গতিশীল বস্তুকণার ত্বরণ
গতিশীল বস্তুকণার ত্বরণ বিষয়ে সংজ্ঞা, সূত্র, ব্যাখ্যা ও উদাহরণসহ বিস্তারিত আলোচনা—গতিশীল বস্তুকণার ত্বরণ, সমত্বরণ, অসমবেগ। MathGR-এ সহজভাবে শিখুন।
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- গতিশীল বস্তুকণার ত্বরণ (Acceleration of a moving object)
- সমত্বরণ (Uniform Acceleration)
- অসমবেগ (Variable Velocity)
- গতিসূত্র (Laws of Motion)
- গতিসূত্রঃ \(v=u+ft\) (Law of Motion: \(v=u+ft\))
- গতিসূত্রঃ \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) (Law of Motion: \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\))
- গতিসূত্রঃ \(v^2=u^2+2fs\) (Law of Motion: \(v^2=u^2+2fs\))
- \(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বঃ \(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\) Distance covered in t-th second: \(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
- গতিসূত্রঃ \(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\) Law of Motion: \(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
- গড়বেগ (Average velocity)
- বস্তুকণার গতিপথের লেখচিত্র (Graph of the motion of a particle)
- সমবেগে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র (Diagram of a particle in uniform motion)
- সুষম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র (Diagram of a particle moving with uniform acceleration)
- অসম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র (Diagram of a particle moving with variable acceleration)
- লেখচিত্র হতে বস্তুকণার বেগ ও ত্বরণ নির্ণয় (Determine the velocity and acceleration of a particle from the graph)
- সময়-বেগ চিত্র থেকে ত্বরণ নির্ণয় (Determination of acceleration from time-velocity graph)
- প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী (Required formulas)
- অধ্যায় \(9B\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(9B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(9B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(9B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(9B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
গতিশীল বস্তুকণার ত্বরণ
Acceleration of a moving object
ত্বরণঃ কোনো বস্তুকণার বেগ বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ বলে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে কোনো চলমান বস্তুকণার বেগ বৃদ্ধির হারই হলো ত্বরণ। যদি গতিশীল বস্তুকণার বেগ হ্রাস পায় তাহলে বেগ হ্রাসের হারকে মন্দন বলে। আবার যদি বস্তুকণার ত্বরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই ত্বরণকে সুষম ত্বরণ এবং মান ও দিক বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে তাহলে সেই ত্বরণকে অসম ত্বরণ বলে।
ক্ষুদ্র \(\delta{t}\) সময়ে বস্তুকণাটির গতিপথের কোনো একটি বিন্দুতে বেগ বৃদ্ধির পরিবর্তন \(\delta{v}\) হলে, ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ বা তাৎক্ষণিক ত্বরণ \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{v}}{\delta{t}}=\frac{dv}{dt}\]। ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত \(f\) বা \(a\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং ত্বরণ \(=\frac{\text{বেগের পরিবর্তন}}{\text{সময়ের পরিবর্তন}}\) একক/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণ দুই প্রকারঃ
\((i)\) সমত্বরণ।
\((ii)\) অসমত্বরণ।
দ্রষ্টব্যঃ সুষম বেগে চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে ত্বরণ শূণ্য। ত্বরণ ও মন্দন পরস্পর বিপরীতমুখী।
ক্ষুদ্র \(\delta{t}\) সময়ে বস্তুকণাটির গতিপথের কোনো একটি বিন্দুতে বেগ বৃদ্ধির পরিবর্তন \(\delta{v}\) হলে, ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ বা তাৎক্ষণিক ত্বরণ \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{v}}{\delta{t}}=\frac{dv}{dt}\]। ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত \(f\) বা \(a\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং ত্বরণ \(=\frac{\text{বেগের পরিবর্তন}}{\text{সময়ের পরিবর্তন}}\) একক/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।
ত্বরণ দুই প্রকারঃ
\((i)\) সমত্বরণ।
\((ii)\) অসমত্বরণ।
দ্রষ্টব্যঃ সুষম বেগে চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে ত্বরণ শূণ্য। ত্বরণ ও মন্দন পরস্পর বিপরীতমুখী।
সমত্বরণ
Uniform Acceleration
সমত্বরণঃ চলমান কোনো বস্তুকণার গতিপথের সর্বত্র একই ত্বরণ হলে বা বেগের পরিবর্তন হার একই থাকলে, তাকে সুষম ত্বরণ বা সমত্বরণ বলে।
অন্তরীকরণের মাধ্যমে বেগ ও ত্বরণঃ ধরি, কোনো কণা \(AB\) সরলরেখার \(O\) বিন্দু হতে সমত্বরণে যাত্রা করে এবং \(t\) সময়ে \(OP=s\) ও \(t+\Delta{t}\) সময়ে \(OQ=s+\Delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে। তাহলে কণাটি অতি ক্ষুদ্র \(\Delta{t}\) সময়ে \(PQ=\Delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
\(t\) সময়ে কণার বেগ, \[v=\lim_{\Delta{t} \rightarrow 0}\frac{s+\Delta{s}-s}{\Delta{t}}\]
\[=\lim_{\Delta{t} \rightarrow 0}\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\]
\[=\frac{ds}{dt}\]
\[\therefore v=\frac{ds}{dt}\]
আবার, \(t\) সময়ে কণার বেগ \(v\) এবং \(t+\delta{t}\) সময়ে কণার বেগ \(v+\delta{v}\) হলে, \(\delta{t}\) সময়ে কণার বেগের পরিবর্তন \(=\delta{v}.\)
\(\therefore\) কণার ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{d}{dt}\left(v\right)\)
\(=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)\) ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\(=\frac{d^2s}{dt^2}\)
\(\therefore f=\frac{d^2s}{dt^2}\)
আবার, \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{ds}{dt}.\frac{dv}{ds}\)
\(=v\frac{dv}{ds}\) ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\(\therefore f=v\frac{dv}{ds}\)
অতএব, বেগ \(v=\frac{ds}{dt}\)
এবং ত্বরণ \(f=\frac{d^2s}{dt^2}\) বা \(f=v\frac{dv}{ds}\)
অন্তরীকরণের মাধ্যমে বেগ ও ত্বরণঃ ধরি, কোনো কণা \(AB\) সরলরেখার \(O\) বিন্দু হতে সমত্বরণে যাত্রা করে এবং \(t\) সময়ে \(OP=s\) ও \(t+\Delta{t}\) সময়ে \(OQ=s+\Delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে। তাহলে কণাটি অতি ক্ষুদ্র \(\Delta{t}\) সময়ে \(PQ=\Delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
\(t\) সময়ে কণার বেগ, \[v=\lim_{\Delta{t} \rightarrow 0}\frac{s+\Delta{s}-s}{\Delta{t}}\]
\[=\lim_{\Delta{t} \rightarrow 0}\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\]
\[=\frac{ds}{dt}\]
\[\therefore v=\frac{ds}{dt}\]
আবার, \(t\) সময়ে কণার বেগ \(v\) এবং \(t+\delta{t}\) সময়ে কণার বেগ \(v+\delta{v}\) হলে, \(\delta{t}\) সময়ে কণার বেগের পরিবর্তন \(=\delta{v}.\)
\(\therefore\) কণার ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{d}{dt}\left(v\right)\)
\(=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)\) ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\(=\frac{d^2s}{dt^2}\)
\(\therefore f=\frac{d^2s}{dt^2}\)
আবার, \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{ds}{dt}.\frac{dv}{ds}\)
\(=v\frac{dv}{ds}\) ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\(\therefore f=v\frac{dv}{ds}\)
অতএব, বেগ \(v=\frac{ds}{dt}\)
এবং ত্বরণ \(f=\frac{d^2s}{dt^2}\) বা \(f=v\frac{dv}{ds}\)
অসমত্বরণ
Variable Acceleration
অসমত্বরণঃ যখন সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন ভিন্ন ভিন্ন হয় তখন তাকে অসমত্বরণ বলে। অসমত্বরণের ক্ষেত্রে সময় \((t)\) বনাম বেগ \((v)\) লেখচিত্রটি বক্ররেখা নির্দেশ করে।
অসত্বরণের একক তিনটিঃ
\((a) \ M.K.S\) পদ্ধতিতে এর একক মিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((b) \ C.G.S\) পদ্ধতিতে এর একক সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড।
\((c) \ F.P.S\) পদ্ধতিতে এর একক ফুট/বর্গ সেকেন্ড।
গতিসূত্র
Laws of Motion
সমত্বরণের ক্ষেত্রেঃ
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
সমমন্দণের ক্ষেত্রেঃ
\(v=u-ft\)
\(s=ut-\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2-2fs\)
\(v=u-ft\)
\(s=ut-\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2-2fs\)
গতিসূত্রঃ \(v=u+ft\)
Law of Motion: \(v=u+ft\)
\(v=u+ft\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৩
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\therefore dv=fdt ........(1)\]
যখন \(t=0\) তখন \(v=u\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(v=v\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{dv}=\int_{0}^{t}{fdt}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{dv}=f\int_{0}^{t}{dt}\)
\(\Rightarrow [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow v-u=f[t-0]\)
\(\Rightarrow v-u=ft\)
\(\therefore v=u+ft\)
বঃ ২০১৩
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\therefore dv=fdt ........(1)\]
যখন \(t=0\) তখন \(v=u\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(v=v\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{dv}=\int_{0}^{t}{fdt}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{dv}=f\int_{0}^{t}{dt}\)
\(\Rightarrow [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow v-u=f[t-0]\)
\(\Rightarrow v-u=ft\)
\(\therefore v=u+ft\)
গতিসূত্রঃ \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
Law of Motion: \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) এর প্রমাণঃ
ঢাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৫; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৬; দিঃ ২০১৬,২০১২,২০১০; কুঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৭,২০০৫; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬; সিঃ ২০১২,২০১০,২০০৭; যঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৬; বঃ ২০১৬,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; মাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\therefore dv=fdt ........(1)\]
যখন \(t=0\) তখন \(v=u\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(v=v\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{dv}=\int_{0}^{t}{fdt}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{dv}=f\int_{0}^{t}{dt}\)
\(\Rightarrow [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow v-u=f[t-0]\)
\(\Rightarrow v-u=ft\)
\(\therefore v=u+ft ........(2)\)
আবার, সময়ের সাথে সরণ পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ,
\[v=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{s+\delta{s}-s}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow v=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{s}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow v=\frac{ds}{dt}\]
\[\Rightarrow ds=vdt\]
\[\Rightarrow ds=(u+ft)dt\] ➜ \(\because v=u+ft\)
\[\therefore ds=udt+ftdt ........(3)\]
যখন \(t=0\) তখন \(s=0\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(s=s\)
উক্ত সীমায় \((3)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{0}^{s}{ds}=\int_{0}^{t}{udt}+\int_{0}^{t}{ftdt}\)
\(\Rightarrow \int_{0}^{s}{ds}=u\int_{0}^{t}{udt}+f\int_{0}^{t}{tdt}\)
\(\Rightarrow [s]_{0}^{s}=u[t]_{0}^{t}+f\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow [s-0]=u[t-0]+\frac{1}{2}f\left[t^2\right]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow s=ut+\frac{1}{2}f\left[t^2-0^2\right]\)
\(\therefore s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
ঢাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৫; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০১০,২০০৮,২০০৬; দিঃ ২০১৬,২০১২,২০১০; কুঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৭,২০০৫; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬; সিঃ ২০১২,২০১০,২০০৭; যঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৬; বঃ ২০১৬,২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫; মাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\therefore dv=fdt ........(1)\]
