কোনো বস্তুকণাকে উল্লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত না করে যদি ভূমির সঙ্গে আনতভাবে নির্দিষ্ট বেগে ও কোণে প্রক্ষিপ্ত করা হয় তবে বস্তুকণাটির আনুভূমিক ও উল্লম্ব বেগ থাকে। বস্তুকণাটি অভিকর্ষের বিপরীত দিকে সর্বাধিক উচ্চতায় উঠে নিক্ষেপন তলে ফিরে আসে। যে উল্লম্ব তলে প্রক্ষেপনটি বিচরণ করে তা হলো প্রক্ষেপক তল। কোনো দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাকে প্রক্ষেপক বা প্রাস (Projectile) বলা হয়। প্রক্ষেপকের বক্রাকার গতিপথকে ইহার বিচরণ পথ (Trajectory) বলা হয়। যে বিন্দু হতে প্রক্ষেপকটি নিক্ষিপ্ত হয় তাকে নিক্ষেপন বিন্দু বা প্রক্ষেপন বিন্দু (Point of projection) বলা হয়। যে আদিবেগে প্রক্ষেপক শূণ্যে নিক্ষিপ্ত হয় তাকে প্রক্ষেপ বেগ বা নিক্ষেপন বেগ বা প্রক্ষেপন বেগ (Velocity of projection) বলা হয়। যাত্রা মুহূর্তে নিক্ষেপন বেগের গতিপথ নিক্ষেপ বিন্দু দিয়ে কল্পিত আনুভূমিক রেখার সাথে যে কোণ সৃষ্টি করে তাকে প্রক্ষেপন কোণ বা নিক্ষেপন কোণ (Angle of projection) বলা হয়। নিক্ষেপন বিন্দু দিয়ে কল্পিত আনুভূমিক তলের যে বিন্দুতে প্রক্ষেপকটি পতিত হয়, নিক্ষেপন বিন্দু হতে সেই বিন্দুর দূরত্বকে ইহার আনুভূমিক পাল্লা (Horizontal Range) বা সংক্ষিপ্তভাবে পাল্লা বলা হয়। প্রক্ষেপন বিন্দুগামী আনুভূমিক তল হতে এর বিচরণপথের সর্বাধিক দূরবর্তী বিন্দুর দূরত্বকে প্রক্ষেপকের সর্বাধিক উচ্চতা (Greatest Height) বলা হয়।

পূর্বেই আমরা সরলরেখায় বা আনুভূমিকভাবে চলমান বস্তুকণার গতি এবং উল্লম্বভাবে চলমান বস্তুকণার গতির বিভিন্ন সূত্র দেখেছি। কিন্তু বস্তুকণা সব সময় আনুভূমিক বা উল্লম্বভাবে নাও চলতে পারে। বস্তুকণাকে আনুভূমিক বা উল্লম্ব দিকের সাথে যে কোনো দিক বরাবরও নিক্ষেপ করা হতে পারে সে ক্ষেত্রে বস্তুকণার গতি বের করার উপায় নিম্নরূপ।
ধরি, \(O\) বিন্দুতে কোনো বস্তুকণা রয়েছে, \(OX\) ও \(OY\) যথাক্রমে আনুভূমিক ও উল্লম্ব রেখা। বস্তুকণাকে \(OX\) এর সাথে \(\alpha\) কোণে \(u\) বেগে নিক্ষেপ করা হলো।
এখন, \(OX\) বরাবর \(u\) বেগের উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
\(OY\) বরাবর \(u\) বেগের উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
কীভাবে এই উপাংশ পাওয়া যায়, তা পূর্বেই আলোচনা করা হয়েছে। বলবিদ্যায় এই উপাংশের ধারণা কিন্তু খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
যেমন-সরলরেখায় চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে \(v=u+ft\) ব্যবহার করা হয়।
যখন \(u\) বেগের দিক আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে থাকে তখন ঐ সরলরেখা বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(u\cos{\alpha}\) হবে। অর্থাৎ \(u\) এর স্থলে \(u\cos{\alpha}\) ব্যবহার করলেই হবে। \(f\) এর স্থলে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ব্যবহার করতে হবে। যদি \(t\) সময়ে বস্তুকণার বেগ \(v\) আনুভূমিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে তবে আনুভূমিক বরাবর \(v\) এর উপাংশ \(v\cos{\theta}\)
অর্থাৎ সূত্র হবে \(v\cos{\theta}=u\cos{\alpha}+gt\)
উল্লম্ব দিকের জন্য একই হবে। যদি \(h\) এর মান বের করতে হয়, তখন উল্লম্ব উপাংশ \(u\sin{\alpha}\) হবে।
এখন, \(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\) সূত্রের আকার, \(h=u\sin{\alpha}t-\frac{1}{2}gt^2\) হবে।
উক্ত আলোচনা থেকে বলা যায় যে, কোনো বস্তুকণার বেগ বিভিন্ন দিকে দেওয়া থাকলে তার গতি নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট দিকে উপাংশ নিয়ে পূর্বের গতির সাধারণ সূত্রের মাধ্যমে আলোচনা করা যায়।

ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
সুতরাং আনুভূমিক বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
উল্লম্ব বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
\(t\) সময়ে বস্তুকণাটি \(P(x, y)\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়, যা \(P\) বিন্দুতে আনুভূমিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(P\) বিন্দুতে আনুভূমিক বরাবর \(v\) এর উপাংশ \(=v\cos{\theta}\)
উল্লম্ব বরাবর \(v\) এর উপাংশ \(=v\sin{\theta}\)
আনুভূমিক বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-90^{o})}=g\cos{90^{o}}=0\)
উল্লম্ব বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-180^{o})}=g\cos{(180^{o})}=g(-1)=-g\)
এখন, আনুভূমিক বরাবর সরণ,
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x=u\cos{\alpha}.t+\frac{1}{2}.0.t^2\) ➜ Note \(\because h=x, \ u=u\cos{\alpha}, \ g=0\)

\(\therefore x=u\cos{\alpha}t ........(1)\)
আবার, উল্লম্ব বরাবর সরণ,
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}.t+\frac{1}{2}.(-g).t^2\) ➜ Note \(\because h=x, \ u=u\sin{\alpha}, \ g=-g\)

\(\therefore y=u\sin{\alpha}t-\frac{1}{2}gt^2 ........(2)\)
সুতরাং \(t\) সময়ে বস্তুকণার অবস্থান \(P(x, y)\) বিন্দুতে যেখানে, \(x=u\cos{\alpha}t\)
এবং \(y=u\sin{\alpha}t-\frac{1}{2}gt^2\)
\(t\) সময়ে বস্তুকণার আনুভূমিক বেগ,
\(v=u+gt\)
\(\Rightarrow v\cos{\theta}=u\cos{\alpha}+0.t\) ➜ Note \(\because v=v\cos{\theta}, \ u=u\cos{\alpha}, \ g=0\)

\(\therefore v\cos{\theta}=u\cos{\alpha} .........(3)\)
এবং উল্লম্ব বেগ,
\(v=u+gt\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow v\cos{\theta}=u\cos{\alpha}+(-g)t\) ➜ Note \(\because v=v\sin{\theta}, \ u=u\sin{\alpha}, \ g=-g\)

\(\therefore v\sin{\theta}=u\sin{\alpha}-gt .........(4)\)
\((3)^2+(4)^2\) এর সাহায্যে,
\((v\cos{\theta})^2+(v\sin{\theta})^2=(u\cos{\alpha})^2+(u\sin{\alpha}-gt)^2\)
\(\Rightarrow v^2\cos^2{\theta}+v^2\sin^2{\theta}=u^2\cos^2{\alpha}+u^2\sin^2{\alpha}+g^2t^2-2ugt\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow v^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=u^2(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})+g^2t^2-2ugt\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow v^2.1=u^2.1+g^2t^2-2ugt\sin{\alpha}\) ➜ Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(\Rightarrow v^2=u^2-2ugt\sin{\alpha}+g^2t^2\)
\(\therefore v=\sqrt{u^2-2ugt\sin{\alpha}+g^2t^2}\)
সুতরাং \(t\) সময়ান্তে বস্তুকণার বেগ, \(v=\sqrt{u^2-2ugt\sin{\alpha}+g^2t^2}\)
আবার, \((4)\div(3)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{v\sin{\theta}}{v\cos{\theta}}=\frac{u\sin{\alpha}-gt}{u\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{u\sin{\alpha}-gt}{u\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{u\sin{\alpha}-gt}{u\cos{\alpha}}\right)}\)
সুতরাং \(t\) সময়ান্তে বস্তুকণার দিক, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{u\sin{\alpha}-gt}{u\cos{\alpha}}\right)}\)

ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
সুতরাং আনুভূমিক বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
উল্লম্ব বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
\(h\) উচ্চতায় বস্তুকণাটি \(P\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়, যা \(P\) বিন্দুতে আনুভূমিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
এই অবস্থানে আনুভূমিক বরাবর \(v\) এর উপাংশ \(=v\cos{\theta}\)
উল্লম্ব বরাবর \(v\) এর উপাংশ \(=v\sin{\theta}\)
আনুভূমিক বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-90^{o})}=g\cos{90^{o}}=0\)
উল্লম্ব বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-180^{o})}=g\cos{(180^{o})}=g(-1)=-g\)
এখন, আনুভূমিক বরাবর বেগ,
\(v=u+gt\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow v\cos{\theta}=u\cos{\alpha}+0.t\) ➜ Note \(\because v=v\cos{\theta}, \ u=u\cos{\alpha}, \ g=0\)

\(\Rightarrow v\cos{\theta}=u\cos{\alpha}\)
\(\therefore v^2\cos^2{\theta}=u^2\cos^2{\alpha} ........(1)\) ➜ Note উভয় পার্শ্বে বর্গ করে।

আবার, উল্লম্ব বরাবর বেগ,
\(v^2=u^2+2gh\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow (v\sin{\theta})^2=(u\sin{\alpha})^2+2(-g)h\) ➜ Note \(\because v=v\sin{\theta}, \ u=u\sin{\alpha}, \ g=-g\)

\(\therefore v^2\sin^2{\theta}=u^2\sin^2{\alpha}-2gh ........(2)\)
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(v^2\cos^2{\theta}+v^2\sin^2{\theta}=u^2\cos^2{\alpha}+u^2\sin^2{\alpha}-2gh\)
\(\Rightarrow v^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})=u^2(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})-2gh\)
\(\Rightarrow v^2.1=u^2.1-2gh\) ➜ Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(\Rightarrow v^2=u^2-2gh\)
\(\therefore v=\sqrt{u^2-2gh}\)
সুতরাং \(h\) উচ্চতায় বস্তুকণার বেগ, \(v=\sqrt{u^2-2gh}\)
আবার, \((2)\div(1)\) এর সাহায্যে,
\(\frac{v^2\sin^2{\theta}}{v^2\cos^2{\theta}}=\frac{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}{u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\theta}=\frac{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}{u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\sqrt{\frac{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}{u^2\cos^2{\alpha}}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{\sqrt{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}}{u\cos{\alpha}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}}{u\cos{\alpha}}\right)}\)
সুতরাং \(h\) উচ্চতায় বস্তুকণার দিক, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}}{u\cos{\alpha}}\right)}\)

\(u\) বেগ আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত কণার লব্ধ বৃহত্তম উচ্চতা, বৃহত্তম উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় ও বৃহত্তম উচ্চতা হতে ভূমিতে পৌঁছানোর সময় নির্ণয়ঃ
সিঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১,২০০৯; দিঃ,কুঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০০৯
ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
সুতরাং আনুভূমিক বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
উল্লম্ব বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
যেহেতু সর্বাধিক উচ্চতা \(M\) বিন্দুতে বস্তুকণাটি \(v\) গতিবেগে আনুভূমিকে চলে।
অতএব উর্ধবমুখী বরাবর বস্তু কণার বেগ \(=v\sin{0^{o}}=0\)
আনুভূমিক বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-90^{o})}=g\cos{90^{o}}=0\)
উল্লম্ব বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-180^{o})}=g\cos{(180^{o})}=g(-1)=-g\)
এখন, \(M\) বিন্দুতে বৃহত্তম উচ্চতা \(MN=H\) হলে,
\(v^2=u^2+2gh\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow 0^2=(u\sin{\alpha})^2+2(-g)H\) ➜ Note \(\because v=0, \ u=u\sin{\alpha}, \ g=-g, \ h=H\)

\(\Rightarrow 0=u^2\sin^2{\alpha}-2gH\)
\(\Rightarrow 2gH=u^2\sin^2{\alpha}\)
\(\therefore H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
সুতরাং বৃহত্তম উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
যদি কণাটি \(t_{1}\) সময়ে বৃহত্তম উচ্চতায় পৌঁছে,
\(v=u+gt\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow 0=u\cos{\alpha}+(-g).t_{1}\) ➜ Note \(\because v=0, \ u=u\cos{\alpha}, \ g=-g, \ t=t_{1}\)

\(\Rightarrow 0=u\cos{\alpha}-gt_{1}\)
\(\Rightarrow gt_{1}=u\cos{\alpha}\)
\(\therefore t_{1}=\frac{u\cos{\alpha}}{g}\)
সুতরাং বৃহত্তম উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়, \(t_{1}=\frac{u\cos{\alpha}}{g}\)
যদি কণাটি \(t_{2}\) সময়ে বৃহত্তম উচ্চতা হতে ভূমিতে পৌঁছে,
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow H=0.t_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^2\) ➜ Note \(\because u=0, \ h=H, \ t=t_{2}\)

\(\Rightarrow H=\frac{1}{2}gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow 2H=gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow gt_{2}^2=2H\)
\(\Rightarrow t_{2}^2=\frac{2}{g}H\)
\(\Rightarrow t_{2}^2=\frac{2}{g}\times\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\) ➜ Note \(\because H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)

\(\Rightarrow t_{2}^2=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{g^2}\)
\(\Rightarrow t_{2}^2=\left(\frac{u\sin{\alpha}}{g}\right)^2\)
\(\therefore t_{2}=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
সুতরাং পতনকাল, \(t_{2}=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
অতএব, উত্থানকাল \(=\) পতনকাল।

\(u\) বেগ আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত কণার আনুভূমিক পাল্লা ও বিচরণকাল নির্ণয়ঃ
রাঃ ২০১৪,২০০৯,২০০৭,২০০৫,২০০৩; যঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৫; দিঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১১,২০০৬; কুঃ ২০০৬
ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
সুতরাং আনুভূমিক বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
উল্লম্ব বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
আনুভূমিক বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-90^{o})}=g\cos{90^{o}}=0\)
উল্লম্ব বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-180^{o})}=g\cos{(180^{o})}=g(-1)=-g\)
এখন, বস্তুকণাটি \(T\) সময় পরে \(A\) বিন্দুগামী আনুভূমিক তলের উপর \(A\) বিন্দুতে পতিত হয়। তাহলে \(A\) বিন্দুতে উল্লম্ব সরণ শূণ্য।
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow 0=u\sin{\alpha}T+\frac{1}{2}(-g)T^2\) ➜ Note \(\because u=u\sin{\alpha}, \ h=0, \ g=-g \ t=T\)

\(\Rightarrow 0=u\sin{\alpha}T-\frac{1}{2}gT^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}gT^2=u\sin{\alpha}T\)
\(\Rightarrow gT^2=2u\sin{\alpha}T\)
\(\Rightarrow gT=2u\sin{\alpha}, \ \because T\ne{0}\)
\(\therefore T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
সুতরাং বস্তুকণাটির বিচরণকাল, \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
বিচরণকাল \(=2\times\) বৃহত্তম উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় \(=2\times\) বৃহত্তম উচ্চতা হতে ভূমিতে পৌঁছানোর সময়।
অতএব, বৃহত্তম উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় \(=\) বৃহত্তম উচ্চতা হতে ভূমিতে পৌঁছানোর সময় \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
অর্থাৎ বিচরণকাল \(=\) উত্থানকাল \(+\) পতনকাল।
\(O\) এবং \(A\) এর আনুভূমিক দূরত্ব \(R\) হলে, \(T\) সময়ে কণাটির আনুভূমিক দূরত্ব,
\(s=ut\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow R=u\cos{\alpha}T\) ➜ Note \(\because u=u\cos{\alpha}, \ t=T\)

\(\Rightarrow R=u\cos{\alpha}\times\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\) ➜ Note \(\because T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)

\(=\frac{u^22\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\) ➜ Note \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)

\(\therefore R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
সুতরাং বস্তুকণাটির আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)

একটি কণা আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে \(u\) আদিবেগে উপরে নিক্ষিপ্ত হলে ইহার আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
যদি \(u\) এবং \(g\) কোনো নির্দিষ্ট স্থানের জন্য স্থির হয়, তখন \(R\) এর মান বৃহত্তম হতে হলে \(\sin{2\alpha}=1\) হবে।
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{90^{o}}{2}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
\(\alpha\) এর মান \(45^{o}\) হলে পাল্লা দীর্ঘতম হবে।
দীর্ঘতম আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{(2\times45^{o})}}{g}\)
\(=\frac{u^2\sin{90^{o}}}{g}\)
\(=\frac{u^2.1}{g}\)
\(=\frac{u^2}{g}\)
সুতরাং বৃহত্তম বা দীর্ঘতম আনুভূমিক পাল্লা, \(R_{max}=\frac{u^2}{g}\)

দেখাও যে, কোনো বস্তুকণার দুইটি নিক্ষেপন কোণের জন্য একই আনুভূমিক পাল্লা হবে।
প্রমাণঃ ধরি,
\(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
বস্তুকণাটির আনুভূমিক পাল্লা \(R.\)
তাহলে, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\Rightarrow R=\frac{u^2}{g}\sin{(180^{o}-2\alpha)}\)
\(\Rightarrow R=\frac{u^2}{g}\sin{2(90^{o}-\alpha)}\)
\(\Rightarrow R=\frac{u^2}{g}\sin{2\beta}\) যেখানে \(\beta=(90^{o}-\alpha)\)
সুতরাং একই আনুভূমিক পাল্লা \(R\) এর জন্য দুইটি নিক্ষেপন কোণ থাকে একটি কোণ \(\alpha\) হলে, অপরটি হবে \(\beta\) যেখানে \(\beta=90^{o}-\alpha\)
\(\therefore \alpha+\beta=90^{o}\)
ফলে একই বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার একই আনুভূমিক পাল্লার জন্য দুইটি ভিন্ন ভিন্ন নিক্ষেপন কোণ এবং ভিন্ন ভিন্ন বিচরণ পথ বা গতিপথ থাকবে।

উল্লম্বতলে প্রক্ষিপ্ত কোনো বস্তুকণার গতিপথ একটি পরাবৃত্ত।
বঃ ২০২২,২০১৫,২০১৪,২০১২; রাঃ ২০১৬,২০১৫, ২০১৩,২০১০; যঃ,সিঃ ২০১৫,২০১৪,২০১২,২০১০; কুঃ ২০১৫,২০১৪,২০১১; ঢঃ ২০১৩,২০১২,২০১০; চঃ ২০১৫২০১৪,২০১১; দিঃ ২০১৫,২০১১; জাবিঃ২০১৮-২০১৯
প্রমাণঃ ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha \ (0^{o}\lt{\alpha}\lt{90^{o}})\) কোণে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো।
সুতরাং আনুভূমিক বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\cos{\alpha}\)
উল্লম্ব বরাবর \(u\) এর উপাংশ \(=u\sin{\alpha}\)
\(t\) সময়ে বস্তুকণাটি \(P(x, y)\) বিন্দুতে অবস্থান করে।
আনুভূমিক বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-90^{o})}=g\cos{90^{o}}=0\)
উল্লম্ব বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর উপাংশ \(=g\cos{(-180^{o})}=g\cos{(180^{o})}=g(-1)=-g\)
এখন, আনুভূমিক বরাবর সরণ,
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x=u\cos{\alpha}.t+\frac{1}{2}.0.t^2\) ➜ Note \(\because h=x, \ u=u\cos{\alpha}, \ g=0\)

\(\Rightarrow x=u\cos{\alpha}t\)
\(\Rightarrow u\cos{\alpha}t=x\)
\(\therefore t=\frac{x}{u\cos{\alpha}} ........(1)\)
আবার, উল্লম্ব বরাবর সরণ,
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}.t+\frac{1}{2}.(-g).t^2\) ➜ Note \(\because h=x, \ u=u\sin{\alpha}, \ g=-g\)

\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}t-\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}\times\frac{u}{u\cos{\alpha}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{u}{u\cos{\alpha}}\right)^2\) ➜ Note \(\because t=\frac{x}{u\cos{\alpha}}\)

\(\Rightarrow y=x\times\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}-\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}+\left(-\frac{g}{2u^2\cos^2{\alpha}}\right)x^2\)
\(\therefore y=\left(-\frac{g}{2u^2\cos^2{\alpha}}\right)x^2+(\tan{\alpha})x ........(2)\)
নির্দিষ্ট প্রক্ষেপন বেগের জন্য \(\left(-\frac{g}{2u^2\cos^2{\alpha}}\right)=a\) এবং \(\tan{\alpha}=b\) এর মান ধ্রুবক।
তাহলে, \((2)\) নং সমীকরণ হতে প্রাপ্ত \(y=ax^2+bx\) একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
\(\therefore \) উল্লম্ব তলে প্রক্ষিপ্ত কোনো বস্তুকণার গতিপথ একটি পরাবৃত্ত।
বিঃদ্রঃ বস্তুকণার আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y=-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2{\alpha}}+x\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{x^2}{\frac{2u^2\cos^2{\alpha}}{g}}+x\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{x^2}{\frac{u^2.2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}}\times\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+x\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{x^2}{\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}}\times\tan{\alpha}+x\tan{\alpha}\) ➜ Note \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)

\(\Rightarrow y=-\frac{x^2}{R}\times\tan{\alpha}+x\tan{\alpha}\) ➜ Note \(\because R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)

\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}-\frac{x^2}{R}\tan{\alpha}\)
\(\therefore y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\)
সুতরাং প্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ, \(y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\)
আবার, \(y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\)
\(\Rightarrow x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)=y\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}\left(\frac{R-x}{R}\right)=\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{y}{x}\times\frac{R}{R-x}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{Ry}{x(R-x)}\)
\(\therefore \alpha=\tan^{-1}{\left\{\frac{Ry}{x(R-x)}\right\}}\)
সুতরাং প্রক্ষেপন কোণ, \(\alpha=\tan^{-1}{\left\{\frac{Ry}{x(R-x)}\right\}}\)

ভূমি হতে নির্দিষ্ট উচ্চতার কোনো স্থান থেকে আনুভূমিকের দিকে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতিপথ একটি পরাবৃত্ত।
বঃ,সিঃ ২০০৬; চঃ ২০০৩
প্রমাণঃ ধরি, \(XOY\) সমতলে \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখা যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ এবং \(O\) মূলবিন্দু। ভূমি হতে নির্দিষ্ট উচ্চতায় \(O\) বিন্দু হতে \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের দিকে একটি বস্তুকণাকে নিক্ষেপ করা হলো। নির্দিষ্ট \(t\) সময়ে বস্তুকণার অবস্থান \(P(x, -y)\)। তাহলে, \(t\) সময়ে কণাটির আনুভূমিক সরণ \(ON=PM=x\) এবং উল্লম্ব সরণ \(OM=PN=-y.\)
এক্ষেত্রে নিক্ষেপন কোণ \(\alpha=0^{o}\)
\(t\) সময়ে কণাটির আনুভূমিক সরণ \(=x\)
\(s=ut\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x=u\cos{0^{o}}t\) ➜ Note \(\because s=x, \ u=u\cos{0^{o}}\)

\(\Rightarrow x=u.1.t\)
\(\Rightarrow x=ut\)
\(\Rightarrow ut=x\)
\(\therefore t=\frac{x}{u} .......(1)\)
\(t\) সময়ে কণাটির উল্লম্ব সরণ \(=-y\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow -y=u\sin{0^{o}}t+\frac{1}{2}gt^2\) ➜ Note \(\because h=-y, \ u=u\sin{0^{o}}\)

\(\Rightarrow -y=u.0.t+\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow -y=\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow -y=\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{u}\right)^2\) ➜ Note \(\because t=\frac{x}{u}\)

\(\Rightarrow -y=\frac{g}{2}\times\frac{x^2}{u^2}\)
\(\Rightarrow -y=\frac{gx^2}{2u^2}\)
\(\Rightarrow \frac{gx^2}{2u^2}=-y\)
\(\Rightarrow x^2=-y\times\frac{2u^2}{g}\)
\(\therefore x^2=\left(-\frac{2u^2}{g}\right)y .......(2)\)
যেহেতু অভুকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এবং প্রক্ষেপন বেগ \(u\) উভয়ে ধ্রুবক। সুতরাং \(-\frac{2u^2}{g}\) ধ্রুবক এবং \(-\frac{2u^2}{g}=4a\) হলে, \((2)\) নং সমীকরণ হতে প্রাপ্ত \(x^2=4ay\) যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
অতএব, ভূমি হতে নির্দিষ্ট উচ্চতার কোনো স্থান থেকে আনুভূমিকের দিকে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতিপথ একটি পরাবৃত্ত।

বেগের সাইন সূত্রঃ একটি বেগ এবং তার অংশকদ্বয় নিয়ে মোট তিনটি বেগের প্রত্যেকটির মাণ অপর দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতিক।
বর্ণনাঃ মনে করি,
\(OC\) সরলরেখাটি নির্দিষ্ট \(w\) বেগের মান ও দিক সূচিত করে এবং \(OX\) ও \(OY\) সরলরেখাদ্বয় \(OC\) রেখার বিপরীত পার্শ্বে তার সাথে যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে \(\angle COX=\alpha\) এবং \(\angle COY=\beta\).
এখন \(C\) থেকে \(OX\) এর উপর \(CA\) এবং \(OY\) এর উপর \(CB\) রেখাংশ অঙ্কন করি যেন \(AC\parallel{OY}\) এবং \(BC\parallel{OX}\) হয়। তাহলে \(OACB\) একটি সামান্তরিক \(OC\) এর একটি কর্ণ।
ধরি, \(OA\) এবং \(OB\) বরাবর \(w\) বেগের অংশক বেগদ্বয় যথাক্রমে \(u\) ও \(v\) ।
এখন \(\triangle{OAC}\) হতে সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(\frac{OA}{\sin{\angle ACO}}=\frac{AC}{\sin{\angle AOC}}=\frac{OC}{\sin{\angle OAC}}\) ➜ Note \(\because \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{OA}{\sin{\beta}}=\frac{OB}{\sin{\alpha}}=\frac{OC}{\sin{\left\{180^{o}-(\alpha+\beta)\right\}}}\)
\(\Rightarrow \frac{u}{\sin{\beta}}=\frac{v}{\sin{\alpha}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\Rightarrow \frac{u}{\sin{\beta}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}\), \(\frac{v}{\sin{\alpha}}=\frac{w}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(\Rightarrow u=\frac{w\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}, v=\frac{w\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\)
অতএব \(w\) বেগের বিভাজিত অংশকদ্বয় যথাক্রমে, \(u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\), \(v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
অতএব, বেগের অংশকদ্বয় ও তাদের লব্ধি বেগের প্রত্যেককেই একটি অপর দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতিক। এটিকে বেগের সাইন সূত্র বলা হয়। যা শুধুমাত্র একটি বেগ এবং তার উপাংশদ্বয়ের মধ্যে সম্পর্ক বুঝায়।

আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে এবং \(u\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার \(t\) সময়ান্তে
বেগ, \(v=\sqrt{u^2-2ugt\sin{\alpha}+g^2t^2}\)
দিক, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{u\sin{\alpha}-gt}{u\cos{\alpha}}\right)}\)
আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে এবং \(u\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার \(h\) উচ্চতায়
বেগ, \(v=\pm\sqrt{u^2-2gh}\)
দিক, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{u^2\sin^2{\alpha}-2gh}}{u\cos{\alpha}}\right)}\)
আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে এবং \(u\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার লব্ধ
বৃহত্তম উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
উত্থানকাল, \(t_{1}=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
পতনকাল, \(t_{2}=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে এবং \(u\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার
আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
বিচরণকাল, \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
বৃহত্তম আনুভূমিক পাল্লা, \(R_{max}=\frac{u^2}{g}\)
আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে এবং \(u\) আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার
প্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ, \(y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\)
প্রক্ষেপন কোণ, \(\alpha=\tan^{-1}{\left\{\frac{Ry}{x(R-x)}\right\}}\)
\(w\) বেগের দুই পার্শ্বে তার সাথে যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণে কার্যরত অংশকদ্বয় \(u\) ও \(v\) হলে,
\(u=\frac{w\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)
\(v=\frac{w\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\)