সংখ্যা, ধারা, গ.সা.গু, অনুপাত, মিশ্রণ, কাজ, নৌকা ও শতকরা — BCS Cadre

সংখ্যার ধারা হলো নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো একাধিক সংখ্যার ক্রম। কোনো ধারার অনুপস্থিত পদ নির্ণয়ের আগে পাশাপাশি দুই পদের পার্থক্য, অনুপাত, বর্গ, ঘন ও পর্যায়ক্রমিক অবস্থান পরীক্ষা করা উচিত।

১। সমান পার্থক্যের ধারা: প্রতিটি নতুন পদে নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ হলে তা সমান্তর ধরনের ধারা। যেমন, ৪, ৯, ১৪, ১৯, ...; প্রতি ধাপে ৫ যোগ হয়।
২। সমান অনুপাতের ধারা: ৩, ৬, ১২, ২৪, ... ধারায় প্রতিটি পরের পদ আগের পদের দ্বিগুণ।
৩। বর্গ ও ঘনভিত্তিক ধারা: ১, ৪, ৯, ১৬, ... পদগুলো যথাক্রমে \(1^2,2^2,3^2,4^2\)। আবার ১, ৮, ২৭, ৬৪, ... হলো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন।
৪। পার্থক্যের পার্থক্য: ২, ৫, ১০, ১৭, ২৬, ... ধারার প্রথম পার্থক্য ৩, ৫, ৭, ৯; তাই পরবর্তী পার্থক্য ১১ এবং পরবর্তী পদ ৩৭।
৫। পর্যায়ক্রমিক নিয়ম: কোনো ধারার বিজোড় অবস্থানের পদ এবং জোড় অবস্থানের পদ আলাদা দুটি নিয়ম অনুসরণ করতে পারে। এমন ক্ষেত্রে পদগুলোকে দুই উপধারায় ভাগ করতে হবে।
৬। পূর্ববর্তী পদগুলোর যোগ: প্রথম দুই পদের পর প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী দুই পদের সমষ্টি হতে পারে। যেমন, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১।
পরীক্ষার কৌশল: প্রথমে সহজতম একটি নিয়ম খুঁজুন, তারপর সেটি ধারার সব পদের ক্ষেত্রে কার্যকর কি না যাচাই করুন। একটি পদ মিলে গেলেই নিয়ম নিশ্চিত ধরে নেওয়া ঠিক নয়।

যে ধারায় পদগুলোর অবস্থান নির্দিষ্ট সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, সেখানে \(n\)-তম পদ বের করলে যেকোনো দূরবর্তী পদ সহজে নির্ণয় সম্ভব।

সমান্তর ধারা: প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অন্তর \(d\) হলে
\[a_n\equiv a+(n-1)d\]
গুণোত্তর ধারা: প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অনুপাত \(r\) হলে
\[a_n\equiv ar^{n-1}\]
সূচকীয় ধারা: \(2,4,8,16,\ldots\) এর \(n\)-তম পদ \(2^n\)। \(3,9,27,81,\ldots\) এর \(n\)-তম পদ \(3^n\)।
উদাহরণ: ২, ৬, ১৮, ৫৪, ... ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে \(a\) হলো ২ এবং \(r\) হলো ৩।
\[a_6\equiv 2\times3^5\equiv486\]
যোগনির্ভর ধারা: কোনো ধারায় নতুন পদ আগের দুই বা একাধিক পদের যোগফল হলে শুধু সাধারণ অন্তর বা অনুপাতের সূত্র প্রযোজ্য হয় না; সেক্ষেত্রে ধারাটির পুনরাবৃত্তিমূলক নিয়ম ব্যবহার করতে হবে।
দ্রষ্টব্য: ধারার একটি বৈধ গাণিতিক নিয়ম পাওয়া গেলেও বহু ধরনের নিয়ম একই প্রাথমিক পদগুলোর সঙ্গে মিলে যেতে পারে। পরীক্ষায় সাধারণত সবচেয়ে সরল, ধারাবাহিক নিয়মটিই প্রত্যাশিত।

অক্ষর-সংখ্যার ধারায় একদিকে বর্ণমালার অবস্থান, অন্যদিকে সংখ্যার নিজস্ব নিয়ম চলতে পারে। ইংরেজি বর্ণমালার অবস্থান ধরা হয় A থেকে Z পর্যন্ত যথাক্রমে ১ থেকে ২৬।
উদাহরণস্বরূপ, A, D, G, J—এখানে প্রতিবার তিন ঘর করে এগিয়েছে; পরের অক্ষর M। অন্যদিকে ৪, ৭, ১০, ১৩—প্রতিবার ৩ বেড়েছে; পরের পদ ১৬।
একই ঘরে সংখ্যা ও অক্ষর দেওয়া থাকলে প্রথমে সংখ্যাগুলোর অবস্থান ও পার্থক্য পরীক্ষা করুন; পরে অক্ষরগুলোর বর্ণমালাগত দূরত্ব দেখুন।

অবস্থান	১	২	৩	৪
অক্ষর	B	E	H	K
সংখ্যা	৩	৬	৯	১২

এই উদাহরণে অক্ষর ও সংখ্যা উভয়েরই বৃদ্ধি ৩ ব্যবধানে হয়েছে। চিত্রের প্রয়োজন না হলে এমন নিয়মভিত্তিক উপস্থাপনায় HTML টেবিল ব্যবহার করা যায়।

অঙ্ক: সংখ্যা লেখার জন্য ব্যবহৃত দশটি চিহ্ন হলো ০ থেকে ৯।
সংখ্যা: এক বা একাধিক অঙ্ক মিলিয়ে একটি সংখ্যা গঠিত হয়। যেমন ৬, ৪২, ৫৭৮।
স্বকীয় মান: অঙ্কটির নিজের মান, অবস্থান পরিবর্তন হলেও যা অপরিবর্তিত থাকে।
স্থানীয় মান: একটি অঙ্ক যে ঘরে অবস্থান করে, সেই ঘরের মান দিয়ে অঙ্কের মান গুণ করলে স্থানীয় মান পাওয়া যায়।
উদাহরণস্বরূপ ৬৪৮২ সংখ্যাটির অঙ্কগুলো হাজার, শতক, দশক ও এককের ঘরে রয়েছে।
\[6482\equiv6\times1000+4\times100+8\times10+2\]
এখানে ৪-এর স্বকীয় মান ৪ এবং স্থানীয় মান ৪০০।
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা: দশকের অঙ্ক \(x\) এবং এককের অঙ্ক \(y\) হলে
\[N\equiv10x+y\]
অঙ্কদ্বয় অদলবদল করলে
\[N'\equiv10y+x\]
সুতরাং দুই সংখ্যার বিয়োগফল
\[N-N'\equiv9(x-y)\]
অর্থাৎ দুই অঙ্ক অদলবদলের ফলে প্রাপ্ত সংখ্যার সঙ্গে মূল সংখ্যার পার্থক্য সর্বদা ৯-এর গুণিতক।
সতর্কতা: অঙ্কের স্থানে শূন্য থাকলে অঙ্ক অদলবদলের পরে সংখ্যার অঙ্কসংখ্যা কমে যেতে পারে।

স্বাভাবিক সংখ্যা: গণনার জন্য ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ১, ২, ৩, ...।
অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা Whole Numbers: ০ এবং সব স্বাভাবিক সংখ্যা।
পূর্ণসংখ্যা: ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ০ এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
জোড় সংখ্যা: \(2k\) আকারে লেখা যায়, যেখানে \(k\) পূর্ণসংখ্যা।
বিজোড় সংখ্যা: \(2k+1\) আকারে লেখা যায়।
মূলদ সংখ্যা: \(\frac pq\) আকারে লেখা যায়, যেখানে \(p,q\) পূর্ণসংখ্যা এবং \(q\ne0\)। সসীম দশমিক ও আবর্ত দশমিক মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।
অমূলদ সংখ্যা: দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। যেমন \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) ও \(\pi\)। অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবর্ত।
বাস্তব সংখ্যা: মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সমষ্টিগত সেট।
বিশেষ লক্ষণ: \(\sqrt9\) হলো ৩, যা মূলদ; কিন্তু \(\sqrt7\) অমূলদ। বর্গমূলের চিহ্ন থাকলেই সংখ্যা অমূলদ হবে এমন নয়।

মৌলিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার ধনাত্মক গুণনীয়ক মাত্র দুটি—১ ও সংখ্যাটি নিজে।
যৌগিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে সংখ্যার দুটির বেশি ধনাত্মক গুণনীয়ক আছে।
১-এর অবস্থান: ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়। ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
সহমৌলিক সংখ্যা: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে তাদের পরস্পর সহমৌলিক বলা হয়। সহমৌলিক দুটি সংখ্যা পৃথকভাবে মৌলিক হওয়া জরুরি নয়। যেমন, ৮ ও ১৫ উভয়ই যৌগিক, কিন্তু পরস্পর সহমৌলিক।
মৌলিকতা যাচাই: \(n\) সংখ্যাটির বর্গমূল পর্যন্ত সব মৌলিক সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্যতা পরীক্ষা করলেই যথেষ্ট। ঐ সীমার মধ্যে কোনো মৌলিক ভাজক না থাকলে \(n\) মৌলিক।
উদাহরণ: ৮৩-এর বর্গমূল ৯ ও ১০-এর মধ্যে। তাই শুধু ২, ৩, ৫, ৭ দ্বারা বিভাজ্যতা দেখলেই সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়; কোনোটিই ৮৩-কে নিঃশেষে ভাগ করে না।

কোনো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে, তা নির্ণয়ের সময় সীমান্তের দুটি সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত কি না তা আগে নিশ্চিত করতে হবে।
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩ ও ২৯। মোট ১০টি।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।
পরীক্ষায় ছোট পরিসরের জন্য সরাসরি তালিকা ব্যবহার করা যায়; বড় পরিসরে Eratosthenes-এর চালনি পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
চালনি পদ্ধতি: ২ থেকে শুরু করে প্রতিটি অবশিষ্ট মৌলিক সংখ্যার নিজ সংখ্যা ছাড়া বড় গুণিতকগুলো বাদ দিতে হবে। এভাবে বর্গমূল সীমা পর্যন্ত পরীক্ষা করলেই অবশিষ্ট সংখ্যাগুলো মৌলিক।
পরিসরের সতর্কতা: ‘ক থেকে খ পর্যন্ত’ এবং ‘ক ও খ-এর মধ্যে’ কথার ব্যবহারভেদে প্রান্তসংখ্যা ধরা হবে কি না বিবেচনা করতে হবে।

যে সংখ্যা দিয়ে একটি পূর্ণসংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়, তা ঐ সংখ্যার গুণনীয়ক। আর একটি পূর্ণসংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করে যে সংখ্যাগুলো পাওয়া যায়, সেগুলো তার গুণিতক।
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ: একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফলে লেখা যায়। যেমন,
\[360\equiv2^3\times3^2\times5\]
মোট ধনাত্মক গুণনীয়কের সংখ্যা:
\[N\equiv p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\]
\[d(N)\equiv(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)\]
উদাহরণে ৩৬০-এর মোট গুণনীয়ক
\[(3+1)(2+1)(1+1)\equiv24\]
গুণনীয়কগুলোর সমষ্টি:
\[\sigma(N)\equiv\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}\]
বিষয়টি মনে রাখুন: গুণনীয়ক সীমিত সংখ্যক হলেও একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ধনাত্মক গুণিতক অসীমসংখ্যক।

দীর্ঘ ভাগ না করেও অঙ্কের গঠন থেকে অনেক সংখ্যার বিভাজ্যতা দ্রুত বোঝা যায়।

ভাজক	নিয়ম
২	শেষ অঙ্ক জোড় বা ০
৩	সব অঙ্কের যোগফল ৩-এর গুণিতক
৪	শেষ দুই অঙ্কে গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য
৫	শেষ অঙ্ক ০ বা ৫
৬	একই সঙ্গে ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৮	শেষ তিন অঙ্কে গঠিত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য
৯	সব অঙ্কের যোগফল ৯-এর গুণিতক
১০	শেষ অঙ্ক ০
১১	বিকল্প অবস্থানের অঙ্কগুলোর যোগফলের পার্থক্য ১১-এর গুণিতক, শূন্যসহ
২৫	শেষ দুই অঙ্ক ০০, ২৫, ৫০ বা ৭৫

উদাহরণ: ৪৫৩৬-এর অঙ্কের যোগফল ১৮; তাই ৩ ও ৯ দিয়ে বিভাজ্য। শেষ দুই অঙ্ক ৩৬; তাই ৪ দিয়ে বিভাজ্য। শেষ তিন অঙ্ক ৫৩৬ যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
বিশেষ কথা: ১২ দ্বারা বিভাজ্যতা যাচাই করতে ৩ ও ৪—উভয় শর্ত ব্যবহার করা যায়।

দুই বা ততোধিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সব সাধারণ গুণনীয়কের মধ্যে সবচেয়ে বড়টিকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু বলা হয়।
মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি: প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সাধারণ উৎপাদকগুলোর ক্ষুদ্রতম ঘাতের গুণফল নিতে হয়।
\[84\equiv2^2\times3\times7\]
\[126\equiv2\times3^2\times7\]
\[\gcd(84,126)\equiv2\times3\times7\equiv42\]
ইউক্লিডীয় পদ্ধতি: বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ নিতে হবে। এরপর আগের ভাজককে নতুন ভাগশেষ দিয়ে ভাগ করতে হবে। শূন্য ভাগশেষ পাওয়া পর্যন্ত চলবে; শেষ অশূন্য ভাগশেষই গ.সা.গু।
ব্যবহার: সমান দৈর্ঘ্যের সর্ববৃহৎ অংশে কাটা, সর্বোচ্চ সমান আকারের দল গঠন, সর্ববৃহৎ সাধারণ পরিমাপ বের করা।
সহমৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে: গ.সা.গু ১।

দুই বা ততোধিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাধারণ ধনাত্মক গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটটিকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।
মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি: সব মৌলিক উৎপাদককে তাদের সর্বোচ্চ ঘাতসহ নিয়ে গুণ করতে হবে।
\[18\equiv2\times3^2,\qquad 24\equiv2^3\times3\]
\[\operatorname{lcm}(18,24)\equiv2^3\times3^2\equiv72\]
ব্যবহার: ভিন্ন বিরতিতে একসঙ্গে পুনরাবৃত্তি হওয়া ঘটনা, সমান ভাগশেষের সমস্যা এবং ভিন্ন হরের ভগ্নাংশের সাধারণ হর নির্ণয়।
ঘণ্টাধ্বনি উদাহরণ: দুটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ ও ১০ মিনিট অন্তর বাজে। একসঙ্গে বাজার পর আবার ৩০ মিনিট পরে একসঙ্গে বাজবে।
সতর্কতা: সময়ের পরিমাণ সব সময় এক এককে রূপান্তর করতে হবে; মিনিট ও সেকেন্ড একসঙ্গে রেখে ল.সা.গু নেওয়া যাবে না।

দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(a\) ও \(b\)-এর ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক:
\[ab\equiv\gcd(a,b)\times\operatorname{lcm}(a,b)\]
অতএব, একটি সংখ্যা এবং গ.সা.গু ও ল.সা.গু জানা থাকলে অন্য সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
\[b\equiv\frac{\gcd(a,b)\times\operatorname{lcm}(a,b)}{a}\]
অনুপাতের সাহায্যে: দুটি সংখ্যার সরল অনুপাত \(m:n\), যেখানে \(\gcd(m,n)\) হলো ১। তাদের গ.সা.গু \(d\) হলে সংখ্যা দুটি \(dm\) ও \(dn\)।
সেক্ষেত্রে
\[\operatorname{lcm}(dm,dn)\equiv dmn\]
উদাহরণ: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪:৭ এবং গ.সা.গু ৬ হলে সংখ্যা দুটি ২৪ ও ৪২। এদের ল.সা.গু ১৬৮।
সতর্কতা: গুণফলসংক্রান্ত সূত্রটি দুটি সংখ্যার জন্য সরাসরি প্রযোজ্য; তিন বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষেত্রে একইভাবে সাধারণীকরণ করা যায় না।

কোনো সংখ্যা \(N\) কে \(d\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল \(q\) এবং ভাগশেষ \(r\) হলে
\[N\equiv dq+r,\qquad 0\le r\lt d\]
সমান ভাগশেষ: কোনো সংখ্যা কয়েকটি ভাজক দিয়ে ভাগ করলে একই ভাগশেষ \(r\) থাকলে, সংখ্যা থেকে \(r\) বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা ঐ ভাজকগুলোর ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উদাহরণ: একটি সংখ্যা ৬, ৮ ও ১০ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৩ থাকে। একটি উপযুক্ত সংখ্যা
\[N\equiv\operatorname{lcm}(6,8,10)+3\equiv120+3\equiv123\]
নির্দিষ্ট ঘাটতি: কোনো সংখ্যা \(d\) দিয়ে ভাগ করলে \(d-1\) ভাগশেষ পাওয়া মানে সংখ্যাটি \(d\)-এর পরবর্তী গুণিতকের চেয়ে ১ কম। যেমন ৪, ৫ ও ৬ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকার শর্তের জন্য ল.সা.গু থেকে ১ বিয়োগের পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।
ভাগশেষের যৌথ সমস্যা: বিভিন্ন ভাজকের জন্য পৃথক পৃথক ভাগশেষ থাকলে সরল ল.সা.গু পদ্ধতি সব সময় যথেষ্ট নয়; তখন প্রয়োজনমতো সমীকরণ বা মডুলার গণনা করতে হয়।

দুটি সমজাতীয় রাশির তুলনা ভাগের মাধ্যমে প্রকাশ করলে তাকে অনুপাত বলা হয়। \(a:b\) অনুপাতের প্রথম রাশি পূর্বপদ এবং দ্বিতীয় রাশি উত্তরপদ। দ্বিতীয় রাশি শূন্য হতে পারে না।
\[a:b\equiv\frac ab\]
সরল অনুপাত: উভয় পদকে তাদের গ.সা.গু দিয়ে ভাগ করে ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করতে হয়। যেমন, ১৮:২৪ কে ৩:৪ করা যায়।
সমান অনুপাত: উভয় পদকে একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
একক মিলিয়ে নেওয়া: ২ মিটার ও ৫০ সেন্টিমিটারের অনুপাত করতে হলে আগে একই এককে আনতে হবে; ২০০:৫০ থেকে অনুপাত ৪:১।
মোট পরিমাণ বণ্টন: \(T\) পরিমাণকে \(a:b\) অনুপাতে ভাগ করলে
\[\text{প্রথম অংশ}\equiv\frac{aT}{a+b}\]
\[\text{দ্বিতীয় অংশ}\equiv\frac{bT}{a+b}\]
উদাহরণ: ৯০০ টাকা ২:৩:৪ অনুপাতে ভাগ করলে প্রত্যেক অনুপাত এককের মূল্য ১০০ টাকা; অংশগুলো ২০০, ৩০০ ও ৪০০ টাকা।

ব্যস্ত অনুপাত: \(a:b\)-এর ব্যস্ত অনুপাত \(b:a\), যেখানে উভয় রাশি অশূন্য।
যৌগিক অনুপাত: একাধিক অনুপাতের পূর্বপদগুলোর গুণফল ও উত্তরপদগুলোর গুণফল দিয়ে গঠিত অনুপাত। যেমন \(a:b\) ও \(c:d\)-এর যৌগিক অনুপাত \(ac:bd\)।
দ্বিঘাত অনুপাত: \(a:b\) থেকে \(a^2:b^2\) অনুপাত গঠন।
ত্রিঘাত অনুপাত: \(a^3:b^3\)।
ধারাবাহিক অনুপাত: \(a:b\) এবং \(b:c\) একই মধ্যপদে মেলানো হলে \(a:b:c\) পাওয়া যায়।
উদাহরণ: \(a:b\) হলো ২:৫ এবং \(b:c\) হলো ৩:৪। প্রথম অনুপাতের মধ্যপদ ১৫ করতে ৩ দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের মধ্যপদ ১৫ করতে ৫ দিয়ে গুণ করলে তিন পদের অনুপাত ৬:১৫:২০।
ক্রমিক সমানুপাত: \(a:b\) এবং \(b:c\) সমান হলে \(b^2\) হলো \(ac\)। এখানে \(b\) কে মধ্য সমানুপাতী বলা হয়।

চারটি রাশি \(a,b,c,d\)-এর মধ্যে প্রথম দুই রাশির অনুপাত শেষ দুই রাশির অনুপাতের সমান হলে তাদের সমানুপাত বলে।
\[a:b\equiv c:d\quad\Longrightarrow\quad ad\equiv bc\]
প্রান্তীয় রাশি: প্রথম ও চতুর্থ রাশি।
মধ্য রাশি: দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি।
চতুর্থ সমানুপাতী: \(a:b\) এবং \(c:x\) সমান হলে
\[x\equiv\frac{bc}{a}\]
মধ্য সমানুপাতী: ধনাত্মক \(a,c\)-এর মধ্যে \(a:b\) এবং \(b:c\) সমান হলে
\[b\equiv\sqrt{ac}\]
বয়সসংক্রান্ত প্রশ্ন: দুই প্রজন্মের বয়স সমানুপাতিক বলা থাকলে কোন কোন রাশির তুলনা বোঝানো হয়েছে, সেটি আগে নির্ধারণ করতে হবে। বয়স ধনাত্মক হওয়ায় প্রয়োজনে ধনাত্মক বর্গমূল গ্রহণ করা হয়।

অনুপাতের সমস্যা সমাধানের প্রধান কৌশল হলো রাশিগুলোকে একটি সাধারণ চলকের গুণিতক হিসেবে ধরা। যেমন, তিনজনের আয় ২:৩:৫ অনুপাতে হলে যথাক্রমে \(2x,3x,5x\) ধরা যায়।
যোগফল জানা থাকলে: তিনজনের মোট আয় ৪০,০০০ টাকা হলে
\[10x\equiv40000\quad\Rightarrow\quad x\equiv4000\]
ফলে আয়গুলো ৮,০০০, ১২,০০০ ও ২০,০০০ টাকা।
পার্থক্য জানা থাকলে: বড় ও ছোট রাশির অনুপাত ৭:৪ এবং তাদের পার্থক্য ৯০ হলে
\[(7-4)x\equiv90\quad\Rightarrow\quad x\equiv30\]
রাশি দুটি ২১০ ও ১২০।
শর্ত পরিবর্তনের প্রশ্ন: বয়স, সংখ্যা বা অর্থের সঙ্গে নতুন পরিমাণ যোগ-বিয়োগ হলে নতুন অনুপাত দিয়ে ভগ্নাংশসমীকরণ গঠন করতে হয়।
দলীয় শতকরা অংশ: ছেলে ও মেয়ের সংখ্যা পৃথক জানা থাকলে প্রথমে প্রত্যেক দলের অংশগ্রহণকারীর সংখ্যা বের করে তারপর মোট দলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হয়।

দুই বা ততোধিক পদার্থ একত্র করে যে সমষ্টি তৈরি হয় তাকে মিশ্রণ বলা হয়। কোনো উপাদানের অংশ নির্ণয় করতে সেই উপাদানের অনুপাতকে সব অনুপাতের যোগফল দিয়ে ভাগ করে মোট মিশ্রণ দিয়ে গুণ করতে হয়।
দুই উপাদান: মোট মিশ্রণ \(V\) এবং দুই উপাদানের অনুপাত \(a:b\) হলে
\[V_A\equiv\frac{aV}{a+b},\qquad V_B\equiv\frac{bV}{a+b}\]
উদাহরণ: ৮০ লিটার তরলে দুধ ও পানির অনুপাত ৩:২ হলে দুধ ৪৮ লিটার এবং পানি ৩২ লিটার।
অতিরিক্ত উপাদান যোগ: পূর্বের দুধ ৪৮ লিটার অপরিবর্তিত রেখে পানির পরিমাণ \(x\) লিটার বাড়ালে নতুন অনুপাত ৪:৩ হয়, তাহলে
\[\frac{48}{32+x}\equiv\frac43\]
\[144\equiv128+4x\quad\Rightarrow\quad x\equiv4\]
অপসারণ ও প্রতিস্থাপন: সমজাতীয়ভাবে মেশানো তরল থেকে অংশ সরিয়ে নতুন তরল যোগ করলে অপসারিত অংশে পুরোনো উপাদানগুলোর অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
বারবার প্রতিস্থাপনের সূত্র: শুরুতে কোনো উপাদান \(V\) পরিমাণ, প্রতিবার \(x\) পরিমাণ বের করে সমপরিমাণ অন্য উপাদান যোগ করলে \(n\) বার শেষে মূল উপাদানের অবশিষ্ট পরিমাণ
\[V\left(1-\frac{x}{V}\right)^n\]
এই সূত্র প্রযোজ্য, যদি প্রতিবার মিশ্রণ ভালোভাবে সমজাতীয় করা হয়।

ভিন্ন মূল্য বা ঘনত্বের দুটি সমজাতীয় উপাদান মিশিয়ে একটি নির্দিষ্ট গড় মূল্য পাওয়া গেলে অ্যালিগেশন পদ্ধতি উপযোগী।
নিম্নমূল্য \(L\), উচ্চমূল্য \(H\) এবং লক্ষ্য গড় মূল্য \(M\) হলে, যেখানে \(L\lt M\lt H\),
\[\frac{\text{নিম্নমূল্যের পরিমাণ}}{\text{উচ্চমূল্যের পরিমাণ}}\equiv\frac{H-M}{M-L}\]
উদাহরণ: প্রতি কেজি ৫০ ও ৮০ টাকা দরের চাল মিশিয়ে গড়ে ৬০ টাকা দরের চাল তৈরি করতে নিম্নমূল্যের চাল ও উচ্চমূল্যের চালের অনুপাত
\[(80-60):(60-50)\equiv20:10\equiv2:1\]
ব্যাখ্যা: গড় মূল্য উঁচু মূল্যের কাছাকাছি হলে বেশি পরিমাণ উঁচু মূল্যের উপাদান লাগে; নিচু মূল্যের কাছাকাছি হলে বেশি পরিমাণ নিম্নমূল্যের উপাদান লাগে।
সতর্কতা: ভিন্ন এককে মূল্য দেওয়া থাকলে আগে একই এককে রূপান্তর করুন।

একাধিক এককের মূল্য বা কাজ জানা থেকে প্রথমে এক এককের মান বের করে পরে প্রয়োজনীয় সংখ্যক এককের মান নির্ণয় করার পদ্ধতি ঐকিক নিয়ম।
সরাসরি সমানুপাত: এককের সংখ্যা বাড়লে ফল একই অনুপাতে বাড়ে। যেমন, ৫ কেজি খাদ্যের দাম ৩৫০ টাকা হলে প্রতি কেজির দাম ৭০ টাকা; ৮ কেজির দাম ৫৬০ টাকা।
ব্যস্ত সমানুপাত: একই কাজের জন্য শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে সময় কমে, যদি সবাই সমান দক্ষতায় কাজ করে।
\[\text{শ্রমিক সংখ্যা}\times\text{দিন}\equiv\text{স্থির কাজের পরিমাণ}\]
যৌথ পরিবর্তন: শ্রমিক, দিন ও দৈনিক কাজের ঘণ্টা তিনটিই পরিবর্তিত হলে তাদের গুণফল দিয়ে মোট কর্মঘণ্টা তুলনা করতে হয়।
যানবাহনের সমস্যা: একই দূরত্বের জন্য গতি বাড়লে সময় কমে—ব্যস্ত সমানুপাত।
কৌশল: কোন রাশি বৃদ্ধি পেলে অন্য রাশি বাড়ে, না কমে—এটি শনাক্ত করেই সূত্র বাছাই করতে হবে।

একটি তথ্যসমষ্টির সংখ্যাগুলোর যোগফলকে তথ্যের মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে গাণিতিক গড় পাওয়া যায়।
\[\bar{x}\equiv\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\]
গড় থেকে মোট যোগফল: মোট সংখ্যা \(n\) এবং গড় \(A\) হলে তথ্যগুলোর যোগফল \(nA\)।
দুটি দলের সম্মিলিত গড়: প্রথম দলে \(n_1\) জনের গড় \(A_1\), দ্বিতীয় দলে \(n_2\) জনের গড় \(A_2\) হলে
\[A\equiv\frac{n_1A_1+n_2A_2}{n_1+n_2}\]
উদাহরণ: ২০ জনের গড় ৬০ এবং ৩০ জনের গড় ৭০ হলে সম্মিলিত গড়
\[\frac{20\times60+30\times70}{50}\equiv66\]
একটি সংখ্যা যোগ বা বাদ: নতুন গড় ও নতুন তথ্যসংখ্যা জানা থাকলে নতুন মোট যোগফল থেকে পুরোনো মোট যোগফল বিয়োগ করে যোগ হওয়া তথ্যের মান পাওয়া যায়।
সতর্কতা: আলাদা দলের গড়ের সাধারণ গড় সব সময় সম্মিলিত গড় নয়; দলের সদস্যসংখ্যা ভিন্ন হলে ওজনযুক্ত গড় ব্যবহার করতে হবে।

কোনো ব্যক্তি একা \(a\) দিনে একটি কাজ শেষ করলে এক দিনে তার সম্পন্ন কাজের অংশ \(\frac1a\)। একইভাবে অন্য ব্যক্তি \(b\) দিনে কাজটি করলে তার দৈনিক কাজ \(\frac1b\)।
একসঙ্গে কাজ: দুই ব্যক্তি একই সঙ্গে কাজ করলে দৈনিক কাজের পরিমাণ যোগ হবে।
\[\frac1T\equiv\frac1a+\frac1b\]
\[T\equiv\frac{ab}{a+b}\]
উদাহরণ: একজন ১২ দিনে এবং অন্যজন ১৮ দিনে কাজ শেষ করতে পারলে দুজন মিলে
\[T\equiv\frac{12\times18}{12+18}\equiv\frac{36}{5}\text{ দিন}\]
তিন ব্যক্তি:
\[\frac1T\equiv\frac1a+\frac1b+\frac1c\]
একজন কাজ করলে অন্যজন নষ্ট করে: ক্ষয়কারীর দৈনিক কাজের হার বিয়োগ করতে হবে।
\[\frac1T\equiv\frac1a-\frac1b\]
দক্ষতা ও সময়: একই কাজের ক্ষেত্রে দক্ষতা দ্বিগুণ হলে প্রয়োজনীয় সময় অর্ধেক হয়।
শর্ত: সময়ভেদে কাজের গতি অপরিবর্তিত এবং ব্যক্তিদের কাজ একে অপরকে বাধা দিচ্ছে না—এমন অনুমান ব্যবহৃত হয়।

নির্দিষ্ট পরিমাণ কাজের জন্য সমান দক্ষতার শ্রমিকসংখ্যা \(m\), দৈনিক কর্মঘণ্টা \(h\) এবং কর্মদিবস \(d\) হলে কাজের পরিমাণ সমানুপাতিক \(mhd\)-এর।
\[W\propto mhd\]
উদাহরণ: ১০ জন শ্রমিক দিনে ৬ ঘণ্টা কাজ করে ৮ দিনে একটি কাজ শেষ করে। ১২ জন একই দক্ষতার শ্রমিক দৈনিক ৫ ঘণ্টা কাজ করলে প্রয়োজনীয় দিন
\[d\equiv\frac{10\times6\times8}{12\times5}\equiv8\]
কাজের আংশিক অগ্রগতি: কোনো কাজের \(\frac25\) অংশ সম্পন্ন হলে অবশিষ্ট \(\frac35\) অংশ। একই হারে কাজ চললে অবশিষ্ট সময় মোট সময়ের \(\frac35\)।
নতুন কর্মী যোগ: প্রথম পর্যায়ে সম্পন্ন কাজ বাদ দিয়ে দ্বিতীয় পর্যায়ে নতুন মোট দৈনিক কর্মহার অনুযায়ী সময় হিসাব করতে হবে।
দক্ষতা অসমান হলে: শ্রমিকের সংখ্যা নয়, শ্রমিকপ্রতি কাজের হার বা দক্ষতার যোগফল ব্যবহার করতে হবে।

স্থির পানিতে নৌকার নিজস্ব গতিকে \(u\) এবং স্রোতের গতিকে \(v\) ধরা যাক।
স্রোতের অনুকূলে কার্যকর গতি:
\[v_{\mathrm{down}}\equiv u+v\]
স্রোতের প্রতিকূলে কার্যকর গতি:
\[v_{\mathrm{up}}\equiv u-v\]
প্রতিকূলে অগ্রসর হতে চাইলে \(u\gt v\) হতে হবে।
দুটি কার্যকর গতি থেকে:
\[u\equiv\frac{v_{\mathrm{down}}+v_{\mathrm{up}}}{2}\]
\[v\equiv\frac{v_{\mathrm{down}}-v_{\mathrm{up}}}{2}\]
উদাহরণ: অনুকূলে গতি ১৬ কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ১০ কিমি/ঘণ্টা হলে স্থির পানির গতি ১৩ কিমি/ঘণ্টা ও স্রোতের গতি ৩ কিমি/ঘণ্টা।
ভৌত ব্যাখ্যা: নৌকা ও স্রোত একই দিকে কাজ করলে গতিগুলো যোগ হয়; বিপরীত দিকে কাজ করলে স্রোতের গতি বিয়োগ হয়।

দূরত্ব \(s\) এবং গতি \(v\) হলে
\[t\equiv\frac{s}{v}\]
অনুকূলের সময়:
\[t_d\equiv\frac{s}{u+v}\]
প্রতিকূলের সময়:
\[t_u\equiv\frac{s}{u-v}\]
একই দূরত্বে যাওয়া-আসার মোট সময়:
\[T\equiv\frac{s}{u+v}+\frac{s}{u-v}\]
\[T\equiv\frac{2su}{u^2-v^2}\]
উদাহরণ: নৌকার স্থির পানির গতি ১২ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতি ৩ কিমি/ঘণ্টা। ৪৫ কিমি অনুকূলে যেতে সময় ৩ ঘণ্টা, একই পথ প্রতিকূলে ফিরতে সময় ৫ ঘণ্টা; মোট ৮ ঘণ্টা।
ফিরতি যাত্রা কেন দীর্ঘ: প্রতিকূল গতিবেগ কম হলেও দূরত্ব সমান থাকে। ফলে সময় বেশি লাগে।
সতর্কতা: ৪৫ কিমি যাওয়া এবং ৪৫ কিমি ফেরা মানে মোট দূরত্ব ৯০ কিমি; কিন্তু গড় গতি নির্ণয়ে সরলভাবে দুই কার্যকর গতির গড় ব্যবহার করা ঠিক নয়।

শতকরা অর্থ প্রতি একশতে কত অংশ। কোনো পরিমাণের শতকরা অংশ নির্ণয়ে তার অনুপাতকে ১০০ দিয়ে গুণ করা হয়।
\[p\%\equiv\frac{p}{100}\]
সংখ্যার শতকরা অংশ:
\[\text{অংশ}\equiv\frac{p\times N}{100}\]
মূল সংখ্যা নির্ণয়: কোনো সংখ্যার \(p\%\) যদি \(q\) হয়, তাহলে
\[N\equiv\frac{100q}{p}\]
উদাহরণ: কোনো পরিমাণের ৩৫ শতাংশ ১৪০ হলে মোট পরিমাণ ৪০০।
ভগ্নাংশ থেকে শতকরা: \(\frac14\) হলো ২৫%, \(\frac25\) হলো ৪০%, \(\frac34\) হলো ৭৫%, \(\frac18\) হলো ১২.৫%।
শতকরা শতভাগ ছাড়াতে পারে: ২৫০% মানে মূল পরিমাণের আড়াই গুণ।
গুরুত্বপূর্ণ: কোনো হার কত শতাংশ ‘বেশি’ বা ‘কম’—তার ভিত্তি কোনটি, তা আগে নির্ধারণ করতে হবে।

প্রাথমিক মান \(A\) থেকে \(p\%\) বৃদ্ধি পেলে নতুন মান
\[A_{\mathrm{new}}\equiv A\left(1+\frac p{100}\right)\]
শতকরা হ্রাসে
\[A_{\mathrm{new}}\equiv A\left(1-\frac p{100}\right)\]
পুরোনো মান নির্ণয়: নতুন মান ১৫% বৃদ্ধির পর ২৩০ হলে পুরোনো মান
\[A\equiv\frac{230\times100}{115}\equiv200\]
পরপর পরিবর্তন: প্রথমে \(p\%\) বৃদ্ধি ও পরে \(q\%\) বৃদ্ধি হলে মোট গুণক
\[\left(1+\frac p{100}\right)\left(1+\frac q{100}\right)\]
বৃদ্ধির পর সমান হারে হ্রাস: ১০% বাড়িয়ে পরে ১০% কমালে মোট গুণক \(1.1\times0.9\), অর্থাৎ মূল মূল্যের ৯৯% অবশিষ্ট থাকে। তাই মোট পরিবর্তন ১% হ্রাস।
একই খরচে ব্যবহার: একক মূল্য \(p\%\) কমলে পরিমাণ কত শতাংশ বাড়ানো যায় তা নির্ণয়ের সূত্র
\[\text{বৃদ্ধির হার}\equiv\frac{100p}{100-p}\%\]
বিপরীতে একক মূল্য \(p\%\) বাড়লে স্থির ব্যয় রাখার জন্য ব্যবহারের হ্রাসের হার
\[\text{হ্রাসের হার}\equiv\frac{100p}{100+p}\%\]

‘ক-এর তুলনায় খ কত শতাংশ বেশি’—এ প্রশ্নে ভিত্তি ক। কিন্তু ‘খ-এর তুলনায় ক কত শতাংশ কম’—এ প্রশ্নে ভিত্তি খ। তাই একই পার্থক্যের শতাংশ দুটি সমান নাও হতে পারে।
বেশি হওয়ার হার:
\[\frac{B-A}{A}\times100\%\]
কম হওয়ার হার:
\[\frac{B-A}{B}\times100\%\]
উদাহরণ: একজনের আয় ৮০ টাকা এবং অন্যজনের আয় ১০০ টাকা। দ্বিতীয়জনের আয় প্রথমজনের চেয়ে ২৫% বেশি; কিন্তু প্রথমজনের আয় দ্বিতীয়জনের চেয়ে ২০% কম।
দলের শতকরা অংশ: কোনো শ্রেণিতে ৪০ জনের মধ্যে ১২ জন অংশ নিলে অংশগ্রহণের হার
\[\frac{12}{40}\times100\%\equiv30\%\]
বহু দলে গণনা: আলাদা দল থেকে নির্দিষ্ট শতাংশ অংশগ্রহণ করলে প্রত্যেক দলের অংশগ্রহণকারী হিসাব করে যোগ করুন; তারপর মোট সদস্যসংখ্যার ভিত্তিতে শতকরা নির্ণয় করুন।

বেতন বৃদ্ধি: বেতন ৮% বৃদ্ধি পেলে নতুন বেতন মূল বেতনের ১০৮%। মূল বেতন পেতে নতুন বেতনকে ১.০৮ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
একাধিক ধাপের বিল: প্রথম বছরে \(p\%\) এবং পরের অর্ধবছরে \(q\%\) বৃদ্ধি হলে পরিবর্তন দুটি পূর্ববর্তী ধাপের নতুন মূল্যের ওপর ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করতে হবে।
কর ও ভ্যাট: মূল মূল্য \(P\) এবং করহার \(r\%\) হলে করের পর মোট মূল্য
\[P_{\mathrm{total}}\equiv P\left(1+\frac r{100}\right)\]
সম্পদবণ্টন: মোট সম্পদের কয়েকটি অংশ শতাংশে দেওয়া থাকলে অবশিষ্ট শতাংশ প্রথমে বের করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ১৫% ও ৪৫% বিলিয়ে দিলে অবশিষ্ট ৪০%। এই ৪০ শতাংশের মূল্য জানা থাকলে মোট মূল্য নির্ণয় করা যায়।
পরিবর্তনের ভিত্তি: শতাংশ পরিবর্তনের প্রশ্নে সবসময় ‘শতাংশটি কোন পরিমাণের ওপর’ তা লিখে নিতে হবে।