কাজ ও সময়, বয়স, গ.সা.গু.-ল.সা.গু., ভগ্নাংশ, দশমিক ও মিশ্রণ — Bank Job
কাজ ও সময়, বয়স, গ.সা.গু.-ল.সা.গু., ভগ্নাংশ, দশমিক ও মিশ্রণ: গণিত, Bank Job পাঠ ও 174টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/4।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- কাজ ও সময়
- কাজের ঐকিক নিয়ম
- একদিনের কাজ ও কাজের হার
- একত্রে কাজ
- অসম্পূর্ণ বা অবশিষ্ট কাজ
- লোকসংখ্যা ও সময়ের সম্পর্ক
- বয়স
- গড় বয়স থেকে বয়স নির্ণয়
- পিতা-মাতা ও সন্তানের বয়স
- অতীত ও ভবিষ্যতের বয়স
- গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক
- মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে গ.সা.গু.
- ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে গ.সা.গু.
- লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক
- মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু.
- ভগ্নাংশ
- লব ও হর
- ভগ্নাংশের মৌলিক ধর্ম
- ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
- প্রকৃত, অপ্রকৃত ও মিশ্র ভগ্নাংশ
- একক ও মৌলিক ভগ্নাংশ
- সমহর ও অসমহর ভগ্নাংশ
- ভগ্নাংশের তুলনা
- বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ
- দশমিক ভগ্নাংশ
- সসীম দশমিক
- আবৃত দশমিক
- দশমিক ও সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর
- মিশ্রণ
- মিশ্রণের অনুপাত
- নতুন উপাদান যোগের সমস্যা
কাজ ও সময়
Work and Time
কাজ ও সময়ের অঙ্কে মূল ধারণা হলো কোনো ব্যক্তি বা দল একটি নির্দিষ্ট সময়ে মোট কাজের কত অংশ সম্পন্ন করতে পারে।
একজন শ্রমিক বেশি সময় পেলে বেশি কাজ করতে পারে এবং একই কাজ সম্পন্ন করার জন্য শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে প্রয়োজনীয় সময় সাধারণত কমে যায়।
এই অধ্যায়ের অধিকাংশ সমস্যা একদিনের কাজ, সম্মিলিত কাজ, অবশিষ্ট কাজ এবং লোকসংখ্যা-সময়ের সম্পর্কের ওপর নির্ভরশীল।
একজন শ্রমিক বেশি সময় পেলে বেশি কাজ করতে পারে এবং একই কাজ সম্পন্ন করার জন্য শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে প্রয়োজনীয় সময় সাধারণত কমে যায়।
এই অধ্যায়ের অধিকাংশ সমস্যা একদিনের কাজ, সম্মিলিত কাজ, অবশিষ্ট কাজ এবং লোকসংখ্যা-সময়ের সম্পর্কের ওপর নির্ভরশীল।
কাজের ঐকিক নিয়ম
Unitary Method in Work Problems
একটি নির্দিষ্ট কাজ সম্পন্ন করতে কতজন মানুষ কতদিন সময় নেয় তা জানা থাকলে ঐকিক নিয়ম ব্যবহার করে অন্য লোকসংখ্যার প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করা যায়।
একই কাজের ক্ষেত্রে শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে সময় কমে এবং শ্রমিকের সংখ্যা কমলে সময় বাড়ে। তাই লোকসংখ্যা ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক কাজ করে।
কাজের প্রকৃতি, শ্রমিকদের দক্ষতা এবং দৈনিক কর্মঘণ্টা অপরিবর্তিত আছে— এমনটি ধরে সাধারণত এই ধরনের সমস্যা সমাধান করা হয়।
একই কাজের ক্ষেত্রে শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে সময় কমে এবং শ্রমিকের সংখ্যা কমলে সময় বাড়ে। তাই লোকসংখ্যা ও সময়ের মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক কাজ করে।
কাজের প্রকৃতি, শ্রমিকদের দক্ষতা এবং দৈনিক কর্মঘণ্টা অপরিবর্তিত আছে— এমনটি ধরে সাধারণত এই ধরনের সমস্যা সমাধান করা হয়।
একদিনের কাজ ও কাজের হার
One-day Work and Work Rate
কোনো ব্যক্তি সম্পূর্ণ একটি কাজ \(n\) দিনে শেষ করতে পারলে তার একদিনের কাজ মোট কাজের \(\frac{1}{n}\) অংশ হিসেবে ধরা হয়।
যেমন একজন ব্যক্তি \(10\) দিনে একটি কাজ শেষ করলে প্রতিদিন সে মোট কাজের \(\frac{1}{10}\) অংশ সম্পন্ন করে।
এই একদিনের কাজকেই কাজের হার হিসেবে ব্যবহার করা যায়। কম সময়ে কাজ শেষ করতে পারা ব্যক্তি বেশি কর্মক্ষম এবং তার একদিনের কাজের পরিমাণও বেশি।
যেমন একজন ব্যক্তি \(10\) দিনে একটি কাজ শেষ করলে প্রতিদিন সে মোট কাজের \(\frac{1}{10}\) অংশ সম্পন্ন করে।
এই একদিনের কাজকেই কাজের হার হিসেবে ব্যবহার করা যায়। কম সময়ে কাজ শেষ করতে পারা ব্যক্তি বেশি কর্মক্ষম এবং তার একদিনের কাজের পরিমাণও বেশি।
একত্রে কাজ
Combined Work
একাধিক ব্যক্তি একসঙ্গে কাজ করলে প্রত্যেকের একদিনের কাজ যোগ করে সম্মিলিত একদিনের কাজ নির্ণয় করা হয়।
যেমন তিন ব্যক্তি আলাদাভাবে যথাক্রমে \(6\), \(10\) ও \(15\) দিনে কাজটি শেষ করতে পারলে তাদের সম্মিলিত একদিনের কাজ হবে \(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\) অংশ।
সম্মিলিত একদিনের কাজ জানা গেলে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে কতদিন লাগবে তা নির্ণয় করতে ওই কাজের হারের বিপরীত ধারণা ব্যবহার করা হয়।
যেমন তিন ব্যক্তি আলাদাভাবে যথাক্রমে \(6\), \(10\) ও \(15\) দিনে কাজটি শেষ করতে পারলে তাদের সম্মিলিত একদিনের কাজ হবে \(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\) অংশ।
সম্মিলিত একদিনের কাজ জানা গেলে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে কতদিন লাগবে তা নির্ণয় করতে ওই কাজের হারের বিপরীত ধারণা ব্যবহার করা হয়।
অসম্পূর্ণ বা অবশিষ্ট কাজ
Remaining Work
কোনো ব্যক্তি বা দল কিছুদিন কাজ করার পর চলে গেলে প্রথমে সম্পন্ন কাজের অংশ নির্ণয় করতে হয়। এরপর মোট কাজ থেকে সেই অংশ বাদ দিলে অবশিষ্ট কাজ পাওয়া যায়।
নতুন ব্যক্তি বা দল কতদিনে বাকি কাজ শেষ করবে তা নির্ণয়ের সময় তাদের নিজস্ব একদিনের কাজের হার ব্যবহার করতে হয়।
কেউ কাজ শুরু করে পরে অন্য কেউ যোগ দিলে যোগদানের আগের ও পরের সময়কে আলাদাভাবে বিবেচনা করা সুবিধাজনক।
নতুন ব্যক্তি বা দল কতদিনে বাকি কাজ শেষ করবে তা নির্ণয়ের সময় তাদের নিজস্ব একদিনের কাজের হার ব্যবহার করতে হয়।
কেউ কাজ শুরু করে পরে অন্য কেউ যোগ দিলে যোগদানের আগের ও পরের সময়কে আলাদাভাবে বিবেচনা করা সুবিধাজনক।
লোকসংখ্যা ও সময়ের সম্পর্ক
Men and Days
একই পরিমাণ কাজ এবং সমান দক্ষতার ক্ষেত্রে লোকসংখ্যা ও প্রয়োজনীয় সময় পরস্পরের বিপরীত অনুপাতে পরিবর্তিত হয়।
লোকসংখ্যা দ্বিগুণ হলে প্রয়োজনীয় সময় প্রায় অর্ধেক হয় এবং লোকসংখ্যা অর্ধেক হলে সময় প্রায় দ্বিগুণ হয়।
তবে এই নিয়ম ব্যবহারের সময় প্রতিদিনের কর্মঘণ্টা ও প্রত্যেক শ্রমিকের দক্ষতা একই আছে বলে ধরে নেওয়া হয়।
লোকসংখ্যা দ্বিগুণ হলে প্রয়োজনীয় সময় প্রায় অর্ধেক হয় এবং লোকসংখ্যা অর্ধেক হলে সময় প্রায় দ্বিগুণ হয়।
তবে এই নিয়ম ব্যবহারের সময় প্রতিদিনের কর্মঘণ্টা ও প্রত্যেক শ্রমিকের দক্ষতা একই আছে বলে ধরে নেওয়া হয়।
বয়স
Age Problems
বয়স-সংক্রান্ত সমস্যায় বর্তমান বয়সকে অজানা রাশি ধরে অতীত বা ভবিষ্যতের বয়স প্রকাশ করা হয়।
কোনো ব্যক্তির বর্তমান বয়স \(x\) বছর হলে \(n\) বছর আগে তার বয়স \(x-n\) বছর এবং \(n\) বছর পরে বয়স \(x+n\) বছর হিসেবে ধরা হয়।
বয়সের পার্থক্য সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত হয় না। অর্থাৎ দুই ব্যক্তির বয়সের ব্যবধান বর্তমানে যত, অতীত ও ভবিষ্যতেও সেই ব্যবধান একই থাকবে।
কোনো ব্যক্তির বর্তমান বয়স \(x\) বছর হলে \(n\) বছর আগে তার বয়স \(x-n\) বছর এবং \(n\) বছর পরে বয়স \(x+n\) বছর হিসেবে ধরা হয়।
বয়সের পার্থক্য সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত হয় না। অর্থাৎ দুই ব্যক্তির বয়সের ব্যবধান বর্তমানে যত, অতীত ও ভবিষ্যতেও সেই ব্যবধান একই থাকবে।
গড় বয়স থেকে বয়স নির্ণয়
Age from Average
একাধিক ব্যক্তির গড় বয়স জানা থাকলে মোট বয়স নির্ণয়ের জন্য গড় বয়সকে মোট ব্যক্তির সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হয়।
পরিবারে নতুন সদস্য যোগ হলে বা কোনো সদস্য বাদ গেলে মোট বয়সের পরিমাণ পরিবর্তন হয়। নতুন গড় নির্ণয়ের সময় পরিবর্তিত মোট বয়স ও নতুন সদস্যসংখ্যা বিবেচনা করতে হয়।
একটি নির্দিষ্ট সময় পরে পরিবারের প্রত্যেক সদস্যের বয়স সমান সংখ্যক বছর বৃদ্ধি পায়। তাই সদস্যসংখ্যা অপরিবর্তিত থাকলে \(n\) বছর পরে গড় বয়সও \(n\) বছর বৃদ্ধি পায়।
পরিবারে নতুন সদস্য যোগ হলে বা কোনো সদস্য বাদ গেলে মোট বয়সের পরিমাণ পরিবর্তন হয়। নতুন গড় নির্ণয়ের সময় পরিবর্তিত মোট বয়স ও নতুন সদস্যসংখ্যা বিবেচনা করতে হয়।
একটি নির্দিষ্ট সময় পরে পরিবারের প্রত্যেক সদস্যের বয়স সমান সংখ্যক বছর বৃদ্ধি পায়। তাই সদস্যসংখ্যা অপরিবর্তিত থাকলে \(n\) বছর পরে গড় বয়সও \(n\) বছর বৃদ্ধি পায়।
পিতা-মাতা ও সন্তানের বয়স
Parent and Child Age Relations
পিতা, মাতা ও সন্তানের বয়সসংক্রান্ত সমস্যায় প্রায়ই বয়সের গড় অথবা বয়সের অনুপাত দেওয়া থাকে।
পিতা-মাতা ও সন্তানদের মোট বয়সের গড় জানা থাকলে সদস্যসংখ্যা দিয়ে গুণ করে পরিবারের মোট বয়স বের করা যায়। এরপর পরিচিত সদস্যদের বয়স বাদ দিয়ে অজানা ব্যক্তির বয়স নির্ণয় করা সম্ভব।
যদি পিতা ও সন্তানদের গড় বয়স মাতা ও সন্তানদের গড় বয়সের তুলনায় নির্দিষ্ট পরিমাণ বেশি বা কম হয়, তবে উভয় মোট বয়সের পার্থক্য ব্যবহার করে পিতা ও মাতার বয়সের সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।
পিতা-মাতা ও সন্তানদের মোট বয়সের গড় জানা থাকলে সদস্যসংখ্যা দিয়ে গুণ করে পরিবারের মোট বয়স বের করা যায়। এরপর পরিচিত সদস্যদের বয়স বাদ দিয়ে অজানা ব্যক্তির বয়স নির্ণয় করা সম্ভব।
যদি পিতা ও সন্তানদের গড় বয়স মাতা ও সন্তানদের গড় বয়সের তুলনায় নির্দিষ্ট পরিমাণ বেশি বা কম হয়, তবে উভয় মোট বয়সের পার্থক্য ব্যবহার করে পিতা ও মাতার বয়সের সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।
অতীত ও ভবিষ্যতের বয়স
Past and Future Ages
বর্তমান বয়সকে \(x\) ধরে অতীতের বয়স বের করতে নির্দিষ্ট বছর বিয়োগ এবং ভবিষ্যতের বয়স বের করতে নির্দিষ্ট বছর যোগ করা হয়।
যেমন বর্তমানে কারও বয়স \(x\) হলে \(5\) বছর আগে বয়স \(x-5\) এবং \(5\) বছর পরে বয়স \(x+5\)।
বয়সের গুণিতক-সংক্রান্ত প্রশ্নে অতীত বা ভবিষ্যতের বয়সকে সংশ্লিষ্ট শর্ত অনুযায়ী সমীকরণে প্রকাশ করে বর্তমান বয়স নির্ণয় করা যায়।
যেমন বর্তমানে কারও বয়স \(x\) হলে \(5\) বছর আগে বয়স \(x-5\) এবং \(5\) বছর পরে বয়স \(x+5\)।
বয়সের গুণিতক-সংক্রান্ত প্রশ্নে অতীত বা ভবিষ্যতের বয়সকে সংশ্লিষ্ট শর্ত অনুযায়ী সমীকরণে প্রকাশ করে বর্তমান বয়স নির্ণয় করা যায়।
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক
Highest Common Factor
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. বলা হয়।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য প্রধানত মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ এবং ধারাবাহিক ভাগ বা ইউক্লিডীয় পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য প্রধানত মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ এবং ধারাবাহিক ভাগ বা ইউক্লিডীয় পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।
মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে গ.সা.গু.
HCF by Prime Factorization
প্রথমে প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকের গুণফল আকারে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যেসব মৌলিক উৎপাদক সব সংখ্যার মধ্যেই সাধারণভাবে উপস্থিত থাকে, সেগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিয়ে গুণ করলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
যেমন দুটি সংখ্যার মধ্যে সাধারণ মৌলিক উৎপাদক \(2\) ও \(3\) থাকলে প্রয়োজন অনুযায়ী তাদের সাধারণ অংশের গুণফল থেকে গ.সা.গু. নির্ণয় করা যায়।
যেসব মৌলিক উৎপাদক সব সংখ্যার মধ্যেই সাধারণভাবে উপস্থিত থাকে, সেগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিয়ে গুণ করলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
যেমন দুটি সংখ্যার মধ্যে সাধারণ মৌলিক উৎপাদক \(2\) ও \(3\) থাকলে প্রয়োজন অনুযায়ী তাদের সাধারণ অংশের গুণফল থেকে গ.সা.গু. নির্ণয় করা যায়।
ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে গ.সা.গু.
HCF by Division Method
দুটি সংখ্যার মধ্যে বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়। এরপর প্রাপ্ত ভাগশেষ দিয়ে আগের ভাজককে ভাগ করা হয়।
এই প্রক্রিয়া ধারাবাহিকভাবে চালিয়ে যেতে হয় যতক্ষণ না ভাগশেষ শূন্য হয়। সর্বশেষ অশূন্য ভাগশেষ বা শেষ ভাজকই সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু.।
এই প্রক্রিয়া ধারাবাহিকভাবে চালিয়ে যেতে হয় যতক্ষণ না ভাগশেষ শূন্য হয়। সর্বশেষ অশূন্য ভাগশেষ বা শেষ ভাজকই সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু.।
লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক
Lowest Common Multiple
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. বলা হয়।
কোনো ঘটনা নির্দিষ্ট বিরতিতে বারবার ঘটলে সেগুলো আবার একসঙ্গে কখন ঘটবে— এ ধরনের সমস্যায় ল.সা.গু. বিশেষভাবে ব্যবহৃত হয়।
কোনো ঘটনা নির্দিষ্ট বিরতিতে বারবার ঘটলে সেগুলো আবার একসঙ্গে কখন ঘটবে— এ ধরনের সমস্যায় ল.সা.গু. বিশেষভাবে ব্যবহৃত হয়।
মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে ল.সা.গু.
LCM by Prime Factorization
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর সব ভিন্ন মৌলিক উৎপাদক নির্বাচন করা হয়।
প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের যে সর্বোচ্চ ঘাত কোনো একটি সংখ্যায় উপস্থিত থাকে, ল.সা.গু. নির্ণয়ের সময় সেই সর্বোচ্চ ঘাত নেওয়া হয়।
তারপর নির্বাচিত উৎপাদকগুলো গুণ করলে ল.সা.গু. পাওয়া যায়।
প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের যে সর্বোচ্চ ঘাত কোনো একটি সংখ্যায় উপস্থিত থাকে, ল.সা.গু. নির্ণয়ের সময় সেই সর্বোচ্চ ঘাত নেওয়া হয়।
তারপর নির্বাচিত উৎপাদকগুলো গুণ করলে ল.সা.গু. পাওয়া যায়।
ভগ্নাংশ
Fraction
একটি পূর্ণ সংখ্যাকে সমান কয়েকটি অংশে ভাগ করলে সেই অংশগুলোর এক বা একাধিক অংশ প্রকাশ করতে ভগ্নাংশ ব্যবহৃত হয়।
সাধারণভাবে \(\frac{a}{b}\) আকারে একটি ভগ্নাংশ লেখা হয়, যেখানে \(b\) শূন্য নয়।
ভগ্নাংশ একটি পূর্ণ বস্তুর অংশ, পরিমাপের অংশ, অনুপাত অথবা ভাগের ফল প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হতে পারে।
সাধারণভাবে \(\frac{a}{b}\) আকারে একটি ভগ্নাংশ লেখা হয়, যেখানে \(b\) শূন্য নয়।
ভগ্নাংশ একটি পূর্ণ বস্তুর অংশ, পরিমাপের অংশ, অনুপাত অথবা ভাগের ফল প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হতে পারে।
লব ও হর
Numerator and Denominator
ভগ্নাংশের উপরের সংখ্যাকে লব বা Numerator এবং নিচের সংখ্যাকে হর বা Denominator বলা হয়।
\(\frac{a}{b}\) ভগ্নাংশে \(a\) লব এবং \(b\) হর। হর নির্দেশ করে পূর্ণ বস্তুটি মোট কত সমান অংশে বিভক্ত এবং লব নির্দেশ করে সেই অংশগুলোর কতটি নেওয়া হয়েছে।
\(\frac{a}{b}\) ভগ্নাংশে \(a\) লব এবং \(b\) হর। হর নির্দেশ করে পূর্ণ বস্তুটি মোট কত সমান অংশে বিভক্ত এবং লব নির্দেশ করে সেই অংশগুলোর কতটি নেওয়া হয়েছে।
ভগ্নাংশের মৌলিক ধর্ম
Basic Properties of Fraction
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মান অপরিবর্তিত থাকে।
এই ধর্ম ব্যবহার করে ভগ্নাংশকে সরল করা, সমহর করা এবং তুলনা করা যায়।
কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হতে পারে না। কারণ শূন্য দ্বারা ভাগ সংজ্ঞায়িত নয়।
কোনো শূন্য ব্যতীত ভগ্নাংশকে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল \(1\) হয়।
এই ধর্ম ব্যবহার করে ভগ্নাংশকে সরল করা, সমহর করা এবং তুলনা করা যায়।
কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হতে পারে না। কারণ শূন্য দ্বারা ভাগ সংজ্ঞায়িত নয়।
কোনো শূন্য ব্যতীত ভগ্নাংশকে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল \(1\) হয়।
ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
Types of Fraction
ভগ্নাংশকে লব ও হরের সম্পর্ক এবং গঠন অনুসারে বিভিন্ন ভাগে শ্রেণিবদ্ধ করা যায়। গুরুত্বপূর্ণ প্রকারগুলো হলো প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, মিশ্র ভগ্নাংশ, সমহর ভগ্নাংশ এবং অসমহর ভগ্নাংশ।
এছাড়া লব \(1\) হলে তাকে একক ভগ্নাংশ হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
এছাড়া লব \(1\) হলে তাকে একক ভগ্নাংশ হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
প্রকৃত, অপ্রকৃত ও মিশ্র ভগ্নাংশ
Proper, Improper and Mixed Fraction
যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{2}{5}\), \(\frac{3}{7}\)।
যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে বড় বা সমান তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{7}{5}\), \(\frac{9}{4}\)।
একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একত্রে থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(2\frac{1}{3}\)।
মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে এবং অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।
যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে বড় বা সমান তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{7}{5}\), \(\frac{9}{4}\)।
একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একত্রে থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(2\frac{1}{3}\)।
মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে এবং অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।
একক ও মৌলিক ভগ্নাংশ
Unit and Simple Fractions
যে ভগ্নাংশের লব \(1\), তাকে একক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{5}\), \(\frac{1}{9}\)।
একক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হর যত বড় হয় ভগ্নাংশের মান তত ছোট হয়। তাই \(\frac{1}{3}\) এর মান \(\frac{1}{7}\)-এর চেয়ে বড়।
একক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হর যত বড় হয় ভগ্নাংশের মান তত ছোট হয়। তাই \(\frac{1}{3}\) এর মান \(\frac{1}{7}\)-এর চেয়ে বড়।
সমহর ও অসমহর ভগ্নাংশ
Like and Unlike Fractions
যেসব ভগ্নাংশের হর একই, তাদের সমহর ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{5}{7}\)।
যেসব ভগ্নাংশের হর ভিন্ন, তাদের অসমহর ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{5}\), \(\frac{7}{9}\)।
অসমহর ভগ্নাংশ যোগ, বিয়োগ বা তুলনা করার আগে সাধারণত ল.সা.গু. ব্যবহার করে সমহরে রূপান্তর করা সুবিধাজনক।
যেসব ভগ্নাংশের হর ভিন্ন, তাদের অসমহর ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{5}\), \(\frac{7}{9}\)।
অসমহর ভগ্নাংশ যোগ, বিয়োগ বা তুলনা করার আগে সাধারণত ল.সা.গু. ব্যবহার করে সমহরে রূপান্তর করা সুবিধাজনক।
ভগ্নাংশের তুলনা
Comparison of Fractions
সমহর ভগ্নাংশে যে ভগ্নাংশের লব বড়, সেই ভগ্নাংশের মান বড়।
সমান লববিশিষ্ট প্রকৃত ভগ্নাংশে যে ভগ্নাংশের হর ছোট, তার মান বড়।
অসমহর ও অসমান লববিশিষ্ট ভগ্নাংশ তুলনা করতে সমহরে রূপান্তর, আড়াআড়ি গুণ অথবা দশমিক মান ব্যবহার করা যায়।
সমান লববিশিষ্ট প্রকৃত ভগ্নাংশে যে ভগ্নাংশের হর ছোট, তার মান বড়।
অসমহর ও অসমান লববিশিষ্ট ভগ্নাংশ তুলনা করতে সমহরে রূপান্তর, আড়াআড়ি গুণ অথবা দশমিক মান ব্যবহার করা যায়।
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ
Largest and Smallest Fraction
একাধিক ভগ্নাংশের মধ্যে বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম নির্ণয়ের সহজ পদ্ধতি ভগ্নাংশগুলোর প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে।
সব ভগ্নাংশের হর সমান হলে সবচেয়ে বড় লবযুক্ত ভগ্নাংশ বৃহত্তম এবং সবচেয়ে ছোট লবযুক্ত ভগ্নাংশ ক্ষুদ্রতম।
সব ভগ্নাংশের লব সমান হলে সবচেয়ে ছোট হরযুক্ত ভগ্নাংশ বৃহত্তম এবং সবচেয়ে বড় হরযুক্ত ভগ্নাংশ ক্ষুদ্রতম।
লব ও হর উভয়ই ভিন্ন হলে ভগ্নাংশগুলোকে সমহর করা অথবা দশমিক মানে রূপান্তর করে তুলনা করা যায়।
দুটি ভগ্নাংশ দ্রুত তুলনা করতে আড়াআড়ি গুণও কার্যকর। \(\frac{a}{b}\) ও \(\frac{c}{d}\) তুলনা করতে \(ad\) এবং \(bc\)-এর মান তুলনা করা যায়।
সব ভগ্নাংশের হর সমান হলে সবচেয়ে বড় লবযুক্ত ভগ্নাংশ বৃহত্তম এবং সবচেয়ে ছোট লবযুক্ত ভগ্নাংশ ক্ষুদ্রতম।
সব ভগ্নাংশের লব সমান হলে সবচেয়ে ছোট হরযুক্ত ভগ্নাংশ বৃহত্তম এবং সবচেয়ে বড় হরযুক্ত ভগ্নাংশ ক্ষুদ্রতম।
লব ও হর উভয়ই ভিন্ন হলে ভগ্নাংশগুলোকে সমহর করা অথবা দশমিক মানে রূপান্তর করে তুলনা করা যায়।
দুটি ভগ্নাংশ দ্রুত তুলনা করতে আড়াআড়ি গুণও কার্যকর। \(\frac{a}{b}\) ও \(\frac{c}{d}\) তুলনা করতে \(ad\) এবং \(bc\)-এর মান তুলনা করা যায়।
দশমিক ভগ্নাংশ
Decimal Fraction
যে ভগ্নাংশের হর \(10\), \(100\), \(1000\) অথবা \(10\)-এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণঘাত, তাকে দশমিক আকারে সহজে প্রকাশ করা যায়।
দশমিক বিন্দুর ডান পাশের প্রথম ঘর দশমাংশ, দ্বিতীয় ঘর শতকাংশ, তৃতীয় ঘর সহস্রাংশ নির্দেশ করে।
যেমন \(0.3\) তিন দশমাংশ এবং \(0.25\) পঁচিশ শতকাংশ প্রকাশ করে।
দশমিক বিন্দুর ডান পাশের প্রথম ঘর দশমাংশ, দ্বিতীয় ঘর শতকাংশ, তৃতীয় ঘর সহস্রাংশ নির্দেশ করে।
যেমন \(0.3\) তিন দশমাংশ এবং \(0.25\) পঁচিশ শতকাংশ প্রকাশ করে।
সসীম দশমিক
Terminating Decimal
যে দশমিক ভগ্নাংশের অঙ্ক নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘরের পর শেষ হয়ে যায় তাকে সসীম দশমিক বলা হয়।
যেমন \(0.5\), \(0.25\), \(0.375\) ইত্যাদি সসীম দশমিকের উদাহরণ।
যেমন \(0.5\), \(0.25\), \(0.375\) ইত্যাদি সসীম দশমিকের উদাহরণ।
আবৃত দশমিক
Recurring Decimal
যে দশমিক ভগ্নাংশে দশমিকের পর একটি বা একাধিক অঙ্ক নির্দিষ্ট ক্রমে বারবার পুনরাবৃত্ত হয় তাকে আবৃত দশমিক বলা হয়।
পুনরাবৃত্ত অংশকে আবৃত অংশ বলা হয়। লিখিত রূপে আবৃত অঙ্কের ওপর চিহ্ন ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি নির্দেশ করা যায়।
একটি অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হতে পারে, আবার একাধিক অঙ্কের একটি দলও পুনরাবৃত্ত হতে পারে।
পুনরাবৃত্ত অংশকে আবৃত অংশ বলা হয়। লিখিত রূপে আবৃত অঙ্কের ওপর চিহ্ন ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি নির্দেশ করা যায়।
একটি অঙ্ক পুনরাবৃত্ত হতে পারে, আবার একাধিক অঙ্কের একটি দলও পুনরাবৃত্ত হতে পারে।
দশমিক ও সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর
Conversion between Decimal and Fraction
সসীম দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরের সময় দশমিকের পর যতটি অঙ্ক থাকে, হরে \(1\)-এর পরে ততটি শূন্য বসানো যায়। এরপর প্রয়োজন হলে ভগ্নাংশকে সরল করা হয়।
যেমন \(0.25\) কে শতকাংশ হিসেবে বিবেচনা করে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।
সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তরের জন্য লবকে হর দ্বারা ভাগ করা হয়।
যেমন \(0.25\) কে শতকাংশ হিসেবে বিবেচনা করে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।
সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তরের জন্য লবকে হর দ্বারা ভাগ করা হয়।
মিশ্রণ
Mixture
দুই বা ততোধিক ভিন্ন উপাদান নির্দিষ্ট পরিমাণে একত্রে মেশালে যে নতুন সমষ্টি তৈরি হয় তাকে মিশ্রণ বলা হয়।
মিশ্রণের প্রতিটি পৃথক পদার্থকে মিশ্রণের উপাদান বলা হয়।
দুধ-পানি, কেরোসিন-পেট্রোল, এসিড-পানি, সোনা-তামা ইত্যাদি মিশ্রণসংক্রান্ত অঙ্কে উপাদানগুলোর পরিমাণ ও অনুপাত ব্যবহার করা হয়।
মিশ্রণের প্রতিটি পৃথক পদার্থকে মিশ্রণের উপাদান বলা হয়।
দুধ-পানি, কেরোসিন-পেট্রোল, এসিড-পানি, সোনা-তামা ইত্যাদি মিশ্রণসংক্রান্ত অঙ্কে উপাদানগুলোর পরিমাণ ও অনুপাত ব্যবহার করা হয়।
মিশ্রণের অনুপাত
Ratio in Mixture
কোনো মিশ্রণে দুটি উপাদানের অনুপাত \(a:b\) হলে মোট অংশ ধরা হয় \(a+b\)।
মোট মিশ্রণের পরিমাণ জানা থাকলে প্রথম উপাদানের পরিমাণ মোট মিশ্রণের \(\frac{a}{a+b}\) অংশ এবং দ্বিতীয় উপাদানের পরিমাণ \(\frac{b}{a+b}\) অংশ হিসেবে নির্ণয় করা যায়।
একটি উপাদানের পরিমাণ জানা থাকলে অনুপাত ব্যবহার করে অন্য উপাদানের পরিমাণও নির্ণয় করা যায়।
মোট মিশ্রণের পরিমাণ জানা থাকলে প্রথম উপাদানের পরিমাণ মোট মিশ্রণের \(\frac{a}{a+b}\) অংশ এবং দ্বিতীয় উপাদানের পরিমাণ \(\frac{b}{a+b}\) অংশ হিসেবে নির্ণয় করা যায়।
একটি উপাদানের পরিমাণ জানা থাকলে অনুপাত ব্যবহার করে অন্য উপাদানের পরিমাণও নির্ণয় করা যায়।
নতুন উপাদান যোগের সমস্যা
Adding a Component to a Mixture
একটি মিশ্রণে নতুন করে কোনো একটি উপাদান যোগ করলে অন্য উপাদানের প্রকৃত পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু মোট মিশ্রণের পরিমাণ এবং উপাদানগুলোর অনুপাত পরিবর্তিত হয়।
তাই প্রথমে পুরোনো মিশ্রণে প্রতিটি উপাদানের প্রকৃত পরিমাণ নির্ণয় করা সুবিধাজনক। এরপর নতুন উপাদানের পরিমাণ যোগ করে নতুন অনুপাতের শর্ত প্রয়োগ করা হয়।
যেমন কোনো মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত জানা থাকলে প্রথমে মোট পরিমাণ থেকে এসিড ও পানির পৃথক পরিমাণ বের করা যায়। পরে কেবল পানি যোগ করলে এসিডের পরিমাণ অপরিবর্তিত রেখে নতুন এসিড-পানির অনুপাত ব্যবহার করতে হয়।
একই পদ্ধতি দুধ-পানি, কেরোসিন-পেট্রোল, রং-মিশ্রণ ও ধাতুর সংকরসংক্রান্ত সমস্যায় প্রয়োগ করা যায়।
তাই প্রথমে পুরোনো মিশ্রণে প্রতিটি উপাদানের প্রকৃত পরিমাণ নির্ণয় করা সুবিধাজনক। এরপর নতুন উপাদানের পরিমাণ যোগ করে নতুন অনুপাতের শর্ত প্রয়োগ করা হয়।
যেমন কোনো মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত জানা থাকলে প্রথমে মোট পরিমাণ থেকে এসিড ও পানির পৃথক পরিমাণ বের করা যায়। পরে কেবল পানি যোগ করলে এসিডের পরিমাণ অপরিবর্তিত রেখে নতুন এসিড-পানির অনুপাত ব্যবহার করতে হয়।
একই পদ্ধতি দুধ-পানি, কেরোসিন-পেট্রোল, রং-মিশ্রণ ও ধাতুর সংকরসংক্রান্ত সমস্যায় প্রয়োগ করা যায়।
- ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে। খ একা কাজটি ১৪ দিনে শেষ করতে পারলে ক একা কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (১ম ধাপ-১)]
- ৩০
- ২৫
- ২৮
- ৩৫
- অপু, দীপু ও নিপু একটি কাজ যথাক্রমে ৬, ১০, ১৫ দিনে করতে পারে। একত্রে তারা কাজটি কতদিনে করতে পারবে? [প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৯ (৪র্থ ধাপ-৩)]
- ৩ দিন
- ১২ দিন
- ৯ দিন
- ৬ দিন
- ১৫ জনের কোন কাজের অর্ধেক করতে ২০ দিন লাগে, কত দিনে ২০ জন লোক পুরো কাজটি শেষ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৮ (সেট: ৯১৪২)]
- ৩০
- ৪০
- ২০
- ১৫
- ৬ জন স্ত্রীলোক অথবা ৪ জন বালক একটি কাজ ১২ দিনে শেষ করতে পারে। ৩ জন স্ত্রীলোক ও ১২ জন বালক ঐ কাজটি কতদিনে করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৬ (মুক্তিযোদ্ধা কোটা)]
- ৩ দিন
- ১২ দিন
- ৪ দিন
- ৬ দিন
- ৬০ জন লোক কোনো কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। উক্ত কাজ ৩৬ জন লোক কতদিনে সম্পন্ন করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৫ (১ম ধাপ)]
- ২৯ দিন
- ৩০ দিন
- ২৭ দিন
- ২৮ দিন
- ১৫ জনের কোন কাজের এক তৃতীয়াংশ করতে ২০ দিন লাগে, কত দিনে ২০ জন লোক পুরো কাজটি শেষ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৫ (৪র্থ ধাপ)]
- ৪৫
- ২০
- ১৫
- ৩০
- যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১৫ দিনে করতে পারে অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (ডেলটা)]
- \(8\frac38\) দিন
- \(11\frac18\) দিন
- ১০
- ১২
- ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (গামা)]
- ৩০ দিন
- ৩৫ দিন
- ৪০ দিন
- ২৫ দিন
- যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১৫ দিনে করতে পারে অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (গামা)]
- ১২ দিন
- ১০ দিন
- \(8\frac38\) দিন
- \(11\frac18\) দিন
- যদি কোনো একটি কাজ আলাদাভাবে সম্পন্ন করতে করিমের ৪৫ মি. এবং রহিমের ৩০ মি. সময় লাগে তবে উভয়ে একত্রে ঐ কাজটি সম্পন্ন করতে কত মি. সময় লাগবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (বিটা)]
- ১৮
- ১৬
- ১৫
- ২১
- ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে। খ একা কাজটি ১৪ দিনে শেষ করতে পারলে ক একা কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৪ (১ম ধাপ-১)]
- ৩০
- ২৫
- ২৮
- ৩৫
- ২৫ জন শ্রমিক একটি কাজ ১৪ দিনে শেষ করতে পারে। ১০ দিনে কাজটি শেষ করতে হলে নতুন কতজন শ্রমিক লাগবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১১ (বৃন্দাবন)]
- ৮ জন
- ১০ জন
- ১২ জন
- ১৫ জন
- ক ও খ একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে শেষ করতে পারে। ক একা ১২ দিনে কাজটি শেষ করতে পারে। খ একা কাজটির শেষ অংশটি শেষ করতে পারবে কতদিনে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (সুবর্ণা)]
- ১৮ দিন
- ২২ দিন
- ২৪ দিন
- ২৬ দিন
- ৫৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ২১ দিনে শেষ করতে পারে। ১৪ দিনে কাজটি শেষ করতে হলে নতুন কতজন শ্রমিক লাগবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (হোয়াহো)]
- ২৮ জন
- ২৬ জন
- ২৮ জন
- ৩০ জন
- দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (কস্তুরী)]
- ২৪ দিন
- ২২ দিন
- ২০ দিন
- ১৮ দিন
- ৬০ জন লোক কোন কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। উক্ত কাজ ৩৬ জন লোক কতদিনে সম্পন্ন করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (কস্তুরী)]
- ১৮ দিন
- ৩০ দিন
- ৩৬ দিন
- ৯৮ দিন
- দুই ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (দামিনীয়া)]
- ২০ দিন
- ২২ দিন
- ২৪ দিন
- ২৬ দিন
- তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ঘণ্টায় করতে পারে। প্রথম দুইটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় একত্রে কাজ করে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (দামিনীয়া)]
- \(\frac{11}{30}\)
- \(\frac9{20}\)
- \(\frac35\)
- \(\frac{11}{25}\)
- ৬০ জন লোক কোন কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। উক্ত কাজ ৩৬ জন লোক কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (দামিনীয়া)]
- ২৪ দিন
- ২৮ দিন
- ৩০ দিন
- ৩৬ দিন
- একটি কাজ ক একা ১০ দিনে এবং খ একা ১৫ দিনে শেষ করতে পারলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে? [প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ-২০১৩ (দার্জ্জা)]
- ৬ দিনে
- ৮ দিনে
- ১০ দিনে
- ১২ দিনে
- পিতার বয়স পুত্রের দ্বিগুণের চেয়ে ২ বছর বেশি। পিতার বয়স ৬২ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ৩০ বছর
- ২৫ বছর
- ৪০ বছর
- ৩৫ বছর
- পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
- ৩৬ বছর, ১২ বছর
- ৪৮ বছর, ১৬ বছর
- ২৪ বছর, ৮ বছর
- ৪৬ বছর, ১৫ বছর
- ৩ ভাইয়ের বয়সের গড় ১৬ বছর। তাদের বাবাসহ চারজনের বয়সের গড় ২৫ বছর হলে বাবার বয়স কত?
- ৫২ বছর
- ৪১ বছর
- ৪৫ বছর
- ৪২ বছর
- পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭ : ২। ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৮ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?
- ৩২ বছর, ৮ বছর
- ৩৫ বছর, ১০ বছর
- ৩৫ বছর, ১২ বছর
- ৩৬ বছর, ১০ বছর
- পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর। যখন পুত্রের বয়স পিতার বর্তমান বয়সের সমান হবে, তখন তাদের বয়সের সমষ্টি হবে ১০২ বছর। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
- ১৮ বছর
- ১২ বছর
- ১৬ বছর
- ১৪ বছর
- তিন ভাইয়ের বয়সের গড় ১৬ বছর। পিতাসহ তাদের চারজনের বয়সের গড় ২৫ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ৪৫ বছর
- ৪২ বছর
- ৫২ বছর
- ৪১ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ৯ বছর
- ১৪ বছর
- ১৫ বছর
- ১৮ বছর
- স্ত্রী স্বামীর চেয়ে ৫ বছরের ছোট এবং স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৪ বছর পরে ছেলের বয়স ১১ বছর হবে। বর্তমানে স্বামীর বয়স কত?
- ৪৫ বছর
- ৩৩ বছর
- ৫২ বছর
- ৪৮ বছর
- পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। মাতার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২০ বছর বেশি। পিতা ও মাতার গড় বয়স কত?
- ৬০ বছর
- ৪০ বছর
- ৩০ বছর
- ২০ বছর
- পাঁচ সন্তানের বয়সের গড় ৭ বছর। পিতাসহ তাদের ছয়জনের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ৪৩ বছর
- ৩৩ বছর
- ৫৩ বছর
- ৬৩ বছর
- আব্দুল করিম আব্দুর রহিমের চেয়ে ৩ বছরের ছোট। আফজালের বয়স আব্দুল করিমের বয়সের চেয়ে ২ বছর কম। মুমিনের বয়স যখন ৫ বছর, তখন আব্দুল করিম জন্মেছে। তাদের মধ্যে জ্যেষ্ঠতমের বয়স ৫২ বছর হলে আফজালের বয়স কত?
- ৫৪ বছর
- ৪৫ বছর
- ৫০ বছর
- ৪৩ বছর
- পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
- ৫৬ বছর ও ১৪ বছর
- ৩৬ বছর ও ৯ বছর
- ৩২ বছর ও ৮ বছর
- ৪০ বছর ও ১০ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪২ বছর। পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩২ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ৮ বছর
- ১০ বছর
- ১২ বছর
- ১৪ বছর
- পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স ২০ বছর। ২ বছর আগে দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর ছিল। পিতার বর্তমান বয়স কত?
- ২৬ বছর
- ২৮ বছর
- ৩০ বছর
- ৩২ বছর
- পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স ২৪ বছর। ৩ বছর আগে দুই পুত্রের গড় বয়স ১৫ বছর ছিল। পিতার বর্তমান বয়স কত?
- ৩২ বছর
- ৩৩ বছর
- ৩৪ বছর
- ৩৬ বছর
- বর্তমানে পিতার বয়স ??ুত্রের বয়সের ৫ গুণ। ৩ বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ হবে। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
- ৪৫ বছর, ৯ বছর
- ২৫ বছর, ৫ বছর
- ৩৫ বছর, ৭ বছর
- ৫০ বছর, ১০ বছর
- দুই বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ ছিল। বাবা ও পুত্রের বয়সের পার্থক্য ২৬ বছর হলে বর্তমানে তাদের বয়সের অনুপাত কত?
- ১৫ : ২
- ১ : ৪
- ৩ : ৬
- কোনোটিই নয়
- পিতা ও তিন পুত্রের বয়সের গড়ের তুলনায় মাতা ও তিন পুত্রের বয়সের গড় ১ ১/২ বছর কম। মাতার বয়স ৩০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ৩০ বছর
- ৩২ ১/২ বছর
- ৩৬ বছর
- ৩৮ বছর
- ৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৫ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪৮ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৪ বছর হলে বালকের বয়স কত?
- ১৪ বছর
- ১৩ বছর
- ১৬ বছর
- ১৫ বছর
- ১০ বছর আগে করিমের বয়স রহিমের বয়সের দ্বিগুণ ছিল। বর্তমানে রহিম ও করিমের বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হলে তাদের বর্তমান মোট বয়স কত?
- ৩৫ বছর
- ২৩ বছর
- ২৮ বছর
- ৪৫ বছর
- পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ২০ বছর
- ৪০ বছর
- ৫০ বছর
- ৬০ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ২০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ১৬ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ৮ বছর
- ১৫ বছর
- ১৬ বছর
- ১৬ ১/২ বছর
- পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২০ বছর। ২ বছর পরে দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর হবে। পিতার বর্তমান বয়স কত?
- ৪০ বছর
- ৪২ বছর
- ৪৩ বছর
- ৪৪ বছর
- দুই সন্তানের বয়সের গড় ১০ বছর। মা-সহ তিনজনের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে মায়ের বয়স কত?
- ২৮ বছর
- ৩০ বছর
- ৩১ বছর
- ৩২ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩৬ বছর। পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের গড় ১৯ বছর হলে মেয়ের বয়স কত হবে?
- ১৪ বছর
- ১৫ বছর
- ১৬ বছর
- ১৮ বছর
- তিন সন্তানের বয়সের গড় ৬ বছর। পিতাসহ তাদের চারজনের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ৩২ বছর
- ৩৩ বছর
- ৩৪ বছর
- ৩৬ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ২৫ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ১৮ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ২ বছর
- ৪ বছর
- ৫ বছর
- ৬ বছর
- একটি শ্রেণিতে ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১২ বছর হলে শিক্ষকের বয়স কত?
- ৩২ বছর
- ৪২ বছর
- ৫২ বছর
- ৬২ বছর
- পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ২৪ বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
- ৮ বছর
- ১০ বছর
- ১১ বছর
- ১২ বছর
- পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর। ৩ বছর পরে দুই পুত্রের গড় বয়স ১৩ বছর হবে। পিতার বর্তমান বয়স কত?
- ৪৬ বছর
- ৪৯ বছর
- ৫১ বছর
- ৫৪ বছর