১। \(A=\begin{bmatrix}a & a+1 \\-a+1 & -a \end{bmatrix}, \ , \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\)
এবং \(C=\begin{bmatrix}4 \\0 \\2 \end{bmatrix}\)
ক. \(a=5\) হলে দেখাও যে, \(A\) একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স। ২
খ. \(B^{T}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর। ৪
গ. \(BX=C\) হলে, ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান কর। ৪
সমাধান

২। \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
ক. \(A(2, -3, 1)\) এবং \(B(-1, 0 4)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(p\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৩।

ক. \(P\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ২
খ. \(AQ:QB=2:3\) হলে, \(\triangle{PQB}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
গ. \(PA\) এবং \(AB\) সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৪। \(f(x, y)=x^2+y^2-10x+6y+25\)
\(g(x, y)=x^2+y^2+6x-6y-31\)
\(h(x, y)=3x-4y+5\)
ক. \(g(x, y)=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর। ২
খ. দেখাও যে, \(f(x, y)=0\) ও \(g(x, y)=0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। ৪
গ. \(f(x, y)=0\) বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(h(x, y)=0\) রেখার উপর লম্ব। ৪
সমাধান

৫। \(f(x)=\cos{x}, \ g(x)=\sin{x}\)
ক. \(f(ax)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর। ২
খ. \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{2f(x)-g(2x)}{1+f(2x)}\] এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. যদি \(y=g(r\sin^{-1}{x})\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+r^2y=0\) ৪
সমাধান

৬।

ক. দেখাও যে, \(\sec{\frac{5x}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{10x}}}}.\) ২
খ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, \(AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\) ৪
গ. উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\) ৪
সমাধান

৭। \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) যথাক্রমে \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-a}}, \ a\in{\mathbb{R}}\) এবং \(g(x)=2x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
ক. \(f(x)\) এর ডোমেন নির্ণয় কর। ২
খ. \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কি-না পরীক্ষা কর। ৪
গ. \(g^{-1}(x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। ৪
সমাধান

৮। \(f(x)=\cos{x}, \ g(x, y)=9x^2+25y^2.\)
ক. সমাকলন করঃ \(\int{\frac{dx}{4f(\cos^{-1}x^2)+9}.}\) ২
খ. \(\int_{1}^{3}{\frac{1}{x}\sqrt{1-\{f(\ln{x})\}^2}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(g(x, y)=225\) উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান