অভিকর্ষজ বা মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ
Acceleration due to Gravity
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
অভিকর্ষজ বা মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ
Acceleration due to Gravity
straight3
গ্যালিলিও (Galileo) ( ১৫৬৪-১৬৪২ )
একজন ইতালীয় পদার্থবিজ্ঞানী, জ্যোতির্বিজ্ঞানী, গণিতজ্ঞ এবং দার্শনিক।
মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণঃ কোনো বস্তুকণাকে উপর থেকে ছেড়ে দিলে অভিকর্ষজ বলের প্রভাবে ভূ-পৃষ্টে পড়ে। অভিকর্ষজ বল ক্রিয়ারত থাকায় বস্তুকণাটির একটি সুষম ত্বরণ থাকে। এ ত্বরণকে বলা হয় অভিকর্ষজ ত্বরণ। উল্লম্ব গতির ক্ষেত্রে এই অভিকর্ষজ ত্বরণকে \(g\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। পরীক্ষা করে দেখা গেছে ভূ-পৃষ্টে \(g\) এর মান \(9.8 \ ms^{-2}\) কোনো বস্তুকণা উর্ধে নিক্ষেপ করলে অভিকর্ষজ বলের প্রভাবে বেগ কমতে থাকে বলে সেক্ষেত্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান ঋণাত্মক ধরা হয়।
১৬০০ খ্রিস্টাব্দের শেষের দিকে প্রথম বারের মত ইতালির বিজ্ঞানী গ্যালিলিও straight3গ্যালিলিও (Galileo ) ( ১৫৬৪-১৬৪২ ) তার সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য অবদানের মধ্যে রয়েছে দূরবীক্ষণ যন্ত্রের উন্নতি সাধন যা জ্যোতির্বিজ্ঞানের অগ্রগতিতে সবচেয়ে বড় ভূমিকা রেখেছে, বিভিন্ন ধরনের অনেক জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষণ, নিউটনের গতির প্রথম এবং দ্বিতীয় সূত্র, এবং কোপারনিকাসের মতবাদের পক্ষে একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ। তাত্ত্বিকভাবে প্রমাণ করেন যে বায়ুহীন কোনো স্থানে বিভিন্ন ভরের ও আকারের বস্তু একই সময়ে ছেড়ে দিলে এরা একই সময়ে ভূমিতে পড়ে। বিজ্ঞানী স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3স্যার আইজ্যাক নিউটন ( ১৬৪২-১৭২৭ ) বলের মৌলিক ধর্মাবলি ও সামান্তরিক সূত্র আবিষ্কার করেন। এজন্য নিউটনকে স্থিতিবিদ্যার জনক বলা হয়। \(1\) মিটার বায়ুশূণ্য টিউবে গিনি ও পালক নিয়ে পরীক্ষা করে দেখান যে গিনি ও পালক একই সময়ে ছেড়ে দিলে টিউবের তলায় একই সময়ে পৌঁছে। পৃথিবীর আকর্ষণ বলের জন্য এরূপ গতির সঞ্চার হয়। এ বল দ্বারা পৃথিবী সকল বস্তুকণাকে এর কেন্দ্রের দিকে আকর্ষণ করে। এর ফলে বস্তুকণাতে যে ত্বরণ সৃষ্টি হয় তাকে অভিকর্ষীয় বা মহাকর্ষণজনিত ত্বরণ বলে যা একটি ধ্রুব রাশি।
অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান
Value of gravitational acceleration \(g\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান
\(M.K.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=9.81\) মিটার/বর্গ সেকেন্ড
\(C.G.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=981\) সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড
\(F.P.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=32\) ফুট/বর্গ সেকেন্ড
বিষুব অঞ্চলে \(g\) এর মান মেরু অঞ্চল হতেও কম। মেরু অঞ্চলে এর মান সবচেয়ে বেশি। ভূ-কেন্দ্রে এর মান শূণ্য। আবার ভূ-পৃষ্ট হতে যত উপরের দিকে উঠা হয় বা নিচের দিকে যত নামা হয়, \(g\) এর মান ততই কমতে থাকে।
উল্লম্ব গতির ক্ষেত্রে গতিসূত্রসমূহ
Equations of motion in terms of vertical motion
পূর্বে আমরা আনুভূমিকভাবে বা সরলরেখায় চলমান বস্তুকণার জন্য বিভিন্ন গতি সূত্র দেখেছি। এখন কোনো কণার উল্লম্ব গতির জন্য গতিসূত্রগুলো দেখব। এখানে উল্লম্ব গতি বলতে বুঝানো হচ্ছে একটি বস্তুকণাকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা \((h)\) থেকে ছুড়ে ফেলে দিলে বা ভূমি হতে খাড়া উল্লম্ব দিকে বস্তুকণাটিকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় ছুড়ে দিলে বস্তুকণাটি যে গতি লাভ করে। সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার গতি সূত্র হলোঃ
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
