সরলরেখা-২ (Straightline-2)

অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।

উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০১১,যঃ ২০১২ ]

উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\)এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]

উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]

উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণটি নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।

উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।

উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।

উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]

উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]

অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।

locus4

সমাধানঃ

\((a)\) \( 3x-4y+8=0 …..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …..(2)\) | \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-10=0\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) \( 3x-4y+8=0 …..(3)\)locus4
\((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …..(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+5=0\)
\(\therefore 3x-4y+5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x-y+2=0……..(1)\).
\(x+3y-6=0……..(2)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+2+k(x+3y-6)=0……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+kx+3ky-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y+2-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y=6k-2\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{6k-2}+\frac{(3k-1)y}{6k-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{6k-2}{2+k}}+\frac{y}{\frac{6k-2}{3k-1}}=1\)
এখানে,
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{2+k}\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{3k-1}\)
শর্তমতে,
\(\frac{6k-2}{2+k}=\frac{6k-2}{3k-1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3k-1}\) | \(\because 6k-2\neq 0\) উভয় পার্শে \(6k-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3k-1=2+k\)
\(\Rightarrow 3k-k=2+1\)
\(\Rightarrow 2k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{2}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+2+\frac{3}{2}(x+3y-6)=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y+2)+3(x+3y-6)=0\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-2y+4+3x+9y-18=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y-14=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\) | উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y-2=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+by+4=0 …….(1)\)
\(4x-y-2b=0 …….(2)\)
\(3x+y-1=0 …….(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 4\\4 \ -1 \ -2b\\3 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2{(-1).(-1)-1.(-2b)}-b{4.(-1)-(-2b).3}\)\(+4{4.1-(-1).3}=0\)
\(\Rightarrow 2{1+2b}-b{-4+6b}+4{4+3}=0\)locus4
\(\Rightarrow 2+4b+4b-6b^{2}+4.7=0\)
\(\Rightarrow 2+8b-6b^{2}+28=0\)
\(\Rightarrow -6b^{2}+8b+30=0\)
\(\Rightarrow 3b^{2}-4b-15=0\) | উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3b^{2}-9b+5b-15=0\)
\(\Rightarrow 3b(b-3)+5(b-3)=0\)
\(\Rightarrow (b-3)(3b+5)=0\)
\(\Rightarrow b-3=0\) বা, \( 3b+5=0\)
\(\Rightarrow b=3\) বা, \( 3b=-5\)
\(\therefore b=3\) বা, \( b=-\frac{5}{3}\)

উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(3x-4y+5=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …….(2)\) | \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।

উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি, \(2x+y-7=0 ………(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2\)
\((1, 3)\) বিন্দুগামী \(m\) ঢাল বিশিষ্ট যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-3=m(x-1) ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\).
\(\therefore \tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-2-m}{1+(-2)m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{m+2}{1-2m}\)
\(\Rightarrow 1-2m=\pm (m+2)\)
\(\Rightarrow 1-2m=m+2\) | \(+ve\)চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -2m-m=2-1\)
\(\Rightarrow -3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{-3}\)
\(\therefore m=-\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1-2m=-(m+2)\) | \(-ve\)চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 1-2m=-m-2)\)
\(\Rightarrow -2m+m=-2-1\)
\(\Rightarrow -m=-3\)
\(\therefore m=3\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(m\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
যখন, \(m=-\frac{1}{3}\) তখন, \(y-3=-\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-3)=-(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y-9=-x+1\)
\(\Rightarrow x+3y-9-1=0\)
\(\therefore x+3y-10=0\)
যখন, \(m=3\) তখন, \(y-3=3(x-1)\)
\(\Rightarrow y-3=3x-3)\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-3\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+3=0\)
\(\therefore 3x-y=0\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-10=0; \ 3x-y=0\)।

উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি,
\(2x-7y+11=0 ……..(1)\)
\(x+3y-8=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-7y+11+k(x+3y-8)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-7y+11+kx+3ky-8k=0 \)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-7)y+11-8k=0 ……(4)\)
\(\because (4)\) নং সরলরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল ,
\(\therefore y\) এর সহগ \(=0\) হবে,
\(\therefore 3k-7=0\)
\(\Rightarrow 3k=7\)
\(\therefore k=\frac{7}{3}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-7y+11+\frac{7}{3}(x+3y-8)=0\)
\(\Rightarrow 3(2x-7y+11)+7(x+3y-8)=0\) | উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x-21y+33+7x+21y-56=0\)
\(\Rightarrow 13x-23=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]

সমাধানঃ

\(y=2x+1\)locus4
\(\Rightarrow 2x+1=y\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=0 ……..(1)\)
\(y=4x-1\)
\(\Rightarrow 4x-1=y\)
\(\Rightarrow 4x-y-1=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(4x-y-1)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+4kx-ky-k=0 \)
\(\Rightarrow (2+4k)x-(1+k)y+(1-k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((1)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 2(2+4k)+(-1){-(1+k)}=0\) | \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 4+8k+1+k=0\)
\(\Rightarrow 9k+5=0\)
\(\Rightarrow 9k=-5\)
\(\therefore k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+1-\frac{5}{9}(4x-y-1)=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-y+1)-5(4x-y-1)=0\) | উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 18x-9y+9-20x+5y+5=0\)
\(\Rightarrow -2x-4y+14=0\)
\(\Rightarrow x+2y-7=0\) | উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore x+2y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি,
\(x-3y+2=0 ……..(1)\)
\(x-6y+3=0 ……..(2)\)
\(ax+by+1=0 ……..(3)\)
\(x+ay=0 ……..(4)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\a \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। | \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 …..(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

\(\Rightarrow 1{b.0-1.a}-(-3){1.0-3.1}+2{1.a-(-6).1}=0\)
\(\Rightarrow {0-3a}+3{0-3}+2{a+6}=0\)
\(\Rightarrow -3a-9+2a+12=0\)
\(\Rightarrow -a+3=0\)
\(\Rightarrow -a=-3\)
\(\therefore a=3\)| উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
আবার,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\1 \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\) হয়। | \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 …..(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

\(\Rightarrow 1{(-6).1-3.b}-(-3){1.1-3.a}+2{1.b-(-6).a}=0\)
\(\Rightarrow {-6-3b}+3{1-3a}+2{b+6a}=0\)
\(\Rightarrow -6-3b+3-9a+2b+12a=0\)
\(\Rightarrow -b+3a-3=0\)
\(\Rightarrow -b+3.3-3=0\) | \(\because a=3\)
\(\Rightarrow -b+9-3=0\)
\(\Rightarrow -b+6=0\)
\(\Rightarrow -b=-6\)
\(\therefore b=6\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore a=3, \ b=6\).

উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\) | \(\because C(\frac{x_{1}+x_{}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AB\) উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-3-21=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\)
\(\Rightarrow x+2kx+2y-ky+3+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+2kx-ky+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+k(2x-y+7)=0 ……..(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং রেখাটি \(x+2y+3=0 ……..(2)\) এবং \(2x-y+7=0 ……..(3)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\((2)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(x+2y+3+4x-2y+14=0\)
\(\Rightarrow 5x+17=0\)
\(\Rightarrow 5x=-17\)
\(\Rightarrow x=-\frac{17}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2.(-\frac{17}{5})-y+7=0\)
\(\Rightarrow -\frac{34}{5}-y+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{-34-5y+35}{5}=0\)
\(\Rightarrow -34-5y+35=0\times 5\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় নির্দিষ্ট বিন্দুটি \((-\frac{17}{5}, \frac{1}{5})\)।

উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষনকোণটি নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+3y-1=0 …….(1)\)
\(x-2y+3=0 ………(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{3}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{1+(-\frac{2}{3}).\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-4-3}{6}}{1-\frac{1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{3-1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{2}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{6}\times \frac{3}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{4})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{4})\)
\(\therefore \) সূক্ষনকোণটি \(=\tan^{-1}(\frac{7}{4})\) | সূক্ষ্ণকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।

উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+3y+4=0 …….(1)\)
\(3x+4y-5=0 …….(2)\)
\(6x-7y+8=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y+4+k(3x+4y-5)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4+3kx+4ky-5k=0 \)
\(\Rightarrow (2+3k)x+(3+4k)y+(4-5k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 6(2+3k)+(-7)(3+4k)=0\) | \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 12+18k-21-28k=0\)
\(\Rightarrow -10k-9=0\)
\(\Rightarrow -10k=9\)
\(\Rightarrow k=\frac{9}{-10}\)
\(\therefore k=-\frac{9}{10}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+4+(-\frac{9}{10})(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4-\frac{9}{10}(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 10(2x+3y+4)-9(3x+4y-5)=0\) | উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20x+30y+40-27x-36y+45=0\)
\(\Rightarrow -7x-6y+85=0\)
\(\therefore 7x+6y-85=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(5x-3y-7=0 …….(1)\)
\(4x+y-9=0 …….(2)\)
\(13x-y-1=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-3y-7+k(4x+y-9)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+4kx+ky-9k=0 \)
\(\Rightarrow (5+4k)x+(k-3)y-(7+9k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ,
\(\therefore 13.(k-3)=(5+4k).(-1)\) | \(\because a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\)
\(\Rightarrow 13k-39=-5-4k\)
\(\Rightarrow 13k+4k=-5+39\)
\(\Rightarrow 17k=34\)
\(\Rightarrow k=\frac{34}{17}\)
\(\therefore k=2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(5x-3y-7+2(4x+y-9)=0\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+8x+2y-18=0\)
\(\Rightarrow 13x-y-25=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(4x-2y+7=0 ……….(1)\)
\((1)\) এর উপর অবস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুটি \(A(2, 3)\) ও \(B(-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী,
\(PA=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\)
\(PB=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x+2)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}-(x+2)^{2}-(y-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x+^{2}-4x-4-y^{2}+8y-16=0\)
\(\Rightarrow -8x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow 8x-2y+7=0 ………(2)\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(8x-2y+7-4x+2y-7=0 \)
\(\Rightarrow 4x=0 \)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow x=0 \)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(4.0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow 0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow -2y=-7 \)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-2} \)
\(\Rightarrow y=\frac{7}{2} \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \((0, \frac{7}{2})\)।

উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(AB\)এর সমীকরণ \(x-2y-3=0 ………..(1)\)
\(EF\)এর সমীকরণ \(3x-2y-5=0 ………..(2)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}\) | \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-2}\) | \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-2y-5-x+2y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(1-2y-3=0\)
\(\Rightarrow -2y-2=0\)
\(\Rightarrow -2y=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{-2}\)
\(\Rightarrow y=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(EF\)এর ছেদবিন্দু \(B(1, -1)\)
প্রতিফলিত রশ্মি \(BC\) এর সমীকরণ \(y+1=m(x-1) …..(3)\)
শর্তমতে, \(AB\) ও \(BC\) উভয়ে \((2)\) নং সরলরেখার সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m-m_{2}}{1+m.m_{2}})=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}-m_{2}})\)
\(\Rightarrow \frac{m-\frac{3}{2}}{1+m.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}.\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2m-3}{2}}{\frac{2+3m}{2}}=\frac{\frac{1-3}{2}}{1+\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2}\times \frac{2}{2+3m}=\frac{\frac{-2}{2}}{\frac{4+3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{-2}{2}\times\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=-\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{4}{7}\) | সূক্ষনকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
\(\Rightarrow 7(2m-3)=4(2+3m)\)
\(\Rightarrow 14m-21=8+12m)\)
\(\Rightarrow 14m-21-12m-8=0\)
\(\Rightarrow 2m-29=0\)
\(\Rightarrow 2m=29\)
\(\therefore m=\frac{29}{2}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow y+1=\frac{29}{2}(x-1)\)
\(\Rightarrow 2(y+1)=29(x-1)\)
\(\Rightarrow 2y+2=29x-29\)
\(\Rightarrow 29x-29=2y+2\)
\(\Rightarrow 29x-29-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 29x-2y-31=0\) ইহাই প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(2x+3y-3=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 ………(2)\) | \(k\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0 ………(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{3.5-(-3).(-2)}=\frac{y}{(-3).3-2.5}=\frac{1}{2.(-2)-3.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{15-6}=\frac{y}{-9-10}=\frac{1}{-4-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{1}{-13}, \ \frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-13}\times 9, \ y=\frac{1}{-13}\times -19\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{13}, \ y=\frac{19}{13}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{9}{13}, \frac{19}{13})\)
\(OB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0+\frac{9}{13}}=\frac{y-0}{0-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{9}{13}}=\frac{y}{-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{13x}{9}=\frac{-13y}{19}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{-y}{19}\) | উভয় পার্শে \(13\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 19x=-9y\)
\(\Rightarrow 19x+9y=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(A(a, b)\) ও \(B(c, d)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{b-d}{a-c}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a-c}{b-d}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এবং \(C\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{b+d}{2}=-\frac{a-c}{b-d}(x-\frac{a+c}{2})\)
\(\Rightarrow y-\frac{b+d}{2}=-\frac{(a-c)x}{b-d}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow y+\frac{(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a+c)(a-c)}{2(b-d)}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}{b+d+\frac{(a+c)(a-c)}{b-d}}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}\frac{(b+d)(b-d)+(a+c)(a-c)}{b-d}\)
\(\Rightarrow (b-d)y+(a-c)x=\frac{1}{2}(b^{2}-d^{2}+a^{2}-c^{2})\) | উভয় পার্শে \((b-d)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ দেখানো হলো। ]

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article