১। \(f(x)=|5x-3|,\) যেখানে \(x\ne{\frac{3}{5}}\) এবং \(z=3x+2y, \ x+2y\ge{4}, \ 2x+y\ge{4}, x+y\le{5}\) ও \(x,y\ge{0}\)
ক. \(-7\lt{x}\lt{-1}\) কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ কর। ২
খ. \(\frac{1}{f(x)}\ge{2}\) অসমতাটির সমাধান সেট সংখ্যারেখায় রেখায় দেখাও। ৪
গ. লেখচিত্রের সাহায্যে \(z\) এর সর্বোনিম্ন মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(F(x)=27x^2+6x-(m+2), \ P(x)=rx^2-2nx+4m\) এবং \(Q(x)=mx^2+nx+r\)
ক. \(2+2\sqrt{3}i\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(F(x)=0\) সমীকরণটির একটি মূল অপর মূলটির বর্গের সমান হলে, \(m\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(P(x)=0\) এবং \(Q(x)=0\) সমকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল থাকলে, প্রমাণ কর যে, \((2m-r)^2+2n=0\) অথবা \(2m+r=0.\) ৪
সমাধান

৩। \(f(x)=3+\frac{x}{2}\) এবং \(g(p)=1-\frac{1}{2}p.\)
ক. \((3-y)^5\) বিস্তৃতির প্যাসকেলের ত্রিভুজ নির্ণয় কর। ২
খ. \(\{f(x)\}^n\) এর বিস্তৃতিতে \(x^7\) এবং \(x^8\) এর সহগদ্বয় সমান হলে, \(n\) এর মান নির্ণয় কর, যখানে \(n\in{\mathbb{N}}\) ৪
গ. দেখাও যে, \(\{g(4x)\}^{-\frac{1}{2}}\) বিস্তৃতির \((n+1)\) তম পদের সহগ \(\frac{(2n)!}{(n!)^2.2^n}\) ৪
সমাধান

৪। \(f(x)=\frac{2x}{1+x^2}, \ g(y)=\frac{1-y^2}{1+y^2}\) এবং \(h(x)=\sin{x}\)
ক. \(\sin^{-1}m+\sin^{-1}n=\frac{\pi}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(m^2+n^2=1\) ২
খ. \(cosec^{-1}\frac{1}{f(a)}+\sec^{-1}\frac{1}{g(b)}=2\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\) ৪
গ. \(0\le{\theta}\le{2\pi}\) ব্যবধিতে \(2h(\theta).h(3\theta)=1\) সমীকরণটি সমাধান কর। ৪
সমাধান

৫। দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২:

ক. \(3x^2+5y^2=1\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এ \(S\) উপকেন্দ্র এবং \(A\) শীর্ষবিন্দু হলে, পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}, \ S\) উপকেন্দ্র এবং \(MZM^{\prime}\) নিয়ামক। ৪
সমাধান

৬। দৃশ্যকল্প-১: \(P\) ও \(Q\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল। \(P\) বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে \(x\) দূরত্বে সরানো হলো।
দৃশ্যকল্প-২: \(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\)বল দুইটি পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত। এদের অবস্থান বিনিময় করলে লব্ধি \(\theta\) কোণে ঘুরে যায়।
ক. \(8N\) ও \(6N\) দুইটি বল পরস্পর \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, বল দুইটির লব্ধি \(\frac{Px}{P+Q}\) দূরত্বে সরে যাবে। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{P-Q}{P+Q}\tan{\frac{\alpha}{2}}\) ৪
সমাধান

৭। দৃশ্যকল্প-১: একটি ট্রেন রেলপথে \(4\) কি.মি. ব্যবধানে দুইটি স্টেশনে থামে। এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে পৌঁছাতে সময় লাগে \(8\) মিনিট। ট্রেনটির গতিপথের প্রথম অংশ \(m\) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \(n\) সমমন্দনে চলে।
দৃশ্যকল্প-২: একটি টাওয়ারের চূড়া হতে একখন্ড পাথর \(x\) মিটার নিচে নামার পর অপর খন্ড পাথর চূড়ার \(\) মিটার নিচ হতে ফেলে দেওয়া হলো। উভয়ে স্থিরাবস্থা হতে পড়ে এবং একই সঙ্গে ভূমিতে পতিত হয়।
ক. একটি কার স্থিরাবস্থা হতে সমত্বরণে \(1\) কিলোমিটার পথ \(2\) মিনিটে অতিক্রম করলে বেগ কত হবে? ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, বল দুইটির লব্ধি \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=8\) ৪
গ. দেখাও যে, টাওয়ারটির উচ্চতা \(\frac{(x+y)^2}{4x}\) মিটার। ৪
সমাধান

৮। দৃশ্যকল্প-১: একটি সুষম মূদ্রা পর পর তিনবার টস করা হলো।
দৃশ্যকল্প-২: নিচে \(50\) জন ছাত্রের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গন সংখ্যা নিবেশন দেওয়া হলোঃ

নম্বর	\(30-40\)	\(40-50\)	\(50-60\)	\(60-70\)	\(70-80\)	\(80-90\)	\(90-100\)
ছাত্র সংখ্যা	\(5\)	\(7\)	\(11\)	\(14\)	\(6\)	\(4\)	\(3\)

ক. \(P(A)\frac{1}{4}, \ P(B)=\frac{1}{3}\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন হলে, \(P(A\cup{B})\) এর নির্ণয় কর। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর নমুনাক্ষেত্র তৈরি করে দুই বা ততোধিকবার হেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর। ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ হতে ভেদআংক নির্ণয় কর। ৪
সমাধান