বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা — NTRCA school-2-level
বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা: গণিত, NTRCA school-2-level পাঠ ও 319টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/7।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি
- উৎপাদক ও উৎপাদক বিশ্লেষণ
- মধ্য রাশির সাহায্যে উৎপাদক বিশ্লেষণ
- বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু.
- সূচক ও সূচকের সূত্র
- লগারিদম ও লগারিদমের সূত্র
- অনুপাতের বিশেষ প্রকার ও নিয়ম
- সমানুপাত ও ক্রমিক সমানুপাতের অতিরিক্ত নিয়ম
- বহুনির্বাচনী প্রশ্নত্তর
বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি
Important Algebraic Identities
বীজগণিতে বিভিন্ন রাশি দ্রুত সরলীকরণ, উৎপাদক বিশ্লেষণ এবং অজানা রাশির মান নির্ণয়ে কয়েকটি মৌলিক সূত্র বারবার ব্যবহৃত হয়।
বর্গসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b)^2\rightarrow a^2+2ab+b^2 \]
\[ (a-b)^2\rightarrow a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a+b)^2-(a-b)^2\rightarrow4ab \]
\[ a^2+b^2\rightarrow(a+b)^2-2ab \]
\[ a^2+b^2\rightarrow(a-b)^2+2ab \]
\[ a^2-b^2\rightarrow(a+b)(a-b) \]
দুটি রাশির যোগফল ও বিয়োগফল জানা থাকলে তাদের গুণফল নির্ণয়ে ব্যবহার করা যায়—
\[ ab\rightarrow \left(\frac{a+b}{2}\right)^2- \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \]
তিন রাশির বর্গসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b+c)^2 \rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \]
অতএব,
\[ a^2+b^2+c^2 \rightarrow (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \]
এবং,
\[ 2(ab+bc+ca) \rightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) \]
ঘনসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b)^3 \rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
\[ (a-b)^3 \rightarrow a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
\[ a^3+b^3 \rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \]
\[ a^3-b^3 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ a^3+b^3+c^3-3abc \rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \]
বিশেষভাবে \(a+b+c\) শূন্য হলে—
\[ a^3+b^3+c^3\rightarrow3abc \]
বর্গসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b)^2\rightarrow a^2+2ab+b^2 \]
\[ (a-b)^2\rightarrow a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a+b)^2-(a-b)^2\rightarrow4ab \]
\[ a^2+b^2\rightarrow(a+b)^2-2ab \]
\[ a^2+b^2\rightarrow(a-b)^2+2ab \]
\[ a^2-b^2\rightarrow(a+b)(a-b) \]
দুটি রাশির যোগফল ও বিয়োগফল জানা থাকলে তাদের গুণফল নির্ণয়ে ব্যবহার করা যায়—
\[ ab\rightarrow \left(\frac{a+b}{2}\right)^2- \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \]
তিন রাশির বর্গসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b+c)^2 \rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \]
অতএব,
\[ a^2+b^2+c^2 \rightarrow (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \]
এবং,
\[ 2(ab+bc+ca) \rightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) \]
ঘনসংক্রান্ত সূত্র
\[ (a+b)^3 \rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
\[ (a-b)^3 \rightarrow a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
\[ a^3+b^3 \rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \]
\[ a^3-b^3 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ a^3+b^3+c^3-3abc \rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \]
বিশেষভাবে \(a+b+c\) শূন্য হলে—
\[ a^3+b^3+c^3\rightarrow3abc \]
উৎপাদক ও উৎপাদক বিশ্লেষণ
Factor and Factorization
কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করা গেলে গুণফলের প্রতিটি রাশিকে মূল রাশিটির উৎপাদক বলা হয়।
যেমন,
\[ x^2-y^2\rightarrow(x+y)(x-y) \]
এখানে \(x+y\) এবং \(x-y\), উভয়ই \(x^2-y^2\)-এর উৎপাদক।
একটি রাশিকে তার সরলতম উৎপাদকগুলোর গুণফল হিসেবে প্রকাশ করার প্রক্রিয়াকে উৎপাদক বিশ্লেষণ বলা হয়।
উৎপাদক বিশ্লেষণের প্রচলিত পদ্ধতিগুলো হলো—
১। সাধারণ উৎপাদক বের করা
২। সূত্র ব্যবহার করা
৩। মধ্য রাশিকে বিভক্ত করা
৪। উপযুক্ত প্রতিস্থাপন বা রাশির কাঠামো ব্যবহার করা
সাধারণ উৎপাদক বের করা
যদি প্রতিটি পদে একই রাশি থাকে, তবে সেটিকে বন্ধনীর বাইরে নেওয়া যায়।
যেমন,
\[ ax+ay\rightarrow a(x+y) \]
এবং,
\[ 2x^2+6x\rightarrow2x(x+3) \]
বর্গের অন্তর ব্যবহার
\[ A^2-B^2\rightarrow(A+B)(A-B) \]
যেমন,
\[ (x-1)^2-25 \rightarrow (x-1)^2-5^2 \]
\[ \rightarrow(x-1+5)(x-1-5) \]
\[ \rightarrow(x+4)(x-6) \]
ঘনের যোগ ও বিয়োগ ব্যবহার
\[ A^3+B^3\rightarrow(A+B)(A^2-AB+B^2) \]
\[ A^3-B^3\rightarrow(A-B)(A^2+AB+B^2) \]
উচ্চ ঘাতের রাশিতেও একই নীতি প্রয়োগ করা যায়। যেমন \(p^6-q^6\)-কে প্রথমে দুই ঘনের অন্তর হিসেবে বিবেচনা করা সম্ভব—
\[ p^6-q^6 \rightarrow (p^3)^2-(q^3)^2 \]
\[ \rightarrow (p^3+q^3)(p^3-q^3) \]
তারপর প্রতিটি ঘন রাশিকে আরও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
যেমন,
\[ x^2-y^2\rightarrow(x+y)(x-y) \]
এখানে \(x+y\) এবং \(x-y\), উভয়ই \(x^2-y^2\)-এর উৎপাদক।
একটি রাশিকে তার সরলতম উৎপাদকগুলোর গুণফল হিসেবে প্রকাশ করার প্রক্রিয়াকে উৎপাদক বিশ্লেষণ বলা হয়।
উৎপাদক বিশ্লেষণের প্রচলিত পদ্ধতিগুলো হলো—
১। সাধারণ উৎপাদক বের করা
২। সূত্র ব্যবহার করা
৩। মধ্য রাশিকে বিভক্ত করা
৪। উপযুক্ত প্রতিস্থাপন বা রাশির কাঠামো ব্যবহার করা
সাধারণ উৎপাদক বের করা
যদি প্রতিটি পদে একই রাশি থাকে, তবে সেটিকে বন্ধনীর বাইরে নেওয়া যায়।
যেমন,
\[ ax+ay\rightarrow a(x+y) \]
এবং,
\[ 2x^2+6x\rightarrow2x(x+3) \]
বর্গের অন্তর ব্যবহার
\[ A^2-B^2\rightarrow(A+B)(A-B) \]
যেমন,
\[ (x-1)^2-25 \rightarrow (x-1)^2-5^2 \]
\[ \rightarrow(x-1+5)(x-1-5) \]
\[ \rightarrow(x+4)(x-6) \]
ঘনের যোগ ও বিয়োগ ব্যবহার
\[ A^3+B^3\rightarrow(A+B)(A^2-AB+B^2) \]
\[ A^3-B^3\rightarrow(A-B)(A^2+AB+B^2) \]
উচ্চ ঘাতের রাশিতেও একই নীতি প্রয়োগ করা যায়। যেমন \(p^6-q^6\)-কে প্রথমে দুই ঘনের অন্তর হিসেবে বিবেচনা করা সম্ভব—
\[ p^6-q^6 \rightarrow (p^3)^2-(q^3)^2 \]
\[ \rightarrow (p^3+q^3)(p^3-q^3) \]
তারপর প্রতিটি ঘন রাশিকে আরও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
মধ্য রাশির সাহায্যে উৎপাদক বিশ্লেষণ
Factorization by Splitting the Middle Term
তিন পদবিশিষ্ট দ্বিতীয় ঘাতের রাশি উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে মধ্য রাশি বিভক্ত করার পদ্ধতি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
সাধারণ আকার—
\[ ax^2+bx+c \]
এক্ষেত্রে এমন দুটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হয় যাদের—
১। গুণফল হবে \(ac\)
২। যোগফল হবে \(b\)
তারপর \(bx\) পদটিকে ঐ দুটি সংখ্যার সাহায্যে দুই ভাগে বিভক্ত করে গ্রুপিং করতে হয়।
যেমন,
\[ 2x^2-x-3 \]
এখানে \(2\times(-3)\) থেকে এমন দুটি সংখ্যা দরকার যাদের যোগফল \(-1\)। সংখ্যা দুটি \(2\) ও \(-3\)।
তাই,
\[ 2x^2-x-3 \rightarrow 2x^2-3x+2x-3 \]
\[ \rightarrow x(2x-3)+1(2x-3) \]
\[ \rightarrow (x+1)(2x-3) \]
আরেকটি উদাহরণ—
\[ 2x^2+x-15 \]
মধ্য পদকে \(6x-5x\) আকারে ভাগ করলে—
\[ 2x^2+6x-5x-15 \]
\[ \rightarrow 2x(x+3)-5(x+3) \]
\[ \rightarrow (x+3)(2x-5) \]
সাধারণ আকার—
\[ ax^2+bx+c \]
এক্ষেত্রে এমন দুটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হয় যাদের—
১। গুণফল হবে \(ac\)
২। যোগফল হবে \(b\)
তারপর \(bx\) পদটিকে ঐ দুটি সংখ্যার সাহায্যে দুই ভাগে বিভক্ত করে গ্রুপিং করতে হয়।
যেমন,
\[ 2x^2-x-3 \]
এখানে \(2\times(-3)\) থেকে এমন দুটি সংখ্যা দরকার যাদের যোগফল \(-1\)। সংখ্যা দুটি \(2\) ও \(-3\)।
তাই,
\[ 2x^2-x-3 \rightarrow 2x^2-3x+2x-3 \]
\[ \rightarrow x(2x-3)+1(2x-3) \]
\[ \rightarrow (x+1)(2x-3) \]
আরেকটি উদাহরণ—
\[ 2x^2+x-15 \]
মধ্য পদকে \(6x-5x\) আকারে ভাগ করলে—
\[ 2x^2+6x-5x-15 \]
\[ \rightarrow 2x(x+3)-5(x+3) \]
\[ \rightarrow (x+3)(2x-5) \]
বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু.
H.C.F. of Algebraic Expressions
দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সর্বোচ্চ সাধারণ উৎপাদককে ঐ রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. বলা হয়।
বীজগণিতীয় গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রতিটি রাশিকে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সুবিধাজনক।
তারপর সব রাশির মধ্যে যে উৎপাদকগুলো সাধারণ, সেগুলো নির্বাচন করা হয়। একই উৎপাদকের বিভিন্ন ঘাত থাকলে সাধারণভাবে সর্বনিম্ন ঘাতটি নেওয়া হয়।
সহগের ক্ষেত্রেও সংখ্যাগত সহগগুলোর গ.সা.গু. নেওয়া হয়।
যেমন,
\[ 4x^2y^7 \]
এবং,
\[ 6x^3y^4 \]
এখানে সংখ্যাগত সহগ \(4\) ও \(6\)-এর গ.সা.গু. \(2\)।
\(x\)-এর সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত \(x^2\) এবং \(y\)-এর সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত \(y^4\)।
অতএব গ.সা.গু.—
\[ 2x^2y^4 \]
বহুপদী রাশির ক্ষেত্রে প্রথমে প্রতিটি বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যেমন,
\[ x^2+5x\rightarrow x(x+5) \]
\[ x^2-25\rightarrow(x+5)(x-5) \]
\[ x^2+7x+10\rightarrow(x+5)(x+2) \]
তিনটির সাধারণ উৎপাদক \(x+5\)। তাই গ.সা.গু. হবে \(x+5\)।
বীজগণিতীয় গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রতিটি রাশিকে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সুবিধাজনক।
তারপর সব রাশির মধ্যে যে উৎপাদকগুলো সাধারণ, সেগুলো নির্বাচন করা হয়। একই উৎপাদকের বিভিন্ন ঘাত থাকলে সাধারণভাবে সর্বনিম্ন ঘাতটি নেওয়া হয়।
সহগের ক্ষেত্রেও সংখ্যাগত সহগগুলোর গ.সা.গু. নেওয়া হয়।
যেমন,
\[ 4x^2y^7 \]
এবং,
\[ 6x^3y^4 \]
এখানে সংখ্যাগত সহগ \(4\) ও \(6\)-এর গ.সা.গু. \(2\)।
\(x\)-এর সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত \(x^2\) এবং \(y\)-এর সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত \(y^4\)।
অতএব গ.সা.গু.—
\[ 2x^2y^4 \]
বহুপদী রাশির ক্ষেত্রে প্রথমে প্রতিটি বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যেমন,
\[ x^2+5x\rightarrow x(x+5) \]
\[ x^2-25\rightarrow(x+5)(x-5) \]
\[ x^2+7x+10\rightarrow(x+5)(x+2) \]
তিনটির সাধারণ উৎপাদক \(x+5\)। তাই গ.সা.গু. হবে \(x+5\)।
সূচক
Exponent or Power
একই রাশিকে বারবার গুণ করার সংক্ষিপ্ত প্রকাশে সূচক ব্যবহার করা হয়।
\[ a^n \] রাশিতে \(a\)-কে ভিত্তি বা Base এবং \(n\)-কে সূচক বা Exponent বলা হয়। \(a^n\) অর্থ \(a\)-কে নিজে দ্বারা \(n\) বার গুণ করা।
যেমন,
\[ a^4\rightarrow a\times a\times a\times a \]
সূচকের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
একই ভিত্তির রাশির গুণের ক্ষেত্রে সূচক যোগ হয়—
\[ a^m\times a^n\rightarrow a^{m+n} \]
একই ভিত্তির রাশির ভাগের ক্ষেত্রে সূচক বিয়োগ হয়—
\[ \frac{a^m}{a^n}\rightarrow a^{m-n} \]
ঘাতের উপর আবার ঘাত থাকলে সূচকগুলো গুণ হয়—
\[ (a^m)^n\rightarrow a^{mn} \]
গুণফলের ঘাত—
\[ (ab)^n\rightarrow a^nb^n \]
ভাগফলের ঘাত—
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \rightarrow \frac{a^n}{b^n} \]
শূন্য ঘাতের ক্ষেত্রে, \(a\) শূন্য নয় হলে—
\[ a^0\rightarrow1 \]
ঋণাত্মক সূচককে বিপরীত ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়—
