সম্ভাবনা, সমাবেশ, বিন্যাস, বীজগণিত ও ধারা — BCS Cadre

সম্ভাবনা হলো কোনো অনিশ্চিত ঘটনা সংঘটিত হওয়ার সম্ভাব্যতার সংখ্যাগত পরিমাপ। সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফলের ক্ষেত্রে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ও মোট ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত দিয়ে সম্ভাবনা নির্ধারণ করা হয়।

কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সব ফলাফলের সমষ্টিকে নমুনাক্ষেত্র বা Sample Space বলা হয়, যা সাধারণত \(S\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নির্দিষ্ট শর্ত পূরণকারী ফলাফলগুলোর সমষ্টি হলো ঘটনা বা Event, যা \(A\) দ্বারা নির্দেশ করা যায়।
\[P(A)\;\equiv\;\frac{n(A)}{n(S)}\]
এখানে \(n(A)\) অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা এবং \(n(S)\) মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা। এই সরল সূত্র ব্যবহার করতে হলে প্রতিটি মৌলিক ফলাফল সমানভাবে সম্ভাব্য হতে হবে।
সম্ভাবনার পরিসীমা \(0\leq P(A)\leq 1\)। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য এবং নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা এক।
উদাহরণ: একটি সুষম ছক্কা নিক্ষেপে ৪ পাওয়ার অনুকূল ফলাফল একটি, কিন্তু মোট ফলাফল ছয়টি। সুতরাং সম্ভাবনা \(\frac16\)।

কোনো ঘটনা \(A\) না ঘটার ঘটনাকে তার পরিপূরক বলা হয়। ঘটনা সংঘটিত হওয়া এবং না হওয়া—এই দুই সম্ভাবনা মিলে সম্পূর্ণ নমুনাক্ষেত্র গঠিত হয়।
\[P(A^c)\;\equiv\;1-P(A)\]
যদি একটি সুষম ছক্কায় ৪ ওঠার সম্ভাবনা \(\frac16\) হয়, তবে ৪ ছাড়া অন্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা \(\frac56\)।
প্রশ্নে ‘হবে না’, ‘বাদে’, ‘অন্তত একটি’ ইত্যাদি থাকলে পরিপূরক ঘটনা ব্যবহার করে দ্রুত সমাধান করা যায়। বিশেষভাবে অন্তত একটি সফলতার সম্ভাবনা নির্ণয়ে প্রথমে একটিও সফলতা না হওয়ার সম্ভাবনা বের করা সুবিধাজনক।

‘অথবা’ শব্দটি সাধারণত দুটি ঘটনার ইউনিয়ন বা \(A\cup B\) নির্দেশ করে। ‘এবং’ শব্দটি একই সঙ্গে দুটি ঘটনা ঘটাকে বোঝায়, যার প্রতীক \(A\cap B\)।
\[P(A\cup B)\;\equiv\;P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
দুটি ঘটনা পরস্পর বিচ্ছিন্ন হলে কোনো ফলাফল উভয়ের অন্তর্ভুক্ত হয় না। সে ক্ষেত্রে \(P(A\cap B)\) শূন্য এবং দুটি সম্ভাবনা যোগ করতে হয়।
উদাহরণ: ২০ থেকে ৩০ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২৩ ও ২৯। ৫-এর গুণিতক ২০, ২৫ ও ৩০। দুই সেটে কোনো সাধারণ সংখ্যা নেই। তাই মৌলিক অথবা ৫-এর গুণিতক হওয়ার অনুকূল ফলাফল পাঁচটি এবং সম্ভাবনা \(\frac5{11}\)।
দুটি ঘটনা স্বাধীন হলে একই সঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা তাদের পৃথক সম্ভাবনার গুণফল। স্বাধীনতা এবং পরস্পর বিচ্ছিন্নতা এক বিষয় নয়।

একটি পাত্র থেকে বস্তু তুলে পুনরায় পাত্রে না রাখলে পরের ধাপের মোট বস্তুসংখ্যা ও অনুকূল বস্তুসংখ্যা বদলে যায়। একে Without Replacement বলা হয়।
উদাহরণ: একটি পাত্রে ৪টি লাল ও ৪টি নীল বল আছে। প্রতিস্থাপন ছাড়া পরপর দুটি বল তোলা হলো। উভয়টি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ে প্রথম বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac48\) এবং প্রথমটি লাল হওয়ার শর্তে দ্বিতীয়টিও লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(\frac37\)।
\[P(\text{উভয়টি লাল})\;\equiv\;\frac48\times\frac37\;\equiv\;\frac3{14}\]
এখানে প্রথম নির্বাচনের ঘটনা দ্বিতীয় নির্বাচনের সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে; তাই শর্তাধীন সম্ভাবনা প্রযোজ্য।

একাধিক সমানভাবে সম্ভাব্য নির্বাচন থাকলে মোট উপায় ও অনুকূল উপায়ের সংখ্যা গণনার জন্য সমাবেশ এবং বিন্যাসের সূত্র ব্যবহার করা যায়।
উদাহরণ: ৭ জনের মধ্যে ৩ জনের দল গঠন করা হবে এবং নির্দিষ্ট দুই ব্যক্তিকে একসঙ্গে রাখতে হবে। অনুকূল দলসংখ্যা \(\binom51\), কারণ ওই দুজন নেওয়ার পর আরও একজনকে অবশিষ্ট পাঁচজন থেকে নিতে হবে। মোট দলসংখ্যা \(\binom73\)।
\[P(A)\;\equiv\;\frac{\binom51}{\binom73}\;\equiv\;\frac17\]
এ ধরনের সমাধানের আগে নির্বাচনের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ কি না, তা নিশ্চিত করতে হবে।

কয়েকটি ভিন্ন বস্তু থেকে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করার ক্ষেত্রে নির্বাচনের ক্রম পরিবর্তন করলে নতুন নির্বাচন সৃষ্টি না হলে তাকে সমাবেশ বলে। দল, কমিটি, উপকমিটি, প্রশ্ন বাছাই—এ ধরনের সমস্যায় সাধারণত সমাবেশ ব্যবহৃত হয়।
\[\binom nr\;\equiv\;\frac{n!}{r!(n-r)!}\]
এখানে \(n\) মোট বস্তুর সংখ্যা এবং \(r\) নির্বাচিত বস্তুর সংখ্যা; শর্ত \(0\leq r\leq n\)।
\[\binom nr\;\equiv\;\binom n{n-r}\]
অর্থাৎ \(r\)টি বস্তু নেওয়া এবং \(n-r\)টি বস্তু বাদ দেওয়া সংখ্যাগতভাবে একই নির্বাচন।
উদাহরণ: ৬ জন ব্যক্তির মধ্যে থেকে ২ জন প্রতিনিধি নির্বাচন করলে \(\binom62\) অর্থাৎ ১৫ রকম দল পাওয়া যায়।

কোনো নির্বাচনে নির্দিষ্ট সদস্যের উপস্থিতি বাধ্যতামূলক হলে তাকে আগে নির্বাচন করা হয়েছে ধরে নিতে হবে। এরপর অবশিষ্ট পদগুলো অবশিষ্ট ব্যক্তিদের মধ্যে থেকে পূরণ করতে হবে।
উদাহরণ: ৯ জনের মধ্যে ৪ জনের কমিটিতে নির্দিষ্ট একজন অবশ্যই থাকবেন। তখন অবশিষ্ট ৮ জন থেকে ৩ জন নেওয়ার উপায় \(\binom83\) অর্থাৎ ৫৬।
নির্দিষ্ট একজন বাদ থাকলে সেই ব্যক্তিকে মোট সদস্যসংখ্যা থেকে সরিয়ে বাকি সদস্যদের মধ্যে নির্বাচন করতে হবে।
পৃথক দুটি গোষ্ঠী থেকে নির্দিষ্ট সংখ্যক সদস্য নেওয়ার শর্ত থাকলে প্রতিটি গোষ্ঠীর সমাবেশসংখ্যা গুণ করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ৭ জন পুরুষ ও ৫ জন নারীর মধ্য থেকে ২ জন পুরুষ এবং ৩ জন নারী নিয়ে দল গঠনের উপায় \(\binom72\times\binom53\)।

পরীক্ষায় কয়েকটি প্রশ্নের মধ্য থেকে নির্দিষ্টসংখ্যক উত্তর দিতে হলে এবং উত্তর দেওয়ার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ না হলে সমাবেশের সূত্র প্রযোজ্য।
উদাহরণ: ১২টি প্রশ্নের মধ্যে ৬টির উত্তর দিতে হবে। প্রথম ৫টি প্রশ্নের মধ্য থেকে অন্তত ৪টি বাছাই করতে হবে। দুটি সম্ভাব্য অবস্থা হলো প্রথম অংশ থেকে ৪টি এবং পরের ৭টি থেকে ২টি; অথবা প্রথম অংশ থেকে ৫টি এবং পরের ৭টি থেকে ১টি।
\[\binom54\binom72+\binom55\binom71\]
এই দুটি অবস্থায় একই প্রশ্নসমষ্টি দুবার গণনা হয় না। তাই দুটি সংখ্যাকে যোগ করতে হয়।
‘অন্তত’, ‘সর্বোচ্চ’, ‘ঠিক’ ইত্যাদি শব্দের অর্থ অনুসারে সম্ভাব্য সব পৃথক অবস্থার হিসাব করতে হবে।

একই বস্তুসমষ্টিকে বিভিন্ন ক্রমে সাজালে আলাদা ফল পাওয়া গেলে সেটি বিন্যাস। সারিতে দাঁড় করানো, পদে দায়িত্ব বণ্টন, অঙ্ক দিয়ে সংখ্যা গঠন ও শব্দের অক্ষর সাজানোর সমস্যায় বিন্যাসের ব্যবহার রয়েছে।
\[{}^nP_r\;\equiv\;\frac{n!}{(n-r)!}\]
বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তাই একই \(n\) ও \(r\)-এর জন্য \({}^nP_r\) সাধারণত \(\binom nr\) থেকে বড়।
উদাহরণ: ৫টি ভিন্ন বই থেকে ৩টি বই নিয়ে তাকের উপর ক্রমানুসারে সাজানোর উপায় \({}^5P_3\) অর্থাৎ ৬০।

ফ্যাক্টোরিয়াল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে ১ পর্যন্ত সব পূর্ণসংখ্যার গুণফল। চিহ্ন \(!\)।
\[n!\;\equiv\;n(n-1)(n-2)\cdots 2\times1\]
সংজ্ঞা অনুযায়ী \(0!\) এর মান ১। যেমন \(5!\) এর মান ১২০।
দুটি স্বতন্ত্র ধাপে প্রথম ধাপে \(m\)টি এবং প্রতিটি প্রথম-ধাপের ফলাফলের জন্য দ্বিতীয় ধাপে \(n\)টি সম্ভাব্য ফল থাকলে মোট উপায় \(m\times n\)। আর পরস্পর বিকল্প পরিস্থিতির ক্ষেত্রে পৃথক উপায়গুলো যোগ করতে হয়।

একটি শব্দের সব অক্ষর সাজাতে গিয়ে কিছু অক্ষর একাধিকবার থাকলে সমান অক্ষরগুলো নিজেদের মধ্যে স্থান বদল করলেও নতুন বিন্যাস সৃষ্টি হয় না। এ কারণে মোট ফ্যাক্টোরিয়াল থেকে পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলোর ফ্যাক্টোরিয়াল দ্বারা ভাগ করতে হয়।
\[N\;\equiv\;\frac{n!}{p!q!r!\cdots}\]
এখানে মোট অক্ষর \(n\), আর একই ধরনের অক্ষরের পুনরাবৃত্তিসংখ্যা \(p,q,r\) ইত্যাদি।
উদাহরণ: LEVEL শব্দে পাঁচটি অক্ষর, L দুটি এবং E দুটি। তাই স্বতন্ত্র বিন্যাসের সংখ্যা \(\frac{5!}{2!2!}\) অর্থাৎ ৩০।
উদাহরণ: BALLOON শব্দে সাতটি অক্ষর, L দুটি এবং O দুটি। তাই মোট স্বতন্ত্র বিন্যাস \(\frac{7!}{2!2!}\) অর্থাৎ ১২৬০।

বীজগণিতের বহু মাননির্ণয় সমস্যায় সরাসরি অজানা রাশির মান না বের করে পরিচিত সূত্র প্রয়োগ করে দ্রুত ফল পাওয়া যায়।
\[(a+b)^2\;\equiv\;a^2+2ab+b^2\]
\[(a-b)^2\;\equiv\;a^2-2ab+b^2\]
\[a^2-b^2\;\equiv\;(a+b)(a-b)\]
\[a^2+b^2\;\equiv\;\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}\]
\[4ab\;\equiv\;(a+b)^2-(a-b)^2\]
কোনো রাশি পূর্ণবর্গ কি না নির্ণয়ে প্রথম ও শেষ বর্গপদ এবং মধ্যপদের দ্বিগুণ গুণফল কাঠামো মিলিয়ে দেখতে হবে।

দ্বিপদীর বর্গের কাঠামো চেনার মাধ্যমে কোনো রাশির সঙ্গে কত যোগ বা বিয়োগ করতে হবে, তা নির্ধারণ করা যায়।
\[a^2-2ab\;\equiv\;(a-b)^2-b^2\]
অর্থাৎ \(a^2-2ab\)-এর সঙ্গে \(b^2\) যোগ করলে পূর্ণবর্গ তৈরি হয়।
উদাহরণ: \(x^2-10x\)-কে পূর্ণবর্গ করতে ২৫ যোগ করা প্রয়োজন, কারণ \((x-5)^2\) প্রসারণ করলে \(x^2-10x+25\) পাওয়া যায়।
তিনটি পদের সঙ্গে সাংকেতিক চিহ্ন দেখে অন্ধভাবে সূত্র প্রয়োগ না করে সেগুলোর সহগ ও ঘাত যাচাই করা জরুরি।

তিন চলক \(a,b,c\)-এর সমষ্টির বর্গ এবং ঘনসংক্রান্ত সূত্রের ব্যবহার গুরুত্বপূর্ণ।
\[(a+b+c)^2\;\equiv\;a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\]
\[a^2+b^2+c^2\;\equiv\;(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\]
\[a^3+b^3+c^3-3abc\;\equiv\;(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\]
বিশেষভাবে \(a+b+c\) শূন্য হলে \(a^3+b^3+c^3\) এর মান \(3abc\)।
উদাহরণ: \(a+b+c\) এর মান ৯ এবং \(ab+bc+ca\) এর মান ৩১ হলে বর্গগুলোর যোগফল \(9^2-2\times31\), অর্থাৎ ১৯।

দুই চলকের ঘনসূত্র এবং ঘনের যোগ-বিয়োগের উৎপাদক বিশ্লেষণ থেকে অনেক জটিল মান সহজে নির্ণয় করা যায়।
\[(a+b)^3\;\equiv\;a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
\[(a-b)^3\;\equiv\;a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]
\[a^3+b^3\;\equiv\;(a+b)^3-3ab(a+b)\]
\[a^3-b^3\;\equiv\;(a-b)^3+3ab(a-b)\]
উদাহরণ: \(a-b\) এর মান ৩ এবং \(a^3-b^3\) এর মান ৫১৩ হলে \(3ab(a-b)\) এর মান \(513-27\)। ফলে \(ab\)-এর মান ৫৪।

\(x\) শূন্য নয়—এই শর্তে \(x+\frac1x\) এবং \(x-\frac1x\) জাতীয় রাশির বর্গ ও ঘনের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
\[\left(x+\frac1x\right)^2\;\equiv\;x^2+2+\frac1{x^2}\]
\[\left(x-\frac1x\right)^2\;\equiv\;x^2-2+\frac1{x^2}\]
\[x^3+\frac1{x^3}\;\equiv\;\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)\]
\[x^3-\frac1{x^3}\;\equiv\;\left(x-\frac1x\right)^3+3\left(x-\frac1x\right)\]
উদাহরণ: \(x+\frac1x\) এর মান ৩ হলে \(x^2+\frac1{x^2}\) এর মান ৭ এবং \(x^3+\frac1{x^3}\) এর মান ১৮।
বর্গ থেকে বর্গমূল গ্রহণের ক্ষেত্রে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক চিহ্ন নির্ধারণে প্রদত্ত চলকের শর্ত ব্যবহার করতে হবে।

করণীযুক্ত রাশির হরকে মূলদ করতে সাধারণত অনুবন্ধী রাশি দিয়ে লব ও হর গুণ করা হয়।
\[\frac1{\sqrt a+\sqrt b}\;\equiv\;\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}\qquad (a\ne b)\]
উদাহরণ: \(\sqrt3+\sqrt2\) এর বিপরীত রাশি \(\sqrt3-\sqrt2\), কারণ দুই রাশির গুণফল ১।
\[\left(\sqrt3+\sqrt2\right)+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}\;\equiv\;2\sqrt3\]
এ ধরনের সমতা ব্যবহার করে বর্গ বা ঘন রাশির মান নির্ণয় করা যায়। করণী সরলীকরণে মূলের ভেতরের গুণনীয়কও খেয়াল রাখতে হবে।

এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ \(ax^2+bx+c\) শূন্য, যেখানে \(a\ne0\)। মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয়ের জন্য বিচ্যুতক বা Discriminant ব্যবহৃত হয়।
\[D\;\equiv\;b^2-4ac\]
\(D\gt0\) হলে দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল, \(D\) শূন্য হলে দুটি সমান বাস্তব মূল এবং \(D\lt0\) হলে দুটি অবাস্তব যুগ্মমূল পাওয়া যায়।
যদি বিচ্যুতক ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় এবং সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে মূলগুলো মূলদ হবে।
উদাহরণ: \(6x^2-7x-4\) শূন্য হলে বিচ্যুতক \(49+96\), অর্থাৎ ১৪৫। তাই এর দুটি বাস্তব ও অসমান মূল আছে; তবে মূলগুলো অমূলদ।

যে ধারার পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য সর্বদা একই থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলে। প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অন্তর \(d\) এবং পদসংখ্যা \(n\) ধরা হয়।
\[a_n\;\equiv\;a+(n-1)d\]
উদাহরণ: \(7,11,15,19,\ldots\) ধারার সাধারণ অন্তর ৪। দশম পদ \(7+9\times4\), অর্থাৎ ৪৩।
যখন প্রথম ও শেষ পদ জানা থাকে, তখন পদসংখ্যা নির্ণয়ে \(n\;\equiv\;\frac{l-a}{d}+1\) সূত্র প্রয়োগ করা যায়, যেখানে \(d\) শূন্য নয় এবং পদসংখ্যাটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে।

সমান্তর ধারার প্রথম \(n\)টি পদের যোগফল নির্ণয়ের জন্য প্রথম ও শেষ পদের গড়কে পদসংখ্যা দিয়ে গুণ করা যায়।
\[S_n\;\equiv\;\frac n2\{2a+(n-1)d\}\]
\[S_n\;\equiv\;\frac n2(a+l)\]
সমান্তর ধারার সব পদের গড় প্রথম ও শেষ পদের গড়ের সমান।
উদাহরণ: ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গড় \(\frac{1+49}{2}\), অর্থাৎ ২৫।
উদাহরণ: ৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যার পদসংখ্যা ৩১ এবং যোগফল \(\frac{5+35}{2}\times31\), অর্থাৎ ৬২০।

পরীক্ষায় ধারাবাহিক স্বাভাবিক সংখ্যা, বিজোড় সংখ্যা, বর্গ ও ঘনের যোগফল জানতে হয়।
\[1+2+\cdots+n\;\equiv\;\frac{n(n+1)}2\]
\[1+3+5+\cdots+(2n-1)\;\equiv\;n^2\]
\[1^2+2^2+\cdots+n^2\;\equiv\;\frac{n(n+1)(2n+1)}6\]
\[1^3+2^3+\cdots+n^3\;\equiv\;\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2\]
প্রথম \(n\)টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগ \(n^2\)। প্রথম \(n\)টি সংখ্যার ঘনের যোগফল ঐ সংখ্যাগুলোর যোগফলের বর্গের সমান।
উদাহরণ: প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল \(\frac{10\times11\times21}{6}\) অর্থাৎ ৩৮৫।

একটি ধারার প্রতিটি পদকে নির্দিষ্ট অনুপাত দিয়ে গুণ করলে পরবর্তী পদ পাওয়া গেলে সেটি গুণোত্তর ধারা। প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অনুপাত \(r\) এবং পদসংখ্যা \(n\)।
\[a_n\;\equiv\;ar^{n-1}\]
\[S_n\;\equiv\;\frac{a(1-r^n)}{1-r}\qquad(r\ne1)\]
\(r\gt1\) হলে একই সূত্রকে \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) আকারে লেখা যায়। আর \(r\) এক হলে যোগফল \(na\)।
উদাহরণ: ৩, ৬, ১২, ২৪ ধারায় প্রথম পদ ৩ এবং অনুপাত ২। পঞ্চম পদ ৪৮।
পদ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ঘাতের সূচক \(n-1\), এই পার্থক্যটি বিশেষভাবে মনে রাখতে হবে।

অসীম গুণোত্তর ধারার পদগুলোর পরমমান ক্রমশ ছোট হতে থাকলে এবং সাধারণ অনুপাতের পরমমান ১-এর কম হলে ধারাটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যায় অভিসারী হয়।
\[S_{\infty}\;\equiv\;\frac a{1-r}\qquad(|r|\lt1)\]
উদাহরণ: \(0.12+0.0012+0.000012+\cdots\) ধারায় প্রথম পদ \(\frac{12}{100}\) এবং অনুপাত \(\frac1{100}\)। তাই যোগফল \(\frac{12}{99}\), অর্থাৎ \(\frac4{33}\)।
\(|r|\geq1\) হলে এই সাধারণ অসীম যোগফলের সূত্র প্রয়োগ করা যায় না। ঋণাত্মক অনুপাতের ক্ষেত্রেও \(|r|\lt1\) হলে অভিসারী যোগফল সম্ভব।

দুটি ভিন্ন সংখ্যার সঙ্গে একই সংখ্যা যোগ করার পর নতুন অনুপাত নির্দিষ্ট থাকলে একটি অজানা ধ্রুবক ধরে সমীকরণ গঠন করতে হয়।
ধরি দুটি সংখ্যা \(a\) ও \(b\), এবং উভয়ের সঙ্গে \(x\) যোগ করা হলো। নতুন অনুপাত \(p:q\) হলে—
\[\frac{a+x}{b+x}\;\equiv\;\frac pq\]
\[q(a+x)\;\equiv\;p(b+x)\]
এরপর সমীকরণ থেকে \(x\) বের করে চাওয়া অনুপাত নির্ণয় করা হয়।
উদাহরণ: ২০ ও ৫০-এর সঙ্গে একই সংখ্যা যোগ করে অনুপাত ৩:৪ করতে চাইলে \(\frac{20+x}{50+x}\) এর মান \(\frac34\) ধরে সমাধান করলে \(x\) এর মান ৭০।

প্রথমে সমস্যাটি নির্বাচন, বিন্যাস, সম্ভাবনা, সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা নাকি বীজগাণিতিক পরিচিতির সমস্যা—তা শনাক্ত করতে হবে।
নির্বাচনের ক্রম অর্থবহ হলে বিন্যাস; ক্রম অর্থবহ না হলে সমাবেশ। একাধিক স্বাধীন ধাপ থাকলে গুণের নিয়ম; পৃথক বিকল্প কেস থাকলে যোগের নিয়ম।
‘অন্তত’ বা ‘সর্বোচ্চ’ থাকলে সমস্ত বৈধ কেস গণনা অথবা পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
ধারার ক্ষেত্রে পাশাপাশি পদের বিয়োগফল একই কি না কিংবা পরপর পদের অনুপাত একই কি না পরীক্ষা করতে হবে।
করণী বা বিপরীত রাশির মান নির্ণয়ে আগে উপযুক্ত পরিচিতি প্রয়োগ করার সুযোগ আছে কি না দেখতে হবে।
গণনা শেষে উত্তরটি ধনাত্মক, পূর্ণসংখ্যা, সম্ভাবনার নির্ধারিত পরিসীমা বা প্রদত্ত শর্তের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ কি না যাচাই করতে হবে।