্তুকণার অবস্থান প্রকাশ করা হয়েছে। বস্তুকণাটি প্রতি সেকেন্ডে \(0.25\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। অর্থাৎ সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করে। ফলে এটি সমবেগ নির্দেশ করে এবং সমবেগের মান \(0.25\) মিটার/সেকেন্ড।
সমবেগের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/সেকেন্ড।

অসমবেগঃ বস্তুকণার বেগ যদি সময়ের সাথে ভিন্ন ভিন্ন হয় তবে তাকে অসমবেগ বলে। ধরি স্থিতাবস্থা থেকে বস্তুকণাটি প্রথম সেকেন্ডে \(5\) মিটার, দ্বিতীয় সেকেন্ডে \(15\) মিটার, তৃতীয় সেকেন্ডে \(18\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। এখানে বস্তুকণাটি সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করছে না। ফলে এটি হবে অসমবেগ। চিত্রে অসমবেগের লেখচিত্র দেখানো হয়েছে।
অসমবেগের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/সেকেন্ড।

ত্বরণঃ কোনো বস্তুকণার বেগ বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ বলে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে কোনো চলমান বস্তুকণার বেগ বৃদ্ধির হারই হলো ত্বরণ। যদি গতিশীল বস্তুকণার বেগ হ্রাস পায় তাহলে বেগ হ্রাসের হারকে মন্দন বলে। আবার যদি বস্তুকণার ত্বরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই ত্বরণকে সুষম ত্বরণ এবং মান ও দিক বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে তাহলে সেই ত্বরণকে অসম ত্বরণ বলে।
ক্ষুদ্র \(\delta{t}\) সময়ে বস্তুকণাটির গতিপথের কোনো একটি বিন্দুতে বেগ বৃদ্ধির পরিবর্তন \(\delta{v}\) হলে, ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ বা তাৎক্ষণিক ত্বরণ \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{v}}{\delta{t}}=\frac{dv}{dt}\]। ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত \(f\) বা \(a\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং ত্বরণ \(=\frac{\text{বেগের পরিবর্তন}}{\text{সময়ের পরিবর্তন}}\) একক/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণ দুই প্রকারঃ
\((i)\) সমত্বরণ।
\((ii)\) অসমত্বরণ।
দ্রষ্টব্যঃ সুষম বেগে চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে ত্বরণ শূণ্য। ত্বরণ ও মন্দন পরস্পর বিপরীতমুখী।

সমত্বরণঃ যদি বস্তুকণার ত্বরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই ত্বরণকে সুষম ত্বরণ বা সমত্বরণ বলে।
বস্তুকণাটির \(0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) সেকেন্ড পর বেগ যথাক্রমে \(3, \ 6, \ 9, \ 12, \ 15, \ 18\) মিটার/সেকেন্ড। এখানে বেগের পরিবর্তন \(3\) মিটার/সেকেন্ড। সমত্বরণের ক্ষেত্রে সময় \((t)\) বনাম বেগ \((v)\) লেখচিত্রটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
সমত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।

অসমত্বরণঃ যখন সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন ভিন্ন ভিন্ন হয় তখন তাকে অসমত্বরণ বলে।
অসমত্বরণের ক্ষেত্রে সময় \((t)\) বনাম বেগ \((v)\) লেখচিত্রটি বক্ররেখা নির্দেশ করে।
অসত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।

একই সময়ে কোনো বস্তুকণার উপর সমতলীয় একাধিক বেগ ক্রিয়া করলে ক্রিয়াফল একটি নির্দিষ্ট বেগের সমান হয়। ঐ নির্দিষ্ট বেগকে বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত সমতলীয় একাধিক বেগের লব্ধি বলে। ধরি, কোনো বস্তুকণার উপর একই সময়ে সমতলীয় \(v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}, \ v_{4}\) বেগ ক্রিয়ারত। যদি এদের ক্রিয়াফল \(w\) বেগের ক্রিয়াফলের সমান হয় তাহলে, লব্ধি বেগ \(w=v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}\)
একই রেখায় ক্রিয়ারত দুইটি বেগের লব্ধি
সমমুখীঃ একই সময় কোনো বস্তুকণার উপর দুইটি বেগ \(u, \ v\) একই রেখায় একই দিকে ক্রিয়ারত হলে এদের লব্ধি বেগ \((u+v)\) একই দিকে ক্রিয়া করবে।
বিপরীতমুখীঃ একই সময় কোনো বস্তুকণার উপর দুইটি বেগ \(u, \ v(u\ne{v})\) একই রেখায় বিপরীত দিকে ক্রিয়ারত হলে এদের লব্ধি বেগ \((u\sim{v})\) বৃহত্তর বেগের দিকে ক্রিয়া করবে।

বেগের সামান্তরিক সূত্রঃ যদি কোনো বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বেগ একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত হয়, তবে ঐ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ মানে ও দিকে বেগদ্বয়ের লব্ধি বেগ সূচিত করবে।
চঃ,সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১০
প্রমাণঃ
ধরি, একই সময়ে \(O\) বিন্দুতে একটি কণার উপর ক্রিয়ারত \(u, \ v\) মানের বেগদ্বয় যথাক্রমে \(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) বাহুদ্বয় দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত হয়। \(O, \ C\) যোগ করি। কল্পনা করি, কণাটি \(u\) বেগে \(OA\) বাহু বরাবর চলে এবং একই সাথে \(O\) বিন্দুটি সর্বদা \(OB\) এর উপর রেখে \(OA\) বাহুটি কণাটিসহ নিজের সমান্তরালে \(v\) বেগে \(OB\) বরাবর চলে। একক সময়ে কণাটি \(u\) বেগের কারণে \(A\) বিন্দুতে এবং \(OA\) রেখাটি \(v\) বেগের কারণে নিজের সমান্তরালে \(BC\) অবস্থানে পৌঁছবে। সুতরাং কণাটি একক সময় পরে \(C\) বিন্দুতে অবস্থান করে।
ধরি, কণাটি একক সময়ের ক্ষুদ্র ভগ্নাংশ \(t\) সময়ে \(P\) বিন্দুতে পৌঁছে। \(PQ\parallel{EO}\) আঁকি। কণাটি সমবেগে চলে বলে \(OQ=ut, \ QP=OE=vt;\)
পূনরায় \(OA=u\) এবং \(OB=v\)
\(\therefore \frac{OQ}{QP}=\frac{ut}{vt}\)
\(=\frac{u}{v}\)
\(=\frac{OA}{OB}\)
\(\Rightarrow \frac{OQ}{QP}=\frac{OA}{OB}\)
\(\therefore \triangle{OQP}\) ও \(\triangle{OAC}\) সদৃশকোণী।
তাহলে, \(\angle{COA}=\angle{POQ}\)
\(\therefore OP=OC\) একই রেখায় থাকবে।
আবার, \(\frac{OP}{OC}=\frac{OQ}{OA}\)
\(\Rightarrow \frac{OP}{OC}=\frac{ut}{u}\)
\(\Rightarrow \frac{OP}{OC}=t\)
\(\therefore OP=t.OC\)
একক সময়ে, অর্থাৎ \(t=1\) হলে, \(OP=OC\) অর্থাৎ, কণাটি একক সময়ে \(C\) বিন্দুতে অবস্থান করবে।
সুতরাং সামান্তরিকের \(OC\) কর্ণই লব্ধির বেগের মান ও দিক সূচিত করে।

এক বিন্দুগামী দুইটি বেগের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়ঃ
চঃ,সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১০
ধরি, \(O\) বিন্দুতে অবস্থিত একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুইটি বেগ \(u\) ও \(v\) এর মান ও দিক যথাক্রমে \(OA\) ও \(OB\) দ্বারা নির্দেশিত হলো। \(OA\) এবং \(OB\) এর অন্তর্গত কোণের পরিমাণ \(\alpha\) অর্থাৎ \(\angle{AOB}=\alpha.\) \(OACB\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করে কর্ণ \(OC\) যোগ করি।
তাহলে, বেগের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
\(u\) ও \(v\) বেগদ্বয়ের লব্ধি বেগ \(w\) এর মান ও দিক \(OACB\) সামান্তরিকের কর্ণ \(OC\) দ্বারা নির্দেশিত হয়।
১ম চিত্রে, \(C\) বিন্দু হতে \(OA\) রেখার বর্ধিতাংশের উপর \(CD\) লম্ব আঁকি এবং ২য় চিত্রে \(C\) বিন্দু হতে \(OA\) রেখার উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
১ম চিত্রে,
\(\triangle{CAD}\) ত্রিভুজে, \(\angle{CAD}=\alpha\)
এখন, \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{AD}{v}\) ➜ Note \(\because OB=AC=v\)

\(\therefore AD=v\cos{\alpha}\)
এবং \(\sin{\angle{CAD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha}=\frac{CD}{v}\) ➜ Note \(\because OB=AC=v\)

\(\therefore CD=v\sin{\alpha}\)
এখানে, \(OD=OA+AD\)
\(=u+v\cos{\alpha}\) ➜ Note \(\because OA=u, \ AD=v\cos{\alpha}\)

\(\therefore OD=u+v\cos{\alpha}\)
২য় চিত্রে,
\(\triangle{CAD}\) ত্রিভুজে, \(\angle{CAD}=\pi-\alpha\)
এখন, \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi-\alpha)}=\frac{AD}{v}\) ➜ Note \(\because OB=AC=v\)

\(\Rightarrow -\cos{\alpha}=\frac{AD}{v}\)
\(\therefore AD=-v\cos{\alpha}\)
এবং \(\sin{\angle{CAD}}=\frac{CD}{AC}\)
\(\Rightarrow \sin{(\pi-\alpha)}=\frac{CD}{v}\) ➜ Note \(\because OB=AC=v\)

\(\Rightarrow \sin{\alpha}=\frac{CD}{v}\)
\(\therefore CD=v\sin{\alpha}\)
এখানে, \(OD=OA-AD\)
\(=u-(-v\cos{\alpha})\) ➜ Note \(\because OA=u, \ AD=-v\cos{\alpha}\)

\(=u+v\cos{\alpha}\)
\(\therefore OD=u+v\cos{\alpha}\)
\(\therefore\) ১ম ও ২য় উভয় চিত্রে,
\(OD=u+v\cos{\alpha}, \ CD=v\sin{\alpha}\)
এখন, \(OCD\) ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে,
\(OC^2=OD^2+CD^2\)
\(\Rightarrow w^2=(u+v\cos{\alpha})^2+(v\sin{\alpha})^2\)
\(=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2\cos^2{\alpha}+v^2\sin^2{\alpha}\)
\(=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})\)
\(=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2.1\)
\(=u^2+v^2+2uv\cos{\alpha}\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+v^2+2uv\cos{\alpha}\)
\(\therefore w=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos{\alpha}}\)
আবার ধরি, \(OC\) রেখাটি \(OA\) রেখার সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ \(\angle{COA}=\theta\)
তাহলে, \(\tan{\angle{COA}}=\frac{CD}{OD}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{CD}{OD}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{v\sin{\alpha}}{u+v\cos{\alpha}}\) ➜ Note \(\because CD=v\sin{\alpha}, \ OD=u+v\cos{\alpha}\)

\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v\sin{\alpha}}{u+v\cos{\alpha}}\right)}\)
\(w\) ও \(\theta\) এর মান জানা গেলে লব্ধি বেগের মান ও দিক জানা যাবে।
Click Me to Proof
অনুসিদ্ধান্তঃ

\((a)\) যখন \(\alpha=90^{o}\) অর্থাৎ বেগ দুইটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করে।
\(w^2=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv\cos{90^{o}}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv.0+v^2\) ➜ Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow w^2=u^2+v^2\)
\(\therefore w=\sqrt{u^2+v^2}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v\sin{\alpha}}{u+v\cos{\alpha}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{v\sin{90^{o}}}{u+v\cos{90^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{v.1}{u+v.0}\right)}\) ➜ Note \(\because \sin{90^{o}}=1, \ \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v}{u}\right)}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{v}{u}\)
\((b)\) যখন \(\alpha=0^{o}\) অর্থাৎ বেগ দুইটি একই রেখায় একই দিকে ক্রিয়া করে।
\(w^2=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv\cos{0^{o}}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv.1+v^2\) ➜ Note \(\because \cos{0^{o}}=1\)

\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=(u+v)^2\)
\(\therefore w=u+v\) যা বৃহত্তম লব্ধি বেগ।
\((c)\) যখন \(\alpha=180^{o}\) এবং \(u\gt{v}\) অর্থাৎ বেগ দুইটি একই রেখায় পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।
\(w^2=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv\cos{180^{o}}+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=u^2+2uv.(-1)+v^2\) ➜ Note \(\because \cos{180^{o}}=-1\)

\(\Rightarrow w^2=u^2-2uv+v^2\)
\(\Rightarrow w^2=(u-v)^2\)
\(\therefore w=u-v\) যা ক্ষুদ্রত্তম লব্ধি বেগ।
\((d)\) যখন \(u=v\) অর্থাৎ বেগ দুইটি পরস্পর সমান হয়।
\(w^2=u^2+2uv\cos{\alpha}+v^2\)
\(=u^2+2u.u\cos{\alpha}+u^2\)
\(=2u^2+2u^2\cos{\alpha}\)
\(=2u^2+2u^2\cos{\alpha}\)
\(=2u^2(1+\cos{\alpha})\)
\(=2u^2\times2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\) ➜ Note \(\because 1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)

\(\Rightarrow w^2=4u^2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore w=2u\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
এবং \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v\sin{\alpha}}{u+v\cos{\alpha}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{u\sin{\alpha}}{u+u\cos{\alpha}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{u\sin{\alpha}}{u(1+\cos{\alpha})}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\right)}\) ➜ Note \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}, \ 1+\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=\frac{\alpha}{2}\)
\(\therefore \theta=\frac{1}{2}\alpha\)
অর্থাৎ, বেগ দুইটি পরস্পর সমান হলে, তাদের লব্ধির ক্রিয়ারেখা বেগদ্বয়ের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

বেগের ত্রিভুজ সূত্রঃ কোনো সমতলে একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশিল দুইটি বেগের মান ও দিক যদি কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে দুইটি বাহু দ্বারা সূচিত হয়, তাহলে ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু দ্বারা বিপরীতক্রমে ঐ বেগদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক সূচিত হবে।
যঃ ২০০৩
প্রমাণঃ
চিত্রে, \(OAB\) ত্রিভুজে একই ক্রমে দুইটি বাহু \(OA\) ও \(OB\) দ্বারা যথাক্রমে \(u\) ও \(v\) বেগদ্বয় সূচিত হয়েছে।
অর্থাৎ \(\overrightarrow{OA}=\bar{u}, \ \overrightarrow{AB}=\bar{v}\) তাহলে, ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, বিপরীতক্রমে \(OB\) বাহু দ্বারা লব্ধির মান ও দিক সূচিত হবে।
অর্থাৎ \(\overrightarrow{OB}=\bar{w}\)
সুতরাং \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \bar{u}+\bar{v}=\bar{w}\)
সুতরাং \(\bar{u}\) ও \(\bar{v}\) বেগদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক \(OAB\) ত্রিভুজের বিপরীতক্রমে গৃহীত বাহু \(OB\) দ্বারা সূচিত হবে।
দ্রষ্টব্যঃ \(OAB\) ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু \(OB\) মাত্র লব্ধির মান ও দিক সূচিত করে কিন্তু \(\bar{u}\) ও \(\bar{v}\) বেগ দুইটির ক্রিয়ারেখার ছেদবিন্দু দিয়ে লব্ধির ক্রিয়ারেখা গমন করবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
আবার, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BO}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=0\)
সুতরাং একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বেগের মান ও দিক কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে তিনটি বাহু দ্বারা সূচিত হলে তাদের লব্ধির মান শূণ্য হবে।

ধরি, \(AD\) সরলরেখা \(w\) বেগকে সূচিত করে। ইহার প্রয়োগ বিন্দু \(A\) বিন্দুতে \(AD\) এর উভয় পার্শ্বে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণে যথাক্রমে \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় অঙ্কন করি।
\(w\) বেগের অংশক বা উপাংশ দুইটি \(AB\) ও \(AC\) এর দিকে নির্ণয় করতে হবে। \(ABDC\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি। তাহলে, \(AB\) ও \(AC\) বরাবর বেগদ্বয় \(AD\) বেগের উপাংশ হবে।
এখানে, \(AB=u, \ AC=v, \ \angle{BAD}=\alpha, \ \angle{DAC}=\beta\)
\(\triangle{ABD}\) এ সাইন সূত্র হতে,
\(\frac{AB}{\sin{\angle{ADB}}}=\frac{BD}{\sin{\angle{BAD}}}=\frac{AD}{\sin{\angle{ABD}}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{\sin{\angle{DAC}}}=\frac{BD}{\sin{\angle{BAD}}}=\frac{AD}{\sin{\angle{ABD}}}\) ➜ Note \(\because \angle{ADB}=\angle{DAC}=\beta\)

\(\Rightarrow \frac{u}{\sin{\beta}}=\frac{v}{\sin{\alpha}}=\frac{w}{\sin{\{2\pi-(\alpha+\beta)\}}}\) ➜ Note \(\because \angle{ABD}=2\pi-(\alpha+\beta)\)

\(\Rightarrow \frac{u}{\sin{\beta}}=\frac{v}{\sin{\alpha}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\Rightarrow \frac{u}{\sin{\beta}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}, \ \frac{v}{\sin{\alpha}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\Rightarrow u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}, \ v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\therefore AB\) বরাবর \(w\) বেগের উপাংশ \(u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
এবং \(AC\) বরাবর \(w\) বেগের উপাংশ \(v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
তাহলে, লব্ধির মান এবং \(\alpha\) ও \(\beta\) এর মান জানা থাকলে সহজেই এই লব্ধিকে দুইটি উপাংশে বিভক্ত করা যায়।
দ্রষ্টব্যঃ যখন \(\alpha+\beta=90^{o}\) হয় অর্থাৎ উপাংশদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(90^{o}\) হয়, তবে উক্ত উপাংশদ্বয়কে লম্বাংশ বলা হয়।
সুতরাং লব্ধির উপাংশদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে তাদের লম্বাংশ বলা হয়।
তাহলে, লম্বাংশের ক্ষেত্রে,
\(u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}, \ v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\Rightarrow u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{90^{o}}}, \ v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{90^{o}}}\) ➜ Note \(\because \alpha+\beta=90^{o}\)

\(\Rightarrow u=\frac{w\sin{\beta}}{1}, \ v=\frac{w\sin{\alpha}}{1}\) ➜ Note \(\because \sin{90^{o}}=1\)

\(\Rightarrow u=w\sin{\beta}, \ v=w\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow u=w\sin{(90^{o}-\alpha)}, \ v=w\sin{\alpha}\) ➜ Note \(\because \alpha+\beta=90^{o}\)
\(\Rightarrow \beta=90^{o}-\alpha\)

\(\therefore u=w\cos{\alpha}, \ v=w\sin{\alpha}\)
সুতরাং লব্ধি \(w\) এর লম্বাংশদ্বয় \(u\) ও \(v\) এবং \(w\) ও \(u\) এর অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) হলে,
আনুভূমিক \(AX\) বরাবর \(w\) বেগের লম্বাংশ \(u=w\cos{\alpha}\)
এবং লম্বিক \(AY\) বরাবর \(w\) বেগের লম্বাংশ \(v=w\sin{\alpha}\)

ধরি, প্রদত্ত বেগ \(w, \ AD\) সরলরেখা দ্বারা সূচিত। প্রয়োগ বিন্দু \(A\) তে \(AX\) ও \(AY\) দুইটি সরলরেখা একটি অপরটির উপর লম্বভাবে অংকিত করা হয়েছে। \(w\) বেগকে \(AX\) এবং \(AY\) এর দিকে দুইটি উপাংশে বা লম্বাংশে বিভাজন করতে হবে।
\(AX\) রেখা \(AD\) এর সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং \(AY, \ AD\) এর সাথে \((90^{o}-\theta)\) উৎপন্ন করবে। \(ABDC\) সামান্তরিকটি অঙ্কন কর।
এখানে, \(AB=u, \ AC=v, \ AD=w, \ \angle{BAD}=\theta\)
\(\triangle{ABD}\) এ,
\(\cos{\angle{BAD}}=\frac{AB}{AD}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{u}{w}\) ➜ Note \(\because \angle{BAD}=\theta, \ AB=u, \ AD=w\)

\(\Rightarrow u=w\cos{\theta}\)
\(\therefore u=w\cos{\theta} ........(1)\)
সুতরাং কোনো বেগের একটি নির্দিষ্ট দিকে উপাংশ বা লম্বাংশ ঐ বেগ এবং বেগ ও নির্দিষ্ট দিকের অন্তর্ভুক্ত কোণের \(cosine\) এর গুণফলের সমান।
\(ACD\) ত্রিভুজে \(\cos{\angle{CAD}}=\frac{AC}{AD}\)
\(\Rightarrow \cos{(90^{o}-\theta)}=\frac{v}{w}\) ➜ Note \(\because \angle{CAD}=90^{o}-\theta, \ AC=v, \ AD=w\)

\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{v}{w}\)
\(\therefore v=w\sin{\theta} ........(2)\)
সুতরাং কোনো বেগের একটি নির্দিষ্ট দিকের সাথে লম্বিক দিকের উপাংশ বা লম্বাংশ ঐ বেগ এবং বেগ ও নির্দিষ্ট দিকের অন্তর্ভুক্ত কোণের \(sine\) এর গুণফলের সমান।
দ্রষ্টব্যঃ যদি কোনো বেগ \(w\) কোনো সরলরেখার সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে সে দিকের উপাংশ \(w\cos{\theta}\) এবং ঐ সরলরেখার উপর লম্বিক দিকের উপাংশ হবে \(w\sin{\theta}\)

ধরি, একই তলে কোনো বিন্দু \(O\) তে বিভিন্ন দিকে \(v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3},........v_{n}\) মানের বেগগুলি কার্যরত আছে। \(O\) কে মূলবিন্দু ধরে \(XOX^{\prime}\) ও \(YOY^{\prime}\) দুইটি অক্ষরেখা অঙ্কন করে।
\(v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3},........v_{n}\) মানের বেগগুলি \(OX\) রেখার সাথে যথাক্রমে \(\theta_{1}, \ \theta_{2}, \ \theta_{3},........\theta_{n}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(OX\) এবং \(OY\) এর দিকে বেগগুলিকে বিভাজন করি। যদি বেগগুলির লব্ধি \(w\) হয় যা \(OX\) এর সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে তাহলে, \(w\cos{\theta}\) সকল বেগের \(OX\) এর দিকে উপাংশগুলির বীজগাণিতিক যোগফল হবে।
অতএব, \(w\cos{\theta}=v_{1}\cos{\theta_{1}}+v_{2}\cos{\theta_{2}}+v_{3}\cos{\theta_{3}}+ ......+v_{n}\cos{\theta_{n}}=X\) ➜ Note লম্বাংশের উপপাদ্য ব্যবহার করে।

\(\Rightarrow w\cos{\theta}=X ..........(1)\)
এবং \(w\sin{\theta}\) সকল বেগের \(OY\) এর দিকে উপাংশগুলির বীজগাণিতিক যোগফল হবে।
অতএব, \(w\sin{\theta}=v_{1}\sin{\theta_{1}}+v_{2}\sin{\theta_{2}}+v_{3}\sin{\theta_{3}}+ ......+v_{n}\sin{\theta_{n}}=Y\) ➜ Note লম্বাংশের উপপাদ্য ব্যবহার করে।

\(\Rightarrow w\sin{\theta}=Y ..........(2)\)
\((1)^2+(2)^2\) এর সাহায্যে,
\(w^2\cos^2{\theta}+w^2\sin^2{\theta}=X^2+Y^2\)
\(\Rightarrow w^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=X^2+Y^2\)
\(\Rightarrow w^2.1=X^2+Y^2\)
\(\Rightarrow w^2=X^2+Y^2\)
\(\therefore w=\sqrt{X^2+Y^2}\)
\((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{w\sin{\theta}}{w\cos{\theta}}=\frac{Y}{X}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{Y}{X}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{Y}{X}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{Y}{X}\right)}\)
সুতরাং \(n\) সংখ্যক বেগের লব্ধি \(w=\sqrt{X^2+Y^2}\) এবং লব্ধির দিক \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{Y}{X}\right)}\)

আপেক্ষিক বেগঃ কোনো চলন্ত বস্তুকণার সাপেক্ষে অন্য একটি চলন্ত বস্তুকণার সরণের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলে।
ধরি, \(A\) এবং \(B\) দুইটি পৃথক বস্তুকণা দুইটি পৃথক বেগে একই দিকে চলে। \(A\) কণার যে কোনো অবস্থান অবলোকন করে \(B\) এর যে বেগ পরিলক্ষিত হয়, তাই \(A\) এর সাপেক্ষে \(B\) এর আপেক্ষিক বেগ। \(B\) এর বেগের সাথে \(A\) এর বেগের মানের সমান ও বিপরীতমুখী একটি বেগের লব্ধিই আপেক্ষিক বেগের মান ও দিক নির্দেশ করে।
অর্থাৎ, \(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ বলতে আমরা \(B\) হতে \(A\) কে যে বেগে চলতে দেখা যায় তা বুঝি। তা \(V_{AB}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ কোনো চলমান বস্তুকণার নিকটে অন্য কোনোরূপ চলমান বা স্থির বস্তুকণা কিংবা স্থির বস্তুকণার নিকটে অপর কোনো চলমান বস্তুকণার যে বেগ আসছে বা চলছে বলে মনে হয়, সেই বেগকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়।

ধরি, \(A\) ও \(B\) দুইটি গিতিশীল বস্তুকণা। \(A\) বস্তুকণার বেগ \(B\) বস্তুকণার বেগের তুলুনায় নির্ণয় করি।
\(t\) সময়ে \(A\) এবং \(B\) বস্তুকণা দুইটি একটি আয়তকার সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(x_{2}, y_{2})\) তে অবস্থান নির্দেশ করে। যেখানে \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) চলক হিসেবে গণ্য হবে।
এখানে, \(BN=x, \ OM=x_{1}, \ OL=x_{2}\)
এবং \(BL=y, \ AM=y_{1}, \ AN=y_{2}\)
তাহলে, \(BN=LM\)
\(\Rightarrow BN=OM-OL\)
\(\therefore x=x_{1}-x_{2} ........(1)\)
আবার, \(BL=NM\)
\(\Rightarrow BL=AM-AN\)
\(\therefore y=y_{1}-y_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং কে \(t\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\frac{dx}{dt}=\frac{dx_{1}}{dt}-\frac{dx_{2}}{dt}\)
\(\Rightarrow u=u_{1}-u_{2} ........(3)\)
এবং \(\frac{dy}{dt}=\frac{dy_{1}}{dt}-\frac{dy_{2}}{dt}\)
\(\Rightarrow v=v_{1}-v_{2} ........(4)\)
কিন্তু প্রকৃতপক্ষে \(\left(\frac{dx_{1}}{dt}, \frac{dy_{1}}{dt}\right)\equiv{(u_{1}, v_{1})}\)
এবং \(\left(\frac{dx_{2}}{dt}, \frac{dy_{2}}{dt}\right)\equiv{(u_{2}, v_{2})}\)
\(A\) এবং \(B\) বিন্দুর প্রকৃত উপাংশ দুইটি যথাক্রমে \(OX\) এবং \(OY\) অক্ষরেখা বরাবর সমান্তরাল। সমীকরণ \((3)\) এবং \((4)\) হতে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ \(B\) এর সাপেক্ষে নির্দিষ্ট দিকে \(A\) এবং \(B\) এর প্রকৃত বেগের অন্তরফলের সমান।
\(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ \(=A\) এর প্রকৃত বেগ \(-B\) এর প্রকৃত বেগ
\(\therefore V_{AB}=V_{A}-V_{B}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\((a) \ V_{A}=V_{AB}+V_{B}\)
\((b) \ V_{B}=V_{A}-V_{AB}\)
দুইটি বিশেষ ক্ষেত্রঃ
বিশেষ ক্ষেত্র-১
যখন \(\alpha=0^{o}\)
দুইটি সমান্তরাল এবং একই দিকে গতিশীল বস্তুকণার ক্ষেত্রে \((\alpha=0^{o})\) হবে।
তখন \(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ হবে,
\(V_{AB}=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}\cos{0^{o}}}\)
\(=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}.1}\) ➜ Note \(\because \cos{0^{o}}=1\)

\(=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}}\)
\(=\sqrt{(V_{A}-V_{B})^2}\)
\(=V_{A}-V_{B}\)
\(\therefore V_{AB}=V_{A}-V_{B}\)
বিশেষ ক্ষেত্র-২
যখন \(\alpha=180^{o}\)
দুইটি সমান্তরাল এবং বিপরীত দিকে গতিশীল বস্তুকণার ক্ষেত্রে \((\alpha=180^{o})\) হবে।
তখন \(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ হবে,
\(V_{AB}=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}.(-1)}\) ➜ Note \(\because \cos{180^{o}}=-1\)

\(=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2+2V_{A}V_{B}}\)
\(=\sqrt{(V_{A}+V_{B})^2}\)
\(=V_{A}+V_{B}\)
\(\therefore V_{AB}=V_{A}+V_{B}\)

ধরি, \(A\) ও \(B\) দুইটি চলমান বিন্দু। \(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) বিন্দুর আপেক্ষিক বেগ \(\overrightarrow{V_{AB}}=\overrightarrow{AM}.\)
\(B\) বিন্দুর প্রকৃত বেগ \(\overrightarrow{V_{B}}=\overrightarrow{BC}\)। \(A\) বিন্দুর প্রকৃত বেগ নির্ণয় করতে হবে। \(A\) বিন্দুতে \(BC\) বেগের সমান, সমান্তরাল ও বিপরীতমুখী একটি বেগ \(AG\) প্রয়োগ করি। এখন \(AM\) কে কর্ণ এবং \(AG\) একটি বাহু ধরে \(AGMD\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি, যার অপর বাহুটি \(AD\)। তাহলে, \(A\) বিন্দুর প্রকৃত বেগ \(\overrightarrow{V_{A}}=\overrightarrow{AD}\)
আবার, \(GA\) কে \(H\) পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন \(AG=AH\) হয়। তাহলে, \(AMDH\) একটি সামান্তরিক হবে এবং এর কর্ণ \(AD\)। সুতরাং অনুরূপভাবে বলা যায় \(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ ও \(B\) বিন্দুর বেগের সমান ও সমান্তরাল বেগের লব্ধি হবে, \(A\) বিন্দুর প্রকৃত বেগ। অর্থাৎ \(\overrightarrow{V_{A}}=\overrightarrow{V_{AB}}+\overrightarrow{V_{B}}.\)

পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমবিন্দু বেগ \(u\) ও \(v\) এর লব্ধিবেগ \(w, \ u\) বেগের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে,
\(w=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos{\alpha}}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v\sin{\alpha}}{u+v\cos{\alpha}}\right)}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যখন \(\alpha=90^{o}\)
\(w=\sqrt{u^2+v^2}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{v}{u}\right)}\)
যখন \(\alpha=0^{o}\)
\(w=u+v\)
যখন \(\alpha=180^{o}\)
\(w=u-v\)
যখন \(u=v\)
\(w=2u\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\theta=\frac{\alpha}{2}\)
\(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ \(V_{AB}\) এবং দিক \(\theta.\) বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
\(V_{AB}=\sqrt{V_{A}^2+V_{B}^2-2V_{A}V_{B}\cos{\alpha}}\)
\(\theta=\frac{V_{B}\sin{\alpha}}{V_{A}-V_{B}\cos{\alpha}}\)
\(V_{AB}=V_{A}-V_{B}\)
\(V_{A}=V_{AB}+V_{B}\)
\(V_{B}=V_{A}-V_{AB}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যখন \(\alpha=0^{o}\)
\(V_{AB}=V_{A}-V_{B}\)
যখন \(\alpha=180^{o}\)
\(V_{AB}=V_{A}+V_{B}\)
\(B\) এর সাপেক্ষে \(A\) এর আপেক্ষিক বেগ \(V_{AB}\) এবং \(V_{B}\wedge{V_{AB}}=\alpha, \ V_{A}\wedge{V_{AB}}=\beta, \ V_{A}\wedge{V_{B}}=\gamma\) হলে, বেগের সাইন সূত্রঃ
\(\frac{V_{A}}{\sin{\alpha}}=\frac{V_{B}}{\sin{\beta}}=\frac{V_{AB}}{\sin{\gamma}}\)