১। ম্যাট্রিক্স আয়তাকার বা বর্গাকার যে কোনো আকৃতির হতে পারে। অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
১। নির্ণায়ক সর্বদা বর্গাকৃতির হয়ে থাকে। অর্থাৎ নির্ণায়কের সারি ও কলাম সংখ্যা সর্বদা সমান হয়।
২। ম্যাট্রিক্সকে তৃতীয় বন্ধনী \([ \ \ ]\) অথবা প্রথম বন্ধনী \(( \ \ )\) অথবা দুই জোড়া উল্লম্ব রেখা \(|| \ \ ||\) এর সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। যেমনঃ \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) অথবা \(\left(\begin{array}{c}a & b \\c
& d \end{array}\right)\) অথবা \(\left|\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\right|\)
২। নির্ণায়ককে দুইটি উল্লম্ব রেখার সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। যেমনঃ \(\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|\)
৩। ম্যাট্রিক্সের কোনো মান নেই।
৩। নির্ণায়কের মান আছে।
৪। কোনো ম্যাট্রিক্সকে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়। যেমনঃ \(k\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka & kb \\kc & kd \end{bmatrix}\)
৪। কোনো নির্ণায়ককে যে কোনো সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করলে ঐ নির্ণায়ককের যে কোনো একটি সারি বা কলামের প্রতিটি ভুক্তিকেই ঐ সংখ্যা \((k)\) দ্বারা গুণ করাকে বুঝায়। যেমনঃ \(k\left|\begin{array}{c}a & b \\c & d \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}ka
& kb \\c & d \end{array}\right|\)
ব্যাতিক্রমী ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular and Non-Singular Matrix
ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়, তাকে ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}4 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স। কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}4 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\) \(=12-12\)
\(=0\)
অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
Non-Singular Matrix
যে বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(\begin{bmatrix}5 & 4 \\3 & 3 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স। কারণ, \(|A|=\left|\begin{array}{c}5 & 4 \\3 & 3 \end{array}\right|\) \(=15-12\)
\(=3\)
বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স
Inverse Matrix of a Square Matrix
দুইটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর গুণফল যদি একক ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে এদের একটিকে অপরটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। অর্থাৎ যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। \(A\) এর জন্য একটি একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। \(B\) থাকে যেন \(AB=BA=I\) হয়, (যেখানে, \(I\) হলো একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স) তবে \(B\) ম্যাট্রিক্সকে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে। \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে \(A^{-1}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অপরপক্ষে \(A\)
ম্যাট্রিক্সকেও \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। দ্রষ্টব্যঃ শুধুমাত্র অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।
ধরি, \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এবং \(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) \(A\) ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্টকে সংক্ষেপে \(adj A\) দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং নিম্নোলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। \(adj A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^{t}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{bmatrix}\) ➜
ম্যাট্রিক্সের সারিগুলিকে কলামে এবং কলামগুলিকে সারিতে পরিনত করা হয়েছে।
যেখানে \(A_{ij}=a_{ij}\) এর সহগুণক \(=(-1)^{i+j}\times{a_{ij}}\) এর অনুরাশি।
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাটিক্স নির্ণয়ঃ যদি \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তবে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত
ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj A\)
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট
Properties of Inverse Matrix
কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স মূল ম্যাট্রিক্সের সমান। অর্থাৎ \(A\) ম্যাট্রিক্স হলে \((A^{-1})^{-1}=A\) \(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(AB\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ঐ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের সমান। অর্থাৎ \(A\) একটি ম্যাট্রিক্স হলে \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^{t}\) কোনো ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান থাকলে তা হবে অনন্য। অর্থাৎ \(A^{-1}=B\) এবং \(A^{-1}=C\) হলে, \(B=C\) অব্যাতিক্রমী প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হবে। অর্থাৎ যদি \(A^{t}=A \Rightarrow \left(A^{-1}\right)^t=A^{-1}\) হয়। \(A\) ও \(B\) যদি একই ক্রমের অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে \(BA\) ও অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে এবং \((BA)A^{-1}=B\left(AA^{-1}\right)=B\)
অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স
Orthogonal Matrix
যদি কোনো ম্যাট্রিক্স \((A)\) কে এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স \((A^{t})\) দ্বারা গুণ করলে গুণফল অভেদক বা একক ম্যাট্রিক্স হয় অথবা যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স
বলে। অর্থাৎ \(A^{t}A=AA^{t}=I\) অথবা \(A^{t}=A^{-1}\) হলে, \(A\) ম্যাট্রিক্সটি হলো অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।
একঘাত সমীকরণ জোটঃ \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+ ... ... +a_{n}x_{n}=b \) কে \(x_{1}, \ x_{2}, ... ..., \ x_{n}\) চলকের একঘাত সমীকরণ বলা হয়, যেখানে \(a_{1}, \ a_{2}, ... ..., \ a_{n}\) হলো ধ্রুবক। এইরূপ একাধিক
একঘাত সমীকরণকে একত্রে একঘাত সমীকরণ জোট বলা হয়। নির্ণায়কের সাহায্যে সমসংখ্যক চলক ও সমীকরণবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করা যায়। সমাধান নির্ণয়ের এই পদ্ধতি ১৭৫০ খ্রিষ্টাব্দে সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার (Gabriel Cramer) ক্রেমার (১৭০৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৭৫২ খ্রিষ্টাব্দ) গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার ছিলেন জেনেভান গণিতবিদ। তিনি চিকিত্সক জিন ক্র্যামার এবং অ্যান মাললেট ক্র্যামারের পুত্র ছিলেন। প্রতিষ্ঠা করেন বিধায় একে ক্রেমারের নিয়ম (Cramer's Rule) বলা হয়।
ক্রেমারের নিয়মে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using cramer's rule
দুই চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট, \(a_{1}x+b_{1}y=c_{1} .......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y=c_{2} .......(2)\) এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1}
& b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|\ne{0}\) \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|\) এবং \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত
নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|\) এখন, \((1)\) ও \((2)\) বজ্রগুণ করে , \(a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0\) \(a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0\) \(\frac{x}{-b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1}}=\frac{y}{-c_{1}a_{2}+c_{2}a_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{1}-b_{1}c_{2}}=\frac{y}{c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\) \(\Rightarrow \frac{x}{\left|\begin{array}{c}c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}\right|}=\frac{y}{\left|\begin{array}{c}a_{1}
& c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}\right|}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right|}\) \(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\) \(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}\) \(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}\) ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solving combinations of linear equations in three variables
তিন চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধানঃ ধরি প্রদত্ত সমীকরণ জোট, \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} .......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} .......(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} .......(3)\)
এখানে \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি দ্বার গঠিত নির্ণায়ক, \(D=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\ne{0}\) \(x\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{x}=\left|\begin{array}{c}d_{1}
& b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|\) \(y\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{y}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3}
\end{array}\right|\) এবং \(z\) এর সহগের পরিবর্তে ধ্রুবক পদ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \(D_{z}=\left|\begin{array}{c}a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{array}\right|\) এখন, \(\frac{x}{D_{x}}=\frac{y}{D_{y}}=\frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{D_{x}}=\frac{1}{D}, \ \frac{y}{D_{y}}=\frac{1}{D}, \ \frac{z}{D_{z}}=\frac{1}{D}\) \(\therefore x=\frac{D_{x}}{D}, \ y=\frac{D_{y}}{D}, \ z=\frac{D_{z}}{D}\) ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ জোটের সমাধান।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণ জোটের সমাধান
Solution of system of linear equations using inverse myatrix
কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলির যোগফলকে ঐ বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। এর ট্রেস বলা হয়।
যেমনঃ
\(-4\)
\(6\)
\(3\)
\( \ \ \ 5\)
\(9\)
\(7\)
\(-3\)
\(7\)
\(1\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। যার ট্রেস \(=-4+9+1\) \(=-4+10\) \(=6\)
কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল (ক্রম বর্জন করে) গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে।
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r \ (r\le{n})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত \(^{n}C_{r}\) বা \(C(n,r)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তিনটি বস্তু \(A, \ B, \ C\) থেকে দুইটি করে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দলগুলি হবে- \(AB, \ AC, \ BC\)
আবার, \(3\) টি বস্তু একবারে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দল হবে- \(ABC\)
উপরের প্রত্যেকটি দলকে এক একটি সমাবেশ বলা হয়।
বিভিন্ন বস্তুর সমাবেশ
Combination of different things
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\); যেখানে, (\(n\) এবং \(r\) প্রত্যেকেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) ) \(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) তাহলে প্রত্যেক সমাবেশে \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন প্রত্যেক সমাবেশের অন্তর্গত \(r\) সংখ্যক বস্তুকে তাদের নিজেদের মধ্যে বিভিন্ন উপায়ে বিন্যাস করলে \(^{r}P_{r}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে। এরূপ \(^{n}C_{r}\) সংখ্যক সমাবেশ থেকে \(r!\times{^{n}C_{r}}\) সংখ্যক বিন্যাস পাওয়া যাবে এবং এটি \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার সমান।
সুতরাং \(^{r}P_{r}\times{^{n}C_{r}}={^{n}P_{r}}\)
\(\Rightarrow r!\times{^{n}C_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\) ➜
\(\because {^{n}P_{n}}=n!\)
এবং \({^{n}P_{r}}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(\therefore {^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে, তাদের \(r \ (r\ge{p})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ সংখ্যাঃ
\[{\sum_{i=0}^{p}}{^{n-p}C_{r-i}}={^{n-p}C_{r}}+{^{n-p}C_{r-1}}+{^{n-p}C_{r-2}}+...+{^{n-p}C_{r-p}}\] উদাহরণঃ \(DHAKA\) শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(DHAKA\) শব্দটিতে মোট \(5\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(A\) এবং \(3\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।
বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে বাছাইয়ের উপায় \(={^{5-2}C_{3}}+{^{5-2}C_{3-1}}+{^{5-2}C_{3-2}}\)
\(={^{3}C_{3}}+{^{3}C_{2}}+{^{3}C_{1}}\)
\(=1+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}\) ➜
\(\because {^{n}C_{n}}=1\)
এবং \({^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=7\) অনুসিদ্ধান্তঃ \(p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে কমপক্ষে \(r \ (r\le{p})\) সংখ্যক বস্তু বাছাইয়ের উপায়ঃ
\[{\sum_{i=r}^{p}}{^{p}C_{i}}={^{p}C_{r}}+{^{p}C_{r+1}}+{^{p}C_{r+2}}+...+{^{p}C_{p}}\] অনুসিদ্ধান্তঃ \[{\sum_{r=0}^{n}}{^{n}C_{r}}=2^n\] \(^nC_{n}=1\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}\) ➜
যখন, \(r=n\)
\(=1\)
\(\therefore {^{n}C_{n}}=1\)
\(n\) সংখ্যক বস্তু সবগুলো একত্রে নিয়ে \(^{n}C_{n}\) সংখ্যক অর্থাৎ একটি মাত্র সমাবেশ পাওয়া যায়।
সম্পূরক সমাবেশ
Complementary combination
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \((n-r)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যার সমান। \(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-n+r)!}\) ➜
যখন, \(r=n-r\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}C_{r}}={^{n^{\prime}}C_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}C_{r}}={^{n}C_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\) \(^nC_{0}=1\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
সুতরাং \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\Rightarrow {^{n}C_{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}\) ➜
যখন, \(r=0\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে, সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \((r-p)\) সংখ্যক বস্তু সব রকমে বেছে নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r-p}}\) সমাবেশগুলির প্রত্যেকের সঙ্গে ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু মিলিত করলে, সমাবেশগুলির প্রত্যেকটিতে \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি সব সময় থাকবে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\) উদাহরণঃ \(8\) জন বালক ও \(2\) জন বালিকার মধ্যে থেকে বালিকাদের,
\((a)\) সর্বদা গ্রহণ করে
\((b)\) সর্বদা বর্জন করে \(6\) জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
সমাধানঃ
\((a)\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা গ্রহণ করলে \(8\) জন বালক থেকে \(4\) জনকে নিতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{4}}\times{^2C_{2}}\)
\(=\frac{8!}{4!(8-4)!}\times1\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
বালিকা \(2\) জনকে সর্বদা বর্জন করলে \(8\) জন বালক থেকে \(6\) জনকে নিতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা \(={^8C_{6}}\times{^2C_{0}}\)
\(=\frac{8!}{6!(8-6)!}\times1\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{0}}=1\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কোনো সময় না থাকে, সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
প্রমাণঃ
নির্দিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তু কোনো সময় থাকবে না। অতএব, ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তু বাদ রেখে অবশিষ্ট \((n-p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত \({^{n-p}C_{r}}\) সমাবেশগুলির কোনো সময়ই ঐ \(p\) সংখ্যক বস্তুগুলি থাকবে না।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার অন্তত একটি বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা, সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
প্রমাণঃ
প্রত্যেক বস্তুকে গ্রহণ করা বা বর্জন করা যায়। সুতরাং প্রত্যেকটি বস্তুর জন্য \(2\) টি উপায়ে গ্রহণ বা বর্জন করা যায়। এরূপ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর জন্য মোট উপায়ের সংখ্যা \(=2\times2\times2 ... ... n \ \text{সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত}\)
\(=2^n\)
কিন্তুএর ভিতর সকলকে বর্জন করার উপায়ও অন্তর্ভুক্ত।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\) উদাহরণঃ \(5\) টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত \(1\) টি স্বরবর্ণ বাছাই উপায় \(=2^5-1\)
\(=32-1\)
\(=31\)
\(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় , \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় এবং \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন হলে যেকোনো সংখ্যক নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং ৩য় প্রকারের \(r\) সংখ্যক বস্তু আছে। এখন \(p\) সংখ্যক বস্তু হতে \(1\) টি, \(2\) টি \(... .... ..., \ p\) সংখ্যকটি অথবা একটিও না নেয়া যেতে পারে। অর্থাৎ \((p+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যেতে পারে।
অনুরূপভাবে, \(q\) সংখ্যক বস্তু \((q+1)\) সংখ্যকভাবে এবং \(r\) সংখ্যক বস্তু \((r+1)\) সংখ্যকভাবে সমাবেশ করা যায়।
আবার, \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর প্রত্যেকটির জন্য দুই রকম উপায়ে গ্রহণ করা যায়। সুতরাং, মোট \(2^{k}\) সংক্যক উপায়ে গ্রহণ করা যায়।
\(p, \ q, \ r\) ও \(k\) সংখ্যক বস্তু থেকে যেকোনো সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সমাবেশ \((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}\) এর মধ্যে একটি সমাবেশে কোনো বস্তু উপস্থিত থাকবে না। তাই সমাবেশ সংখ্যা হবে
\((p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\) \(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় এবং \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় হলে প্রতিটির অন্ততঃ একটি নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=(2^{p}-1)(2^{q}-1)(2^{r}-1)\) অনুসিদ্ধান্তঃ ১ম প্রকারের \(p\) সংখ্যক, ২য় প্রকারের \(q\) সংখ্যক এবং \(r\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)2^r-1\) উদাহরণঃ \(4\) টি দুই টাকা, \(1\) টি দশ টাকা, \(3\) টি বিশ টাকা এবং \(1\) টি একশত টাকার নোট হতে টাকা নেওয়ার উপায় \(=(4+1)(3+1)2^2-1\)
\(=5\times4\times4-1\)
\(=80-1\)
\(=79\)
নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু একাধিক ভাগে বিভক্ত হওয়ার সমাবেশ সংখ্যা, সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
প্রমাণঃ
মনে করি,
\(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তুকে \(n\) সংখ্যক ভাগে বিভক্ত করতে হবে যেন ভাগগুলিতে \(p_{1}, \ p_{2}, \ p_{3}, ..., \ p_{n}\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
প্রথম ধাপে \(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{1}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}\) উপায়ে।
দ্বিতীয় ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{2}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}\) উপায়ে।
অনুরূপভাবে, \(n\) তম ধাপে \(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}\) সংখ্যক বস্তু হতে \(p_{n}\) সংখ্যক বস্তু নেয়া যাবে \(^{p_{n}}C_{p_{n}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) মোট সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{1}}}\times{^{p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}}C_{p_{2}}}\times{... ... }\times{^{p_{n}}C_{p_{n}}}\)
\(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{1})!}\times\frac{(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{2}!(p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n}-p_{2})!}\times{... ... }\times\frac{p_{n}!}{p_{n}!(p_{n}-p_{n})!}\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \((m+n+p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(m, \ n\) ও \(p\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে তিনটি ভাগে বিভক্ত করার সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\) অনুসিদ্ধান্তঃ \(m=n=p\) হলে, তিনটি ভাগ একই হবে এবং এক্ষেত্রে ভাগগুলিকে নিজেদের মধ্যে \(3!\) উপায়ে বিন্যাস করা যায়।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
আবার, বস্তুগুলিকে তিনজন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\) উদাহরণঃ \(52\) খানা তাস \(4\) টি ভাগে সমানভাবে ভাগ করার উপায় \(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
কিন্তু \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) এর প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে। সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। নির্বাচিত \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) অথবা \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{2}C_{1}}=2\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তুকে অপর দলে অন্তর্ভুক্ত করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times2\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\times2\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\) উদাহরণঃ এক দলে \(2\) জন ও অন্য দলে \(4\) জন অন্তর্ভুক্ত করে \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে ভাগ করার উপায় \(=\frac{2!6!}{2!4!}\)
\(=\frac{6.5.4!}{4!}\)
\(=30\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\) এর প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে। সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
প্রমাণঃ
\((p+q)\) সংখ্যক বস্তু থেকে প্রতিবারে \(p\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{p+q}C_{p}}\) উপায়ে। অতঃপর অবশিষ্ট \(q\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(q\) সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করা যায় \({^{q}C_{q}}=1\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{p+q}C_{p}}\times1\)
\(=\frac{(p+q)!}{p!(p+q-p)!}\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\) উদাহরণঃ \(12\) জন সদস্যের একটি কমিটি থেকে \(7\) জন ও \(5\) জনের দুইটি উপকমিটি গঠনের উপায় \(=\frac{12!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8.7!}{7!5!}\)
\(=\frac{12.11.10.9.8}{120}\) ➜
\(\because 5!=120\)
\(=792\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\) এর প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে সমানভাবে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(A\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে \(B\) দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\) উদাহরণঃ \(6\) জন ব্যক্তিকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে \(3\) জন করে অন্তর্ভুক্ত করার উপায় \(=\frac{6!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4.3!}{(3!)^2}\)
\(=\frac{6.5.4}{3!}\)
\(=\frac{6.5.4}{6}\) ➜
\(\because 3!=6\)
\(=20\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\) এর প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
প্রমাণঃ
\(2p\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(p\) সংখ্যক বস্তুকে একটি দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{2p}C_{p}}\) উপায়ে এবং অবশিষ্ট \(p\) সংখ্যক বস্তুকে অন্য দলে অন্তর্ভুক্ত করা যাবে \({^{p}C_{p}}\) উপায়ে। কিন্তু উভয় দলেই \(p\) সংখ্যক বস্তু থাকায় তাদের মধ্যে পরস্পর বিনিময় করলেও সমাবেশের কোনো পরবর্তন হয় না।
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(={^{2p}C_{p}}\times{^{p}C_{p}}\times\frac{1}{2!}\)
\(=\frac{(2p)!}{p!(2p-p)!}\times1\times\frac{1}{2!}\) ➜
\(\because {^nC_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
এবং \({^nC_{n}}=1\)
\(=\frac{(2p)!}{2!p!p!}\)
\(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
\(\therefore\) সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি গ্রুপে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\) অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\) অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B, \ C\) ও \(D\) \(4\) টি গ্রুপে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\) অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
সূত্রের ব্যাখ্যাঃ
সূত্রের ব্যাখ্যাঃ
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((ab, \text{ ও} \ cd)\) অথবা \((ac, \text{ ও} \ bd)\) অথবা \((ad, \text{ ও} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{2!(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{(2)^2}\) ➜
\(\because 2!=2\)
\(=\frac{4.3}{4}\)
\(=3\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে \(A\) ও \(B\) দুইটি গ্রুপে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((A \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bd)\)
অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bc)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3.2!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2}\) ➜
\(\because 2!=2\)
\(=6\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
\(52\) খানা তাস সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
\(52\) খানা তাস চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{(13!)^4}\)
\(^nC_{r}\) এর বৃহত্তম মান
Greatest value of \(^nC_{r}\)
আমরা জানি, \(^nC_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\)
এবং \(^nC_{r-1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}\)
এখন, \(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}\)
\(\therefore \frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
এখন, \(^nC_{r}\gt{^nC_{r-1}}\) বা, \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\) বা, \(^nC_{r}\lt{^nC_{r-1}}\) হয়।
তাহলে, \(n-r+1\gt{r}\) বা, \(n-r+1=r\) বা, \(n-r+1\lt{r}\) হয়।
\(\Rightarrow n+1\gt{2r}\) বা, \(n+1=2r\) বা, \(n+1\lt{2r}\) হয়।
\(\Rightarrow 2r\lt{n+1}\) বা, \(2r=n+1\) বা, \(2r\gt{n+1}\) হয়।
\(\therefore r\lt{\frac{1}{2}(n+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(n+1)}\) হয়। \(n\) জোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m \Rightarrow m=\frac{n}{2}\)
তাহলে, \(r\lt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(2m+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) হয়।
\(\Rightarrow r\lt{m+\frac{1}{2}}\) বা, \(r=m+\frac{1}{2}\) বা, \(r\gt{m+\frac{1}{2}}\) হয়।
কিন্তু \(r\) এবং \(m\) পূর্ণ সংখ্যা বলে, \(r\) এর মান \(m+\frac{1}{2}\) হতে পারে না।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+\frac{1}{2}}\) অর্থাৎ \(r\) এর \(1\) হতে \(m\) পর্যন্ত সকল মানের জন্য \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং \(r\) এর \(m+1\) হতে পরবর্তী সকল মানের জন্য পদ প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ হতে ক্ষুদ্রত্তর হবে।
অতএব, \(r=m \Rightarrow r=\frac{n}{2}\) হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে। \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m+1 \Rightarrow m=\frac{1}{2}(n-1)\)
\(\Rightarrow m+1=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{1}{2}(n+1)\)
তাহলে, \(r\lt{m+1}\) বা, \(r=m+1\) বা, \(r\gt{m+1}\) হয়।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+1},\) \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং যখন \(r=m+1,\) তখন \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\)
\(\Rightarrow ^nC_{m+1}=\ ^nC_{m}\)
আবার, \(r\gt{m+1}\) হলে, ঐ ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।
সুতরাং এই ক্ষেত্রে \(^nC_{m}\) এবং \(^nC_{m+1}\) সমান এবং বাকিগুলির যে কোনোটি অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
অতএব, \(^nC_{r}\) বৃহত্তম হবে যখন \(r=m\) বা \(r=m+1\) হবে।
অর্থাৎ যখন \(r=\frac{1}{2}(n-1)\) বা \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) হবে।
ভেক্টর নির্দেশক রেখাংশের প্রারম্ভিক বিন্দু এবং প্রান্তবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে ভেক্টরের মাণ বলা হয়। \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরের মাণকে \(|\overrightarrow{V}|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
বিপরীত ভেক্টর
Opposite Vector
দুইটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ সমান তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল কিন্তু দিক বিপরীতমুখী এরূপ ভেক্টরকে একে অপরের বিপরীত ভেক্টর বলা হয়। যেমনঃ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}\) এবং বিপরীত ভেক্টর \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{v};\)
\(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) এর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু এরা পরস্পর বিপরীতমুখী।
একক ভেক্টর
Unite Vector
কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ \(\) (এক) হলে তাকে একক ভেক্টর বলে। মাণ শন্য নয় এরূপ একটি ভেক্টরকে তার মাণ দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টর রাশিটির দিক বরাবর অথবা তার সমান্তরাল বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। একক ভেক্টর প্রকাশের জন্য ভেক্টর প্রতীক হিসেবে হ্যাট \((\hat{})\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। যেমনঃ অক্ষ রেখা বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
আবার
\(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|,\) যেখানে \(|\overline{a}|\ne{0}\)
তাহলে, \(\overline{a}\) এর একক ভেক্টর অথবা সমান্তরাল একক ভেক্টর, \(\hat{a}=\pm{\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}}\) \(\overline{a}\) এর দিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\) \(\overline{a}\) এর বিপরিতদিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=-\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\)
সমরৈখিক ভেক্টর
Collinear Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টর একটি সরলরেখার সমান্তরাল হলে, তবে তাদেরকে সমরৈখিক বা সমান্তরাল ভেক্টর বলে।
যদি \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয় সমরৈখিক হয় তবে \(\overline{A}=m\overline{B};\) যেখানে \(m\) একটি স্কেলার ।
সমতলীয় ভেক্টর
Coplanar Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন হলে, তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।
দুইটি ভেক্টরের অন্তরভুক্ত কোণ
The angle between two vectors
ধরা যাক, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর এদের ধারক রেখাদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে \(0<\theta<\pi\) কোণ উৎপন্ন হয়।
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র
Triangle law of vector addition
যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু একই ক্রমে দিকে ও মাণে দুইটি ভেক্টর রাশিকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) ভেক্টর দুইটিকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{BC}\) দ্বারা সূচিত করা হলো। \(\overrightarrow{AB}\) এর প্রারম্ভিকবিন্দু \(A\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) এর প্রান্তবিন্দু \(B\) এর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা গঠিত ভেক্টর \(\overrightarrow{AC}\) পূর্বোক্ত ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করবে যাকে \(\overline{R}\) দ্বারা সূচীত করা হলো।
সুতরাং , \(\overline{P}+\overline{Q}=\overline{R}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র
Parallelogram law of vector addition
কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহুদ্বয় যদি কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি ভেক্টরের মাণ ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) দ্রঃ দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য নয়, কিন্তু ত্রিভুজ বিধি সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য হবে।
ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্র
Polygon law of vector addition
দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে একই ক্রমে ভেক্টরগুলিকে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভিকবিন্দু এবং শেষ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু যোগ করে একটি বহুভুজ অঙ্কন করলে বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
দুইটি ভেক্টরের বিয়োগ
Subtraction of two vectors
ভেক্টরের বিয়োগের ক্ষেত্রে যে ভেক্টর বিয়োগ করতে হবে তার ঋণাত্মক ভেক্টরকে অপর ভেক্টরের সাথে যোগ করলেই বিয়োগফল পাওয়া যায়।
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
এদের বিয়োগফল হবে,
\(\overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\)
অথবা, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) দ্রঃ ভেক্টরদ্বয়ের প্রান্তবিন্দুর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা তাদের বিয়োগফল প্রকাশিত হয়। প্রথম ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু পরে এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু প্রথমে হয়।
ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণিতক
Scalar Multiple of Vector
ধরি, \(\overline{a}\) একটি ভেক্টর এবং \(m\) একটি স্কেলার। \(m\overline{a}\) দ্বারা ভেক্টর \(\overline{a}\) এর \(m\) গুণিতক বোঝায়। \(m\) গুনিতকের বিবরণ নিম্নে দেওয়া হলো।
\(\overline{a}=\underline{0}\) হলে,
\(m\overline{a}=\underline{0}\)
\(\overline{a}\ne{\underline{0}}\) হলে,
\(m\overline{a}\) এবং \(\overline{a}\) এর ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। \(m\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্য \(\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্যের \(m\) গুণ হবে। অর্থাৎ, \(|m\overline{a}|=m|\overline{a}|\) হবে। \(m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক একই হবে যখন, \(m>0\) \(m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক পরস্পর বিপরীত হবে যখন, \(m<0\)
\(m\) গুনিতকের বিশেষ বিধি
\((mn)\overline{a}=m(n)\overline{a}\) \(m(-\overline{a})=(-m)\overline{a}=-m\overline{a}\) \((-1)\overline{a}=-\overline{a}\) \(0\overline{a}=\underline{0}\) (এখানে, বামপক্ষের শূন্যটি স্কেলার কিন্তু ডানপক্ষের শূন্যটি ভেক্টর ) \(m=\frac{\overline{a}}{\overline{b}} \Rightarrow \overline{a}=m\overline{b}\) দ্রঃ যদি দুইটি অশূণ্য ভেক্টরের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হয়, তবে একটি ভেক্টরকে অন্যটির একটি স্কেলার গুণিতক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টর অপারেশন
Vector operations in three-dimensional Space
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে। \(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\) ( যোগের বিনিময় বিধি ) \(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\) ( যোগের সংযোগ বিধি ) \(m\overline{a}=\overline{a}m\) ( গুণের বিনিময় বিধি ) \(m(n\overline{a})=(mn)\overline{a}\) ( গুণের সংযোগ বিধি ) \(m(\overline{a}+\overline{a})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ( বন্টন বিধি )
দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের বিশেষ বিধি
Spacial Law of two Dimensional Vector
এখানে, \(\overline{a}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে। \(\overline{a}+\underline{0}=\underline{0}+\overline{a}=\overline{a}\) ( যোগের অভেদক বিধি ) \(\overline{a}+(-\overline{a})=\underline{0}\) ( যোগের বিপরীতক বিধি ) \((m+n)\overline{a}=m\overline{a}+n\overline{a}\) ( বন্টন বিধি ) \(1(\overline{a})=\overline{a}\) ( গুণের অভেদক বিধি )
সমতলে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in a Plane
যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসম ভেক্টর হয়, তবে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ এককভাবে প্রকাশ করা যাবে।
অর্থাৎ, \(\overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)
আয়ত একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}\)
Unite Vector \(\hat{i}, \hat{j}\)
কার্তেসীয় সমতলে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর যথাক্রমে একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) কে আয়ত একক ভেক্টর বলা হয়। \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) পরস্পর লম্ব দুইটি একক ভেক্টর।
এখানে, \(|\hat{i}|=|\hat{j}|=1\)
কার্তেসীয় স্থানাংককে ভেক্টরে এবং ভেক্টরকে কার্তেসীয় স্থানাংকে প্রকাশ
Represention of Vector in Cartesian Co-ordinates and Cartesian Co-ordinates in Vector
ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
আবার, \(\triangle{PON}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜
\(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)
অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in two Dimension Space
কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)
ভেক্টর বহিঃর্বিভক্তিকরণ সূত্র
Vector extrinsic formula
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}-n\overline{a}}{m-n}\)
অনুসিদ্ধান্ত-১
Postulate-1
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
অনুসিদ্ধান্ত-২
Postulate-2
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(C, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে, \(2\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)\(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রঃ
কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহুদ্বয় যদি কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি ভেক্টরের মাণ ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
একটি কণার উপর একই সময়ে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত। \(AB\) এবং \(AD\) রেখাংশ দুইটি যথাক্রমে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) এর মাণ এবং তীর চিহ্ন তাদের দিক নির্দেশ করছে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}=\overline{P}, \overrightarrow{AD}=\overline{Q}\)
এখানে, \(\angle{DAB}=\alpha\)
এই দুইটি ভেক্টর রাশির লব্ধি নির্ণয় করতে হবে।
\(ABCD\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি এবং \(A, C\) যুক্ত করি।
তাহলে \(AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overline{Q}\)
এখান, \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore\ \overline{R}=\overline{P}+\overline{Q}\)
\(\therefore AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করে।
ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্রঃ
দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে একই ক্রমে ভেক্টরগুলিকে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভিকবিন্দু এবং শেষ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু যোগ করে একটি বহুভুজ অঙ্কন করলে বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ , \(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত ভেক্টরগুলির মাণ ও দিক যথাক্রমে \(ABCDE\) বহুভুজের বাহু \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}\) ও \(\overrightarrow{DE}\) বরাবর নির্দেশ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
\(ABCDE\) বহুভুজে \(A, C\) এবং \(A, D\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} .........(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ACD}\) ও \(\triangle{ADE}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(2)\)
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE} .........(3)\)
\((1)\) হতে \(\overrightarrow{AC}\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(4)\)
\((4)\) হতে \(\overrightarrow{AD}\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
( প্রমাণিত )
দুইটি ভেক্টরের বিয়োগঃ
ভেক্টরের বিয়োগের ক্ষেত্রে যে ভেক্টর বিয়োগ করতে হবে তার ঋণাত্মক ভেক্টরকে অপর ভেক্টরের সাথে যোগ করলেই বিয়োগফল পাওয়া যায়।
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
এদের বিয়োগফল হবে,
\(\overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\)
অথবা,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\) ➜
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
আবার,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
( প্রমাণিত ) দ্রঃ ভেক্টরদ্বয়ের প্রান্তবিন্দুর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা তাদের বিয়োগফল প্রকাশিত হয়। প্রথম ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু পরে এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু প্রথমে হয়।
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \ \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\) ( যোগের বিনিময় বিধি )
প্রমাণঃ
ধরি,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(OACB\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\) সামান্তরিক সূত্র মতে,
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c}\)
\(OA\) এবং \(BC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
আবার, \(OB\) এবং \(AC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c} ....(1)\)
আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{b}+\overline{a}=\overline{c} ...(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \ \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\) ( যোগের সংযোগ বিধি )
প্রমাণঃ
ধরি,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{d}\)
\(OABC\) চতুর্ভুজটি অঙ্কন করি,
\(O, B\) এবং \(A, C\) সংযোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
আবার, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c} ...(2)\) ➜
\(\because \overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)
আবার, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{d}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) ...(3)\) ➜
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c}\)
আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overline{d}=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} ...(4)\) ➜
\(\because \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\)
( প্রমাণিত )
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(m\overline{a}=\overline{a}m\) ( গুণের বিনিময় বিধি )
প্রমাণঃ
ধরি,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜
\(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=(1+m_{1})\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=m\overline{a} .....(1)\) ➜
যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜
\(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}(1+m_{1})\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overline{a}m .....(2)\) ➜
যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(m\overline{a}=\overline{a}m\)
( প্রমাণিত )
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(m(n\overline{a})=(mn)\overline{a}\) ( গুণের সংযোগ বিধি )
প্রমাণঃ
ধরি,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜
\(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(1+m_{1})n\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore n\overrightarrow{OP}=(mn)\overline{a} .....(1)\) ➜
যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜
\(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mn)\overline{a}=m(n\overline{a})\)
( প্রমাণিত )
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \ \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(m(\overline{a}+\overline{a})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ( বন্টন বিধি )
প্রমাণঃ
ধরি,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{c}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{c}\)
আবার ধরি, \(\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\)
\(AB\parallel{PQ}\) আঁকি, যেন বর্ধিত \(OB\) রেখা \(PQ\) কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(O, B, Q\) একই সরলরেখা \(OQ\) তে অবস্থিত। সদৃশ \(\triangle{OAB}\) ও \(\triangle{OPQ}\) থেকে,
\(\frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{mOA}\) ➜
\(\because \overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}\)
যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসম ভেক্টর হয়, তবে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ এককভাবে প্রকাশ করা যাবে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
\(OA, OB, OC\) তিনটি রেখা একই সমতলে অবস্থান করে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(OX\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{a}, \ OY\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{r}\)
যেখানে, \(OACB\) সামান্তরিকের কর্ণ \(OC\) এবং \(OA\) ও \(OB\) সন্নিহিত দুইটি বাহু।
সুতরাং, দুইটি স্কেলার \(m\) ও \(n\) এর জন্য
\(\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=n\overline{b}\)
\(OACB\) সামান্তরিক হতে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
যেহেতু, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) বরাবর সন্নিহিত বাহু দ্বারা একটি মাত্র সামান্তরিক অঙ্কন করা যায়, যার কর্ণ \(\overrightarrow{OC},\) সুতরাং ইহা স্পষ্ট যে, \(\overline{r}\) কে এককভাবে বিশ্লেষণ করা যায়।
এখানে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)
কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)
প্রমাণঃ
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
আবার, \(\triangle{OBP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)
প্রশ্ন মতে,
\(AP:PB=m:n\)
\(\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nAP=mPB\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}\)
\(\Rightarrow n(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\) ➜
\(\because \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)
সম্ভাবনা শব্দটি প্রাত্যহিক জীবনে আমরা সচরাচর ব্যবহার করে থাকি ।“আগামীকাল ঢাকা বিভাগের কয়েকটি স্থানে অন্থায়ী দমকা হাওয়াসহ হালকা বৃষ্টি অথবা ব্জ্রসহ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা আছে। দেশের অন্যত্র আবহাওয়া প্রধানত শুষ্ক থাকতে পারে । “ছেলেটির এবার পাস করার সম্ভাবনা নেই” । আগামী বিশ্বকাপ ক্রিকেট খেলায় ইংল্যাভ দলের বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনা আছে । দৈনদ্দিন জীবনে আমরা এই ধরনের প্রশাসনিক, সামাজিক, অর্থনৈতিক, রাজনৈতিক ইত্যাদি নানা প্রকার সম্ভাবনা সংবলিত মন্তব্য ও ভবিষ্যদ্বাণী শুনতে পাই। প্রতিটি মন্তব্যের বেলায়ই মন্তব্যকারীর মনে সম্ভাবনা সন্বন্ধীয় একটি ধারণা দেখা যায়। পরিসংখ্যানবিদগণ সম্ভাবনার ক্ষেত্রে এই ধারণাশুলিকে সূক্ষ্ণভাবে যাচাই করে সুনির্দিষ্ট সংখ্যাভিত্তিক পরিমাপ ব্যবহার করেন|
সম্ভাবন্যা সবসময়ই পরোজনীয় গাণিতিক তথ্যের ভত্তিতে নির্ণয় করা হয়। জুয়া খেলার আড্ডা থেকেই মূলত সম্ভাবনা তুত্ত্বের সৃষ্টি হয়েছে । ইতালির গণিতবিদ গ্যালিলিও (Galileo) সর্বপ্রথম সম্ভাবনার একটি গাণিতিক পরিমাপ উদ্ভাবন করেন। সংজ্ঞাঃ কোনো ঘটনা ঘটবে কি ঘটবে না তার নিশ্চয়তার মাত্রা পরিমাপক রাশিকে সম্ভাব্যতা বলা হয়।
সম্ভাবনার কিছু মৌলিক ধারণা
Some fundamental Concept of Probability
পরীক্ষা (Experiment): যদি কোনো একটি কাজ একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় কতকগুলি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ সাপেক্ষে পুনরাবৃত্তি করা যায় তাকে পরীক্ষা বলা হয়। অন্যভাবে বলা যায়, পরীক্ষা হলো কোনো একটি ঘটনা ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্ণয়ের একটি উপায়। তাই শর্তসাপেক্ষে পুনরাবৃত্তি ঘটানো যায় এমন কাজই পরীক্ষা বা পরীক্ষণ। উদাহরণঃ একটি শ্রোণিতে 80 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্য থেকে পুনঃস্থাপন না করে 5 জনকে নির্বাচিত করে একটি দল গঠন করা হবে । দৈবচয়ন ভিতিতে প্রত্যেকবার একজন করে পাঁচজনকে নির্বাচিত করা একটি পরীক্ষা । আবার, একটি অনপেক্ষ মুদ্রা শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে হেভ বা টেল উপরের দিকে উঠতে পারে । মুদ্রাটিকে বেশ কয়েকবার নিক্ষেপ করে উপরে হেড (Head) কতবার এসেছে বা টেল (Tail) কতবার এসেছে তা নির্ণয় করাও একটি পরীক্ষা।
দৈব্য পরীক্ষা
Random Experiment
কোনো পরীক্ষা সম্পাদনের আগে এর সম্ভাব্য সকল কলাফলণুলি জানা থাকে কিন্তু কোন ফলটি ঘটবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না এবং একেকবার একেকটি ফলাফল আসে, তাকে দৈব পরীক্ষা বলা হয়। সুতরাং সম্ভাবনার সাথে যুক্ত সকল পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে । উদাহরণঃ একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় সম্ভাব্য ফলগুলি হবে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) ও \(6\) বিন্দুবিশিষ্ট সংখ্যা । কিন্তু নিক্ষেপের পূর্বে নিশ্চিতভাবে বলা যাবে না কোন সংখ্যাটি উপরে আসবে। তাই এ ধরনের পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলা হর
ট্রায়াল বা চেষ্টা
Trial
(Trial): কোনো ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য কতকগুলি নির্দিষ্টি শর্তের অধীনে একটি কাজ যতবারে সম্পন্ন করা হয় তাদের প্রত্যেকটিকে ট্রায়াল বা চেষ্টা বলা হয়। অর্থাৎ কোনো পরীক্ষার অন্তর্গত প্রতিটি ট্রায়াল হলো পরীক্ষাটির এক একটি অংশ। মূলত পরীক্ষার ক্ষুদ্রতম একক হলো চেষ্টা বা ট্রায়াল । উদাহরণঃ একটি শ্রেণিতে 40 জন ছাত্র ও 30 জন ছাত্রী আছে। তাদের মধ্য খেকে দৈবচয়ন ভিত্তিতে তিনবারের ড্র এর মাধ্যেমে তিনজনকে নির্বাচিত করা হলে হলে প্রত্যেকবার একজনকে নির্বাচন করা হলো এক একটি ট্রায়াল। এ পরীক্ষায় তিনটি ট্রায়াল থাকবে । একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে প্রত্যেকবারের নিক্ষেপ এক একটি ট্রায়াল ।
ঘটনা
Event
কোনো পরীক্ষার অন্তর্গত এক একটি ট্রায়াল এর ফলাফল বা ফলাফলের সমাহারকে ঘটনা বলা হয়। নমুনাক্ষেত্রের যে কোনো উপসেটই ঘটনা । নমুনা বিন্দুর নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট দ্বারা ঘটনার নামকরণ করা হয় । ঘটনাকে সাধারণত ইংরেজি বড় অক্ষর \(A, \ B, \ C\) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উদাহরণঃ একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নিয়ে একটি ঘটনা হবে, \(A=\{2, \ 4, \ 6\}\) এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নিয়ে অপর ঘটনাটি হবে, \(B=\{3, \ 6\}\) । তাই এগুলি এক একটি ঘটনা। যেহেতু ঘটনা একটি বিশেষ ধরনের সেট। তাই কোনো নমুনাক্ষেত্রের এক একটি ঘটনাকে আয়তাকার ক্ষেত্রের অন্তর্গত এক একটি বৃত্ত-দ্বারা ভেনচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়। পাশের চিত্রে ঘটনা \(A\) ও \(B\) এর ভেনচিত্র দেওয়া হলো ।
নমুনাক্ষেত্র
Sample Space
একই শর্তাধীনে পরিচালিত একটি পরীক্ষার প্রতিটি ট্রায়াল এর প্রত্যেকটি কল্পনীয় বা পর্যবেক্ষিত ফলাফলকে নমুনা বিন্দু বা ঘটনা বলা হয় এবং এ সকল নমুনা বিন্দুর সমাহারকে নমুনাক্ষেত্র বলা হয়। নমুনাক্ষেত্র হলো পরীক্ষার ফলাফলের গাণিতিক উপস্থাপন। সুতরাং কোনো একটি দৈব পরীক্ষা হতে প্রাপ্ত সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে । একে \(S\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উদাহরণঃ মনে কর, একটি পরিবারের 2 জন সন্তান আছে এবং এক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র হবে \(\mathcal{S} = \{ (b, b), \ (b, g), \ (g, b), \ (g,g)\};\) এখানে বালক এবং বালিকাকে যথাক্রমে \(b\) এবং \(g\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। এখানে চারটি নমুনাবিন্দু নিয়ে নমুনাক্ষেত্র গঠিত হয়েছে। নমুনাক্ষেত্র দুই ধরনের।
যথা- বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন।
বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা ঘটন জগত
Discrete sample space
কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রে যদি নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সসীম হয় বা গণনাযোগ্য অসীম হয়, তবে তাকে বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা বিচ্ছিন্ন ঘটন জগত বলা হয়। উদাহরণঃ দুইটি নিরপেক মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে বে নমুনাক্ষেত্র গঠিত হবে তা একটি বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র। এই বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্রটি হবে \(S=\{HH, \ HT, \ TH, \ TT\}\)
অবিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা ঘটন জগত
Continuous sample space
কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রে যদি নমুনা বিন্দুর সংখ্যা অসীম হয়, তবে তাকে অবিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা অবিচ্ছিন্ন ঘটন জগত বলা হয়। উদাহরণঃ দৈব নিয়মে এক থেকে তিনের মধ্যে বাস্তব সংখ্যা নির্বাচন। এটি একটি অবিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র হবেঃ
নমুনাক্ষেত্রটিঃ \(S=\{x/x \text{ এক থেকে তিনের মধ্যে বাস্তব সংখ্যা বা} \} 1\le{x}\le{3}\)
সরল ঘটনা
Simple Event
একটি মাত্র নমুনাবিন্দু নিয়ে গঠিত ঘটনাকে সরল ঘটনা বলা হয়। অন্যভাবে বলা যায়, যে সকল ঘটনাকে কখনও বিশ্লেষণ করা যায় না ঐগুলিকে সরল ঘটনা বলা হয়। সুতরাং নমুনাক্ষেত্রের প্রত্যেকটি উপাদান দ্বারা গঠিত ঘটনাই সরল ঘটনা। উদাহরণঃ একটি ছক্কাকে একবার শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র হবে \(S=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\}\) । এ পরীক্ষায় \(6\) টি সরল ঘটনা হবে কেননা নমুনাক্ষেত্রের নমুনাবিন্দুর সংখ্যা ছয়।
যৌগিক ঘটনা
Compound Event
একাধিক নমুনা বিন্দু নিয়ে গটিত ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলা হয়। অন্যভাবে যে সকল ঘটনাকে কয়েকটি সরল ঘটনায় বিশ্লেষণ করা যায়, তাদেরকে যৌগিক ঘটনা বলা হয়। অর্থাৎ যৌগিক ঘটনা হলো দুই বা ততোধিক সরল ঘটনার সংযোগে গঠিত ঘটনা। উদাহরণঃ একটি ছক্কাকে একবার শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে বিজোড় সংখ্যা নিয়ে গঠিত একটি ঘটনা, \(A=\{1, \ 3, \ 5\}\) এ ঘটনাটি তিনটি নমুনা বিন্দু নিয়ে গঠিত। তাই \(A\) গঠিত ঘটনা।
পরস্পর বর্জনশীল বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা
Mutually Exclusive Events
দুই বা ততোধিক ঘটনাকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হয় যদি তাদের যে কোনো একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনা বা ঘটনাগুলি সংঘটিত হওয়া সম্ভব না হয়। অর্থাৎ একাধিক ঘটনা যুগপৎভাবে ঘটতে না পারলে ঐ ঘটনাগুলিকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হয়। এরূপ ঘটনার নমুনা বিন্দুগুলির মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু থাকে না। উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(4\) টি লাল, \(5\) টি সাদা এবং \(3\) টি নীল রঙের বল আছে। তা হতে দৈব নিয়মে একটি বল চয়ন করা হলে উহা যদি সাদা রঙের হয় তবে লাল বা নীল বল আসতে পারবে না। তাই লাল, সাদা ও নীল রঙের বল ঘটনাগুলি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা । নিম্নে ভ্যান চিত্রে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি বর্জনশীল ঘটনা দেখানো হলো। এখানে ঘটনা নির্দেশক বৃত্তগুলি কখনও পরস্পরকে ছেদ করবে না।
অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা
Non-Mutually Exclusive Events
দুই বা ততোধিক ঘটনাকে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলা হয় যদি তাদের যে কোনো একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনা বা ঘটনাগুলি সংঘটিত হতে পারে। অর্থাৎ অবর্জনশীল ঘটনা হবে ঐ ঘটনাগুলি যেগুলি এক সাথে ঘটতে পারে। এরূপ ঘটনাগুলির মধ্যে অবশ্যই সাধারণ নমুনা বিন্দু থাকবে। উদাহরণঃ \(A\) হচ্ছে \(1\) থেকে \(10\) পর্যন্ত সকল পূর্ণ সংখ্যা এবং \(B\) হচ্ছে \(5\) থেকে \(12\) পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যাগুলির মধ্যে \(4\) এর গুণিতক সংখ্যা ঘটনা দুইটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা। \(A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10\}\) এবং \(B=\{8, \ 12\}\)
এখানে \(A\) ও \(B\) এর মধ্যকার সাধারণ বিন্দু \(8\)। \(A\) ও \(B\) পাশে ভ্যানচিত্রে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা দুইটি দেখানো হলো। এখানে ঘটনাগুলির মধ্যে সাধারণ বিন্দু আছে, তাই ভ্যানচিত্রে ঘটনা নির্দেশক বৃত্তগুলি পরস্পরকে ছেদ করবে এবং ছেদিতাংশ \(AB\) বা \(A\cap{B}\) দ্বারা নির্দেশ করা হয়েছে।
সম্ভাবনার প্রয়োজনীয় ধারণা
Concept of Probability Useful
সম্ভাব্য ঘটনা
Equally Likely Event
দুই বা ততোধিক ঘটনা ঘটবার সময় যদি একটি অপর যে কোনোটি অপেক্ষা কম বা বোশি পরিমাণ আশা করা না যায় অর্থাৎ ঘটনাগুলি ঘটার সম্ভাবনা সমান হলে ঐ ঘটনাগুলিকে সমসম্ভাব্য ঘটনা বলা হয়। একটি অনপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\) এর প্রত্যেকটি উপরে আসার সম্ভাবনা \(\frac{1}{6}\)।
অতএব এগুলি সমসম্ভাব্য ঘটনা।
পরিপূরক বা পূরক ঘটনা
Complementary Events
কোন দৈব পরীক্ষায় দুইটি ঘটনা যদি এমন হয় যে, পরীক্ষাটিতে ঘটনা দুইটির একটি এবং কেবলমাত্র একটি অবশ্যই সংঘটিত হবে, তবে ঘটনাদ্বয়কে পরম্পরের পরিপূর বলে। \(A\) একটি ঘটনা হলে \(A\) এর পরিপূরক বা পূরক ঘটনাকে সাধারণত \(A^{c}\) বা \(\bar{A}\) বা \(A^{\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
দুইটি পূরক বা পরিপূরক ঘটনা পরম্পর বর্জনশীল হয় এবং তাদের সংযোগ নমুনাক্ষেএের সমান হয়। উদাহরণঃ একটি ছকা নিক্ষেপের জোড় সংখ্যার ঘটনা \(A=\{2, \ 4, \ 6\}\) হলে জোড় সংখ্যা না আসার বা বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা হবে \(A\) ঘটনার পূরক বা পরিপূরক ঘটনা।
সম্পূর্ণ ঘটনা
Exhaustive Events
কোন দৈব পরীক্ষণের সম্ভাব্য সকল ফলাফল বা উপাদানকে সম্পূর্ণ ঘটনা বলে। অর্থাৎ কোন দৈব পরীক্ষণে দুই বা ততোবিক ঘটনা যদি এমন হয় যে, ঘটনাগুলোর যেকানো একটি কিংবা কমপকে একটি অবশ্যই সংঘটিত হবে, তবে ঘটনাসমূহকে একএে সম্পূর্ণ ঘটনা বলা হয়। সম্পূর্ণ ঘটনামূহ সংযোগ করলে তা অবশ্যই নমুনাক্ষেত্রের সমান হবে। উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা, \(A=\{1, \ 3, \ 5\}\) এবং জোড় সংখ্যা, \(B=\{2, \ 4, \ 6\}\) আসার
ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। কারণ \(A\cup{B}=\{1, \ 3, \ 5\} \cup \{2, \ 4, \ 6\} = \{1, \ 2, \ 3; \ 4, \ 5, \ 6\}=S\)
নিশ্চিত ঘটনা
Sure Events
কোন দৈব পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট কোন ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, পরীক্ষার সকল ক্ষেত্রে
ঐ ঘটনা ঘটে তবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে । যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাই নিশ্চিত ঘটনা। নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা \(1\)। উদাহরণঃ বিজোড় সাভাবিক সংখ্যার একটি সেট হতে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে এটি বিজোড় সংখ্যা হবে, এটি একটি নিশ্চিত ঘটনা।
অনিশ্চিত ঘটনা
Uncertain Eveints
কোন দৈব পরীক্ষণের সাথে সংগ্লিষ্ট ঘটনা যদি এমন হয়, ঘটনাটি কখনো ঘটে আবার কখনো কখনো ঘটে না তবে উক্ত ঘটনাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা \(0\) এর চেয়ে বড় এবং \(1\) এর চেয়ে ছোট হয়ে থাকে। অর্থাৎ \(0\le{P(A)}\le{1}\) উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপে \(Head\) আসার ঘটনাটি একটি অনিশ্চিত ঘটনা।
অসম্ভব ঘটনা
Impossible Events
অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের সাপেক্ষে ঐ ঘটনার কোন নমুনা বিন্দু থাকে না। কোন ঘটনা যদি এমন হয় যে, তা পরীক্ষণের কোন ক্ষেত্রেই আদৌ ঘটবে না তবে উক্ত কল্পিত ঘটনাকেই অসম্ভব ঘটনা বলে। এ ঘটনার কোন অনুকূল নমুনা বিন্দু থাকে না বিধায় এর সম্ভাবনার মান শূন্য। উদাহরণঃ একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় \(\{H, \ H\}\) আসার ঘটনা একটি অসম্ভব ঘটনা । এক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র \(\{H, \ T\}\)
স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা
Independent Events
দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, একটি ঘটনা ঘটা বা না ঘটা কোনো অবস্থাতেই অন্য কোনো ঘটনার উপর নির্ভর করে না বা প্রভাবিত হয় না, তবে উক্ত ঘটনাগুলোকে স্বাধীন ঘটনা বলে । দুটি স্বাধীন ঘটনার একত্রে ঘটার সম্ভাবনা এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমান। উদাহরণঃ একটি ছক্কার উপরের পিঠে প্রাপ্ত ‘জোড় সংখ্যা’ এবং ‘বিজোড় সংখ্যা’ আসার ঘটনা পরস্পর স্বাধীন।
অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা
Dependent Events
যদি দুটি ঘটনা এরূপ হয় যে, তাদের কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্য ঘটনাটি ঘটার উপর নির্ভর করে তবে ঘটনাটিকে অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা বলে। এক্ষেত্রে প্রথম যে ঘটনাটি ঘটে তা স্বাধীন ঘটনা। \(P(B|A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
এখানে, \(A=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B=\) অধীন ঘটনা উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(8\) টি সাদ ও \(6\) টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে এটি হতে পরপর দুটি বল নেওয়া হলে দ্বিতীয় বলটি কোন নির্দিষ্ট রঙের হওয়ার সম্ভাবনা, প্রথম বলটি বাক্সে ফেরত দেওয়া বা না দেওয়ার উপর নির্ভর করে। এ ধরনের ঘটনা হলো অধীন ঘটনা। \(P(A|B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}\)
এখানে, \(B=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A=\) অধীন ঘটনা
সম্ভাব্যতার পরিমাপক
Probability measurer
সপ্তদশ শতাব্দীর প্রথম ভাগ হতে শুরু হয়ে আজ পর্যন্ত সম্ভাবনা বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত নানাবিধ তত্ত্ব ও সংজ্ঞা প্রবর্তিত হয়ে আসছে। কোনো একটি ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সুনির্দিষ্ট প্রত্যাশার সংখ্যাগত পরিমাপই হলো সম্ভাবনা। সম্ভাব্যতাকে সাধারণত তিনটটি সংজ্ঞার সাহায্যে পরিমাপ করা যায়। যেমনঃ
সম্ভাবনার প্রাচীন (ক্লাসিক্যাল) বা অবরোহী বা পূর্ববর্তী বা গাণিতিক সংজ্ঞা (Priori or mathematical or classical definition of probability)
সম্ভাবনার পরিসংখ্যানীয় বা পরীক্ষালব্ধ বা আরোহী সংজ্ঞা (Emperical or statistical or relative definition)
সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা (Axiomatic definition of probability)
সম্ভাবনার প্রাচীন (ক্লাসিক্যাল) বা অবরোহী বা পূর্ববর্তী বা গাণিতিক সংজ্ঞা
Priori or mathematical or classical definition of probability
কোনো একটি দৈব পরীক্ষায় যদি (১) কোনো একটি ঘটনা \(A\) এর ঘটার অনুকূলে \(m\) সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল থাকে; (২) ঘটনা না ঘটার অনুকূলে সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল থাকে; (৩) প্রত্যেক সম্ভাব্য ফলাফল সমসম্ভাব্য হয় এবং (8) সকল ফলাফল পরস্পর বর্জনশীল হয়, তাহলে \(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে \(A\)-এর অনুকূল ফলাফল সংখ্যা ও পরীক্ষায় মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা-এর অনুপাত।
অতএব, \(P(A)=\frac{A \text{-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা}}\)
\(=\frac{m}{m+n}\)
\(=\frac{m}{N},\) যখন \(N=m+n\)
\(A\) ঘটনা না ঘটাকে যদি \(A^{\prime}\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল \(1\)। অর্থাৎ \(P(A)+P(A^{\prime})=1\)
সম্ভাবনার এ সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান একটি বাস্তব সংখ্যা যা শূন্য থেকে এ্রক এর মধ্যে। যখন \(m=N\) হয়, তখন \(P(A)=1\)। আবার, যখন \(m=0\) হয়, তখন \(P(A)=0\) হয়। সুতরাং \(0\le{P(A)}\le{1}.\)
একে যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনাও বলা হয়। গণিত শাস্ত্রবিদ P. S. Laplace এ সংজ্ঞাটি দিয়েছেন বলে একে সম্ভাবনার ল্যাপনাসের সংজ্ঞাও বলা হয়। উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(6\) টি লাল এবং \(7\) টি সাদা বল আছে। এখানে \(13\) টি পরস্পর বর্জনশীল，সমসম্ভাব্য ফলাফল আছে। তাদের মধ্যে \(6\) টি ফলাফল লাল বলের অনুকূলে আছে। অতএব，বাক্স হতে \(1\) টি বল দৈব নিয়মে নেওয়া হলে বলটি লাল হবে তার সম্ভাবনা， \(P(R)=\frac{m}{m+n}\)
\(=\frac{6}{6+7}\)
\(=\frac{6}{13}\)
এখানে, \(m=6, \ n=7, \ R=\) লাল বল ঘটনা।
সম্ভাবনার পরিসংখ্যানীয় বা পরীক্ষালব্ধ বা আরোহী সংজ্ঞা
Emperical or statistical or relative definition
একই শর্তাধীনে কোনো পরীক্ষার কোনো ট্রায়াল যদি অসংখ্যবার পুনরাবৃত্তি করা হয়，তবে কোনো ঘটনা \(A\)－এর় অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ও পরীক্ষার মোট ফলাাফলের সংখ্যার অনুপাতের সীমাস্ত মানকে উক্ত ঘটনার পরীক্ষালব্ধ বা পরিসংখ্যানিক সম্ভাবনা বলা হয়।
অতএব, \[P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{m}{N}\]
এখানে，\(m=A\) ঘটনার অনুকূল ফলাফল এবং \(N=\) মোট চেষ্টার সংখ্যা। এটাকে ভন মাইসেস \((Von-Mises)\)－এর পর্রীক্ষালব্ধ সংজ্ঞাও বলা হয়। উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ মুদ্রাকে \(500\) বার নিক্ষেপ করা হলো। এতে \(255\) বার হেড \((H)\) উপরে এসেছে। অতএব একটি হেড আসার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{255}{500}\)
মুদ্রাটি যদি নিরপেক্ষ না হয় বা পক্ষপাতদুষ্ট হয়，তথাপি এ সূত্রের সাহায্যে ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করা যাবে না।
সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা
Axiomatic definition of probability
রুশ গণিতবিদ কোলমোগ্রোভ \(Kolmogorov \ 1933\) সালে সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ ধারণাটির প্রবর্তন করেন। সম্ভাবনার অবরোহী ও আরোহী সংজ্ঞায় কতিপয় শর্ত আরোপের মাধ্যমে আরো অধিক পরিমাণে ব্যবহার উপযোগী করা যায়। এই শর্তসমূহকে এক একটি স্বতঃসিদ্ধ বলে। কোনো নমুনাক্ষেত্রে \(S\) এর অন্তর্গত যে কোনো একটি ঘটনা \(A\) এর সম্ভাবনা \(P(A)\) যা নিচে স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলে－ \((1)\) \(P(A)\) একটি বাস্তব সংখ্যা হতে হবে। \((2)\) \(P(A)\ge{0}\) \((3)\) যদি \(A\) নিশ্চিত ঘটনা অর্থাৎ \(A=S\) হয়, তবে \(P(A)=P(S)=1\) হয়। \((4)\) যদি \(A_{1}, \ A_{2}, \ A_{3}, ......\) সমীম বা অসীম সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনা হয়，তবে \(P(A_{1}\cup{A_{2}}\cup{A_{3}}\cup ..........)\)\(=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+....\)
একই ঘটনার পুনরাবৃত্তি ঘটলে সম্ভাব্য ফলাফল নির্ণয়
Determine the likely outcome if the same event is repeated
একই ঘটনার পুনরাবৃত্তি ঘটলে ঘটনাগুলি পরস্পর অনির্ভরশীল ঘটনা অর্থাৎ একটি ঘটনা ঘটার উপর অপর ঘটনাটি নির্ভরশীল নয়। কোনো দৈব পরীক্ষণে দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, একটি ঘটনা ঘটা কোনো অবস্থায় অন্য একটি ঘটনার উপর নির্ভর না করে বা অন্য কোনো ঘটনার দ্বারা প্রতাবিত না হয় তবে উক্ত ঘটনা দুইটি বা ঘটনাগুলিকে স্বাধীন ঘটনা বা অনির্ভরশীল ঘটনা বলা হয়।
যদি \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা হয়, তবে \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা হবে যদি এবং কেবল যদি- \((1)\) \(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\) \((2)\) \(P(A|B)=P(A)\) যখন \(P(B)\gt{0}\) এবং \((3)\) \(P(B|A)=P(B)\) যখন \(P(A)\gt{0}\) হয়।
পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities for mutually exclusive events
পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র দুই প্রকারেরঃ \((1)\) বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র। \((2)\) অবর্জনশীল ঘটনার কেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র।
দুইটি বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities with respect to two exclusionary events
সূত্রঃ দুইটি বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A\) ও \(B\) দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B)=P(A\cup{B})=P(A)+P(B).\) ঢাঃ ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৪; রাঃ ২০১৬,২০০৯,২০০৭; যঃ ২০১৬,২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০১১; সিঃ ২০১৬,২০১১,২০০৭; বঃ ২০১৪,২০১২,২০০৫,২০০৩; দিঃ ২০১৪,২০০৯;
প্রমাণঃ মনে করি, দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলো \(A\) ও \(B\)। ঘটনাগুলির অবস্থান ভেনচিত্রে দেখানো হলো।
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
\(A\) ঘটনা ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_{1}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_2\)
\(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{N_1}{N}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B)=\frac{N_2}{N}\)
এখানে, \(A\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় পরস্পর বর্জনশীল, তাই এদের মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু নেই। সুতরাং \(A\) ও \(B\) এর অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, \(N=N_1+N_2\)
অতএব, \(A\) ও \(B\) এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B)=\frac{N_1+N_2}{N}=\frac{N_1}{N}+\frac{N_2}{N}=P(A)+P(B)\)
অর্থাৎ \(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)\)
(প্রমাণিত)
দুইটির অধিক বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রেও উপপাদ্যটি সত্য।
মনে করি, \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n, \ A\) এর n সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা, তাহলে কমপক্ষে তাদের যে কোনো একটি ঘটনা ঘটনার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A_1 \text{বা} A_2 \text{বা} .......... \text{বা} A_n)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+........P(A_n)\)
\(\therefore P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}\cup . . . . . . . . \cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)+P( A_2)...... P(A_n)\)
(প্রমাণিত)
তিনটি বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities with respect to three exclusionary events
সূত্রঃ তিনটি বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B \text{বা} C)=P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C).\)
প্রমাণঃ মনে করি, দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট তিনটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলো \(A, \ B\) ও \(C\)। ঘটনাগুলির অবস্থান ভেনচিত্রে দেখানো হলো।
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
\(A\) ঘটনা ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_{1}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_2\)
\(C\) ঘটনা ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_3\)
\(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{N_1}{N}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B)=\frac{N_2}{N}\)
\(C\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(C)=\frac{N_3}{N}\)
এখানে, \(A, \ B\) ও \(C\) ঘটনাত্রয় পরস্পর বর্জনশীল, তাই এদের মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু নেই। সুতরাং \(A, \ B\) ও \(C\) এর অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(N=N_1+N_2+N_3\)
অতএব, \(A, \ B\) ও \(C\) এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B \text{বা} C)=\frac{N_1+N_2+N_3}{N}=\frac{N_1}{N}+\frac{N_2}{N}+\frac{N_3}{N}=P(A)+P(B)+P(C)\)
অর্থাৎ \(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)\)
(প্রমাণিত)
\(n\) সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities with respect to the number exclusionary events
সূত্রঃ \(n\) সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n,\) \(n\) সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা এবং ঘটনাগুলি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A_1 \text{বা} A_2 \text{বা} A_3 ..... \text{বা} A_n)\)
\(=P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)\)\(+P(A_3)......+P(A_n)\) dh:04; r:03; j:04; k:03; c:01; s:11
প্রমাণঃ মনে করি, দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট \(n\) সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলো \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n\)। ঘটনাগুলির অবস্থান ভেনচিত্রে দেখানো হলো।
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা \(=n(S)\)
অনুকূল ঘটনা \(A_1\) এর উপাদান সংখ্যা \(=n(A_1)\)
অনুকূল ঘটনা \(A_2\) এর উপাদান সংখ্যা \(=n(A_2)\)
অনুকূল ঘটনা \(A_3\) এর উপাদান সংখ্যা \(=n(A_3)\)
অনুরূপভাবে অগ্রসর হয়ে,
অনুকূল ঘটনা \(A_n\) এর উপাদান সংখ্যা \(=n(A_n)\)
সুতরাং, \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n\) ঘটনাগুলির ঘটার সম্ভাবনা যথাক্রমে
\(P(A_1)=\frac{n(A_1)}{n(S)}, \ P(A_2)=\frac{n(A_2)}{n(S)}, P(A_3)=\frac{n(A_3)}{n(S)}, ..\)\(...P(A_n)=\frac{n(A_n)}{n(S)}\)
\(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n\) বর্জনশীল ঘটনা
সুতরাং \(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}\cup . . . . . . . . \cup{A_n}\) অনুকূল ঘটনার উপাদান সংখ্যা,
\(n(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}\cup . . . . . . \cup{A_n})\)\(=n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)+......+n(A_n)\)
অতএব, \(A_1 \text{বা} A_2 \text{বা} A_3 ..... \text{বা} A_n\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=\frac{n(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}\cup . . . . . . \cup{A_n})}{n(S)}\)
\(=\frac{n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)+......+n(A_n)}{n(S)}\)
\(=\frac{n(A_1)}{n(S)}+\frac{n(A_2)}{n(S)}+\frac{n(A_3)}{n(S)}+ .....+\frac{n(A_n)}{n(S)}\)
\(=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+ .....+P(A_n)\)
\(\therefore P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)\)\(+P(A_3)+ .....+P(A_n)\)
(প্রমাণিত)
দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities for two mutually exclusive events
সূত্রঃ দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফল হতে ঘটনাগুলির একত্রে ঘটার সম্ভাবনার বিয়োগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A\) ও \(B\) দুইটি অবর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B)=P(A)+P(B)-P(A \text{এবং} B)\)
অথবা, \(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\) ঢাঃ ২০০৭; রাঃ ২০১৩,২০১১; যঃ ২০০৮,২০০৬; কুঃ ২০০৮; চঃ ২০১৬; সিঃ ২০১৪,২০০৯; বঃ ২০১০,২০০৬;
প্রমাণঃ মনে করি, দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলো \(A\) ও \(B\)। ঘটনাগুলির অবস্থান ভেনচিত্রে দেখানো হলো।
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
\(A\) ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_{1}\)
\(B\) ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_2\)
\(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{N_1}{N}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B)=\frac{N_2}{N}\)
\(A\) ও \(B\) এর অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, \(=M\)
এখানে, \(A\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় পরস্পর অবর্জনশীল, তাই এদের মধ্যে সাধারণ নমুনা বিন্দু \(M\) ধরা হয়েছে যা ভেনচিত্রে ছায়াযুক্ত দেখানো হয়েছে।
অতএব, \(A\) ও \(B\) এর অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, \(N_{1}-M+N_{2}-M+M=N_{1}-N_{2}-M\)
\(A\) ও \(B\) ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A\cap{B})=\frac{M}{N}\)
\(A\) ও \(B\) ঘটনা যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A \text{বা} B)=\frac{N_1+N_2-M}{N}=\frac{N_1}{N}+\frac{N_2}{N}-\frac{M}{N}\)
\(=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
\(\therefore P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
(প্রমাণিত)
তিনটি অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র
Correlation of probabilities for three mutually exclusive events
সূত্রঃ তিনটি অবর্জনশীল বা আবিচ্ছিন্য় ঘটনার যেকোনো একটি ঘটনার সম্ভাবনা, এদের প্রত্যেকটির আলাদা আলাদা সম্ভাবনার বোাগফল হতে (১ম, ২য়); (২য়, ৩র); (৩য়, ১ম) ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাবনার বিয়োগকলের সাথে তিনঢি. ঘটনার একত্রে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান । অর্থাৎ, তিনটি ঘটনা \(A, \ B\) ও \(C\) অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন হলে \(A\) বা \(B\) বা \(C\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})\)\(-P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\) রাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৮; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৯;
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর মধ্যে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা ।
\(A\) এবং \(B\) দুটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
এখন, যেহেতু \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি অবর্জনশীল ঘটনা।
\(\therefore A\cup{B}\cup{C}\) এর সম্ভাবনা,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P[(A\cup{B})\cup{C}]\)
\(=P(A\cup{B})+P(C)-P\{(A\cup{B})\cap{C}\}\)
\(=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})+P(C)-\)\(P\{(A\cap C)\cup(B\cap C)\}\)
\(=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+P(C)\)\(-[P(A\cap C)+P(B\cap C)-P\{(A\cap C)\cap(B\cap C)\}]\)
\(=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+P(C)-\)\(P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\)
\(=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})-\)\(P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\)
সুতরাং,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})\)\(-P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\)
(প্রমাণিত)
শর্তাধীন সম্ভাবনা
Conditional probability
শর্তাধীন সম্ভাবনাঃ দুইটি ঘটনার মধ্যে, একটি ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্ত সাপেকে অপর ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করা হলে প্রাপ্ত সম্ভাবনাকে শর্তাধীন সম্ভাবনা বলা হয় । মনে করি, \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(A\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(B\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap{B})}{P( A)};\) এখানে, \(P(A)\gt{0}, \ A\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B\) অধীন ঘটনা।
আবার, \(B\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(A\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)};\) এখানে, \(P(B)\gt{0}, \ B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A\) অধীন ঘটনা।
দুইটি অনির্ভরশীল বা স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্র
Probability formula for two independent events
সূত্রঃ দুইটি স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাবনা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনার গুণফলের সমান।
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{এবং} B)=P(A)P(B)\)
\(\Rightarrow P(A\cap{B})=P(A)P(B)\) রাঃ ২০০৯,২০১২; দিঃ ২০১৬
প্রমাণঃ মনে করি, \(E_{1}\) ও \(E_{2}\) দুইটি স্বাধীন পরীক্ষা। \(E_{1}\) পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S_{1}\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট একটি ঘটনা \(A\) এবং \(E_{2}\) পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S_{2}\) এর সাথে সংশ্লিষ্ট একটি ঘটনা \\(B\)। \(A\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।
ধরি, \(S_1\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\) এবং \(A\) ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N_1\)
অতএব,\(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{N_1}{N}\)
আবার,
\(S_2\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=M\) এবং \(B\) ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=M_1\)
অতএব,\(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B)=\frac{M_1}{M}\)
\(E_{1}\) ও \(E_{2}\) পরীক্ষাদ্বয় স্বাধীন।
তাই এদের সমিলিত নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হবে \(NM\) এবং \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনাদয়ের একত্রে ঘটার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হবে \(N_1M_1\)।
সুতরাং \(A\) ও \(B\) এর একত্রে ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{এবং} B)=\frac{{N_1M_1}}{NM}\)
\(=\frac{N_1}{N}\cdot\frac{M_1}{M}\)
\(=P(A)\cdot P(B)\)
\(\Rightarrow P(A \text{এবং} B)=P(A)\cdot P(B)\)
\(\therefore P(A\cap{B})=P(A)\cdot P(B)\)
(প্রমাণিত)
দ্রষ্টব্যঃ \(n\) সংখ্যক স্বাধীন ঘটনা \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n\) এর জন্য \(P(A_1\cap{A_2}\cap{A_3}....\)\(...\cap{A_n})=P(A_1)P(A_2)P(A_3) .....P(A_n)\)
দুইটি নির্ভরশীল বা অধীন ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্র
Probability formula for two dependent events
সূত্রঃ দুইটি অধীন ঘটনা একএে ঘটার সম্ভাবনা তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা এবং এটি ঘটেছে এ শর্তাধীনে অপর ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার গুণফলের সমান। \(A\) ও \(B\) দুহটি অধীন ঘটনা হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B\mid{A})\)
\(=P(B)P(A\mid{B})\) চঃ ২০০৫
প্রমাণঃ মনে করি, একটি দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র \(S\) এর সংশ্লিষ্ট দুইটি ঘটনা \(A\) ও \(B\)।
\(S\) নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
\(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{N_1}{N}\)
\(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B)=\frac{N_2}{N}\)
\(A\) ঘটনা ঘটেছে এ শর্তে \(B\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(B\mid{A})=\frac{M}{N_1}\)
\(B\) ঘটনা ঘটেছে এ শর্তে \(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A\mid{B})=\frac{M}{N_2}\)
অতএব, \(A\) এবং \(B\) এর একত্রে ঘটার সম্ভাবনা, \(P(A\cap{B})=\frac{M}{N}\)
\(=\frac{M}{N_1}\cdot\frac{N_1}{N}\)
\(=P(B\mid{A})\times P(A)\)
\(\therefore P(A\cap{B})=P(A)P(B\mid{A})\)
(প্রমাণিত)
আবার, \(P(A\cap{B})=\frac{M}{N}\)
\(=\frac{N_2}{N}\cdot \frac {M}{N_2}\)
\(=P(B)P(A\mid{B})\)
(প্রমাণিত)
কতিপয় গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য
Some important theorems
\(P(A)=1\) ও \(P(A)=0\) এর ব্যাখ্যা
Explanation of \(P(A)=1\) and \(P(A)=0\)
ব্যাখ্যাঃ \(P(A)=1\) এর অর্থ \(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা
এবং \(P(A)=0\) এর অর্থ \(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো দৈব পরীক্ষণে \(S\) একটি নমুনাক্ষেত্র, \(A\) একটি ঘটনা।
\(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দু \(=n(S)\)
\(A\) এর অনুকূলে মোট নমুনা রিন্দু \(=n(A)\)
সম্ভাবনা অবরোহী সংজ্ঞানুসারে, \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A)=1\) হলে,
\(\Rightarrow \frac{n(A)}{n(S)}=1\)
\(\therefore n(A)=n(S)\)
অর্থাৎ \(A\) ঘটনার আনুকূলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সমান।
সুতরাং \(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা।
\(\Rightarrow P(A)=1\) এর অর্থ \(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা।
(প্রমাণিত)
আবার, \(P(A)=0\)
\(\Rightarrow \frac{n(A)}{n(S)}=0\)
\(\therefore n(A)=0\)
অর্থাৎ \(A\) ঘটনার অনুকূলে নমুনা বিন্দু নেই।
সুতরাং \(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
অতএব, \(P(A)=0\) এর অর্থ \(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
(প্রমাণিত)
সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে।
The probability value lies between \(0\) to \(1\)
ব্যাখ্যাঃ সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে।
অর্থাৎ \(0\le{P(A)}\le{1}\)
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\)-এর মধ্যে \(A\) একটি ঘটনা।
নমুনাক্ষেএের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(=n\)
\(A\) ঘটনার অনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(=m\)
\(\therefore A\) ঘটনার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{A \text{ ঘটনার অনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা}}{\text{ নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা}}\)
\(=\frac{m}{n}\)
\(A\) ঘটনাটি এমন হতে পারে যে,
\((1) \ A\)-এর অনুকূলে কোনো উপাদান বা ফলাফল নেই। অর্থাৎ, \(m=0\)
\((2)\) নমুনাক্ষেএের সকল উপাদান বা ফলাফল \(A\)-এর অনুকূলে। অর্থাৎ, \(m=n\)
\((3)\) নমুনাক্ষেএের কিছু উপাদান বা ফলাফল \(A\)-এর অনুকূলে। অর্থাৎ, \(0\lt{m}\lt{n}\)
সুতরাং ইহা স্পষ্ট যে \(m\)-এর মান \(0\) থেকে \(n\)-এর মধ্যে থাকবে।
অর্থাৎ \(0\le{m}\le{n}\)
\(\Rightarrow \frac{0}{n}\le{\frac{m}{n}}\le{\frac{n}{n}}\) ➜
\(n\) ভাগ করে।
অতএব, সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে।
(প্রমাণিত)
কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)
The sum of the probabilities of an event occurring or not occurring \(1\)
ব্যাখ্যাঃ কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)।
অর্থাৎ \(P(A)+P(\bar{A})=1\)
অথবা, \(p+q=1\)
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\)-এর মধ্যে \(A\) একটি ঘটনা।
নমুনাক্ষেএের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(n=n(S)\)
\(A\) ঘটনার অনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(m=n(A)\)
তাহলে, \(A\) ঘটনার প্রতিনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(n(\bar{A})=n-m\)
\(\therefore P(A)=\frac{m}{n}=p\)
এবং \(P(\bar{A})=\frac{n-m}{n}=q\) ➜
\(\because P(\bar{A})=A\) ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা
এখন, \(A\) ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি,
\(=P(A)+P(\bar{A})\)
\(=p+q\)
\(=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}\)
\(=\frac{m+n-m}{n}\)
\(=\frac{n}{n}\)
\(=1\)
সুতরাং কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)।
অর্থাৎ \(P(A)+P(\bar{A})=1\)
(প্রমাণিত)
দুটি বাস্তব ঘটনা একই সাথে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না
Two real events cannot be simultaneously independent and exclusive
ব্যাখ্যাঃ দুটি ঘটনা একত্রে বা একই সাথে বা যুগপৎভাবে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}, \ P(B)\ne{0}\) এবং \((A\cap{B})=0\) হতে পারে না।
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\)-এর মধ্যে \(A\) ও \(B\) দুইটি বাস্তব ঘটনা; যেন \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\)।
এখন, \(A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি স্বাধীন হলে, \(P(A\cap{B})=P(A)\times P(B)\) হবে।
যেহেতু, \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\)
\((A\cap{B})\ne{0}.......(i)\)
আবার, (A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি বর্জনশীল হলে, \(A\cap{B}\) এর অনুকূল নমুনা বিন্দু বা ফলাফল শূণ্য।
অর্থাৎ \(A\cap{B}=\phi\)
\(\therefore A\cap{B}=0.......(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে দেখা যাচ্ছে যে, দুইটি ঘটনা একই সাথে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।
(প্রমাণিত)
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(A\) ও \(\bar{B}\) পরস্পর স্বাধীন
If \(A\) and \(B\) are two independent events, \(A\) and \(\bar{B}\) are mutually independent
ব্যাখ্যাঃ \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(A\) ও \(\bar{B}\) পরস্পর স্বাধীন।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে, \(P(A\cap{\bar{B}})=P(A)\times{P(\bar{B})}\)।
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\)-এর মধ্যে \(A\) ও \(B\) দুইটি বাস্তব ঘটনা; যেন \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\)।
এখন, \(A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি স্বাধীন হলে, \(P(A\cap{B})=P(A)\times P(B)\) হবে।
ভেনচিত্র হতে পাই, \(A=(A\cap\bar{B})\cup(A\cap{B})\)
\(\Rightarrow P(A)=P[(A\cap\bar{B})\cup(A\cap{B})]\)
\(\Rightarrow P(A)=P(A\cap\bar{B})+P(A\cap{B})\)
\(\Rightarrow P(A)-P(A\cap{B})=P(A\cap\bar{B})\)
\(\Rightarrow P(A\cap\bar{B})=P(A)-P(A\cap{B})\)
\(=P(A)-P(A)\times{P(B)}\) ➜
\(\because P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B)}\)
\(\therefore P(A\cap\bar{B})=P(A)\times{P(\bar{B})}\)
অতএব, \(A\) ও \(\bar{B}\) ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।
(প্রমাণিত)
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(A\) ও \(B\) পরস্পর স্বাধীন
If \(A\) and \(B\) are two independent events, \(A\) and \(B\) are mutually independent
ব্যাখ্যাঃ \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(\bar{A}\) ও \(B\) পরস্পর স্বাধীন।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে, \(P(\bar{A}\cap{B})=P(\bar{A})\times{P(B)}\)।
প্রমাণঃ মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র \(S\)-এর মধ্যে \(A\) ও \(B\) দুইটি বাস্তব ঘটনা; যেন \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\)।
এখন, \(A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি স্বাধীন হলে, \(P(A\cap{B})=P(A)\times P(B)\) হবে।
ভেনচিত্র হতে পাই, \(B=(A\cap{B})\cup(\bar{A}\cap{B})\)
\(\Rightarrow P(B)=P[(A\cap{B})\cup(\bar{A}\cap{B})]\)
\(\Rightarrow P(B)=P(A\cap{B})+P(\bar{A}\cap{B})\)
\(\Rightarrow P(B)-P(A\cap{B})=P(\bar{A}\cap{B})\)
\(\Rightarrow P(\bar{A}\cap{B})=P(B)-P(A\cap{B})\)
\(=P(B)-P(A)\times{P(B)}\) ➜
\(\because P(A\cap{B})=P(A)\times{P(B)}\)
\(\therefore P(\bar{A}\cap{B})=P(\bar{A})\times{P(B)}\)
অতএব, \(\bar{A}\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।
(প্রমাণিত)
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী
Required formulas
\(A=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B=\) অধীন ঘটনা হলে,
\(P(B|A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\) \(B=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A=\) অধীন ঘটনা হলে,
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}\) \(A\) ঘটনা না ঘটাকে যদি \(A^{\prime}\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,
\(P(A)+P(A^{\prime})=1\) \(m=A\) ঘটনার অনুকূল ফলাফল এবং \(N=\) মোট চেষ্টার সংখ্যা,
\[P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{m}{N}\] \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\)
\(P(A|B)=P(A)\) যখন \(P(B)\gt{0}\)
\(P(B|A)=P(B)\) যখন \(P(A)\gt{0}\) \(A\) ও \(B\) দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)\) \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)\) \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n,\) \(n\) সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)\)\(+P(A_3)......+P(A_n)\) \(A\) ও \(B\) দুইটি অবর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\) \(A, \ B\) ও \(C\) অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন হলে \(A\) বা \(B\) বা \(C\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})\)\(-P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\) \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(A\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(B\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap{B})}{P( A)};\) এখানে, \(P(A)\gt{0}, \ A\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B\) অধীন ঘটনা। \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(B\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(A\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)};\) এখানে, \(P(B)\gt{0}, \ B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A\) অধীন ঘটনা। \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\) \(A\) ও \(B\) দুহটি অধীন ঘটনা হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B\mid{A})\)
\(=P(B)P(A\mid{B})\) \(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা,
\(P(A)=1\) \(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
\(P(A)=0\) সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে
\(0\le{P(A)}\le{1}\) কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)
\(P(A)+P(\bar{A})=1\) \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা, \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে,
\(P(A\cap{\bar{B}})=P(A)\times{P(\bar{B})}\)
ক্রেমার (১৭০৪ খ্রিষ্টাব্দ-১৭৫২ খ্রিষ্টাব্দ) 
একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত ভেক্টরগুলির মাণ ও দিক যথাক্রমে \(ABCDE\) বহুভুজের বাহু \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}\) ও \(\overrightarrow{DE}\) বরাবর নির্দেশ করে। 
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর। 
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর। 
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত। 
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{d}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{c}\)
\(OA, OB, OC\) তিনটি রেখা একই সমতলে অবস্থান করে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(OX\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{a}, \ OY\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{r}\)
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা \(=n(S)\)
ধরি, \(S\) নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
\(A\) এবং \(B\) দুটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা হলে,
\(S\) নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা \(=N\)
সম্ভাবনা অবরোহী সংজ্ঞানুসারে, \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)
নমুনাক্ষেএের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(=n\)
নমুনাক্ষেএের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা \(n=n(S)\)
এখন, \(A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি স্বাধীন হলে, \(P(A\cap{B})=P(A)\times P(B)\) হবে।
এখন, \(A\) ও \(B\) বাস্তব ঘটনা দুইটি স্বাধীন হলে, \(P(A\cap{B})=P(A)\times P(B)\) হবে।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003