উদাহরণঃ \(\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\ \frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) হলে,
\(AB=\begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & -10+10 \\ 3-3 & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
আবার,
\(BA=\begin{bmatrix}2 & 4 \\3 & 5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}\frac{-5}{2} & \ \ 2 \\\frac{-5}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-5+6 & 4-4 \\ \frac{-15}{2}+\frac{15}{2} & 6-5 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=I\)
সুতরাং, \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(B\) এবং \(B\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A\)
অর্থাৎ \(A=B^{-1}\) এবং \(B=A^{-1}\)
দ্রষ্টব্যঃ দুই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} \ \ d & -b \\-c & \ \ a \end{bmatrix}\)

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাটিক্স নির্ণয়ঃ যদি \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times{n}}\) একটি অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় তবে \(A\) ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj A\)

যেমনঃ \(A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}\) এবং \(C=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}-8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{bmatrix}\) প্রত্যেকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স।

যেমনঃ

	\(-4\)	\(6\)	\(3\)
	\( \ \ \ 5\)	\(9\)	\(7\)
	\(-3\)	\(7\)	\(1\)

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যে ম্যাটিরক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ, \(C=\left[c_{ij}\right]_{m\times{n}}\) ম্যাট্রিক্সকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(m=n\) হয়। তখন \(C\) কে \(m\) অথবা \(n\) ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
যেমনঃ \(C=\begin{bmatrix}-4 & 4 & 5 \\ \ \ 5 & 7 & 1\\ \ \ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।
যার ট্রেস \(=-4+9+1\)
\(=-4+10\)
\(=6\)

বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণার জন্য পর্যায়ক্রমে স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, কৃত্রিম সংখ্যা এবং মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা থাকা প্রয়োজন।
স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
গণনার প্রয়োজনেই স্বাভাবিক সংখ্যা আবিষ্কৃত হয়, এ কারণে স্বাভাবিক সংখ্যাকে গণনাকারী সংখ্যাও বলা হয়। সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\gt{0}}}=\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।

পূর্ণসংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য নিয়ে পূর্ণসংখ্যার সেট (Set of integer) গঠিত। পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।

অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) সহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Non negative integer) বলা হয়। সকল অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
\(=\left\{0\right\}\cup\mathbb{Z_{\gt{0}}}\)।

ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) অপেক্ষা ছোট পূর্ণসংখ্যাকে ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative integer) বলা হয়। সকল ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।

ঋনাত্মক সংখ্যাঃ শূন্য \((0)\) অপেক্ষা ছোট সংখ্যাকে ঋনাত্মক সংখ্যা (Negative number) বলা হয়। সকল ঋনাত্মক সংখ্যার সেট নিম্নরূপঃ
\(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।

মৌলিক সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
কেবলমাত্র ঐ সংখ্যা ও \(1\) দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়। সকল মৌলিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{P}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
মৌলিক সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না, ঐ সকল সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime number) বলা হয়।
যেমনঃ \(2=2\times1\)।
\(3=3\times1\)।
\(5=5\times1\)।
\(7=7\times1\)।
\(11=11\times1\)।
\(13=13\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(17=17\times1\)।
\(23=23\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
অর্থাৎ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।

কৃত্রিম সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঐ সংখ্যা ও \(1\) ব্যতীত এক বা একাধিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়। কৃত্রিম সংখ্যার সেট নিম্নরূপঃ
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
কৃত্রিম সংখ্যাঃ \(1\) ব্যতীত যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যাঃ সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{N}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
দুইয়ের অধিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, ঐ সকল সংখ্যাকে কৃত্রিম সংখ্যা (Composite number) বলা হয়।
যেমনঃ \(4=2\times2\times1\)।
\(6=3\times2\times1\)।
\(8=2\times2\times2\times1\)।
\(9=3\times3\times1\)।
\(10=5\times2\times1\)।
\(12=3\times2\times2\times1\)।
\(14=7\times2\times1\)।
\(16=2\times2\times2\times2\times1\)।
\(18=3\times3\times2\times1\)।
\(20=5\times2\times2\times1\)।
\(21=7\times3\times1\)।
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
\(... \ ... \ ...\ ...\ ...\)
কৃত্রিম সংখ্যার সেট \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।

সহমৌলিকঃ যদি দুইটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে \(1\) ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে তাদেরকে একে অপরের সহমৌলিক (Coprime) বলে। অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকায় এদের একটি দ্বারা অন্যটি কখনই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি।

মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
দুইটি সংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণের ফলে অপর একটি পূর্ণসংখ্যা পাওয়া যায় কিন্তু দুইটি পূর্ণসংখ্যা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা নাও হতে পারে।
যেমনঃ \(\frac{9}{3}=3\)
কিন্তু \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং এ ধারণা থেকেই সংখ্যার একটি নতুন শ্রেণির আবির্ভাব ঘটে, যা ভগ্নাংশ (Fraction) হিসেবে পরিচিত।
যদি \(q=1\) হয় তবে, \(\frac{p}{q}\) আকারের সকল মূলদ সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যা হয়।
সুতরাং মূলদ সংখ্যা মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
হয় ভগ্নাংশ অথবা পূর্ণসংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক সহমৌলিকঃ যদি দুইটি পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে \(1\) ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে তাদেরকে একে অপরের সহমৌলিক (Coprime) বলে। অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকায় এদের একটি দ্বারা অন্যটি কখনই নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
যেমনঃ \(3\) ও \(5\); \(4\) ও \(9\); \(5\) ও \(12\) ইত্যাদি। এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।

বাস্তব সংখ্যাঃ সকল মূলদ মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
এবং অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাগুলিকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) বলা হয়। অর্থাৎ প্রত্যেক মূলদ মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলা হয়। সকল মূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
বা অমূলদ অমূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে \(\frac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেখানে, \(p, \ q\in{\mathbb{Z}}\) ও সহমৌলিক এবং \(q\ne{0}\)) ঐ সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলা হয়। সকল অমূলদ সংখ্যার সেটকে \(\mathbb{Q^{\prime}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
যেমনঃ \(\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \sqrt{5}, \ \sqrt{6}, \ \sqrt{7}, \ \sqrt{11}, \) তুরীয় সংখ্যা (\(e, \ \pi \)) প্রভৃতি অমূলদ সংখ্যা ।
সংখ্যাই এক একটি বাস্তব সংখ্যা (Real Number)। বাস্তব সংখ্যার (Real Number) সেটকে \(\mathbb{R}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)

চিত্রের সাহায্যে বাস্তব সংখ্যাঃ

বাস্তব সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যাকে তার মান অনুসারে যে সরলরেখার উপর বিন্দুর সাহায্যে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে সংখ্যারেখা (The number line) বলা হয়। এই রেখাকে বাস্তব রেখাও (Real line) বলা হয়ে থাকে। সুতরাং সকল বাস্তব সংখ্যা এবং বাস্তব রেখাস্থ সকল বিন্দুর মধ্যে একটি এক-এক মিল (One-One correspondences) দেখানো যায়।
নিম্নে \(X^{\prime}X\) একটি অসীম দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সরলরেখা। \(O\) সরলরেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু। \(O\) বিন্দুকে \(0\) (শূন্য) ধরে, \(O\) এর ডানে প্রতি একক দূরত্বের বিন্দুসমূহকে \(1, \ 2, \ 3, \ ...... \) ইত্যাদি এবং বামের বিন্দুসমূহকে \(-1, \ -2, \ -3, \ ...... \) ইত্যাদি দ্বারা সূচিত করা হয়।
এভাবে \(\frac{1}{2}, \ -\frac{3}{5}, \ 2\frac{1}{4}, \ 3.5 \) ইত্যাদি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ও মূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত বিভিন্ন বিন্দু দ্বারা সূচিত করা হয়।

মনে করি \(AB\perp{X^{\prime}X}\) এবং \(OA=AB=1;\) তাহলে \(OAB\) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ \(OB=\sqrt{OA^2+AB^2}\)।
\(=\sqrt{1^2+1^2}\)।
\(=\sqrt{1+1}\)।
\(=\sqrt{2}\)।
এখন, \(O\) কে কেন্দ্র করে \(OB\) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তচাপ \(X^{\prime}X\) কে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, \(OP=\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{2}\) অমূলদ সংখ্যাটি \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত \(P\) বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়। সুতরাং যেকোনো মূলদ অথবা অমূলদ সংখ্যা \(X^{\prime}X\) রেখার উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু দ্বারা সূচিত করা যায়।

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{N}=\left\{1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z}=\left\{...., \ -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
অ-ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\ge{0}}}=\left\{0, \ 1, \ 2, \ 3, ....\right\}\)।
ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Z_{\lt{0}}}=\left\{......, \ -3, \ -2, \ -1\right\}\)।
ঋনাত্মক সংখ্যার সেটঃ \(\left\{-1, \ -2, \ -\frac{1}{2}, \ -\frac{1}{3}, \ -\sqrt{2}, -0.322, \ -0.63, \ -4.12034506 \ ........\text{ইত্যাদি।} \right\}\)।
মৌলিক সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{P}=\left\{2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ ......\right\}\)।
কৃত্রিম সংখ্যার সেটঃ \(=\left\{4, \ 6, \ 8, \ 9, \ 10, \ 12, \ 14, \ 15, \ 16, \ 18, \ 20, \ 21, \ ......\right\}\)।
মূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}; \ p, \ q\in{\mathbb{Z}} \text{ এবং } \ q\ne{0}\right\}\)।
অমূলদ সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{Q^{\prime}}=\mathbb{R}-\{\mathbb{Q}\}\) যেখানে, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট।
বাস্তব সংখ্যার সেটঃ \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup{\mathbb{Q^{\prime}}}\)

বাস্তব সংখ্যার কয়েক প্রকার স্বীকার্য রয়েছে, এর মধ্যে বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক বা ফিল্ড স্বীকার্য এবং ক্রম ভিত্তিক স্বীকার্য অন্যতম।
বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক বা ফিল্ড স্বীকার্যঃ বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) এর বীজগণিতীয় গুণাবলী ভিত্তিক স্বীকার্য মূলত যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর উপর নির্ভরশীল।

আবদ্ধতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ায় আবদ্ধ (Closure law)।
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগে আবদ্ধঃ \(a+b\in{\mathbb{R}}\)
গুণনে আবদ্ধঃ \(ab\in{\mathbb{R}}\)
যেমনঃ \(2, \ 3\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(2+3=5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(2.3=6\in{\mathbb{R}}\)

বিনিময় যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বিনিময় যোগ্য (Commutative law)।
যদি \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিনিময় বিধিঃ \(a+b=b+a\)
গুণনের বিনিময় বিধিঃ \(ab=ba\)
যেমনঃ \(3, \ 4\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3+4=4+3\) এবং \(3.4=4.3\)

সংযোজন যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য সংযোজন যোগ্য (Associative law)।
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের সংযোজন বিধিঃ \((a+b)+c=a+(b+c)\)
গুণনের সংযোজন বিধিঃ \((a.b).c=a.(b.c)\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\((3+4)+5=3+(4+5)\) এবং \((3.4).5=3.(4.5)\)

বন্টন যোগ্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বন্টন যোগ্য (Distributive law)।
যদি \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
বাম বন্টন বিধিঃ \(a(b+c)=ab+ac\)
ডান বন্টন বিধিঃ \((b+c)a=ba+ca\)
যেমনঃ \(3, \ 4, \ 5\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(3.(4+5)=3.4+3.5\) এবং \((4+5).3=4.3+5.3\)

অনন্যতাঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য অনন্য (Uniqueness law)।
যদি \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a=c, \ b=d\) হয় তবে,
যোগের অনন্যতাঃ \(a+b=c+d\)
গুণনের অনন্যতাঃ \(a.b=c.d\)
যেমনঃ \(x, \ y, \ p, \ q\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
\(x+y=p+y\) হলে, \(x=p\) এবং \(xy=xq\) হলে, \(y=q\)

অভেদকের অস্তিত্বঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য অভেদকের অস্তিত্ব (law of existance of identity)।
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের অভেদকঃ \(a+0=0+a\)
গুণনের অভেদকঃ \(a.1=1.a\)
যেমনঃ \(0\) এবং \(1\) কে যথাক্রমে যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) এর অভেদক বলে।

বিপরীতকের অস্তিত্বঃ বাস্তব সংখ্যা \(\mathbb{R}\) যোগ \((+)\) এবং গুণন \((.)\) প্রক্রিয়ার জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব (law of existance of inverse)।
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য \(-a\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
যোগের বিপরীতকঃ \(a+(-a)=(-a)+a=0\)
যেকোনো \(a\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর জন্য \(a^{-1}\in{\mathbb{R}}\) হয় তবে,
গুণনের বিপরীতকঃ \(a.a^{-1}=a^{-1}a=1\)
যেমনঃ \(5, \ -5\in{\mathbb{R}}\) এবং \(5, \ 5^{-1}=\frac{1}{5}\in{\mathbb{R}}\)
\(5+(-5)=(-5)+5=0\) এবং \(5.5^{-1}=5^{-1}.5=1\)

অসমতাঃ অসমতা (Inequalities) এমন এক প্রকার গাণিতিক বাক্যের প্রকাশ (Mathematical Expression) যা সংখ্যা, পরিমাণ বা গাণিতিক বাক্যের ক্রমের সম্পর্ক (Order Relation) নির্দেশ করে।
গাণিতিকভাবে অসমতাকে \(\lt{}(less \ than), \ \gt{}(greater \ than), \ \le{}(less \ than \ or \ equal), \ \ge{}(greater \ than \ or \ equal)\) ইত্যাদি সম্পর্ক প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(2\gt{1}\) অথবা \(1\lt{2}\) এর অর্থ হচ্ছে \(2, \ 1\) থেকে বড় অথবা \(1, \ 2\) থেকে ছোট। আবার, \(x\gt{0}\) অসমতাটি \(x\) এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য সত্য হলেও \(x^2\gt{0}\) অসমতাটি \(x=0\) ব্যতীত সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য। অসমতা ও সমীকরণের মধ্যে অনেক বৈশিষ্ট্যের মিল বিদ্যমান থাকলেও অসমতার সমাধান নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যা বা মানের জন্য স্থির না থেকে সমাধানের ব্যপ্তি নির্দেশ করে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সেটে বা অঞ্চলে বিদ্যমান সকল মানের জন্য অসমতা সিদ্ধ হয়। অসমতা গণিতে বিশেষ স্থান দখল করে আছে। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম গঠন, কোণের সম্পর্ক নির্ণয়, ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য তথা গণিতের অনেক মৌলিক তথ্যাবলি অসমতার সাহায্যে ব্যাখ্যা করা হয়।

স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a\gt{b}\) বা \(a=b\) বা \(a\lt{b}\)
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) ও \(b\gt{c}\) এর জন্য
\(a\gt{c}\)
Click Me to Proof
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) ও \(b\lt{c}\) এর জন্য
\(a\lt{c}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+c}\) এবং \(a-c\gt{b-c}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(a+c\lt{b+c}\) এবং \(a-c\lt{b-c}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c, \ d\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{d}\) এর জন্য
\(a+c\gt{b+d}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\gt{0}\) এর জন্য
\(ac\gt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\gt{\frac{b}{c}}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b, \ c\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{b}\) এবং \(c\lt{0}\) এর জন্য
\(ac\lt{bc}\) এবং \(\frac{a}{c}\lt{\frac{b}{c}}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\gt{b}\) এর জন্য
\(ab\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{a}\lt{\frac{1}{b}}\)
Click Me to Proof
স্বীকার্যঃ
সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}};\) \(a\gt{0},\) \(b\gt{0}\) এবং \(a\lt{b}\) এর জন্য
\(\frac{1}{a}\gt{\frac{1}{b}}\)
Click Me to Proof
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a\ge{b}\) এবং \(a\le{b}\) কে দুর্বল অসমতা বলে। দুর্বল অসমতাও মৌলিক স্বীকার্য মেনে চলে।
স্বীকার্যঃ
সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য
\(a^2\ge{0}\)

ব্যবধিঃ বাস্তব সংখ্যার বিশেষ ধরনের সেটকে ব্যবধি (Interval) বলা হয়। ব্যবধি দুই প্রকার।
যেমনঃ
সসীম ব্যবধি (Finite Interval)
অসীম ব্যবধি (Infinite Interval)

সসীম ব্যবধিঃ \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a\lt{b}\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে সসীম ব্যবধি (Finite Interval) বলে।
খোলা ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ও \(b\) ব্যতীত এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে খোলা ব্যবধি (Open Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

বদ্ধ ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ও \(b\) সহ এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে বদ্ধ ব্যবধি (Closed Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

বদ্ধ-খোলা ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) সহ এবং \(b\) ব্যতীত এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে বদ্ধ-খোলা ব্যবধি (Closed-Open Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \([a, b)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\le{x}\lt{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

খোলা-বদ্ধ ব্যবধিঃ কোনো বাস্তব চলক \(x\) এর মান \(a\) ব্যতীত এবং \(b\) সহ এদের মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা হলে, ঐ ব্যবধিকে খোলা-বদ্ধ ব্যবধি (Open-closed Interval) বলা হয়।
গাণিতিকভাবেঃ \((a, b]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: a\lt{x}\le{b}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

অসীম ব্যবধিঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(a\) হলে, \(a\) এর চেয়ে বড় ; কিংবা \(a\) এর চেয়ে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে অসীম ব্যবধি (Infinite Interval) বলা হয়। সুতরাং বিন্দু \(a\) বিশিষ্ট চারটি অসীম ব্যবধি রয়েছে। যেমনঃ
বামে খোলা ডানে অসীম ব্যবধিঃ \((a, \infty)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\gt{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

বামে বদ্ধ ডানে অসীম ব্যবধিঃ \([a, \infty)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\ge{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

বামে অসীম ডানে খোলা ব্যবধিঃ \((-\infty, a)=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\lt{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

বামে অসীম ডানে বদ্ধ ব্যবধিঃ \((-\infty, a]=\left\{x\in{\mathbb{R}}: x\le{a}\right\}\)
সংখ্যারেখাঃ

ঊর্ধেব সীমিত সেটঃ বাস্তব সংখ্যার কোনো সেট \(S\) কে ঊর্ধেব সীমিত (Bounded above) বলা হয়; যদি একটি বাস্তব সংখ্যা \(M\) থাকে যেন তা একটি বাস্তব সংখ্যার অশূন্য (Non empty) উপসেট \(S\) এর যেকোনো উপাদানের সমান অথবা \(S\) এর যেকোনো উপাদান অপেক্ষা বৃহত্তর হয় (অর্থাৎ সকল \(s\in{S}\) এর জন্য \(M\ge{s}\)) তাহলে \(M\) হলো \(S\) উপসেটের একটি ঊর্ধবসীমা। \(M\) এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা \(S\) এর একটি ঊর্ধবসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।

ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমাঃ ঊর্ধেব সীমিত সেটের ঊর্ধবসীমাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতমটিকে ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা (Supremum or Least Supper Bound) বা লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা বলে। \(S\) এর ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমাকে \(\left(Sup(S)\right)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{... ...., -3, \ -2, \ -1, \ 0, \ 1, \ 2, \ 3\right\}\) একটি ঊর্ধেব সীমিত সেট। \(3, \ 4, \ 5, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির ঊর্ধবসীমা।
এখানে ক্ষুদ্রতম ঊর্ধবসীমা \(3\) ।
সুতরাং \(Sup(S)=3\)।

নিম্নে সীমিত সেটঃ বাস্তব সংখ্যার কোনো সেট \(S\) কে নিম্নে সীমিত (Bounded below) বলা হয়; যদি একটি বাস্তব সংখ্যা \(m\) থাকে যেন তা একটি বাস্তব সংখ্যার উপসেট \(S\) এর যেকোনো উপাদানের সমান অথবা \(S\) এর যেকোনো উপাদান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয় (অর্থাৎ সকল \(p\in{S}\) এর জন্য \(m\ge{p}\)) তাহলে \(m\) হলো \(S\) উপসেটের একটি নিম্নসীমা। \(m\) এর চেয়ে ছোট যেকোনো সংখ্যা \(S\) এর একটি নিম্নসীমা।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।

বৃহত্তম নিম্নসীমাঃ নিম্নে সীমিত সেটের নিম্নসীমাগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটিকে বৃহত্তম নিম্নসীমা (Infimum or Greatest Lower Bound) বা গরিষ্ঠ নিম্নসীমা বলে। \(S\) এর বৃহত্তম নিম্নসীমাকে \(Inf(S)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ .......\right\}\) একটি নিম্নে সীমিত সেট। \(2, \ 1, \ 0, \ -1, \ -2, \ -3, \ ...\) ইত্যাদি সেটটির নিম্নসীমা।
এখানে বৃহত্তম নিম্নসীমা \(2\) ।
সুতরাং \(Inf(S)=2\)।

সীমিত সেটঃ যদি বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট \(S\) ঊর্ধেবসীমিত এবং নিম্নেসীমিত উভয় ধরনের হয়, তবে \(S\) কে সীমিত সেট (Bounded set) বলা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\right\}\) একটি সীমিত সেট।

অসীমিত সেটঃ যে সেট সীমিত নয় তাকে অসীমিত সেট (Unbounded set) বলা হয়।
যেমনঃ \(S=\left\{2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ .......\right\}\) একটি অসীমিত সেট।

বাস্তব সংখ্যার প্রত্যেক অশূন্য ঊর্ধেব সীমিত (Bounded above) উপসেট একটি (অনন্য) লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা বিদ্যমান যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
বাস্তব সংখ্যার প্রত্যেক অশূন্য নিম্নে সীমিত (Bounded below) উপসেট একটি (অনন্য) গরিষ্ঠ নিম্নসীমা বিদ্যমান যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
দ্রষ্টব্যঃ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।
যেমনঃ ধরি, মূলদ সংখ্যার একটি উপসেট \(S=\left\{x\in{\mathbb{Q}}: x\lt{0} \text{ এবং} \ x^2\lt{2}\right\}\)।
যেহেতু \(1\in{S}\), সুতরাং \(S\) ফাঁকা সেট নয়।
যেহেতু \(2^2\gt{2}\)।
\(\therefore S\) একটি ঊর্ধেবসীমিত সেট।
অর্থাৎ \(S\) একটি অশূন্য ঊর্ধেবসীমিত সেট।
\(\therefore S\) এর লঘিষ্ঠ ঊর্ধবসীমা \(\sqrt{2},\) যা মূলদ সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ মূলদ সংখ্যার সেটে সম্পূর্ণতার ধর্ম খাটে না।

পরম মানঃ সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু (\(0\) নির্দেশক বিন্দু) এবং সংখ্যা নির্দেশক বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে সংখ্যাটির পরমমান (Absolute value) বলা হয়।
যেমনঃ সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে \(-4\) এর দূরত্ব \(4\) এবং \(4\) এর দূরত্ব \(4\) একক। অর্থাৎ \(-4\) এর পরমমান \(4\) এবং \(4\) এর পরমমান \(4\) ।
সংখ্যারেখাঃ

সুতরাং সকল ধনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির সমান, সকল ঋনাত্মক সংখ্যার পরমমান সংখ্যাগুলির বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট এবং \(0\) এর পরমমান \(0\)।
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(x\) এর পরমমান \(|x|\) দ্বারা সূচিত হয় এবং
\(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\gt{0} \\ \ \ \ 0, & \text{যখন} \ x =0 \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(|x|=\begin{cases} \ \ \ x, & \text{যখন} \ x\ge{0} \\-x, & \text{যখন} \ x \lt{0}\end{cases}\)
অর্থাৎ শূন্য \((0)\) ব্যতীত সকল বাস্তব সংখ্যার পরমমান ধনাত্মক এবং শূন্য \((0)\) এর পরমমান শূন্য \((0)\) হবে।
সকল \(x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|x|=\sqrt{x}\)
Click Me to Proof
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার পরমমান শূন্য অপেক্ষা বৃহত্তর বা শূন্যের সমান।

সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{0}\)
Click Me to Proof

সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{a}\)
Click Me to Proof

সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|\ge{-a}\)
Click Me to Proof

সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(-|a|\le{a}\le{|a|}\)
Click Me to Proof

সকল \(a\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a|^2=a^2\) বা \(|a|=\sqrt{a^2}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|ab|=|a||b|\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\le{|a|+|b|}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a-b|\le{|a|+|b|}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a-b|\ge{|a|-|b|}\)
Click Me to Proof
\(|a-b|\ge{||a|-|b||}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ b\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য,
\(|a+b|\ge{|a|-|b|}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(a\ge{0}\) এবং \(|x|\le{a}\) হলে,
\(-a\le{x}\le{a}\)
Click Me to Proof
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(a\gt{0}\) এবং \(|x|\lt{a}\) হলে,
\(-a\lt{x}\lt{a}\)
Click Me to Proof

সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(|x|\ge{a}\) হলে,
\(x\le{-a}\) অথবা \(x\ge{a}\)
যেখানে, \(a\ge{0}\)
Click Me to Proof
সকল \(a, \ x\in{\mathbb{R}}\) এর জন্য, \(|x|\gt{a}\) হলে,
\(x\lt{-a}\) অথবা \(x\gt{a}\)
যেখানে, \(a\gt{0}\)
Click Me to Proof

এক চলক সম্বলিত অসমতারঃ এক চলক সম্বলিত বাক্য যার একটি রাশি অপর একটি রাশির চেয়ে ছোট অথবা বড়, ছোট বা সমান, বড় বা সমান অথবা কোনোটিই নয় এরূপ বাক্যকে এক চলক সম্বলিত অসমতা (Inequalities of one variable) বলে।
যেমনঃ \(x\gt{5}, \ x\lt{5}, \ x\ngtr{5}, \ x\nless{5}, \ x\ge{5}, \ x\le{5}, \ x\ngeq{5}, \ x\nleq{5}\) ইত্যাদি।
যৌগিক অসমতাঃ একাধিক বাক্য সমন্বিত অসমতাকে যৌগিক অসমতা (Compound inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(a\gt{x}\gt{b}\) একটি যৌগিক অসমতা।
কারণ এখানে একটি অসমতা \(a\gt{x}\) এবং অপরটি \(x\gt{b}\)।

যে অসমতার মধ্যে কেবল একটি চলক বিধ্যমান তাকে এক চলক সম্বলিত অসমতা বলে। এক চলক সম্বলিত অসমতাকে দুই ভাগে বিভক্ত করা যায়।
শর্তাধীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য তাকে শর্তাধীন অসমতা (Conditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{7}\) একটি শর্তাধীন অসমতা।
কারণ এটি কেবল \(x\gt{2}\) এর জন্য সত্য।
শর্তহীন অসমতাঃ যে সমস্ত অসমতা সম্পর্কযুক্ত চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য তাকে শর্তহীন অসমতা (Unconditional inequalities) বলা হয়।
যেমনঃ \(x+5\gt{x}\) একটি শর্তহীন অসমতা।
কারণ এটি \(x\) এর প্রত্যেক মানের জন্য সত্য।

\(a\gt{b}\) হলে, \((x-a)(x-b)\lt{0}, \ \frac{x-a}{x-b}\lt{0}, \ \frac{x-b}{x-a}\lt{0}\) এবং \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\lt{0}\) এর সমাধানঃ
\(b\lt{x}\lt{a}\)
Click Me to Proof
\(a\gt{b}\) হলে, \((x-a)(x-b)\gt{0}, \ \frac{x-a}{x-b}\gt{0}, \ \frac{x-b}{x-a}\gt{0}\) এবং \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\gt{0}\) এর সমাধানঃ
\(x\lt{b}\) অথবা \(x\gt{a}\)
Click Me to Proof

লেখচিত্রের সাহায্যে এক চলক সম্বলিত দ্বিঘাত অসমতার সমাধানের জন্য নিচের ধাপগুলি অনুসরণীয়।
প্রথমে সংশ্লিষ্ট সমীকরণের সমাধান করতে হবে।
পরবর্তীতে দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।
দ্রষ্টব্যঃ \(ax^2+bx+c=0\) এ \(a\gt{0}\) হলে, পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cup\) এবং \(a\lt{0}\) হলে পরাবৃত্তের আকার হবে \(\cap\)
অসমতাটি ঋনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের মধ্যস্থ সরলরেখা এবং অসমতাটি ধনাত্মক হলে, সমাধান হবে \(x\) অক্ষের সাথে পরাবৃত্তের ছেদকের বাইরের সরলরেখাদ্বয়।

মানব সমাজের একটি বিশেষ প্রচলিত প্রবাদ "পরিকল্পনা হলো কাজের অর্ধেক"। সৃষ্টির লগ্ন থেকেই মানুষ পরিকল্পনা করে এগিয়েছে। যে কোনো বিষয়ে পরিকল্পনা করার জন্য তিনটি মূখ্য বিষয় প্রথমেই চিন্তায় এসে যায়-
আমি কি করতে চাই (অর্থাৎ উদ্দেশ্য কি) ?
উদ্দেশ্য সফল করার জন্য মূলত কোন কোন বিষয়ের উপর নির্ভরশীল হতে হবে? এবং
আমার সীমাবদ্ধতা কি কি ?
যেমনঃ আমি আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়ার্ড-এ দেশকে চ্যাম্পিয়ন করার লক্ষে একটি গণিত প্রশিক্ষণ একাডেমি করতে চাই। এই পরিকল্পনা সঠিকভাবে বাস্তবায়নের জন্য আমাকে প্রশিক্ষক এবং শিক্ষার্থীদের উপর নির্ভর করতে হবে এবং এখানে যে সকল সীমাবদ্ধতা চিন্নতা করতে হবে তা হলো অর্থের পরিমাণ, প্রশিক্ষক এবং শিক্ষার্থীর সরবরাহ।
একাডেমি পরিচালনা করার ক্ষেত্রে যে ধারণা সর্বদা পোষণ করতে হবে তা হলো-সর্বনিম্ন পরিশ্রম বা বিনিয়োগের বিনিময়ে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ পরিমাণ মুনাফা প্রাপ্তি বা সর্বোৎকৃষ্ট শিক্ষার্থী তৈরী অর্থাৎ Maximum profit for minimum cost এটা মানুষ মাত্রেই সহজাত আকাঙ্ক্ষা।
যোগাশ্রয়ী শব্দের অর্থ রৈখিক বা একঘাত এবং প্রোগ্রাম শব্দের অর্থ পরিকল্পনা। সুতরাং যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর অর্থ হল একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ বা অসমতার বিশেষ গাণিতিক সমাধান।
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামঃ দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলক সংবলিত সমীকরণ এবং অসমতার সেট থেকে নির্ভরশীল চলকের সবচেয়ে সুবিধাজনক মানের জন্য স্বাধীন চলকের নির্দিষ্ট মান নির্ণয়ের একটি বিশেষ বীজগাণিতিক পদ্ধতি হচ্ছে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম।
সর্বনিম্ন বিনিয়োগে সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন করার লক্ষে \((1)\) সিদ্ধান্ত চলক (Decision Variable) \((2)\) উদ্দেশ্য ফাংশন (Ojective Function) এবং \((3)\) শর্ত বা সীমাবদ্ধতা (Constraints) এই তিনটি পরিকল্পনা গ্রহণ করতে হবে।
সিদ্ধান্ত চলকঃ কোনো সমস্যা সমাধানের জন্য তার সাথে সংশ্লিষ্ট পরিবর্তনযোগ্য অজানা রাশিগুলিকে সিদ্ধান্ত চলক (Decision Variable) বলে। এই রাশিগুলিকে বিভিন্ন অবস্থায় বাড়ানো বা কমানো যেতে পারে এবং এই চলকগুলির মান ঋণাত্মক হয় না। কোনো ব্যবসায় প্রতিষ্ঠান \(A\) এবং \(B\) দুইটি পণ্য তৈরী করে। এদেরকে চলকের মাধ্যমে \(A\) পণ্যটি \(x\) পরিমাণ এবং \(B\) পণ্যটি \(y\) পরিমাণ তৈরী করলে অবশ্যই \(x\ge{0}\) এবং \(y\ge{0}\) হবে। কখনো ঋণাত্মক পরিমাণ তৈরী করা যায় না।
উদ্দেশ্য ফাংশনঃ যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মূল উদ্দেশ্য হলো কোনো কিছুকে সর্বোচ্চ সুবিধাজনক অবস্থায় নিয়ে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত চলক দ্বারা গাণিতিক ফাংশনে প্রকাশ করতে হবে, এই প্রক্রিয়াকে উদ্দেশ্য ফাংশন বা অভীষ্ট ফাংশন (Ojective Function) বলে।
শর্ত বা সীমাবদ্ধতাঃ সব ধরনের কাজের জন্য কিছু সীমাবদ্ধতা বা প্রতিবন্ধকতা থাকে, যেমন- যোগ্য লোকের সীমাবদ্ধতা, কাঁচা মালের সীমাবদ্ধতা এবং সম্পদের সীমাবদ্ধতা ইত্যাদি। এই সীমাবদ্ধতাকে অসমতার মাধ্যমে বা রৈখিক সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এগুলিকে একত্রে যোগাশ্রয়ী সীমাবদ্ধতা বা শর্ত (Constraints) বলে।

বাস্তব এবং পরীক্ষণ ক্ষেত্রে বিভিন্ন শর্তের অধীনে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান গাণিতিকভাবে অনুমান করা যায়।
একইভাবে পরীক্ষণ ক্ষেত্রে সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের সাহায্য করে।
বাস্তব ক্ষেত্রে যেখানে একাধিক উপায়ে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া সম্ভব সেখানে কম খরচের উপায় নির্দেশ করে।

অর্থনৈতিক পরিকল্পনা করতে।
উৎপাদন পরিকল্পনা এবং সময়সূচি নির্ধারণে।
কাঁচা মালের প্রাপ্যতা এবং মূল্য অনুযায়ী কি দ্রব্য উৎপাদন লাভজনক তা নির্ধারণে।
বিমান বন্দরে পাইলট, কর্মচারি, এয়ার হোস্টেজ এবং কেবিন ক্রু'দের শিডিউল নির্ধারণে।
কম খরচ সাপেক্ষ অধিক পুষ্টিকর খাদ্যতালিকা প্রস্তুতিতে।
গৃহপালিত প্রাণীদের জন্য সেরা খাদ্যমিশ্রণ প্রস্তুতিতে।
সমুদ্র বন্দরে জাহাজ ভেড়ানো এবং মাল নামানোর সময়সূচি প্রস্তুতিতে।
কোনো অফিস প্রোজেক্ট এর জন্য সেরা কর্মী বাছাই করতে।
পরিবহন ক্ষেত্রে খরচ অনুযায়ী কোন পথে সবচেয়ে কম খরচে পরিবহণ সম্ভব তা নির্ধারণ করতে।
যুদ্ধক্ষেত্রে সরঞ্জাম এবং লোকবল পাঠানোর সঠিক স্থান বাছাই করতে।
কর্মকর্তা এবং কর্মচারীদের বেতন-ভাতাদি তৈরী করতে।
শিক্ষার্থীদের প্রয়োজনীয় উপকরণ সরবরাহের সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে গাণিতিক মডেল তৈরীতে।

কতগুলি শর্ত পূরণ সাপেক্ষে যে কোনো সমস্যার ( সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়করণ ) সমাধান করার জন্য যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম প্রয়োগ করা হয়। নিম্নে শর্তগুলি উল্লেখ করা হলোঃ
সমস্যার একটি অভিষ্ট ফাংশন (Ojective Function) অবশ্যই থাকতে হবে যার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হবে এবং তাকে সিদ্ধান্ত চলকের রৈখিক অপেক্ষক বা ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যাবে।
সমস্যার অবশ্যই বিকল্প পদ্ধতির কার্যক্রম এর ব্যবস্থা থাকতে হবে। যেমনঃ একটি দ্রব্য দুইটি মেশিনে প্রস্তুত হতে পারে। এরূপ ক্ষেত্রে সমস্যা হবে কোন মেশিনে কত একক দ্রব্য প্রস্তুত হবে তা নির্ণয় করা।
যে কোনো সমস্যায় অবশ্যই সীমিত সম্পদ থাকতে হবে অর্থাৎ উৎসের বা সম্পদের সীমাবদ্ধতা থাকবে এবং সিদ্ধান্ত চলকের সাহায্যে প্রকাশ করলে অসমতা বা সমীকরণে পরিণত হবে। যেমনঃ একটি উৎপাদন কারখানায় কাঁচামালের যোগান সীমিত হতে হবে।
সিদ্ধান্ত চলকগুলি অবশ্যই পরস্পর সম্পর্কযুক্ত এবং অঋণাত্মক হতে হবে। যেমনঃ দুই প্রকার দ্রব্যের একটি \(x\) একক এবং অন্যটি \(y\) একক প্রস্তুত করা হলে \(x\) এবং \(y\) অঋণাত্মক হবে অর্থাৎ \(x\ge{0}, \ y\ge{0}\)

যোগাশ্রয়ী প্রগ্রামের উদ্দেশ্য হলো সর্বনিম্ন বিনিয়োগ করে সর্বোচ্চ লাভের উপায় নির্ণয় করে। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর সুবিধাসমূহ নিম্নরূপঃ
সর্বনিম্ন বিনিয়োগ করে সর্বোচ্চ মুনাফা লাভের উপায় নির্ণয় করা যায়।
উৎপাদনযোগ্য চলকের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ধারণে সহায়তা করা।
সামরিক কার্যক্রমে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম অপরিসীম ভূমিকা রাখে।
সকল অদৃশ্য এবং অনাকাঙ্ক্ষিত প্রতিবন্ধকতা চিহ্নিত করে সেগুলি দূরীকরণের ব্যবস্থা গ্রহণ করা যায়।
ভবিষ্যতে উৎপাদনকে অধিকতর সুবিধাজনক করার পরিকল্পনা গ্রহণে দূরদৃষ্টি এবং দক্ষতা বৃদ্ধি করা যায়।

"আধুনিক উৎপাদন এবং বন্ঠন ব্যবস্থায় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম একটি অপরিহার্য হাতিয়ার" উক্তিটির তাৎপর্যঃ
Click Me to Read

একটি সমস্যা থেকে কিভাবে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম এর মডেল তৈরী করতে হয় তার এ্যালগরিদম নিম্নরূপঃ
প্রথম ধাপঃ প্রদত্ত সমস্যাটি পর্যালোচনা করে কি নির্ণয় করতে হবে তা নির্ণয় করা।
দ্বিতীয় ধাপঃ যা নির্ণয় করতে হবে তার জন্য চলক নির্ধারণ করা।
তৃতীয় ধাপঃ চলকগুলির মান ধনাত্মক বা শূন্য অর্থাৎ চলক \(\ge{0}\) শর্ত আরোপ করা যাতে মানে এবং অবস্থানে বাস্তব সমাধান পাওয়া যায়।
চতুর্থ ধাপঃ চলকের মাধ্যমে মোট লাভ বা মোট খরচ নির্ণয় করা এবং ইহাকে উদ্দেশ্য ফাংশন বা অভিষ্ট ফাংশন (Objective function) আকারে প্রকাশ করা, যার সর্বোচ্চকরণ করতে হবে।
পঞ্চম ধাপঃ শর্তগুলিকে অসমতা বা সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা।
ষষ্ঠ ধাপঃ উদ্দেশ্য ফাংশন (চতুর্থ ধাপ থেকে প্রাপ্ত) এবং শর্তের অসমতা বা সমীকরণ (পঞ্চম এবং তৃতীয় ধাপ থেকে প্রাপ্ত) কে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মডেল আকারে প্রকাশ করা।
উদাহরণঃ একজন ফল বিক্রেতা আম এবং পেয়ারা মিলে মোট \(600\) টাকার ফল কিনবেন। কিন্তু দোকান ঘরে \(14\) টির বেশি বাক্স রাখতে পারবেন না। এক বাক্স আমের দাম \(50\) টাকা এবং এক বাক্স পেয়ারার দাম \(25\) টাকা। তিনি প্রতি বাক্স আম এবং পেয়ারা যথাক্রমে \(10\) টাকা এবং \(6\) টাকা লাভে বিক্রয় করেন। লোকটি যে পরিমাণ ফল কেনেন, তার সবই বিক্রয় হয়ে যায়। আম এবং পেয়ারা কতগুলি কিনলে তিনি সর্বোচ্চ লাভ করতে পারবেন।
মডেল তৈরীঃ

যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামকে বিভিন্ন পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়। সাধারণত লেখচিত্রের সাহায্যে দুই চলক বিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যার সমাধান করা হয়। এই পদ্ধতিটি অধিকতর সহজ হওয়ায় শিক্ষার্থীরা সহজেই এ পদ্ধতির সাহায্যে দুই চলকবিশিষ্ট যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সমাধান করতে পারে। এ পদ্ধতিতে সমাধানের জন্য তিনটি বিষয়ে জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। যথঃ
সম্ভাব্য সমাধান (Feasible solution)
সম্ভাব্য অঞ্চল (Feasible region) এবং
চরম সমাধান (Optimum solution)।
উক্ত বিষয় তিনটি, একটি উদাহরণে সহজে বুঝা যাবে।
উদাহরণঃ

প্রথমে প্রদত্ত অসমতাকে সমীকরণরূপে প্রকাশ করা হয়।
প্রত্যেকটি সমীকরণকে ছেদক আকৃতিতে প্রকাশ করতে হয় অথবা প্রত্যেকটি সমীকরণ থেকে কিছু বিন্দু নির্ণয় করতে হয়।
ছেদক আকৃতিতে প্রকাশ করা সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করতে হয়।
ছক কাগজ থেকে এমন একটি বিন্দু বাছাই করতে হয় যা রেখাটির উপর অবস্থিত নয়। কিন্তু তার অবস্থান এবং স্থানাঙ্ক জানা থাকা প্রয়োজন। এ ক্ষেত্রে মূলবিন্দু রেখাটির উপর অবস্থিত না হলে, মূলবিন্দু বাছাই করা উত্তম। রেখাটি মূলবিন্দুগামী হলে \((1, 0)\) অথবা \((0, 1)\) বিন্দু নেওয়া ভাল।
বিন্দুটি নিয়ে প্রত্যেকটি অসমতাকে বাছাই করতে হয়।
বিন্দুটির জন্য অসমতাটি সত্য হলে, উক্ত বিন্দুর দিকের অঞ্চলই হবে অসমতাটির অম্ভাব্য অঞ্চল। অন্যথায় বিন্দুটির বিপরীত দিকের অঞ্চলই হবে অসমতাটির অম্ভাব্য অঞ্চল।
যে অঞ্চল প্রত্যেকটি অসমতাকে সিদ্ধ করে সে অঞ্চলই হবে সমাধানের সম্ভাব্য অঞ্চল।

যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি নিচে দেওয়া হলোঃ
লেখচিত্র পদ্ধতি (Graphical method)
সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Simplex method)
বন্টন বা পরিবহণ পদ্ধতি (Distribution or transportation method)
দ্বৈত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Dual simplex method)
সংশোধিত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি (Revised simplex method)
ডাইনামিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি (Dynamic programming method)

যদি \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে \(a+ib\) আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা বা জটিল রাশি বলে যেখানে, \(i=\sqrt{-1}\) । \(a\) কে সংখ্যাটির বাস্তব অংশ এবং \(b\) কে কাল্পনিক অংশ বলা হয়। যদি \(Z=a+ib\) হয়, তবে \(Z\) এর বাস্তব অংশকে সংক্ষেপে \(Re(Z)\) এবং কাল্পনিক অংশকে \(Im(Z)\) অর্থাৎ, \(Re(Z)=a\) ও \(Im(Z)=b\) দ্বারা প্রকাশ করা করা হয়। সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a=0\) হলে, তাকে কাল্পনিক সংখ্যা বলে। আবার, কাল্পনিক অংশ \(b=0\) হলে তাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে \((a, b)\) ক্রমজোড় (ordered pair) আকারে প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(1+2i=(1, 2); \ 0+i=(0, 1); 2-5i=(2, -5)\) ইত্যাদি।

জটিল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রমজোড় \((x, y)\) হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাটি হচ্ছে জটিল সমতলে একটি বিন্দু, ঠিক যেমন বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখার উপর একটি বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা যায়। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয় জটিল সমতল বা জেড প্লেন। এ ক্ষেত্রে \(x\) অক্ষ বরাবর বাস্তব অংশ এবং \(y\) অক্ষ বরাবর সংখ্যাটির কাল্পনিক অংশ ধরা হয়। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় \((x, 0)\) আকারের প্রতিটি জটিল সংখ্যাই আসলে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর একেকটি বিন্দু, এবং এরা একই সাথে একেকটি বাস্তব সংখ্যা। এভাবে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দিকে যেতে থাকলে আমরা \(\mathbb{R}\) এর প্রতিটি সংখ্যা অর্থাৎ প্রত্যেকটা বাস্তব সংখ্যাকেই খুঁজে পাব। তার মানে আমরা এই \(x\) অক্ষকে আমাদের পরিচিত সংখ্যারেখা হিসেবে ভাবতে পারি।
অতএব, দেখা যাচ্ছে সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দুই আসলে জটিল সমতলের অন্তর্ভুক্ত। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় যে, \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)। যদি \((x, y)\) ক্রমজোড়টিকে আমরা \(Z\) নাম দেই তাহলে \(Z=(x, y)\) যেখানে \(Re(Z)=x\) এবং \(Im(Z)=y\) লেখা যায়।
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Z_{2}=(x_{2}, y_{2})\) সমান হবে যদি তারা জটিল সমতলে একই বিন্দু নির্দেশ করে, অর্থাৎ \((x_{1}, y_{1})=(x_{2}, y_{2})\) হয়, জটিল সংখ্যা পদ্ধতি আসলে বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতির একটা প্রাকৃতিক প্রবৃদ্ধি (Natural Extension)।

যে কোনো জটিল সংখ্যা \(a+ib\) এর ক্রমজোড় \((a, b)\) কে বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করে সমতলে নির্দেশ করা যায়। চিত্রের মাধ্যমে এ পদ্ধতি ১৮০৬ খৃস্টাব্দে প্রথম প্রকাশ করেন গণিতবিদ রবার্ট আরগাঁ। তার নাম অনুসারে জটিল সংখ্যা সমতলে স্থাপনের চিত্রকে আরগাঁ চিত্র (Argand diagram) বলা হয়।
মনে করি,
\(XOX^{\prime}\) ও \(YOY^{\prime}\) সরলরেখাদ্বয় কোনো সমতলে পরস্পরকে লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, \(XOX^{\prime}\) কে \(x\) অক্ষ এবং \(YOY^{\prime}\) কে \(y\) অক্ষ বলা হয়। \(x\) অক্ষকে বাস্তব অক্ষ এবং \(y\) অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ ধরা হলে, \(P(a, b)\) বিন্দুটি জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে নির্দেশ করবে, যেখানে জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a\) কে \(P\) বিন্দুটির ভুজ (বাস্তব অক্ষ বরাবর) এবং কাল্পনিক অংশ \(b\) কে \(P\) বিন্দুটির কোটি (কাল্পনিক অক্ষ বরাবর) হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
যদি \(b=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(x\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(a\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
আবার, \(a=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(y\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(b\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
Example:
\(-2+3i\) সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র পাশে দেখানো হলোঃ
\(-2+3i\) সংখ্যাটির ক্রমজোড় \((-2, 3)\)

\(Z=x+iy\) হলে \(Z\) কে কার্তেসীয় আকারের জটিল সংখ্যা বলা হয়। একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,
\(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
এখন, \(Z=x+iy\)
\(\Rightarrow Z=r\cos{\theta}+ir\sin{\theta}\)
\(=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\(=re^{i\theta}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}+i\sin{\theta}=e^{i\theta}\)

\(re^{i\theta}\) কে \(Z\) পোলার আকার বলা হয়।
\(\therefore re^{i\theta}=x+iy\)
এক্ষেত্রে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(r\) এবং \(\theta\) যথাক্রমে \(Z\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট।
দ্রষ্টব্যঃ \(\cos{\theta}+i\sin{\theta}=re^{i\theta}\) এবং \(\cos{\theta}-i\sin{\theta}=re^{-i\theta}\) এই সূত্র অয়লারের সূত্র (Euler's formula) নামে পরিচিত।
উদাহরণঃ \(Z=3+5i\) জটিল সংখ্যার পোলার আকার \(Z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
যেখানে, \(r=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{5}{3}}\)

কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy=(x, y)\) কে ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}\) হিসেবে চিহ্নিত করা যায়।
যার \(O\) আদি বিন্দু এবং \(P\) প্রান্ত বিন্দু।
দৈর্ঘ্য \(OP\) হলো \(\overrightarrow{OP}\) বা \((Z=x+iy)\) এর পরমমান
এবং \(Z=x+iy=\overrightarrow{OP}\) কে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর বলা হয়।

\(Z=x+iy\) জটিল সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র \(P\) বিন্দু এবং \(P\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,
চিত্রানুযায়ী \(OP=r\) এবং \(\angle{XOP}=\theta\)
\(r=OP=\sqrt{x^2+y^2}\) কে \(Z\) এর মডুলাস (প্রকৃতমান বা পরমমান) বলা হয়
এবং একে \(|Z|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ, \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\{Re(Z)\}^2+\{Im(Z)\}^2}\) ।
চিত্রানুযায়ী \(x=r\cos{\theta}\) এবং \(y=r\sin{\theta}\) তাহলে \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\) কে \(Z\) এর আর্গুমেন্ট বলা হয়।
যদি, \(-\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\) হয় তবে \(\theta\) কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়। \(Z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্টকে \(Arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(x\) এবং \(y\) এর মান নির্দিষ্ট থাকলেও ত্রিকোণমিতিক নিয়ম অনুযায়ী \(\theta\) এর অসংখ্য মান হতে পারে।
\(2n\pi+\theta\) কে সাধারণ আর্গুমেন্ট বলা হয়, যেখানে \(n\) যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\theta\) মুখ্য আর্গুমেন্ট। ইহাকে \(arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
অর্থাৎ, \(arg(Z)=2n\pi+\theta\)
উল্লেখ্য যে, \(-\pi\lt{\theta}\le{\pi}\) ব্যাবধিতে \(\theta\) এর কেবলমাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং এ মানটিই মূখ্য আর্গুমেন্ট। যদি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় করতে বলা হয়, সেক্ষেত্রে মূখ্য আর্গুমেন্টকেই বোঝায়।
উদাহরণঃ \(4+3i\) এর মডলাস এবং আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি \(Z=4+3i\)
\(\Rightarrow x=4, \ y=3\) ➜Note \(Z=x+iy\) এর সহিত তুলুনা করে।

\(Z\) এর মডুলাস \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এবং \(Z\) এর আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
\(\therefore \) মডুলাস \(=5\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)

\(x\gt{0}\) এবং \(y\gt{0}\) হলে, জটিল সংখ্যা \(x+iy, \ -x+iy, \ -x-iy\) ও \(x-iy\) কে যথাক্রমে \(P(x, y), \ Q(-x, y), \ R(-x, -y)\) ও \(S(x, -y)\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। \((x, y), \ (-x, y), \ (-x, -y)\) ও \((x, -y)\) বিন্দুর অবস্থান যথাক্রমে প্রথম , দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগে। জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট \(]-\pi, \pi]\) সীমার মধ্যে থাকে।
সুতরাং \(x\gt{0}, \ y\gt{0}\) হলে,
জটিল সংখ্যা \(x+iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
জটিল সংখ্যা \(-x+iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{-x}\right)}=\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
জটিল সংখ্যা \(-x-iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{-y}{-x}\right)}=\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}-\pi\)
জটিল সংখ্যা \(x-iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}=2\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)

\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা, \(\theta\) সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
তাহলে,
\(\theta=|arg(Z_{1})-arg(Z_{2})|\)
\(\theta\gt{\pi}\) হলে, জটিল সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে, \(=2\pi-\theta\)

\(\sqrt{-1}\) কে কাল্পনিক একক বলা হয় এবং একে \(i\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(i=\sqrt{-1}\)
\(\therefore i^2=-1\)
\(i^3=i^2.i=-i\)
\(i^4=i^2\times{i^2}=-1\times-1=1\)
\(i^5=i^2\times{i^2}\times{i}=-1\times-1\times{i}=i\) ইত্যাদি।
\(n\) যে কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে সাধারণভাবে,
\(i^{4n+1}=i^{4n}.i=(i^{2})^{2n}.i=(-1)^{2n}.i=\{(-1)^{2}\}^n.i\)\(=1^n.i=1.i=i\)
\(i^{4n+2}=i^{4n}.i^2=(i^{2})^{2n}\times-1=(-1)^{2n}\times-1\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-1=1^n\times-1=1\times-1=-1\)
\(i^{4n+3}=i^{4n}.i^2.i=(i^{2})^{2n}\times-1\times{i}=(-1)^{2n}\times-i\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-i=1^n\times-i=1\times-i=-i\)
\(i^{4n+4}=i^{4n}.i^4=(i^{2})^{2n}.(i^2)^2=(-1)^{2n}.(-1)^2\)\(=\{(-1)^{2}\}^n.1=1^n=1\) ইত্যাদি।
আবার,
\(i^{-1}=\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i\)
\(i^{-2}=\frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
\(i^{-3}=\frac{1}{i^3}=\frac{1}{i^2.i}=\frac{1}{-1.i}\)\(=\frac{1}{-i}=\frac{i}{-i^2}=\frac{i}{-(-1)}=\frac{i}{1}=i\)
\(i^{-4}=\frac{1}{i^4}=\frac{1}{i^2.i^2}=\frac{1}{(-1)(-1)}\)\(=\frac{1}{1}=1\) ইত্যাদি।

জটিল সংখ্যার যোগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর যোগফল \(Z_{1}+Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}+Z_{2}=x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4-2)+i(-3+5)\)
\(=2+2i\)
জটিল সংখ্যার বিয়োগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর বিয়োগফল \(Z_{1}-Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}-Z_{2}=x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2}\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4+2)+i(-3-5)\)
\(=6-8i\)

জটিল সংখ্যার গুণঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর গুণফল \(Z_{1}Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(=x_{1}x_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})-y_{1}y_{2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর গুণফল \(=\{4\times-2-(-3)\times5\}+i\{4\times5+(-2)\times-3\}\)
\(=\{-8+15\}+i\{20+6\}\)
\(=7+26i\)
জটিল সংখ্যার ভাগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর ভাফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((x_{2}-iy_{2})\) গুণ করে।

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর ভাফল \(=\frac{\{4\times-2+(-3)\times5\}-i\{4\times5-(-2)\times-3\}}{(-2)^2+5^2}\)
\(=\frac{\{-8-15\}-i\{20-6\}}{4+25}\)
\(=\frac{-23-14i}{29}\)
\(=-\frac{23}{29}-\frac{14}{29}i\)

\(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে অর্থাৎ, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(x_{1}=x_{2}\) এবং \(y_{1}=y_{2}\) হয়।
Click Me to Proof
\(Z_{1}=3+5i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে।
\(Z_{1}=5+3i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}\ne{Z_{2}}\) হবে কারণ, \(Re(Z_{1})\ne{Re(Z_{1})}\) এবং \(Im(Z_{1})\ne{Im(Z_{1})}\)।

জটিল সংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে একটি বিশেষ অবস্থা লক্ষ করি, \(a+ib\) এর সাথে \(a-ib\) গুণ করলে পাই, \(a^2-i^2b^2=a^2+b^2\in{\mathbb{R}}\) যা একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং কোনো জটিল সংখ্যাকে যে জটিল সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে ফলাফল বাস্তব সংখ্যা হয় তাদের পরস্পর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়।
\(a+ib\) এবং \(a-ib\) জটিল সংখ্যা দুইটির একটিকে অপরটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা নির্ণয় করেতে শুধুমাত্র কাল্পনিক একক \(i\) এর চিহ্নের পরিবর্তন করতে হয়।
কোনো জটিল সংখ্যাকে \(Z\) দ্বারা প্রকাশ করলে, তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যাকে \(\overline{Z}\) অথবা \(Z^{\star}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং \(Z=a-ib\) হলে, \(\overline{Z}=a+ib\) বা \(Z^{\star}=a+ib\)
ফরাসি গণিতবিদ অগাস্টিন কসি (1789-1857) ১৮২১ খ্রিস্টাব্দে অনুবন্ধী শব্দটি প্রবর্তন করেন।
\(2+3i, \ 2-3i\) ও \(3i\) জটিল সংখ্যাগুলির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা যথাক্রমে \(2-3i, \ 2+3i\) ও \(-3i\)
উল্লেখ্য জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী সংখ্যাটিতে বাস্তব অংশের কোনো পরিবর্তন হয় না, কিন্তু কাল্পনিক অংশের চিহ্নের পরিবর্তন হয়।
যদি \(x\) কোনো বাস্তব সংখ্যা হয় তবে একে \(x+i.0\) লেখা যায় এবং সংখ্যাটির অনুবন্ধী সংখ্যা \(x-i.0=x\) হয়। অর্থাৎ কোনো জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ শূন্য (0) হলে তার অনুবন্ধী সংখ্যা ও ঐ সংখ্যাটি একই।
জটিল সমতলে কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এবং তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(\overline{Z}=x-iy\) পাশের চিত্রে দেখানো হলো।

কোনো জটিল সংখ্যা \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\ne{0}\) দ্বারা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) কে ভাগ করলে তা, \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\) হয়।
এ রাশিটিকে \(A+iB\) আকারে পরিণত করার পদ্ধতি নিম্নরূপঃ
\(\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}-ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-i^2y_{1}y_{2}}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) যা \(A+iB\) আকারের।
অর্থাৎ, ভাগ আকৃতির জটিল রাশিকে, রাশিটির হরের অনুবন্ধী সংখ্যা দ্বারা লব ও হরকে গুণ করে সরল করলে অপর একটি জটিল রাশি আকারে পরিণত করা যায়।
উদাহরণঃ \(\frac{-1+2i}{3+4i}\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
\(\frac{-1+2i}{3+4i}\)
\(=\frac{(-1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((3-4i)\) গুণ করে।

\(=\frac{-3+4i+6i-8i^2}{3^2-4^2i^2}\)
\(=\frac{-3+10i+8}{9+16}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{5+10i}{25}\)
\(=\frac{5}{25}+\frac{10}{25}i\)
\(=\frac{1}{5}+i\frac{2}{5}\)
\(A+iB\) আকারে প্রকাশ করঃ
\((1)\) \((a+ib)(c+id)\)
\((2)\) \(\frac{(1+i)^3}{4+3i}\)
\((3)\) \(\frac{5+2i}{4-3i}\)
Click Me to Solve

কোনো জটিল সংখ্যা \(x+iy=0\) হবে, যদি \(x=0\) এবং \(y=0\) হয়।
প্রমাণঃ
\(x+iy=0,\) যেখানে \(x,y\in{\mathbb{R}}\)
\(\therefore x=-iy\)
\(\Rightarrow x^2=i^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2=-y^2\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=0\)
\(\therefore x=0, \ y=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

দুইটি জটিল সংখ্যা \(x_{1}+iy_{1}\) এবং \(x_{2}+iy_{2}\) সমান হবে যদি প্রথমটির বাস্তব অংশ \((x_{1})=\) দ্বিতীয়টির বাস্তব অংশ \((x_{2})\) এবং প্রথমটির কাল্পনিক অংশ \((y_{1})=\) দ্বিতীয়টির কাল্পনিক অংশ \((y_{2})\) হয়।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধীর অনুবন্ধী ঐ জটিল সংখ্যাই অর্থাৎ \(\overline{\overline{Z}}=Z\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=\overline{x-iy}\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=x+iy\) ➜Note \(\because \overline{x-iy}=x+iy\)

\(\therefore \overline{\overline{Z}}=Z\)
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর সমষ্টি \(Z+\overline{Z}\) এবং গুণফল \(Z\overline{Z}\) উভয়ে বাস্তব সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
এখন, \(Z+\overline{Z}\)
\(=x+iy+x-iy\)
\(=2x\) যা বাস্তব।
আবার,
\(Z\overline{Z}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\) যা বাস্তব। ➜Note \(\because i^2=-1\)

দুইটি অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর বিয়োগফল \(Z-\overline{Z}\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা এবং ভাগফল \(\frac{Z}{\overline{Z}}\) একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
অনুবন্ধী নয় এরূপ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) এর যোগফল \((Z_{1}+Z_{2}),\) বিয়োগফল \((Z_{1}-Z_{2}),\) গুণফল \((Z_{1}Z_{2})\) এবং ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রতিটিই এক একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর মূলও একটি জটিল সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(\sqrt[n]{a+ib}=x\)
তাহলে, \(a+ib=x^n\)
যদি \(x\) বাস্তব সংখ্যা হয় তবে \(x^n\) ও একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যা \((a+ib)\) একটি বাস্তব সংখ্যা \((x^n)\) এর সমান হয়ে যায়, যা অসম্ভব। অতএব, \(x\) একটি জটিল সংখ্যা হবে। অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যার \(n-\)তম (যে কোনো সসীমতম) মূলও জটিল সংখ্যা হবে। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যার মূল একটি জটিল সংখ্যা।
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর শক্তির সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে শক্তিবিশিষ্ট জটিল সংখ্যাটিও একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) হলে
(a) \(|Z|=|\overline{Z}|=|-Z|=|-\overline{Z}|\)
(b) \(|Z|^2=|\overline{Z}|^2=|-Z|^2=|-\overline{Z}|^2=Z\overline{Z}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(|Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+|Z_{3}|}\)
\(|Z_{1}+Z_{2}+....+Z_{n}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+....+|Z_{n}|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\ge{|Z_{1}|-|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(Z\times\frac{1}{Z}=1\)
\(\Rightarrow \left|Z\times\frac{1}{Z}\right|=|1|\)
\(\Rightarrow |Z|\times\left|\frac{1}{Z}\right|=1\) ➜Note \(\because |ab|=|a||b|\)

\(\therefore \left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা এবং \(Z_{2}\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)
Click Me to Proof

ধরি, জটিল সমতলে \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দু দ্বারা সূচিত। । \(OPRQ\) একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি, যেখানে \(OP\) এবং \(OQ\) সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
\(P, \ Q\) ও \(R\) বিন্দু হতে \(x\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(PA, \ QB\) ও \(RC\) লম্ব অঙ্কন করি। তাহলে \(A\) ও \(B\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, 0)\) ও \((x_{2}, 0)\)।
এখানে, \(OC=OX\) এর উপর, \(OR\) এর লম্ব অভিক্ষেপ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(PR \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(OQ \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ➜Note \(\because OQ\parallel{PR}\)
এবং \(OQ=PR\)

\(=OA+OB\)
\(=x_{1}+x_{2}\)
আবার, \(OY\) এর উপর লম্ব অভিক্ষেপ অঙ্কন করে এভাবে দেখানো যায়, \(RC=y_{1}+y_{2}\)
সুতরাং, \(R\) বিন্দুর ভুজ \(x_{1}+x_{2}\) এবং কোটি \(y_{1}+y_{2}\)
অর্থাৎ, \(R\) বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2})\)
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}+Z_{2}\) ➜Note \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সুতরাং, জটিল সমতলে \(R\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত জটিল সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল প্রকাশ করে।
অনুরূপভাবে, \(OQ^{\prime}SP\) সামান্তরিক অঙ্কন করি যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে \(OQ^{\prime}\) ও \(OP\)
এখানে, \(-Z_{2}=-x_{2}-iy_{2}\) জটিল সংখ্যাটি \(Q^{\prime}\) বিন্দু সূচিত করে। পূর্বের ন্যায় অগ্রসর হয়ে দেখানো যায় যে, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটিই \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে এবং \(S\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2})\)।
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})-(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}-Z_{2}\) ➜Note \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সতরাং, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে।
চিত্র হতে,
\(OR\le{OP+PR}\)
\(\Rightarrow OR\le{OP+OQ}\)
\(\therefore |Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)

ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল,
\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\times{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i(\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}})-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=r_{1}r_{2}\{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)

\(\therefore Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(|Z_{1}Z_{2}|=|r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}|\)
\(=r_{1}r_{2}|\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}|\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=r_{1}r_{2}\)
\(\therefore |Z_{1}Z_{2}|=r_{1}r_{2}\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
আবার,
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=\tan^{-1}{\left\{\frac{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{r_{1}r_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\therefore Arg(Z_{1}Z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের গুণফলের সমান।
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের যোগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর গুণফল \(Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=r_{1}r_{2}=|Z_{1}||Z_{2}|=OP.OQ\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{POA}\) এর সমান \(\angle{QOR}\) অঙ্কন করি যেন \(OR=\frac{OP.OQ}{OA}\) হয়।
তাহলে, \(R\) বিন্দুই \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল প্রকাশ করে।
\(P, A\) এবং \(R, Q\) যোগ করি। উৎপন্ন ত্রিভুজদ্বয় \(POA\) এবং \(ROQ\) হতে \(\angle{POA}=\angle{ROQ}\) এবং \(\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{OA}\) পাওয়া যায়। সুতরাং \(POA\) এবং \(ROQ\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
অতএব আরগাঁ চিত্রে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের জন্য \(OX\) হতে নির্বাচিত স্কেলে \(OA=1\) অংশ কেটে নিয়ে অঙ্কিত \(POA\) ত্রিভুজের সদৃশ \(ROQ\) ত্রিভুজ আঁকতে হবে, যেখানে \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) অবস্থিত তার বিপরীত পাশে \(OR\) অবস্থিত। তাহলে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল \(R\) দ্বারা প্রকাশিত হবে।

ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের ভাগফল,
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})\) গুণ করে।

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}-i^2\sin^2{\theta_{2}}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}+\sin^2{\theta_{2}}}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})}{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)

\(\therefore \frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\right|\)
\(=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\right|\times|\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}|\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\therefore \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\Rightarrow \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
আবার,
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\frac{r_{1}}{r_{2}}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের ভাগফলের সমান।
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের বিয়োগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}=\frac{OP}{OQ}\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OP\) এর যে পাশে \(OQ\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{QOX}\) এর সমান \(\angle{POR}\) অঙ্কন করি যেন \(\angle{OQP}\) এর সমান \(\angle{OAR}\) হয়।
তাহলে চিত্রানুযায়ী, \(\angle{QOX}=\theta_{2}=\angle{POR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}+\angle{POX}=\angle{POX}+\angle{XOR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}=\angle{XOR}=\angle{AOR}\)
আবার, \(\angle{OQP}=\angle{OAR}\)
সুতরাং, \(OPQ\) এবং \(OAR\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে, \(\frac{OR}{OP}=\frac{AR}{PQ}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{1}{OQ}\) ➜Note \(\because OA=1\)

\(\therefore OR=\frac{OP}{OQ}\)
আবার, \(\angle{XOR}=\angle{POR}-\angle{POX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
অতএব, \(R\) বিন্দুই দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রকাশ করে।
\(Question.\) \(Z_{1}=2+3i, \ Z_{2}=2-2i\) হলে, জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখাওঃ
\((a) \ Z_{1}+Z_{2}\)
\((b) \ Z_{2}-Z_{1}\)
\((c) \ Z_{1}Z_{2}\)
\((d) \ \frac{Z_{1}}{Z_{2}}\)

\(|Z-k_{1}|=k_{2}\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((k_{1}, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k_{2}\)
\(|Z|=k\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k\)
\(|aZ+k_{1}|=|aZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(|aZ+k_{1}|=|bZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Z\overline{Z}=a^2\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\)
\(|Z+k|=x\) বা, \(|Z+k|=y\) সমীকরণটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(|Z+k|+|Z-k|=r\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Question.1\) \(Z_{1}, \ Z_{2}, \ Z_{3}\) ও \(Z_{4}\) জটিল সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}+Z_{3}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{||Z_{2}|-|Z_{3}||}\) যখন \(|Z_{2}|\ne{|Z_{3}|}\)
\((b) \ \left|\frac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}+Z_{4}}\right|=\frac{|Z_{1}|+|Z_{2}|}{||Z_{3}|-|Z_{4}||}\) যখন \(|Z_{3}|\ne{|Z_{4}|}\)
উদাহরণের যাহায্যে \((1)\) ও \((2)\) এর সত্যতা যাচাই কর।
\((2) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z-2|=3\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। এটি কিসের সমীকরণ নির্দেশ করে?
\((3) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z+2i|\gt{3}\) দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।

\(a+ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}}, \ b\gt{0})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a+ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}+i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
Click Me to Proof
আবার, \(b\lt{0}\) হলে,
\(a-ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a-ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}-i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)

\(1\) এর ঘনমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt[3]{1}=1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
একের তিনটি ঘনমূল \(1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)। এদের মধ্যে \(1\) বাস্তব এবং অপর দুইটি \(\left\{\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\right\}\) জটিল।
বিষেশ দ্রষ্টব্যঃ যে কোনো বাস্তব সংখ্যা \(a^3\) এর তিনটি ঘনমূল হচ্ছে \(a, \ a\omega, \ a\omega^2.\)

একের জটিল ঘনমূল দুইটির গুণফল \(1\) অর্থাৎ একটি অপরটির বিপরীত।
অতএব, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\frac{1}{\omega}=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \frac{1}{\omega}\)।
আবার, \(\omega\times\omega^3=1\) ➜Note যেহেতু জটিল মূল দ্বয়ের গুণফল \(1\)।

\(\therefore \omega^3=1\)।
একের জটিল ঘনমূল দুইটি একটি অপরটির বর্গ।
অর্থাৎ, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\omega^2=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \omega^2\)।
একের ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য \((0)\)।
অর্থাৎ, \(\omega^2+\omega+1=0\)
Click Me to Proof
দ্রষ্টব্যঃ
\(\omega^3=1\) \(\omega^2+\omega+1=0\) \(\omega^{n+2}+\omega^{n+1}+1=0\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)

\(\omega\) একের জটিল ঘনমূলের একটি হলে,
অপর জটিল ঘনমূলটি হয় \(\omega^2\)
সে ক্ষেত্রে \(\omega^3=1\)
তাহলে, \(\omega^4=\omega^3\times\omega=1\times\omega=\omega\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^5=\omega^3\times\omega^2=1\times\omega^2=\omega^2\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^6=(\omega^3)^2=1^2=1\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

অতএব, \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\(\omega^{3n}=(\omega^3)^n=1^n=1\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+1}=\omega^{3n}\times\omega=(\omega^3)^n\times\omega=1^n\times\omega=\omega\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+2}=\omega^{3n}\times\omega^2=(\omega^3)^n\times\omega^2=1^n\times\omega^2=\omega^2\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

অর্থাৎ, \(\omega^{n}=1, \ \omega, \ \omega^2\) হবে যদি \(n\) কে \(3\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে \(0, \ 1, \ 2\) হয়।

কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সব কয়টি একবারে নিয়ে যত প্রকারে নির্বাচন বা দল (ক্রম বর্জন করে) গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ বলে।
\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r \ (r\le{n})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যাকে সাধারণত \(^{n}C_{r}\) বা \(C(n,r)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তিনটি বস্তু \(A, \ B, \ C\) থেকে দুইটি করে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দলগুলি হবে- \(AB, \ AC, \ BC\)
আবার, \(3\) টি বস্তু একবারে নিয়ে দল গঠন করলে সম্ভাব্য দল হবে- \(ABC\)
উপরের প্রত্যেকটি দলকে এক একটি সমাবেশ বলা হয়।

\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা \(^{n}C_{r}\) হলে, \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\); যেখানে, (\(n\) এবং \(r\) প্রত্যেকেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(n\ge{r}\) )
\(^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\ \text{যখন,} \ n, \ r\gt{0}; \ n\ge{r}\)
Click Me to Proof
অনুসিদ্ধান্তঃ \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর \(p\) সংখ্যক বস্তু এক প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে, তাদের \(r \ (r\ge{p})\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ সংখ্যাঃ
\[{\sum_{i=0}^{p}}{^{n-p}C_{r-i}}={^{n-p}C_{r}}+{^{n-p}C_{r-1}}+{^{n-p}C_{r-2}}+...+{^{n-p}C_{r-p}}\]
উদাহরণঃ \(DHAKA\) শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায় তা নির্ণয় কর।
\(DHAKA\) শব্দটিতে মোট \(5\) টি বর্ণ যার মধ্যে \(2\) টি \(A\) এবং \(3\) টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে।
বর্ণগুলি হতে প্রতিবার \(3\) টি করে বর্ণ নিয়ে বাছাইয়ের উপায় \(={^{5-2}C_{3}}+{^{5-2}C_{3-1}}+{^{5-2}C_{3-2}}\)
\(={^{3}C_{3}}+{^{3}C_{2}}+{^{3}C_{1}}\)
\(=1+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}\) ➜Note \(\because {^{n}C_{n}}=1\)
এবং \({^{n}C_{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

\(=1+\frac{3.2!}{2!1!}+\frac{3.2!}{1!2!}\)
\(=1+3+3\) ➜Note \(\because 1!=1\)

\(=7\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে কমপক্ষে \(r \ (r\le{p})\) সংখ্যক বস্তু বাছাইয়ের উপায়ঃ
\[{\sum_{i=r}^{p}}{^{p}C_{i}}={^{p}C_{r}}+{^{p}C_{r+1}}+{^{p}C_{r+2}}+...+{^{p}C_{p}}\]
অনুসিদ্ধান্তঃ \[{\sum_{r=0}^{n}}{^{n}C_{r}}=2^n\]
\(^nC_{n}=1\)
Click Me to Proof

\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা, \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \((n-r)\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যার সমান।
\(^nC_{r}={^nC_{n-r}}\)
Click Me to Proof
অনুসিদ্ধান্তঃ \({^{n}C_{r}}={^{n^{\prime}}C_{r}}\) \(\Rightarrow n=n^{\prime}\)
এবং \({^{n}C_{r}}={^{n}C_{r^{\prime}}}\) \(\Rightarrow r=r^{\prime}\)
\(^nC_{0}=1\)
Click Me to Proof

প্রমাণ কর যে,
\({^nC_{r}}+{^nC_{r-1}}={^{n+1}C_{r}}\)
Click Me to Proof

\(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r-p}}\) যেখানে, \(r\ge{p}\)
Click Me to Proof \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার \(r\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা যাতে \(p\) সংখ্যক নির্দিষ্ট বস্তু কোনো সময় না থাকে,
সমাবেশ সংখ্যা \(={^{n-p}C_{r}}\)
Click Me to Proof \(n\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রত্যেকবার অন্তত একটি বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=2^{n}-1\)
Click Me to Proof \(p\) সংখ্যক এক জাতীয়, \(q\) সংখ্যক অন্য এক জাতীয় , \(r\) সংখ্যক অন্য আর এক জাতীয় এবং \(k\) সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন হলে যেকোনো সংখ্যক নিয়ে উৎপন্ন সমাবেশ সংখ্যাঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=(p+1)(q+1)(r+1)2^{k}-1\)
Click Me to Proof নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু একাধিক ভাগে বিভক্ত হওয়ার সমাবেশ সংখ্যা,
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p_{1}+p_{2}+p_{3}+ ...+p_{n})!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}! ... ... p_{n}!}\)
Click Me to Proof অনুসিদ্ধান্তঃ \((m+n+p)\) সংখ্যক বস্তু থেকে \(m, \ n\) ও \(p\) সংখ্যক বস্তু নিয়ে তিনটি ভাগে বিভক্ত করার সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(m=n=p\) হলে, তিনটি ভাগ একই হবে এবং এক্ষেত্রে ভাগগুলিকে নিজেদের মধ্যে \(3!\) উপায়ে বিন্যাস করা যায়।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3m)!}{3!(m!)^3}\)
আবার, বস্তুগুলিকে তিনজন ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{(3m)!}{(m!)^3}\)
উদাহরণঃ \(52\) খানা তাস \(4\) টি ভাগে সমানভাবে ভাগ করার উপায় \(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
কিন্তু \(52\) খানা তাস \(4\) ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায় \(=\frac{52!}{(13!)^4}\)

\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{2!(p+q)!}{p!q!}\)
Click Me to Proof

\((p+q)\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে দুইটি দলে বিভক্ত করতে হবে যেন একদলে \(p\) সংখ্যক ও অন্য দলে \(q\) সংখ্যক বস্তু থাকে।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(p+q)!}{p!q!}\)
Click Me to Proof

\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A\) ও \(B\) দুইটি দলে সমানভাবে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{(p!)^2}\)
Click Me to Proof

\(2p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(2p)!}{2!(p!)^2}\)
Click Me to Proof অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি গ্রুপে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(3p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(3p)!}{3!(p!)^3}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে \(A, \ B, \ C\) ও \(D\) \(4\) টি গ্রুপে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ \(4p\) সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে দেওয়া হলে সমাবেশ সংখ্যা হবেঃ
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)

সূত্রের ব্যাখ্যাঃ
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((ab, \text{ ও} \ cd)\) অথবা \((ac, \text{ ও} \ bd)\) অথবা \((ad, \text{ ও} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{2!(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{(2)^2}\) ➜Note \(\because 2!=2\)

\(=\frac{4.3}{4}\)
\(=3\)
\(a, \ b, \ c, \ d\) কে \(A\) ও \(B\) দুইটি গ্রুপে সমান দুই ভাগে ভাগ করার উপায়,
\((A \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ab, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ cd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bd)\)
অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ac, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bd)\) অথবা \((A \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ B \text{ গ্রুপে} \ bc)\) অথবা \((B \text{ গ্রুপে} \ ad, \text{ ও} \ A \text{ গ্রুপে} \ bc)\)
অর্থাৎ \(=\frac{4!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3.2!}{(2!)^2}\)
\(=\frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2}\) ➜Note \(\because 2!=2\)

\(=6\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{4!(p!)^4}\)
\(4p\) সংখ্যক বস্তুকে চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{(4p)!}{(p!)^4}\)
\(52\) খানা তাস সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{4!(13!)^4}\)
\(52\) খানা তাস চার জনের মধ্যে সমান চার ভাগে ভাগ করার উপায়,
\(=\frac{52!}{(13!)^4}\)

আমরা জানি, \(^nC_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\)
এবং \(^nC_{r-1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}\)
এখন, \(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}\)
\(\therefore \frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
এখন, \(^nC_{r}\gt{^nC_{r-1}}\) বা, \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\) বা, \(^nC_{r}\lt{^nC_{r-1}}\) হয়।
তাহলে, \(n-r+1\gt{r}\) বা, \(n-r+1=r\) বা, \(n-r+1\lt{r}\) হয়।
\(\Rightarrow n+1\gt{2r}\) বা, \(n+1=2r\) বা, \(n+1\lt{2r}\) হয়।
\(\Rightarrow 2r\lt{n+1}\) বা, \(2r=n+1\) বা, \(2r\gt{n+1}\) হয়।
\(\therefore r\lt{\frac{1}{2}(n+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(n+1)}\) হয়।
\(n\) জোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m \Rightarrow m=\frac{n}{2}\)
তাহলে, \(r\lt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) বা, \(r=\frac{1}{2}(2m+1)\) বা, \(r\gt{\frac{1}{2}(2m+1)}\) হয়।
\(\Rightarrow r\lt{m+\frac{1}{2}}\) বা, \(r=m+\frac{1}{2}\) বা, \(r\gt{m+\frac{1}{2}}\) হয়।
কিন্তু \(r\) এবং \(m\) পূর্ণ সংখ্যা বলে, \(r\) এর মান \(m+\frac{1}{2}\) হতে পারে না।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+\frac{1}{2}}\) অর্থাৎ \(r\) এর \(1\) হতে \(m\) পর্যন্ত সকল মানের জন্য \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং \(r\) এর \(m+1\) হতে পরবর্তী সকল মানের জন্য পদ প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ হতে ক্ষুদ্রত্তর হবে।
অতএব, \(r=m \Rightarrow r=\frac{n}{2}\) হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে।
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
ধরি, \(n=2m+1 \Rightarrow m=\frac{1}{2}(n-1)\)
\(\Rightarrow m+1=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{1}{2}(n+1)\)
তাহলে, \(r\lt{m+1}\) বা, \(r=m+1\) বা, \(r\gt{m+1}\) হয়।
এইরূপে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{m+1},\) \(^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \) ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে এবং যখন \(r=m+1,\) তখন \(^nC_{r}=\ ^nC_{r-1}\)
\(\Rightarrow ^nC_{m+1}=\ ^nC_{m}\)
আবার, \(r\gt{m+1}\) হলে, ঐ ধারাটির প্রত্যেকটি পদ তার পূর্ববর্তী পদ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে।
সুতরাং এই ক্ষেত্রে \(^nC_{m}\) এবং \(^nC_{m+1}\) সমান এবং বাকিগুলির যে কোনোটি অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
অতএব, \(^nC_{r}\) বৃহত্তম হবে যখন \(r=m\) বা \(r=m+1\) হবে।
অর্থাৎ যখন \(r=\frac{1}{2}(n-1)\) বা \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) হবে।

বহপদী একটি বীজগাণিতিক রাশি যা এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট এবং এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট হতে পারে। এ রাশিতে চলকের ঘাত শুন্য বা স্বাভাবিক সংখ্যা হতে হবে।
বহপদীঃ এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশির চলকের ঘাত শুন্য বা স্বাভাবিক সংখ্যা হলে সেটিকে বহুপদী বলে।
বহুপদী রাশিতে বিদ্যমান পদগুলিতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে ঐ রাশির ঘাত বলা হয়।
একটি বহুপদী রাশিতে একটি মাত্র চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে এক চলকের বহুপদী, দুইটি চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে দুই চলকের বহুপদী, তিনটি চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে তিন চলকের বহুপদী বলা হয়। এভাবে বহুপদী রাশিতে যে কয়টি চলক বিদ্যমান থাকে রাশিটিকে তত চলকের বহুপদী বলা হয়।
যদি কোনো বীজগাণিতিক রাশিতে কোনো চলক না থাকে অর্থাৎ, রাশিটি শুধুমাত্র একটি ধ্রুবকের রাশি হয় তবে ঐ রাশিকে শূন্য ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী বলা হয়।

\(a_{0}\) একটি শূন্য ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী।
\(a_{0}x+a_{1}\) একটি এক ঘাতবিশিষ্ট এক চলকের বহুপদী।
\(10x^3+5x^2-4x+8\) একটি তিন ঘাতবিশিষ্ট এক চলকের বহুপদী।
\(a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}\) একটি \(n\)ঘাতবিশিষ্ট এক চলকের বহুপদী।
এখানে \(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2} ...... a_{n}\) ধ্রুবক এবং \(a_{0}\ne{0}\)

\(ax+by+c\) একটি এক ঘাতবিশিষ্ট দুই চলকের বহুপদী।
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c\) একটি দুই ঘাতবিশিষ্ট দুই চলকের বহুপদী।
\(6x^3+4x^2y+3xy^2+7x^2+3y+3\) একটি তিন ঘাতবিশিষ্ট দুই চলকের বহুপদী।
\(ax^2yz+bxy^3+cz^4\) একটি চার ঘাতবিশিষ্ট তিন চলকের বহুপদী।

\(5x^2+2x^{\frac{2}{3}}+4\) রাশিটি বহুপদী নয় কেননা, দ্বিতীয় পদে \(x\) এর ঘাত \(\frac{2}{3}\) যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
\(6x^3+5x^2-7x^{-1}+4\) রাশিটি বহুপদী নয় কেননা, তৃতীয় পদে \(x\) এর ঘাত \(-1\) যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

কোনো বহুপদীর সকল পদের ঘাত সমান হলে ঐ বহুপদীকে সমমাত্রিক বহুপদী এবং সমান না হলে তাকে অসমমাত্রিক বহুপদী বলা হয়।
যেমনঃ \(ax^2+2hxy+by^2\) একটি \(x\) ও \(y\) চলকের দুই ঘাতবিশিষ্ট সমমাত্রিক বহুপদী।
যেমনঃ \(ax^2+bx+c\) একটি \(x\) চলকের দুই ঘাতবিশিষ্ট অসমমাত্রিক বহুপদী। কেননা,

বীজগণিতীয় চলক সম্বলিত দুইটি রাশি \("="\) চিহ্ন দিয়ে সংযুক্ত হলে ঐ রাশিদ্বয়ের সমতাজ্ঞাপক সম্বন্ধটিকে সমীকরণ বলে।
এতে ব্যবহৃত চলককে বলে অজ্ঞাত রাশি।
সমীকরণের সমান চিহ্নের বাম দিকের রাশিকে বাম পক্ষ এবং ডান দিকের রাশিকে ডান পক্ষ বলে।
যেমনঃ \((i) \ 3x+5=2x+2\)
\((ii) \ 2x^2+5=2x\)
\((iii) \ 3x^3+5x^2=2x+8\)
\((iv) \ 4x^4+5x^2-6x+8=0\)

যদি কোনো সমীকরণ এর অজ্ঞাত রাশি বা চলকের ঘাত সংখ্যার অধিক মান দ্বারা সিদ্ধ হয় তবে ঐ সমীকরণকে অভেদ বলে।
যেমনঃ \((i) \ (x+2)^2=x^2+4x+4\)
\((ii) \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((iii) \ (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)
দ্রষ্টব্যঃ প্রত্যেক অভেদ একটি সমীকরণ তবে প্রত্যেক সমীকরণ অভেদ নয়।

\(f(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ ... ... +a_{n}\) একটি \(n\) ঘাতের বহুপদী। যদি বহুপদীটি শূন্য এর সমান হয়, অর্থাৎ \(f(x)=0\) বা \(a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ ... ... +a_{n}=0\) হয় এবং \(a_{0}\ne{0},\) তবে এই সমীকরণকে \(x\) এর \(n\) ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ বা সংক্ষেপে \(x\) এর \(n\) ঘাতের বহুপদী সমীকরণ বলা হয়।
যেখানে, \(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, .....a_{n}\) ইত্যাদি সমীকরণটির সহগ।
যেমনঃ \(ax^2+bx+c=0, \ a\ne{0}\) একটি \(x\) চলকের দুই ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ বা সংক্ষেপে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।
একইভাবে, \(5x^3+4x^2+8x+2=0\) একটি \(x\) চলকের ত্রিঘাত সমীকরণ।

ধরি, \(f(x)=0\) একটি বহুপদী সমীকরণ।
যদি \(f(a)=0\) হয়, তবে \(x=a\) কে বহুপদী সমীকরণের একটি মূল বলা হয়।
যেমনঃ \(x^2-3x+2=0\)
বা, \(f(x)=0\) সমীকরণের দুইটি মূল \(1\) এবং \(2,\)
কেননা \(f(x)=x^2-3x+2\) এর জন্য \(f(1)=0\) ও \(f(2)=0\)

বর্ণনাঃ যদি \(f(x)\) একটি বহুপদী হয় এবং \(f(a)=0\) হয়, তবে বহুপদী \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \(x-a\) হবে।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ ধরি, \(f(x)=x^4-2x^3-21x^2+22x+40\)
এখানে, \(f(-1)=(-1)^4-2.(-1)^3-21.(-1)^2+22.(-1)+40\)
\(=1+2-21-22+40\)
\(=-43+43\)
\(=0\)
অর্থাৎ, বহুপদী \(f(x)\) এর \(x-(-1)=x+1\) একটি উৎপাদক।
তাহলে, \(x^4-2x^3-21x^2+22x+40=(x+1)(x^3-3x^2-18x+40)\)

বর্ণনাঃ যদি \(a\) যে কোনো একটি ধ্রুবক হয় এবং \(f(x)\) বহুপদীকে \((x-a)\) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ \(f(a)\) হবে।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ \(f(x)=x^3-3x^2+4x-10\) কে
\((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ, \(f(1)=1^3-3.1^2+4.1-10\)
\(=1-3+4-10\)
\(=5-13\)
\(=-8\)
\((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ, \(f(-2)=(-2)^3-3.(-2)^2+4.(-2)-10\)
\(=-8-12-8-10\)
\(=-38\)
দ্রষ্টব্যঃ যদি ভাগশেষ শূন্য হয় অর্থাৎ, \(f(a)=0\) হয়, তবে \((x-a)\) কে \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক বলা হয়।

বর্ণনাঃ প্রত্যেক \('n'\) ঘাত বহুপদী সমীকরণ \(f(x)=0\) এর কেবলমাত্র \('n'\) সংখ্যক মূল বিদ্যমান।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ নিচের সমীকরণগুলির মাত্রা ও মূলের সংখ্যা নির্ণয় কর।
\((i) \ 16x^2=0\)
\((ii) \ x^3+x=0\)
\((iii) \ 4x^4-12x^2+4=0\)

ধরি \(n\) ঘাতের একটি বহুপদী সমীকরণ \(f(x)=0\) যদি সমীকরণটি \(x\) এর সর্বোচ্চ \(n\) সংখ্যক মান দ্বারা সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ সমীকরণটির সর্বোচ্চ \(n\) সংখ্যক মান বিদ্যমান থাকে, তবে \(f(x)=0\) কে বহুপদী সমীকরণ বলা হয়।
যেমনঃ \((i) \ x^3-6x^2+11x-6=0\) একটি সমীকরণ কেননা, সমীকরণটির ঘাত তিন এবং এর কেবলমাত্র \(1, \ 2\) ও \(3\) এ তিনটি মূল বিদ্যমান।
আবার, যদি সমীকরণটি \(x\) এর সকল মান দ্বারা সিদ্ধ হয়, তবে \(f(x)=0\) কে বহুপদী অভেদ বলা হয়।
যেমনঃ \((i) \ (x-a)^3=x^3-3x^2a+3xa^2-a^3\) এটি একটি অভেদ কেননা, এটি \(x\) এর সকল মান দ্বারা সিদ্ধ হয়।

বর্ণনাঃ মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণের অমূলদ মূলগুলি যুগলে থাকে।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ \(x^3-6x^2+9x-2=0\) মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণ।
এর অমূলদ যূগল মূল \(2+\sqrt{3}\) এবং \(2-\sqrt{3}\) বিদ্যমান।
আবার,
\(x^3-(7+\sqrt{2})x^2+(12+7\sqrt{2})x-12\sqrt{2}=0\) একটি বহুপদী সমীকরণ। যার একটি মূল \(\sqrt{2}\) কিন্তু অপর মূল \(-\sqrt{2}\) নয়। কারন, সমীকরণটি মূলদ সহগবিশিষ্ট নয়।

বর্ণনাঃ বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণের কাল্পনিক মূলগুলি অনুবন্ধী যুগলে থাকে।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ \(2x^3-9x^2+14x-5=0\) বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণের।
এর কাল্পনিক যূগল মূল \(2+i\) এবং \(2-i\) বিদ্যমান।
আবার,
\(x^3+(5-i)x^2+(6+5i)x-6i=0\) একটি বহুপদী সমীকরণ। যার একটি মূল \(i\) কিন্তু অপর মূল \(-i\) নয়। কারন, সমীকরণটি বাস্তব সহগবিশিষ্ট নয়।

\(ax^2+bx+c, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) আকারের রাশিকে এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত রাশি বলা হয়।
\(ax^2+bx+c=0, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) আকারের সমীকরণকে এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষে একটি দ্বিঘাত রাশি এবং ডানপক্ষে শূন্য ধরা হয়।

\(ax^2+bx+c=0, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) কে দ্বিঘাত সমীকরণের প্রমাণ আকার বা আদর্শ আকার বলে। একাধিক উপায়ে এ সমীকরণের সমাধান করা যায়।
প্রথম পদ্ধতিঃ যদি সমীকরণের বামপক্ষ \(ax^2+bx+c\) কে দুইটি সরল একঘাতি উতপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় তবে উতপাদকদ্বয় পৃথকভাবে শূন্য \((0)\) এর সমান ধরে দুইটি সমাধান পাওয়া যায়।
দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ প্রদত্ত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac=0\) ➜Note উভয় পক্ষে \(4a\) গুণ করে।

\(\Rightarrow (2ax)^2+2.2ax.b+b^2-b^2+4ac=0\)
\(\Rightarrow (2ax+b)^2-b^2+4ac=0\)
\(\Rightarrow (2ax+b)^2=b^2-4ac\)
\(\Rightarrow 2ax+b=\pm{\sqrt{b^2-4ac}}\)
\(\Rightarrow 2ax=-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}\)
\(\therefore x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
বহুলভাবে ব্যবহৃত এ পদ্ধতিটি বিখ্যাত ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীধর আচার্যের \((870-930)\) পদ্ধতি নামে পরিচিত।

বর্ণনাঃ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সংখ্যা দুইয়ের অধিক হতে পারে না।
Click Me to Proof
উদাহরণঃ \(2x^2+13x-5=0\) সমীকরণের সর্বোচ্চ কয়টি মূল থাকতে পারে? প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর।

দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর সমাধান
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x\) এর এই দুইটি মানকে প্রদত্ত সমীকরণের দুইটি মূল বলে এবং \(a, \ b, \ c\) সমীকরণের সহগ নামে পরিচিত।
সমীকরণের মূলদ্বয়কে যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\) দ্বারা প্রকাশ করা হলো।
অর্থাৎ, \(\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) এবং \(\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
এখন, \(\alpha\) ও \(\beta\) এর সাথে \(a, \ b, \ c\) সহগগুলির সম্পর্ক স্থাপন করতে হবে।
ধরি, \(\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} .......(1)\)
এবং \(\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} .......(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(=\frac{-2b}{2a}\)
\(=-\frac{b}{a}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
\((1)\times(2)\) এর সাহায্যে
\(\alpha\beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}\)
\(=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\)
\(=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}\)
\(=\frac{4ac}{4a^2}\)
\(=\frac{c}{a}\)
\(\therefore \alpha\beta=\frac{c}{a}\)
সুতরাং, দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক,
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকতে পারে অথবা, উভয় মূলই সাধারণ হতে পারে।
বর্ণনাঃ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত নির্ণয় কর।
Click Me to Proof
বর্ণনাঃ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় মূলই সাধারণ হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।
Click Me to Proof

দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর সমাধান
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\therefore x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x\) এর এই দুইটি মানকে প্রদত্ত সমীকরণের দুইটি মূল বলে এবং \(a, \ b, \ c\) সমীকরণের সহগ নামে পরিচিত।
\(a, \ b, \ c\) সহগগুলি বাস্তব সংখ্যা হলে, সমীকরণের মূলদ্বয়ে বিদ্যমান \(b^2-4ac\) রাশিটি মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিশ্চিত করে। তাই \(b^2-4ac\) রাশিটিকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক বলে।
নিশ্চায়ককে (Discriminant) শব্দের প্রথম অক্ষর (D) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ নিশ্চায়ক,
\(D=b^2-4ac\)

দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+bx+c=0, \ a,b,c\in{\mathbb{R}}\) এবং \(a\ne{0}\) এর সমাধান
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
যদি \(b^2-4ac=0\) হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হয়।
যদি \(b^2-4ac\gt{0}\) হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
যদি \(b^2-4ac\lt{0}\) হয়, তবে মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে। জটিল মূলদ্বয় একটি অপরটির অনুবন্ধী হয়।
যদি \(b^2-4ac\gt{0}\) এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং \(a, \ b, \ c\) মূলদ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হয়।

ধরি, কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
তাহলে, \((x-\alpha), \ (x-\beta)\) উক্ত সমীকরণের বাম পক্ষের দুইটি উৎপাদক হবে।
যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের কেবলমাত্র দুইটি মূল বিদ্যমান;
সুতরাং, \(\alpha, \ \beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \((x-\alpha)(x-\beta)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
\(\therefore\) কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় জানা থাকলে, সমীকরণটি
\(x^2-(\text{মূল দ্বয়ের যোগফল})x+(\text{মূল দ্বয়ের গুণফল})=0\)

ধরি, ত্রিঘাত সমীকরণ \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
\(\therefore x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(a\) ভাগ করে,

ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
\(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\equiv(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) হবে।
\(\Rightarrow x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\equiv x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma\)
\(\Rightarrow x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma\equiv x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\)
\(\Rightarrow -(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{b}{a}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{c}{a}, \ -\alpha\beta\gamma=\frac{d}{a}\) ➜Note উভয় পার্শ হতে \(x^3, \ x^2, \ x\) এর সহগ ও ধ্রুবক রাশির সমতা নিয়ে,

\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{c}{a}, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\)
\(\therefore\) ত্রিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্কগুলি,
\(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\) \(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{c}{a}\) \(\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\)

ধরি, ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
তাহলে, \((x-\alpha), \ (x-\beta), \ (x-\gamma)\) উক্ত সমীকরণের বাম পক্ষের তিনটি উৎপাদক হবে।
যেহেতু, ত্রিঘাত সমীকরণের কেবলমাত্র তিনটি মূল বিদ্যমান;
সুতরাং, \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\)
\(\Rightarrow x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma=0\)
\(\therefore\) কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় জানা থাকলে, সমীকরণটি
\(x^3-(\text{মূল ত্রয়ের যোগফল})x^2+(\text{মূল ত্রয়ের দুইটি করে গুণফলের যোগফল})x\)\(-(\text{মূল ত্রয়ের গুণফল})=0\)

তিনটি সমান্তর প্রগমনভুক্ত রাশি \(a-d, \ a, \ a+d\)
তিনটি সমানুপাতিক (গুণোত্তর) প্রগমনভুক্ত রাশি \(\frac{a}{d}, \ a, \ ad\)
তিনটি ভাজিত (Harmonic) প্রগমনভুক্ত রাশি \(\frac{1}{a-d}, \ \frac{1}{a}, \ \frac{1}{a+d}\)
চারটি সমান্তর প্রগমনভুক্ত রাশি \(a-3d, \ a-d, \ a+d, \ a+3d\)
চারটি সমানুপাতিক (গুণোত্তর) প্রগমনভুক্ত রাশি \(\frac{a}{d^3}, \ \frac{a}{d}, \ ad, \ ad^3\)
চারটি ভাজিত (Harmonic) প্রগমনভুক্ত রাশি \(\frac{1}{a-3d}, \ \frac{1}{a-d}, \ \frac{1}{a+d}, \ \frac{1}{a+3d}\)

\(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, \((1+x)^n=1+\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2+ ... ... +\ ^nC_{r}x^r+\)\( ... ... +x^n\)
\(=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... +\)\(\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ... +x^n\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ,
\(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
\(t_{r+1}\) এর সহগ, \(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(r=n\) হলে, \(t_{n+1}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1}{n!}=\frac{n!}{n!}=1\)
\(r=n+1\) হলে, \(t_{n+2}\) এর সহগ,
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... 3.2.1.0}{(n+1)!}=0\)
\(r\gt{n}\) হলে, সাধারণ পদ অর্থাৎ \((n+1)\) তম পদের পরে আর কোনো পদ থাকে না।
অতএব ধারাটি একটি সান্ত (finite) ধারা হয়।
কিন্তু \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা মূলদ ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে, \(r\) এর এমন মান পাওয়া যাবে না যার জন্য সাধারণ পদের লবের কোনো উৎপাদক শূন্য হয়। সুতরাং এই ক্ষেত্রে বিস্তৃতির পদের সংখ্যা অসীম (infinite) হবে।
ফলে, \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) আসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতি নামে পরিচিত।
বিস্তৃতিটি বৈধ হবে যদি \(-1\lt{x}\lt{1}\) অর্থাৎ \(|x|\lt{1}\) হয়।

অভিসারী(convergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অভিসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি ধারার \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি সসীম সংখ্যার সমান হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অভিসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি সসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1-\frac{1}{2^n}\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\]
\[=1-\frac{1}{\infty}\]
\[=1-0\]
\[=1\]
অপসারী(divergent): কোনো অনন্ত ধারার সমষ্টি একটি অসীম সংখ্যা হলে ঐ ধারাটিকে অপসারী বলা হয়।
\(n\rightarrow{\infty}\) হলে, যদি একটি \(n\) সংখ্যক পদের যোগফলের সীমাস্থ মান (Limiting value) একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে ঐ ধারাটিকে অপসারী ধারা বলা হয়।
অর্থাৎ \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+ ... ...\infty \) ধারাটি অপসারী হবে যদি \[\sum_{n=1}^\infty{u_{n}}=S\] এখানে \(S\) একটি অসীম সংখ্যা।
Example: \[S_{n}=1+2^n\] এর জন্য
\[\lim_{r \rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{r \rightarrow \infty}\left(1+2^n\right)\]
\[=1+\infty\]
\[=\infty\]
অসীম ধারার অভিসারী বা অপসারী নির্ণয়ঃ
অনুপাত পরীক্ষাঃ কোনো অসীম ধারার অভিসারী ধর্ম প্রমাণ করার জন্য সাধারণত \(D'Alembert\) অনুপাত পরীক্ষণ প্রয়োগ করা হয়।
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{r}+u_{r+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: দেখাও যে, \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}\] ধারাটি অভিসারী।
\(Sol^n\): ধরি, \[U_{n}=\frac{n^3}{e^n}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{e^{n}.e}\times\frac{e^n}{n^3}\]
\[=\frac{(n+1)^3}{n^3}\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\times\frac{1}{e}\]
\[=\left(1+0\right)^3\times\frac{1}{e}\] ➜Note \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]

\[=1\times\frac{1}{e}\]
\[=\frac{1}{e}\lt{1}\] কারণ \(2\lt{e}\lt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(n\ln{\frac{u_{n}}{u_{n+1}}}\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{1}{2}x+\frac{2!}{3^2}x^2+\frac{3!}{4^3}x^3+\frac{4!}{5^4}x^4+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{n!}{(n+1)^n}x^n}{\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}x^{n-1}}\]
\[=\frac{n!}{(n+1)^n}x^n\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n(n-1)!}{(n+1)^n}x^{n-1}.x\times\frac{n^{n-1}}{(n-1)!x^{n-1}}\]
\[=\frac{n.n^{n-1}}{(n+1)^n}.x\]
\[=\frac{n^n}{(n+1)^n}.x\]
\[=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.x\]
\[=\left\{\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right\}^n.x\]
\[=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n.x\]
\[=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.x\]
\(=\frac{1}{e}.x\) ➜Note \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]

\(=\frac{x}{e}\)
যদি \(\frac{x}{e}\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(\frac{x}{e}=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(\frac{x}{e}=1 \Rightarrow x=e\) এর জন্য, লগারিদমিক পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{U_{n}}{U_{n+1}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{x}}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\ln{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{e}}\] ➜Note \[\because x=e\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\ln{e}\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1\right\}\] ➜Note \[\because \ln{e}=1\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+ ... ...\right)-1\right\}\] ➜Note \[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+ ... ...\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...-1\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left\{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{4n^3}+ ... ...\right\}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{4n^2}+ ... ...\right\}\]
\[=-\frac{1}{2}+0-0+ ... ...\] ➜Note \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3n}=0, \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{4n^2}=0 ....\]

\[=-\frac{1}{2}\lt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
র‍্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
যদি \(u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... ... +u_{n}+u_{n+1} ... ...\infty \) অসীম ধারার ক্ষেত্রে \[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=l\] হয়,
যদি \(l\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(l\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(l=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
Example: \[1+\frac{3}{7}x+\frac{3.6}{7.10}x^2+\frac{3.6.9}{7.10.13}x^3+ ... ...\] ধারাটির অভিসৃতি পরীক্ষা কর।
\(Sol^n\): প্রদত্ত ধারা হতে, \[U_{n}=\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}\]
\[\therefore U_{n+1}=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n\]
\[\therefore \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^n}{\frac{3.6.9 .... (3n-3)}{7.10.13 .... (3n+1)}x^{n-1}}\]
\[=\frac{3.6.9 .... (3n-3).3n}{7.10.13 .... (3n+1)(3n+4)}x^{n-1}.x\times\frac{7.10.13 .... (3n+1)}{3.6.9 .... (3n-3)x^{n-1}}\]
\[=\frac{3n}{(3n+4)}.x\]
\[=\frac{3n}{n\left(3+\frac{4}{n}\right)}.x\]
\[=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\[\Rightarrow \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(D'Alembert's \ Ratio \ Test\) এর সাহায্যে,
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3}{3+\frac{4}{n}}.x\]
\(=\frac{3}{3+0}.x\) ➜Note \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{n}=0\]

\(=x\)
যদি \(x\lt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী হবে।
যদি \(x\gt{1}\) হয়, তবে প্রদত্ত ধারাটি অপসারী হবে।
যদি \(x=1\) হয়, তবে অনুপাত পরীক্ষা ব্যর্থ। এই ক্ষেত্রে অন্য পরীক্ষণ প্রয়োজন।
\(x=1\) এর জন্য, র‍্যাবেস এর অভিসৃতি পরীক্ষাঃ
\[\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.x}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3.1}-1\right)\] ➜Note \[\because x=1\]

\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(\frac{3+\frac{4}{n}}{3}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\left(1+\frac{4}{3n}-1\right)\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}n\times\frac{4}{3n}\]
\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{3}\]
\[=\frac{4}{3}\gt{1}\]
\(\therefore\) প্রদত্ত ধারাটি অভিসারী।
তুলুনামূলক পরীক্ষণ (Comparision test):
যদি \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] দুইটি ধনাত্মক পদের ধারা হয় এবং \[\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}\] এর মান অশূন্য সসীম সংখ্যা হয় (finite and non-zero) তাহলে \[\sum{u_{n}}\] ও \[\sum{v_{n}}\] উভয়েই অভিসৃত বা উভয়েই অপসৃত হবে। অর্থাৎ একটি অভিসৃত হলে অপরটিও অভিসৃত হবে এবং বিপরীত-ক্রমে (vice-versa)।
\(p\) সিরিজ পর্যবেক্ষণঃ কোনো ধারার \(n\) তম পদ \(\frac{1}{n^p}\) হয় তবে ধারাটি অভিসারী হবে যদি \(p\gt{1}\) হয় এবং অপসারী হবে যদি \(p\le{1}\)।
\(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধারাটি অভিসারী হবে যদি \[\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=l\] হয়, যেখানে \(l\lt{1}\)
এখানে, \(u_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r\)
এবং \(u_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}\)
এখন, \(\frac{u_{r+1}}{u_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}{(r-1)!}x^{r-1}}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x^{r-r+1}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)... ... (n-r)}x\)
\(=\frac{(n-r+1)}{r}x\)
\(=\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\)
\[\therefore \lim_{r \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{r+1}}{u_{r}}\right|=\lim_{r \rightarrow \infty}\left|\left(\frac{n}{r}-1+\frac{1}{r}\right)x\right|\]
\[=|(0-1+0)x|\]
\[=|-x|\]
\[=|x|\lt{1}\] এখানে \(l=|x|\)
অতএব, \((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \) ধারাটি অভিসারী হবে যখন \(|x|\lt{1}\)

সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{|a|}\) হলে,
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\)\(a^{n-3}x^3+ ... +\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... \infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r+ ... ...\infty \)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... (n-r+1)}{r!}x^r+...+x^n \)
ডানপক্ষের সান্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...+x^n \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ডানপক্ষের অনন্ত ধারাটিকে দ্বিপদী ধারা (Binomial Series) বলা হয়।
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\( ... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-1\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-1}=1-x+\frac{-1(-1-1)}{2!}x^2+\frac{-1(-1-1)(-1-2)}{3!}\)\(x^3+... +\frac{-1(-1-1)(-1-2)... (-1-r+1)}{r!}x^r+ ...\infty\)
\(=1-x+\frac{-1(-2)}{2!}x^2+\frac{-1(-2)(-3)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-1(-2)(-3)... ... (-r)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{1.2}{2!}x^2-\frac{1.2.3}{3!}x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r\frac{1.2.3... ... r}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
\(=1-x+\frac{2!}{2!}x^2-\frac{3!}{3!}x^3+...+(-1)^r\frac{r!}{r!}x^r+...\infty \)
\(=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\(\therefore (1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... \)\(+(-1)^rx^r+ ... ...\infty \)
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+ \)\(... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-1}=1-x+x^2-x^3+ ... ... +(-1)^rx^r+\)\( ... ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-1}=1-(-x)+(-x)^2-(-x)^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(-x)^r+... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^r(-1)^rx^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +(-1)^{2r}x^r+ ... ... \)
\(=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ... \) ➜Note \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... +x^r+ ...\infty \)
\((1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ... +x^r+ ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\)\(... ... +\frac{n(n-1)(n-2)... ... (n-r+1)}{r!}x^r+ ... ...\infty \)
ধরি, \(n=-2\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-2}=1-2x+\frac{-2(-2-1)}{2!}x^2+\frac{-2(-2-1)(-2-2)}{3!}\)\(x^3+ ... +\frac{-2(-2-1)(-2-2)... (-2-r+1)}{r!}x^r+... \)
\(=1-2x+\frac{-2(-3)}{2!}x^2+\frac{-2(-3)(-4)}{3!}x^3+ ... \)\(+\frac{-2(-3)(-4)... ... (-r-1)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-2x+\frac{6}{2}x^2-\frac{24}{6}x^3+...+(-1)^r\frac{1.2.3.4 ...(r+1)}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+... ... +(-1)^r\frac{(r+1)!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r\frac{(r+1)r!}{r!}x^r+\)\( ... ... \)
\(=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... +(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ... ... \)
\(\therefore (1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ...\)\( +(-1)^r(r+1)x^r+ ...\infty \)
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r(r+1)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+ ...+(-1)^r(r+1)x^r+\)\( ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-2}=1-2(-x)+3(-x)^2-4(-x)^3+...\)\(+(-1)^r(r+1)(-x)^r+ ...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(-1)^r(-1)^r(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+...+(-1)^{2r}(r+1)x^r+...\)
\(=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\) ➜Note \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ...+(r+1)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+4x^3+ ... ... +(r+1)x^r+\)\( ... ...\infty \)
\(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...\)\(+\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}x^r+...\infty \)
ধরি, \(n=-3\) তাহলে, উক্ত ধারাটি দাঁড়ায়,
\((1+x)^{-3}=1-3x+\frac{-3(-3-1)}{2!}x^2+\frac{-3(-3-1)(-3-2)}{3!}\)\(x^3+ ...+\frac{-3(-3-1)(-3-2)...(-3-r+1)}{r!}x^r+ ...\)
\(=1-3x+\frac{-3(-4)}{2!}x^2+\frac{-3(-4)(-5)}{3!}x^3+ ... ... \)\(+\frac{-3(-4)(-5)... ... (-r-2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+\frac{12}{2}x^2-\frac{60}{6}x^3+ ... ... \)\(+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{1.2.3.4.5... ... (r+2)}{r!}x^r+ ... ... \)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}.\frac{(r+2)(r+1)r!}{r!}x^r+...\)
\(=1-3x+6x^2-10x^3+ ...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\)
\(\therefore (1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)\)\(x^r+...\infty \)
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)
\(|x|\lt{1}\) হলে,
\((1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\infty \)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\((1-x)^{-3}=1-3(-x)+6(-x)^2-10(-x)^3+ ...\)\(+(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)(-x)^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ... \)\(+(-1)^r(-1)^r\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+(-1)^{2r}\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+... \)
\(=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ...\) ➜Note \(\because (-1)^{2r}=\{(-1)^{2}\}^r=\{1\}^{r}=1\)

\(\therefore (1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+...\infty \)
\((1-x)^{-3}=1+3x+6x^2+10x^3+ ...\)\(+\frac{1}{2}(r+1)(r+2)x^r+ ... ...\infty \)

অসীম ধারাঃ যে ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।
যেমনঃ \(1+2+3+ ... ... +n+ ... ...\)
\(1+3+5+ ... ... +(2n-1)+ ... ...\)
\(n\gt{1}\) হলে, \(x\) সকল মানের জন্য,
\(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}^x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\)
\(\Rightarrow \left\{1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+ ...\right\}^x\)\(=1+nx.\frac{1}{n}+\frac{nx(nx-1)}{2!}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{nx(nx-1)(nx-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...\) ➜Note \(\because (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ ... ... \)

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{n^2x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+\frac{n^3x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}\times\frac{1}{n^3}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+ ...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\)
\[\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+1+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}^x\]\[=\lim_{n \rightarrow \infty}\left\{1+x+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)}{2!}+\frac{x\left(x-\frac{1}{n}\right)\left(x-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...\right\}\] ➜Note উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{n \rightarrow \infty}\] ব্যাবহার করে।

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{\left(1-0\right)}{2!}+\frac{\left(1-0\right)\left(1-0\right)}{3!}+...\right\}^x\)\(=1+x+\frac{x\left(x-0\right)}{2!}+\frac{x\left(x-0\right)\left(x-0\right)}{3!}+...\) ➜Note \[\because \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]

\(\Rightarrow \left\{1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\Rightarrow \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...\right\}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
\(\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\infty\) ➜Note \(\because 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ ... ...\infty=e\)

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{-x}=1+(-x)+\frac{(-x)^2}{2!}+\frac{(-x)^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(cx\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^{cx}=1+(cx)+\frac{(cx)^2}{2!}+\frac{(cx)^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(e^{c}\right)^{x}=1+cx+\frac{c^2x^2}{2!}+\frac{c^3x^3}{3!}+...\infty\)
\(\Rightarrow \left(a\right)^{x}=1+\ln{a}.x+\frac{(\ln{a})^2x^2}{2!}+\frac{(\ln{a})^3x^3}{3!}+...\infty\) ➜Note \(\because e^c=a\)
\(\Rightarrow c=\ln{a}\)

\(\therefore a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^x=1+\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow a^{-x}=1+\frac{-x}{1!}\ln{a}+\frac{(-x)^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{(-x)^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\therefore a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln{a}+\frac{x^2}{2!}(\ln{a})^2-\frac{x^3}{3!}(\ln{a})^3+ ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(a^y=1+\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=\frac{y}{1!}\ln{a}+\frac{y^2}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^3}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow a^y-1=y\left\{\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\frac{1}{1!}\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\(\Rightarrow \frac{a^y-1}{y}=\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\)
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{\ln{a}+\frac{y}{2!}(\ln{a})^2+\frac{y^2}{3!}(\ln{a})^3+...\infty\right\}\] ➜Note উভয় পার্শ্বে সীমা \[\lim_{y \rightarrow 0}\] ব্যাবহার করে।

\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{a^y-1}{y}=\ln{a}\] ➜Note \[\because \lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{2!}=0\]
\[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y^2}{3!}=0\]
\[... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\]

উপরোক্ত ধারায় \(a\) এর স্থলে \((1+x)\) বসিয়ে,
\[\Rightarrow \lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}=\ln{(1+x)}\]
\[\Rightarrow \ln{(1+x)}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{(1+x)^y-1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1+xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ... -1}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{xy+\frac{y(y-1)}{2!}x^2+\frac{y(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}}{y}\]
\[=\lim_{y \rightarrow 0}\left\{x+\frac{(y-1)}{2!}x^2+\frac{(y-1)(y-2)}{3!}x^3+ ... ...\right\}\]
\(=x+\frac{(-1)}{2!}x^2+\frac{(-1)(-2)}{3!}x^3+... ...\infty\)
\(=x-\frac{1}{2}x+\frac{2}{6}x^3- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে \(-x\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow \ln{(1-x)}=-x-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\therefore \ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- ... ...\infty\)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+ ... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2+\frac{2}{2!}+\frac{2}{4!}+ ... ...\infty \)
\(\Rightarrow e+\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ...\infty\)
উপরোক্ত ধারায় \(x\) এর স্থলে পর্যায়ক্রমে \(1\) এবং \(-1\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow e^1=1+1+\frac{1^2}{2!}+\frac{1^3}{3!}+\frac{1^4}{4!}+\frac{1^5}{5!}+... ...\infty\)
\(\therefore e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty ...(1)\)
এবং \(e^{-1}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+ ...\infty \)
\(\therefore \frac{1}{e}=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2+\frac{2}{3!}+\frac{2}{5!}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow e-\frac{1}{e}=2\left(1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+...\infty \)
\(\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)=1+\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}+ ... ...\infty \)
আমরা জানি,
\(\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\)\( ...\infty ...(1)\)
\(\ln{(1-x)}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\)\(...\infty ...(2)\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow \ln{(1+x)}-\ln{(1-x)}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\Rightarrow \ln{\frac{1+x}{1-x}}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \right)\)
\(\therefore \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ...\infty \)
\(\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ ... ...\infty \)

যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফল বা বিয়োগফল রূপে প্রকাশ করা যায়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলির প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলে।
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করার জন্য ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক ভগ্নাংশের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি নির্ণয় করতে হয়।
যেমনঃ\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{(b-a)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(a-b)}(x-a)^{-1}-\frac{b}{(a-b)}(x-b)^{-1}\)
উদাহরণঃ \(\frac{x}{(1-4x)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-5\times\frac{1}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-4\times\frac{1}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\left(1-\frac{5}{4}\right)}+\frac{\frac{1}{5}}{\left(1-\frac{4}{5}\right)(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{(1-4x)\times\frac{4-5}{4}}+\frac{\frac{1}{5}}{\frac{5-4}{5}\times(1-5x)}\)
\(=\frac{\frac{1}{4}\times4}{-(1-4x)}+\frac{\frac{1}{5}\times5}{(1-5x)}\)
\(=-\frac{1}{(1-4x)}+\frac{1}{(1-5x)}\)
\(=\frac{1}{1-5x}-\frac{1}{1-4x}\)
\(=(1-5x)^{-1}-(1-4x)^{-1}\)
\(=(1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty)-\)\((1+4x+16x^2+64x^3+ ... ...\infty)\) ➜Note \(\because (1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+ ... ...\infty\)

\(=1+5x+25x^2+125x^3+ ... ...\infty-\)\(1-4x-16x^2-64x^3- ... ...\infty\)
\(=x+9x^2+61x^3+ ... ...\infty\)

\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যা সূচক বৃহত্তম পদটি নির্ণয় করতে হবে, যখন \(n\in{\mathbb{Q}}\) এবং \(n\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ ঋণাত্মক বা ধনাত্মক \((n\ne{\mathbb{N}})\) এবং \(|x|\lt{1}\)
পদসমূহের সংখ্যা সূচক মানের জন্য কেবল \(x\) এর যোগবোধক মান সমূহ বিবেচনা করি।
ধরি, \(t_{r},\) \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদ প্রকাশ করে।
তাহলে, \(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r\)
এবং \(t_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(\therefore \frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}}\)
\(=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}x}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-r+2)}\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{(n-r+1)x}{ar}\)
এখন যদি, \(t_{r+1}\gt{t_{r}}\) অথবা \(t_{r+1}=t_{r}\) অথবা \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) হয়।
তাহলে, \((n-r+1)x\gt{ar}\) অথবা \((n-r+1)x=ar\) অথবা \((n-r+1)x\lt{ar}\) হবে।
\(\Rightarrow nx-rx+x\gt{ar}\) অথবা \(nx-rx+x=ar\) অথবা \(nx-rx+x\lt{ar}\)
\(\Rightarrow nx+x\gt{ar+rx}\) অথবা \(nx+x=ar+rx\) অথবা \(nx+x\lt{ar+rx}\)
\(\Rightarrow (n+1)x\gt{(a+x)r}\) অথবা \((n+1)x=(a+x)r\) অথবা \((n+1)x\lt{(a+x)r}\)
\(\Rightarrow (a+x)r\lt{(n+1)x}\) অথবা \((a+x)r=(n+1)x\) অথবা \((a+x)r\gt{(n+1)x}\)
\(\therefore r\lt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\) অথবা \(r=\frac{(n+1)}{a+x}x\) অথবা \(r\gt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\)
\((i)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে ধরি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p\)
তাহলে, যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং পদগুলি বৃদ্ধি পেতে থাকে।
যখন \(r=p, \ t_{r+1}=t_{r}\)
\(\Rightarrow t_{p+1}=t_{p}\)
আবার, যখন \(r\gt{p}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এবং পদগুলি হ্রাস পায়।
সুতরাং, \(t_{p+1}=t_{p}\) এবং অন্য যে কোনো পদ হতে এদের মান বৃহত্তর।
\((ii)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p+f\) যেখানে \(f\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
এইক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p+f}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং
যখন \(r\gt{p+f}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}},\)
অতএব, \(r\le{p}\) এর জন্য পদসমূহ বৃদ্ধি পেতে থাকে, \(t_{p+1}\) পদটি, \(t_{p}\) এবং সকল পূর্ব্বর্তী পদসমূহ অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(r\ge{p+1}\) এর জন্য \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এর পদসমূহ হ্রাস পায়।
অতএব, \(t_{p+1}\) পদটি বৃহত্তম।
সংখ্যামান বৃহত্তম পদ নির্ণয় পদ্ধতিঃ
\((a\pm{x})^n\) বিস্তৃতিতে সংখ্যামান বৃহত্তম পদের জন্য, \(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=1\) যখন \(n\gt{0}\)
\(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}=-1\) যখন \(n\lt{0}\)
\(r\) পূর্ণসংখ্যা হলে, \(t_{r}\) ও \(t_{r+1}\) সংখ্যামান বৃহত্তম পদ। \(r\) ভগ্নাংশ হলে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা তম পদটি সংখ্যামান বৃহত্তম।

ভেক্টর নির্দেশক রেখাংশের প্রারম্ভিক বিন্দু এবং প্রান্তবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে ভেক্টরের মাণ বলা হয়। \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরের মাণকে \(|\overrightarrow{V}|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

দুইটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ সমান তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল কিন্তু দিক বিপরীতমুখী এরূপ ভেক্টরকে একে অপরের বিপরীত ভেক্টর বলা হয়।
যেমনঃ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}\) এবং বিপরীত ভেক্টর \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{v};\)
\(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) এর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু এরা পরস্পর বিপরীতমুখী।

কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ \(\) (এক) হলে তাকে একক ভেক্টর বলে। মাণ শন্য নয় এরূপ একটি ভেক্টরকে তার মাণ দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টর রাশিটির দিক বরাবর অথবা তার সমান্তরাল বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। একক ভেক্টর প্রকাশের জন্য ভেক্টর প্রতীক হিসেবে হ্যাট \((\hat{})\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ অক্ষ রেখা বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
আবার
\(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|,\) যেখানে \(|\overline{a}|\ne{0}\)
তাহলে,
\(\overline{a}\) এর একক ভেক্টর অথবা সমান্তরাল একক ভেক্টর, \(\hat{a}=\pm{\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}}\) \(\overline{a}\) এর দিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\) \(\overline{a}\) এর বিপরিতদিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=-\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\)

দুই বা ততোধিক ভেক্টর একটি সরলরেখার সমান্তরাল হলে, তবে তাদেরকে সমরৈখিক বা সমান্তরাল ভেক্টর বলে।
যদি \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয় সমরৈখিক হয় তবে \(\overline{A}=m\overline{B};\) যেখানে \(m\) একটি স্কেলার ।

দুই বা ততোধিক ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন হলে, তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

ধরা যাক, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর এদের ধারক রেখাদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে \(0<\theta<\pi\) কোণ উৎপন্ন হয়।

যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু একই ক্রমে দিকে ও মাণে দুইটি ভেক্টর রাশিকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) ভেক্টর দুইটিকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{BC}\) দ্বারা সূচিত করা হলো। \(\overrightarrow{AB}\) এর প্রারম্ভিকবিন্দু \(A\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) এর প্রান্তবিন্দু \(B\) এর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা গঠিত ভেক্টর \(\overrightarrow{AC}\) পূর্বোক্ত ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করবে যাকে \(\overline{R}\) দ্বারা সূচীত করা হলো।
সুতরাং , \(\overline{P}+\overline{Q}=\overline{R}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহুদ্বয় যদি কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি ভেক্টরের মাণ ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)
Proof
দ্রঃ দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য নয়, কিন্তু ত্রিভুজ বিধি সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য হবে।

দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে একই ক্রমে ভেক্টরগুলিকে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভিকবিন্দু এবং শেষ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু যোগ করে একটি বহুভুজ অঙ্কন করলে বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
Proof

ভেক্টরের বিয়োগের ক্ষেত্রে যে ভেক্টর বিয়োগ করতে হবে তার ঋণাত্মক ভেক্টরকে অপর ভেক্টরের সাথে যোগ করলেই বিয়োগফল পাওয়া যায়।
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
এদের বিয়োগফল হবে,
\(\overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\)
অথবা,

\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
Proof
দ্রঃ ভেক্টরদ্বয়ের প্রান্তবিন্দুর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা তাদের বিয়োগফল প্রকাশিত হয়। প্রথম ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু পরে এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু প্রথমে হয়।

ধরি, \(\overline{a}\) একটি ভেক্টর এবং \(m\) একটি স্কেলার। \(m\overline{a}\) দ্বারা ভেক্টর \(\overline{a}\) এর \(m\) গুণিতক বোঝায়। \(m\) গুনিতকের বিবরণ নিম্নে দেওয়া হলো।
\(m\overline{a}=\underline{0}\)
\(m\overline{a}\) এবং \(\overline{a}\) এর ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।
\(m\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্য \(\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্যের \(m\) গুণ হবে। অর্থাৎ, \(|m\overline{a}|=m|\overline{a}|\) হবে।
\(m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক একই হবে যখন, \(m>0\)
\(m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক পরস্পর বিপরীত হবে যখন, \(m<0\)
\((mn)\overline{a}=m(n)\overline{a}\)
\(m(-\overline{a})=(-m)\overline{a}=-m\overline{a}\)
\((-1)\overline{a}=-\overline{a}\)
\(0\overline{a}=\underline{0}\) (এখানে, বামপক্ষের শূন্যটি স্কেলার কিন্তু ডানপক্ষের শূন্যটি ভেক্টর )
\(m=\frac{\overline{a}}{\overline{b}} \Rightarrow \overline{a}=m\overline{b}\)
দ্রঃ যদি দুইটি অশূণ্য ভেক্টরের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হয়, তবে একটি ভেক্টরকে অন্যটির একটি স্কেলার গুণিতক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\) ( যোগের বিনিময় বিধি )
Proof
\(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\) ( যোগের সংযোগ বিধি )
Proof
\(m\overline{a}=\overline{a}m\) ( গুণের বিনিময় বিধি )
Proof
\(m(n\overline{a})=(mn)\overline{a}\) ( গুণের সংযোগ বিধি )
Proof
\(m(\overline{a}+\overline{a})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ( বন্টন বিধি )
Proof

এখানে, \(\overline{a}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\(\overline{a}+\underline{0}=\underline{0}+\overline{a}=\overline{a}\) ( যোগের অভেদক বিধি )
\(\overline{a}+(-\overline{a})=\underline{0}\) ( যোগের বিপরীতক বিধি )
\((m+n)\overline{a}=m\overline{a}+n\overline{a}\) ( বন্টন বিধি )
\(1(\overline{a})=\overline{a}\) ( গুণের অভেদক বিধি )

যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসম ভেক্টর হয়, তবে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ এককভাবে প্রকাশ করা যাবে।
অর্থাৎ,
\(\overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)
Proof

কার্তেসীয় সমতলে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর যথাক্রমে একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) কে আয়ত একক ভেক্টর বলা হয়। \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) পরস্পর লম্ব দুইটি একক ভেক্টর।
এখানে,
\(|\hat{i}|=|\hat{j}|=1\)

ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\) আবার, \(\triangle{PON}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜Note \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜Note \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
Proof

ধরি,
\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜Note \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜Note \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)
Proof

\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}-n\overline{a}}{m-n}\)

\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OP}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(C, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(2\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)