img এখন উল্লম্ব গতির ক্ষেত্রে, আমরা আনুভূমিক দূরত্ব \(s\) এর বদলে উল্লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা \(h\) ব্যবহার করব। ত্বরণ \(f\) এর স্থলে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ব্যবহার করব। কারণ ইহা সার্বজনিন কোনো বস্তুকণাকে উপর থেকে নিচের দিকে ফেলে দিলে এই অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর জন্যই বস্তুকণাটি নিচের দিকে নামে। তাহলে ভূমি হতে \(h\) উচ্চতায় অবস্থিত কোনো বস্তুকণাকে নিচে ফেলে দিলে, অর্থাৎ \(u\) বেগে খাড়া নিচের দিকে নিক্ষেপ করলে \(t\) সময়ে \(h\) উল্লম্ব দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়, এক্ষেত্রে গতির সূত্রগুলো নিম্নরূপঃ
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে গতিসূত্রগুলো যেভাবে ক্যালকুলাসের মাধ্যমে প্রমাণ করা হয়েছে এই সূত্রগুলিও একই ভাবে প্রমাণ করা যায়।
পতনশীল বস্তুকণার গতি
Motion of a falling particle
img ধরি \(h\) উচ্চতা থেকে কোনো বস্তুকণা অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে অবাধে পতিত হয়ে \(t\) সময়ে \(v\) বেগে ভূমিতে আঘাত করে। অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) নিম্নদিকে ক্রিয়াশীল। অবাধে পতনশীল বস্তুকণার ক্ষেত্রে আদিবেগ \(u=0\) হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=0+gt \therefore v=gt\)
\(v=gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=0.t+\frac{1}{2}gt^2 \therefore h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=0^2+2gh \therefore v^2=2gh\)
\(v^2=2gh\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=0+\frac{1}{2}g(2t-1) \therefore h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া নিচের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ধনাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=u+gt\)
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2+2gh\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
উত্থানশীল বস্তুকণার গতি
Motion of a rising particle
img ভূমি হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ঋণাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=u-gt\)
\(v=u-gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2-2gh\)
\(v^2=u^2-2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, আদিবেগ \(u\) ঋণাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=-u+gt\)
\(v=-u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2+2gh\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
সর্বাধিক উচ্চতা
Maximum height
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\) এর প্রমাণঃ
রাঃ ২০০৭; কুঃ,সিঃ ২০০২
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(v^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 0^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 0=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 2gH=u^2\)
\(\therefore H=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)
সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল
Rise time to Maximum height
সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছার সময় \(t_{1}\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(v=u-gt_{1}\)
\(\Rightarrow 0=u-gt_{1}\)
\(\Rightarrow gt_{1}=u\)
\(\therefore t_{1}=\frac{u}{g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\)
সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল
Fall time at maximum height
সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(H=vt_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{2g}=0.t_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^2\) ➜ \(\because v=0, \ H=\frac{u^2}{2g}\)

\(\Rightarrow \frac{u^2}{2g}=\frac{gt_{2}^2}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{g}=gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow g^2t_{2}^2=u^2\)
\(\Rightarrow (gt_{2})^2=u^2\)
\(\Rightarrow gt_{2}=u\)
\(\therefore t_{2}=\frac{u}{g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\)
বিচরণকাল
Time of flight
বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(T\)
আমরা জানি,
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(=\)উত্থানকাল \(+\)পতনকাল
\(\Rightarrow T=t_{1}+t_{2}\)
\(\Rightarrow T=\frac{u}{g}+\frac{u}{g}\) ➜ \(\because t_{1}=t_{2}=\frac{u}{g}\)

\(\Rightarrow T=\frac{u+u}{g}\)
\(\therefore T=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore\) বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\)
নির্দিষ্ট কোনো উচ্চতায় বস্তুকণার সময়
Time of a particle at a given height
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(O\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে ইহার সর্বোচ্চ উচ্চতা \(A\) বিন্দুতে \(v=0\) বেগ প্রাপ্ত হয় এবং \(t\) সময়ে বস্তুকণাটি \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে।
অর্থাৎ \(OB=h\)
অতএব, বস্তুকণাটির উল্লম্ব সরণ,
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 2h=2ut-gt^2\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।

\(\Rightarrow gt^2-2ut+2h=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-2u)\pm\sqrt{(-2u)^2-4.g.2h}}{2g}\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-8gh}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm\sqrt{4(u^2-2gh)}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm2\sqrt{u^2-2gh}}{2g}\)
\(=\frac{2(u\pm\sqrt{u^2-2gh})}{2g}\)
\(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{u}{g}\pm\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(\therefore t=\frac{u}{g}\pm\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g} ........(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি \(t\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এর মূলগুলি বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়ক \(\ge{0}\) হয়।
অর্থাৎ \(b^2-4ac\ge{0}\)
\(\Rightarrow (-2u)^2-4.g.2h\ge{0}\) ➜ \(\because gt^2-2ut+2h=0\)
\(\Rightarrow a=g, \ b=-2u, \ c=2h\)

\(\Rightarrow 4u^2-8gh\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4(u^2-2gh)\ge{0}\)
\(\Rightarrow u^2-2gh\ge{0}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(4\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow u^2\ge{2gh}\)
\(\Rightarrow 2gh\le{u^2}\)
\(\Rightarrow h\le{\frac{u^2}{2g}}=H\)
এখন, \(u^2-2gh=0\) হলে বস্তুকণাটি সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছাবে এবং সর্বাধিক উচ্চতা, \(h=\frac{u^2}{2g}=H.\)
আবার, যদি \(u^2-2gh\lt{0}\) হয় তবে সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে।
ধরি, \(h\) (সর্বোচ্চ উচ্চতায় নয়) উচ্চতায় \((1)\) নং সমীকরণের \(t\) এর দুইটি বাস্তুব মান \(t=t_{1}, \ t_{2} \ (t_{2}\gt{t_{1}})\)
সুতরাং \(t_{1}=\frac{u}{g}-\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}=\frac{u}{g}-\frac{v}{g}\) ➜ \((2)\) হতে,
এবং সর্বোচ্চ উচ্চতায় \(v=\sqrt{u^2-2gh}\)

\(\therefore t_{1}=\frac{u-v}{g}\) যা বস্তুকণাটি \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছাতে সময় নির্দেশ করে।
এবং \(t_{2}=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}=\frac{u}{g}+\frac{v}{g}\)
\(\therefore t_{2}=\frac{u+v}{g}\) যা বস্তুকণাটি সবোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছার পর বেগ শূণ্য হয়, এর পর বস্তুকণাটি আবার নিচের দিকে \(B\) বিন্দুতে ফিরে আসার সময় নির্দেশ করে।
বিঃদ্রঃ \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) বস্তুকণাটির গমপথের \(B\) বিন্দুকে দুইবার অতিক্রম করার সময় নির্দেশ করে।
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করার সময়ের পার্থক্য \(t_{2}-t_{1}=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}-\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=2\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
\(\therefore u\) আদিবেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করার সময়ের পার্থক্য \(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
নির্দিষ্ট কোনো উচ্চতায় বস্তুকণার বেগ
Velocity of a particle at a given height
ধরি,img
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
সুতরাং বস্তুকণার \(h\) উচ্চতায় শেষবেগ,
\(v^2=u^2-2gh\)
\(\Rightarrow v=\pm\sqrt{u^2-2gh}\)
বস্তুকণাটির বেগের পরিমাণ একই হলেও এরা বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
একটি ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক অর্থাৎ \(\sqrt{u^2-2gh}, \ -\sqrt{u^2-2gh},\) এই \((\pm)\) চিহ্নদ্বয় বেগের দিক নির্দেশ করে। বস্তুকণাটি খাড়া উপরের দিকে উঠার সময় \(B\) বিন্দু অতিক্রম করার মুহূর্তে যে বেগ নির্দেশ করে, বস্তুকণাটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠে আবার ফেরার পথে \(B\) বিন্দুতে সেই পরিমাণ বেগ নির্দেশ করে। তবে বেগের দিক \(B\) বিন্দুতে একটি অপরটির বিপরীত হবে। বস্তুকণাটি খাড়াভাবে উপরে উঠে আবার নিক্ষিপ্ত স্থানে ফিরে আসতে তার গতিপথের একটি বিন্দু \(B\) কে দুইবার অতিক্রম করে। সাধারণত \(v\) এর ধনাত্মক মানটি \(h\) উচ্চতায় উত্থান বেগ এবং ঋণাত্মক মানটি একই \(h\) উচ্চতায় পতন বেগ নির্দেশ করে।
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী
Required formulas
উল্লম্বরেখায় চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্বকে \(h\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণকে \(g\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এক্ষেত্রে গতির সমীকরণঃ
উচ্চ স্থান হতে অবাধে পতনশীল বস্তুর ক্ষেত্রে \(u=0\)
\(v=gt\)
\(h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=2gh\)
\(h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
ভুমি হতে \(u\) আদিবেগে বস্তুটি খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=u-gt\)
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2-2gh\)
\(h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) বেগে নিচের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h\) উচ্চতা হতে \(u\) বেগে উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=-u+gt\)
\(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(u\) আদিবেগে খাড়া উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) হলে
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)
সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\)
সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\)
বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\)
\(u\) আদিবেগে খাড়া উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাটি নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করায়
সময়ের পার্থক্য \(t_{2}-t_{1}=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
অর্জিত বেগ \(v=\pm\sqrt{u^2-2gh}\)
অভিকর্ষজ বা মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ \(g\) সম্পর্কে উল্লেখ না থাকলে।
\(g=9.8 \ ms^{-2}\) ব্যবহার করতে হবে।
একটি পাথর কুয়ার ভিতর ফেলার \(t\) সময় পরে এর পতন শব্দ শোনা গেল। শব্দের বেগ \(v\) এবং কুয়ার গভীরতা \(h\) হলে
কুয়ার গভীরতা \(h=\frac{gt^2}{2\left(1+\frac{gt}{v}\right)}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) \(49 \ ms^{-1}\) বেগে একটি বলকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল এবং \(2\) সে. পরে একই বিন্দু হতে একই বেগে অপর একটি বল একই দিকে নিক্ষেপ করা হল। কোথায় এবং কখন তারা মিলিত হবে?
উত্তরঃ ২য় বস্তু নিক্ষিপ্ত হবার \(4\) সে. পরে নিক্ষিপ্ত বিন্দু হতে \(117.6\) মিটার উচ্চতায় বস্তু দুইটি মিলিত হবে।
বঃ ২০০৫,২০০৮

\(Ex.2.\) একটি পাথর কুয়ার ভিতর ফেলার \(t\) সময় পরে এর পতন শব্দ শোনা গেল। শব্দের বেগ \(v\) এবং কুয়ার গভীরতা \(h\) হলে, বাতাসের বাধা অগ্রাহ্য করে, প্রমাণ কর যে,
\((a)\) \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v}\)
\((b)\) \(gvt^2-2ghv+h(gh-2v^2)=0\)
\((c)\) \(gt^2=2h\left(1+\frac{gt}{v}\right)\) যখন \(v\gt{h}\)
\((d)\) কুয়ার গভীরতা \(h=\frac{gt^2}{2\left(1+\frac{gt}{v}\right)}\)
বঃ ২০২২,২০১০,২০০৪; যঃ ২০১৫,২০১৩,২০০৭; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১৪,২০১১; দিঃ ২০১৭; ঢঃ ২০০৮

\(Ex.3.\) একটি টাওয়ারের শীর্ষবিন্দু হতে পড়ন্ত একখন্ড পাথর \(x\) মিটার দূরত্বে পৌঁছিলে টাওয়ারের শীর্ষবিন্দুর \(y\) মিটার নিচে কোনো বিন্দু থেকে আর একখন্ড পাথর নিচে ফেলা হল। এরা একই সাথে ভূমিতে পড়লে দেখাও যে, টাওয়ারের উচ্চতা \(=\frac{(x+y)^2}{4x}\) মিটার।
যঃ ২০১৪,২০১১; ঢঃ ২০১৯,২০১২; বঃ ২০০৭; চঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৬,২০১৪

\(Ex.4.\) নির্দিষ্ট বেগে উল্লম্বভাবে ভূমি থেকে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তুকণা \(t\) সেকেন্ড সময়ে \(h\) উচ্চতায় উঠে এবং আরও \(t^{\prime}\) সেকেন্ড সময় পরে এটা ভূমিতে ফিরে আসে। প্রমাণ কর যে,
\((a)\) কণার আদিবেগ \(=\frac{1}{2}g(t+t^{\prime})\)
\((b)\) \(h=\frac{1}{2}gtt^{\prime}\)
\((c)\) বৃহত্তম উচ্চতা \(=\frac{1}{8}g(t+t^{\prime})^2\)
বঃ ২০০৯,২০০৬,২০০৩; ঢাঃ,সিঃ ২০০৯,২০০৪; চঃ ২০০৫; কুঃ২০১৩,২০০৮; যঃ ২০১০

\(Ex.5.\) একটি বস্তু \(196 \ ms^{-1}\) বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। অপর একটি বস্তু এর \(6\) সে. পরে একই স্থান হতে একই দিকে নিক্ষেপ করলে এরা পরস্পর প্রথম বস্তুটির বৃহত্তম উচ্চতায় মিলিত হয়। দ্বিতীয় বস্তুটির নিক্ষেপ বেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(208.6\) মি./সে.
বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮

\(Ex.6.\) সমবেগে খাড়া উর্ধবগামী একটি এরোপ্লেন থেকে একটি বোমা ফেলে দেয়া হল। বোমাটি \(5\) সেকেন্ডে ভূমিতে আঘাত করে। বোমাটি ভূমিতে পড়ার মুহূর্তে এরোপ্লেনের উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(122.5\) মিটার।
সিঃ ২০০৭; রুয়েটঃ ২০১৯-২০২০

\(Ex.7.\) একখন্ড পাথর একটি টাওয়ারের চূড়া থেকে \(23.1 \ ms^{-1}\) বেগে খাড়া উপরে নিক্ষেপ করা হল। এর \(3\) সেকেন্ড পর একই স্থান থেকে অপর একখন্ড পাথর নিচে ফেলা হল। এরা একই সাথে ভূমিতে পতিত হলে টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(78.4\) মিটার।
সিঃ ২০০৭; রুয়েটঃ ২০১৯-২০২০

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry