অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান
\(M.K.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=9.81\) মিটার/বর্গ সেকেন্ড
\(C.G.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=981\) সেন্টিমিটার/বর্গ সেকেন্ড
\(F.P.S\) পদ্ধতিতে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g=32\) ফুট/বর্গ সেকেন্ড
বিষুব অঞ্চলে \(g\) এর মান মেরু অঞ্চল হতেও কম। মেরু অঞ্চলে এর মান সবচেয়ে বেশি। ভূ-কেন্দ্রে এর মান শূণ্য। আবার ভূ-পৃষ্ট হতে যত উপরের দিকে উঠা হয় বা নিচের দিকে যত নামা হয়, \(g\) এর মান ততই কমতে থাকে।

পূর্বে আমরা আনুভূমিকভাবে বা সরলরেখায় চলমান বস্তুকণার জন্য বিভিন্ন গতি সূত্র দেখেছি। এখন কোনো কণার উল্লম্ব গতির জন্য গতিসূত্রগুলো দেখব। এখানে উল্লম্ব গতি বলতে বুঝানো হচ্ছে একটি বস্তুকণাকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা \((h)\) থেকে ছুড়ে ফেলে দিলে বা ভূমি হতে খাড়া উল্লম্ব দিকে বস্তুকণাটিকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় ছুড়ে দিলে বস্তুকণাটি যে গতি লাভ করে। সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার গতি সূত্র হলোঃ
\(v=u+ft\)
\(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\)
\(v^2=u^2+2fs\)
\(s_{t}=u+\frac{1}{2}f(2t-1)\)
এখন উল্লম্ব গতির ক্ষেত্রে, আমরা আনুভূমিক দূরত্ব \(s\) এর বদলে উল্লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা \(h\) ব্যবহার করব। ত্বরণ \(f\) এর স্থলে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ব্যবহার করব। কারণ ইহা সার্বজনিন কোনো বস্তুকণাকে উপর থেকে নিচের দিকে ফেলে দিলে এই অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর জন্যই বস্তুকণাটি নিচের দিকে নামে। তাহলে ভূমি হতে \(h\) উচ্চতায় অবস্থিত কোনো বস্তুকণাকে নিচে ফেলে দিলে, অর্থাৎ \(u\) বেগে খাড়া নিচের দিকে নিক্ষেপ করলে \(t\) সময়ে \(h\) উল্লম্ব দূরত্ব অতিক্রম করে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়, এক্ষেত্রে গতির সূত্রগুলো নিম্নরূপঃ
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার ক্ষেত্রে গতিসূত্রগুলো যেভাবে ক্যালকুলাসের মাধ্যমে প্রমাণ করা হয়েছে এই সূত্রগুলিও একই ভাবে প্রমাণ করা যায়।

ধরি \(h\) উচ্চতা থেকে কোনো বস্তুকণা অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে অবাধে পতিত হয়ে \(t\) সময়ে \(v\) বেগে ভূমিতে আঘাত করে। অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) নিম্নদিকে ক্রিয়াশীল। অবাধে পতনশীল বস্তুকণার ক্ষেত্রে আদিবেগ \(u=0\) হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=0+gt \therefore v=gt\)
\(v=gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=0.t+\frac{1}{2}gt^2 \therefore h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=0^2+2gh \therefore v^2=2gh\)
\(v^2=2gh\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=0+\frac{1}{2}g(2t-1) \therefore h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া নিচের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ধনাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=u+gt\)
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2+2gh\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)

ভূমি হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) ঋণাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=u-gt\)
\(v=u-gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2-2gh\)
\(v^2=u^2-2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) আদিবেগ খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে, আদিবেগ \(u\) ঋণাত্মক হবে।
এক্ষেত্রে গতিসূত্রঃ
\(v=u+ft \Rightarrow v=-u+gt\)
\(v=-u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}ft^2 \Rightarrow h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2fs \Rightarrow v^2=u^2+2gh\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(s_{th}=u+\frac{1}{2}f(2t-1) \Rightarrow h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)

সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\) এর প্রমাণঃ
রাঃ ২০০৭; কুঃ,সিঃ ২০০২
ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(v^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 0^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 0=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 2gH=u^2\)
\(\therefore H=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)

সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছার সময় \(t_{1}\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(v=u-gt_{1}\)
\(\Rightarrow 0=u-gt_{1}\)
\(\Rightarrow gt_{1}=u\)
\(\therefore t_{1}=\frac{u}{g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\)

সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}\) এবং এ অবস্থানে বেগ \(v=0\) হলে,
আমরা জানি,
\(H=vt_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{2g}=0.t_{2}+\frac{1}{2}gt_{2}^2\) ➜ Note \(\because v=0, \ H=\frac{u^2}{2g}\)

\(\Rightarrow \frac{u^2}{2g}=\frac{gt_{2}^2}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{g}=gt_{2}^2\)
\(\Rightarrow g^2t_{2}^2=u^2\)
\(\Rightarrow (gt_{2})^2=u^2\)
\(\Rightarrow gt_{2}=u\)
\(\therefore t_{2}=\frac{u}{g}\)
\(\therefore\) সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\)

বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\) এর প্রমাণঃ
বঃ ২০১৭
ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t_{1}\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ শূণ্য হয়। আবার \(B\) বিন্দু হতে \(t_{2}\) সময়ে ভূমিতে ফিরে আসে।
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(T\)
আমরা জানি,
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(=\)উত্থানকাল \(+\)পতনকাল
\(\Rightarrow T=t_{1}+t_{2}\)
\(\Rightarrow T=\frac{u}{g}+\frac{u}{g}\) ➜ Note \(\because t_{1}=t_{2}=\frac{u}{g}\)

\(\Rightarrow T=\frac{u+u}{g}\)
\(\therefore T=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore\) বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\)

ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(O\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে ইহার সর্বোচ্চ উচ্চতা \(A\) বিন্দুতে \(v=0\) বেগ প্রাপ্ত হয় এবং \(t\) সময়ে বস্তুকণাটি \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে।
অর্থাৎ \(OB=h\)
অতএব, বস্তুকণাটির উল্লম্ব সরণ,
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 2h=2ut-gt^2\) ➜ Note উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।

\(\Rightarrow gt^2-2ut+2h=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-2u)\pm\sqrt{(-2u)^2-4.g.2h}}{2g}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-8gh}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm\sqrt{4(u^2-2gh)}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm2\sqrt{u^2-2gh}}{2g}\)
\(=\frac{2(u\pm\sqrt{u^2-2gh})}{2g}\)
\(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{u}{g}\pm\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(\therefore t=\frac{u}{g}\pm\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g} ........(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি \(t\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এর মূলগুলি বাস্তব হবে যদি নিশ্চায়ক \(\ge{0}\) হয়।
অর্থাৎ \(b^2-4ac\ge{0}\)
\(\Rightarrow (-2u)^2-4.g.2h\ge{0}\) ➜ Note \(\because gt^2-2ut+2h=0\)
\(\Rightarrow a=g, \ b=-2u, \ c=2h\)

\(\Rightarrow 4u^2-8gh\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4(u^2-2gh)\ge{0}\)
\(\Rightarrow u^2-2gh\ge{0}\) ➜ Note উভয় পার্শ্বে \(4\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow u^2\ge{2gh}\)
\(\Rightarrow 2gh\le{u^2}\)
\(\Rightarrow h\le{\frac{u^2}{2g}}=H\)
এখন, \(u^2-2gh=0\) হলে বস্তুকণাটি সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছাবে এবং সর্বাধিক উচ্চতা, \(h=\frac{u^2}{2g}=H.\)
আবার, যদি \(u^2-2gh\lt{0}\) হয় তবে সমীকরণের মূলদ্বয় কাল্পনিক হবে।
ধরি, \(h\) (সর্বোচ্চ উচ্চতায় নয়) উচ্চতায় \((1)\) নং সমীকরণের \(t\) এর দুইটি বাস্তুব মান \(t=t_{1}, \ t_{2} \ (t_{2}\gt{t_{1}})\)
সুতরাং \(t_{1}=\frac{u}{g}-\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}=\frac{u}{g}-\frac{v}{g}\) ➜ Note \((2)\) হতে,
এবং সর্বোচ্চ উচ্চতায় \(v=\sqrt{u^2-2gh}\)

\(\therefore t_{1}=\frac{u-v}{g}\) যা বস্তুকণাটি \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছাতে সময় নির্দেশ করে।
এবং \(t_{2}=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}=\frac{u}{g}+\frac{v}{g}\)
\(\therefore t_{2}=\frac{u+v}{g}\) যা বস্তুকণাটি সবোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছার পর বেগ শূণ্য হয়, এর পর বস্তুকণাটি আবার নিচের দিকে \(B\) বিন্দুতে ফিরে আসার সময় নির্দেশ করে।
বিঃদ্রঃ \(t_{1}\) ও \(t_{2}\) বস্তুকণাটির গমপথের \(B\) বিন্দুকে দুইবার অতিক্রম করার সময় নির্দেশ করে।
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করার সময়ের পার্থক্য \(t_{2}-t_{1}=\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}-\frac{u}{g}+\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=2\frac{\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
\(\therefore u\) আদিবেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করার সময়ের পার্থক্য \(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)

ধরি,
কোনো বস্তকণাকে ভূমির \(A\) বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে \(u\) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হলে \(t\) সময়ে \(h\) উচ্চতায় \(B\) বিন্দুতে পৌঁছে \(v\) বেগ প্রাপ্ত হয়।
সুতরাং বস্তুকণার \(h\) উচ্চতায় শেষবেগ,
\(v^2=u^2-2gh\)
\(\Rightarrow v=\pm\sqrt{u^2-2gh}\)
বস্তুকণাটির বেগের পরিমাণ একই হলেও এরা বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
একটি ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক অর্থাৎ \(\sqrt{u^2-2gh}, \ -\sqrt{u^2-2gh},\) এই \((\pm)\) চিহ্নদ্বয় বেগের দিক নির্দেশ করে। বস্তুকণাটি খাড়া উপরের দিকে উঠার সময় \(B\) বিন্দু অতিক্রম করার মুহূর্তে যে বেগ নির্দেশ করে, বস্তুকণাটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠে আবার ফেরার পথে \(B\) বিন্দুতে সেই পরিমাণ বেগ নির্দেশ করে। তবে বেগের দিক \(B\) বিন্দুতে একটি অপরটির বিপরীত হবে। বস্তুকণাটি খাড়াভাবে উপরে উঠে আবার নিক্ষিপ্ত স্থানে ফিরে আসতে তার গতিপথের একটি বিন্দু \(B\) কে দুইবার অতিক্রম করে। সাধারণত \(v\) এর ধনাত্মক মানটি \(h\) উচ্চতায় উত্থান বেগ এবং ঋণাত্মক মানটি একই \(h\) উচ্চতায় পতন বেগ নির্দেশ করে।

উল্লম্বরেখায় চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্বকে \(h\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণকে \(g\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এক্ষেত্রে গতির সমীকরণঃ
উচ্চ স্থান হতে অবাধে পতনশীল বস্তুর ক্ষেত্রে \(u=0\)
\(v=gt\)
\(h=\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=2gh\)
\(h_{th}=\frac{1}{2}g(2t-1)\)
ভুমি হতে \(u\) আদিবেগে বস্তুটি খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=u-gt\)
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2-2gh\)
\(h_{th}=u-\frac{1}{2}g(2t-1)\)
নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা হতে \(u\) বেগে নিচের দিকে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=u+gt\)
\(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(h\) উচ্চতা হতে \(u\) বেগে উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত হলে
\(v=-u+gt\)
\(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(v^2=u^2+2gh\)
\(h_{th}=-u+\frac{1}{2}g(2t-1)\)
\(u\) আদিবেগে খাড়া উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাটির সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) হলে
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\)
সর্বাধিক উচ্চতায় উত্থানকাল \(t_{1}=\frac{u}{g}\)
সর্বাধিক উচ্চতা হতে পতনকাল \(t_{2}=\frac{u}{g}\)
বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\)
\(u\) আদিবেগে খাড়া উপরে দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাটি নির্দিষ্ট \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করায়
সময়ের পার্থক্য \(t_{2}-t_{1}=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
অর্জিত বেগ \(v=\pm\sqrt{u^2-2gh}\)
অভিকর্ষজ বা মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ \(g\) সম্পর্কে উল্লেখ না থাকলে।
\(g=9.8 \ ms^{-2}\) ব্যবহার করতে হবে।
একটি পাথর কুয়ার ভিতর ফেলার \(t\) সময় পরে এর পতন শব্দ শোনা গেল। শব্দের বেগ \(v\) এবং কুয়ার গভীরতা \(h\) হলে
কুয়ার গভীরতা \(h=\frac{gt^2}{2\left(1+\frac{gt}{v}\right)}\)