এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- \(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ (Value of the vector \(\overline{r}\))
- দ্বিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর (Vector through two fixed points in two dimension)
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগত (Cartesian three Dimension Space)
- ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর (Unite Vector in three Dimension Space )
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর (Position Vector in three Dimensional Space)
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ (Value of the Vector in three Dimensional Space)
- ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টর অপারেশন (Vector operations in three-dimensional Space)
- ত্রিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর (Two fixed-point vectors in a three-dimensional Space)
- অনুসিদ্ধান্ত (Postulate)
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক (Components of a Vector in three Dimensional space)
- সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (Vector Equation of a Straight line)
- শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (Conditional vector equation of straight line)
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a straight line through two fixed points)
- সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ (Cartesian equation from vector equation of straight line)
- ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar Multiplication of Vector)
- দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত (The condition that two vectors are mutually perpendicular)
- স্কেলার গুণজের ধর্ম (Properties of Scalar Product)
- ভেক্টরের ডট গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ (Expressing the dot product of a vector in terms of its components)
- ভেক্টরের অভিক্ষেপ (Projection of a Vector)
- ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ (The perpendicular projection or Component of a vector)
- স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা (Geometric Interpretation of Scalar Multiplication of Vector)
- দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ (Angle between two vectors)
- ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector Multiplication of vectors)
- দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত (The condition that two vectors are parallel to each other)
- ভেক্টর গুণজের ধর্ম (Properties of Vector Product)
- ভেক্টর গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ (Expressing vector multiplication by its components)
- ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা (Geometric interpretation of Vector product)
- তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন (Scalar multiplication of three vectors)
- তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত (Condition for three vectors to be coplanar)
- নির্দিষ্ট তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত (Condition for fixed three vectors to be coplanar)
- ভেক্টরের যোগাশ্রয়ী সমাবেশ (linear combination of vectors)
- ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ (Values of vectors in a three-dimensional Space)
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টরের মাণ (The values of two fixed-point vectors)
- তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector multiplication of three vectors)
- চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন (Scalar multiplication of four vectors)
- অধ্যায় \(B\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
Value of the vector \(\overline{r}\)

\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)
\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\) \(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
দ্বিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর
Vector through two fixed points in two dimension
\(P(x_{1}, y_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগত
Cartesian three Dimension Space

ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
Unite Vector in three Dimension Space \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)

\(x\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{i}\)
\(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{j}\)
\(z\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in three Dimensional Space

\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
Value of the Vector in three Dimensional Space

\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ,
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টর অপারেশন
Vector operations in three-dimensional Space

যেখানে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\)
যোগফলঃ \(\overline{A}+\overline{B}=(A_{1}+B_{1})\hat{i}+(A_{2}+B_{2})\hat{j}+(A_{3}+B_{3})\hat{k}\)
বিয়োগফলঃ \(\overline{A}-\overline{B}=(A_{1}-B_{1})\hat{i}+(A_{2}-B_{2})\hat{j}+(A_{3}-B_{3})\hat{k}\)
ভেক্টর গুনিতকঃ \(\lambda \overline{A}=\lambda A_{1}\hat{i}+\lambda A_{2}\hat{j}+\lambda A_{3}\hat{k}\)
যখন \(\lambda\) একটি স্কেলার রাশি।
ত্রিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর
Two fixed-point vectors in a three-dimensional Space

\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্ত
Postulate
যদি, \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টর \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করে,
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in three Dimensional space

\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equation of a Straight line

\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=t\overline{b}\)অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Conditional vector equation of straight line

\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a straight line through two fixed points

\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ
Cartesian equation from vector equation of straight line
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
Scalar Multiplication of Vector

\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে স্কেলার গুণফল হবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত
The condition that two vectors are mutually perpendicular

\(\overline{a}.\overline{b}=0\)
স্কেলার গুণজের ধর্ম
Properties of Scalar Product
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}=ba\cos{\theta}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
অর্থাৎ স্কেলার গুণজ বিনিময় বিধি মেনে চলে।
\(\overline{a}.(-\overline{b})=-(\overline{a}.\overline{b})\)
\((-\overline{a}).(-\overline{b})=\overline{a}.\overline{b}\)
\((\overline{a}+\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{c}\)
\(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ হলে, স্কেলার গুণন ধনাত্মক হবে
\(\theta\) স্থুলকোণ হলে, স্কেলার গুণন ঋণাত্মক হবে
\(\theta=90^{o}\) হলে, স্কেলার গুণনের মাণ শূন্য হবে
দ্রঃ দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
\(\theta=0\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে
\(\theta=180^{o}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর অসদৃশ সমান্তরাল হবে
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
অর্থাৎ স্কেলার গুণজ বিনিময় বিধি মেনে চলে।
\(\overline{a}.(-\overline{b})=-(\overline{a}.\overline{b})\)
\((-\overline{a}).(-\overline{b})=\overline{a}.\overline{b}\)
\((\overline{a}+\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{c}\)
\(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ হলে, স্কেলার গুণন ধনাত্মক হবে
\(\theta\) স্থুলকোণ হলে, স্কেলার গুণন ঋণাত্মক হবে
\(\theta=90^{o}\) হলে, স্কেলার গুণনের মাণ শূন্য হবে
দ্রঃ দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
\(\theta=0\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে
\(\theta=180^{o}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর অসদৃশ সমান্তরাল হবে
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
ভেক্টরের ডট গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing the dot product of a vector in terms of its components
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
ভেক্টরের অভিক্ষেপ
Projection of a Vector
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
অথবা,
\(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
অথবা,
\(\hat{b}.\overline{a}\)
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
অথবা,
\(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
অথবা,
\(\hat{b}.\overline{a}\)
ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ
The perpendicular projection or Component of a vector
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশক
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric Interpretation of Scalar Multiplication of Vector
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
\(=a(b\cos{\theta})\)
\(=a(OB\times{\frac{ON}{OB}})\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{ON}{OB}\)
\(=a(ON)\)
\(=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\)বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ
অনুরূপভাবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=b\) এর মাণ \(\times{\overline{b}}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ

\(=a(b\cos{\theta})\)
\(=a(OB\times{\frac{ON}{OB}})\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{ON}{OB}\)
\(=a(ON)\)
\(=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\)বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ
অনুরূপভাবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=b\) এর মাণ \(\times{\overline{b}}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
Angle between two vectors
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Vector Multiplication of vectors

\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
The condition that two vectors are parallel to each other

\(\overline{a}\times{\overline{b}}=0\)
ভেক্টর গুণজের ধর্ম
Properties of Vector Product
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=-\overline{b}\times{\overline{a}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}\ne{\overline{b}\times{\overline{a}}}\)
এদের মাণ ও ধারক রেখা অভিন্ন হলেও দিক ভিন্ন। সুতরাং ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না।
\(m(\overline{a}\times{\overline{b}})=(m\overline{a})\times{\overline{b}}=\overline{a}\times{(m\overline{b})}\)
\((m\overline{a})\times{(n\overline{b})}=(n\overline{a})\times{(m\overline{b})}=\overline{a}\times{(mn\overline{b})}=(mn\overline{a})\times{\overline{b}}=mn(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}+\overline{c})}=\overline{a}\times{\overline{b}}+\overline{a}\times{\overline{c}}\)
\((\overline{a}+\overline{b})\times{\overline{c}}=\overline{a}\times{\overline{c}}+\overline{b}\times{\overline{c}}\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}\ne{(\overline{a}\times{\overline{b}})\times{\overline{c}}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{0}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{c}\) হলে, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলের উপর লম্ব হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}\times{\overline{a}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}{ab}\right)\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}\ne{\overline{b}\times{\overline{a}}}\)
এদের মাণ ও ধারক রেখা অভিন্ন হলেও দিক ভিন্ন। সুতরাং ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না।
\(m(\overline{a}\times{\overline{b}})=(m\overline{a})\times{\overline{b}}=\overline{a}\times{(m\overline{b})}\)
\((m\overline{a})\times{(n\overline{b})}=(n\overline{a})\times{(m\overline{b})}=\overline{a}\times{(mn\overline{b})}=(mn\overline{a})\times{\overline{b}}=mn(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}+\overline{c})}=\overline{a}\times{\overline{b}}+\overline{a}\times{\overline{c}}\)
\((\overline{a}+\overline{b})\times{\overline{c}}=\overline{a}\times{\overline{c}}+\overline{b}\times{\overline{c}}\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}\ne{(\overline{a}\times{\overline{b}})\times{\overline{c}}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{0}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{c}\) হলে, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলের উপর লম্ব হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}\times{\overline{a}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}{ab}\right)\)
ভেক্টর গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing vector multiplication by its divisor
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric interpretation of Vector product

যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
\(\Box{OACB}=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
আবার, \(\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|=\frac{1}{2}.OA.h\)
\(=\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
Scalar multiplication of three vectors
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
অথবা,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
অথবা,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত
Condition for three vectors to be coplanar
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্ত
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
নির্দিষ্ট তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত
Condition for fixed three vectors to be coplanar
যদি, \(\overline{a}, \ \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) সমতলীয় ভেক্টর হয় তবে দেখাও যে,
\(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
যেখানে, \(x=0, \ y=0, \ z=0\)
ভেক্টরের যোগাশ্রয়ী সমাবেশ
linear combination of vectors
দেখাও যে, ভেক্টর \(\overline{r}\) কে উহার সহিত সমতলীয় অসমরৈখিক ভেক্টর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ যেখানে, \(x\) এবং \(y\) স্কেলার।
\(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\)
\(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\)
ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
Values of vectors in a three-dimensional Space
দেখাও যে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ
\(A=|\overline{A}|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
\(A=|\overline{A}|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টরের মাণ
The values of two fixed-point vectors
যদি, \(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে দেখাও যে, ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\) এর মাণ
\(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
\(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Vector multiplication of three vectors
তিনটি ভেক্টর \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) এর ভেক্টর গুণন
\(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\) \((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
\(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\) \((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
Scalar multiplication of four vectors
\(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এবং \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টরের জন্য
\((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{c}&\overline{a}.\overline{d}\\\overline{b}.\overline{c}&\overline{b}.\overline{d}\end{array}\right|\)
\((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{c}&\overline{a}.\overline{d}\\\overline{b}.\overline{c}&\overline{b}.\overline{d}\end{array}\right|\)
×
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y, z)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থাংক ব্যবস্থায় \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0, 0), x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}\) ও \(\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
এখন, \({OCQP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=z\overline{k}+x\overline{i}+y\overline{j}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
এখন, \({OCQP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=z\overline{k}+x\overline{i}+y\overline{j}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
×
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ,
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
প্রমাণঃ

\(P(x,y,z), \ L(x,0,0), \ M(0,y,0), \ N(0,0,z), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)
\(\triangle{OMN}\) সমকোণী
\(\therefore ON^2=OM^2+MN^2\)
আবার, \(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow OP^2=OM^2+MN^2+NP^2\) ➜ \(\because ON^2=OM^2+MN^2\)
\(\Rightarrow OP^2=MN^2+OM^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}+z\hat{k}.z\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}, \overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}+z^2\hat{k}.\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1+z^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
×
\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
প্রমাণঃ

ধরি, \(P\) যে কোনো একটি বিন্দু। \(P\) বিন্দুর মধ্য দিয়ে \(YOZ, ZOX\) এবং \(XOY\) সমতলগুলির সমান্তরাল তিনটি তল অঙ্কন করি; যারা \(OX, OY\) এবং \(OZ\) কে যথাক্রমে \(L, M\) এবং \(N^{\prime}\) বিন্দুতে ছেদ করে। এভাবে একটি আয়াতাকার ঘনক \(OLNML^{\prime}N^{\prime}M^{\prime}P\) পাওয়া যায়। যার একটি কর্ণ \(OP,\) যাকে \(\overline{r}\) দ্বারা সূচীত করা যায়।
\(\overline{r}=\overrightarrow{OP}\)
\(=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\) ➜ \(\triangle{OPN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜ \(\triangle{OMN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}\)
এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OL}\)
\(=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(x, y, z\) এরূপ তিনটি স্কেলার রাশি যেখানে,
\(P\) বিন্দুর আয়াতাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\)
এবং
\(\overrightarrow{OL}=x\overrightarrow{OA}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{OM}=y\overrightarrow{OB}=y\hat{j}\)
\(\overrightarrow{ON^{\prime}}=z\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
ইহা স্পষ্ট যে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
প্রমাণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)

\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(1)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overline{b},\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\((1)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AP}=t\overline{b}\)
যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((1)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overline{b}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overline{b}=0\)
\(\therefore (\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)➜ \(\because \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})\)
প্রমাণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})\)

\(\triangle{OCB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c} ........(1)\)
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(CB\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু নেই যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(2)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{CB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)
\((2)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)
যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((2)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(3)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{CB}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{CB}=0\)
\((3)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{c})=0\)
( প্রমাণিত )
×
\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
প্রমাণঃ
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A, B\) এবং \(P\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} ........(1)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এবং
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টরদ্বয় একই ধারক রেখার উপর অবস্থিত।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a}) .......(2)\)
আবার, \(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} .......(3)\)
\((3)\) হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(\therefore \overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(4)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=0\)
\((4)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
( প্রমাণিত )
×
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
প্রমাণঃ
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু এবং \(A(\overline{a}), B(\overline{b}), P(\overline{r})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণগুলি যথাক্রমে
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
যখন
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}+tb_{1}\hat{i}+tb_{2}\hat{j}+tb_{3}\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
এবং
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\therefore x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(a_{1}+tb_{1})\hat{i}+(a_{2}+tb_{2})\hat{j}+(a_{3}+tb_{3})\hat{k} ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(x=a_{1}+tb_{1}, y=a_{2}+tb_{2}, z=a_{3}+tb_{3}\)
\(\Rightarrow x-a_{1}=tb_{1}, y-a_{2}=tb_{2}, z-a_{3}=tb_{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=t, \frac{y-a_{2}}{b_{2}}=t, \frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\therefore \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
যখন
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}+tb_{1}\hat{i}+tb_{2}\hat{j}+tb_{3}\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
এবং
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(\therefore x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(a_{1}+tb_{1})\hat{i}+(a_{2}+tb_{2})\hat{j}+(a_{3}+tb_{3})\hat{k} ......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(x=a_{1}+tb_{1}, y=a_{2}+tb_{2}, z=a_{3}+tb_{3}\)
\(\Rightarrow x-a_{1}=tb_{1}, y-a_{2}=tb_{2}, z-a_{3}=tb_{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=t, \frac{y-a_{2}}{b_{2}}=t, \frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}=t\)
\(\therefore \frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।
( প্রমাণিত )
×
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
প্রমাণঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)

\(B\) বিন্দু থেকে \(OA\) এর উপর \(BC\) এবং \(A\) বিন্দু থেকে \(OB\) এর উপর \(AD\) লম্ব অঙ্কন করি,
এখানে, \(OC=OB\times{\frac{OC}{OB}}\)
\(=b\cos{\theta}\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\frac{OC}{OB}=\cos{\theta}\)
\(\therefore OC=b\cos{\theta}\)
যা \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OC=b\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}}{a}.\overline{b}\)
\(=\hat{a}.\overline{b}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
আবার, \(OD=OA\times{\frac{OD}{OA}}\)
\(=a\cos{\theta}\) ➜ \(\because OA=a\)
এবং \(\frac{OD}{OA}=\cos{\theta}\)
\(\therefore OD=a\cos{\theta}\)
যা \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OD=a\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{b}}{b}.\overline{a}\)
\(=\hat{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
×
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের অংশকঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
প্রমাণঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)

এবং \(\overline{b}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
আবার,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ \(OC=b\cos{\theta}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ \(OD=a\cos{\theta}\)
এখন,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OC}=OC\hat{a}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\hat{a}}\) ➜ \(\because OC=b\cos{\theta}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because \hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
আবার,
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=OD\hat{b}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\hat{b}}\) ➜ \(\because OD=a\cos{\theta}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because \hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
×
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
প্রমাণঃ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\)
এখন, \(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
আবার, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আমরা জানি,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
\(=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\) ➜ \(\because \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
এবং
\(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\)
\(\therefore \) \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\)
এখন, \(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
আবার, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আমরা জানি,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
\(=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\) ➜ \(\because \overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
এবং
\(a=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}, b=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}\)
\(\therefore \) \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
( প্রমাণিত )
×
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনঃ
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
প্রমাণঃ
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।

\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
ধরি, \(V\) আয়তন বিশিষ্ট একটি সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তু \(OABCDEFG\) এর মূলবিন্দু \(O\) তে ছেদিত ধারগুলি \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OG}=\overline{c}\) এবং \(OABC\) ভূমির উপর উচ্চতা \(h.\)
এখন, \(OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{n}\) হলে, \(\hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
আবার, \(h=\hat{n}\) এর উপর \(\overline{c}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ \(=\frac{\overline{c}.\hat{n}}{|\hat{n}|}\)
\(=\overline{c}.\hat{n}\)
\(=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜ \(\because \hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(\therefore h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(\therefore OABCDEFG\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন \(=OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\times \) উচ্চতা
\(=\overline{a}\times{\overline{b}}h\) ➜ \(\because OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
এবং উচ্চতা \(h.\)
\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜ \(\because h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
অনুরূপভাবে, \(\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
এবং \(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
\(\therefore \overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
( প্রমাণিত )
×
তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
প্রমাণঃ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \ \hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \ \)
\(\hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \ \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}\)
এবং \(\hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}, \ \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=a_{2}b_{3}\hat{i}-a_{3}b_{2}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{1}b_{3}\hat{j}+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{2}b_{1}\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\)
আবার, \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}).\{(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}.\hat{i}+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{i}.\hat{j}+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{i}.\hat{k}+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{j}.\hat{i}+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}.\hat{j}\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{j}.\hat{k}+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{k}.\hat{i}+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{k}.\hat{j}+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}.\hat{k}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})1+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})1\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{2}c_{1}+0+0+0+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}+0+0+0+a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{1}c_{3}\)
\(=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}\)
\(=a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right| ....(1)\)
এখন, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন \(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
আবার, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, ঘনবস্তুর আয়তন \(=0\) হবে।
অর্থাৎ \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=0 ....... (2)\) হবে।
আবার
\(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].... (3)\)
\((1),\) \((2)\) ও \((3)\) হতে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \ \hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \ \)
\(\hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \ \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}\)
এবং \(\hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}, \ \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=a_{2}b_{3}\hat{i}-a_{3}b_{2}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{1}b_{3}\hat{j}+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{2}b_{1}\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\)
আবার, \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}).\{(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}\}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{i}.\hat{i}+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{i}.\hat{j}+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{i}.\hat{k}+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{j}.\hat{i}+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{j}.\hat{j}\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{j}.\hat{k}+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\hat{k}.\hat{i}+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\hat{k}.\hat{j}+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}.\hat{k}\)
\(=c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})1+c_{1}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{1}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{2}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})1\)\(+c_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})0+c_{3}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})0+c_{3}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})0+c_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{2}c_{1}+0+0+0+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{1}b_{3}c_{2}+0+0+0+a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{1}c_{3}\)
\(=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}\)
\(=a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right| ....(1)\)
এখন, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন \(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
আবার, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c} \) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, ঘনবস্তুর আয়তন \(=0\) হবে।
অর্থাৎ \(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=0 ....... (2)\) হবে।
আবার
\(\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].... (3)\)
\((1),\) \((2)\) ও \((3)\) হতে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত
( প্রমাণিত )
×
যদি, \(\overline{a}, \ \overline{c}\) এবং \(\overline{c}\) সমতলীয় ভেক্টর হয় তবে দেখাও যে,
\(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ y=0, \ z=0\)
\(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ y=0, \ z=0\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}, \ \overline{c}\) এবং \(\overline{c}\) সমতলীয় ভেক্টর
এবং \(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}+\frac{y}{x}\overline{b}+\frac{z}{x}\overline{c}=0\) ➜ যদি, \(x\ne{0}\)
উভয় পার্শে \(x\) ভাগ করে।
\(\therefore \overline{a}=\left(-\frac{y}{x}\right)\overline{b}+\left(-\frac{z}{x}\right)\overline{c}\)
\(\therefore\) ইহা স্পষ্ট যে, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয়।
কিন্তু ইহা অসম্ভব কারণ \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় অসমতলীয়।
সুতরাং, \(x=0\)
অনুরূপভাবে, প্রমাণ কর যায় \(y=0, \ z=0\)
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}, \ \overline{c}\) এবং \(\overline{c}\) সমতলীয় ভেক্টর
এবং \(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}+\frac{y}{x}\overline{b}+\frac{z}{x}\overline{c}=0\) ➜ যদি, \(x\ne{0}\)
উভয় পার্শে \(x\) ভাগ করে।
\(\therefore \overline{a}=\left(-\frac{y}{x}\right)\overline{b}+\left(-\frac{z}{x}\right)\overline{c}\)
\(\therefore\) ইহা স্পষ্ট যে, \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয়।
কিন্তু ইহা অসম্ভব কারণ \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় অসমতলীয়।
সুতরাং, \(x=0\)
অনুরূপভাবে, প্রমাণ কর যায় \(y=0, \ z=0\)
( প্রমাণিত )
×
দেখাও যে, ভেক্টর \(\overline{r}\) কে উহার সহিত সমতলীয় অসমরৈখিক ভেক্টর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ \(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\) রূপে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যায় যেখানে, \(x\) এবং \(y\) স্কেলার।
প্রমাণঃ

\( \overline{r}, \ \overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয় অসমরৈখিক।
ধরি,
\( \overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OR}=\overline{b}\)
এখন, \( \overrightarrow{OR}\) কে কর্ণ ধরে \(OPRQ\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি যার \(OP\) বাহু \(OA\) বরাবর এবং \(OQ\) বাহু \(OB\) বরাবর।
এবং \( \overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}=x\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OQ}=y\overrightarrow{OB}=y\overline{b}\)
যেখানে, \(x\) এবং \(y\) উভয় স্কেলার।
এখন, \( \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}\) ➜ \(\triangle{OPR}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\) ➜ \(\because \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}||\overrightarrow{OQ}\)
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু।
\(\therefore \overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b} ....(1)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OR}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OP}=x\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=y\overline{b}\)
আবার ধরি,
\(\overline{r}=x^{\prime}\overline{a}+y^{\prime}\overline{b} ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x\overline{a}+y\overline{b}=x^{\prime}\overline{a}+y^{\prime}\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\overline{a}+y\overline{b}-x^{\prime}\overline{a}-y^{\prime}\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow (x-x^{\prime})\overline{a}+(y-y^{\prime})\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow x-x^{\prime}=0, \ y-y^{\prime}=0\) ➜ \(\because \overline{a}\ne{0}, \ \overline{b}\ne{0}\)
\(\therefore x=x^{\prime}, \ y=y^{\prime}\)
সুতরাং যোগাশ্রয়ী সমাবেশ \(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\) অনন্য।
( প্রমাণিত )
×
দেখাও যে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ \(A=|\overline{A}|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
প্রমাণঃ

\(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
ধরি,
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{A}\) এবং \(P\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(XY\) সমতল ও \(Z\) অক্ষের উপর \(PM\) ও \(PD\) লম্ব আঁকি।
আবার, \(M\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর \(MB\) লম্ব আঁকি।
\(\therefore OP=A, \ OB=A_{1}, \ OC=MB=A_{2}, \ OD=PM=A_{3}\)
\(\triangle OMB\) সমকোণী
\(\therefore OM^2=OB^2+MB^2\)
\(\therefore OM^2=A_{1}^2+A_{2}^2\) ➜ \(\because OB=A_{1}, \ OC=MB=A_{2}\)
\(\triangle OPM\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=OM^2+PM^2\)
\(\Rightarrow A^2=A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2\) ➜ \(\because OM^2=A_{1}^2+A_{2}^2\)
এবং \(PM=A_{3}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
\(\therefore A=|A|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
( প্রমাণিত )
×
যদি, \(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে দেখাও যে, ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\) এর মাণ \(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
প্রমাণঃ

\(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু
ধরি,
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) এবং \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{r_{1}}\) এবং \(\overline{r_{2}}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overline{r_{1}}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{r_{2}}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)
\(=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
\(=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}-z_{1}\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(\Rightarrow AB=|\overrightarrow{AB}|=|(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}|\)
\(\therefore AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
( প্রমাণিত )
×
তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণনঃ
তিনটি ভেক্টর \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) এর ভেক্টর গুণন
\(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
\((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
তিনটি ভেক্টর \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) এর ভেক্টর গুণন
\(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
\((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর
ধরি,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
এখন, \(\overline{b}\times\overline{c}=(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)
\(\therefore (\overline{b}\times\overline{c})=\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\hat{i}+\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\hat{k}\)
আবার, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times\left\{\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\hat{i}+\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\hat{k}\right\}\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|&\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|&\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)
\(=\sum\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}\) ➜ \(\because \sum\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}=\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}\)\(-\{a_{1}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})\}\hat{j}+\{a_{1}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})-a_{2}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})\}\hat{k}\)
\(=\sum\{a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{3}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}-(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}+a_{1}b_{1}c_{1}-a_{1}b_{1}c_{1}-(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(\overline{a}.\overline{c})b_{1}-(\overline{a}.\overline{b})c_{1}\}\hat{i}\) ➜ \(\because a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}=\overline{a}.\overline{c}\)
এবং \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})\sum b_{1}\hat{i}-(\overline{a}.\overline{b})\sum c_{1}\hat{i}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})-(\overline{a}.\overline{b})(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\) ➜ \(\because \sum b_{1}\hat{i}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(\sum c_{1}\hat{i}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\) ➜ \(\because b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}=\overline{b}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}=\overline{c}\)
\(\therefore \overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
অনুরূপভাবে দেখানো যায়,
\(\therefore (\overline{a}\times\overline{b})\times\overline{c}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর
ধরি,
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
এখন, \(\overline{b}\times\overline{c}=(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)
\(\therefore (\overline{b}\times\overline{c})=\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\hat{i}+\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\hat{k}\)
আবার, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times\left\{\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\hat{i}+\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\hat{k}\right\}\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\left|\begin{array}{c}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{array}\right|&\left|\begin{array}{c}b_{3}&b_{1}\\c_{3}&c_{1}\end{array}\right|&\left|\begin{array}{c}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{array}\right|\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)
\(=\sum\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}\) ➜ \(\because \sum\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}=\{a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})\}\hat{i}\)\(-\{a_{1}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})\}\hat{j}+\{a_{1}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})-a_{2}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})\}\hat{k}\)
\(=\sum\{a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{3}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}-(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}+a_{1}b_{1}c_{1}-a_{1}b_{1}c_{1}-(a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3})b_{1}-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})c_{1}\}\hat{i}\)
\(=\sum\{(\overline{a}.\overline{c})b_{1}-(\overline{a}.\overline{b})c_{1}\}\hat{i}\) ➜ \(\because a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+a_{3}c_{3}=\overline{a}.\overline{c}\)
এবং \(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})\sum b_{1}\hat{i}-(\overline{a}.\overline{b})\sum c_{1}\hat{i}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})-(\overline{a}.\overline{b})(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\) ➜ \(\because \sum b_{1}\hat{i}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(\sum c_{1}\hat{i}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\)
\(=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\) ➜ \(\because b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}=\overline{b}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}=\overline{c}\)
\(\therefore \overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
অনুরূপভাবে দেখানো যায়,
\(\therefore (\overline{a}\times\overline{b})\times\overline{c}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003