যখন \(t=0\) তখন \(v=u\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(v=v\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{dv}=\int_{0}^{t}{fdt}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{dv}=f\int_{0}^{t}{dt}\)
\(\Rightarrow [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow v-u=f[t-0]\)
\(\Rightarrow v-u=ft\)
\(\therefore v=u+ft ........(2)\)
আবার, সময়ের সাথে সরণ পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ,
\[v=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{s+\delta{s}-s}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow v=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{s}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow v=\frac{ds}{dt}\]
\[\Rightarrow ds=vdt\]
\[\Rightarrow ds=(u+ft)dt\] ➜ \(\because v=u+ft\)
\[\therefore ds=udt+ftdt ........(3)\]
যখন \(t=0\) তখন \(s=0\)
এবং যখন \(t=t\) তখন \(s=s\)
উক্ত সীমায় \((3)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{0}^{s}{ds}=\int_{0}^{t}{udt}+\int_{0}^{t}{ftdt}\)
\(\Rightarrow \int_{0}^{s}{ds}=u\int_{0}^{t}{udt}+f\int_{0}^{t}{tdt}\)
\(\Rightarrow [s]_{0}^{s}=u[t]_{0}^{t}+f\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow [s-0]=u[t-0]+\frac{1}{2}f\left[t^2\right]_{0}^{t}\)
\(\Rightarrow s=ut+\frac{1}{2}f\left[t^2-0^2\right]\)
\(\therefore s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
গতিসূত্রঃ \(v^2=u^2+2fs\)
Law of Motion: \(v^2=u^2+2fs\)
\(v^2=u^2+2fs\) এর প্রমাণঃ
ঢাঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৭; রাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৭,২০০৫; দিঃ ২০১৫,২০১৩,২০০৯; কুঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; চঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; যঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৭; বঃ ২০১৫,২০১১,২০০৮,২০০৬; মাঃ ২০১২,২০১০
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\Rightarrow f=\frac{ds}{dt}.\frac{dv}{ds}\]
\[\Rightarrow f=v\frac{dv}{ds}\] ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\[\therefore vdv=fds ........(1)\]
যখন \(v=u\) তখন \(s=0\)
এবং যখন \(v=v\) তখন \(s=s\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{vdv}=\int_{0}^{s}{fds}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{vdv}=f\int_{0}^{s}{ds}\)
\(\Rightarrow \left[\frac{v^2}{2}\right]_{u}^{v}=f[s]_{0}^{s}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[v^2\right]_{u}^{v}=f[s-0]\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[v^2-u^2\right]=fs\)
\(\Rightarrow v^2-u^2=2fs\)
\(\therefore v^2=u^2+2fs\)
ঢাঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৭; রাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৭,২০০৫; দিঃ ২০১৫,২০১৩,২০০৯; কুঃ ২০১৬,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; চঃ ২০১৬,২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৮,২০০৬; যঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৭; বঃ ২০১৫,২০১১,২০০৮,২০০৬; মাঃ ২০১২,২০১০
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(O\) বিন্দু থেকে \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(P\) বিন্দুতে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার, বস্তুকণাটি ক্ষুদ্রতর \(\delta{t}\) সময়ে \(\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s+\delta{s}\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(Q\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v+\delta{v}\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগ পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। \(P\) বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\[f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{v+\delta{v}-v}{t+\delta{t}-t}\]
\[\Rightarrow f=\lim_{\delta{t} \rightarrow 0} \frac{\delta{v}}{\delta{t}}\]
\[\Rightarrow f=\frac{dv}{dt}\]
\[\Rightarrow f=\frac{ds}{dt}.\frac{dv}{ds}\]
\[\Rightarrow f=v\frac{dv}{ds}\] ➜ \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\[\therefore vdv=fds ........(1)\]
যখন \(v=u\) তখন \(s=0\)
এবং যখন \(v=v\) তখন \(s=s\)
উক্ত সীমায় \((1)\) কে যোগজীকরণ করে,
\(\int_{u}^{v}{vdv}=\int_{0}^{s}{fds}\)
\(\Rightarrow \int_{u}^{v}{vdv}=f\int_{0}^{s}{ds}\)
\(\Rightarrow \left[\frac{v^2}{2}\right]_{u}^{v}=f[s]_{0}^{s}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[v^2\right]_{u}^{v}=f[s-0]\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[v^2-u^2\right]=fs\)
\(\Rightarrow v^2-u^2=2fs\)
\(\therefore v^2=u^2+2fs\)
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বঃ \(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
Distance covered in \(t\)th second: \(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\) এর প্রমাণঃ
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(t\) সে. সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{1}=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \((t-1)\) সে. সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{2}=u(t-1)+\frac{1}{2}f(t-1)^2 .........(2)\)
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{t}=s_{1}-s_{2}\)
\(=ut+\frac{1}{2}ft^2-u(t-1)-\frac{1}{2}f(t-1)^2\)
\(=ut+\frac{1}{2}ft^2-ut+u-\frac{1}{2}f(t^2-2t+1)\)
\(=\frac{1}{2}ft^2+u-\frac{1}{2}ft^2+ft-\frac{1}{2}f\)
\(=u+ft-\frac{1}{2}f\)
\(=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(\therefore s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, \(t\) সে. সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{1}=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \((t-1)\) সে. সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{2}=u(t-1)+\frac{1}{2}f(t-1)^2 .........(2)\)
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s_{t}=s_{1}-s_{2}\)
\(=ut+\frac{1}{2}ft^2-u(t-1)-\frac{1}{2}f(t-1)^2\)
\(=ut+\frac{1}{2}ft^2-ut+u-\frac{1}{2}f(t^2-2t+1)\)
\(=\frac{1}{2}ft^2+u-\frac{1}{2}ft^2+ft-\frac{1}{2}f\)
\(=u+ft-\frac{1}{2}f\)
\(=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
\(\therefore s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
গতিসূত্রঃ \(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
Law of Motion: \(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
\(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\) এর প্রমাণঃ
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
তাহলে, \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \(v=u+ft .........(2)\)
\((1)\) হতে,
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{1}{2}t(2u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}t(u+u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}t(u+v)\) ➜ \(\because v=u+ft\)
\(=\frac{1}{2}(u+v)t\)
\(=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
\(\therefore s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
ধরি,
কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
তাহলে, \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \(v=u+ft .........(2)\)
\((1)\) হতে,
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{1}{2}t(2u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}t(u+u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}t(u+v)\) ➜ \(\because v=u+ft\)
\(=\frac{1}{2}(u+v)t\)
\(=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
\(\therefore s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
গড়বেগ
Average velocity
বঃ ২০১৩
ধরি, কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
তাহলে, \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \(v=u+ft .........(2)\)
এখন, গড়বেগ \(=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}=\frac{s}{t}\)
\(=\frac{ut+\frac{1}{2}ft^2}{t}\) ➜ \(\because s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{t(u+\frac{1}{2}ft)}{t}\)
\(=u+\frac{1}{2}ft\)
\(=\frac{1}{2}(2u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}(u+u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}(u+v)\) ➜ \(\because v=u+ft\)
\(=\frac{u+v}{2}\)
\(=\frac{\text{আদিবেগ}+\text{শেষবেগ}}{2}\)
\(\therefore\) গড়বেগ \(=\frac{\text{আদিবেগ}+\text{শেষবেগ}}{2}\)
ধরি, কোনো বস্তকণা \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে \(t\) সে. সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
তাহলে, \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2 .........(1)\)
এবং \(v=u+ft .........(2)\)
এখন, গড়বেগ \(=\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}}=\frac{s}{t}\)
\(=\frac{ut+\frac{1}{2}ft^2}{t}\) ➜ \(\because s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(=\frac{t(u+\frac{1}{2}ft)}{t}\)
\(=u+\frac{1}{2}ft\)
\(=\frac{1}{2}(2u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}(u+u+ft)\)
\(=\frac{1}{2}(u+v)\) ➜ \(\because v=u+ft\)
\(=\frac{u+v}{2}\)
\(=\frac{\text{আদিবেগ}+\text{শেষবেগ}}{2}\)
\(\therefore\) গড়বেগ \(=\frac{\text{আদিবেগ}+\text{শেষবেগ}}{2}\)
বস্তুকণার গতিপথের লেখচিত্র
Graph of the motion of a particle
লেখচিত্রের সাহায্যে কোনো বস্তুকণার গতিপথ প্রদর্শন করা যায়। এ পদ্ধতিতে ছক কাগজে আনুভূমিক অক্ষ (x-অক্ষ) বরাবর সময় (t) এবং উল্লম্ব অক্ষ (y-অক্ষ) বরাবর দূরত্ব (s) স্থাপন করে সময়-দূরত্ব লেখচিত্র অঙ্কন করা যায়। এ ধরনের লেখচিত্র থেকে সহজে যে কোনো সময়ের \((t\ge{0})\) জন্য বস্তুকণার গতিপথের অবস্থান ও বেগ নির্ণয় করা যায়। অনুরূপভাবে, সময়-বেগ লেখচিত্র অংকনের মাধ্যমে যে কোনো সময়ের বস্তুকণার ত্বরণ নির্ণয় করা যায়।
সমবেগে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র
Diagram of a particle in uniform motion
\((a)\) \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে,
\(v=u+ft ......(1)\)
ত্বরণ শূন্য হলে, \((1)\) নং সমীকরণে \(f=0\) বসিয়ে,
\(v=u+0\)
\(\therefore v=u\)
সুতরাং ত্বরণ শূন্য হলে, আদিবেগ ও শেষবেগ সমান হয়।
অর্থাৎ \(v=u\) তখন সময়ের সাপেক্ষে বেগ ধ্রুবক থাকে।
\((b)\) সমবেগে চলমান বস্তুকণার গতির সমীকরণ থেকে,
\(s=vt\)
অর্থাৎ সময়-দূরত্ব লেখ একটি সরলরেখা যার ঢাল \(v\)।
সুষম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র
Diagram of a particle moving with uniform acceleration
\((a)\) \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে,
\(v=u+ft ......(1)\)
আদিবেগ \(u\) এবং সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে \(f\) ধ্রুবক হলে, \(v\) এর মান \(t\) এর মানের উপর নির্ভরশীল হয়। সুতরাং \(t\) স্বাধীন চলক \(v\) অধীন চলক।
\((1)\) নং সমীকরণ \(v=ft+u;\) ইহা \(y=mx+c\) আকার ধারণ করে, যা \(f\) ঢালবিশিষ্ট একটি সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) \(u=0\) হলে, \(v=ft\) এর লেখচিত্র হবে মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
\((c)\) \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করলে গতির সমীকরণ হবে
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2 ......(1)\)
আদিবেগ \(u\) এবং সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে \(f\) ধ্রুবক হলে, \(s\) এর মান \(t\) এর মানের উপর নির্ভরশীল হয়। সুতরাং \(t\) স্বাধীন চলক \(s\) অধীন চলক।
\((1)\) নং সমীকরণটি \(s=\frac{1}{2}ft^2+ut\) অর্থাৎ \(y=ax^2+bx\) আকার ধারণ করে যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আদিবেগ \(u=0\) হলে, সমীকরণটি হবে \(s=\frac{1}{2}ft^2\) যা মূলবিন্দুগামী একটি পরাবৃত্ত।
\((d)\) \(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে, গতির সমীকরণ হবে
\(v^2=u^2+2fs ......(1)\)
আদিবেগ \(u\) এবং সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে \(f\) ধ্রুবক হলে, \(v\) এর মান \(s\) এর মানের উপর নির্ভরশীল হয়। সুতরাং \(s\) স্বাধীন চলক \(v\) অধীন চলক।
\((1)\) নং সমীকরণটি \(v^2=u^2+2fs\) অর্থাৎ \(y^2=a+bx\) আকার ধারণ করে যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আদিবেগ \(u=0\) হলে, সমীকরণটি হবে \(v^2=2fs\) যা মূলবিন্দুগামী একটি পরাবৃত্ত।
অসম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র
Diagram of a particle moving with variable acceleration
কোনো গতিশীল কণা আদি অবস্থান থেকে \(f\) সুষম ত্বরণে \(t_{1}\) সময়ে দূরত্ব \(s_{1},\) শূন্য ত্বরণে \(t_{2}\) সময়ে \(s_{2}\) দূরত্ব এবং \(f\) সুষম মন্দনে \(t_{3}\) সময়ে \(s_{3}\) দূরত্ব পথ অতিক্রম করে বেগ শূন্য হলে বস্তুকণার লেখচিত্রঃ
লেখচিত্র হতে বস্তুকণার বেগ ও ত্বরণ নির্ণয়
Determine the velocity and acceleration of a particle from the graph
কোনো বস্তুকণার যে কোনো মুহূর্তের বেগ, সময়-দূরত্ব লেখচিত্র থেকে নির্ণয় করা যায়। বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢালকেই ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল হিসেবে বিবেচনা করা হয়। সময়-দূরত্ব লেখচিত্র থেকে \(t\) সাপেক্ষে \(s\) এর বৃদ্ধির হার \(\frac{ds}{dt}\) (যা বক্ররেখার ঢাল) দ্বারা নির্ণয় করা হয়।
যেহেতু \(v=\frac{ds}{dt}\) কাজেই কোনো বিশেষ মুহূর্তে সময়-দূরত্ব লেখচিত্রের ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ \(v\) পাওয়া যায়। চিত্রে সময়-দূরত্ব লেখচিত্রের \(P\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক \(BPA\) এর ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ পাওয়া যায়।
\(\therefore v=\frac{AC}{BC}\)
সময়-বেগ চিত্র থেকে ত্বরণ নির্ণয়
Determination of acceleration from time-velocity graph
সময়-বেগ লেখচিত্র থেকে বস্তুকণার যে কোনো মুহূর্তের ত্বরণ নির্ণয় করা যায়। বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢালকেই ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার ঢাল হিসেবে বিবেচনা করা হয়। সময়-বেগ লেখচিত্র থেকে \(t\) সাপেক্ষে \(v\) এর বৃদ্ধির হার \(\frac{dv}{dt}\) যা বক্ররেখার ঢাল দ্বারা সূচিত হয়।
যেহেতু \(f=\frac{dv}{dt}\) কাজেই কোনো বিশেষ মুহূর্তে সময়-বেগ লেখচিত্রের ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ \(f\) পাওয়া যায়। চিত্রে সময়-বেগ লেখচিত্র দেখানো হলো। লেখচিত্রে \(t\) সময়ে \(P\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক \(BPA\) এর ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের ত্বরণ নির্দেশ করে।
\(\therefore f=\frac{AC}{BC}\)
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী
Required formulas
\(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে, গতির সমীকরণ,
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
\(u\) আদিবেগে \(f\) সমমন্দনে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে, গতির সমীকরণ,
\(v=u-ft\)
\(s=ut-\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2-2fs\)
\(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে, \(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
সমত্বরণে অথবা সমমন্দনে চলমান \(u\) আদিবেগে একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে,
\(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
\(u\) আদিবেগে \(f\) সমমন্দনে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে, গতির সমীকরণ,
\(v=u-ft\)
\(s=ut-\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2-2fs\)
\(u\) আদিবেগে \(f\) সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে, \(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
সমত্বরণে অথবা সমমন্দনে চলমান \(u\) আদিবেগে একটি বস্তুকণা \(t\) সময়ে \(s\) দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হলে,
\(s=\left(\frac{u+v}{2}\right)t\)