\[ a^{-n}\rightarrow\frac{1}{a^n} \]
ভগ্নাংশ সূচক মূল নির্দেশ করে—
\[ a^{\frac{1}{n}} \rightarrow \sqrt[n]{a} \]
এবং,
\[ a^{\frac{m}{n}} \rightarrow \sqrt[n]{a^m} \]
অথবা,
\[ a^{\frac{m}{n}} \rightarrow \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
কোনো শূন্য ব্যতীত সংখ্যার সূচক শূন্য হলে তার মান \(1\)। আবার সূচক \(1\) হলে রাশির মান মূল ভিত্তির সমান থাকে।
\[ a^n \] রাশিতে \(a\)-কে ভিত্তি বা Base এবং \(n\)-কে সূচক বা Exponent বলা হয়। \(a^n\) অর্থ \(a\)-কে নিজে দ্বারা \(n\) বার গুণ করা।
যেমন,
\[ a^4\rightarrow a\times a\times a\times a \]
সূচকের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
একই ভিত্তির রাশির গুণের ক্ষেত্রে সূচক যোগ হয়—
\[ a^m\times a^n\rightarrow a^{m+n} \]
একই ভিত্তির রাশির ভাগের ক্ষেত্রে সূচক বিয়োগ হয়—
\[ \frac{a^m}{a^n}\rightarrow a^{m-n} \]
ঘাতের উপর আবার ঘাত থাকলে সূচকগুলো গুণ হয়—
\[ (a^m)^n\rightarrow a^{mn} \]
গুণফলের ঘাত—
\[ (ab)^n\rightarrow a^nb^n \]
ভাগফলের ঘাত—
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \rightarrow \frac{a^n}{b^n} \]
শূন্য ঘাতের ক্ষেত্রে, \(a\) শূন্য নয় হলে—
\[ a^0\rightarrow1 \]
ঋণাত্মক সূচককে বিপরীত ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়—
\[ a^{-n}\rightarrow\frac{1}{a^n} \]
ভগ্নাংশ সূচক মূল নির্দেশ করে—
\[ a^{\frac{1}{n}} \rightarrow \sqrt[n]{a} \]
এবং,
\[ a^{\frac{m}{n}} \rightarrow \sqrt[n]{a^m} \]
অথবা,
\[ a^{\frac{m}{n}} \rightarrow \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
কোনো শূন্য ব্যতীত সংখ্যার সূচক শূন্য হলে তার মান \(1\)। আবার সূচক \(1\) হলে রাশির মান মূল ভিত্তির সমান থাকে।
লগারিদম
Logarithm
সূচকীয় রাশির বিপরীত ধারণা থেকে লগারিদমের উৎপত্তি। কোনো নির্দিষ্ট ভিত্তিকে কত ঘাতে উন্নীত করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই ঘাতকে ঐ সংখ্যার লগারিদম বলা হয়।
যদি,
\[ a^x\rightarrow N \]
তবে একই সম্পর্ক লগারিদমিক আকারে—
\[ \log_aN\rightarrow x \]
এখানে \(a\) লগারিদমের ভিত্তি এবং \(N\) লগারিদমের রাশি। বাস্তব লগারিদমের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে \(a\gt0\), \(a\ne1\) এবং \(N\gt0\)।
লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
গুণফলের লগারিদম—
\[ \log_a(MN) \rightarrow \log_aM+\log_aN \]
ভাগফলের লগারিদম—
\[ \log_a\left(\frac{M}{N}\right) \rightarrow \log_aM-\log_aN \]
ঘাতের লগারিদম—
\[ \log_a(M^r) \rightarrow r\log_aM \]
ভিত্তির লগারিদম—
\[ \log_a a\rightarrow1 \]
এক-এর লগারিদম—
\[ \log_a1\rightarrow0 \]
পারস্পরিক ভিত্তির সম্পর্ক—
\[ \log_a b \rightarrow \frac{1}{\log_b a} \]
মূলের লগারিদম—
\[ \log_a\sqrt[n]{M} \rightarrow \frac{1}{n}\log_aM \]
একাধিক রাশির গুণফলের ক্ষেত্রে—
\[ \log_a(xyz) \rightarrow \log_ax+\log_ay+\log_az \]
ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র—
\[ \log_a b \rightarrow \frac{\log_m b}{\log_m a} \]
এছাড়া,
\[ \log_m b\times\log_b a \rightarrow \log_m a \]
এবং,
\[ \log_a b\times\log_b a \rightarrow1 \]
লগারিদমের ক্ষেত্রে একই ভিত্তির গুণকে যোগ, ভাগকে বিয়োগ এবং ঘাতকে গুণক হিসেবে সামনে আনা যায়।
যদি,
\[ a^x\rightarrow N \]
তবে একই সম্পর্ক লগারিদমিক আকারে—
\[ \log_aN\rightarrow x \]
এখানে \(a\) লগারিদমের ভিত্তি এবং \(N\) লগারিদমের রাশি। বাস্তব লগারিদমের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে \(a\gt0\), \(a\ne1\) এবং \(N\gt0\)।
লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
গুণফলের লগারিদম—
\[ \log_a(MN) \rightarrow \log_aM+\log_aN \]
ভাগফলের লগারিদম—
\[ \log_a\left(\frac{M}{N}\right) \rightarrow \log_aM-\log_aN \]
ঘাতের লগারিদম—
\[ \log_a(M^r) \rightarrow r\log_aM \]
ভিত্তির লগারিদম—
\[ \log_a a\rightarrow1 \]
এক-এর লগারিদম—
\[ \log_a1\rightarrow0 \]
পারস্পরিক ভিত্তির সম্পর্ক—
\[ \log_a b \rightarrow \frac{1}{\log_b a} \]
মূলের লগারিদম—
\[ \log_a\sqrt[n]{M} \rightarrow \frac{1}{n}\log_aM \]
একাধিক রাশির গুণফলের ক্ষেত্রে—
\[ \log_a(xyz) \rightarrow \log_ax+\log_ay+\log_az \]
ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র—
\[ \log_a b \rightarrow \frac{\log_m b}{\log_m a} \]
এছাড়া,
\[ \log_m b\times\log_b a \rightarrow \log_m a \]
এবং,
\[ \log_a b\times\log_b a \rightarrow1 \]
লগারিদমের ক্ষেত্রে একই ভিত্তির গুণকে যোগ, ভাগকে বিয়োগ এবং ঘাতকে গুণক হিসেবে সামনে আনা যায়।
অনুপাতের বিশেষ প্রকার ও নিয়ম
Special Types and Rules of Ratio
অনুপাত একই জাতীয় দুই রাশির তুলনামূলক সম্পর্ক প্রকাশ করে এবং এর নিজস্ব কোনো একক থাকে না।
যদি দুটি রাশির অনুপাত \(a:b\) হয়, তবে প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়।
অনুপাতের উভয় পদকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মান অপরিবর্তিত থাকে।
যেমন,
\[ 5:8\rightarrow50:80 \]
আবার উভয় পদকে \(10\) দ্বারা ভাগ করলে—
\[ 50:80\rightarrow5:8 \]
ব্যস্ত অনুপাত
কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির স্থান পরস্পর পরিবর্তন করলে ব্যস্ত অনুপাত পাওয়া যায়।
যেমন,
\[ 5:8 \] এর ব্যস্ত অনুপাত—
\[ 8:5 \]
মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল নিয়ে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত বলে।
যদি তিনটি অনুপাত হয়—
\[ a:b,\quad c:d,\quad e:f \]
তবে তাদের মিশ্র অনুপাত—
\[ ace:bdf \]
দ্বিগুণ অনুপাত
\(a:b\)-এর দ্বিগুণ অনুপাত—
\[ a^2:b^2 \]
ধারাবাহিক অনুপাত
যদি দুটি অনুপাত \(a:b\) এবং \(b:c\) হয়, তবে এগুলোকে ধারাবাহিকভাবে—
\[ a:b:c \] আকারে প্রকাশ করা যায়।
যদি মধ্যপদ দুটি সমান না হয়, তবে উপযুক্ত গুণের সাহায্যে সেগুলোকে সমান করে ধারাবাহিক অনুপাত তৈরি করতে হয়।
যদি দুটি রাশির অনুপাত \(a:b\) হয়, তবে প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়।
অনুপাতের উভয় পদকে একই শূন্য ব্যতীত সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মান অপরিবর্তিত থাকে।
যেমন,
\[ 5:8\rightarrow50:80 \]
আবার উভয় পদকে \(10\) দ্বারা ভাগ করলে—
\[ 50:80\rightarrow5:8 \]
ব্যস্ত অনুপাত
কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির স্থান পরস্পর পরিবর্তন করলে ব্যস্ত অনুপাত পাওয়া যায়।
যেমন,
\[ 5:8 \] এর ব্যস্ত অনুপাত—
\[ 8:5 \]
মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল নিয়ে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত বলে।
যদি তিনটি অনুপাত হয়—
\[ a:b,\quad c:d,\quad e:f \]
তবে তাদের মিশ্র অনুপাত—
\[ ace:bdf \]
দ্বিগুণ অনুপাত
\(a:b\)-এর দ্বিগুণ অনুপাত—
\[ a^2:b^2 \]
ধারাবাহিক অনুপাত
যদি দুটি অনুপাত \(a:b\) এবং \(b:c\) হয়, তবে এগুলোকে ধারাবাহিকভাবে—
\[ a:b:c \] আকারে প্রকাশ করা যায়।
যদি মধ্যপদ দুটি সমান না হয়, তবে উপযুক্ত গুণের সাহায্যে সেগুলোকে সমান করে ধারাবাহিক অনুপাত তৈরি করতে হয়।
সমানুপাত ও ক্রমিক সমানুপাতের অতিরিক্ত নিয়ম
Proportion and Continued Proportion
চারটি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত যদি তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে রাশিগুলো সমানুপাত গঠন করে।
যদি,
\[ a:b::c:d \]
তবে \(a\) ও \(d\) হলো প্রান্তীয় রাশি এবং \(b\) ও \(c\) হলো মধ্য রাশি।
সমানুপাতের মৌলিক ধর্ম—
\[ a\times d\rightarrow b\times c \]
অর্থাৎ প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফলের সমান।
চতুর্থ সমানুপাতী
\(a,b,c\) দেওয়া থাকলে \(d\) চতুর্থ সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::c:d \]
তাই,
\[ d\rightarrow\frac{bc}{a} \]
ক্রমিক সমানুপাত
তিনটি রাশি \(a,b,c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::b:c \]
তখন \(b\) হলো \(a\) ও \(c\)-এর মধ্য সমানুপাতী।
সমানুপাতের ধর্ম অনুযায়ী—
\[ b^2\rightarrow ac \]
সুতরাং মধ্য সমানুপাতী—
\[ b\rightarrow\sqrt{ac} \]
তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী রাশিকে অনেক সময় \(a^2,ab,b^2\) আকারেও প্রকাশ করা সুবিধাজনক।
যদি,
\[ a:b::c:d \]
তবে \(a\) ও \(d\) হলো প্রান্তীয় রাশি এবং \(b\) ও \(c\) হলো মধ্য রাশি।
সমানুপাতের মৌলিক ধর্ম—
\[ a\times d\rightarrow b\times c \]
অর্থাৎ প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফলের সমান।
চতুর্থ সমানুপাতী
\(a,b,c\) দেওয়া থাকলে \(d\) চতুর্থ সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::c:d \]
তাই,
\[ d\rightarrow\frac{bc}{a} \]
ক্রমিক সমানুপাত
তিনটি রাশি \(a,b,c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
\[ a:b::b:c \]
তখন \(b\) হলো \(a\) ও \(c\)-এর মধ্য সমানুপাতী।
সমানুপাতের ধর্ম অনুযায়ী—
\[ b^2\rightarrow ac \]
সুতরাং মধ্য সমানুপাতী—
\[ b\rightarrow\sqrt{ac} \]
তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী রাশিকে অনেক সময় \(a^2,ab,b^2\) আকারেও প্রকাশ করা সুবিধাজনক।
- \(1-a^2+2ab-b^2\) রাশিটির সঠিক উৎপাদক কোনটি?
- \((1+a-b)(1-a+b)\)
- \((1+a+b)(1-a+b)\)
- \((1+a+b)(1-a-b)\)
- \((1-a+b)(1-a-b)\)
- \(-4a^2+23a+6\) রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?
- \((6-a)(4a-1)\)
- \((a-6)(4a+1)\)
- \((a-6)(4a-1)\)
- \((6-a)(4a+1)\)
- \(a^2-c^2-2ab+b^2\) রাশিটির সঠিক উৎপাদক কোনটি?
- \((a+b+c)(a-b+c)\)
- \((a-b-c)(a-b+c)\)
- \((a-b-c)(a+b-c)\)
- \((a+b+c)(a-b-c)\)
- \(2x^2+x-15\) রাশিটির উৎপাদক কোনটি?
- \((x+3)(2x-5)\)
- \((x-3)(2x+5)\)
- \((x+3)(2x+5)\)
- \((x-3)(2x-5)\)
- \(3x^3+2x^2-21x-20\) রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?
- \(x+2\)
- \(x-2\)
- \(x+1\)
- \(x-1\)
- \(x^2-y^2+2y-1\) রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?
- \(x+y+1\)
- \(x+y-1\)
- \(x-y\)
- \(x-y-1\)
- \(x^2+x-(a+1)(a+2)\) রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?
- \((x-a+2)(x-a-1)\)
- \((x+a-1)(x+a+2)\)
- \((x+a+2)(x-a-1)\)
- \((x+a+1)(x-a-2)\)
- \(x^3-x-6\) রাশিটির উৎপাদক আকার কোনটি?
- \((x+2)(x^2+2x+3)\)
- \((x-2)(x^2+2x+3)\)
- \((x-2)(x^2-2x+3)\)
- \((x+2)(x^2-2x+3)\)
- \(x^2+x-(a+1)(a+2)\) রাশিটির সঠিক উৎপাদক জোড়া কোনটি?
- \((x-a-1)(x-a+2)\)
- \((x+a+1)(x-a-2)\)
- \((x-a+1)(x+a-2)\)
- \((x-a-1)(x+a+2)\)
- \(x^3-7x-6\) রাশিটির পূর্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?
- \((x+1)(x-2)(x-3)\)
- \((x-1)(x+2)(x-3)\)
- \((x+1)(x+2)(x-3)\)
- \((x-1)(x-2)(x-3)\)
- \(x+y+z=7\) এবং \(xy+yz+zx=10\) হলে \(x^2+y^2+z^2\) কত?
- \(29\)
- \(32\)
- \(35\)
- \(45\)
- \(x^2-3x+1=0\) হলে \(\left(x-\frac1x\right)^4\) এর মান কত?
- \(3\)
- \(7\)
- \(25\)
- \(52\)
- \(a+b=\sqrt7\) এবং \(a-b=\sqrt3\) হলে \(5ab\) এর মান কত?
- \(\sqrt3\)
- \(\sqrt7\)
- \(5\)
- \(7\)
- \(x-\frac1x=6\) হলে \(\frac{x}{x^2+7x-1}\) এর মান কত?
- \(\frac17\)
- \(\frac19\)
- \(\frac1{11}\)
- \(\frac1{13}\)
- \(x-y=3\) হলে \(x^3-y^3-9xy\) এর মান কত?
- \(27\)
- \(18\)
- \(9\)
- \(6\)
- \(x-y=2\) এবং \(xy=24\) হলে \(x+y\) এর মান কত?
- \(\pm4\)
- \(\pm5\)
- \(\pm7\)
- \(\pm10\)
- \(x^2+x-m\) একটি পূর্ণবর্গ রাশি হলে \(m\) এর মান কত?
- \(\frac12\)
- \(\frac14\)
- \(-\frac12\)
- \(-\frac14\)
- \(x-\frac1x=\frac32\) হলে \(x^3-\frac1{x^3}\) এর মান কত?
- \(36\)
- \(63\)
- \(\frac{36}{8}\)
- \(\frac{63}{8}\)
- \(9p^2+14p\)-এর সঙ্গে কত যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
- \(\frac{49}{9}\)
- \(\frac{14}{9}\)
- \(\frac73\)
- \(7\)
- \(m-n=x\) এবং \(mn=6x^2\) হলে \(m^3-n^3\) কত?
- \(19x^2\)
- \(19x^3\)
- \(18x^2\)
- \(18x^3\)
- \(x-\frac1x=5\) হলে \(\left(x+\frac1x\right)^2\) এর মান কত?
- \(25\)
- \(27\)
- \(28\)
- \(29\)
- \(x^2+\frac1{x^2}=3\) হলে \(\frac{x^6+1}{x^3}\) এর মান কত?
- \(3\sqrt5\)
- \(4\sqrt5\)
- \(2\sqrt5\)
- \(\sqrt5\)
- প্রথম \(p\) সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?
- \(p^{2-1}\)
- \(p^2\)
- \(p^2+1\)
- কোনোটিই নয়
- \(x^2+y^2=18\) এবং \(xy=7\) হলে \((x-y)^2\) কত?
- \(4\)
- \(5\)
- \(6\)
- \(7\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}}\) এর সরল মান কোনটি?
- \(a^3\)
- \(a^{1/3}\)
- \(a\)
- \(1\)
- \(x+\frac1x=4\) হলে \(\frac{x}{x^2-3x+1}\) এর মান কত?
- \(4\)
- \(3\)
- \(2\)
- \(1\)
- \(\frac{\sqrt2}{\sqrt6+2}\) এর সরল মান কোনটি?
- \(\sqrt3+\sqrt2\)
- \(3-\sqrt2\)
- \(\sqrt3-\sqrt2\)
- \(\sqrt3+2\)
- \(x+\frac1x=5\) হলে \(\frac{x}{x^2+x+1}\) এর মান কত?
- \(\frac12\)
- \(\frac13\)
- \(\frac14\)
- \(\frac16\)
- \(x=1+\sqrt3\) হলে \(x^3\) কত?
- \(4+3\sqrt3\)
- \(5+6\sqrt3\)
- \(10+9\sqrt3\)
- \(10+6\sqrt3\)
- \(a+b+c=5\) এবং \(a^2+b^2+c^2=9\) হলে \(ab+bc+ca\) কত?
- \(16\)
- \(8\)
- \(34\)
- \(12\)
- \(x^2+\frac1{x^2}=38\) হলে \(x-\frac1x\) এর মান কত?
- \(\pm40\)
- \(\pm6\)
- \(\pm7\)
- \(\pm5\)
- \(a+b=17\) এবং \(ab=60\) হলে \((a-b)^2\) কত?
- \(49\)
- \(64\)
- \(36\)
- \(125\)
- \(x-\frac1x=7\) হলে \(x^3-\frac1{x^3}\) এর মান কত?
- \(334\)
- \(322\)
- \(364\)
- \(354\)
- \(x-\frac1x=1\) হলে \(x^3-\frac1{x^3}\) এর মান কত?
- \(2\)
- \(4\)
- \(6\)
- \(8\)
- \(x+y=7\) এবং \(xy=10\) হলে \((x-y)^2\) কত?
- \(6\)
- \(3\)
- \(9\)
- \(12\)
- \(x+\frac1x=\sqrt2\) হলে \(x^4+\frac1{x^4}\) কত?
- \(-2\)
- \(2\)
- \(4\)
- \(14\)
- \(x+y=2\) এবং \(x^2+y^2=4\) হলে \(x^3+y^3\) কত?
- \(25\)
- \(16\)
- \(9\)
- \(8\)
- \(\frac{ab+b^2}{ab}\div\frac{a+b}{a}\) এর মান কত?
- \(\frac{a+b}{a^2}\)
- \(\frac ab\)
- \(1\)
- \(\frac{a-b}{a^2}\)
- \((\sqrt3\times\sqrt5)^4\) এর মান কত?
- \(30\)
- \(60\)
- \(225\)
- \(115\)
- \(4a^2+9b^2\)-এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
- \(6ab\)
- \(12ab\)
- \(18ab\)
- \(24ab\)
- \(x=\sqrt3+\sqrt2\) হলে \(x^2+\frac1{x^2}\) কত?
- \(9\)
- \(10\)
- \(12\)
- কোনোটিই নয়
- \(x-y=1\) এবং \(xy=56\) হলে \(x+y\) কত?
- \(16\)
- \(15\)
- \(225\)
- \(221\)
- \(x=3+2\sqrt2\) হলে \(x^{-1}\) কত?
- \(3+2\sqrt2\)
- \(\sqrt3+\sqrt2\)
- \(3-2\sqrt2\)
- \(\sqrt3-\sqrt2\)
- \(x-\frac1x=3\) হলে \(x^3-\frac1{x^3}\) এর মান কোনটি?
- \(25\)
- \(115\)
- \(18\)
- কোনোটিই নয়
- \(x+\frac1x=2\) হলে \(\frac{x}{x^2-x+1}\) এর মান কত?
- \(1\)
- \(2\)
- \(3\)
- \(4\)
- \(x^2-3x\), \(x^2-9\) এবং \(x^2-4x+3\) — এই তিন রাশির গ.সা.গু কোনটি?
- \(x-4\)
- \(x+3\)
- \(x-3\)
- \(x-1\)
- \(x^2-4\), \(x^2+4x+4\) এবং \(x^3-8\) — এই তিন রাশির ল.সা.গু কোনটি?
- \((x+2)^2(x^3-8)\)
- \((x-2)^2(x^3-8)\)
- \((x^2-2)(x^3-8)\)
- \((x^2+2)(x^3-8)\)
- \((a+b)\), \(a^2-b^2\) এবং \(a^3-b^3\) — এদের গ.সা.গু কত?
- \(0\)
- \(1\)
- \(a-b\)
- \(a+b\)
- \(16-4x^2\) এবং \(6x^2+24x+24\) এর গ.সা.গু কোনটি?
- \(x+2\)
- \(x+4\)
- \((x+2)^2\)
- \(2(x+2)\)
- \(a+b\), \(a^2-b^2\) এবং \(a^3+b^3\) — এদের গ.সা.গু কোনটি?
- \(a^2-b^2\)
- \(a-b\)
- \((a-b)^2\)
- \(a+b\)