১। \(\blacktriangleright\) \(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5 & -2 \\ \ \ \ 4 & 3 & \ \ \ 7 \\-3 & 4 & \ \ \ 5 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -3 & 1 \\ \ \ \ 7 & \ \ \ 2 & 5 \\-1 & \ \ \ 8 & 9 \end{bmatrix}\)
\(f(x)=3x^2+2x-5I\)
ক. \((2A-B)^T\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(f(A)\) নির্ণয় কর। ৪
গ. \(B^{-1}\) নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

২। \(\blacktriangleright\) সমীকরণ জোটঃ
\(\begin{cases}px+qy+rz=5\\ p^2x+q^2y+r^2z=5 \\ (p^3-1)x+(q^3-1)y+(r^3-1)z=-5\end{cases}\)
ক. \(\begin{bmatrix} x & 1 & 0 \\1 & 2 & 1 \\1 & 2 & x\end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(p=1, \ q=2, \ r=3\) হলে, ক্রেমারের নিয়মে সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় কর। ৪
গ. \(x, \ y\) ও \(z\) এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক \(D\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(D=(pqr-1)(p-q)(q-r)(r-p)\) ৪
সমাধান

৩। \(\blacktriangleright\)

ক. \((-6, 2)\) বিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ২
খ. \(E\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(AB\) সরলরেখা ও \(y\) অক্ষের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। ৪
সমাধান

৪। \(\blacktriangleright\) \(7x-y=5 ......(1)\)
\(x+y=-7 ......(2)\)

ক. \(5x-10y=7\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর। ২
খ. \((-1, 5)\) বিন্দুগামী এবং \((1)\) নং রেখার উপর অংকিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাংকের মাধ্যমে বিন্দুটি হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর। ৪
গ. \((3, 5)\) বিন্দুগামী এবং \((2)\) নং রেখার সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৫। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=\ln{px}\) এবং \(g(x)=\ln{\sqrt[3]{x}}\)
ক. \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{8x}-1}{4x^2}\] এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(p=3\) হলে, মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
গ. অন্তর্ভুক্ত চলরাশির সাপেক্ষে \(g\left(\frac{1-\cos{\phi}}{1+\cos{\phi}}\right)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৬। \(\blacktriangleright\) দৃশ্যকল্প-১ঃ \(\sin^{-1}y=5\sin^{-1}{x}\)
দৃশ্যকল্প-২ঃ \(y=x^3-6x^2-15x+10\)
ক. \(b\) এর মান কত হলে, \(y=bx(x-1)\) বক্ররেখার মূল বিন্দুতে স্পর্শকটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ২
খ. দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+25y=0\) ৪
গ. দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \(y\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর। ৪
সমাধান

৭। \(\blacktriangleright\) \(f(x)=3-2x, \ g(x)=3+4x-4x^2, \ h(x)=\sqrt{a^2-x^2}\)
ক. \(\int{\sin^{11}{x}\cos{x}dx}\) নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int{\frac{f(x)}{\sqrt{g(x)}}dx}\) নির্ণয় কর। ৪
গ. প্রমাণ কর যে, \(\int{h(x)dx}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\frac{x}{a}}\) ৪
সমাধান

৮। \(\blacktriangleright\) \(P_{1}(x)=x\)
\(P_{2}(x)=\cot^{-1}{x}\)

ক. \(\int_{2}^{5}{\ln{2x}dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ২
খ. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{P_{1}(x)P_{2}(x)dx}\) এর মান নির্ণয় কর। ৪
গ. নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ৪
সমাধান