সূচক, লগারিদম, জ্যামিতি, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত, পরিমিতি — BCS Cadre

একই রাশিকে বারবার গুণ করার সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি সূচক বা ঘাত। এখানে ভিত্তি (base) হলো যে রাশিটি গুণ করা হয় এবং সূচক (exponent) হলো কতবার গুণ করা হচ্ছে তার নির্দেশক।

\[a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ বার}}\]
যেমন, \(3^4\) দ্বারা চারটি ৩-এর গুণফল বোঝায়। সূচকটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে সরাসরি পুনরাবৃত্ত গুণের ব্যাখ্যা প্রযোজ্য; ভগ্নাংশ ও ঋণাত্মক সূচকে বিস্তৃত সংজ্ঞা প্রয়োগ করতে হয়।
শূন্য ভিত্তি, ঋণাত্মক ভিত্তি এবং ভগ্নাংশ সূচকের ক্ষেত্রে রাশিটির সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত আলাদাভাবে পরীক্ষা করা প্রয়োজন।

একই ভিত্তির ঘাতের গুণে সূচক যোগ এবং ভাগে সূচক বিয়োগ হয়। তবে ভাগের ক্ষেত্রে হর শূন্য হতে পারে না।
\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]
\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0)\]
\[(a^m)^n=a^{mn}\]
\[(ab)^n=a^nb^n\]
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\quad(b\ne0)\]
উদাহরণ হিসেবে, \(2^5\times2^3\) সরল করলে \(2^8\) হয় এবং \(5^7/5^2\) সরল করলে \(5^5\) হয়।
সতর্কতা: \(a^m+a^n\) সাধারণভাবে \(a^{m+n}\) নয়। যোগের ক্ষেত্রে প্রয়োজন হলে সাধারণ উৎপাদক বের করতে হয়।

শূন্য নয় এমন যেকোনো বাস্তব সংখ্যার শূন্য ঘাতের মান এক। ঋণাত্মক ঘাতের অর্থ ধনাত্মক ঘাতের বিপরীত ভগ্নাংশ।
\[a^0=1\quad(a\ne0)\]
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\ne0)\]
\[\left(\frac{p}{q}\right)^{-n}=\left(\frac{q}{p}\right)^n\quad(pq\ne0)\]
উদাহরণ: \(7^{-2}\) হলো \(\frac{1}{49}\)। আর \(4^0\) এর মান ১।
\(0^0\) কে উপরোক্ত সাধারণ নিয়ম থেকে এক বলে নির্ধার??? করা যাবে না; এটি আলোচনার প্রেক্ষাপটনির্ভর।

মূল চিহ্ন ও ভগ্নাংশ সূচক একই ধারণার দুটি প্রকাশরূপ। ধনাত্মক \(a\)-এর জন্য:
\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m\]
\[a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}\]
যেমন, \(16^{3/4}\) এর মান \((\sqrt[4]{16})^3\), অর্থাৎ ৮। জোড় ক্রমের বাস্তব মূলের ক্ষেত্রে মূলের নিচের রাশি ঋণাত্মক হতে পারবে না।
মনে রাখতে হবে, \(\sqrt{x^2}=|x|\) এবং কেবল \(x\ge0\) হলে তা \(x\)।

দুই পাশের রাশিকে একই গ্রহণযোগ্য ভিত্তির ঘাতে লেখা গেলে সূচকের তুলনা করে অজানা রাশির মান নির্ণয় করা যায়। ধনাত্মক এবং ১ নয় এমন ভিত্তি হলে ঘাতের ফাংশন এক-এক।
\[4^{x+1}=64\]
\[\Rightarrow 2^{2x+2}=2^6\]
\[\Rightarrow 2x+2=6\]
\[\Rightarrow x=2\]
একই ঘাতবিশিষ্ট একাধিক পদে সাধারণ উৎপাদক ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
\[3^{x+2}+2\times3^x=3^x(9+2)\]
এভাবে জটিল সূচকীয় রাশিও সহজ বীজগাণিতিক আকারে রূপান্তর করা যায়।

রাশিতে \(a^x\) ও \(a^{-x}\) একসঙ্গে থাকলে \(t=a^x\), যেখানে \(t\gt0\), ধরলে দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যেতে পারে।
\[2^x+2^{-x}=\frac52\]
\[\Rightarrow t+\frac1t=\frac52\]
\[\Rightarrow 2t^2-5t+2=0\]
\[\Rightarrow (2t-1)(t-2)=0\]
\[\Rightarrow t=\frac12\ \text{অথবা}\ t=2\]
অতএব \(x=-1\) অথবা \(x=1\)। প্রতিস্থাপিত রাশির ধনাত্মকতার শর্ত সবসময় যাচাই করা প্রয়োজন।

সূচকীয় সম্পর্ককে বিপরীতভাবে প্রকাশ করার পদ্ধতি হলো লগারিদম। \(a\gt0\), \(a\ne1\) এবং \(N\gt0\) হলে:
\[a^x=N\ \Longleftrightarrow\ \log_a N=x\]
এখানে \(a\) হলো ভিত্তি এবং \(N\) হলো লগের আর্গুমেন্ট। যেমন \(\log_2 32\) এর মান ৫, কারণ ২-এর পঞ্চম ঘাত ৩২।
লগারিদমের ডোমেইন: বাস্তব সংখ্যার লগে আর্গুমেন্ট অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে, আর ভিত্তি ধনাত্মক ও এক থেকে ভিন্ন হতে হবে।
প্রচলিত দশভিত্তিক লগ \(\log_{10}\) এবং স্বাভাবিক লগ \(\ln\) এর ভিত্তি যথাক্রমে ১০ ও \(e\)।

উপযুক্ত ডোমেইনের ধনাত্মক \(M,N\) এর জন্য:
\[\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\]
\[\log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N\]
\[\log_a(M^r)=r\log_a M\]
\[\log_a1=0\qquad\log_a a=1\]
\[\log_a(a^x)=x\]
উদাহরণ: \(\log_3 27+\log_3 9\) সরল করলে \(\log_3 243\), অর্থাৎ ৫ হয়।
যোগের লগকে সরাসরি দুই লগের যোগে ভাঙা যায় না; কেবল গুণফলের ক্ষেত্রে লগের যোগসূত্র প্রযোজ্য।

দুইটি বৈধ ভিত্তি \(a,b\) এবং ধনাত্মক \(M\)-এর জন্য ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র:
\[\log_a M=\frac{\log_b M}{\log_b a}\]
বিশেষভাবে:
\[\log_a b=\frac{1}{\log_b a}\]
\[\log_a b\times\log_b c=\log_a c\]
\[\log_a b\times\log_b a=1\]
একাধিক লগের গুণফল থাকলে মধ্যবর্তী ভিত্তি ও আর্গুমেন্ট কাটাকাটি করে সূত্র প্রয়োগ করা যায়। তবে প্রতিটি লগের সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত মেনে চলতে হবে।

মূলযুক্ত সংখ্যাকে সূচকে রূপান্তর করে লগের ঘাতসূত্র প্রয়োগ করা যায়।
\[\log_a\sqrt[n]{M}=\frac1n\log_a M\]
\[\log_5(25\sqrt5)=\log_5(5^{\frac52})=\frac52\]
দুইটি মূলের গুণফল থাকলে আগে একটি সূচকীয় রাশিতে রূপান্তর করা সহজ। যেমন \(\sqrt[3]{7}\sqrt7\) হল \(7^{5/6}\), তাই সাতভিত্তিক লগের মান \(\frac56\)।

লগারিদমিক সমীকরণে আগে লগের আর্গুমেন্ট এবং ভিত্তির শর্ত নির্ধারণ করে নিতে হবে। এরপর এক ভিত্তিতে এনে লগ দূর করা যায়।
\[\log_4(x+3)=2\]
\[\Rightarrow x+3=4^2\]
\[\Rightarrow x=13\]
যাচাই: \(x+3\gt0\) শর্তটি পূরণ করছে।
অন্যদিকে \(\log_x 9=2\) হলে \(x^2=9\), কিন্তু লগের ভিত্তি ধনাত্মক হওয়ায় একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান \(x=3\)।

জ্যামিতিতে বিন্দু একটি অবস্থান নির্দেশ করে, যার দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ নেই। সরলরেখা দুই দিকে অসীম প্রসারিত, রেখাংশের দুটি প্রান্তবিন্দু আছে এবং রশ্মির এক প্রান্ত নির্দিষ্ট থাকে।
একই শীর্ষবিন্দু থেকে বের হওয়া দুটি রশ্মি একটি কোণ গঠন করে। কোণ পরিমাপের সাধারণ একক ডিগ্রি। একই সরলরেখার ওপর পাশাপাশি দুটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।

সম্পূর্ণ এক আবর্তনের পরিমাণ \(360^\circ\)। এক সমকোণ \(90^\circ\), সরল কোণ \(180^\circ\) এবং পূর্ণ কোণ \(360^\circ\)।

সূক্ষ্মকোণ: \(0^\circ\lt\theta\lt90^\circ\)।
সমকোণ: \(\theta=90^\circ\)।
স্থূলকোণ: \(90^\circ\lt\theta\lt180^\circ\)।
প্রবৃদ্ধকোণ: \(180^\circ\lt\theta\lt360^\circ\)।
সরল কোণ: \(180^\circ\)।
সন্নিহিত কোণ একই শীর্ষ এবং একটি সাধারণ বাহু ভাগ করে, কিন্তু অভ্যন্তর আলাদা থাকে।
বিপ্রতীপ কোণ দুটি সরলরেখা ছেদ করলে সৃষ্টি হয় এবং বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান।
পূরক কোণের যোগফল \(90^\circ\) এবং সম্পূরক কোণের যোগফল \(180^\circ\)।

একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যতই সম্প্রসারিত করা হোক একে অপরকে ছেদ না করলে তাদের সমান্তরাল বলা হয়।
তৃতীয় একটি সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল রেখাকে কাটলে অনুরূপ কোণ সমান এবং একান্তর অন্তঃস্থ কোণ সমান হয়। একই পার্শ্বের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)।

সমান্তরাল রেখার প্রশ্নে কোণের অবস্থান শনাক্ত করে সমকোণ, সরল কোণ ও বিপ্রতীপ কোণের সূত্র ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করতে হয়।

ভূমির সমান্তরাল দৃষ্টিরেখা থেকে ওপরের দিকে কোনো বস্তুর দিকে তাকালে যে কোণ তৈরি হয় তাকে উন্নতি কোণ বলে। একই অনুভূমিক রেখার নিচের দিকে তাকালে অবনতি কোণ হয়।
দুটি সমান্তরাল অনুভূমিক রেখার সাহায্যে অবস্থান চিহ্নিত করলে উন্নতি ও অবনতি কোণকে একান্তর কোণ হিসেবে তুলনা করা যায়।
সমকোণী ত্রিভুজে উঁচু স্থানের উচ্চতা নির্ণয়ের একটি ব্যবহারযোগ্য সম্পর্ক:
\[\tan\theta=\frac{\text{উচ্চতা}}{\text{অনুভূমিক দূরত্ব}}\]
উচ্চতা ও ভূমির দূরত্ব একই এককে প্রকাশ করা প্রয়োজন।

একই সরলরেখায় নেই এমন তিনটি বিন্দুকে তিনটি রেখাংশে যুক্ত করলে ত্রিভুজ গঠিত হয়। ত্রিভুজের তিন বাহু, তিন শীর্ষ ও তিন অন্তঃকোণ রয়েছে।

প্রতিটি ত্রিভুজের অন্তঃকোণত্রয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)। যেকোনো একটি বাহু অন্য দুই বাহুর পার্থক্যের চেয়ে বড় এবং তাদের যোগফলের চেয়ে ছোট হতে হবে।
\[|b-c|\lt a\lt b+c\]
বহিঃকোণ তার বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন ধরনের। সমবাহু ত্রিভুজে তিন বাহু সমান; সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে অন্তত দুটি বাহু সমান; বিষমবাহু ত্রিভুজে তিন বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন।
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ \(60^\circ\)। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণও সমান।

কোণভেদে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে তিন কোণই \(90^\circ\)-এর ছোট, সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\), এবং স্থূলকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\)-এর বড়।
কোনো ত্রিভুজে দুইটি সমকোণ বা দুইটি স্থূলকোণ থাকতে পারে না।

সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ, যা ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহু। অন্য দুটি বাহুকে লম্ব ও ভূমি বলা হয়।

\[\text{অতিভুজ}^2=\text{লম্ব}^2+\text{ভূমি}^2\]
উদাহরণ: দুটি লম্ব বাহু ৬ ও ৮ একক হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{6^2+8^2}\), অর্থাৎ ১০ একক।
বিশেষ অনুপাত ৩:৪:৫, ৫:১২:১৩ এবং ৮:১৫:১৭ সমকোণী ত্রিভুজ শনাক্তে সহায়ক।
সমকোণী ত্রিভুজে \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) যথাক্রমে বিপরীত বাহু/অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু/অতিভুজ ও বিপরীত বাহু/সন্নিহিত বাহু।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার একটি নির্দিষ্ট ভূমি এবং ওই ভূমির ওপর লম্ব উচ্চতার সাহায্যে নির্ণয় করা হয়।
\[A=\frac12\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\]

ভূমির দৈর্ঘ্য ১৪ একক এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা ৯ একক হলে ক্ষেত্রফল ৬৩ বর্গ একক।
তিন বাহু \(a,b,c\) জানা থাকলে অর্ধপরিসীমা \(s=\frac{a+b+c}{2}\) ব্যবহার করে হেরনের সূত্র প্রয়োগ করা যায়।
\[A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজগুলোর উচ্চতা সমান হলে তাদের ক্ষেত্রফল সমান হয়।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু \(a\) হলে শীর্ষ থেকে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ফলে পিথাগোরাসের সূত্র থেকে:
\[h=\frac{\sqrt3}{2}a\]
\[A=\frac{\sqrt3}{4}a^2\]
পরিসীমা \(3a\)। বাহু দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল চারগুণ হয় এবং পরিসীমা দ্বিগুণ হয়।
উদাহরণ: বাহু ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল \(16\sqrt3\) বর্গ একক।

দুটি ত্রিভুজের আকার ও আয়তন একই হলে তারা সর্বসম। বাহু-বাহু-বাহু, বাহু-কোণ-বাহু, কোণ-বাহু-কোণ এবং সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ-বাহু শর্ত ব্যবহার করে সর্বসমতা প্রতিষ্ঠা করা যায়।
সদৃশ ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট কোণ সমান এবং সংশ্লিষ্ট বাহুগুলোর অনুপাত সমান। আকার একই থাকলেও মাপ ভিন্ন হতে পারে।
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত \(k\) হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(k^2\)।
শুধু তিন কোণ সমান থাকা সদৃশতার জন্য যথেষ্ট, কিন্তু সর্বসমতার জন্য নয়।

চারটি রেখাংশে ঘেরা সমতলীয় বদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি \(360^\circ\)।
চতুর্ভুজের কর্ণ হলো পরস্পর সন্নিহিত নয় এমন দুটি শীর্ষবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
কোনো চতুর্ভুজের একটি কোণ সমকোণ হওয়া মানেই সেটি আয়তক্ষেত্র নয়; বাকি বাহু ও কোণের বৈশিষ্ট্যও পরীক্ষা করতে হবে।

আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, প্রতিটি কোণ সমকোণ এবং দুই কর্ণ সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

\[A_{\text{rectangle}}=lw\qquad P_{\text{rectangle}}=2(l+w)\]
\[d=\sqrt{l^2+w^2}\]
বর্গক্ষেত্রের চার বাহু সমান ও চার কোণ সমকোণ। দুটি কর্ণ সমান, পরস্পর লম্ব এবং কোণগুলোকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\[A_{\text{square}}=a^2\qquad P_{\text{square}}=4a\]
\[d=a\sqrt2\qquad A_{\text{square}}=\frac{d^2}{2}\]

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং বিপরীত কোণ সমান। পাশাপাশি দুই কোণের সমষ্টি \(180^\circ\), কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\[A_{\text{parallelogram}}=\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\]
রম্বসের চার বাহু সমান, বিপরীত কোণ সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তবে রম্বসের প্রতিটি কোণ সমকোণ হওয়া আবশ্যক নয়।
\[A_{\text{rhombus}}=\frac12d_1d_2\]

চিত্রে বর্গক্ষেত্র ও সাধারণ সামান্তরিকের পার্থক্য দেখানো হয়েছে।

এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরালবিশিষ্ট চতুর্ভুজকে ট্রাপিজিয়াম বলা হয় (প্রচলিত বিদ্যালয়-সংজ্ঞা অনুযায়ী কেবল এক জোড়া সমান্তরাল বাহু)। সমান্তরাল দুই বাহুর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বই উচ্চতা।
\[A=\frac12(a+b)h\]
এখানে \(a,b\) সমান্তরাল দুই বাহু এবং \(h\) তাদের লম্ব দূরত্ব। যেমন, সমান্তরাল বাহু দুটি ৯ ও ১৫ একক এবং উচ্চতা ৭ একক হলে ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গ একক।
সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান দৈর্ঘ্যের হওয়া প্রয়োজন নেই।

সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোর সমষ্টি একটি বৃত্ত। নির্দিষ্ট বিন্দুটি কেন্দ্র। কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব ব্যাসার্ধ। কেন্দ্রগামী বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস।

\[d=2r\qquad C=2\pi r\qquad A=\pi r^2\]
একই বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর লম্ব আঁকলে জ্যাটি সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
বৃত্তের একই চাপের ওপর উৎপন্ন পরিধিস্থ কোণ সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। ব্যাসের ওপর অঙ্কিত পরিধিস্থ কোণ সমকোণ।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\), জ্যার দৈর্ঘ্য \(c\) এবং কেন্দ্র থেকে জ্যার লম্ব দূরত্ব \(h\) হলে পিথাগোরাস প্রয়োগ করে:
\[h=\sqrt{r^2-\left(\frac c2\right)^2}\]

উদাহরণ: ব্যাসার্ধ ১০ একক এবং জ্যা ১২ একক হলে অর্ধজ্যা ৬ একক। অতএব কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব \(\sqrt{100-36}\), অর্থাৎ ৮ একক।

কোনো বর্গক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের ওপর থাকলে বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত। এ ক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

\[a\sqrt2=2r\]
\[A_{\text{square}}=2r^2\]
\[A_{\text{circle outside square}}=\pi r^2-2r^2=(\pi-2)r^2\]
এখানে চিত্রে দেখানো বৃত্তের ভেতরে কিন্তু বর্গক্ষেত্রের বাইরে থাকা অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়েছে।

আয়তাকার ঘনবস্তুতে ছয়টি তল আয়তক্ষেত্র এবং বিপরীত তল সমান হয়। দৈর্ঘ্য \(l\), প্রস্থ \(w\) ও উচ্চতা \(h\) হলে:
\[V=lwh\]
\[S=2(lw+wh+hl)\]
ঘনকের সব প্রান্তের দৈর্ঘ্য একই এবং ছয়টি তল বর্গক্ষেত্র। প্রান্ত \(a\) হলে:
\[V=a^3\qquad S=6a^2\]
\[d_{\text{space}}=a\sqrt3\]
একই অনুপাতে তিনটি মাত্রা \(k\) গুণ করলে আয়তন \(k^3\) গুণ হয়, কিন্তু মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \(k^2\) গুণ হয়।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(p\%\) এবং প্রস্থ \(q\%\) পরিবর্তিত হলে পরিবর্তনের চিহ্নসহ \(p,q\) বসিয়ে নতুন ক্ষেত্রফল ও পুরোনো ক্ষেত্রফলের তুলনা করা যায়।
\[\text{ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন}=p+q+\frac{pq}{100}\]
উভয় মাত্রা বাড়লে দুটি পরিবর্তনই ধনাত্মক, কমলে ঋণাত্মক। উদাহরণ: দৈর্ঘ্য ১৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাসে পরিবর্তন \(15-10-1.5\), অর্থাৎ ৩.৫% বৃদ্ধি।
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পরিবর্তন আলাদা করে গণনা করার সময় তাদের যৌথ প্রভাব উপেক্ষা করলে ভুল হবে।
বর্গক্ষেত্রের বাহু \(k\) গুণ হলে ক্ষেত্রফল \(k^2\) গুণ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(k\) গুণ হলে ক্ষেত্রফলও \(k^2\) গুণ হয়।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল স্থির থাকলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফল অপরিবর্তিত থাকে। তাই দৈর্ঘ্য বাড়ালে প্রস্থ অনুপাতে কমাতে হয়।
\[l_1w_1=l_2w_2\]
ধরি, আগের আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। নতুন দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার হলে নতুন প্রস্থ:
\[w_2=\frac{24\times15}{30}=12\text{ মিটার}\]
চারদিকে ভেতরের দিকে সমান প্রস্থের পথ থাকলে মূল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের প্রতিটি থেকে পথের দ্বিগুণ প্রস্থ বাদ দিয়ে ভেতরের ক্ষেত্রফল বের করা হয়।
\[A_{\text{path}}=LW-(L-2t)(W-2t)\]
এ সূত্র প্রয়োগে অবশ্যই \(L\gt2t\), \(W\gt2t\) হতে হবে।

প্রথমে অঙ্কনের চিহ্নের সঙ্গে প্রশ্নে দেওয়া বাহু, কোণ ও দৈর্ঘ্য মিলিয়ে নিতে হবে। এরপর প্রয়োজনীয় বিন্দু, রেখাংশ, উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং কর্ণ শনাক্ত করতে হবে।
প্রশ্ন যদি বাহু ও কোণের সম্পর্ক নিয়ে হয়, তাহলে অন্তঃকোণের সমষ্টি, সদৃশতা, সর্বসমতা এবং পিথাগোরাসের সূত্র বিবেচনা করতে হবে।
ক্ষেত্রফল বা আয়তনের প্রশ্নে একক একই করে নিতে হবে; দৈর্ঘ্যের একক পরিবর্তনের সঙ্গে ক্ষেত্রফলে তার বর্গ এবং আয়তনে ঘন প্রভাব পড়ে।
বৃত্তের প্রশ্নে ব্যাস, জ্যা ও ব্যাসার্ধ আলাদা রাখা জরুরি। সমদ্বিবাহু/সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সাধারণ বৈশিষ্ট্য প্রমাণ ছাড়া ধরে নেওয়া উচিত নয়।