জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা — NTRCA school-level
জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা: গণিত, NTRCA school-level পাঠ ও 203টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/5।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- কোণ ও কোণের প্রকারভেদ
- কোণের পারস্পরিক সম্পর্ক
- সমান্তরাল রেখা ও ছেদকের কোণ
- ত্রিভুজের মৌলিক ধারণা
- ত্রিভুজের প্রকারভেদ
- সমকোণী ত্রিভুজ
- সর্বসম ত্রিভুজ
- সদৃশ ত্রিভুজ
- চতুর্ভুজ
- আয়তক্ষেত্র
- সামান্তরিক
- বর্গক্ষেত্র
- রম্বস
- ট্রাপিজিয়াম
- ঘনবস্তু
- বৃত্ত
- বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য
- বহুনির্বাচনী প্রশ্নত্তর
কোণ ও কোণের প্রকারভেদ
Angle and Types of Angles
দুটি রশ্মি একটি সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে মিলিত হলে তাদের মধ্যবর্তী ঘূর্ণনের পরিমাণকে কোণ বলা হয়। সাধারণ প্রান্তবিন্দুটি কোণের শীর্ষবিন্দু।
সমকোণ
যে কোণের পরিমাণ \(90^\circ\), তাকে সমকোণ বলে।
সূক্ষ্মকোণ
যে কোণের পরিমাণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
স্থূলকোণ
যে কোণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে বড় কিন্তু \(180^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে স্থূলকোণ বলে।
সরলকোণ
দুটি বিপরীতমুখী রশ্মি একই সরলরেখায় অবস্থান করলে \(180^\circ\) কোণ উৎপন্ন হয়। একে সরলকোণ বলা হয়।
প্রবৃদ্ধকোণ
যে কোণ \(180^\circ\)-এর চেয়ে বড় কিন্তু \(360^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।
পূর্ণকোণ
একটি রশ্মি সম্পূর্ণ একবার ঘুরে পূর্বের অবস্থানে ফিরে এলে \(360^\circ\) কোণ সৃষ্টি হয়। একে পূর্ণকোণ বলে।
সমকোণ
যে কোণের পরিমাণ \(90^\circ\), তাকে সমকোণ বলে।
সূক্ষ্মকোণ
যে কোণের পরিমাণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
স্থূলকোণ
যে কোণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে বড় কিন্তু \(180^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে স্থূলকোণ বলে।
সরলকোণ
দুটি বিপরীতমুখী রশ্মি একই সরলরেখায় অবস্থান করলে \(180^\circ\) কোণ উৎপন্ন হয়। একে সরলকোণ বলা হয়।
প্রবৃদ্ধকোণ
যে কোণ \(180^\circ\)-এর চেয়ে বড় কিন্তু \(360^\circ\)-এর চেয়ে ছোট, তাকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।
পূর্ণকোণ
একটি রশ্মি সম্পূর্ণ একবার ঘুরে পূর্বের অবস্থানে ফিরে এলে \(360^\circ\) কোণ সৃষ্টি হয়। একে পূর্ণকোণ বলে।
কোণের পারস্পরিক সম্পর্ক
Relations Between Angles
সন্নিহিত কোণ
দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ বাহু থাকলে এবং তাদের অভ্যন্তরীণ অঞ্চল পরস্পর অতিক্রম না করলে কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলা হয়।
বিপ্রতীপ কোণ
দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে ছেদবিন্দুর বিপরীত দিকে উৎপন্ন কোণদ্বয়কে বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান।
পূরক কোণ
দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি \(90^\circ\) হলে কোণদ্বয় পরস্পরের পূরক।
সম্পূরক কোণ
দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি \(180^\circ\) হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক।
একটি সরলরেখার একই বিন্দুতে একই পাশে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি \(180^\circ\)।
একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে চারদিকে গঠিত সব কোণের মোট পরিমাণ \(360^\circ\)।
দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ বাহু থাকলে এবং তাদের অভ্যন্তরীণ অঞ্চল পরস্পর অতিক্রম না করলে কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলা হয়।
বিপ্রতীপ কোণ
দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে ছেদবিন্দুর বিপরীত দিকে উৎপন্ন কোণদ্বয়কে বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান।
পূরক কোণ
দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি \(90^\circ\) হলে কোণদ্বয় পরস্পরের পূরক।
সম্পূরক কোণ
দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি \(180^\circ\) হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক।
একটি সরলরেখার একই বিন্দুতে একই পাশে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি \(180^\circ\)।
একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে চারদিকে গঠিত সব কোণের মোট পরিমাণ \(360^\circ\)।
সমান্তরাল রেখা ও ছেদকের কোণ
Parallel Lines and Transversal
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যতই বৃদ্ধি করা হোক পরস্পরকে ছেদ না করলে তাদের সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে বিভিন্ন বিশেষ ধরনের কোণ সৃষ্টি হয়।
একান্তর কোণ
ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থানকারী নির্দিষ্ট একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান।
অনুরূপ কোণ
ছেদকের একই ধরনের অবস্থানে সৃষ্ট অনুরূপ কোণগুলো সমান।
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
দুটি সমান্তরাল রেখার মাঝখানে ছেদকের একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)।
দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে বিভিন্ন বিশেষ ধরনের কোণ সৃষ্টি হয়।
একান্তর কোণ
ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থানকারী নির্দিষ্ট একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান।
অনুরূপ কোণ
ছেদকের একই ধরনের অবস্থানে সৃষ্ট অনুরূপ কোণগুলো সমান।
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ
দুটি সমান্তরাল রেখার মাঝখানে ছেদকের একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)।
ত্রিভুজের মৌলিক ধারণা
Basic Properties of Triangle
তিনটি সরলরেখাংশ দ্বারা সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলা হয়। একটি ত্রিভুজে তিনটি বাহু, তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং তিনটি অন্তঃকোণ থাকে।
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি—
\[ 180^\circ \]
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড়।
যেকোনো একটি বাহু অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্যের চেয়ে বড়।
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ সৃষ্টি হয়, তার পরিমাপ বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।
ত্রিভুজের তিনটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি—
\[ 360^\circ \]
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র—
\[ \frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা} \]
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি—
\[ 180^\circ \]
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড়।
যেকোনো একটি বাহু অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্যের চেয়ে বড়।
ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ সৃষ্টি হয়, তার পরিমাপ বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।
ত্রিভুজের তিনটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি—
\[ 360^\circ \]
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র—
\[ \frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা} \]
ত্রিভুজের প্রকারভেদ
Types of Triangle
ত্রিভুজকে প্রধানত বাহু ও কোণের ভিত্তিতে শ্রেণিবিন্যাস করা যায়।
বাহুর ভিত্তিতে
সমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। এর তিনটি কোণও সমান এবং প্রতিটি কোণ \(60^\circ\)।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণও সমান।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিষমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই ভিন্ন দৈর্ঘ্যের তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
কোণের ভিত্তিতে
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে তিনটি কোণই \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\)।
স্থূলকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে বড়।
বাহুর ভিত্তিতে
সমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। এর তিনটি কোণও সমান এবং প্রতিটি কোণ \(60^\circ\)।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণও সমান।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিষমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই ভিন্ন দৈর্ঘ্যের তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
কোণের ভিত্তিতে
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে তিনটি কোণই \(90^\circ\)-এর চেয়ে ছোট।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\)।
স্থূলকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\)-এর চেয়ে বড়।
সমকোণী ত্রিভুজ
Right-angled Triangle
সমকোণী ত্রিভুজের \(90^\circ\) কোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলা হয়। এটি ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু।
অন্য দুটি বাহুকে সাধারণভাবে ভূমি ও লম্ব হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী—
\[ (\text{অতিভুজ})^2 \rightarrow (\text{ভূমি})^2+(\text{লম্ব})^2 \]
সমকোণী ত্রিভুজের এই সম্পর্ক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের ভিত্তিও তৈরি করে।
অন্য দুটি বাহুকে সাধারণভাবে ভূমি ও লম্ব হিসেবে বিবেচনা করা যায়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী—
\[ (\text{অতিভুজ})^2 \rightarrow (\text{ভূমি})^2+(\text{লম্ব})^2 \]
সমকোণী ত্রিভুজের এই সম্পর্ক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের ভিত্তিও তৈরি করে।
সর্বসম ত্রিভুজ
Congruent Triangles
দুটি ত্রিভুজ আকার ও আয়তনে সম্পূর্ণ সমান হলে তাদের সর্বসম ত্রিভুজ বলা হয়। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু এবং অনুরূপ কোণগুলো সমান।
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত—
১। তিনটি অনুরূপ বাহু সমান
২। দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান
৩। দুটি কোণ এবং একটি অনুরূপ বাহু সমান
৪। সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজ ও একটি অনুরূপ বাহু সমান
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফলও সমান।
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত—
১। তিনটি অনুরূপ বাহু সমান
২। দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান
৩। দুটি কোণ এবং একটি অনুরূপ বাহু সমান
৪। সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজ ও একটি অনুরূপ বাহু সমান
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফলও সমান।
সদৃশ ত্রিভুজ
Similar Triangles
দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলো সমান অনুপাতে থাকলে ত্রিভুজদ্বয়কে সদৃশ বলা হয়।
যদি \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle DEF\) সদৃশ হয়, তবে—
\[ \frac{AB}{DE} \rightarrow \frac{BC}{EF} \rightarrow \frac{AC}{DF} \]
সদৃশ ত্রিভুজ একই আকারের হলেও তাদের আয়তন বা ক্ষেত্রফল সমান হওয়া আবশ্যক নয়।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত \(k\) হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত—
\[ k^2 \]
যদি \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle DEF\) সদৃশ হয়, তবে—
\[ \frac{AB}{DE} \rightarrow \frac{BC}{EF} \rightarrow \frac{AC}{DF} \]
সদৃশ ত্রিভুজ একই আকারের হলেও তাদের আয়তন বা ক্ষেত্রফল সমান হওয়া আবশ্যক নয়।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত \(k\) হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত—
\[ k^2 \]
চতুর্ভুজ
Quadrilateral
চারটি রেখাংশ দ্বারা সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি—
\[ 360^\circ \]
চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকলে চতুর্ভুজটি দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়। তাই অনেক ক্ষেত্রে দুই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
দুটি বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে কর্ণ বলা হয়।
চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি—
\[ 360^\circ \]
চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকলে চতুর্ভুজটি দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়। তাই অনেক ক্ষেত্রে দুই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
দুটি বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে কর্ণ বলা হয়।
আয়তক্ষেত্র
Rectangle
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দৈর্ঘ্য \(a\) এবং প্রস্থ \(b\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ ab \]
পরিসীমা—
\[ 2(a+b) \]
কর্ণের দৈর্ঘ্য—
\[ \sqrt{a^2+b^2} \]
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
দৈর্ঘ্য \(a\) এবং প্রস্থ \(b\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ ab \]
পরিসীমা—
\[ 2(a+b) \]
কর্ণের দৈর্ঘ্য—
\[ \sqrt{a^2+b^2} \]
সামান্তরিক
Parallelogram
যে চতুর্ভুজের উভয় জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।
সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
কর্ণদ্বয় সাধারণভাবে সমান নয়, তবে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ক্ষেত্রফল—
\[ \text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা} \]
পরিসীমা—
\[ 2(\text{দৈর্ঘ্য}+\text{প্রস্থ}) \]
সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।
সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
কর্ণদ্বয় সাধারণভাবে সমান নয়, তবে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ক্ষেত্রফল—
\[ \text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা} \]
পরিসীমা—
\[ 2(\text{দৈর্ঘ্য}+\text{প্রস্থ}) \]
বর্গক্ষেত্র
Square
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান, পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে এবং উভয় কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ a^2 \]
পরিসীমা—
\[ 4a \]
কর্ণ—
\[ a\sqrt{2} \]
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান, পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে এবং উভয় কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ a^2 \]
পরিসীমা—
\[ 4a \]
কর্ণ—
\[ a\sqrt{2} \]
রম্বস
Rhombus
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান কিন্তু সব কোণ সমকোণ হওয়া বাধ্যতামূলক নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের বিপরীত কোণ সমান।
কর্ণদ্বয় সাধারণভাবে অসমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এক বাহু \(a\) হলে পরিসীমা—
\[ 4a \]
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(d_1\) ও \(d_2\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ \frac{1}{2}d_1d_2 \]
রম্বসের বিপরীত কোণ সমান।
কর্ণদ্বয় সাধারণভাবে অসমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এক বাহু \(a\) হলে পরিসীমা—
\[ 4a \]
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(d_1\) ও \(d_2\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ \frac{1}{2}d_1d_2 \]
ট্রাপিজিয়াম
Trapezium
যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল এবং অন্য জোড়া সাধারণভাবে অসমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(a\) ও \(b\), এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(h\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ \frac{1}{2}h(a+b) \]
পরিসীমা নির্ণয় করতে চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য যোগ করতে হয়।
অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হলে সেটিকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলা হয়।
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(a\) ও \(b\), এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(h\) হলে ক্ষেত্রফল—
\[ \frac{1}{2}h(a+b) \]
পরিসীমা নির্ণয় করতে চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য যোগ করতে হয়।
অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হলে সেটিকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলা হয়।
ঘনবস্তু
Solid Geometry
যে জ্যামিতিক বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে তাকে ঘনবস্তু বলা হয়।
আয়তাকার ঘনবস্তু
দৈর্ঘ্য \(a\), প্রস্থ \(b\), উচ্চতা \(c\) হলে আয়তন—
\[ abc \]
মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল—
\[ 2(ab+bc+ca) \]
ঘনক
ঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে আয়তন—
\[ a^3 \]
মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল—
\[ 6a^2 \]
আয়তাকার ঘনবস্তু
দৈর্ঘ্য \(a\), প্রস্থ \(b\), উচ্চতা \(c\) হলে আয়তন—
\[ abc \]
মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল—
\[ 2(ab+bc+ca) \]
ঘনক
ঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে আয়তন—
\[ a^3 \]
মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল—
\[ 6a^2 \]
বৃত্ত
Circle
একই সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী সব বিন্দুর সমষ্টিতে গঠিত বদ্ধ রেখাকে বৃত্ত বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র।
ব্যাসার্ধ
কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।
ব্যাস
কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী এবং বৃত্তের দুই বিন্দুকে যুক্তকারী জ্যাকে ব্যাস বলে। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক—
\[ d\rightarrow2r \]
জ্যা
বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে জ্যা বলে।
চাপ
বৃত্তের পরিধির যেকোনো অংশকে চাপ বলা হয়।
বৃত্তের পরিধি—
\[ 2\pi r \]
বৃত্তের ক্ষেত্রফল—
\[ \pi r^2 \]
ব্যাসার্ধ
কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।
ব্যাস
কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী এবং বৃত্তের দুই বিন্দুকে যুক্তকারী জ্যাকে ব্যাস বলে। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক—
\[ d\rightarrow2r \]
জ্যা
বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুকে যুক্তকারী রেখাংশকে জ্যা বলে।
চাপ
বৃত্তের পরিধির যেকোনো অংশকে চাপ বলা হয়।
বৃত্তের পরিধি—
\[ 2\pi r \]
বৃত্তের ক্ষেত্রফল—
\[ \pi r^2 \]
বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য
Important Properties of Circle
কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা দূরবর্তী জ্যার তুলনায় বড়।
ব্যাস বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা।
একই চাপের উপর দাঁড়ানো কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ চাপের উপর দাঁড়ানো পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একই অর্ধবৃত্তে ব্যাসকে ভিত্তি করে পরিধির কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ—
\[ 90^\circ \]
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(k\) গুণ পরিবর্তিত হলে ক্ষেত্রফল \(k^2\) গুণ পরিবর্তিত হয়।
বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা দূরবর্তী জ্যার তুলনায় বড়।
ব্যাস বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা।
একই চাপের উপর দাঁড়ানো কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ চাপের উপর দাঁড়ানো পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একই অর্ধবৃত্তে ব্যাসকে ভিত্তি করে পরিধির কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ—
\[ 90^\circ \]
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(k\) গুণ পরিবর্তিত হলে ক্ষেত্রফল \(k^2\) গুণ পরিবর্তিত হয়।
- একটি রম্বস \(ABCD\)-এ \(\angle ABC\) এর পরিমাপ \(120^\circ\)। কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(O\) এবং \(OE\perp AB\) হলে \(\angle BOE\) কত?
- \(30^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(120^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত \(1:1:2\) হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
- সমবাহু ত্রিভুজ
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
- সমকোণী ত্রিভুজ
- বিষমবাহু ত্রিভুজ
- \(\triangle ABC\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ। \(AB\) এবং \(AC\) বাহুকে শীর্ষ \(A\)-এর দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি কত?
- \(320^\circ\)
- \(280^\circ\)
- \(240^\circ\)
- \(290^\circ\)
- \(250^\circ\) পরিমাপের কোণকে কোন ধরনের কোণ বলা হয়?
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- পূরককোণ
- প্রবৃদ্ধ কোণ
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ কত?
- \(30^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
- একটি চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত \(1:2:2:3\)। সবচেয়ে বড় কোণের পরিমাপ কত?
- \(100^\circ\)
- \(115^\circ\)
- \(135^\circ\)
- \(225^\circ\)
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি \(180^\circ\) হলে একটিকে অপরটির কী বলা হয়?
- সন্নিহিত কোণ
- সমকোণ
- পূরক কোণ
- সম্পূরক কোণ
- \(125^\circ\) কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?
- \(35^\circ\)
- \(235^\circ\)
- \(145^\circ\)
- \(55^\circ\)
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি সূক্ষ্মকোণের পার্থক্য \(20^\circ\)। ছোট কোণটির পরিমাপ কত?
- \(35^\circ\)
- \(40^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(55^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে পৃথকভাবে বর্ধিত করলে যে তিনটি বহিঃকোণ পাওয়া যায়, তাদের সমষ্টি কত?
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
- \(270^\circ\)
- \(360^\circ\)
- একই সময়ে ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা যথাক্রমে ২ ও ৬-এর দিকে থাকলে তাদের মধ্যবর্তী ছোট কোণ কত?
- \(90^\circ\)
- \(105.5^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(120^\circ\)
- দুটি রশ্মি পরস্পরের সঙ্গে \(60^\circ\) কোণ সৃষ্টি করলে, এদের দ্বারা গঠিত \(60^\circ\)-এর চেয়ে বড় কোণটি কোন ধরনের?
- সমকোণ
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- প্রবৃদ্ধ কোণ
- \(\triangle ABC\)-এ \(AB\) ও \(AC\) সমান এবং \(\angle A\) এর পরিমাপ \(80^\circ\)। \(\angle B\) এর পরিমাপ কত?
- \(40^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(80^\circ\)
- \(\triangle ABC\)-এর \(BC\) বাহুকে \(D\) পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। \(\angle A\) এর পরিমাপ \(60^\circ\) এবং \(\angle B\) এর পরিমাপ \(90^\circ\) হলে \(\angle ACD\) কত?
- \(90^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(150^\circ\)
- \(160^\circ\)
- সামান্তরিক \(ABCD\)-এর \(DC\) বাহুকে \(E\) পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে। \(\angle BAD\) এর পরিমাপ \(100^\circ\) হলে \(\angle BCE\) কত?
- \(60^\circ\)
- \(80^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(100^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপ যথাক্রমে \(x\), \(\frac{x}{2}\) এবং \(\frac{3x}{2}\)। সবচেয়ে বড় কোণটির পরিমাপ কত?
- \(90^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(120^\circ\)
- সামান্তরিক \(ABCD\)-এ \(\angle BCD\) এর পরিমাপ \(130^\circ\) হলে \(\angle ABC\) কত?
- \(40^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(130^\circ\)
- চিত্রের ত্রিভুজে শীর্ষকোণ \(2x\), বাম ভূমি কোণ \(x\) এবং ডান ভূমি কোণ \(3x\)। \(x\)-এর পরিমাপ কত?
- \(15^\circ\)
- \(30^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(60^\circ\)
- একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(44\) মিটার। দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে \(4\) মিটার বেশি হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত কত?
- \(2:3\)
- \(5:6\)
- \(6:5\)
- \(13:9\)
- একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\sqrt{2}\) একক হলে বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
- \(4\)
- \(8\)
- \(16\)
- \(32\)
- একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি \(10\) সেমি ও \(8\) সেমি এবং ক্ষেত্রফল \(63\) বর্গসেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
- \(7\) সেমি
- \(14\) সেমি
- \(21\) সেমি
- \(63\) সেমি
- একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল \(192\) বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য \(4\) মিটার কমিয়ে এবং প্রস্থ \(4\) মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। ঘরটির মূল দৈর্ঘ্য কত?
- \(16\) মিটার
- \(12\) মিটার
- \(8\) মিটার
- \(6\) মিটার
- একটি সরলরেখার উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যদি একই রেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কত গুণ হয়?
- \(3\)
- \(9\)
- \(18\)
- \(27\)
- একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল \(800\) বর্গমিটার এবং প্রস্থ \(16\) মিটার। বাগানটির পরিসীমা কত?
- \(16\) মিটার
- \(25\) মিটার
- \(41\) মিটার
- \(132\) মিটার
- একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ \(4\sqrt{2}\) একক হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
- \(24\) বর্গ একক
- \(8\) বর্গ একক
- \(16\) বর্গ একক
- \(32\) বর্গ একক
- একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ এবং পরিসীমা \(24\) মিটার। বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
- \(27\) বর্গমিটার
- \(30\) বর্গমিটার
- \(18\) বর্গমিটার
- \(9\) বর্গমিটার
- একটি তলের মাত্রা কত?
- ২টি
- ৩টি
- ৪টি
- ৬টি
- একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা \(8\) সেমি এবং সমান্তরাল বাহু দুটি \(9\) সেমি ও \(7\) সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?
- \(24\) বর্গসেমি
- \(64\) বর্গসেমি
- \(96\) বর্গসেমি
- \(100\) বর্গসেমি
- একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(5\) সেমি হলে নিচের কোন ক্ষেত্রফলটি সম্ভব?
- \(24\) বর্গসেমি
- \(60\) বর্গসেমি
- \(12\) বর্গসেমি
- \(48\) বর্গসেমি
- একটি সরলরেখার উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-চতুর্থাংশ দৈর্ঘ্যের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
- \(2\)
- \(4\)
- \(8\)
- \(16\)
- একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল \(384\) বর্গমিটার। ঘরটির পরিসীমা কত?
- \(70\) মিটার
- \(80\) মিটার
- \(90\) মিটার
- \(96\) মিটার
- একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\sqrt{2}\) একক হলে বর্গটির ক্ষেত্রফল কত?
- \(16\) বর্গ একক
- \(32\) বর্গ একক
- \(8\) বর্গ একক
- \(16\sqrt{2}\) বর্গ একক
- একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের \(3\) গুণ এবং দৈর্ঘ্য \(48\) মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
- \(64\) মিটার
- \(128\) মিটার
- \(96\) মিটার
- \(112\) মিটার
- একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ \(6\) সেমি হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
- \(12\) বর্গসেমি
- \(18\) বর্গসেমি
- \(24\) বর্গসেমি
- \(36\) বর্গসেমি
- একটি রম্বসের কর্ণ দুটি \(4\) সেমি ও \(6\) সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
- \(12\) বর্গসেমি
- \(6\) বর্গসেমি
- \(28\) বর্গসেমি
- \(24\) বর্গসেমি
- সুষম ষড়ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃকোণ তৈরি হয় তার পরিমাপ কত?
- \(75^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
- একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(10\%\) বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
- \(21\%\)
- \(23\%\)
- \(20\%\)
- \(22\%\)
- একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে \(4\) মিটার বেশি এবং পরিসীমা \(56\) মিটার। ক্ষেত্রফল কত?
- \(182\) বর্গমিটার
- \(186\) বর্গমিটার
- \(192\) বর্গমিটার
- \(196\) বর্গমিটার
- একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় \(40\) সেমি ও \(60\) সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?
- \(2400\) বর্গসেমি
- \(1200\) বর্গসেমি
- \(600\) বর্গসেমি
- \(48\) বর্গসেমি
- একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য \(5\) মিটার, প্রস্থ \(4\) মিটার এবং উচ্চতা \(3\) মিটার। এতে সর্বোচ্চ কত লিটার পানি রাখা যাবে?
- \(60\) লিটার
- \(600\) লিটার
- \(6000\) লিটার
- \(60000\) লিটার
- একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি \(12\) সেমি ও \(18\) সেমি এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(10\) সেমি। ক্ষেত্রফল কত?
- \(150\) বর্গমিটার
- \(150\) বর্গসেমি
- \(150\) বর্গ একক
- কোনোটিই নয়
- একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণকে পরিধি দ্বারা ভাগ করলে কোন রাশিটি পাওয়া যায়?
- জ্যা
- ব্যাস
- ব্যাসার্ধ
- বৃত্তকলা
- একটি বৃত্তের কোনো চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(140^\circ\) হলে একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণের পরিমাপ কত?
- \(10^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(70^\circ\)
- \(280^\circ\)
- ব্যাসার্ধ \(\pi\) এককবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো চাপ কেন্দ্রে \(x^\circ\) কোণ উৎপন্ন করলে চাপটির দৈর্ঘ্য কত?
- \(\frac{\pi^2x}{180}\)
- \(\frac{\pi x}{180}\)
- \(\pi x\)
- \(\frac{\pi x}{360}\)
- একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান হলে বৃত্তের পরিধি ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অনুপাত কোনটি?
- \(\pi:2\)
- \(2:\pi\)
- \(\pi:2\sqrt{\pi}\)
- \(2\sqrt{\pi}:\pi\)
- একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ \(\pi\) এবং উচ্চতা \(h\) হলে এর আয়তন কত?
- \(\pi h\)
- \(\pi^2h\)
- \(2\pi^2h\)
- \(\pi^3h\)
- একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
- \(1\) বর্গ একক
- \(2\) বর্গ একক
- \(\pi\) বর্গ একক
- \(\pi^2\) বর্গ একক
- অর্ধবৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্ত এবং পরিধির অন্য একটি বিন্দু দিয়ে গঠিত কোণটি কী ধরনের?
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- সমকোণ
- পূরক কোণ
- একটি বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কত গুণ হবে?
- \(3\) গুণ
- \(9\) গুণ
- \(12\) গুণ
- \(16\) গুণ
- দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত \(4:5\) হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
- \(16:25\)
- \(16:5\)
- \(4:25\)
- \(25:16\)