পাটিগণিতের গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা — NTRCA school-level
পাটিগণিতের গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা: গণিত, NTRCA school-level পাঠ ও 259টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/6।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- সংখ্যা, অঙ্ক ও স্থানীয় মান
- গুণনীয়ক ও গুণিতক
- মৌলিক, যৌগিক ও সহমৌলিক সংখ্যা
- মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
- ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ
- বিভাজ্যতার নিয়ম
- ভগ্নাংশ
- ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
- ভগ্নাংশের তুলনা
- গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক
- গড়
- কাজ ও সময়
- শতকরা
- সুদ ও মুনাফা
- ক্রয়মূল্য, বিক্রয়মূল্য, লাভ ও ক্ষতি
- লাভ-ক্ষতির বিশেষ টেকনিক
- অনুপাত
- অনুপাতের বিভিন্ন প্রকার
- সমানুপাত
- ক্রমিক সমানুপাত
- মিশ্রণ
- বহুনির্বাচনী প্রশ্নত্তর
সংখ্যা, অঙ্ক ও স্থানীয় মান
Number, Digit and Place Value
অঙ্ক হলো সংখ্যা প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত মৌলিক প্রতীক। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট দশটি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়—\(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)।
এক বা একাধিক অঙ্ককে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজিয়ে যে পরিমাণ প্রকাশ করা হয় তাকে সংখ্যা বলা হয়।
কোনো সংখ্যার একটি অঙ্ক নিজে যে মান নির্দেশ করে তাকে ঐ অঙ্কের স্বকীয় মান বলা হয়। একই অঙ্ক বিভিন্ন স্থানে বসলে তার স্বকীয় মান অপরিবর্তিত থাকে।
অঙ্কের অবস্থানের কারণে যে মান তৈরি হয় তাকে স্থানীয় মান বলে। ডানদিক থেকে স্থানগুলো পর্যায়ক্রমে একক, দশক, শতক, হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত ও কোটি হিসেবে বিবেচিত হয়।
যেমন, \(555\) সংখ্যায় তিনটি \(5\)-এর স্বকীয় মান একই হলেও স্থানীয় মান যথাক্রমে \(500\), \(50\) ও \(5\)।
পূর্ণসংখ্যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। শূন্যও একটি পূর্ণসংখ্যা। কিন্তু সাধারণ ভগ্নাংশ বা দশমিক ভগ্নাংশ পূর্ণসংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।
এক বা একাধিক অঙ্ককে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজিয়ে যে পরিমাণ প্রকাশ করা হয় তাকে সংখ্যা বলা হয়।
কোনো সংখ্যার একটি অঙ্ক নিজে যে মান নির্দেশ করে তাকে ঐ অঙ্কের স্বকীয় মান বলা হয়। একই অঙ্ক বিভিন্ন স্থানে বসলে তার স্বকীয় মান অপরিবর্তিত থাকে।
অঙ্কের অবস্থানের কারণে যে মান তৈরি হয় তাকে স্থানীয় মান বলে। ডানদিক থেকে স্থানগুলো পর্যায়ক্রমে একক, দশক, শতক, হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত ও কোটি হিসেবে বিবেচিত হয়।
যেমন, \(555\) সংখ্যায় তিনটি \(5\)-এর স্বকীয় মান একই হলেও স্থানীয় মান যথাক্রমে \(500\), \(50\) ও \(5\)।
পূর্ণসংখ্যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। শূন্যও একটি পূর্ণসংখ্যা। কিন্তু সাধারণ ভগ্নাংশ বা দশমিক ভগ্নাংশ পূর্ণসংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।
গুণনীয়ক ও গুণিতক
Factors and Multiples
একটি সংখ্যা দ্বারা অন্য একটি সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলা হয়।
যেমন, \(45\) সংখ্যাটি \(5\) ও \(9\) উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই \(5\) এবং \(9\), \(45\)-এর গুণনীয়ক।
আবার কোনো সংখ্যাকে অপর একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই ফলকে প্রথম সংখ্যার গুণিতক বলা হয়।
যেমন, \(5\)-এর কয়েকটি গুণিতক হলো \(5,10,15,20,25,\ldots\)।
একটি সংখ্যার গুণনীয়কের সংখ্যা সসীম হলেও তার গুণিতকের সংখ্যা অসীম।
যেমন, \(45\) সংখ্যাটি \(5\) ও \(9\) উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই \(5\) এবং \(9\), \(45\)-এর গুণনীয়ক।
আবার কোনো সংখ্যাকে অপর একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই ফলকে প্রথম সংখ্যার গুণিতক বলা হয়।
যেমন, \(5\)-এর কয়েকটি গুণিতক হলো \(5,10,15,20,25,\ldots\)।
একটি সংখ্যার গুণনীয়কের সংখ্যা সসীম হলেও তার গুণিতকের সংখ্যা অসীম।
মৌলিক, যৌগিক ও সহমৌলিক সংখ্যা
Prime, Composite and Co-prime Numbers
মৌলিক সংখ্যা
যে স্বাভাবিক সংখ্যার গুণনীয়ক শুধু \(1\) এবং সংখ্যাটি নিজে, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন, \(2,3,5,7,11,13,17,19\) ইত্যাদি।
\(1\) মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ মৌলিক সংখ্যার ঠিক দুটি ধনাত্মক গুণনীয়ক থাকতে হয়।
\(2\) একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।
\(1\) থেকে \(100\) পর্যন্ত মোট \(25\)টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
যৌগিক সংখ্যা
যে স্বাভাবিক সংখ্যার \(1\) এবং সংখ্যা নিজে ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক থাকে, তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।
যেমন, \(4,6,8,9,10,12\) ইত্যাদি।
সহমৌলিক সংখ্যা
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল \(1\) হলে সংখ্যাগুলোকে পরস্পর সহমৌলিক বলা হয়।
সহমৌলিক হওয়ার জন্য প্রতিটি সংখ্যার নিজে মৌলিক হওয়া আবশ্যক নয়। যেমন \(8\) ও \(9\) উভয়ই যৌগিক, কিন্তু তাদের সাধারণ গুণনীয়ক শুধু \(1\)। তাই তারা সহমৌলিক।
যে স্বাভাবিক সংখ্যার গুণনীয়ক শুধু \(1\) এবং সংখ্যাটি নিজে, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন, \(2,3,5,7,11,13,17,19\) ইত্যাদি।
\(1\) মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ মৌলিক সংখ্যার ঠিক দুটি ধনাত্মক গুণনীয়ক থাকতে হয়।
\(2\) একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।
\(1\) থেকে \(100\) পর্যন্ত মোট \(25\)টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
যৌগিক সংখ্যা
যে স্বাভাবিক সংখ্যার \(1\) এবং সংখ্যা নিজে ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক থাকে, তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।
যেমন, \(4,6,8,9,10,12\) ইত্যাদি।
সহমৌলিক সংখ্যা
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল \(1\) হলে সংখ্যাগুলোকে পরস্পর সহমৌলিক বলা হয়।
সহমৌলিক হওয়ার জন্য প্রতিটি সংখ্যার নিজে মৌলিক হওয়া আবশ্যক নয়। যেমন \(8\) ও \(9\) উভয়ই যৌগিক, কিন্তু তাদের সাধারণ গুণনীয়ক শুধু \(1\)। তাই তারা সহমৌলিক।
মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
Rational and Irrational Numbers
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায় তাকে মূলদ সংখ্যা বলে। অর্থাৎ সংখ্যাটি \(\frac{p}{q}\) আকারে লেখা সম্ভব, যেখানে \(q\) শূন্য নয়।
পূর্ণসংখ্যা, সাধারণ ভগ্নাংশ এবং সসীম বা আবর্ত দশমিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
যেমন, \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা। তবে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ নয়। যেমন \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{9}\) ও \(\sqrt{144}\) পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে।
পূর্ণসংখ্যা, সাধারণ ভগ্নাংশ এবং সসীম বা আবর্ত দশমিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।
যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
যেমন, \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা। তবে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ নয়। যেমন \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{9}\) ও \(\sqrt{144}\) পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে।
ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ
Dividend, Divisor, Quotient and Remainder
যে সংখ্যাকে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য বলা হয়।
যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে।
ভাজ্যকে ভাজক দ্বারা ভাগ করলে যে ফল পাওয়া যায় তাকে ভাগফল বলা হয়।
ভাগ করার পর কিছু অংশ অবশিষ্ট থেকে গেলে তাকে ভাগশেষ বলে।
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়। ভাগশেষ শূন্য হলে ভাজ্যটি ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে।
ভাজ্যকে ভাজক দ্বারা ভাগ করলে যে ফল পাওয়া যায় তাকে ভাগফল বলা হয়।
ভাগ করার পর কিছু অংশ অবশিষ্ট থেকে গেলে তাকে ভাগশেষ বলে।
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়। ভাগশেষ শূন্য হলে ভাজ্যটি ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
বিভাজ্যতার কিছু গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম
Divisibility Rules
২ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার এককের অঙ্ক \(0,2,4,6,8\)-এর একটি হলে সংখ্যাটি \(2\) দ্বারা বিভাজ্য।
৩ দ্বারা বিভাজ্যতা
সংখ্যাটির সব অঙ্কের যোগফল \(3\) দ্বারা বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাটিও \(3\) দ্বারা বিভাজ্য।
৪ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হলে সম্পূর্ণ সংখ্যাটিও \(4\) দ্বারা বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্যতা
এককের অঙ্ক \(0\) অথবা \(5\) হলে সংখ্যাটি \(5\) দ্বারা বিভাজ্য।
১০ দ্বারা বিভাজ্যতা
সংখ্যার এককের অঙ্ক \(0\) হলে সংখ্যাটি \(10\) দ্বারা বিভাজ্য।
কোনো সংখ্যার এককের অঙ্ক \(0,2,4,6,8\)-এর একটি হলে সংখ্যাটি \(2\) দ্বারা বিভাজ্য।
৩ দ্বারা বিভাজ্যতা
সংখ্যাটির সব অঙ্কের যোগফল \(3\) দ্বারা বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাটিও \(3\) দ্বারা বিভাজ্য।
৪ দ্বারা বিভাজ্যতা
কোনো সংখ্যার শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হলে সম্পূর্ণ সংখ্যাটিও \(4\) দ্বারা বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্যতা
এককের অঙ্ক \(0\) অথবা \(5\) হলে সংখ্যাটি \(5\) দ্বারা বিভাজ্য।
১০ দ্বারা বিভাজ্যতা
সংখ্যার এককের অঙ্ক \(0\) হলে সংখ্যাটি \(10\) দ্বারা বিভাজ্য।
ভগ্নাংশ
Fraction
দুটি পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ বা অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করলে যে রাশি পাওয়া যায় তাকে ভগ্নাংশ বলা হয়।
\(\frac{a}{b}\) ভগ্নাংশে \(a\) হলো লব এবং \(b\) হলো হর। এখানে হর শূন্য হতে পারে না।
ভগ্নাংশের মাধ্যমে কোনো সম্পূর্ণ বস্তুর অংশ, কোনো সেটের অংশ, দুই বা ততোধিক রাশির তুলনা এবং বিভিন্ন পরিমাণের সম্পর্ক প্রকাশ করা যায়।
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মান অপরিবর্তিত থাকে।
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হর পরস্পর অদলবদল করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তাকে মূল ভগ্নাংশটির বিপরীত ভগ্নাংশ বলে। শূন্য লববিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিপরীত ভগ্নাংশ সংজ্ঞায়িত নয়।
কোনো ভগ্নাংশকে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে গুণফল \(1\) হয়।
\(\frac{a}{b}\) ভগ্নাংশে \(a\) হলো লব এবং \(b\) হলো হর। এখানে হর শূন্য হতে পারে না।
ভগ্নাংশের মাধ্যমে কোনো সম্পূর্ণ বস্তুর অংশ, কোনো সেটের অংশ, দুই বা ততোধিক রাশির তুলনা এবং বিভিন্ন পরিমাণের সম্পর্ক প্রকাশ করা যায়।
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মান অপরিবর্তিত থাকে।
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হর পরস্পর অদলবদল করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তাকে মূল ভগ্নাংশটির বিপরীত ভগ্নাংশ বলে। শূন্য লববিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিপরীত ভগ্নাংশ সংজ্ঞায়িত নয়।
কোনো ভগ্নাংশকে তার বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করলে গুণফল \(1\) হয়।
ভগ্নাংশের প্রকারভেদ
Types of Fraction
প্রকৃত ভগ্নাংশ
যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। এর মান \(1\)-এর চেয়ে ছোট।
যেমন, \(\frac{2}{3},\frac{5}{9},\frac{7}{8}\)।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
যে ভগ্নাংশে লব হরের সমান বা হরের চেয়ে বড় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন, \(\frac{7}{5},\frac{9}{4},\frac{8}{8}\)।
মিশ্র ভগ্নাংশ
একটি পূর্ণসংখ্যা ও একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একত্রে থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন, \(2\frac{1}{3}\), \(4\frac{2}{5}\)।
প্রতিটি মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে এবং উপযুক্ত অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।
জটিল ভগ্নাংশ
যে ভগ্নাংশের লব অথবা হর কিংবা উভয়ের মধ্যে আবার ভগ্নাংশ থাকে তাকে জটিল ভগ্নাংশ বলে।
যৌগিক ভগ্নাংশ
দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশ গুণ, ভাগ বা অন্য গাণিতিক সম্পর্কের মাধ্যমে যুক্ত হয়ে একটি ভগ্নাংশীয় রাশি তৈরি করলে তাকে যৌগিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ
যেসব ভগ্নাংশের হর সমান, সেগুলোকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলে।
অসমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ
যেসব ভগ্নাংশের হর ভিন্ন, সেগুলোকে অসমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলে।
দশমিক ভগ্নাংশ
\(10,100,1000\) ইত্যাদি \(10\)-এর ঘাত হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।
সসীম দশমিক
যে দশমিক সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পরে সীমিত সংখ্যক অঙ্ক থাকে তাকে সসীম দশমিক বলে।
অসীম আবর্ত দশমিক
যে দশমিক সংখ্যার এক বা একাধিক অঙ্ক একটি নির্দিষ্ট নিয়মে বারবার ফিরে আসে তাকে আবর্ত দশমিক বলা হয়।
যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে। এর মান \(1\)-এর চেয়ে ছোট।
যেমন, \(\frac{2}{3},\frac{5}{9},\frac{7}{8}\)।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
যে ভগ্নাংশে লব হরের সমান বা হরের চেয়ে বড় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন, \(\frac{7}{5},\frac{9}{4},\frac{8}{8}\)।
মিশ্র ভগ্নাংশ
একটি পূর্ণসংখ্যা ও একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একত্রে থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন, \(2\frac{1}{3}\), \(4\frac{2}{5}\)।
প্রতিটি মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে এবং উপযুক্ত অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।
জটিল ভগ্নাংশ
যে ভগ্নাংশের লব অথবা হর কিংবা উভয়ের মধ্যে আবার ভগ্নাংশ থাকে তাকে জটিল ভগ্নাংশ বলে।
যৌগিক ভগ্নাংশ
দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশ গুণ, ভাগ বা অন্য গাণিতিক সম্পর্কের মাধ্যমে যুক্ত হয়ে একটি ভগ্নাংশীয় রাশি তৈরি করলে তাকে যৌগিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ
যেসব ভগ্নাংশের হর সমান, সেগুলোকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলে।
অসমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ
যেসব ভগ্নাংশের হর ভিন্ন, সেগুলোকে অসমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলে।
দশমিক ভগ্নাংশ
\(10,100,1000\) ইত্যাদি \(10\)-এর ঘাত হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।
সসীম দশমিক
যে দশমিক সংখ্যায় দশমিক বিন্দুর পরে সীমিত সংখ্যক অঙ্ক থাকে তাকে সসীম দশমিক বলে।
অসীম আবর্ত দশমিক
যে দশমিক সংখ্যার এক বা একাধিক অঙ্ক একটি নির্দিষ্ট নিয়মে বারবার ফিরে আসে তাকে আবর্ত দশমিক বলা হয়।
ভগ্নাংশের তুলনা
Comparison of Fractions
সমহরবিশিষ্ট একাধিক ভগ্নাংশের মধ্যে যে ভগ্নাংশের লব বড়, সেই ভগ্নাংশের মান বড়।
একইভাবে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে যার লব ছোট, তার মানও ছোট।
সমলববিশিষ্ট ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে নিয়মটি বিপরীত। হর যত ছোট হবে ভগ্নাংশটি তত বড় হবে এবং হর যত বড় হবে ভগ্নাংশটি তত ছোট হবে।
অসম লব ও অসম হরবিশিষ্ট দুইটি ভগ্নাংশ তুলনা করতে আড়াআড়ি গুণ পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।
যেমন, \(\frac{a}{b}\) ও \(\frac{c}{d}\) তুলনার জন্য \(ad\) এবং \(bc\) তুলনা করলেই কোন ভগ্নাংশটি বড় তা নির্ণয় করা যায়।
একইভাবে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে যার লব ছোট, তার মানও ছোট।
সমলববিশিষ্ট ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে নিয়মটি বিপরীত। হর যত ছোট হবে ভগ্নাংশটি তত বড় হবে এবং হর যত বড় হবে ভগ্নাংশটি তত ছোট হবে।
অসম লব ও অসম হরবিশিষ্ট দুইটি ভগ্নাংশ তুলনা করতে আড়াআড়ি গুণ পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।
যেমন, \(\frac{a}{b}\) ও \(\frac{c}{d}\) তুলনার জন্য \(ad\) এবং \(bc\) তুলনা করলেই কোন ভগ্নাংশটি বড় তা নির্ণয় করা যায়।
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক
Highest Common Factor
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটিকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. বলা হয়।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের প্রচলিত দুটি পদ্ধতি হলো—
১। মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
২। ইউক্লিডীয় ভাগ পদ্ধতি
মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি
প্রদত্ত প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়। পরে সব সংখ্যার সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল নিলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
ইউক্লিডীয় পদ্ধতি
বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হয়। এরপর পূর্ববর্তী ভাজককে নতুন ভাগশেষ দিয়ে ভাগ করতে হয়। ভাগশেষ শূন্য হওয়ার ঠিক আগের ভাজকই গ.সা.গু.।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের প্রচলিত দুটি পদ্ধতি হলো—
১। মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
২। ইউক্লিডীয় ভাগ পদ্ধতি
মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি
প্রদত্ত প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়। পরে সব সংখ্যার সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল নিলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
ইউক্লিডীয় পদ্ধতি
বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হয়। এরপর পূর্ববর্তী ভাজককে নতুন ভাগশেষ দিয়ে ভাগ করতে হয়। ভাগশেষ শূন্য হওয়ার ঠিক আগের ভাজকই গ.সা.গু.।
গড়
Average
একই ধরনের কয়েকটি রাশির মোট যোগফলকে রাশির সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে গড় বলা হয়।
\[ \text{গড়}\;\rightarrow\;\frac{\text{রাশিগুলোর মোট যোগফল}}{\text{রাশির সংখ্যা}} \]
গড় জানা থাকলে মোট সমষ্টি নির্ণয়ের নিয়ম—
\[ \text{সমষ্টি}\;\rightarrow\;\text{গড়}\times\text{রাশির সংখ্যা} \]
আবার সমষ্টি ও গড় জানা থাকলে রাশির সংখ্যা—
\[ \text{রাশির সংখ্যা}\;\rightarrow\;\frac{\text{সমষ্টি}}{\text{গড়}} \]
সমান পার্থক্যের ধারায় প্রথম ও শেষ পদ জানা থাকলে গড় সহজে নির্ণয় করা যায়—
\[ \text{গড়}\;\rightarrow\;\frac{\text{প্রথম পদ}+\text{শেষ পদ}}{2} \]
দূরত্ব ও সময় দেওয়া থাকলে গড় গতি নির্ণয়ে মোট দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়।
দুটি সমান দূরত্ব যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) গতিতে অতিক্রম করলে গড় গতি—
\[ \frac{2xy}{x+y} \]
\[ \text{গড়}\;\rightarrow\;\frac{\text{রাশিগুলোর মোট যোগফল}}{\text{রাশির সংখ্যা}} \]
গড় জানা থাকলে মোট সমষ্টি নির্ণয়ের নিয়ম—
\[ \text{সমষ্টি}\;\rightarrow\;\text{গড়}\times\text{রাশির সংখ্যা} \]
আবার সমষ্টি ও গড় জানা থাকলে রাশির সংখ্যা—
\[ \text{রাশির সংখ্যা}\;\rightarrow\;\frac{\text{সমষ্টি}}{\text{গড়}} \]
সমান পার্থক্যের ধারায় প্রথম ও শেষ পদ জানা থাকলে গড় সহজে নির্ণয় করা যায়—
\[ \text{গড়}\;\rightarrow\;\frac{\text{প্রথম পদ}+\text{শেষ পদ}}{2} \]
দূরত্ব ও সময় দেওয়া থাকলে গড় গতি নির্ণয়ে মোট দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করতে হয়।
দুটি সমান দূরত্ব যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) গতিতে অতিক্রম করলে গড় গতি—
\[ \frac{2xy}{x+y} \]
কাজ ও সময়
Work and Time
কাজ ও সময়ের অধিকাংশ সমস্যায় ঐকিক নিয়ম ব্যবহার করা যায়। কাজের পরিমাণ স্থির থাকলে কর্মীর সংখ্যা এবং কাজ শেষ করার সময় সাধারণত ব্যস্তানুপাতিক।
অর্থাৎ কর্মীর সংখ্যা বাড়লে সময় কমে এবং কর্মীর সংখ্যা কমলে সময় বাড়ে।
একজন ব্যক্তি কোনো কাজ \(x\) দিনে শেষ করলে এক দিনে তার কাজের পরিমাণ—
\[ \frac{1}{x} \]
একইভাবে \(n\) জন কর্মী যদি \(x\) দিনে একটি কাজ সম্পন্ন করে, তবে মোট কর্ম-দিনের ধারণা ব্যবহার করা যায়—
\[ n\times x \]
একই দক্ষতার শ্রমিকের ক্ষেত্রে কাজ অপরিবর্তিত থাকলে—
\[ \text{লোকসংখ্যা}\times\text{দিনসংখ্যা} \] ধ্রুব থাকে।
কোনো কাজের একটি অংশ সম্পন্ন এবং একটি অংশ বাকি থাকলে প্রথমে সম্পন্ন অংশ বা অবশিষ্ট অংশকে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হিসাব সহজ হয়।
দূরত্বের সমস্যায় মৌলিক সম্পর্ক—
\[ \text{দূরত্ব}\;\rightarrow\;\text{বেগ}\times\text{সময়} \]
এ কারণে একই দূরত্ব অতিক্রমের ক্ষেত্রে বেগ ও সময় ব্যস্তানুপাতিক।
অর্থাৎ কর্মীর সংখ্যা বাড়লে সময় কমে এবং কর্মীর সংখ্যা কমলে সময় বাড়ে।
একজন ব্যক্তি কোনো কাজ \(x\) দিনে শেষ করলে এক দিনে তার কাজের পরিমাণ—
\[ \frac{1}{x} \]
একইভাবে \(n\) জন কর্মী যদি \(x\) দিনে একটি কাজ সম্পন্ন করে, তবে মোট কর্ম-দিনের ধারণা ব্যবহার করা যায়—
\[ n\times x \]
একই দক্ষতার শ্রমিকের ক্ষেত্রে কাজ অপরিবর্তিত থাকলে—
\[ \text{লোকসংখ্যা}\times\text{দিনসংখ্যা} \] ধ্রুব থাকে।
কোনো কাজের একটি অংশ সম্পন্ন এবং একটি অংশ বাকি থাকলে প্রথমে সম্পন্ন অংশ বা অবশিষ্ট অংশকে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হিসাব সহজ হয়।
দূরত্বের সমস্যায় মৌলিক সম্পর্ক—
\[ \text{দূরত্ব}\;\rightarrow\;\text{বেগ}\times\text{সময়} \]
এ কারণে একই দূরত্ব অতিক্রমের ক্ষেত্রে বেগ ও সময় ব্যস্তানুপাতিক।
শতকরা
Percentage
শতকরা অর্থ প্রতি শত বা প্রতি \(100\)। কোনো পরিমাণকে \(100\)-এর ভিত্তিতে প্রকাশ করার পদ্ধতিকে শতকরা বলা হয়।
শতকরা চিহ্ন হলো \(\%\)।
যেমন, \(5\%\) অর্থ প্রতি \(100\)-এ \(5\) অংশ বা \(\frac{5}{100}\)।
শতকরা মান ভগ্নাংশের মতো \(100\%\)-এর চেয়েও বেশি হতে পারে।
\(100\%\) কোনো সম্পূর্ণ পরিমাণ নির্দেশ করে। \(200\%\) সম্পূর্ণ পরিমাণের দ্বিগুণ এবং \(300\%\) তিনগুণ নির্দেশ করে।
কোনো সংখ্যার নির্দিষ্ট শতকরা অংশ নির্ণয় করতে—
\[ \text{প্রদত্ত সংখ্যা}\times\frac{\text{শতকরা হার}}{100} \]
আবার কোনো পরিমাণ অন্য একটি পরিমাণের কত শতাংশ তা নির্ণয় করতে—
\[ \frac{\text{অংশ}}{\text{মোট পরিমাণ}}\times100\% \]
কোনো সংখ্যার \(p\%\) যদি \(a\) হয়, তবে মূল সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য \(a\)-কে \(p\) দ্বারা ভাগ করে \(100\) দ্বারা গুণ করা যায়।
শতকরা চিহ্ন হলো \(\%\)।
যেমন, \(5\%\) অর্থ প্রতি \(100\)-এ \(5\) অংশ বা \(\frac{5}{100}\)।
শতকরা মান ভগ্নাংশের মতো \(100\%\)-এর চেয়েও বেশি হতে পারে।
\(100\%\) কোনো সম্পূর্ণ পরিমাণ নির্দেশ করে। \(200\%\) সম্পূর্ণ পরিমাণের দ্বিগুণ এবং \(300\%\) তিনগুণ নির্দেশ করে।
কোনো সংখ্যার নির্দিষ্ট শতকরা অংশ নির্ণয় করতে—
\[ \text{প্রদত্ত সংখ্যা}\times\frac{\text{শতকরা হার}}{100} \]
আবার কোনো পরিমাণ অন্য একটি পরিমাণের কত শতাংশ তা নির্ণয় করতে—
\[ \frac{\text{অংশ}}{\text{মোট পরিমাণ}}\times100\% \]
কোনো সংখ্যার \(p\%\) যদি \(a\) হয়, তবে মূল সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য \(a\)-কে \(p\) দ্বারা ভাগ করে \(100\) দ্বারা গুণ করা যায়।
সুদ ও মুনাফা
Interest and Amount
আসল বা মূলধন
যে অর্থ ঋণ দেওয়া হয় অথবা কোনো কাজে বিনিয়োগ করা হয় তাকে আসল বা মূলধন বলে।
সুদ বা মুনাফা
নির্দিষ্ট সময়ের জন্য মূলধন ব্যবহারের বিনিময়ে মূলধনের অতিরিক্ত যে অর্থ পাওয়া যায় তাকে সুদ বা মুনাফা বলা হয়।
সুদাসল
আসলের সঙ্গে অর্জিত সুদ যোগ করলে যে মোট অর্থ পাওয়া যায় তাকে সুদাসল বা Amount বলা হয়।
\[ \text{সুদাসল}\;\rightarrow\;\text{আসল}+\text{সুদ} \]
সুদের হার
নির্দিষ্ট সময়ে প্রতি \(100\) টাকা মূলধনের উপর যে পরিমাণ সুদ ধার্য হয় তাকে সুদের হার বলা হয়। হার উল্লেখ করা থাকলেও সময়ের একক উল্লেখ না থাকলে সাধারণত বার্ষিক হার বোঝানো হয়।
সুদ সাধারণত দুই ধরনের—
১। সরল সুদ
২। চক্রবৃদ্ধি সুদ
সরল সুদ
প্রতি সময়পর্বে কেবল প্রাথমিক মূলধনের উপর সুদ হিসাব করা হলে তাকে সরল সুদ বলা হয়।
সরল সুদের সূত্র—
\[ I\;\rightarrow\;\frac{P\times R\times T}{100} \]
এখানে \(P\) মূলধন, \(R\) শতকরা বার্ষিক সুদের হার এবং \(T\) সময়।
চক্রবৃদ্ধি সুদ
প্রতিটি নির্ধারিত সময় শেষে অর্জিত সুদ মূলধনের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পরবর্তী সময়ের নতুন মূলধন তৈরি করলে তাকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলা হয়। ফলে পরবর্তী সময়ে আগের সুদের উপরও সুদ পাওয়া যায়।
যে অর্থ ঋণ দেওয়া হয় অথবা কোনো কাজে বিনিয়োগ করা হয় তাকে আসল বা মূলধন বলে।
সুদ বা মুনাফা
নির্দিষ্ট সময়ের জন্য মূলধন ব্যবহারের বিনিময়ে মূলধনের অতিরিক্ত যে অর্থ পাওয়া যায় তাকে সুদ বা মুনাফা বলা হয়।
সুদাসল
আসলের সঙ্গে অর্জিত সুদ যোগ করলে যে মোট অর্থ পাওয়া যায় তাকে সুদাসল বা Amount বলা হয়।
\[ \text{সুদাসল}\;\rightarrow\;\text{আসল}+\text{সুদ} \]
সুদের হার
নির্দিষ্ট সময়ে প্রতি \(100\) টাকা মূলধনের উপর যে পরিমাণ সুদ ধার্য হয় তাকে সুদের হার বলা হয়। হার উল্লেখ করা থাকলেও সময়ের একক উল্লেখ না থাকলে সাধারণত বার্ষিক হার বোঝানো হয়।
সুদ সাধারণত দুই ধরনের—
১। সরল সুদ
২। চক্রবৃদ্ধি সুদ
সরল সুদ
প্রতি সময়পর্বে কেবল প্রাথমিক মূলধনের উপর সুদ হিসাব করা হলে তাকে সরল সুদ বলা হয়।
সরল সুদের সূত্র—
\[ I\;\rightarrow\;\frac{P\times R\times T}{100} \]
এখানে \(P\) মূলধন, \(R\) শতকরা বার্ষিক সুদের হার এবং \(T\) সময়।
চক্রবৃদ্ধি সুদ
প্রতিটি নির্ধারিত সময় শেষে অর্জিত সুদ মূলধনের সঙ্গে যুক্ত হয়ে পরবর্তী সময়ের নতুন মূলধন তৈরি করলে তাকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলা হয়। ফলে পরবর্তী সময়ে আগের সুদের উপরও সুদ পাওয়া যায়।
ক্রয়মূল্য, বিক্রয়মূল্য, লাভ ও ক্ষতি
Cost Price, Selling Price, Profit and Loss
ক্রয়মূল্য
কোনো দ্রব্য যে মূল্যে কেনা হয় তাকে ক্রয়মূল্য বা Cost Price বলা হয়।
বিক্রয়মূল্য
দ্রব্যটি যে মূল্যে বিক্রি করা হয় তাকে বিক্রয়মূল্য বা Selling Price বলা হয়।
লাভ
বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে লাভ হয়। লাভের পরিমাণ ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য।
\[ \text{লাভ}\;\rightarrow\;\text{বিক্রয়মূল্য}-\text{ক্রয়মূল্য} \]
ক্ষতি
বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের তুলনায় কম হলে ক্ষতি হয়।
\[ \text{ক্ষতি}\;\rightarrow\;\text{ক্রয়মূল্য}-\text{বিক্রয়মূল্য} \]
লাভ বা ক্ষতির শতকরা হার সাধারণত ক্রয়মূল্যকে ভিত্তি ধরে নির্ণয় করা হয়।
\[ \text{লাভের হার}\;\rightarrow\; \frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}}\times100\% \]
\[ \text{ক্ষতির হার}\;\rightarrow\; \frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}}\times100\% \]
কোনো দ্রব্য যে মূল্যে কেনা হয় তাকে ক্রয়মূল্য বা Cost Price বলা হয়।
বিক্রয়মূল্য
দ্রব্যটি যে মূল্যে বিক্রি করা হয় তাকে বিক্রয়মূল্য বা Selling Price বলা হয়।
লাভ
বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে লাভ হয়। লাভের পরিমাণ ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য।
\[ \text{লাভ}\;\rightarrow\;\text{বিক্রয়মূল্য}-\text{ক্রয়মূল্য} \]
ক্ষতি
বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের তুলনায় কম হলে ক্ষতি হয়।
\[ \text{ক্ষতি}\;\rightarrow\;\text{ক্রয়মূল্য}-\text{বিক্রয়মূল্য} \]
লাভ বা ক্ষতির শতকরা হার সাধারণত ক্রয়মূল্যকে ভিত্তি ধরে নির্ণয় করা হয়।
\[ \text{লাভের হার}\;\rightarrow\; \frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}}\times100\% \]
\[ \text{ক্ষতির হার}\;\rightarrow\; \frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}}\times100\% \]
লাভ-ক্ষতির বিশেষ টেকনিক
Special Techniques of Profit and Loss
অনেক লাভ-ক্ষতির সমস্যায় সরাসরি মোট টাকার হিসাব না করে প্রতি \(1\) টাকা অথবা নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্যের ভিত্তিতে হিসাব করলে সমাধান সহজ হয়।
যদি টাকায় \(m\)টি পণ্য ক্রয় করা হয়, তবে একটি পণ্যের ক্রয়মূল্য—
\[ \frac{1}{m}\text{ টাকা} \]
আবার টাকায় \(n\)টি পণ্য বিক্রি করা হলে একটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য—
\[ \frac{1}{n}\text{ টাকা} \]
তখন একক পণ্যের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য থেকে লাভ বা ক্ষতি পাওয়া যায় এবং ক্রয়মূল্যের ভিত্তিতে শতকরা হার নির্ণয় করা যায়।
অন্য আরেক ধরনের সমস্যায় টাকায় ক্রয়কৃত পণ্যের সংখ্যা ও টাকায় বিক্রিত পণ্যের সংখ্যা দেওয়া থাকে। সেক্ষেত্রে পণ্যের সংখ্যা বেশি মানে একক মূল্য কম এবং পণ্যের সংখ্যা কম মানে একক মূল্য বেশি—এই ধারণাটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
যদি টাকায় \(m\)টি পণ্য ক্রয় করা হয়, তবে একটি পণ্যের ক্রয়মূল্য—
\[ \frac{1}{m}\text{ টাকা} \]
আবার টাকায় \(n\)টি পণ্য বিক্রি করা হলে একটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য—
\[ \frac{1}{n}\text{ টাকা} \]
তখন একক পণ্যের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য থেকে লাভ বা ক্ষতি পাওয়া যায় এবং ক্রয়মূল্যের ভিত্তিতে শতকরা হার নির্ণয় করা যায়।
অন্য আরেক ধরনের সমস্যায় টাকায় ক্রয়কৃত পণ্যের সংখ্যা ও টাকায় বিক্রিত পণ্যের সংখ্যা দেওয়া থাকে। সেক্ষেত্রে পণ্যের সংখ্যা বেশি মানে একক মূল্য কম এবং পণ্যের সংখ্যা কম মানে একক মূল্য বেশি—এই ধারণাটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
অনুপাত
Ratio
একই জাতীয় দুটি রাশির ভাগের মাধ্যমে তাদের তুলনা করাকে অনুপাত বলে।
অনুপাত প্রকাশে সাধারণত কোলন চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। যেমন \(7:3\)। এখানে প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়।
অনুপাতের কোনো একক থাকে না। কারণ একই জাতীয় দুটি রাশি ভাগ করার ফলে একক পরস্পর বিলুপ্ত হয়।
একটি অনুপাতের উভয় রাশিকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মান পরিবর্তিত হয় না।
যেমন \(5:8\)-এর উভয় রাশিকে \(10\) দ্বারা গুণ করলে \(50:80\) পাওয়া যায় এবং উভয় অনুপাত একই সম্পর্ক প্রকাশ করে।
অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারেও লেখা যায়। \(a:b\) অনুপাতটি \(\frac{a}{b}\) আকারে প্রকাশযোগ্য।
অনুপাত প্রকাশে সাধারণত কোলন চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। যেমন \(7:3\)। এখানে প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়।
অনুপাতের কোনো একক থাকে না। কারণ একই জাতীয় দুটি রাশি ভাগ করার ফলে একক পরস্পর বিলুপ্ত হয়।
একটি অনুপাতের উভয় রাশিকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মান পরিবর্তিত হয় না।
যেমন \(5:8\)-এর উভয় রাশিকে \(10\) দ্বারা গুণ করলে \(50:80\) পাওয়া যায় এবং উভয় অনুপাত একই সম্পর্ক প্রকাশ করে।
অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারেও লেখা যায়। \(a:b\) অনুপাতটি \(\frac{a}{b}\) আকারে প্রকাশযোগ্য।
অনুপাতের বিভিন্ন প্রকার
Types of Ratio
সরল অনুপাত
দুটি রাশির সরাসরি তুলনায় যে অনুপাত তৈরি হয় তাকে সরল অনুপাত বলা হয়।
ব্যস্ত অনুপাত
কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির স্থান পরিবর্তন করলে ব্যস্ত অনুপাত পাওয়া যায়।
যেমন \(5:8\)-এর ব্যস্ত অনুপাত \(8:5\)।
মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত
একাধিক অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল দিয়ে যে নতুন অনুপাত তৈরি হয় তাকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত বলা হয়।
যেমন \(a:b\), \(c:d\) এবং \(e:f\)-এর যৌগিক অনুপাত—
\[ ace:bdf \]
দ্বিগুণ অনুপাত
কোনো অনুপাতের উভয় রাশির বর্গ দ্বারা গঠিত অনুপাতকে তার দ্বিগুণ অনুপাত বলা হয়।
\(a:b\)-এর দ্বিগুণ অনুপাত \(a^2:b^2\)।
ধারাবাহিক অনুপাত
দুটি অনুপাতের একটি রাশি একই হলে সেগুলোকে একটি ধারাবাহিক অনুপাতের আকারে প্রকাশ করা যায়।
যদি \(a:b\) এবং \(b:c\) দুটি অনুপাত হয়, তবে ধারাবাহিকভাবে \(a:b:c\) লেখা যায়।
দুটি অনুপাতের সাধারণ মধ্য রাশিকে সমান করার জন্য প্রয়োজনে অনুপাত দুটির উভয় পদ উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়।
দুটি রাশির সরাসরি তুলনায় যে অনুপাত তৈরি হয় তাকে সরল অনুপাত বলা হয়।
ব্যস্ত অনুপাত
কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির স্থান পরিবর্তন করলে ব্যস্ত অনুপাত পাওয়া যায়।
যেমন \(5:8\)-এর ব্যস্ত অনুপাত \(8:5\)।
মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত
একাধিক অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল দিয়ে যে নতুন অনুপাত তৈরি হয় তাকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত বলা হয়।
যেমন \(a:b\), \(c:d\) এবং \(e:f\)-এর যৌগিক অনুপাত—
\[ ace:bdf \]
দ্বিগুণ অনুপাত
কোনো অনুপাতের উভয় রাশির বর্গ দ্বারা গঠিত অনুপাতকে তার দ্বিগুণ অনুপাত বলা হয়।
\(a:b\)-এর দ্বিগুণ অনুপাত \(a^2:b^2\)।
ধারাবাহিক অনুপাত
দুটি অনুপাতের একটি রাশি একই হলে সেগুলোকে একটি ধারাবাহিক অনুপাতের আকারে প্রকাশ করা যায়।
যদি \(a:b\) এবং \(b:c\) দুটি অনুপাত হয়, তবে ধারাবাহিকভাবে \(a:b:c\) লেখা যায়।
দুটি অনুপাতের সাধারণ মধ্য রাশিকে সমান করার জন্য প্রয়োজনে অনুপাত দুটির উভয় পদ উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়।
সমানুপাত
Proportion
দুটি অনুপাতের মান সমান হলে সেই সম্পর্ককে সমানুপাত বলা হয়। চারটি রাশি \(a,b,c,d\) সমানুপাত গঠন করলে তা \(a:b::c:d\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
সমানুপাতের প্রথম ও চতুর্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশিকে মধ্য রাশি বলা হয়।
সমানুপাতের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো—প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল এবং মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল সমান।
অর্থাৎ \(a:b::c:d\) হলে—
\[ a\times d\;\rightarrow\;b\times c \]
সমানুপাতের সব রাশি একই জাতীয় হওয়া বাধ্যতামূলক নয়। তবে প্রতিটি আলাদা অনুপাতের দুই রাশি তুলনাযোগ্য হতে হয়।
সমানুপাতের চতুর্থ রাশি নির্ণয়ে প্রথম তিন রাশির মধ্য থেকে প্রয়োজনীয় গুণ ও ভাগের সম্পর্ক ব্যবহার করা যায়।
সমানুপাতের প্রথম ও চতুর্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশিকে মধ্য রাশি বলা হয়।
সমানুপাতের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো—প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল এবং মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল সমান।
অর্থাৎ \(a:b::c:d\) হলে—
\[ a\times d\;\rightarrow\;b\times c \]
সমানুপাতের সব রাশি একই জাতীয় হওয়া বাধ্যতামূলক নয়। তবে প্রতিটি আলাদা অনুপাতের দুই রাশি তুলনাযোগ্য হতে হয়।
সমানুপাতের চতুর্থ রাশি নির্ণয়ে প্রথম তিন রাশির মধ্য থেকে প্রয়োজনীয় গুণ ও ভাগের সম্পর্ক ব্যবহার করা যায়।
ক্রমিক সমানুপাত
Continued Proportion
তিনটি রাশি এমনভাবে সম্পর্কিত হলে যে প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির অনুপাতের সমান, তখন রাশিগুলোকে ক্রমিক সমানুপাতী বলা হয়।
\(a,b,c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::b:c \]
এক্ষেত্রে \(b\) হলো \(a\) ও \(c\)-এর মধ্য সমানুপাতী।
ক্রমিক সমানুপাতের মূল সম্পর্ক—
\[ b^2\;\rightarrow\;ac \]
অর্থাৎ মধ্য রাশির বর্গ প্রথম ও তৃতীয় রাশির গুণফলের সমান।
তাই প্রথম ও তৃতীয় রাশি জানা থাকলে মধ্য সমানুপাতী নির্ণয়ে তাদের গুণফলের বর্গমূল নেওয়া যায়।
\(a,b,c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::b:c \]
এক্ষেত্রে \(b\) হলো \(a\) ও \(c\)-এর মধ্য সমানুপাতী।
ক্রমিক সমানুপাতের মূল সম্পর্ক—
\[ b^2\;\rightarrow\;ac \]
অর্থাৎ মধ্য রাশির বর্গ প্রথম ও তৃতীয় রাশির গুণফলের সমান।
তাই প্রথম ও তৃতীয় রাশি জানা থাকলে মধ্য সমানুপাতী নির্ণয়ে তাদের গুণফলের বর্গমূল নেওয়া যায়।
মিশ্রণ
Mixture
ভিন্ন ধরনের দুই বা ততোধিক উপাদান একত্র করলে যে সম্মিলিত পদার্থ বা রাশি তৈরি হয় তাকে মিশ্রণ বলা হয়।
মিশ্রণের প্রতিটি পৃথক পদার্থকে ঐ মিশ্রণের উপাদান বলা হয়।
মিশ্রণের উপাদানগুলো যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে থাকতে পারে। তাই কোনো উপাদানের পরিমাণ ও মোট মিশ্রণের পরিমাণ জানা থাকলে অন্য উপাদানের পরিমাণ বা তাদের পারস্পরিক অনুপাত নির্ণয় করা যায়।
যেমন \(5\) কেজি একটি পদার্থের সঙ্গে \(2\) কেজি অন্য পদার্থ মেশানো হলে দুই উপাদানের অনুপাত \(5:2\)।
মিশ্রণের সমস্যা সমাধানের সময় প্রথমে কোন কোন উপাদান আছে এবং তাদের পরিমাণ কী—এগুলো আলাদাভাবে নির্ধারণ করা সুবিধাজনক। এরপর মোট পরিমাণ বা প্রয়োজনীয় অনুপাত নির্ণয় করা হয়।
মিশ্রণের প্রতিটি পৃথক পদার্থকে ঐ মিশ্রণের উপাদান বলা হয়।
মিশ্রণের উপাদানগুলো যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে থাকতে পারে। তাই কোনো উপাদানের পরিমাণ ও মোট মিশ্রণের পরিমাণ জানা থাকলে অন্য উপাদানের পরিমাণ বা তাদের পারস্পরিক অনুপাত নির্ণয় করা যায়।
যেমন \(5\) কেজি একটি পদার্থের সঙ্গে \(2\) কেজি অন্য পদার্থ মেশানো হলে দুই উপাদানের অনুপাত \(5:2\)।
মিশ্রণের সমস্যা সমাধানের সময় প্রথমে কোন কোন উপাদান আছে এবং তাদের পরিমাণ কী—এগুলো আলাদাভাবে নির্ধারণ করা সুবিধাজনক। এরপর মোট পরিমাণ বা প্রয়োজনীয় অনুপাত নির্ণয় করা হয়।
- ৬৩০০ সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
- ২
- ৩
- ৫
- ৭
- একটি সমিতির প্রত্যেক সদস্য ১০৫ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৩৫ টাকা সংগৃহীত হলো। সমিতিতে সদস্য কতজন?
- ৩ জন
- ৫ জন
- ৭ জন
- ১৫ জন
- নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
- ৯১
- ১০১
- ১১৭
- ১২৩
- ৮৮, ৯১, ৯৫ ও ৯৯-এর মধ্যে কোন সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?
- ৮৮
- ৯১
- ৯৫
- ৯৯
- নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?
- ৫১
- ৫৯
- ৬৩
- ৮৭
- একটি বাঁশের \(\frac{1}{4}\) অংশ কাদার মধ্যে এবং \(\frac{3}{5}\) অংশ পানির মধ্যে রয়েছে। পানির ওপরে বাঁশটির ৩ মিটার অংশ দেখা যায়। বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য কত?
- ২০ মিটার
- ১৬ মিটার
- ১৫ মিটার
- ১২ মিটার
- ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?
- ০
- ১
- ৯০০০০
- ৯০০০১
- নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
- \(0.3\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\sqrt{0.3}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(7\sqrt{3}\) কোন ধরনের সংখ্যা?
- জটিল সংখ্যা
- মূলদ সংখ্যা
- অমূলদ সংখ্যা
- বাস্তব সংখ্যা নয়
- নিচের কোন সংখ্যাজোড়া পরস্পর সহমৌলিক?
- \((4,6)\)
- \((6,9)\)
- \((9,12)\)
- \((12,17)\)
- ১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?
- ১০
- ১১
- ১২
- ১৩
- একটি সংখ্যা ৬৫০-এর চেয়ে যত বেশি, ৮২০-এর চেয়ে ঠিক তত কম। সংখ্যাটি কত?
- ৭৩০
- ৭৩৫
- ৭৮০
- ৭৯০
- কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৯ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবার ভাগশেষ ২ থাকবে?
- ৪৩
- ৪৫
- ৪১
- ৪৭
- এক ব্যক্তি তার মোট সম্পদের \(\frac{3}{7}\) অংশ ব্যয় করলেন। এরপর অবশিষ্ট সম্পদের \(\frac{5}{12}\) অংশ ব্যয় করার পর তার কাছে ১৫০০ টাকা রইল। শুরুতে তার মোট সম্পদ কত ছিল?
- ২৩০০ টাকা
- ৩০০০ টাকা
- ৪৫০০ টাকা
- ২০০০ টাকা
- নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
- \(\sqrt{2}\)
- \(\sqrt[3]{8}\)
- \(\sqrt[3]{9}\)
- \(\sqrt{8}\)
- ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
- ১৪টি
- ১৮টি
- ১৫টি
- ২০টি
- \(\frac{3}{4}\), \(\frac{2}{5}\), \(\frac{1}{6}\) এবং \(\frac{5}{8}\)-এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ কোনটি?
- \(\frac{3}{4}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{5}{8}\)
- নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
- \(0.0099\)
- \(0.100\)
- \(\frac{9}{100}\)
- \(\frac{9}{1000}\)
- ১ থেকে ২০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?
- ৯টি
- ৭টি
- ৮টি
- ১০টি
- ৬০ থেকে ৮০-এর মধ্যে অবস্থিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য কত?
- ৮
- ১১
- ১৮
- ১৪০
- দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
- ৯৮
- ৯৯
- ১০০
- ১০১
- একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ১ এবং তাদের যোগফল ৭। ভগ্নাংশটি কোনটি?
- \(\frac{4}{3}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{3}{4}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{4}{5}\)
- \(\frac{13}{15}\)
- \(\frac{23}{30}\)
- একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত \(3:2\)। লব থেকে ৬ বিয়োগ করলে নতুন ভগ্নাংশটি মূল ভগ্নাংশের \(\frac{2}{3}\) গুণ হয়। মূল ভগ্নাংশের লব কত?
- ৯
- ১৬
- ১৮
- ২৪
- কোনো সংখ্যার একক, দশক ও শতক স্থানের অঙ্ক যথাক্রমে \(x\), \(y\) ও \(z\) হলে সংখ্যাটির বীজগাণিতিক রূপ কোনটি?
- \(100x+10y+z\)
- \(100z+10y+x\)
- \(100xyz\)
- \(100z+10x+y\)
- ৫০ থেকে ১০০-এর মধ্যে থাকা ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যার গড় কত?
- ৭৪
- ৭৫
- ৭৬
- ৭৭
- একটি শ্রেণির ১১ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১৩ বছর। আরও ৩ জন ভর্তি হওয়ার পর ১৪ জনের গড় বয়স ১২ বছর হলে নতুন ৩ জনের বয়সের সমষ্টি কত?
- ২৫ বছর
- ৩৫ বছর
- ৪৫ বছর
- ৫২ বছর
- পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের ব্যবধান ২০ বছর। ৮ বছর পরে তাদের বয়সের যোগফল ৭২ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
- ১৮ বছর
- ১৬ বছর
- ১২ বছর
- ৮ বছর
- রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর। রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর এবং হামজার বয়স ১১ বছর হলে করিমের বয়স কত?
- ৪০ বছর
- ৪১ বছর
- ৪২ বছর
- ৪৩ বছর
- ৫টি সংখ্যার গড় ৪০। এদের সঙ্গে আরও ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো, যাদের গড় ২২। এখন সব ৮টি সংখ্যার গড় কত?
- ৩৩.২
- ৩৩.৫০
- ৩৩.২৫
- কোনোটিই নয়
- পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স ৫০ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ৫০ বছর
- ৬০ বছর
- ৪০ বছর
- ৮৫ বছর
- ৪০ থেকে ১০০-এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যার গড় কত?
- ৬১
- ৬৯
- ৭১
- ৭৩
- ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
- ৫০
- ২৫
- ২৩
- ২২
- ৬, ৮ ও ১০-এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
- ৫
- ৮
- ৬
- ৯
- ৩ সদস্যের একটি বিতর্ক দলের গড় বয়স ২৪ বছর। কোনো সদস্যের বয়স ২১ বছরের কম নয়। তাহলে একজন সদস্যের সর্বোচ্চ সম্ভাব্য বয়স কত?
- ৩০ বছর
- ২৫ বছর
- ২৮ বছর
- ৩২ বছর
- কালাম ও তার ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর। কালামের স্ত্রী ও একই ৪ পুত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর। কালামের বয়স ৪০ বছর হলে তার স্ত্রীর বয়স কত?
- ২৫ বছর
- ৩০ বছর
- ২৪ বছর
- ২৬ বছর
- পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৫ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে পিতার বয়স কত?
- ২৩ বছর
- ২১ বছর
- ৩১ বছর
- ৩২ বছর
- প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ২৫ এবং প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩০ হলে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
- ২৫
- ৪০
- ৯০
- ৫০
- ৯ জন শ্রমিক একটি নির্দিষ্ট কাজ ৪ দিনে শেষ করে ১৮০০ টাকা আয় করে। একই হারে ৬ জন শ্রমিক সম্পূর্ণ কাজের অর্ধেক করলে কত দিনে কাজটি শেষ হবে?
- \(\frac{1}{3}\) দিন
- ৬ দিন
- ৯ দিন
- ১৮ দিন
- একজন ব্যক্তি স্রোতের অনুকূলে ১৫ কিমি গিয়ে একই পথে ফিরে আসতে মোট ৫ ঘণ্টা সময় নেন। স্রোতের অনুকূলে তার বেগ ঘণ্টায় ৫ কিমি এবং প্রতিকূলে ঘণ্টায় ৩ কিমি হলে তথ্যটি কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
- ৪
- ৪
- ২
- \(\frac{1}{2}\)
- একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
- ২০০ বার
- ২৫০ বার
- ৩০০ বার
- ৩৫০ বার
- ঘণ্টায় \(y\) মাইল বেগে চললে \(x\) মাইল পথ অতিক্রম করতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?
- \(\frac{x}{y}\) ঘণ্টা
- \(\frac{y}{x}\) ঘণ্টা
- \(xy\) ঘণ্টা
- কোনোটিই নয়
- ১৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করতে পারে। একই কাজ ৫ জন শ্রমিক করলে কত সময় লাগবে?
- \(\frac{15}{16}\) ঘণ্টা
- ১৫ ঘণ্টা
- \(9\frac{3}{5}\) ঘণ্টা
- \(\frac{8}{5}\) ঘণ্টা
- ১৫ জন ব্যক্তি একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় সম্পন্ন করে। একই কাজ ৫ জন ব্যক্তি করলে কত ঘণ্টা প্রয়োজন?
- ৬ ঘণ্টা
- ৫ ঘণ্টা
- ৩ ঘণ্টা
- ৯ ঘণ্টা
- একটি কাজ ক ৩ দিনে এবং খ ৬ দিনে শেষ করতে পারে। তারা একসঙ্গে কাজ করলে কত দিনে কাজটি শেষ হবে?
- ৫ দিন
- ৪ দিন
- ৩ দিন
- ২ দিন
- ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মূল্যের সমান হলে ৩০টি ছাগলের মূল্যে কতটি গরু পাওয়া যাবে?
- ৪টি
- ৫টি
- ৬টি
- ৭টি
- ৩ দিনে একটি কাজের \(\frac{1}{18}\) অংশ সম্পন্ন হয়। একই হারে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে মোট কত দিন লাগবে?
- ২১৬ দিন
- ৫৪ দিন
- ২৪ দিন
- ২৪৩ দিন
- ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মূল্যের সমান। ২০টি ছাগলের সমমূল্যে কতটি গরু পাওয়া যাবে?
- ৪টি
- ৫টি
- ৬টি
- ১০টি
- রহিম একটি কাজ ২০ দিনে এবং করিম ৩০ দিনে করতে পারে। দুজন একসঙ্গে কাজ করলে কাজটি কত দিনে শেষ হবে?
- ৬ দিন
- ১২ দিন
- ১৮ দিন
- ৮ দিন
- দুটি সংখ্যার অনুপাত \(4:5\) এবং তাদের ল.সা.গু ১৬০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?
- ৩২
- ৪০
- ৪২
- ৪৫