জ্যামিতি: কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত ও ঘনবস্তু — Primary Teacher
জ্যামিতি: কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত ও ঘনবস্তু: গণিত, Primary Teacher পাঠ ও 650টি প্রশ্নের অনুশীলন। পৃষ্ঠা 1/13।
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- জ্যামিতির মৌলিক ধারণা
- বিন্দু, রেখা ও সমতল
- সমান্তরাল রেখা
- কোণ
- কোণের প্রকারভেদ
- পূরক ও সম্পূরক কোণ
- বিপ্রতীপ কোণ
- ছেদক ও সমান্তরাল রেখার কোণ
- একান্তর ও অনুরূপ কোণ
- উন্নতি ও অবনতি কোণ
- ত্রিভুজ
- ত্রিভুজের কোণের সম্পর্ক
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
- সমকোণী ত্রিভুজ
- স্থূলকোণী ত্রিভুজ
- ত্রিভুজ গঠনের শর্ত
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
- সর্বসম ত্রিভুজ
- সর্বসমতার শর্ত
- সদৃশ ত্রিভুজ
- চতুর্ভুজ
- সামান্তরিক
- আয়তক্ষেত্র
- রম্বস
- বর্গক্ষেত্র
- ট্রাপিজিয়াম
- বৃত্ত
- বৃত্তের বিভিন্ন অংশ
- বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম
- স্পর্শক
- জ্যা
- বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল
- আয়তাকার ঘনবস্তু
- ঘনক
- গোলক
জ্যামিতির মৌলিক ধারণা
Basic Geometry
জ্যামিতিতে বিন্দু, সরলরেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত ও বিভিন্ন ঘনবস্তুর আকার, পরিমাপ এবং পারস্পরিক সম্পর্ক আলোচনা করা হয়।
সমতল জ্যামিতিতে দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল প্রধান বিষয় হলেও ঘন জ্যামিতিতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন বিবেচনা করা হয়।
সমতল জ্যামিতিতে দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল প্রধান বিষয় হলেও ঘন জ্যামিতিতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন বিবেচনা করা হয়।
বিন্দু, রেখা ও সমতল
Point, Line and Plane
বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা উচ্চতা নেই।
দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি মাত্র সরলরেখা অঙ্কন করা যায়। সরলরেখা উভয় দিকে অসীমভাবে প্রসারিত বলে কল্পনা করা হয়।
যে পৃষ্ঠ সমতলভাবে অসীম বিস্তৃত বলে ধরা হয় তাকে সমতল বলা হয়। সমতল জ্যামিতির অধিকাংশ চিত্র এই সমতলের ওপর বিবেচনা করা হয়।
দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি মাত্র সরলরেখা অঙ্কন করা যায়। সরলরেখা উভয় দিকে অসীমভাবে প্রসারিত বলে কল্পনা করা হয়।
যে পৃষ্ঠ সমতলভাবে অসীম বিস্তৃত বলে ধরা হয় তাকে সমতল বলা হয়। সমতল জ্যামিতির অধিকাংশ চিত্র এই সমতলের ওপর বিবেচনা করা হয়।
সমান্তরাল রেখা
Parallel Lines
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যত দূর পর্যন্তই বাড়ানো হোক না কেন যদি কখনো পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে রেখা দুটিকে সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বত্র একই থাকে।
সমান্তরালতার চিহ্ন হিসেবে \(\parallel\) ব্যবহার করা হয়।
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বত্র একই থাকে।
সমান্তরালতার চিহ্ন হিসেবে \(\parallel\) ব্যবহার করা হয়।
কোণ
Angle
একটি বিন্দু থেকে উৎপন্ন দুটি রশ্মি যে ঘূর্ণন বা ফাঁক সৃষ্টি করে তাকে কোণ বলা হয়। রশ্মি দুটির সাধারণ প্রান্তবিন্দুকে কোণের শীর্ষ বলা হয়।
কোণ সাধারণত ডিগ্রি দ্বারা পরিমাপ করা হয়। একটি পূর্ণ ঘূর্ণন \(360^\circ\), অর্ধঘূর্ণন \(180^\circ\) এবং চতুর্থাংশ ঘূর্ণন \(90^\circ\)।
কোণ সাধারণত ডিগ্রি দ্বারা পরিমাপ করা হয়। একটি পূর্ণ ঘূর্ণন \(360^\circ\), অর্ধঘূর্ণন \(180^\circ\) এবং চতুর্থাংশ ঘূর্ণন \(90^\circ\)।
কোণের প্রকারভেদ
Types of Angles
\(90^\circ\)-এর কম কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়।
ঠিক \(90^\circ\) পরিমাপের কোণকে সমকোণ বলা হয়।
\(90^\circ\)-এর বেশি কিন্তু \(180^\circ\)-এর কম কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
ঠিক \(180^\circ\) পরিমাপের কোণকে সরলকোণ বলা হয়।
\(180^\circ\)-এর বেশি কিন্তু \(360^\circ\)-এর কম কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলা হয়।
ঠিক \(90^\circ\) পরিমাপের কোণকে সমকোণ বলা হয়।
\(90^\circ\)-এর বেশি কিন্তু \(180^\circ\)-এর কম কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
ঠিক \(180^\circ\) পরিমাপের কোণকে সরলকোণ বলা হয়।
\(180^\circ\)-এর বেশি কিন্তু \(360^\circ\)-এর কম কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলা হয়।
পূরক ও সম্পূরক কোণ
Complementary and Supplementary Angles
দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি \(90^\circ\) হলে কোণ দুটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
দুটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\) হলে কোণ দুটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
কোনো কোণের পূরক নির্ণয়ে \(90^\circ\) থেকে কোণটি এবং সম্পূরক নির্ণয়ে \(180^\circ\) থেকে কোণটি বিয়োগ করা হয়।
দুটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\) হলে কোণ দুটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
কোনো কোণের পূরক নির্ণয়ে \(90^\circ\) থেকে কোণটি এবং সম্পূরক নির্ণয়ে \(180^\circ\) থেকে কোণটি বিয়োগ করা হয়।
বিপ্রতীপ কোণ
Vertically Opposite Angles
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশে দুটি জোড়া বিপ্রতীপ কোণ তৈরি হয়।
প্রতিটি জোড়ার বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ পরস্পর সমান।
আবার পাশাপাশি দুটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
প্রতিটি জোড়ার বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ পরস্পর সমান।
আবার পাশাপাশি দুটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
ছেদক ও সমান্তরাল রেখার কোণ
Transversal with Parallel Lines
একটি সরলরেখা যদি দুটি বা ততোধিক রেখাকে পৃথক পৃথক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সেই রেখাকে ছেদক বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে অনুরূপ কোণ, একান্তর কোণ এবং একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের মধ্যে বিশেষ সম্পর্ক তৈরি হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে অনুরূপ কোণ, একান্তর কোণ এবং একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের মধ্যে বিশেষ সম্পর্ক তৈরি হয়।
একান্তর ও অনুরূপ কোণ
Alternate and Corresponding Angles
দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে অনুরূপ কোণগুলোর পরিমাপ পরস্পর সমান হয়।
ছেদকের বিপরীত পাশে এবং সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ভেতরে অবস্থিত একান্তর অন্তঃস্থ কোণও পরস্পর সমান।
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)।
ছেদকের বিপরীত পাশে এবং সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ভেতরে অবস্থিত একান্তর অন্তঃস্থ কোণও পরস্পর সমান।
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^\circ\)।
উন্নতি ও অবনতি কোণ
Angle of Elevation and Depression
পর্যবেক্ষকের চোখের সমান্তরাল রেখার উপরে কোনো বস্তুর দিকে তাকালে দৃষ্টিরেখা ও অনুভূমিক রেখার মধ্যবর্তী কোণকে উন্নতি কোণ বলা হয়।
একইভাবে অনুভূমিক রেখার নিচে কোনো বস্তুর দিকে তাকালে উৎপন্ন কোণকে অবনতি কোণ বলা হয়।
সমান্তরাল অনুভূমিক রেখার কারণে সংশ্লিষ্ট উন্নতি ও অবনতি কোণের মধ্যে একান্তর কোণের সম্পর্ক ব্যবহার করা যায়।
একইভাবে অনুভূমিক রেখার নিচে কোনো বস্তুর দিকে তাকালে উৎপন্ন কোণকে অবনতি কোণ বলা হয়।
সমান্তরাল অনুভূমিক রেখার কারণে সংশ্লিষ্ট উন্নতি ও অবনতি কোণের মধ্যে একান্তর কোণের সম্পর্ক ব্যবহার করা যায়।
ত্রিভুজ
Triangle
তিনটি সরলরেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলা হয়। একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু, তিনটি শীর্ষ এবং তিনটি অন্তঃকোণ থাকে।
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি সর্বদা \(180^\circ\)।
বাহু এবং কোণের প্রকৃতি অনুসারে ত্রিভুজকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা যায়।
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমষ্টি সর্বদা \(180^\circ\)।
বাহু এবং কোণের প্রকৃতি অনুসারে ত্রিভুজকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা যায়।
ত্রিভুজের কোণের সম্পর্ক
Angle Properties of Triangle
ত্রিভুজের তিন অন্তঃকোণের সমষ্টি \(180^\circ\)। ফলে দুটি কোণ জানা থাকলে তৃতীয় কোণ সহজে নির্ণয় করা যায়।
ত্রিভুজের কোনো একটি বাহু বাইরে বাড়ালে যে বহিঃকোণ তৈরি হয়, সেটি তার বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\) হওয়ায় বাকি দুই সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি \(90^\circ\)।
ত্রিভুজের কোনো একটি বাহু বাইরে বাড়ালে যে বহিঃকোণ তৈরি হয়, সেটি তার বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ \(90^\circ\) হওয়ায় বাকি দুই সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি \(90^\circ\)।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
Acute-angled Triangle
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই \(90^\circ\)-এর কম, তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
ত্রিভুজটির প্রতিটি অন্তঃকোণ সূক্ষ্মকোণ হওয়াই এ শ্রেণির প্রধান বৈশিষ্ট্য।
ত্রিভুজটির প্রতিটি অন্তঃকোণ সূক্ষ্মকোণ হওয়াই এ শ্রেণির প্রধান বৈশিষ্ট্য।
সমকোণী ত্রিভুজ
Right-angled Triangle
যে ত্রিভুজের একটি কোণ \(90^\circ\), তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলা হয় এবং এটি সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু।
ভূমি ও লম্বের বর্গের সমষ্টি অতিভুজের বর্গের সঙ্গে সম্পর্কিত। এই সম্পর্ক পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত।
সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলা হয় এবং এটি সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু।
ভূমি ও লম্বের বর্গের সমষ্টি অতিভুজের বর্গের সঙ্গে সম্পর্কিত। এই সম্পর্ক পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
Obtuse-angled Triangle
যে ত্রিভুজের একটি কোণ \(90^\circ\)-এর বেশি কিন্তু \(180^\circ\)-এর কম, তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
একটি ত্রিভুজে একটির বেশি স্থূলকোণ থাকতে পারে না, কারণ তিন কোণের মোট পরিমাণ \(180^\circ\)।
একটি ত্রিভুজে একটির বেশি স্থূলকোণ থাকতে পারে না, কারণ তিন কোণের মোট পরিমাণ \(180^\circ\)।
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত
Triangle Inequality
তিনটি দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করতে হলে যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় হতে হবে।
অর্থাৎ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য বাকি দুই বাহুর সমষ্টির চেয়ে ছোট হওয়া প্রয়োজন।
এই শর্ত পূরণ না হলে প্রদত্ত তিনটি রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়।
অর্থাৎ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য বাকি দুই বাহুর সমষ্টির চেয়ে ছোট হওয়া প্রয়োজন।
এই শর্ত পূরণ না হলে প্রদত্ত তিনটি রেখাংশ দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Triangle
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে ভূমি ও সংশ্লিষ্ট লম্ব উচ্চতা ব্যবহার করা হয়।
ক্ষেত্রফল হলো ভূমি ও উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক।
সমকোণী ত্রিভুজে পরস্পর লম্ব দুই বাহুকেই ভূমি ও উচ্চতা হিসেবে ব্যবহার করা যায়।
ক্ষেত্রফল হলো ভূমি ও উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক।
সমকোণী ত্রিভুজে পরস্পর লম্ব দুই বাহুকেই ভূমি ও উচ্চতা হিসেবে ব্যবহার করা যায়।
সর্বসম ত্রিভুজ
Congruent Triangles
দুটি ত্রিভুজ আকৃতি ও আকারে সম্পূর্ণ একই হলে তাদের সর্বসম ত্রিভুজ বলা হয়।
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান এবং অনুরূপ কোণগুলোর পরিমাপও সমান।
একটি ত্রিভুজকে অন্যটির ওপর বসালে যদি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান এবং অনুরূপ কোণগুলোর পরিমাপও সমান।
একটি ত্রিভুজকে অন্যটির ওপর বসালে যদি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
সর্বসমতার শর্ত
Conditions of Congruence
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য সব বাহু ও কোণ আলাদাভাবে পরীক্ষা করা সবসময় প্রয়োজন হয় না। কয়েকটি নির্দিষ্ট শর্তই যথেষ্ট।
দুই ত্রিভুজের তিনটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলেও সর্বসমতা প্রতিষ্ঠিত হয়।
দুটি কোণ এবং একটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হতে পারে।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজ ও একটি সংশ্লিষ্ট বাহু সমান থাকলেও সর্বসমতা নির্ণয় করা যায়।
দুই ত্রিভুজের তিনটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলেও সর্বসমতা প্রতিষ্ঠিত হয়।
দুটি কোণ এবং একটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হতে পারে।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজ ও একটি সংশ্লিষ্ট বাহু সমান থাকলেও সর্বসমতা নির্ণয় করা যায়।
সদৃশ ত্রিভুজ
Similar Triangles
দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজ দুটিকে সদৃশ বলা হয়।
সদৃশ ত্রিভুজের আকৃতি একই হলেও আকার সমান হওয়া বাধ্যতামূলক নয়।
অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত একটি নির্দিষ্ট ধ্রুব অনুপাতে থাকে।
দুটি ত্রিভুজের তিনটি করে অনুরূপ কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
সদৃশ ত্রিভুজের আকৃতি একই হলেও আকার সমান হওয়া বাধ্যতামূলক নয়।
অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত একটি নির্দিষ্ট ধ্রুব অনুপাতে থাকে।
দুটি ত্রিভুজের তিনটি করে অনুরূপ কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।
চতুর্ভুজ
Quadrilateral
চারটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলা হয়।
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি শীর্ষ, চারটি অন্তঃকোণ এবং দুটি কর্ণ থাকে।
চতুর্ভুজের চার অন্তঃকোণের সমষ্টি \(360^\circ\)।
বাহুগুলোর সমান্তরালতা, দৈর্ঘ্য এবং কোণের প্রকৃতির ওপর ভিত্তি করে চতুর্ভুজকে সামান্তরিক, আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, রম্বস ও ট্রাপিজিয়ামসহ বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি শীর্ষ, চারটি অন্তঃকোণ এবং দুটি কর্ণ থাকে।
চতুর্ভুজের চার অন্তঃকোণের সমষ্টি \(360^\circ\)।
বাহুগুলোর সমান্তরালতা, দৈর্ঘ্য এবং কোণের প্রকৃতির ওপর ভিত্তি করে চতুর্ভুজকে সামান্তরিক, আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, রম্বস ও ট্রাপিজিয়ামসহ বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।
সামান্তরিক
Parallelogram
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল, তাকে সামান্তরিক বলা হয়।
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং বিপরীত কোণগুলোও সমান।
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে সাধারণ ক্ষেত্রে কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান নয়।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে ভূমি ও সংশ্লিষ্ট লম্ব উচ্চতার গুণফল ব্যবহার করা হয়।
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং বিপরীত কোণগুলোও সমান।
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে সাধারণ ক্ষেত্রে কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান নয়।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে ভূমি ও সংশ্লিষ্ট লম্ব উচ্চতার গুণফল ব্যবহার করা হয়।
আয়তক্ষেত্র
Rectangle
যে সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাকে আয়তক্ষেত্র বলা হয়।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং চারটি কোণই \(90^\circ\)।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফল এবং পরিসীমা নির্ণয়ে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফলের দ্বিগুণ বিবেচনা করা হয়।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং চারটি কোণই \(90^\circ\)।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফল এবং পরিসীমা নির্ণয়ে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফলের দ্বিগুণ বিবেচনা করা হয়।
রম্বস
Rhombus
যে সামান্তরিকের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাকে রম্বস বলা হয়।
রম্বসের বিপরীত কোণ সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব, তবে সাধারণ ক্ষেত্রে তাদের দৈর্ঘ্য সমান নয়।
রম্বসের ক্ষেত্রফল কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেকের সঙ্গে সম্পর্কিত।
রম্বসের বিপরীত কোণ সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব, তবে সাধারণ ক্ষেত্রে তাদের দৈর্ঘ্য সমান নয়।
রম্বসের ক্ষেত্রফল কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেকের সঙ্গে সম্পর্কিত।
বর্গক্ষেত্র
Square
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণই সমকোণ, তাকে বর্গক্ষেত্র বলা হয়।
বর্গক্ষেত্র একই সঙ্গে আয়তক্ষেত্র এবং রম্বসের ধর্ম বহন করে।
এর কর্ণদ্বয় সমান, পরস্পর লম্ব এবং একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে ক্ষেত্রফল \(a^2\)-এর সঙ্গে এবং পরিসীমা \(4a\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
বর্গক্ষেত্র একই সঙ্গে আয়তক্ষেত্র এবং রম্বসের ধর্ম বহন করে।
এর কর্ণদ্বয় সমান, পরস্পর লম্ব এবং একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে ক্ষেত্রফল \(a^2\)-এর সঙ্গে এবং পরিসীমা \(4a\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
ট্রাপিজিয়াম
Trapezium
যে চতুর্ভুজের কেবল এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলা হয়।
সমান্তরাল বাহুদ্বয়কে ভিত্তি এবং অপর দুই বাহুকে তির্যক বাহু বলা হয়।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হওয়া বাধ্যতামূলক নয়।
এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল, তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব এবং \(\frac{1}{2}\) গুণক ব্যবহৃত হয়।
সমান্তরাল বাহুদ্বয়কে ভিত্তি এবং অপর দুই বাহুকে তির্যক বাহু বলা হয়।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হওয়া বাধ্যতামূলক নয়।
এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল, তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব এবং \(\frac{1}{2}\) গুণক ব্যবহৃত হয়।
বৃত্ত
Circle
একই সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টি একটি বৃত্ত গঠন করে।
নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে বৃত্তের কেন্দ্র এবং কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়।
একই বৃত্তের সব ব্যাসার্ধ সমান।
নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে বৃত্তের কেন্দ্র এবং কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়।
একই বৃত্তের সব ব্যাসার্ধ সমান।
বৃত্তের বিভিন্ন অংশ
Parts of a Circle
বৃত্তের দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাংশকে জ্যা বলা হয়।
কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যাকে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাসার্ধ হলো কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত রেখাংশ। ব্যাসের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী বাঁকা অংশকে চাপ বলা হয়।
বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাতকে \(\pi\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যাকে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাসার্ধ হলো কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত রেখাংশ। ব্যাসের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী বাঁকা অংশকে চাপ বলা হয়।
বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাতকে \(\pi\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম
Important Properties of Circle
কেন্দ্র থেকে একটি জ্যার ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
একই বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
কেন্দ্র থেকে যে জ্যার দূরত্ব কম, সেই জ্যা তুলনামূলক বড়।
একই চাপের ওপর উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাপ সংশ্লিষ্ট বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অর্ধবৃত্তে উৎপন্ন কোণ \(90^\circ\)।
একই বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
কেন্দ্র থেকে যে জ্যার দূরত্ব কম, সেই জ্যা তুলনামূলক বড়।
একই চাপের ওপর উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাপ সংশ্লিষ্ট বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অর্ধবৃত্তে উৎপন্ন কোণ \(90^\circ\)।
স্পর্শক
Tangent
যে সরলরেখা একটি বৃত্তকে মাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে তাকে বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়।
স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব। ফলে স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ ও স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\)।
বৃত্তের বাইরের একই বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।
স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব। ফলে স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ ও স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\)।
বৃত্তের বাইরের একই বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।
জ্যা
Chord
বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাংশ হলো জ্যা।
ব্যাস হলো বিশেষ ধরনের জ্যা, যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় এবং সব জ্যার মধ্যে দীর্ঘতম।
দুটি জ্যা বৃত্তের ভেতরে একটি বিন্দুতে ছেদ করলে এক জ্যার দুই অংশের গুণফল অন্য জ্যার দুই অংশের গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত হয়।
ব্যাস হলো বিশেষ ধরনের জ্যা, যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় এবং সব জ্যার মধ্যে দীর্ঘতম।
দুটি জ্যা বৃত্তের ভেতরে একটি বিন্দুতে ছেদ করলে এক জ্যার দুই অংশের গুণফল অন্য জ্যার দুই অংশের গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত হয়।
বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল
Circumference and Area of Circle
ব্যাসার্ধ \(r\) হলে বৃত্তের ব্যাস \(2r\)।
বৃত্তের পরিধি \(2\pi r\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত জানা থাকলে সেখান থেকেও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যায়।
বৃত্তের পরিধি \(2\pi r\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত জানা থাকলে সেখান থেকেও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যায়।
আয়তাকার ঘনবস্তু
Cuboid
যে ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা থাকে এবং ছয়টি তল আয়তাকার, তাকে আয়তাকার ঘনবস্তু বা Cuboid বলা হয়।
দৈর্ঘ্য \(a\), প্রস্থ \(b\) এবং উচ্চতা \(c\) হলে আয়তন \(abc\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
এর সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \(2(ab+bc+ca)\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
বস্তুর মাত্রা পরিবর্তিত হলে আয়তন দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার পরিবর্তনের সম্মিলিত প্রভাবে পরিবর্তিত হয়।
দৈর্ঘ্য \(a\), প্রস্থ \(b\) এবং উচ্চতা \(c\) হলে আয়তন \(abc\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
এর সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \(2(ab+bc+ca)\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
বস্তুর মাত্রা পরিবর্তিত হলে আয়তন দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার পরিবর্তনের সম্মিলিত প্রভাবে পরিবর্তিত হয়।
ঘনক
Cube
যে ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান এবং ছয়টি তলই বর্গক্ষেত্র, তাকে ঘনক বলা হয়।
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে আয়তন \(a^3\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \(6a^2\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
ঘনকের সব প্রান্তের দৈর্ঘ্য সমান।
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে আয়তন \(a^3\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \(6a^2\)-এর সঙ্গে সম্পর্কিত।
ঘনকের সব প্রান্তের দৈর্ঘ্য সমান।
গোলক
Sphere
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত সব স্থানবিন্দুর সমষ্টি একটি গোলক তৈরি করে। নির্দিষ্ট বিন্দুটি গোলকের কেন্দ্র এবং কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠের দূরত্ব গোলকের ব্যাসার্ধ।
গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সমানুপাতিক। অর্থাৎ দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত \(a:b\) হলে তাদের আয়তনের অনুপাত \(a^3:b^3\)।
গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক। তাই একই দুটি গোলকের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(a^2:b^2\)।
এই কারণে গোলকের আয়তনের অনুপাত জানা থাকলে প্রথমে ব্যাসার্ধের অনুপাত নির্ণয় করে পরে ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করা যায়।
গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সমানুপাতিক। অর্থাৎ দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত \(a:b\) হলে তাদের আয়তনের অনুপাত \(a^3:b^3\)।
গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক। তাই একই দুটি গোলকের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(a^2:b^2\)।
এই কারণে গোলকের আয়তনের অনুপাত জানা থাকলে প্রথমে ব্যাসার্ধের অনুপাত নির্ণয় করে পরে ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করা যায়।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-সংলগ্ন কোণ দুটি প্রত্যেকটি কোন ধরনের কোণ?
- স্থূলকোণ
- সরলকোণ
- সূক্ষ্মকোণ
- সমকোণ
- \(40^\circ\) কোণের পূরক কোণ কত?
- \(32^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(140^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত \(1:2:3\)। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
- সমবাহু
- সূক্ষ্মকোণী
- স্থূলকোণী
- সমকোণী
- যে কোণ দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু চার সমকোণের চেয়ে ছোট, তাকে কী বলে?
- সম্পূরক কোণ
- বিপ্রতীপ কোণ
- স্থূলকোণ
- প্রবৃদ্ধকোণ
- একটি সরলরেখার সঙ্গে অন্য একটি রশ্মি মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি করে, তাদের সমষ্টি কত?
- \(90^\circ\)
- \(160^\circ\)
- \(180^\circ\)
- \(120^\circ\)
- একটি ঘড়ি দুপুর \(12\)টা থেকে চলতে শুরু করেছে। মোট \(10\) মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা কত ডিগ্রি ঘুরবে?
- \(145^\circ\)
- \(150^\circ\)
- \(155^\circ\)
- \(160^\circ\)
- দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুটি পরস্পর কী?
- সম্পূরক কোণ
- বিপ্রতীপ কোণ
- সন্নিহিত কোণ
- পূরক কোণ
- একটি সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কতটি সমকোণ পাওয়া যায়?
- ১টি
- ২টি
- ৩টি
- ৪টি
- দুটি পরস্পর পূরক কোণের মধ্যে একটির পরিমাপ \(35^\circ\) হলে অপরটির পরিমাপ কত?
- \(55^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(180^\circ\)
- \(155^\circ\)
- একটি সরলরেখার সঙ্গে আরেকটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি করে, তাদের সমষ্টি কত?
- \(160^\circ\)
- \(180^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(120^\circ\)
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে একটি কোণের বিপরীত দিকে উৎপন্ন কোণকে কী বলে?
- সন্নিহিত কোণ
- পূরক কোণ
- সম্পূরক কোণ
- বিপ্রতীপ কোণ
- \(\triangle ABC\)-এ \(\angle A=45^\circ\) এবং \(\angle B=30^\circ\) হলে \(\angle C\)-এর মান কত?
- \(110^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(100^\circ\)
- \(105^\circ\)
- কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন তিনটি বহিঃস্থ কোণের মোট পরিমাপ কত?
- \(180^\circ\)
- \(360^\circ\)
- \(270^\circ\)
- \(90^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?
- \(180^\circ\)
- \(210^\circ\)
- \(360^\circ\)
- \(240^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর অঙ্কিত তিনটি বর্গক্ষেত্র মোট কতটি সমকোণ তৈরি করে?
- ৮টি
- ৯টি
- ১২টি
- ১৬টি
- \(90^\circ\) কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?
- \(270^\circ\)
- \(0^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(180^\circ\)
- \(250^\circ\) পরিমাপের কোণকে কী বলা হয়?
- সমকোণ
- স্থূলকোণ
- পূরককোণ
- প্রবৃদ্ধকোণ
- সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বিপরীত কোণটি কোন ধরনের?
- সরলকোণ
- সমকোণ
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- \(65^\circ\) কোণের পূরক কোণের পরিমাপ কত?
- \(135^\circ\)
- \(125^\circ\)
- \(25^\circ\)
- \(35^\circ\)
- একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ দ্বিতীয় কোণের চেয়ে \(30^\circ\) বেশি। প্রথম কোণের পরিমাপ কত?
- \(60^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(45^\circ\)
- \(30^\circ\)
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে কোণ দুটি পরস্পর কী?
- সন্নিহিত কোণ
- সরল কোণ
- সম্পূরক কোণ
- পূরক কোণ
- ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর সংলগ্ন কোণ দুটি সাধারণত কোন ধরনের?
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- সমকোণ
- সরলকোণ
- কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলে?
- ভরকেন্দ্র
- পরিকেন্দ্র
- অন্তঃকেন্দ্র
- লম্ববিন্দু
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি কোন ধরনের?
- সূক্ষ্মকোণ
- স্থূলকোণ
- সমকোণ
- সরলকোণ
- \(\angle A=50^\circ\) হলে এর পূরক কোণ কত?
- \(30^\circ\)
- \(50^\circ\)
- \(40^\circ\)
- \(90^\circ\)
- দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু চার সমকোণের চেয়ে ছোট কোণকে কী বলা হয়?
- সূক্ষ্ম কোণ
- স্থূল কোণ
- সম্পূরক কোণ
- প্রবৃদ্ধ কোণ
- একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ কত?
- \(30^\circ\)
- \(60^\circ\)
- \(70^\circ\)
- \(72^\circ\)
- একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ \(120^\circ\) হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
- ৫
- ৬
- ৮
- ১৯
- ঘড়িতে \(2\)টা \(15\) মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্র কোণ কত?
- \(20^\circ\)
- \(22\frac{1}{2}^\circ\)
- \(23^\circ\)
- \(23\frac{1}{2}^\circ\)
- \(\angle A\) এবং \(\angle B\) পরস্পর সম্পূরক। \(\angle A=115^\circ\) হলে \(\angle B\)-এর মান কত?
- \(65^\circ\)
- \(75^\circ\)
- \(85^\circ\)
- \(90^\circ\)
- একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ \(135^\circ\) হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
- ৬
- ৭
- ৮
- ১০
- একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ কত?
- \(90^\circ\)
- \(105^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(145^\circ\)
- একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ কত?
- \(90^\circ\)
- \(110^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(108^\circ\)
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-সংলগ্ন সূক্ষ্ম কোণ দুটি পরস্পর কী?
- সম্পূরক কোণ
- পূরক কোণ
- বিপ্রতীপ কোণ
- সন্নিহিত কোণ
- একটি সমকোণী ত্রিভুজে ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের চেয়ে \(1\) মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্বের চেয়ে \(1\) মিটার বেশি হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
- \(3\) মিটার
- \(5\) মিটার
- \(6\) মিটার
- \(4\) মিটার
- নিচের কোন তিনটি দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?
- \(1,4,5\)
- \(4,5,6\)
- \(2,4,7\)
- \(3,4,6\)
- একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য \(4,5\) ও \(3\) একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
- \(10\) বর্গ একক
- \(12\) বর্গ একক
- \(8\) বর্গ একক
- \(6\) বর্গ একক
- সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ-সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(3\) সেমি ও \(4\) সেমি হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
- \(8\) সেমি
- \(4\) সেমি
- \(5\) সেমি
- \(7\) সেমি
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
- বিষমবাহু
- সমবাহু
- সমকোণী
- সমদ্বিবাহু
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(144\) বর্গ একক। সমকোণ-সংলগ্ন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(12\) একক হলে অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
- \(15\)
- \(30\)
- \(24\)
- \(20\)
- নিচের কোন অনুপাতটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত হতে পারে?
- \(13:12:5\)
- \(6:4:3\)
- \(6:5:3\)
- \(12:8:4\)
- একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণের সংখ্যা কত?
- ৩টি
- কোনোটিই নয়
- ১টি
- ২টি
- একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ-সংলগ্ন বাহুদ্বয় \(3\) সেমি ও \(4\) সেমি হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
- \(8\) সেমি
- \(4\) সেমি
- \(5\) সেমি
- \(7\) সেমি
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণ \(50^\circ\) হলে অপর সূক্ষ্মকোণটির পরিমাপ কত?
- \(50^\circ\)
- \(20^\circ\)
- \(30^\circ\)
- \(40^\circ\)
- একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(16\) মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
- \(64\) বর্গমিটার
- কোনোটিই নয়
- \(16\) বর্গমিটার
- \(32\) বর্গমিটার
- ত্রিভুজের কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সঙ্গে যোগ করা রেখাংশকে কী বলে?
- সমদ্বিখণ্ডক
- অতিভুজ
- লম্ব
- মধ্যমা
- একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি \(75\) মিটার এবং উচ্চতা \(20\) মিটার। প্রতি বর্গমিটারে \(2\) টাকা হারে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা লাগবে?
- \(1250\) টাকা
- \(1500\) টাকা
- \(1400\) টাকা
- \(1600\) টাকা
- ত্রিভুজের যেকোনো দুটি মধ্যমা পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
- সমকোণী ত্রিভুজ
- বিষমবাহু ত্রিভুজ
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
- সমবাহু ত্রিভুজ
- একটি ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
- বিষমবাহু
- সমদ্বিবাহু
- সমকোণী
- সমবাহু
- একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু \(16\) মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
- \(192\) বর্গমিটার
- \(32\sqrt3\) বর্গমিটার
- \(64\sqrt3\) বর্গমিটার
- \(64\) বর্গমিটার