শতকরা, লাভ-ক্ষতি, সুদকষা, সেট, অসমতা — BCS Cadre

শতকরা বলতে প্রতি একশ অংশে নির্দিষ্ট অংশের পরিমাণ বোঝায়। কোনো সংখ্যার শতকরা বের করতে প্রথমে তার সম্পূর্ণ মানকে ভিত্তি হিসেবে নিতে হয়।
\[p\%\;\text{of}\;N=\frac{pN}{100}\]
কোনো পরিমাণ \(A\) একটি মোট পরিমাণ \(T\)-এর কত শতাংশ তা নির্ণয়ের সূত্র—
\[\text{শতকরা হার}=\frac{A}{T}\times100\%\]
উদাহরণ: \(240\) জনের মধ্যে \(78\) জন একটি অনুষ্ঠানে এলে উপস্থিতির হার—
\[\frac{78}{240}\times100\%=32.5\%\]
মনে রাখতে হবে, শতকরা মান \(100\%\)-এর বেশি হতে পারে। যেমন পূর্বের তুলনায় দ্বিগুণ মান \(200\%\) এবং তিনগুণ মান \(300\%\)।

একটি সংখ্যার কোনো নির্দিষ্ট শতাংশ জানা থাকলে বিপরীত অনুপাত ব্যবহার করে সম্পূর্ণ সংখ্যাটি নির্ণয় করা যায়।
\[\frac{p}{100}\times N=A\quad\Rightarrow\quad N=\frac{100A}{p}\]
উদাহরণ: কোনো সংখ্যার \(18\%\) হলো \(63\)। তাহলে—
\[N=\frac{63\times100}{18}=350\]
দুই ধাপে শতকরা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ধাপগুলো গুণ করতে হয়। যেমন কোনো পরিমাণের \(40\%\)-এর \(25\%\) হলো মোট পরিমাণের—
\[\frac{40}{100}\times\frac{25}{100}\times100\%=10\%\]
কোনো শতাংশকে আরেকটি শতাংশ দিয়ে গুণের আগে উভয়টিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে হবে।

পরিবর্তনের হার সর্বদা যে পরিমাণ থেকে পরিবর্তন শুরু হয়েছে, সেই পূর্বমূল্যের ভিত্তিতে হিসাব করতে হয়।
\[\text{বৃদ্ধির হার}=\frac{\text{নতুন মান}-\text{পুরোনো মান}}{\text{পুরোনো মান}}\times100\%\]
\[\text{হ্রাসের হার}=\frac{\text{পুরোনো মান}-\text{নতুন মান}}{\text{পুরোনো মান}}\times100\%\]
বৃদ্ধির পর নতুন মান \(N\) হলে মূল মান—
\[P=\frac{100N}{100+r}\]
হ্রাসের পর নতুন মান \(N\) হলে মূল মান—
\[P=\frac{100N}{100-r}\]
উদাহরণ: একটি পণ্যের নতুন দাম \(1380\) টাকা, যা পূর্বের দামের চেয়ে \(15\%\) বেশি। পূর্বমূল্য—
\[P=\frac{1380\times100}{115}=1200\;\text{টাকা}\]

একটি পরিমাণে পরপর দুইবার পরিবর্তন ঘটলে দ্বিতীয় পরিবর্তনের ভিত্তি প্রথম পরিবর্তনের পর প্রাপ্ত মান। ফলে হারগুলো সরাসরি যোগ করা সব সময় ঠিক নয়।
\[N=P\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1+\frac{b}{100}\right)\]
যেখানে \(a\) ও \(b\) ঋণাত্মক হলে তা হ্রাস নির্দেশ করে। মোট পরিবর্তনের শতাংশ—
\[a+b+\frac{ab}{100}\]
উদাহরণ: কোনো ফি প্রথমে \(12\%\) বাড়ল, পরে \(10\%\) কমল। মোট গুণক—
\[1.12\times0.90=1.008\]
অতএব মোট বৃদ্ধি \(0.8\%\)। একই হারে বৃদ্ধি ও হ্রাসের ক্ষেত্রে মূল অবস্থায় ফিরে আসে না; নিট পরিবর্তন ঋণাত্মক হয়।

কোনো পণ্যের একক দাম বাড়লেও মোট ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে চাইলে ব্যবহারের পরিমাণ কমাতে হয়।
দাম \(r\%\) বাড়লে ব্যবহারের প্রয়োজনীয় হ্রাস—
\[\frac{100r}{100+r}\%\]
দাম \(r\%\) কমলে আগের ব্যয় বজায় রাখতে ব্যবহার বাড়াতে হবে—
\[\frac{100r}{100-r}\%\]
উদাহরণ: চালের দাম \(20\%\) বেড়ে গেলে ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে চালের ব্যবহার কমাতে হবে—
\[\frac{100\times20}{120}\%=16\frac{2}{3}\%\]
এখানে দাম বৃদ্ধির শতাংশের সমান পরিমাণ ব্যবহার কমানো ঠিক নয়, কারণ নতুন দামের ভিত্তি আলাদা।

কোনো জনসমষ্টিতে একাধিক গোষ্ঠী থাকলে প্রতিটি গোষ্ঠীর সদস্যসংখ্যা ও তার নিজস্ব অংশগ্রহণের হার আলাদা করে গণনা করতে হয়।
\[\text{মোট অংশগ্রহণ}=\sum_i\frac{n_i p_i}{100}\]
\[\text{সামগ্রিক অংশগ্রহণের হার}=\frac{\sum_i n_i p_i}{100\sum_i n_i}\times100\%\]
উদাহরণ: \(80\) জন শিক্ষার্থীর একটি দলে \(30\) জনের মধ্যে \(40\%\) এবং বাকি \(50\) জনের মধ্যে \(60\%\) অংশ নিলে অংশগ্রহণকারী—
\[30\times0.40+50\times0.60=42\]
অতএব মোট অংশগ্রহণের হার—
\[\frac{42}{80}\times100\%=52.5\%\]

দুটি বিষয়, দুটি খেলা বা দুটি দক্ষতার ক্ষেত্রে একই ব্যক্তি উভয় দলে থাকতে পারে। তাই দুটি দলের সদস্যসংখ্যা সরাসরি যোগ করলে উভয় দলে থাকা ব্যক্তিদের দুবার গণনা হয়।
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]
\[n(\text{কোনোটিতেই নয়})=N-n(A\cup B)\]
শুধু প্রথম দলে সদস্যসংখ্যা \(n(A)-n(A\cap B)\) এবং শুধু দ্বিতীয় দলে \(n(B)-n(A\cap B)\)।
উদাহরণ: \(120\) জনের মধ্যে \(72\) জন গণিতে, \(68\) জন ইংরেজিতে এবং \(35\) জন উভয় বিষয়ে সফল।
\[n(A\cup B)=72+68-35=105\]
\[n(\text{কোনোটিতেই নয়})=120-105=15\]
পাশের সারণির পরিবর্তে এই সূত্র ব্যবহার করে তিন বা তার বেশি দলের সমস্যা সমাধানে Inclusion-Exclusion নীতি প্রসারিত করা যায়।

তিনটি সেটের ক্ষেত্রে প্রত্যেক যুগলের সাধারণ অংশ বাদ দেওয়া এবং তিন সেটের যৌথ অংশ একবার ফেরত যোগ করা প্রয়োজন।
\[\begin{aligned}n(A\cup B\cup C)={}&n(A)+n(B)+n(C)\\&-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)\\&+n(A\cap B\cap C)\end{aligned}\]
যখন প্রশ্নে কেউ একটিও শর্ত পূরণ করে না এমন সংখ্যা জানতে চাওয়া হয়, মোট সংখ্যা থেকে এই ইউনিয়নের সদস্যসংখ্যা বিয়োগ করতে হবে।
তিনটি সেটের সম্পর্ক বুঝতে ভেনচিত্র কার্যকর; প্রথমে সবচেয়ে ভেতরের তিন সেটের যৌথ অংশ, পরে কেবল দুটি সেটে থাকা অঞ্চল এবং শেষে কেবল একটি সেটে থাকা অঞ্চল পূরণ করলে ভুল কমে।

কোনো পণ্য কেনা বা উৎপাদনের প্রকৃত ব্যয়কে ক্রয়মূল্য (Cost Price, CP) এবং বিক্রি করে পাওয়া অর্থকে বিক্রয়মূল্য (Selling Price, SP) বলা হয়।
\[\text{লাভ}=SP-CP\qquad(SP\gt CP)\]
\[\text{ক্ষতি}=CP-SP\qquad(CP\gt SP)\]
\[\text{লাভের হার}=\frac{SP-CP}{CP}\times100\%\]
\[\text{ক্ষতির হার}=\frac{CP-SP}{CP}\times100\%\]
লাভ-ক্ষতির শতকরা সর্বদা ক্রয়মূল্যের ওপর নির্ণীত হয়, যদি না প্রশ্নে স্পষ্টভাবে বিক্রয়মূল্যের ওপর হার বলা থাকে।
উদাহরণ: কোনো যন্ত্র \(800\) টাকায় কিনে \(920\) টাকায় বিক্রি করলে—
\[\text{লাভের হার}=\frac{120}{800}\times100\%=15\%\]

বিক্রয়মূল্য এবং লাভ বা ক্ষতির হার জানা থাকলে মূল ক্রয়মূল্য বের করা যায়।
\[CP=\frac{100SP}{100+p}\quad\text{(লাভের ক্ষেত্রে)}\]
\[CP=\frac{100SP}{100-l}\quad\text{(ক্ষতির ক্ষেত্রে)}\]
বিপরীতে ক্রয়মূল্য ও হার জানা থাকলে—
\[SP=CP\left(1+\frac{p}{100}\right)\]
\[SP=CP\left(1-\frac{l}{100}\right)\]
উদাহরণ: \(16\%\) ক্ষতিতে একটি বস্তু \(1050\) টাকায় বিক্রি হলে—
\[CP=\frac{1050\times100}{84}=1250\;\text{টাকা}\]

একই পণ্যের ক্রয়মূল্য অপরিবর্তিত থাকলে দুটি ভিন্ন লাভ বা ক্ষতির হারের বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ব্যবহার করে ক্রয়মূল্য নির্ণয় করা যায়।
যদি একটি বিক্রয়ে \(p\%\) লাভ এবং অন্যটিতে \(l\%\) ক্ষতি হয়, তবে দুটি বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য—
\[D=CP\times\frac{p+l}{100}\]
\[CP=\frac{100D}{p+l}\]
উদাহরণ: এক বিক্রয়ে \(18\%\) লাভ এবং অন্য বিক্রয়ে \(7\%\) ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য \(250\) টাকা হলে—
\[CP=\frac{250\times100}{18+7}=1000\;\text{টাকা}\]
দুটি অবস্থাতেই লাভ হলে পার্থক্যে হারের বিয়োগফল নিতে হবে।

একই হারে কেনা ও বিক্রির সময় ক্রয় ও বিক্রয়ের একক সংখ্যা ভিন্ন হলে প্রথমে সমপরিমাণ পণ্যের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য তুলনা করতে হয়।
ধরা যাক \(a\) টাকায় \(m\)টি পণ্য কেনা এবং \(a\) টাকায় \(n\)টি পণ্য বিক্রি করা হয়। সেক্ষেত্রে প্রতি পণ্যের ক্রয়মূল্য \(\frac{a}{m}\), বিক্রয়মূল্য \(\frac{a}{n}\)।
\[\text{লাভ বা ক্ষতির হার}=\frac{m-n}{n}\times100\%\]
চিহ্ন ধনাত্মক হলে লাভ, ঋণাত্মক হলে ক্ষতি।
উদাহরণ: \(60\) টাকায় \(8\)টি কিনে একই \(60\) টাকায় \(6\)টি বিক্রি করলে—
\[\frac{8-6}{6}\times100\%=33\frac13\%\;\text{লাভ}\]

দুটি বা তার বেশি পণ্যের লেনদেনে মোট লাভ-ক্ষতি জানতে আলাদা আলাদা ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্য যোগ করতে হয়। আলাদা হারের গড় নিয়ে মোট লাভ-ক্ষতি বলা যায় না, যদি ক্রয়মূল্য সমান না হয়।
\[\text{নিট লাভ বা ক্ষতি}=\sum SP_i-\sum CP_i\]
\[\text{নিট হার}=\frac{\sum SP_i-\sum CP_i}{\sum CP_i}\times100\%\]
উদাহরণ: একটি পণ্য \(1500\) টাকায় কিনে \(10\%\) লাভে, আরেকটি \(2000\) টাকায় কিনে \(5\%\) ক্ষতিতে বিক্রি করলে—
\[\text{মোট বিক্রয়মূল্য}=1650+1900=3550\]
\[\text{মোট ক্রয়মূল্য}=1500+2000=3500\]
\[\text{নিট লাভের হার}=\frac{50}{3500}\times100\%\approx1.43\%\]

নির্দিষ্ট সময়ের জন্য ধার দেওয়া বা বিনিয়োগ করা প্রাথমিক অর্থকে আসল বা মূলধন বলে। ঐ অর্থ ব্যবহারের বিনিময়ে যে অতিরিক্ত অর্থ দেওয়া হয়, তা সুদ। আসল ও সুদের যোগফল সুদাসল।
\[A=P+I\]
এখানে \(P\) আসল, \(I\) সুদ এবং \(A\) সুদাসল। বার্ষিক সুদের হার \(r\%\) হলে প্রতি \(100\) টাকার ওপর এক বছরে \(r\) টাকা সুদ গণনা করা হয়।
সুদ দুইভাবে হিসাব করা হয়—সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ। সরল সুদে প্রতি পর্বে কেবল মূল আসলের ওপর সুদ, চক্রবৃদ্ধি সুদে পূর্বে জমা হওয়া সুদও পরের পর্বের ভিত্তিতে যুক্ত হয়।

সরল সুদে সময় বাড়ার সঙ্গে সুদের পরিমাণ সমান হারে বাড়ে। বছরে \(r\%\) হারে \(t\) বছর পর্যন্ত \(P\) টাকার সরল সুদ—
\[I=\frac{Prt}{100}\]
\[A=P\left(1+\frac{rt}{100}\right)\]
সময়কে মাসে দেওয়া থাকলে বছরের ভগ্নাংশে নিতে হবে। যেমন \(9\) মাসের জন্য \(t=\frac{9}{12}\)।
উদাহরণ: \(6000\) টাকার ওপর বার্ষিক \(7\%\) হারে \(3\) বছরের সুদ—
\[I=\frac{6000\times7\times3}{100}=1260\;\text{টাকা}\]
\[A=6000+1260=7260\;\text{টাকা}\]
আসল বা সুদের হার নির্ণয়ের সময় একই সূত্র রূপান্তর করে ব্যবহার করা যায়।

সুদ, আসল ও সময় জানা থাকলে বার্ষিক সুদের হার—
\[r=\frac{100I}{Pt}\]
আর আসল, সুদ ও হার জানা থাকলে সময়—
\[t=\frac{100I}{Pr}\]
যদি মোট সুদাসল \(A\) দেওয়া থাকে তবে আগে \(I=A-P\) নির্ণয় করতে হবে।
উদাহরণ: \(4500\) টাকা চার বছরে \(5580\) টাকা হলে সুদ \(1080\) টাকা। অতএব—
\[r=\frac{1080\times100}{4500\times4}=6\%\]
সুদাসল মূলধনের দ্বিগুণ হতে সরল সুদে যে সময় লাগে—
\[t=\frac{100}{r}\]
অর্থাৎ বার্ষিক \(8\%\) সুদে মূলধন দ্বিগুণ হতে \(12.5\) বছর লাগে।

বিভিন্ন মূলধন ভিন্ন হারে বিনিয়োগ করা হলে মোট সুদকে মোট মূলধন দিয়ে তুলনা করতে হবে। সময় সমান হলে মূলধন-ভিত্তিক ভারযুক্ত গড় হার—
\[r_{\text{avg}}=\frac{P_1r_1+P_2r_2+\cdots+P_kr_k}{P_1+P_2+\cdots+P_k}\]
উদাহরণ: \(4000\) টাকা \(6\%\) এবং \(6000\) টাকা \(9\%\) হারে একই সময়ের জন্য বিনিয়োগ করা হলে—
\[r_{\text{avg}}=\frac{4000\times6+6000\times9}{10000}=7.8\%\]
সময় ভিন্ন হলে প্রতি বিনিয়োগের সুদ আলাদাভাবে \(\frac{P_ir_it_i}{100}\) দিয়ে বের করে যোগ করতে হবে।

চক্রবৃদ্ধি সুদে প্রতি নির্দিষ্ট পর্ব শেষে অর্জিত সুদ মূলধনের সঙ্গে যোগ হয় এবং পরের পর্বে নতুন মোট অর্থের ওপর সুদ হিসাব করা হয়।
বার্ষিক একবার সুদ যোগ হলে—
\[A=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\]
\[CI=P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right]\]
উদাহরণ: \(5000\) টাকায় বার্ষিক \(8\%\) চক্রবৃদ্ধি হারে দুই বছর পর—
\[A=5000(1.08)^2=5832\;\text{টাকা}\]
\[CI=5832-5000=832\;\text{টাকা}\]
একই আসল ও হারে দুই বছরের সরল সুদ \(800\) টাকা; অতএব চক্রবৃদ্ধি সুদ \(32\) টাকা বেশি।

বছরে একাধিকবার সুদ মূলধনের সঙ্গে যুক্ত হলে প্রতি পর্বের হার কমে এবং মোট পর্বসংখ্যা বাড়ে। বছরে \(m\) বার সুদ যুক্ত হলে—
\[A=P\left(1+\frac{r}{100m}\right)^{mt}\]
এখানে \(t\) বছরের সংখ্যা। অর্ধবার্ষিক হলে \(m=2\), ত্রৈমাসিক হলে \(m=4\)।
উদাহরণ: \(10000\) টাকার ওপর বার্ষিক নামমাত্র \(12\%\) হার, অর্ধবার্ষিক চক্রে এক বছরের শেষে—
\[A=10000\left(1+\frac6{100}\right)^2=11236\;\text{টাকা}\]
সুদ \(1236\) টাকা; বার্ষিক একবার চক্রবৃদ্ধি হলে একই বছরে সুদ হতো \(1200\) টাকা।

সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা যায় এমন পৃথক বস্তুর সমষ্টিকে সেট বলে। সেট সাধারণত বড় হাতের ইংরেজি অক্ষরে এবং উপাদানগুলো দ্বিতীয় বন্ধনীতে লেখা হয়।
\[A=\{2,4,6,8\}\]
সেটে কোনো উপাদানের পুনরাবৃত্তি গণনা করা হয় না এবং উপাদানের ক্রম পরিবর্তিত হলেও সেট একই থাকে। \(x\in A\) দ্বারা \(x\) সেটের সদস্য এবং \(x\notin A\) দ্বারা সদস্য নয় বোঝায়।
উদাহরণ: \(S=\{\text{লাল},\text{নীল},\text{সবুজ}\}\) সেটে তিনটি উপাদান আছে। তাই \(n(S)=3\)।
শূন্য বা ফাঁকা সেটে কোনো উপাদান নেই; এর প্রতীক \(\varnothing\) অথবা \(\{\}\)। শূন্য সেট ও শূন্য সংখ্যাকে এক বিষয় মনে করা যাবে না।

সসীম সেটের উপাদান গণনা করে শেষ করা যায়; অসীম সেটের উপাদানসংখ্যার কোনো শেষ নেই। যেমন \(A=\{1,3,5,7\}\) সসীম এবং \(B=\{2,4,6,8,\ldots\}\) অসীম।
আলোচনার বিষয়ভিত্তিক সম্ভাব্য সব উপাদানের সেটকে সার্বিক সেট (Universal Set) বলে, প্রতীক \(U\)।
দুটি সেটের উপাদান একেবারে একই হলে তাদের সমান সেট বলে। কোনো সেটের উপাদান শূন্য হলে তা ফাঁকা সেট।
যদি সার্বিক সেট \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) এবং \(A=\{2,4,6\}\) হয়, তবে \(A\)-এর পরিপূরক—
\[A^{c}=U\setminus A=\{1,3,5\}\]

সেট প্রকাশের দুটি প্রচলিত উপায় হলো তালিকা পদ্ধতি (Roster Method) ও বৈশিষ্ট্য-নির্ভর সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)।
তালিকা পদ্ধতিতে উপাদানগুলো সরাসরি উল্লেখ করা হয়—
\[A=\{3,6,9,12\}\]
সেট গঠন পদ্ধতিতে কোনো চলকের জন্য শর্ত লেখা হয়—
\[A=\{x\in\mathbb{N}:x\le12,\;3\mid x\}\]
এখানে \(3\mid x\) দ্বারা বোঝায় \(x\), \(3\) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
সেট গঠন পদ্ধতিতে একই সঙ্গে একাধিক শর্ত থাকলে সব শর্ত পূরণ করে এমন মানগুলোই সেটে থাকবে।

সেট \(A\)-এর প্রত্যেক উপাদান সেট \(B\)-তে থাকলে \(A\) হলো \(B\)-এর উপসেট।
\[A\subseteq B\]
যদি \(A\subseteq B\) এবং \(A\ne B\), তবে \(A\) হলো \(B\)-এর প্রকৃত উপসেট, অর্থাৎ \(A\subsetneq B\)।
কোনো সেটের সব উপসেট নিয়ে গঠিত নতুন সেটকে পাওয়ার সেট \(\mathcal P(A)\) বলে। \(n\) উপাদানবিশিষ্ট সেটের উপসেটের সংখ্যা—
\[\left|\mathcal P(A)\right|=2^n\]
উদাহরণ: \(A=\{a,b,c\}\) হলে উপসেটের সংখ্যা—
\[2^3=8\]
ফাঁকা সেট ও মূল সেট—দুটিই পাওয়ার সেটে থাকে। প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা \(2^n-1\)।

দুটি সেটের যেকোনো একটিতে থাকা সব পৃথক উপাদান নিয়ে তাদের ইউনিয়ন গঠিত হয়। আর উভয় সেটে সাধারণভাবে থাকা উপাদান নিয়ে ইন্টারসেকশন গঠিত হয়।
\[A\cup B=\{x:x\in A\;\text{or}\;x\in B\}\]
\[A\cap B=\{x:x\in A\;\text{and}\;x\in B\}\]
\[A\setminus B=\{x:x\in A\;\text{and}\;x\notin B\}\]
উদাহরণ: \(A=\{1,2,4,6\}\), \(B=\{2,3,6\}\) হলে—
\[A\cup B=\{1,2,3,4,6\}\]
\[A\cap B=\{2,6\}\]
\[A\setminus B=\{1,4\}\]
সাধারণ কোনো উপাদান না থাকলে সেট দুটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন (Disjoint)।

সার্বিক সেটের সাপেক্ষে ইউনিয়ন ও ইন্টারসেকশনের পরিপূরক নির্ণয়ে ডি মরগ্যানের সূত্র প্রয়োগ করা হয়।
\[(A\cup B)^c=A^c\cap B^c\]
\[(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\]
প্রথম সূত্রের অর্থ—দুই সেটের কোনোটিতেই নেই এমন উপাদানই দুটি সেটের পৃথক পরিপূরকের সাধারণ উপাদান।
দ্বিতীয় সূত্রের অর্থ—উভয় সেটে একসঙ্গে নেই এমন উপাদান অন্তত একটি সেটের পরিপূরকে থাকবে।
আরও দুটি প্রয়োজনীয় পরিচিতি—
\[A\cap A^c=\varnothing\]
\[A\cup A^c=U\]
\[(A\setminus B)\cap B=\varnothing\]

বৈশিষ্ট্য দিয়ে সেট নির্ধারণের সময় একাধিক সমীকরণ বা অসমতা দেওয়া থাকলে প্রত্যেক শর্তের সমাধান বের করে যৌথ অংশ নিতে হয়।
উদাহরণ: \(x\) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, \(x^2\lt50\) এবং \(x\) জোড় হলে—
\[x\in\{2,4,6\}\]
যদি নতুন একটি শর্ত হয় \(x\gt4\), তাহলে তিনটি শর্ত একসঙ্গে পূরণ করে শুধু \(6\)।
অন্যদিকে \(x^2=25\) এবং \(x\) জোড়—এই দুই শর্ত একসঙ্গে কোনো সংখ্যা পূরণ করে না, তাই সেটটি শূন্য সেট।

অসমতার মাধ্যমে দুইটি রাশির বড়-ছোট সম্পর্ক প্রকাশ করা হয়। চারটি মৌলিক চিহ্ন—\(\gt\), \(\lt\), \(\ge\) ও \(\le\)।
অসমতার দুই পাশে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে। একই ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলেও চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে।
কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।
\[x\gt y\quad\Rightarrow\quad -3x\lt-3y\]
উদাহরণ: \(-4x\lt12\) হলে \(-4\) দিয়ে ভাগ করার সময় চিহ্ন উল্টাবে—
\[x\gt-3\]
দুটি ধনাত্মক রাশির ক্ষেত্রে \(0\lt x\lt y\) হলে বিপরীত ভগ্নাংশে—
\[\frac1x\gt\frac1y\]
তবে চলকের চিহ্ন সম্পর্কে নিশ্চিত না হলে উভয় পাশকে চলক দিয়ে গুণ বা ভাগ করা উচিত নয়।

রৈখিক অসমতা সমাধানে সমীকরণের মতো পদ স্থানান্তর করে চলককে এক পাশে রাখতে হয়; ঋণাত্মক সহগ দিয়ে ভাগের সময় চিহ্ন পরিবর্তন অপরিহার্য।
উদাহরণ: \(5x-7\le18\) হলে—
\[5x\le25\quad\Rightarrow\quad x\le5\]
সমাধানকে অন্তরাল আকারে প্রকাশ করলে—
\[x\in(-\infty,5]\]
অসমতার সীমার মান গ্রহণযোগ্য হলে বর্গ বন্ধনী, গ্রহণযোগ্য না হলে প্রথম বন্ধনী ব্যবহার করা হয়।
অসীমতার পাশে কখনো বর্গ বন্ধনী ব্যবহার করা হয় না।

যৌগিক অসমতায় একটি চলক একই সঙ্গে দুটি সীমার মধ্যে থাকে। একই কাজ তিন অংশের ওপর সম্পন্ন করতে হবে।
উদাহরণ: \(-2\lt3x+1\le10\) হলে—
\[-3\lt3x\le9\]
\[-1\lt x\le3\]
সমাধান অন্তরাল—
\[x\in(-1,3]\]
আবার দুটি শর্তের সমাধান যদি \(x\gt1\) এবং \(x\lt4\) হয়, তবে উভয় শর্ত একসঙ্গে পূরণের জন্য \(1\lt x\lt4\)।
যদি প্রশ্নে 'অথবা' থাকে তবে দুটি সমাধান সেটের ইউনিয়ন নিতে হয়; 'এবং' থাকলে ইন্টারসেকশন নিতে হয়।

কোনো বাস্তব সংখ্যা থেকে শূন্যের দূরত্ব হলো সংখ্যাটির পরমমান। তাই পরমমান কখনো ঋণাত্মক হয় না।
\[|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x\lt0\end{cases}\]
\[|x-a|\lt r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\lt x\lt a+r\qquad(r\gt0)\]
\[|x-a|\le r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\le x\le a+r\]
উদাহরণ: \(|x-4|\lt6\) হলে—
\[-6\lt x-4\lt6\quad\Rightarrow\quad-2\lt x\lt10\]
এখানে সমাধানটি \(4\) থেকে \(6\) এককের কম দূরত্বের সব বাস্তব সংখ্যা।

পরমমান কোনো ধনাত্মক সীমার চেয়ে বড় হলে সংখ্যাটি কেন্দ্রের দুই পাশে দূরবর্তী দুটি অঞ্চলে থাকতে পারে।
\[|x-a|\gt r\quad\Longleftrightarrow\quad x\lt a-r\;\text{or}\;x\gt a+r\]
\[|x-a|\ge r\quad\Longleftrightarrow\quad x\le a-r\;\text{or}\;x\ge a+r\]
উদাহরণ: \(|2x+3|\ge7\) হলে দুটি শাখা—
\[2x+3\le-7\quad\text{or}\quad2x+3\ge7\]
\[x\le-5\quad\text{or}\quad x\ge2\]
অতএব সমাধান সেট—
\[(-\infty,-5]\cup[2,\infty)\]

দ্বিঘাত অসমতা সমাধানে প্রথমে বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে শূন্যস্থানগুলো বের করা সুবিধাজনক। এই শূন্যস্থান সংখ্যা রেখাকে কয়েকটি অন্তরালে ভাগ করে; প্রতিটি অন্তরালে রাশির চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
উদাহরণ: \(x^2-7x+12\lt0\) হলে—
\[(x-3)(x-4)\lt0\]
উৎপাদক দুটি বিপরীত চিহ্নের হতে হবে। এটি ঘটে \(3\) ও \(4\)-এর মধ্যবর্তী অঞ্চলে।
\[\boxed{3\lt x\lt4}\]
অন্যদিকে একই রাশি শূন্যের চেয়ে বড় হলে—
\[x\lt3\quad\text{or}\quad x\gt4\]
শূন্য অন্তর্ভুক্ত করার জন্য অসমতার চিহ্নে \(\le\) বা \(\ge\) থাকলে শূন্যস্থানগুলোও সমাধানে যোগ করতে হবে।

যখন দুটি বা বেশি উৎপাদকের গুণফলের চিহ্ন নির্ণয় করতে হয়, তখন একটি চিহ্ন-সারণি ব্যবহার করা যায়। উদাহরণ হিসেবে \((x+2)(x-5)\gt0\) বিবেচনা করি।

অন্তরাল	\(x+2\)	\(x-5\)	গুণফল
\(x\lt-2\)	ঋণাত্মক	ঋণাত্মক	ধনাত্মক
\(-2\lt x\lt5\)	ধনাত্মক	ঋণাত্মক	ঋণাত্মক
\(x\gt5\)	ধনাত্মক	ধনাত্মক	ধনাত্মক

অতএব চাওয়া সমাধান—
\[\boxed{x\lt-2\quad\text{or}\quad x\gt5}\]
গুণফলের চিহ্ন সম্পর্কে মনে রাখবে: একই চিহ্নের দুটি অশূন্য সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক, বিপরীত চিহ্নের হলে ঋণাত্মক।

উৎপাদক বিশ্লেষণের পর প্রতিটি সম্ভাব্য অন্তরাল থেকে একটি পরীক্ষামূলক সংখ্যা নিয়ে মূল অসমতায় বসালে সমাধান যাচাই করা যায়।
যেমন \((x-1)(x-6)\lt0\)-এর জন্য \(x=3\) নিলে—
\[(3-1)(3-6)=2\times(-3)=-6\lt0\]
অতএব মধ্যবর্তী অন্তরালটি গ্রহণযোগ্য। অন্যদিকে \(x=0\) নিলে গুণফল ধনাত্মক, ফলে বাইরের অংশ গ্রহণযোগ্য নয়।
বিশেষ সতর্কতা: মূল অসমতায় যদি কোনো ভগ্নাংশ থাকে, হর শূন্য হয় এমন মান বাদ দিতে হবে এবং হরের চিহ্ন না জেনে উভয় পাশে হর দিয়ে গুণ করলে ভুল হতে পারে।