সমতল ও শূন্যে ভেক্টর
Vectors in the plane and in the air
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
Value of the vector \(\overline{r}\)
straight3 ধরি,
\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
দ্বিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর
Vector through two fixed points in two dimension
\(P(x_{1}, y_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগত
Cartesian three Dimension Space
straight3 ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পরস্পর লম্ব তিনটি অক্ষ রেখা থাকে যাদের যথাক্রমে \(x, y, z\) অক্ষ বলে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) আকারে লিখে প্রকাশ করা হয়। \(x\) স্থাংক দ্বারা \(x\) অক্ষ বরাবর দূরত্ব, \(y\) স্থাংক এবং \(z\) স্থাংক দ্বারা অনুরূপে \(y\) অক্ষ এবং \(z\) অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু হতে দূরত্ব বুঝায়।
ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
Unite Vector in three Dimension Space \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
straight3 ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়,
\(x\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{i}\)
\(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{j}\)
\(z\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in three Dimensional Space
straight3 কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y, z)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
Value of the Vector in three Dimensional Space
straight3
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ,
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টর অপারেশন
Vector operations in three-dimensional Space
straight3 ধরি, \(A\) ও \(B\) ত্রিমাত্রিক জগতের দুইটি ভেক্টর
যেখানে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\)
যোগফলঃ \(\overline{A}+\overline{B}=(A_{1}+B_{1})\hat{i}+(A_{2}+B_{2})\hat{j}+(A_{3}+B_{3})\hat{k}\)
বিয়োগফলঃ \(\overline{A}-\overline{B}=(A_{1}-B_{1})\hat{i}+(A_{2}-B_{2})\hat{j}+(A_{3}-B_{3})\hat{k}\)
ভেক্টর গুনিতকঃ \(\lambda \overline{A}=\lambda A_{1}\hat{i}+\lambda A_{2}\hat{j}+\lambda A_{3}\hat{k}\)
যখন \(\lambda\) একটি স্কেলার রাশি।
ত্রিমাত্রিক জগতে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টর
Two fixed-point vectors in a three-dimensional Space
straight3 \(P(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্ত
Postulate
যদি, \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টর \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করে,
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in three Dimensional space
straight3
\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equation of a Straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)

দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=t\overline{b}\)
অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Conditional vector equation of straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a straight line through two fixed points
straight3 \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ
Cartesian equation from vector equation of straight line
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)

ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
Scalar Multiplication of Vector
straight3 দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের কোসাইন (cosine) এর গুণফলের সমান। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ \(\overline{a}.\overline{b}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে স্কেলার গুণফল হবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত
The condition that two vectors are mutually perpendicular
straight3 \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর লম্ব হলে,
\(\overline{a}.\overline{b}=0\)
স্কেলার গুণজের ধর্ম
Properties of Scalar Product
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}=ba\cos{\theta}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
অর্থাৎ স্কেলার গুণজ বিনিময় বিধি মেনে চলে।
\(\overline{a}.(-\overline{b})=-(\overline{a}.\overline{b})\)
\((-\overline{a}).(-\overline{b})=\overline{a}.\overline{b}\)
\((\overline{a}+\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{c}\)
\(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ হলে, স্কেলার গুণন ধনাত্মক হবে
\(\theta\) স্থুলকোণ হলে, স্কেলার গুণন ঋণাত্মক হবে
\(\theta=90^{o}\) হলে, স্কেলার গুণনের মাণ শূন্য হবে
দ্রঃ দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
\(\theta=0\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে
\(\theta=180^{o}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর অসদৃশ সমান্তরাল হবে
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
ভেক্টরের ডট গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing the dot product of a vector in terms of its components
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)

\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
ভেক্টরের অভিক্ষেপ
Projection of a Vector
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
অথবা,
\(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
অথবা,
\(\hat{b}.\overline{a}\)

ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ
The perpendicular projection or Component of a vector
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশক
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর,
\((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\)
অথবা,
\(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)

স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric Interpretation of Scalar Multiplication of Vector
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ,straight3 \(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
\(=a(b\cos{\theta})\)
\(=a(OB\times{\frac{ON}{OB}})\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{ON}{OB}\)

\(=a(ON)\)
\(=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\)বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ
অনুরূপভাবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=b\) এর মাণ \(\times{\overline{b}}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
Angle between two vectors
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)

ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Vector Multiplication of vectors
straight3 দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক হবে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে লম্বভাবে স্থাপিত একটি ডানহাতি স্ক্রকে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে স্ক্রটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
The condition that two vectors are parallel to each other
straight3 \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর সমান্তরাল হলে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=0\)
ভেক্টর গুণজের ধর্ম
Properties of Vector Product
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=-\overline{b}\times{\overline{a}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}\ne{\overline{b}\times{\overline{a}}}\)
এদের মাণ ও ধারক রেখা অভিন্ন হলেও দিক ভিন্ন। সুতরাং ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না।
\(m(\overline{a}\times{\overline{b}})=(m\overline{a})\times{\overline{b}}=\overline{a}\times{(m\overline{b})}\)
\((m\overline{a})\times{(n\overline{b})}=(n\overline{a})\times{(m\overline{b})}=\overline{a}\times{(mn\overline{b})}=(mn\overline{a})\times{\overline{b}}=mn(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}+\overline{c})}=\overline{a}\times{\overline{b}}+\overline{a}\times{\overline{c}}\)
\((\overline{a}+\overline{b})\times{\overline{c}}=\overline{a}\times{\overline{c}}+\overline{b}\times{\overline{c}}\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}\ne{(\overline{a}\times{\overline{b}})\times{\overline{c}}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{0}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{c}\) হলে, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলের উপর লম্ব হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}\times{\overline{a}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}{ab}\right)\)
ভেক্টর গুণজকে এর অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
Expressing vector multiplication by its divisor
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)

\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric interpretation of Vector product
straight3 \(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) সন্নিহিত বাহু দুইটি দ্বারা যথাক্রমে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টর দুইটি সূচীত করা হলো।
যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
\(\Box{OACB}=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
আবার, \(\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|=\frac{1}{2}.OA.h\)
\(=\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
Scalar multiplication of three vectors
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
অথবা,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})\)\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)

তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত
Condition for three vectors to be coplanar
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্ত
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)

নির্দিষ্ট তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত
Condition for fixed three vectors to be coplanar
যদি, \(\overline{a}, \ \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) সমতলীয় ভেক্টর হয় তবে দেখাও যে,
\(x\overline{a}+y\overline{b}+z\overline{c}=0\)
যেখানে, \(x=0, \ y=0, \ z=0\)

ভেক্টরের যোগাশ্রয়ী সমাবেশ
linear combination of vectors
দেখাও যে, ভেক্টর \(\overline{r}\) কে উহার সহিত সমতলীয় অসমরৈখিক ভেক্টর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ যেখানে, \(x\) এবং \(y\) স্কেলার।
\(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\)

ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
Values of vectors in a three-dimensional Space
দেখাও যে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ
\(A=|\overline{A}|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী ভেক্টরের মাণ
The values of two fixed-point vectors
যদি, \(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে দেখাও যে, ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\) এর মাণ
\(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)

তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Vector multiplication of three vectors
তিনটি ভেক্টর \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) এর ভেক্টর গুণন
\(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
\((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)

চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
Scalar multiplication of four vectors
\(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এবং \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টরের জন্য
\((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{c}&\overline{a}.\overline{d}\\\overline{b}.\overline{c}&\overline{b}.\overline{d}\end{array}\right|\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}|, \ |\overline{B}|, \ |\overline{A}+\overline{B}|, \ |\overline{A}-\overline{B}|\) এবং \(|\overline{A}-2\overline{B}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{29}, \ \sqrt{11}, \ \sqrt{38}, \ \sqrt{42}\) এবং \(\sqrt{77}\)

\(Ex.2\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি ভেক্টর ও তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\)

\(Ex.3\) যদি, \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)

\(Ex.4\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(YZ\) সমতল;
\((2)\) \(ZX\) সমতল ;
\((3)\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)

\(Ex.5\) দেখাও যে, \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=5\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় পরস্পর লম্বিক।

\(Ex.6\) যদি \(|\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{a}-\overline{b}|\) হয় তবে , দেখাও যে, \(\overline{a}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
জাতীয়ঃ ২০১৬, ২০০৬ ।

\(Ex.7\) নিম্নের ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
\((i) \overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\((ii) \overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{b}=4\hat{i}-3\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
উত্তরঃ \((i) \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{21}\right)}\)
\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{13}{5\sqrt{14}}\right)}\)

\(Ex.8\) নিম্নের ভেক্টর স্থাংকের অক্ষত্রয়ের যোগবোধক দিকের সহিত যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((i) \ 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
\((ii) \ \hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\)
উত্তরঃ \((i) \ \cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{9}\right)}\)

\(Ex.9\) ডট গুণনের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{6\sqrt{3}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{17}{6\sqrt{11}}\right)};\) \(\angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{5}{2\sqrt{22}}\right)}\)

\(Ex.10\) \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((i) \ \overline{a}=2\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\)
\((ii) \ \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}\)
উত্তরঃ \((i) \ \frac{2}{9}; \ \frac{2}{7}\)
\((ii) \ \frac{7}{\sqrt{26}}; \ \frac{7}{\sqrt{14}}\)

\(Ex.11\) \(A(2,3,-1)\) ও \(B(-2,-4,3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার উপর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)

\(Ex.12\) যদি, \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) হয় তবে
\((i) \ \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর
এবং \((ii) \ \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((i) \ \frac{4}{49}\overline{b}\)
\((ii) \ \frac{4}{9}\overline{a}\)

\(Ex.13\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।

\(Ex.14\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

\(Ex.15\) \(\hat{a}\) এবং \(\hat{b}\) একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, দেখাও যে, \(\sin{\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{2}|\hat{a}-\hat{b}|\)

\(Ex.16\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-\overline{b})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-20\hat{i}-6\hat{j}-22\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৭

\(Ex.17\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \((|\overline{a}\times\overline{b}|)^2=a^2b^2-(\overline{a}.\overline{b})^2\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ২০১৭

\(Ex.18\) \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের জন্য দেখাও যে , \(\overline{a}\times(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}+\overline{b})=0\)
জাতীয়ঃ ২০০২

\(Ex.19\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{j}+4\hat{k})}\)

\(Ex.20\) \(\overline{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর একক লম্ব ভেক্টর নির্ণয় কর। আবার একই দিকে \(5\) একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}; \ \pm{\frac{5}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ১৯৯৭

নিচের ভেক্টরদ্বয়ের প্রত্যেকটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনও নির্ণয় কর।
\(Ex.21.(a)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \((a) \pm{\frac{1}{\sqrt{339}}(7\hat{i}+13\hat{j}-11\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\sqrt{\left(\frac{113}{140}\right)}\)
জাতীয়ঃ ২০১৭, ২০১৫, ২০১৩, ২০০৮, ১৯৯৯

নিচের ভেক্টরদ্বয়ের প্রত্যেকটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনও নির্ণয় কর।
\(Ex.21.(b)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=-6\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\)
উত্তরঃ \((b) \pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\)
জাতীয়ঃ ২০০৭

\(Ex.21.(c)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k}\)
উত্তরঃ \((c) \pm{\frac{1}{3\sqrt{5}}(-2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{29}}\)
জাতীয়ঃ ২০১০, ১৯৯৬; বিঃপাসঃ ২০১৫

\(Ex.21.(d)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \((d) \pm{\frac{1}{\sqrt{117}}(-8\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\sqrt{\left(\frac{117}{406}\right)}\)
জাতীয়ঃ ২০১৬

\(Ex.22\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-4\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{17}}(2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})}\)

\(Ex.23\) যদি তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(2,4,-1)\) ও \(B(0,2,-3)\) এবং \(C(3,2,1)\) হয় তবে \(ABC\) সমতলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-8\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\)

\(Ex.24\) \(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=0\) হলে দেখাও যে, \(\overline{a}\times\overline{b}=\overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}\)

\(Ex.25\) \(\overline{A}\) এবং \(\overline{B}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|A|^2|B|^2\)
জাতীয়ঃ ২০০০,১৯৯৭

\(Ex.26\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ২০১৪

\(Ex.27\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১২

\(Ex.28\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য, দেখাও যে, \([\overline{a}+\overline{b} \ \overline{b}+\overline{c} \ \overline{c}+\overline{a}]=2[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০১০,২০০৩; ঢাঃবিঃ ২০১২,২০০৯,২০০৬; ঢাঃবিঃএফিঃকঃ ২০১৭

\(Ex.29\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \([\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{b}\times\overline{c} \ \overline{c}\times\overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]^2=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{a}&\overline{a}.\overline{b}&\overline{a}.\overline{c}\\ \overline{b}.\overline{a}&\overline{b}.\overline{b}&\overline{b}.\overline{c}\\ \overline{c}.\overline{a}&\overline{c}.\overline{b}&\overline{c}.\overline{c}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১৬,২০১৩,২০১০,২০০৫,১৯৯৯,১৯৯৬; ঢাঃবিঃ ২০০৭,২০০৪,২০০০,১৯৯৪; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৭,২০১৫

\(Ex.30\) \(\overline{A}=x_{1}\overline{a}+y_{1}\overline{b}+z_{1}\overline{c}, \ \overline{B}=x_{2}\overline{a}+y_{2}\overline{b}+z_{2}\overline{c}\) এবং \(\overline{C}=x_{3}\overline{a}+y_{3}\overline{b}+z_{3}\overline{c}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\overline{A}.(\overline{B}\times\overline{C})=\left|\begin{array}{c}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\ x_{2}&y_{2}&z_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{array}\right|\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\)

\(Ex.31\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(\overline{d}=\frac{\overline{c}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{a}\times\overline{b})+\frac{\overline{a}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{b}\times\overline{c})+\frac{\overline{b}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{c}\times\overline{a})\)

\(Ex.32\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{3}{5}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৫; রাঃবিঃ ১৯৬৬; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৪

\(Ex.33\) দেখাও যে, নিম্নের ভেক্টরগুলি সমতলীয়।
\((a) \ \overline{A}=5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{C}=4\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৫; রাঃবিঃ ১৯৬৬; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৪
\((b) \ \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}, \ 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ 3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\)

\(Ex.34\) \(\overline{A}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\hat{i}+15\hat{j}-15\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১, ১৯৯৫

\(Ex.35\) \(\overline{a}=4\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)

\(Ex.36\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}\times\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}\times\overline{b})=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১৩,২০১১,২০০২,১৯৯৭; ঢাঃবিঃ ২০০৫

\(Ex.37\) \(\overline{a}\) ভেক্টরটির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ (\overline{a}.\hat{i})\hat{i}+(\overline{a}.\hat{j})\hat{j}+(\overline{a}.\hat{k})\hat{k}=\overline{a}\)
\((ii) \ \hat{i}\times(\overline{a}\times\hat{i})+\hat{j}\times(\overline{a}\times\hat{j})+\hat{k}\times(\overline{a}\times\hat{k})=2\overline{a}\)
জাতীয়ঃ ২০০৫,১৯৯৫; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৫

\(Ex.38\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b})\times(\overline{c}\times\overline{d})=\overline{b}(\overline{a}.\overline{c}\times\overline{d})-\overline{a}(\overline{b}.\overline{c}\times\overline{d})\)\(=\overline{c}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{d})-\overline{d}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{c})\)

\(Ex.39\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})+(\overline{b}\times\overline{c}).(\overline{a}\times\overline{d})+(\overline{c}\times\overline{a}).(\overline{b}\times\overline{d})=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৪

\(Ex.40\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\hat{i}-14\hat{j}-7\hat{k}\)

\(Ex.41\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}][\overline{b} \ \overline{e} \ \overline{f}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{b}][\overline{a} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)
\((ii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{e}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{f}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{f}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{e}]\)
\((iii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}][\overline{e} \ \overline{f} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}][\overline{d} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)

\(Ex.42\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}][\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}\overline{l}.\overline{a}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}.\overline{a}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}.\overline{a}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১৭

\(Ex.43\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}\) ভেক্টর পাঁচটির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}](\overline{a}\times\overline{b})=\left|\begin{array}{c}\overline{l}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)

\(Ex.44\) \(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{b}+2\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)

\(Ex.45\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)

\(Ex.46\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) ভেক্টরটি \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণের মাণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)

\(Ex.47\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে,
\(\overline{d}=\frac{[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{a}+\frac{[\overline{a} \ \overline{d} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{b}+\frac{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{c}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৩

\(Ex.48\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{9}{\sqrt{6}}; \ -\frac{9}{\sqrt{14}}\)

\(Ex.49\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\)

\(Ex.50\) \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})}\)

\(Ex.51\) যদি \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এর বিপরীত ভেক্টর \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) এর জন্য দেখাও যে,
\(\overline{r}=(\overline{r}.\overline{a}^{\prime})\overline{a}+(\overline{r}.\overline{b}^{\prime})\overline{b}+(\overline{r}.\overline{c}^{\prime})\overline{c}\)
জাতীয়ঃ ২০০১, ১৯৯৮

\(Ex.52\) যদি \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\ne{0}\) এবং \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a) \ \overline{a}.\overline{a}^{\prime}=\overline{b}.\overline{b}^{\prime}=\overline{c}.\overline{c}^{\prime}=1\)
\((b) \ \overline{a}^{\prime}.\overline{b}=\overline{a}^{\prime}.\overline{c}=\overline{b}^{\prime}.\overline{a}=\overline{b}^{\prime}.\overline{c}=\overline{c}^{\prime}.\overline{a}=\overline{c}^{\prime}.\overline{b}=0\)
\((c) \ \overline{a}\times\overline{a}^{\prime}+\overline{b}\times\overline{b}^{\prime}+\overline{c}\times\overline{c}^{\prime}=0\)
\((d) \ [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\frac{1}{[\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]}\) যেখানে, \([\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]\ne{0}\)
জাতীয়ঃ ২০০১

\(Ex.53\) \(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত। \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)

\(Ex.54\) \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}, \ 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}, \ 7\hat{i}+9\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+6\hat{j}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।

\(Ex.55\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।

\(Ex.56\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)
\((b) \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)

\(Ex.57\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ও \(\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=5\)

\(Ex.58\) \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) ও \(\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরগুচ্ছের বিপরীত ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(7\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(8\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k})\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry