সমতলে দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
The distance between two points on the plane
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্ব
Distance in Cartesian coordinates
কোন সমতলের উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(Q(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।
\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)

প্রমাণঃ
euclid মনে করি,
\(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(Q(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু।
\(P\) এবং \(Q\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(QN\) লম্ব অংকন করি।
তাহলে, \(OM=x_{1}\), \(PM=y_{1}\), \(ON=x_{2}\), \(QN=y_{2}\). আবার,
\(QR=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}\).
\(PR=PM-RM=y_{1}-y_{2}\).
\(PQR\) সমকোণী ত্রীভুজ হতে পাই,
\(PQ^{2}=QR^{2}+PR^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\therefore PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\) ➜ \(\because\) দূরত্ব সর্বদা ধনাত্মক।
\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
euclid
ভেক্টর পদ্ধতিতে দূরত্ব নির্ণয়ঃ
euclid মনে করি,
\(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(Q(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু। মূলবিন্দু বা \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{OP}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}\) এবং \(\overline{OQ}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}\)।
\(\triangle OPQ\) হতে পাই,
\(\overline{PQ}=\overline{OQ}-\overline{OP}\)
\(=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}\)
\(=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুর দূরত্ব \(\overline{\mid PQ \mid}\)
\(=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
উদাহরণঃ \(P(1, 2)\) ও \(Q(-2, 6)\) বিন্দু দ্বয়ের দূরত্ব
\(=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{9+19}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্ব
Distance in polar coordinates
কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে। \(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)

প্রমাণঃ
মনে করি,
কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
\(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}\cos\theta_{2}, r_{2}\sin\theta_{2})\)
\(\therefore PQ=\sqrt{(r_{1}\cos\theta_{1}-r_{2}\cos\theta_{2})^{2}+(r_{1}\sin\theta_{1}-r_{2}\sin\theta_{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}\cos^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+r_{2}^{2}\cos^{2}\theta_{2}+r_{1}^{2}\sin^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+r_{2}^{2}\sin^{2}\theta_{2}}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})+r_{2}^{2}(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2})-2r_{1}r_{2}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2})}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}\times 1+r_{2}^{2}\times 1-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বিষয়ক অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) এবং মূলবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)।
\(P(x_{1}, \beta)\) ও \(P(x_{2}, \beta)\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(\beta-\beta)^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\mid x_{1}-x_{2} \mid\)।
\(P(\alpha, y_{1})\) ও \((\alpha, y_{2})\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(\alpha-\alpha)^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\) \(= \mid y_{1}-y_{2} \mid \)।
ত্রিভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল
Special techniques for solving trigonometric problems
সমবাহু ত্রিভুজ
Equilateral triangle
সমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ।
equilateral
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
Isosceles triangle
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান তা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। isosceles
বিষমবাহু ত্রিভুজ
Scalene triangle
বিষমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের কোন বাহুই কোন বাহুর সমান নয় তা বিষমবাহু ত্রিভুজ।
Scalene
সমকোণী ত্রিভুজ
Right triangle
সমকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণের সমান তা সমকোণী ত্রিভুজ।
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
Isosceles right triangle
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজঃ যে সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।
চতুর্ভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল
Special techniques for solving quadratic problems
বর্গক্ষেত্র
Square
বর্গক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই বর্গক্ষেত্র বলে।
বর্গ
রম্বস
Rhombus
রম্বসঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই রম্বস বলে।
রম্বস
আয়তক্ষেত্র
Rectangle
আয়তক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই আয়তক্ষেত্র বলে।
আয়তক্ষেত্র
সামান্তরিক
Parallelogram
সামান্তরিকঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই সামান্তরিক বলে। সামান্তরিক
তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্ত
Condition of the three points being co-linear
কোন সমতলের উপর \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি,
\((x_{1}-x_{2})(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{2}-x_{3})=0\)

প্রমাণঃ
মনে করি,
কোন সমতলের উপর তিনটি বিন্দু \(P(x_{1}, y_{1}), \ Q(x_{2}, y_{2})\) এবং \(R(x_{3}, y_{3})\)
এখন, \(\triangle{PQR}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{1}\\ y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})-x_{2}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})-x_{2}(y_{2}-y_{3})+y_{2}(x_{2}-x_{3})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{(x_{1}-x_{2})(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{2}-x_{3})\}\)
\(\therefore \triangle{PQR}=\frac{1}{2}\{(x_{1}-x_{2})(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{2}-x_{3})\}\)
বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি,
\(\triangle{PQR}=0\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\{(x_{1}-x_{2})(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{2}-x_{3})\}=0\)
\(\therefore (x_{1}-x_{2})(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{2}-x_{3})=0\)
(প্রমাণিত)
উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, -4)\) ও \((0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4\sqrt{3}, 0)\) বা, \((-4\sqrt{3}, 0)\)

উদাহরণ \(2.\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\), \((-3, 1)\), \((-2, -3)\) এবং \((2, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

উদাহরণ \(3.\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, -5)\), \(B(9, 10)\), \(C(3, 25)\) এবং \(D(-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

উদাহরণ \(4.(a)\) X-অক্ষ ও \((-5, -7)\) থেকে \((4, K)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=-\frac{65}{7}\).

উদাহরণ \(4.(b)\) X-অক্ষ ও \((-5, -7)\) থেকে \((5, K)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=-\frac{149}{14}\).

উদাহরণ \(5.\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 4)\).

উদাহরণ \(6.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\sqrt{5}\).

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((6, 7)\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

উদাহরণ \(8.\) \((h, k), \ (h_{1}, k_{1})\) এবং মূলবিন্দু সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(hk_{1}=h_{1}k\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry