বীজগণিতের সূত্র, উৎপাদক, লগারিদম, সমীকরণ ও ধারা — Bank Job
বীজগণিতের সূত্র, উৎপাদক, লগারিদম, সমীকরণ ও ধারা: গণিত, Bank Job পাঠ ও 559টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/12।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- বীজগণিতের মৌলিক ধারণা
- বর্গসংক্রান্ত সূত্রাবলি
- ঘনসংক্রান্ত সূত্রাবলি
- ব্যস্ত রাশিসংক্রান্ত সূত্র
- উৎপাদক
- উৎপাদক বিশ্লেষণের পদ্ধতি
- সাধারণ উৎপাদক বের করা
- মধ্যরাশি বিভাজনের সাহায্যে উৎপাদক
- সূত্রের সাহায্যে উৎপাদক
- ফাংশনের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয়
- উৎপাদক উপপাদ্যের ধারণা
- ঘনরাশির উৎপাদক
- বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু.
- বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু.
- সূচক ও ঘাত
- অসমতা
- লগারিদম
- লগারিদমের সংজ্ঞা
- লগারিদমের সূত্রাবলি
- ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র
- ঘাত ও মূলের লগারিদম
- বীজগাণিতিক সমীকরণ
- সরল সমীকরণ
- অনুপাতযুক্ত সমীকরণ
- দ্বিঘাত সমীকরণ
- সমান মূলের শর্ত
- বীজগাণিতিক ভাগশেষ
- ধারা
- সমান্তর ধারা
- গুণোত্তর ধারা
- ধারার সমষ্টি
বীজগণিতের মৌলিক ধারণা
Basic Algebra
বীজগণিতে সংখ্যা ও অজানা রাশি একসঙ্গে ব্যবহার করে বিভিন্ন সম্পর্ক প্রকাশ করা হয়। সাধারণত \(x\), \(y\), \(a\), \(b\), \(p\), \(q\) ইত্যাদি বর্ণ অজানা বা পরিবর্তনশীল রাশি নির্দেশ করে।
কোনো বীজগাণিতিক রাশিতে একই ধরনের পদগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়। সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ বা বিয়োগ করে রাশিকে সরল করা যায়।
বীজগণিতের অধিকাংশ সমস্যায় সূত্র, উৎপাদক, সূচক, সমীকরণ ও ধারার ধারণাগুলো পরস্পরের সঙ্গে সম্পর্কিত।
কোনো বীজগাণিতিক রাশিতে একই ধরনের পদগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়। সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ বা বিয়োগ করে রাশিকে সরল করা যায়।
বীজগণিতের অধিকাংশ সমস্যায় সূত্র, উৎপাদক, সূচক, সমীকরণ ও ধারার ধারণাগুলো পরস্পরের সঙ্গে সম্পর্কিত।
বর্গসংক্রান্ত সূত্রাবলি
Algebraic Identities involving Squares
দুটি রাশির যোগের বর্গের বিস্তৃতি—
\((a+b)^2\) কে \(a^2+2ab+b^2\) আকারে লেখা যায়।
দুটি রাশির বিয়োগের বর্গের বিস্তৃতি—
\((a-b)^2\) কে \(a^2-2ab+b^2\) আকারে লেখা যায়।
এই দুটি সূত্র থেকে আরও কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক পাওয়া যায়।
\(a^2+b^2\) কে \((a+b)^2-2ab\) অথবা \((a-b)^2+2ab\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
দুই বর্গের অন্তর \(a^2-b^2\) কে \((a+b)(a-b)\) আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
তিনটি রাশির যোগের বর্গ \((a+b+c)^2\)-এর বিস্তৃতিতে তিনটি রাশির বর্গ এবং প্রতিটি দুই রাশির গুণফলের দ্বিগুণ অংশ থাকে।
\((a+b)^2\) কে \(a^2+2ab+b^2\) আকারে লেখা যায়।
দুটি রাশির বিয়োগের বর্গের বিস্তৃতি—
\((a-b)^2\) কে \(a^2-2ab+b^2\) আকারে লেখা যায়।
এই দুটি সূত্র থেকে আরও কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক পাওয়া যায়।
\(a^2+b^2\) কে \((a+b)^2-2ab\) অথবা \((a-b)^2+2ab\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
দুই বর্গের অন্তর \(a^2-b^2\) কে \((a+b)(a-b)\) আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
তিনটি রাশির যোগের বর্গ \((a+b+c)^2\)-এর বিস্তৃতিতে তিনটি রাশির বর্গ এবং প্রতিটি দুই রাশির গুণফলের দ্বিগুণ অংশ থাকে।
ঘনসংক্রান্ত সূত্রাবলি
Algebraic Identities involving Cubes
দুটি রাশির যোগের ঘনের পরিচিত বিস্তৃতি হলো—
\((a+b)^3\) থেকে \(a^3\), \(b^3\), \(3a^2b\) এবং \(3ab^2\) ধরনের পদ পাওয়া যায়।
দুটি রাশির বিয়োগের ঘনের ক্ষেত্রেও একই বিন্যাস থাকে, তবে চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
দুই ঘনের যোগ \(a^3+b^3\)-কে \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
দুই ঘনের বিয়োগ \(a^3-b^3\)-কে \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) আকারে লেখা যায়।
তিন রাশির ক্ষেত্রে \(a+b+c\) শূন্য হলে \(a^3+b^3+c^3\)-এর সঙ্গে \(3abc\)-এর বিশেষ সম্পর্ক পাওয়া যায়।
\((a+b)^3\) থেকে \(a^3\), \(b^3\), \(3a^2b\) এবং \(3ab^2\) ধরনের পদ পাওয়া যায়।
দুটি রাশির বিয়োগের ঘনের ক্ষেত্রেও একই বিন্যাস থাকে, তবে চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
দুই ঘনের যোগ \(a^3+b^3\)-কে \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
দুই ঘনের বিয়োগ \(a^3-b^3\)-কে \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) আকারে লেখা যায়।
তিন রাশির ক্ষেত্রে \(a+b+c\) শূন্য হলে \(a^3+b^3+c^3\)-এর সঙ্গে \(3abc\)-এর বিশেষ সম্পর্ক পাওয়া যায়।
ব্যস্ত রাশিসংক্রান্ত সূত্র
Identities involving Reciprocal Terms
\(x\) এবং \(\frac{1}{x}\)-জাতীয় রাশির সমস্যা সমাধানে বর্গ ও ঘনের সূত্র খুব কার্যকর।
যদি \(x+\frac{1}{x}\)-এর মান জানা থাকে, তবে উভয় পাশ বর্গ করে \(x^2+\frac{1}{x^2}\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
একইভাবে \(x-\frac{1}{x}\)-এর মান জানা থাকলে বর্গের সূত্র ব্যবহার করে দ্বিতীয় ঘাতের রাশি বের করা যায়।
ঘন রাশির ক্ষেত্রে \(x^3-\frac{1}{x^3}\) বা \(x^3+\frac{1}{x^3}\) নির্ণয়ে ঘনের বিস্তৃতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
যদি \(x+\frac{1}{x}\)-এর মান জানা থাকে, তবে উভয় পাশ বর্গ করে \(x^2+\frac{1}{x^2}\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
একইভাবে \(x-\frac{1}{x}\)-এর মান জানা থাকলে বর্গের সূত্র ব্যবহার করে দ্বিতীয় ঘাতের রাশি বের করা যায়।
ঘন রাশির ক্ষেত্রে \(x^3-\frac{1}{x^3}\) বা \(x^3+\frac{1}{x^3}\) নির্ণয়ে ঘনের বিস্তৃতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
উৎপাদক
Factor
কোনো বীজগাণিতিক রাশিকে দুই বা ততোধিক অপেক্ষাকৃত সরল রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করা গেলে প্রতিটি গুণনীয় রাশিকে মূল রাশিটির উৎপাদক বলা হয়।
যেমন \(x^2-y^2\) রাশির উৎপাদক হলো \(x+y\) এবং \(x-y\)।
একটি রাশির কোনো উৎপাদক শূন্য হলে পুরো গুণফলও শূন্য হয়। এই নীতিটি সমীকরণের সমাধান এবং উৎপাদক উপপাদ্যে গুরুত্বপূর্ণ।
যেমন \(x^2-y^2\) রাশির উৎপাদক হলো \(x+y\) এবং \(x-y\)।
একটি রাশির কোনো উৎপাদক শূন্য হলে পুরো গুণফলও শূন্য হয়। এই নীতিটি সমীকরণের সমাধান এবং উৎপাদক উপপাদ্যে গুরুত্বপূর্ণ।
উৎপাদক বিশ্লেষণের পদ্ধতি
Methods of Factorization
বীজগাণিতিক রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণের কয়েকটি প্রচলিত পদ্ধতি রয়েছে।
১। সাধারণ উৎপাদক বের করা
২। বীজগণিতের সূত্র ব্যবহার করা
৩। মধ্যরাশি বিভাজন করা
৪। ফাংশন বা উৎপাদক উপপাদ্য ব্যবহার করা
রাশির গঠন দেখে উপযুক্ত পদ্ধতি নির্বাচন করলে উৎপাদক বিশ্লেষণ দ্রুত করা যায়।
১। সাধারণ উৎপাদক বের করা
২। বীজগণিতের সূত্র ব্যবহার করা
৩। মধ্যরাশি বিভাজন করা
৪। ফাংশন বা উৎপাদক উপপাদ্য ব্যবহার করা
রাশির গঠন দেখে উপযুক্ত পদ্ধতি নির্বাচন করলে উৎপাদক বিশ্লেষণ দ্রুত করা যায়।
সাধারণ উৎপাদক বের করা
Taking Common Factor
একাধিক পদের মধ্যে কোনো সাধারণ সংখ্যা, চলক বা বীজগাণিতিক রাশি থাকলে সেটিকে বন্ধনীর বাইরে নেওয়া যায়।
যেমন \(ax+ay\)-জাতীয় রাশিতে \(a\) উভয় পদের সাধারণ উৎপাদক। ফলে \(a\) বাইরে নিয়ে অবশিষ্ট অংশ বন্ধনীর ভেতরে লেখা যায়।
বড় রাশির ক্ষেত্রে প্রথমে কয়েকটি পদকে আলাদা দলে ভাগ করে প্রতিটি দল থেকে সাধারণ উৎপাদক বের করলে একটি অভিন্ন বন্ধনী পাওয়া যেতে পারে।
যেমন \(ax+ay\)-জাতীয় রাশিতে \(a\) উভয় পদের সাধারণ উৎপাদক। ফলে \(a\) বাইরে নিয়ে অবশিষ্ট অংশ বন্ধনীর ভেতরে লেখা যায়।
বড় রাশির ক্ষেত্রে প্রথমে কয়েকটি পদকে আলাদা দলে ভাগ করে প্রতিটি দল থেকে সাধারণ উৎপাদক বের করলে একটি অভিন্ন বন্ধনী পাওয়া যেতে পারে।
মধ্যরাশি বিভাজনের সাহায্যে উৎপাদক
Middle Term Factorization
\(ax^2+bx+c\)-জাতীয় ত্রিপদী রাশির উৎপাদক বের করার একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি হলো মধ্যরাশি বিভাজন।
এক্ষেত্রে এমন দুটি সংখ্যা খোঁজা হয় যাদের যোগফল মধ্যপদের সহগের সঙ্গে সম্পর্কিত এবং গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত।
মধ্যপদকে সেই দুই অংশে ভাগ করার পর চারটি পদ পাওয়া যায়। এরপর দুই জোড়া পদ থেকে আলাদা সাধারণ উৎপাদক বের করে অভিন্ন দ্বিপদী উৎপাদক তৈরি করা হয়।
যেমন \(2x^2-x-3\)-জাতীয় রাশিতে মধ্যপদকে সুবিধাজনকভাবে বিভক্ত করে দুই জোড়ায় উৎপাদক বের করা যায়।
এক্ষেত্রে এমন দুটি সংখ্যা খোঁজা হয় যাদের যোগফল মধ্যপদের সহগের সঙ্গে সম্পর্কিত এবং গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত।
মধ্যপদকে সেই দুই অংশে ভাগ করার পর চারটি পদ পাওয়া যায়। এরপর দুই জোড়া পদ থেকে আলাদা সাধারণ উৎপাদক বের করে অভিন্ন দ্বিপদী উৎপাদক তৈরি করা হয়।
যেমন \(2x^2-x-3\)-জাতীয় রাশিতে মধ্যপদকে সুবিধাজনকভাবে বিভক্ত করে দুই জোড়ায় উৎপাদক বের করা যায়।
সূত্রের সাহায্যে উৎপাদক
Factorization by Identities
যেসব রাশি পরিচিত বীজগাণিতিক সূত্রের কাঠামোর সঙ্গে মিলে যায়, সেগুলোকে সরাসরি সূত্র ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
\(a^2-b^2\)-জাতীয় রাশিতে দুই বর্গের অন্তরের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
\(a^3+b^3\) বা \(a^3-b^3\)-জাতীয় রাশিতে ঘনের যোগ বা বিয়োগের সূত্র ব্যবহার করা যায়।
কখনো একটি রাশিকে সূত্রের উপযোগী করার জন্য কোনো পদ যোগ ও বিয়োগ করে কাঙ্ক্ষিত পূর্ণবর্গ বা ঘনরূপ তৈরি করা হয়।
\(a^2-b^2\)-জাতীয় রাশিতে দুই বর্গের অন্তরের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
\(a^3+b^3\) বা \(a^3-b^3\)-জাতীয় রাশিতে ঘনের যোগ বা বিয়োগের সূত্র ব্যবহার করা যায়।
কখনো একটি রাশিকে সূত্রের উপযোগী করার জন্য কোনো পদ যোগ ও বিয়োগ করে কাঙ্ক্ষিত পূর্ণবর্গ বা ঘনরূপ তৈরি করা হয়।
ফাংশনের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয়
Factorization using Function
বহুপদী রাশির একটি সম্ভাব্য উৎপাদক দ্রুত পরীক্ষা করতে বহুপদীটিকে \(f(x)\) আকারে ধরা যায়।
যদি \(x-a\) সম্ভাব্য উৎপাদক হয়, তবে \(x\)-এর স্থানে \(a\) বসিয়ে \(f(a)\) নির্ণয় করা হয়।
যদি \(f(a)\) শূন্য হয়, তবে \(x-a\) রাশিটি বহুপদীর একটি উৎপাদক।
এই পদ্ধতি বিশেষ করে তৃতীয় বা উচ্চতর ঘাতের বহুপদীর একটি উৎপাদক শনাক্ত করতে খুব কার্যকর।
যদি \(x-a\) সম্ভাব্য উৎপাদক হয়, তবে \(x\)-এর স্থানে \(a\) বসিয়ে \(f(a)\) নির্ণয় করা হয়।
যদি \(f(a)\) শূন্য হয়, তবে \(x-a\) রাশিটি বহুপদীর একটি উৎপাদক।
এই পদ্ধতি বিশেষ করে তৃতীয় বা উচ্চতর ঘাতের বহুপদীর একটি উৎপাদক শনাক্ত করতে খুব কার্যকর।
উৎপাদক উপপাদ্যের ধারণা
Factor Theorem
কোনো বহুপদী \(f(x)\)-এর জন্য \(f(a)\) শূন্য হলে \(x-a\) হলো \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
উল্টোভাবে \(x-a\) যদি \(f(x)\)-এর উৎপাদক হয়, তবে \(x\)-এর স্থানে \(a\) বসালে রাশির মান শূন্য হবে।
এই ধারণা বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় এবং ভাগশেষ নির্ণয় উভয় ক্ষেত্রেই গুরুত্বপূর্ণ।
উল্টোভাবে \(x-a\) যদি \(f(x)\)-এর উৎপাদক হয়, তবে \(x\)-এর স্থানে \(a\) বসালে রাশির মান শূন্য হবে।
এই ধারণা বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় এবং ভাগশেষ নির্ণয় উভয় ক্ষেত্রেই গুরুত্বপূর্ণ।
ঘনরাশির উৎপাদক
Factorization of Cubic Expressions
দুই ঘনের যোগের ক্ষেত্রে \(a^3+b^3\)-এর একটি উৎপাদক \(a+b\)। অন্য উৎপাদকটি \(a^2-ab+b^2\)।
দুই ঘনের বিয়োগের ক্ষেত্রে \(a^3-b^3\)-এর উৎপাদক \(a-b\) এবং \(a^2+ab+b^2\)।
যে রাশিকে সরাসরি ঘনের আকারে দেখা যায় না, প্রয়োজন হলে মূল বা সহগকে পুনর্গঠন করে ঘনের পরিচিত সূত্রের সঙ্গে মিলিয়ে নেওয়া যায়।
দুই ঘনের বিয়োগের ক্ষেত্রে \(a^3-b^3\)-এর উৎপাদক \(a-b\) এবং \(a^2+ab+b^2\)।
যে রাশিকে সরাসরি ঘনের আকারে দেখা যায় না, প্রয়োজন হলে মূল বা সহগকে পুনর্গঠন করে ঘনের পরিচিত সূত্রের সঙ্গে মিলিয়ে নেওয়া যায়।
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু.
HCF of Algebraic Expressions
একাধিক বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু. বের করতে প্রথমে প্রতিটি রাশিকে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়।
যেসব উৎপাদক প্রতিটি রাশিতে সাধারণভাবে থাকে, সেগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিয়ে গুণ করলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
যেমন একটি রাশিতে \(a\), \(a\) এবং \(a+b\) উৎপাদক এবং অন্য রাশিতে একই ধরনের কিছু উৎপাদক থাকলে কেবল উভয়ের সাধারণ অংশগুলো গ.সা.গু.-তে নেওয়া হয়।
যেসব উৎপাদক প্রতিটি রাশিতে সাধারণভাবে থাকে, সেগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিয়ে গুণ করলে গ.সা.গু. পাওয়া যায়।
যেমন একটি রাশিতে \(a\), \(a\) এবং \(a+b\) উৎপাদক এবং অন্য রাশিতে একই ধরনের কিছু উৎপাদক থাকলে কেবল উভয়ের সাধারণ অংশগুলো গ.সা.গু.-তে নেওয়া হয়।
বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু.
LCM of Algebraic Expressions
বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু. নির্ণয়েও প্রথমে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
তারপর সব ধরনের উৎপাদক থেকে যে উৎপাদক যত সর্বোচ্চ ঘাতে উপস্থিত আছে, সেই সর্বোচ্চ ঘাত নেওয়া হয়।
সব নির্বাচিত উৎপাদক গুণ করলে প্রয়োজনীয় ল.সা.গু. পাওয়া যায়।
তারপর সব ধরনের উৎপাদক থেকে যে উৎপাদক যত সর্বোচ্চ ঘাতে উপস্থিত আছে, সেই সর্বোচ্চ ঘাত নেওয়া হয়।
সব নির্বাচিত উৎপাদক গুণ করলে প্রয়োজনীয় ল.সা.গু. পাওয়া যায়।
সূচক ও ঘাত
Indices and Exponents
\(p^m\)-জাতীয় রাশিতে \(p\) হলো ভিত্তি বা Base এবং \(m\) হলো সূচক বা Exponent।
একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয় এবং ভাগ করলে সূচক বিয়োগ হয়।
কোনো ঘাতের আবার ঘাত নিলে সূচকগুলো গুণ হয়।
ঋণাত্মক সূচক একটি রাশির বিপরীতক নির্দেশ করে এবং ভগ্নাংশ সূচক মূলের ধারণার সঙ্গে সম্পর্কিত।
একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয় এবং ভাগ করলে সূচক বিয়োগ হয়।
কোনো ঘাতের আবার ঘাত নিলে সূচকগুলো গুণ হয়।
ঋণাত্মক সূচক একটি রাশির বিপরীতক নির্দেশ করে এবং ভগ্নাংশ সূচক মূলের ধারণার সঙ্গে সম্পর্কিত।
অসমতা
Inequality
অসমতায় দুই রাশির মধ্যে \(\gt\), \(\lt\), \(\ge\) বা \(\le\) সম্পর্ক ব্যবহার করা হয়।
দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক হলে একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হয়।
যেমন \((x-a)(x-b)\lt0\) ধরনের অসমতায় সাধারণত \(x\) দুই সীমার মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থান করে, যদি \(a\lt b\) হয়।
সীমাবিন্দু নির্ণয়ের পর কোন interval-এ গুণফলের চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক তা পরীক্ষা করলে সমাধান পাওয়া যায়।
দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক হলে একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হয়।
যেমন \((x-a)(x-b)\lt0\) ধরনের অসমতায় সাধারণত \(x\) দুই সীমার মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থান করে, যদি \(a\lt b\) হয়।
সীমাবিন্দু নির্ণয়ের পর কোন interval-এ গুণফলের চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক তা পরীক্ষা করলে সমাধান পাওয়া যায়।
লগারিদম
Logarithm
বড় সংখ্যার গুণ, ভাগ, ঘাত ও মূলসংক্রান্ত হিসাব সহজ করার জন্য লগারিদম গুরুত্বপূর্ণ।
লগারিদম মূলত সূচকীয় সম্পর্কের বিপরীত ধারণা। একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিকে কত ঘাতে উন্নীত করলে নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই ঘাতটিই সংশ্লিষ্ট লগারিদম।
লগারিদমের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয় এবং ভিত্তি \(1\) হতে পারে না। লগ নেওয়া সংখ্যাও ধনাত্মক হতে হয়।
লগারিদম মূলত সূচকীয় সম্পর্কের বিপরীত ধারণা। একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিকে কত ঘাতে উন্নীত করলে নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই ঘাতটিই সংশ্লিষ্ট লগারিদম।
লগারিদমের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয় এবং ভিত্তি \(1\) হতে পারে না। লগ নেওয়া সংখ্যাও ধনাত্মক হতে হয়।
লগারিদমের সংজ্ঞা
Definition of Logarithm
যদি \(a^x\) দ্বারা \(N\) পাওয়া যায়, তবে \(x\)-কে \(a\) ভিত্তিক \(N\)-এর লগারিদম বলা হয়।
এক্ষেত্রে \(a\) হলো ভিত্তি, \(N\) হলো লগারিদমের সংখ্যা এবং \(x\) হলো লগারিদমের মান।
যেমন \(2^5\) থেকে \(32\) পাওয়া যায় বলে \(32\)-এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদমের মান \(5\)।
এক্ষেত্রে \(a\) হলো ভিত্তি, \(N\) হলো লগারিদমের সংখ্যা এবং \(x\) হলো লগারিদমের মান।
যেমন \(2^5\) থেকে \(32\) পাওয়া যায় বলে \(32\)-এর \(2\) ভিত্তিক লগারিদমের মান \(5\)।
লগারিদমের সূত্রাবলি
Laws of Logarithm
একই ভিত্তিতে দুটি সংখ্যার গুণের লগকে পৃথক দুটি লগের যোগ আকারে লেখা যায়।
ভাগের লগকে লবের লগ থেকে হরের লগের বিয়োগ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
কোনো সংখ্যার ঘাতের লগ নিলে সেই ঘাতকে লগের সামনে গুণক হিসেবে আনা যায়।
\(\log_a 1\)-এর মান \(0\)।
\(\log_a a\)-এর মান \(1\)।
একই ভিত্তিতে কোনো সংখ্যার লগ এবং তার বিপরীত সূচকীয় রূপ একে অপরকে বাতিল করে মূল সংখ্যাটি ফিরিয়ে দেয়।
ভাগের লগকে লবের লগ থেকে হরের লগের বিয়োগ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
কোনো সংখ্যার ঘাতের লগ নিলে সেই ঘাতকে লগের সামনে গুণক হিসেবে আনা যায়।
\(\log_a 1\)-এর মান \(0\)।
\(\log_a a\)-এর মান \(1\)।
একই ভিত্তিতে কোনো সংখ্যার লগ এবং তার বিপরীত সূচকীয় রূপ একে অপরকে বাতিল করে মূল সংখ্যাটি ফিরিয়ে দেয়।
ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র
Change of Base
এক ভিত্তির লগারিদমকে অন্য ভিত্তিতে প্রকাশ করতে Change of Base সূত্র ব্যবহার করা হয়।
\(\log_a b\)-কে একই তৃতীয় ভিত্তিতে \(b\)-এর লগ ও \(a\)-এর লগের অনুপাত আকারে লেখা যায়।
এই সূত্রের সাহায্যে \(\log_a b\) এবং \(\log_b a\)-এর পারস্পরিক সম্পর্কও সহজে পাওয়া যায়।
\(\log_a b\)-কে একই তৃতীয় ভিত্তিতে \(b\)-এর লগ ও \(a\)-এর লগের অনুপাত আকারে লেখা যায়।
এই সূত্রের সাহায্যে \(\log_a b\) এবং \(\log_b a\)-এর পারস্পরিক সম্পর্কও সহজে পাওয়া যায়।
ঘাত ও মূলের লগারিদম
Logarithm of Powers and Roots
কোনো রাশির \(n\)-তম ঘাতের লগ নিলে \(n\) লগের সামনে গুণক হিসেবে আসে।
একইভাবে \(n\)-তম মূলকে \(\frac{1}{n}\) ঘাত হিসেবে লিখে মূলের লগ নির্ণয় করা যায়।
যেমন \(\sqrt[n]{M}\)-এর লগকে \(\frac{1}{n}\log M\)-জাতীয় রূপে প্রকাশ করা যায়।
একইভাবে \(n\)-তম মূলকে \(\frac{1}{n}\) ঘাত হিসেবে লিখে মূলের লগ নির্ণয় করা যায়।
যেমন \(\sqrt[n]{M}\)-এর লগকে \(\frac{1}{n}\log M\)-জাতীয় রূপে প্রকাশ করা যায়।
বীজগাণিতিক সমীকরণ
Algebraic Equation
যে বীজগাণিতিক সম্পর্কের মাধ্যমে একটি বা একাধিক অজানা রাশির নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা হয়, তাকে সমীকরণ বলা হয়।
সমীকরণের উভয় পাশে একই পরিমাণ যোগ, বিয়োগ, গুণ বা শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে সমতার সম্পর্ক অপরিবর্তিত থাকে।
প্রশ্নের ভাষা থেকে সঠিক সমীকরণ গঠন করাই এই ধরনের সমস্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধাপ।
সমীকরণের উভয় পাশে একই পরিমাণ যোগ, বিয়োগ, গুণ বা শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে সমতার সম্পর্ক অপরিবর্তিত থাকে।
প্রশ্নের ভাষা থেকে সঠিক সমীকরণ গঠন করাই এই ধরনের সমস্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধাপ।
সরল সমীকরণ
Linear Equation
যে সমীকরণে অজানা রাশির সর্বোচ্চ ঘাত \(1\), তাকে এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ বলা হয়।
অজানা রাশিসংবলিত পদগুলো এক পাশে এবং ধ্রুবক পদগুলো অন্য পাশে এনে সমীকরণ সরল করা যায়।
ভগ্নাংশযুক্ত সমীকরণে প্রথমে হরগুলোর ল.সা.গু. দিয়ে উভয় পাশ গুণ করলে সমীকরণ সহজ হয়।
অজানা রাশিসংবলিত পদগুলো এক পাশে এবং ধ্রুবক পদগুলো অন্য পাশে এনে সমীকরণ সরল করা যায়।
ভগ্নাংশযুক্ত সমীকরণে প্রথমে হরগুলোর ল.সা.গু. দিয়ে উভয় পাশ গুণ করলে সমীকরণ সহজ হয়।
অনুপাতযুক্ত সমীকরণ
Equations involving Ratios
দুটি রাশির অনুপাত নির্ণয়ের প্রশ্নে প্রদত্ত ভগ্নাংশ বা সমানুপাতকে আড়াআড়ি গুণ করে সরল সমীকরণ তৈরি করা যায়।
যেমন \(x\) ও \(y\)-এর সমন্বয়ে দুটি ভগ্নাংশের সম্পর্ক দেওয়া থাকলে আড়াআড়ি গুণ করে \(x\) ও \(y\)-এর একটি সরল সম্পর্ক পাওয়া যায়।
এরপর সহগের অনুপাত থেকে \(x:y\) নির্ণয় করা যায়।
যেমন \(x\) ও \(y\)-এর সমন্বয়ে দুটি ভগ্নাংশের সম্পর্ক দেওয়া থাকলে আড়াআড়ি গুণ করে \(x\) ও \(y\)-এর একটি সরল সম্পর্ক পাওয়া যায়।
এরপর সহগের অনুপাত থেকে \(x:y\) নির্ণয় করা যায়।
দ্বিঘাত সমীকরণ
Quadratic Equation
যে সমীকরণে অজানা রাশির সর্বোচ্চ ঘাত \(2\), তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।
দ্বিঘাত সমীকরণকে সাধারণত \(ax^2+bx+c\)-জাতীয় আদর্শ রূপে আনা হয়, যেখানে \(a\) শূন্য নয়।
এর মূল নির্ণয়ে উৎপাদক বিশ্লেষণ, পূর্ণবর্গ সম্পন্নকরণ অথবা দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে।
দ্বিঘাত সমীকরণকে সাধারণত \(ax^2+bx+c\)-জাতীয় আদর্শ রূপে আনা হয়, যেখানে \(a\) শূন্য নয়।
এর মূল নির্ণয়ে উৎপাদক বিশ্লেষণ, পূর্ণবর্গ সম্পন্নকরণ অথবা দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে।
সমান মূলের শর্ত
Condition for Equal Roots
দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল বাস্তব ও সমান হলে তার বিচ্যুতি বা Discriminant শূন্য হয়।
\(ax^2+bx+c\)-জাতীয় সমীকরণের ক্ষেত্রে বিচ্যুতি নির্ণয়ে \(b^2-4ac\) ব্যবহৃত হয়।
এই রাশির মান শূন্য ধরে অজানা সহগ নির্ণয় করা যায়।
\(ax^2+bx+c\)-জাতীয় সমীকরণের ক্ষেত্রে বিচ্যুতি নির্ণয়ে \(b^2-4ac\) ব্যবহৃত হয়।
এই রাশির মান শূন্য ধরে অজানা সহগ নির্ণয় করা যায়।
বীজগাণিতিক ভাগশেষ
Algebraic Remainder
কোনো বহুপদী \(f(x)\)-কে \(x-a\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নির্ণয়ের জন্য \(x\)-এর স্থানে \(a\) বসানো যায়।
এই পদ্ধতি দীর্ঘ ভাগ ছাড়াই দ্রুত ভাগশেষ নির্ণয়ের সুযোগ দেয়।
যদি প্রাপ্ত ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে \(x-a\) বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
এই পদ্ধতি দীর্ঘ ভাগ ছাড়াই দ্রুত ভাগশেষ নির্ণয়ের সুযোগ দেয়।
যদি প্রাপ্ত ভাগশেষ শূন্য হয়, তবে \(x-a\) বহুপদীটির একটি উৎপাদক।
ধারা
Series
কোনো নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সাজানো সংখ্যাগুলোর ক্রমকে ধারা বলা হয়।
ধারার পরবর্তী পদ নির্ণয় করতে সাধারণত পাশাপাশি পদগুলোর যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বর্গ, ঘন অথবা অবস্থানভিত্তিক নিয়ম পর্যবেক্ষণ করতে হয়।
কখনো বিজোড় ও জোড় অবস্থানের পদ দুটি আলাদা নিয়ম অনুসরণ করতে পারে।
ধারার পরবর্তী পদ নির্ণয় করতে সাধারণত পাশাপাশি পদগুলোর যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বর্গ, ঘন অথবা অবস্থানভিত্তিক নিয়ম পর্যবেক্ষণ করতে হয়।
কখনো বিজোড় ও জোড় অবস্থানের পদ দুটি আলাদা নিয়ম অনুসরণ করতে পারে।
সমান্তর ধারা
Arithmetic Progression
যে ধারায় পরপর দুটি পদের পার্থক্য সর্বত্র একই থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়।
প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অন্তর \(d\) এবং পদের অবস্থান \(n\) হলে \(n\)-তম পদ নির্ণয়ে প্রথম পদের সঙ্গে \((n-1)\) সংখ্যক সাধারণ অন্তর যোগ করা হয়।
সমান্তর ধারার প্রথম ও শেষ পদ জানা থাকলে তাদের গড়ই ধারাটির পদগুলোর গড়।
পদসংখ্যা জানা থাকলে প্রথম ও শেষ পদের যোগফলের অর্ধেককে পদসংখ্যা দিয়ে গুণ করে সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।
প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অন্তর \(d\) এবং পদের অবস্থান \(n\) হলে \(n\)-তম পদ নির্ণয়ে প্রথম পদের সঙ্গে \((n-1)\) সংখ্যক সাধারণ অন্তর যোগ করা হয়।
সমান্তর ধারার প্রথম ও শেষ পদ জানা থাকলে তাদের গড়ই ধারাটির পদগুলোর গড়।
পদসংখ্যা জানা থাকলে প্রথম ও শেষ পদের যোগফলের অর্ধেককে পদসংখ্যা দিয়ে গুণ করে সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।
গুণোত্তর ধারা
Geometric Progression
যে ধারায় প্রতিটি পদকে আগের পদ দিয়ে ভাগ করলে একই মান পাওয়া যায়, তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়।
প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r\) হলে ধারাটি \(a\), \(ar\), \(ar^2\), \(ar^3\) ইত্যাদি রূপ নেয়।
\(n\)-তম পদ নির্ণয়ে প্রথম পদকে সাধারণ অনুপাতের \(n-1\) ঘাত দ্বারা গুণ করা হয়।
যেমন \(2,4,8,16,\ldots\) ধারায় প্রতিটি পদ আগের পদের দ্বিগুণ। তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r\) হলে ধারাটি \(a\), \(ar\), \(ar^2\), \(ar^3\) ইত্যাদি রূপ নেয়।
\(n\)-তম পদ নির্ণয়ে প্রথম পদকে সাধারণ অনুপাতের \(n-1\) ঘাত দ্বারা গুণ করা হয়।
যেমন \(2,4,8,16,\ldots\) ধারায় প্রতিটি পদ আগের পদের দ্বিগুণ। তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারার সমষ্টি
Sum of Series
সমান্তর ধারার সমষ্টি প্রথম পদ, শেষ পদ এবং পদসংখ্যার সাহায্যে নির্ণয় করা যায়।
প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিতে \(n(n+1)(2n+1)\)-এর সঙ্গে \(\frac{1}{6}\) গুণক ব্যবহৃত হয়।
প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের বর্গের সঙ্গে সম্পর্কিত।
গুণোত্তর ধারায় সাধারণ অনুপাত \(1\)-এর চেয়ে বড় বা ছোট হওয়ার ওপর নির্ভর করে সসীম সমষ্টির সূত্রের রূপ ভিন্নভাবে সাজানো যায়।
ধারার প্রশ্নে প্রথমে এটি সমান্তর, গুণোত্তর নাকি অন্য কোনো বিশেষ প্যাটার্ন— তা শনাক্ত করা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিতে \(n(n+1)(2n+1)\)-এর সঙ্গে \(\frac{1}{6}\) গুণক ব্যবহৃত হয়।
প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের বর্গের সঙ্গে সম্পর্কিত।
গুণোত্তর ধারায় সাধারণ অনুপাত \(1\)-এর চেয়ে বড় বা ছোট হওয়ার ওপর নির্ভর করে সসীম সমষ্টির সূত্রের রূপ ভিন্নভাবে সাজানো যায়।
ধারার প্রশ্নে প্রথমে এটি সমান্তর, গুণোত্তর নাকি অন্য কোনো বিশেষ প্যাটার্ন— তা শনাক্ত করা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
- একটি ক্লাসে মোট ২৭০০টি চকোলেট সমানভাবে বিতরণ করা হলো। প্রত্যেকে ক্লাসের শিক্ষার্থীসংখ্যার তিন গুণ চকোলেট পেলে শিক্ষার্থী কতজন?
- ২০
- ৩০
- ৪৫
- ৯০
- প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে; প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে। শিক্ষার্থী কতজন?
- ৫৫
- ৬০
- ৬৫
- ৫০
- \(\frac{2x+3y}{3x+2y}=\frac56\) হলে \(x:y\) কত?
- ৬:৮
- ৮:৩
- ৫:৬
- ৩:৮
- কোন সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির দুই-তৃতীয়াংশ হয়?
- ৩০
- ৫২
- ২৩
- ৩৬
- একটি শ্রেণিতে প্রত্যেকে নিজের সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা দিলে মোট ৪২০ টাকা হলো। শিক্ষার্থী কতজন?
- ২২
- ২১
- ২৩
- ২০
- ২৪০ টাকায় কয়েকটি কলম কেনা হলো। একটি কলম বেশি পেলে প্রতিটির দাম ১ টাকা কম হতো। কলম কতটি কেনা হয়েছিল?
- ১৪
- ১৫
- ১৬
- ১৮
- দুই ব্যক্তির কাছে যথাক্রমে \(x\) ও \(y\)টি মার্বেল আছে। \(x-y=20\) এবং \(x=2y\) হলে \(x\) কত?
- ২০
- ৩০
- ৪০
- ৫০
- একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ২। লব ৭ ও হর ৯ হলে ভগ্নাংশের মান কত?
- \(\frac79\)
- \(\frac97\)
- \(\frac29\)
- \(\frac27\)
- একটি সংখ্যার সঙ্গে তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যাটি যোগ করলে ২ হয়। সংখ্যাটি কত?
- ১
- ২
- ৩
- ৪
- ২৭০০টি চকোলেট শিক্ষার্থীদের মধ্যে সমানভাবে বিলি করা হলো। প্রত্যেকে শিক্ষার্থীসংখ্যার তিন গুণ চকোলেট পেলে শিক্ষার্থীসংখ্যার বর্গ কত?
- ৩০০
- ৬০০
- ৯০০
- ১২০০
- একটি সংখ্যা দ্বিগুণ করে তার সঙ্গে ৩ যোগ করলে সংখ্যাটি থেকে ৭ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?
- ৩
- ৪
- ৫
- ৬
- একটি শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থী প্রত্যেকে ৩টি চকোলেট পেলে মোট কতটি চকোলেট লাগবে?
- ৬০
- ৭৫
- ৯০
- ১২০
- দুটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২। ছোট সংখ্যাটি কত?
- ৬
- ৮
- ৯
- ১২
- একটি সংখ্যার তিন গুণের সঙ্গে তার দ্বিগুণ যোগ করে ৯০ পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
- ১৬
- ১৮
- ২০
- ২৪
- \(\frac{a}{b}=4\) এবং \(a+2b=12\) হলে \(a\) কত?
- ৬
- ৮
- ১০
- ১২
- দুটি সংখ্যার বিয়োগফল ৩৭ এবং যোগফল বিয়োগফলের ১১ গুণ। বড় সংখ্যাটি কত?
- ১৮৫
- ২২২
- ২০৩
- ২০৭
- \(\frac{x}{2}+3=\frac{x}{3}+4\) হলে \(x\) কত?
- ৬
- ৭
- −৬
- −৭
- \(3(4x-6)=3x+9\) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
- ২
- −২
- ৩
- −৩
- \(3(3x-4)=2(4x-3)\) হলে \(x\) কত?
- ৬
- −৪
- −৬
- ৩
- \(2(3x+5)=-(x-31)\) হলে \(x\) কত?
- ৫
- ৩
- −২
- −৩
- \((x+5)(x-3)\)-এর গুণফল কোনটি?
- \(x^2+8x+15\)
- \(x^2-15\)
- \(x^2+2x-15\)
- \(x^2+2x+15\)
- \(3x+y=9\) এবং \(5x-y=7\) হলে \((x,y)\) কত?
- (৩,−২)
- (৪,−৩)
- (২,৩)
- (১,৬)
- \(\frac3x+\frac4{x+1}=2\) হলে নিচের কোনটি সমাধান?
- ২
- ৪
- ১
- ৩
- ক-এর টাকা খ-এর টাকার দ্বিগুণ। দুজনের মোট ৩০ টাকা হলে খ-এর টাকা কত?
- ১০ টাকা
- ১৫ টাকা
- ২০ টাকা
- ৩০ টাকা
- \(x+2y=4\) এবং \(xy=2\) হলে \(x\)-এর মান কত?
- ২
- ০
- ১২
- ১
- দুটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২। সংখ্যাদ্বয়ের পার্থক্য কত?
- ১
- ২
- ৩
- ৪
- একটি শ্রেণিতে ছাত্রসংখ্যার প্রত্যেকে ৫ টাকা করে দিলে মোট ৩২৫ টাকা হয়। ছাত্র কতজন?
- ৬০
- ৬৫
- ৭০
- ৭৫
- একটি শ্রেণিতে ছাত্রসংখ্যা \(x\), প্রত্যেকে \(x\) টাকা দিলে মোট ৩৬০০ টাকা জমা হলো। ছাত্র কতজন?
- ৫০
- ৬০
- ৭০
- ৮০
- একটি সংখ্যার সঙ্গে অপর সংখ্যার যোগফল ২৮ এবং প্রথমটি দ্বিতীয়টির তিন গুণ। ছোট সংখ্যাটি কত?
- ৬
- ৭
- ৮
- ৯
- \(x^2-7x+12=0\) হলে \(x\) কত হতে পারে?
- ১ বা ২
- ৩ বা ৪
- −৩ বা −৪
- ৬ বা ২
- ধারা \(1,2,3,4,\ldots,100\)-এর যোগফল কত?
- ৫০৫০
- ৪৯৯৯
- ৫০০১
- ৫০০০
- প্রথম ৯৯টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?
- ৪৯৫০
- ৪৯৯৯
- ৫০৫০
- ৫০০১
- ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সব পূর্ণসংখ্যার যোগফল কত?
- ১২০০
- ১২২৫
- ১২৫০
- ১২৭৫
- ৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?
- ৬০০
- ৬১০
- ৬২০
- ৬৩০
- ৯৯ থেকে ৪০ পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?
- ৪১৭০
- ৪২০০
- ৪১৩০
- ৪১৬৫
- ১, ৩, ৫, …, ২১ ধারার যোগফল কত?
- ১১১
- ১১৯
- ১২০
- ১২১
- ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় কত?
- ২৩
- ২৪.৫
- ২৫
- ২৬.৫
- ০ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?
- ২৩
- ২৫
- ২৪.৫
- ২৬.৫
- সমান্তর ধারার প্রথম পদ ১, শেষ পদ ৯৯ এবং সমষ্টি ২৫০০ হলে পদসংখ্যা কত?
- ৪০
- ৫০
- ৬০
- ৭০
- ১২ ও ৯৬-এর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
- ৯১
- ৯২
- ৯৪
- ৯৬
- ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত বর্গগুলোর যোগফল কত?
- ৪৫০০৫
- ৪২৯২৫
- ৩৫১০০
- ৪৭২৫৫
- প্রথম \(n\)টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল কোনটি?
- \(\frac{n(n+1)}2\)
- \(\frac{n(n+1)(2n+1)}6\)
- \(\frac{n(n+1)}3\)
- \(\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2\)
- প্রথম \(n\)টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল ২২৫ হলে \(n\) কত?
- ৩
- ৫
- ৬
- ৭
- একটি অনুপাতের লব ২০, হর ৫০। উভয়টির সঙ্গে একই সংখ্যা যোগ করে অনুপাত \(\frac35\) হলে সংখ্যাটি কত?
- ২০
- ২৫
- ৩০
- ৩৫
- প্রথম দিন ১ টাকা এবং প্রতিদিন আগের দিনের দ্বিগুণ টাকা দান করলে প্রথম ১৫ দিনে মোট কত টাকা দান হবে?
- ৬৫৬৫
- ৩২৭৬৭
- ১৬৩৮৩
- ৮২৯১
- গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয় পদের সমষ্টি প্রথম তিন পদের সমষ্টির নয় গুণ হলে সাধারণ অনুপাত কত?
- ২
- ৩
- ৪
- ৫
- ১, ৪, ৯, … ধারার পরবর্তী পদ কোনটি?
- ১২
- ১৬
- ২৫
- ২৮
- ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, … ধারার পরবর্তী পদ কত?
- ১৬৯
- ২২৫
- ২৫৬
- ২৭২
- ১, ২, ৩, ৫, ৮, … ধারার অষ্টম পদ কত?
- ২১
- ১৩
- ৩৪
- ১৬
- ০, ৫, ১২, ২১, ৩২, … ধারার পরবর্তী পদ কত?
- ২৮
- ৩০
- ৪৫
- ৩৩