এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- বল জোটের সাম্যাবস্থা (Equilibrium of a system of forces)
- বল জোটের সাম্যাবস্থার শর্ত (condition of equilibrium of a system of forces)
- বলের সাম্যাবস্থায় ত্রিভুজ সূত্র (Triangle law of forces oequilibrium)
- বলের বহুভুজ সূত্র (Polygon law of forces)
- বলের ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত উপপাদ্য (Converse law of Triangle of Forces)
- সাম্যাবস্থার লামির উপপাদ্য (Lamis's Theorem)
- লামির উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিজ্ঞা (Converse of Lamis's Theorem)
- প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী (Required formulas)
- অধ্যায় \(8B\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(8B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8B\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(8B\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
বল জোটের সাম্যাবস্থা
Equilibrium of a system of forces
যখন দুই বা ততোধিক বল কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল হয়ে একে অপরকে নিষ্ক্রিয় করে এবং যার ফলে ঐ বলগুলির লব্ধি বলের মান শূণ্য হয় এমতাবস্থায় বস্তুটি কোনো গতিপ্রাপ্ত হবে না। অর্থাৎ বস্তুটি পূর্বের ন্যায় স্থির থাকবে। এক্ষেত্রে বলগুলির অবস্থাকে সাম্যাবস্থা বলে। উল্লেখ্য যে, যদি প্রদত্ত বলগুলির একটি বল অবশিষ্ট বলগুলির লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী হয়, তবে এরা সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করবে। ফলে সমবিন্দু বলের সাম্যাবস্থার মূল তত্ত্ব হলো "সুস্থিত বলসমূহের লব্ধির মান শূণ্য"। তাই কিছুসংখ্যক সমবিন্দু বল স্থিতাবস্থার সৃষ্টি করলে যে কোনো দিকে এদের বিশ্লিষ্টাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি শূণ্য হবে।
কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত সমতলীয় বলজোটের সাম্যাবস্থার শর্ত
(condition of equilibrium of a system of coplaner forces acting on a particle)
মনে করি, \(P_1, P_2, P_3, ... ... ... \) কতগুলির বল নির্দিষ্ট \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। বলগুলির লব্ধি \(R\) এবং পরস্পর লম্বিক \(OX\) ও \(OY\) বরাবর বলগুলির লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) দ্বারা সূচিত করা হলে, \(R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\)
আমরা জানি, বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকলে তাদের লব্ধির মান শূন্য হয়। অর্থাৎ \(R= 0\) বা, \({X^{2}+Y^{2}}= 0\) হবে। কিন্তু \(X\) ও \(Y\) এর উভয়েই শূন্য (0) না হলে তাদের বর্গের সমষ্টির শূন্য হতে পারে না।
সুতরাং \(X= 0, Y= 0\) অতএব সমতলীয় বলজোট সাম্যাবস্থায় থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত (necessary condition) হল লম্বরেখা \(OX\) ও \(OY\) বরাবর তাদের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে।
বিপরীতক্রমে \(X=0, Y=0\) হলে \(R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}= 0\) হবে।
অর্থাৎ বলগুলি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করবে। এই শর্তই হল বলজোটের সাম্যাবস্থায় থাকার পর্যাপ্ত (sufficient condition) শর্ত।
বিঃদ্রঃ কোনো কণার উপর কার্যরত সমতলীয় বলজোটের সাম্যাবস্থায় প্রয়োজনীয় (necessary) এবং যথেষ্ট (sufficient) শর্ত এই যে, যে কোনো দিকে বলগুলির লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি পৃথক ভাবে শূন্য হতে হবে।
আমরা জানি, বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকলে তাদের লব্ধির মান শূন্য হয়। অর্থাৎ \(R= 0\) বা, \({X^{2}+Y^{2}}= 0\) হবে। কিন্তু \(X\) ও \(Y\) এর উভয়েই শূন্য (0) না হলে তাদের বর্গের সমষ্টির শূন্য হতে পারে না।
সুতরাং \(X= 0, Y= 0\) অতএব সমতলীয় বলজোট সাম্যাবস্থায় থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত (necessary condition) হল লম্বরেখা \(OX\) ও \(OY\) বরাবর তাদের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে।
বিপরীতক্রমে \(X=0, Y=0\) হলে \(R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}= 0\) হবে।
অর্থাৎ বলগুলি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করবে। এই শর্তই হল বলজোটের সাম্যাবস্থায় থাকার পর্যাপ্ত (sufficient condition) শর্ত।
বিঃদ্রঃ কোনো কণার উপর কার্যরত সমতলীয় বলজোটের সাম্যাবস্থায় প্রয়োজনীয় (necessary) এবং যথেষ্ট (sufficient) শর্ত এই যে, যে কোনো দিকে বলগুলির লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি পৃথক ভাবে শূন্য হতে হবে।
বলের সাম্যাবস্থায় ত্রিভুজ সূত্র
Triangle law of forces oequilibrium
সাম্যাবস্থায় ত্রিভুজ সূত্রঃ কোনো বিন্দুতে কার্যরত তিনটি বলের মান ও দিক যদি একইক্রমে গৃহীত কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা সূচিত করা হয়, তবে তারা সাম্যাবস্থায় থাকবে। 
রাঃ ২০১৩,২০০৮; সিঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০১২,২০০৬; যঃ ২০১০,২০০৭; চঃ ২০১০,২০০৫; দিঃ ২০১০
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(\bar{P}, \ \bar{Q}\) ও \(\bar{R}\) বল তিনটি কার্যরত আছে এবং এদেরকে \(ABC\) ত্রিভুজের যথাক্রমে \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহু দ্বারা মানে, দিকে এবং একইক্রমে সূচিত করা যায়।
অর্থাৎ \(\overline{BC}=\bar{P}, \ \overline{CA}=\bar{Q}\) ও \(\overline{AB}=\bar{R}\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে, অর্থাৎ বলত্রয়ের লব্ধি \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
\(ABC\) ত্রিভুজের ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, \(\overline{BC}+\overline{CA}=\overline{BA}\)
\(\Rightarrow \overline{BC}+\overline{CA}+\overline{AB}=\overline{BA}+\overline{AB} ........(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(\overline{AB}\) যোগ করে,
এখানে, \(\overline{AB}\) ও \(\overline{BA}\) বলদ্বয়ের মান সমান এবং একই রেখায় পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল। ফলে এরা একে অপরকে নিষ্ক্রিয় করে অর্থাৎ লব্ধি শূন্য।
\(\therefore \overline{AB}+\overline{BA} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{BC}+\overline{CA}+\overline{AB}=0\)
\(\therefore \bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
প্রদত্ত বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
বিঃদ্রঃ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
রাঃ ২০১৩,২০০৮; সিঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০১২,২০০৬; যঃ ২০১০,২০০৭; চঃ ২০১০,২০০৫; দিঃ ২০১০
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(\bar{P}, \ \bar{Q}\) ও \(\bar{R}\) বল তিনটি কার্যরত আছে এবং এদেরকে \(ABC\) ত্রিভুজের যথাক্রমে \(BC, \ CA\) ও \(AB\) বাহু দ্বারা মানে, দিকে এবং একইক্রমে সূচিত করা যায়।
অর্থাৎ \(\overline{BC}=\bar{P}, \ \overline{CA}=\bar{Q}\) ও \(\overline{AB}=\bar{R}\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে, অর্থাৎ বলত্রয়ের লব্ধি \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
\(ABC\) ত্রিভুজের ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, \(\overline{BC}+\overline{CA}=\overline{BA}\)
\(\Rightarrow \overline{BC}+\overline{CA}+\overline{AB}=\overline{BA}+\overline{AB} ........(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(\overline{AB}\) যোগ করে,
এখানে, \(\overline{AB}\) ও \(\overline{BA}\) বলদ্বয়ের মান সমান এবং একই রেখায় পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল। ফলে এরা একে অপরকে নিষ্ক্রিয় করে অর্থাৎ লব্ধি শূন্য।
\(\therefore \overline{AB}+\overline{BA} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{BC}+\overline{CA}+\overline{AB}=0\)
\(\therefore \bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
প্রদত্ত বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
বিঃদ্রঃ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
বলের বহুভুজ সূত্র
Polygon law of forces
যদি একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(n\) সংখ্যক বলের মান ও দিক (অবস্থানে নয়) \(n\) সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট কোনো বহুভুজের বাহুগুলি দ্বারা একই ক্রমে সূচিত করা যায় তবে তারা সাম্যাবস্থায় থাকবে।
বলের ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত উপপাদ্য
Converse law of Triangle of Forces
বিপরীত ত্রিভুজ সূত্রঃ যদি কোনো সমতলের উপর একই বিন্দুতে একই সময়ে তিনটি ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে, তবে তাদেরকে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা মানে, দিকে ও একই ক্রমে সূচিত করা যায়।
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
অর্থাৎ \(P+Q+R=0\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বলত্রয়কে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা মানে, দিকে এবং একই ক্রমে সূচিত করা যায়।
\(OX\) এবং \(OY\) এর সমান্তরাল করে \(BC\) ও \(CA\) রেখাংশ আঁকি যেন \(\overrightarrow{BC}=P\) এবং \(\overrightarrow{CA}=Q\) হয়।
\(BC\) ও \(CA\) কে সন্নিহিত বাহু ধরে \(CADB\) সামান্তরিকটি পূর্ণ করি এবং \(B, \ A\) যোগ করি।
যেহেতু, \(BD\parallel{CA}\) এবং \(BD=CA\)
সুতরাং, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}=Q\)
এখন, \(P+Q=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{BA}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্র মোতাবেক।
\(\therefore P+Q=\overrightarrow{BA}\)
দেওয়া আছে, \(P+Q+R=0\)
\(\Rightarrow P+Q=-R\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-R\)
\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=-R\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=R\)
সুতরাং, \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় \(\triangle{ABC}\) এর \(BC, CA\) ও \(AB\) দ্বারা মানে, দিকে ও একই ক্রমে নির্দেশ করে।
বিঃদ্রঃ এক বিন্দুতে সাম্যাবস্থা সৃষ্টিকারী সমতলীয় বলত্রয় ভিন্ন ভিন্ন রেখায় ক্রিয়াশীল না হলে বল ত্রিভুজের বিপরীত সূত্রটি প্রযোজ্য হবে না।
অনুসিদ্ধান্তঃ সাম্যাবস্থা সৃষ্টিকারী সমবিন্দু তিনটি বল এদের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল বাহুবিশিষ্ট যে কোনো ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক হবে।
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
অর্থাৎ \(P+Q+R=0\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বলত্রয়কে একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা মানে, দিকে এবং একই ক্রমে সূচিত করা যায়।
\(OX\) এবং \(OY\) এর সমান্তরাল করে \(BC\) ও \(CA\) রেখাংশ আঁকি যেন \(\overrightarrow{BC}=P\) এবং \(\overrightarrow{CA}=Q\) হয়।
\(BC\) ও \(CA\) কে সন্নিহিত বাহু ধরে \(CADB\) সামান্তরিকটি পূর্ণ করি এবং \(B, \ A\) যোগ করি।
যেহেতু, \(BD\parallel{CA}\) এবং \(BD=CA\)
সুতরাং, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}=Q\)
এখন, \(P+Q=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{BA}\) ➜ বল সামান্তরিক সূত্র মোতাবেক।
\(\therefore P+Q=\overrightarrow{BA}\)
দেওয়া আছে, \(P+Q+R=0\)
\(\Rightarrow P+Q=-R\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=-R\)
\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=-R\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=R\)
সুতরাং, \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় \(\triangle{ABC}\) এর \(BC, CA\) ও \(AB\) দ্বারা মানে, দিকে ও একই ক্রমে নির্দেশ করে।
বিঃদ্রঃ এক বিন্দুতে সাম্যাবস্থা সৃষ্টিকারী সমতলীয় বলত্রয় ভিন্ন ভিন্ন রেখায় ক্রিয়াশীল না হলে বল ত্রিভুজের বিপরীত সূত্রটি প্রযোজ্য হবে না।
অনুসিদ্ধান্তঃ সাম্যাবস্থা সৃষ্টিকারী সমবিন্দু তিনটি বল এদের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল বাহুবিশিষ্ট যে কোনো ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক হবে।
সাম্যাবস্থার লামির উপপাদ্য
Lamis's Theorem
লামির উপপাদ্যঃ ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি সমবিন্দু সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে, তাদের প্রতিটি বলের মান অপর দুইটির অন্তর্গত কোণের সাইনের সমানুপাতিক হবে।
ঢাঃ ২০১৩,২০১০; কুঃ ২০১০,২০০৫; যঃ ২০১৪,২০১২,২০১০; চঃ ২০০৩,২০১১; সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০১৯,২০১৩,২০১১; রাঃ ২০১৪,২০১১,২০১০; মাঃ ২০১৯
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
নির্দিষ্ট একক পরিমাপে \(OX\) ও \(OY\) থেকে যথাক্রমে \(OA\) ও \(OB\) কর্তন করি যেন এরা যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বলের মান ও দিক সূচিত করে। \(OACB\) সামান্তরিকটি অংকন করি এবং \(O, \ C\) যোগ করি।
বল সামান্তরিক সূত্র মোতাবেক, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow P+Q=\overrightarrow{OC} ........(1)\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে, ফলে \(P+Q+R=0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}+R=0\) ➜ \(\because P+Q=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow R=-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore R=\overrightarrow{CO}\)
আবার, \(AC\parallel{OB}\) এবং \(AC=OB\)
ফলে, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=Q\)
\(\triangle{OAC}\) এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে,
\(\frac{OA}{\sin{OCA}}=\frac{AC}{\sin{AOC}}=\frac{OC}{\sin{OAC}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{(\pi-\angle{YOZ})}}=\frac{Q}{\sin{(\pi-\angle{ZOX})}}=\frac{R}{\sin{(\pi-\angle{XOY})}}\) ➜ \(\because \angle{OCA}=\angle{COB}=\pi-\angle{YOZ},\)
\(\angle{AOC}=\pi-\angle{ZOX}\)
এবং \(\angle{OAC}=\pi-\angle{XOY}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\) ➜ \(\because \angle{YOZ}=Q\wedge{R}, \ \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
(প্রমাণিত)
ঢাঃ ২০১৩,২০১০; কুঃ ২০১০,২০০৫; যঃ ২০১৪,২০১২,২০১০; চঃ ২০০৩,২০১১; সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০১৯,২০১৩,২০১১; রাঃ ২০১৪,২০১১,২০১০; মাঃ ২০১৯
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
নির্দিষ্ট একক পরিমাপে \(OX\) ও \(OY\) থেকে যথাক্রমে \(OA\) ও \(OB\) কর্তন করি যেন এরা যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বলের মান ও দিক সূচিত করে। \(OACB\) সামান্তরিকটি অংকন করি এবং \(O, \ C\) যোগ করি।
বল সামান্তরিক সূত্র মোতাবেক, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow P+Q=\overrightarrow{OC} ........(1)\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে, ফলে \(P+Q+R=0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}+R=0\) ➜ \(\because P+Q=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow R=-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore R=\overrightarrow{CO}\)
আবার, \(AC\parallel{OB}\) এবং \(AC=OB\)
ফলে, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=Q\)
\(\triangle{OAC}\) এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে,
\(\frac{OA}{\sin{OCA}}=\frac{AC}{\sin{AOC}}=\frac{OC}{\sin{OAC}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{(\pi-\angle{YOZ})}}=\frac{Q}{\sin{(\pi-\angle{ZOX})}}=\frac{R}{\sin{(\pi-\angle{XOY})}}\) ➜ \(\because \angle{OCA}=\angle{COB}=\pi-\angle{YOZ},\)
\(\angle{AOC}=\pi-\angle{ZOX}\)
এবং \(\angle{OAC}=\pi-\angle{XOY}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\) ➜ \(\because \angle{YOZ}=Q\wedge{R}, \ \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
(প্রমাণিত)
বিকল্প পদ্ধতি-১ঃ
প্রমাণঃ
ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(\bar{P}, \ \bar{Q}\) ও \(\bar{R}\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে, সুতরাং \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0 .....(1)\)
\(\Rightarrow \bar{P}\times(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R})=0\) ➜ \(\bar{P}\) দ্বারা উভয় পক্ষে ভেক্টর গুণ করে,
\(\Rightarrow \bar{P}\times\bar{P}+\bar{P}\times\bar{Q}+\bar{P}\times\bar{R}=0\)
\(\Rightarrow 0+\bar{P}\times\bar{Q}-\bar{R}\times\bar{P}=0\) ➜ \(\because \bar{P}\times\bar{P}=0, \ \bar{P}\times\bar{R}=-\bar{R}\times\bar{P}\)
\(\Rightarrow PQ\sin{\angle{XOY}}\hat{n}-PR\sin{\angle{XOZ}}\hat{n}=0\) ➜ \(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা বলগুলির সমতলের উপর লম্ব।
\(\Rightarrow PQ\sin{\angle{XOY}}\hat{n}=PR\sin{\angle{XOZ}}\hat{n}\)
\(\Rightarrow Q\sin{\angle{XOY}}=R\sin{\angle{XOZ}}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(P\hat{n}\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{\angle{XOZ}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}} ......(2)\) ➜ \(\because \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
অনুরূপভাবে, \((1)\) এর উভয় পক্ষে \(\bar{R}\) দ্বারা ভেক্টর গুণ করে।
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}} ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে, সুতরাং \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0 .....(1)\)
\(\Rightarrow \bar{P}\times(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R})=0\) ➜ \(\bar{P}\) দ্বারা উভয় পক্ষে ভেক্টর গুণ করে,
\(\Rightarrow \bar{P}\times\bar{P}+\bar{P}\times\bar{Q}+\bar{P}\times\bar{R}=0\)
\(\Rightarrow 0+\bar{P}\times\bar{Q}-\bar{R}\times\bar{P}=0\) ➜ \(\because \bar{P}\times\bar{P}=0, \ \bar{P}\times\bar{R}=-\bar{R}\times\bar{P}\)
\(\Rightarrow PQ\sin{\angle{XOY}}\hat{n}-PR\sin{\angle{XOZ}}\hat{n}=0\) ➜ \(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা বলগুলির সমতলের উপর লম্ব।
\(\Rightarrow PQ\sin{\angle{XOY}}\hat{n}=PR\sin{\angle{XOZ}}\hat{n}\)
\(\Rightarrow Q\sin{\angle{XOY}}=R\sin{\angle{XOZ}}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(P\hat{n}\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{\angle{XOZ}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}} ......(2)\) ➜ \(\because \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
অনুরূপভাবে, \((1)\) এর উভয় পক্ষে \(\bar{R}\) দ্বারা ভেক্টর গুণ করে।
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}} ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
(প্রমাণিত)
বিকল্প পদ্ধতি-২ঃ
প্রমাণঃ
ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে, সুতরাং যে কোনো দিকে এদের লম্বাংশের বীজগাণিতীয় সমষ্টি শূণ্য হবে।
এখন, \(OX\) এর উপর লম্ব বরাবর বলত্রয়ের লম্বাংশ নিয়ে,
\(\Rightarrow P\sin{0^{o}}+Q\sin{\angle{XOY}}+R\sin{(2\pi-\angle{XOZ})}=0\)
\(\Rightarrow 0+Q\sin{\angle{XOY}}-R\sin{\angle{XOZ}}=0\) ➜ \(\because \sin{0^{o}}=0, \ \sin{(2\pi-\angle{XOZ})}=-\sin{\angle{XOZ}}\)
\(\Rightarrow Q\sin{\angle{XOY}}=R\sin{\angle{XOZ}}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{\angle{XOZ}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}} ......(1)\) ➜ \(\because \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
অনুরূপভাবে, \(OY\) এর উপর লম্ব বরাবর বলত্রয়ের লম্বাংশ নিয়ে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
(প্রমাণিত)
বিঃদ্রঃ এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল \(P, \ 2P\) ও \(3P\) বলত্রয়ের \(P\) ও \(2P\) একই রেখায় একই দিকে এবং \(3P\) বলটি উক্ত রেখার বিপরীতে ক্রিয়াশীল হলে বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকবে। কিন্তু এদের কোনো ত্রিভুজের তিন বাহু দ্বারা প্রকাশ করা যাবে না। প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে, সুতরাং যে কোনো দিকে এদের লম্বাংশের বীজগাণিতীয় সমষ্টি শূণ্য হবে।
এখন, \(OX\) এর উপর লম্ব বরাবর বলত্রয়ের লম্বাংশ নিয়ে,
\(\Rightarrow P\sin{0^{o}}+Q\sin{\angle{XOY}}+R\sin{(2\pi-\angle{XOZ})}=0\)
\(\Rightarrow 0+Q\sin{\angle{XOY}}-R\sin{\angle{XOZ}}=0\) ➜ \(\because \sin{0^{o}}=0, \ \sin{(2\pi-\angle{XOZ})}=-\sin{\angle{XOZ}}\)
\(\Rightarrow Q\sin{\angle{XOY}}=R\sin{\angle{XOZ}}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{\sin{\angle{XOZ}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\therefore \frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}} ......(1)\) ➜ \(\because \angle{ZOX}=P\wedge{R}, \ \angle{XOY}=P\wedge{Q}\)
অনুরূপভাবে, \(OY\) এর উপর লম্ব বরাবর বলত্রয়ের লম্বাংশ নিয়ে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{(Q\wedge{R})}}=\frac{Q}{\sin{(P\wedge{R})}}=\frac{R}{\sin{(P\wedge{Q})}}\)
(প্রমাণিত)
লামির উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিজ্ঞা
Converse of Lamis's Theorem
বর্ণনাঃ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বলের প্রত্যেকটির মান অপর দুইটির ক্রিয়ারেখার অন্তর্গত কোণের সাইনের সমানুপাতিক হলে এবং কোনটিই অপর দুইটির লব্ধির সমান না হলে, বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকবে।
যঃ ২০০৫
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় এমনভাবে ক্রিয়াশীল যেন \(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}} ........(1)\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
নির্দিষ্ট পরিমাপে, \(OX\) হতে \(OA\) অংশ কেটে নেই যেন \(OA\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) বলটি সূচিত হয়। \(OY\parallel{AC}\) এবং \(OZ\) কে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(AC\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(OACB\) সামান্তরিক গঠন কর।
\(\triangle{OAC}\) হতে, \(\frac{OA}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{COA}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\Rightarrow \frac{OA}{\sin{\angle{COY}}}=\frac{AC}{\sin{(\pi-\angle{ZOX})}}=\frac{CO}{\sin{(\pi-\angle{CAX})}}\) ➜ \(\because \angle{OCA}=\angle{COY}, \ \angle{COA}=\pi-\angle{ZOX}\)
এবং \(\angle{OAC}=\pi-\angle{CAX}\)
\(\Rightarrow \frac{OA}{\sin{(\pi-\angle{YOZ})}}=\frac{AC}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{XOY}}}\) ➜ \(\because \angle{COY}=\pi-\angle{YOZ}, \ \angle{CAX}=\angle{XOY}\)
\(\therefore \frac{OA}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{XOY}}} ........(2)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{OA}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO} ........(3)\)
কিন্তু \(OA\) রেখাংশ মানে ও দিকে \(P\) বলকে সূচিত করে,
অর্থাৎ \(P=OA\)
তাহলে, \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{P}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{AC}=1, \ \frac{R}{CO}=1\)
\(\Rightarrow Q=AC, \ R=CO\)
সুতরাং একই বিন্দু \(O\) তে ক্রিয়ারত তিনটি বল মানে ও দিকে \(OAC\) ত্রিভুজের একইক্রমে \(OA, \ AC\) ও \(CO\) বাহু দ্বারা সূচিত হয়েছে।
অতএব, বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকবে।
(প্রমাণিত)
ধরি,
\(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। \(P\) ও \(Q\) কে যথাক্রমে \(OA\) ও \(OB\) দ্বারা সূচিত করে \(OACB\) সামান্তরিক গঠন করা হলো।
তাহল সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় \(OAC\) ত্রিভুজের \(OA, \ AC\) ও \(CO\) বাহুত্রয় দ্বারা মানে ও দিকে একইক্রমে গৃহীত হবে।
আবার লামির উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{(\pi-\angle{BOC})}}=\frac{Q}{\sin{(\pi-\angle{AOC})}}=\frac{R}{\sin{(\pi-\angle{OAC})}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{BOC}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{R}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{R}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\therefore \frac{P}{OA}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\) ➜ \(\because \frac{OA}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{OC}{\sin{\angle{OAC}}}\)
যঃ ২০০৫
প্রমাণঃ ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় এমনভাবে ক্রিয়াশীল যেন \(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}} ........(1)\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
নির্দিষ্ট পরিমাপে, \(OX\) হতে \(OA\) অংশ কেটে নেই যেন \(OA\) দ্বারা মানে ও দিকে \(P\) বলটি সূচিত হয়। \(OY\parallel{AC}\) এবং \(OZ\) কে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(AC\) কে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(OACB\) সামান্তরিক গঠন কর।
\(\triangle{OAC}\) হতে, \(\frac{OA}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{COA}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\Rightarrow \frac{OA}{\sin{\angle{COY}}}=\frac{AC}{\sin{(\pi-\angle{ZOX})}}=\frac{CO}{\sin{(\pi-\angle{CAX})}}\) ➜ \(\because \angle{OCA}=\angle{COY}, \ \angle{COA}=\pi-\angle{ZOX}\)
এবং \(\angle{OAC}=\pi-\angle{CAX}\)
\(\Rightarrow \frac{OA}{\sin{(\pi-\angle{YOZ})}}=\frac{AC}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{XOY}}}\) ➜ \(\because \angle{COY}=\pi-\angle{YOZ}, \ \angle{CAX}=\angle{XOY}\)
\(\therefore \frac{OA}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{CO}{\sin{\angle{XOY}}} ........(2)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{OA}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO} ........(3)\)
কিন্তু \(OA\) রেখাংশ মানে ও দিকে \(P\) বলকে সূচিত করে,
অর্থাৎ \(P=OA\)
তাহলে, \((3)\) হতে,
\(\frac{P}{P}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\)
\(\Rightarrow \frac{Q}{AC}=1, \ \frac{R}{CO}=1\)
\(\Rightarrow Q=AC, \ R=CO\)
সুতরাং একই বিন্দু \(O\) তে ক্রিয়ারত তিনটি বল মানে ও দিকে \(OAC\) ত্রিভুজের একইক্রমে \(OA, \ AC\) ও \(CO\) বাহু দ্বারা সূচিত হয়েছে।
অতএব, বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকবে।
(প্রমাণিত)
বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রমাণঃ
ধরি, \(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(\bar{P}, \ \bar{Q}\) ও \(\bar{R}\) বলত্রয় এমনভাবে ক্রিয়াশীল যেন \(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}} ........(1)\)
প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
অর্থাৎ, \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
\((1)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}\)
\(\Rightarrow P\sin{\angle{ZOX}}=Q\sin{\angle{YOZ}}\)
\(\Rightarrow RP\sin{\angle{ZOX}}\hat{n}=QR\sin{\angle{YOZ}}\hat{n}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(R\hat{n}\) গুণ করে।
যেখানে, \(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা বলগুলির সমতলের উপর লম্ব।
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}=\bar{Q}\times\bar{R}\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}=-\bar{R}\times\bar{Q}\) ➜ \(\because \bar{A}\times\bar{B}=-\bar{B}\times\bar{A}\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}+0=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}+\bar{R}\times\bar{R}=0\) ➜ \(\because \bar{A}\times\bar{A}=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R})=0\)
\(\therefore \bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\) ➜ \(\because \bar{R}\ne{0}\)
(প্রমাণিত)
সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ সূত্র ও লামির উপপাদ্যের সমনবয়ঃ প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে।
অর্থাৎ, \(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\)
\((1)\) হতে,
\(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}\)
\(\Rightarrow P\sin{\angle{ZOX}}=Q\sin{\angle{YOZ}}\)
\(\Rightarrow RP\sin{\angle{ZOX}}\hat{n}=QR\sin{\angle{YOZ}}\hat{n}\) ➜ উভয় পার্শ্বে \(R\hat{n}\) গুণ করে।
যেখানে, \(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা বলগুলির সমতলের উপর লম্ব।
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}=\bar{Q}\times\bar{R}\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}=-\bar{R}\times\bar{Q}\) ➜ \(\because \bar{A}\times\bar{B}=-\bar{B}\times\bar{A}\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}+0=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times\bar{P}+\bar{R}\times\bar{Q}+\bar{R}\times\bar{R}=0\) ➜ \(\because \bar{A}\times\bar{A}=0\)
\(\Rightarrow \bar{R}\times(\bar{P}+\bar{Q}+\bar{R})=0\)
\(\therefore \bar{P}+\bar{Q}+\bar{R}=0\) ➜ \(\because \bar{R}\ne{0}\)
(প্রমাণিত)
ধরি,
\(O\) বিন্দুতে একই সময়ে \(OX, \ OY\) ও \(OZ\) বরাবর যথাক্রমে \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। \(P\) ও \(Q\) কে যথাক্রমে \(OA\) ও \(OB\) দ্বারা সূচিত করে \(OACB\) সামান্তরিক গঠন করা হলো।
তাহল সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, \(P, \ Q\) ও \(R\) বলত্রয় \(OAC\) ত্রিভুজের \(OA, \ AC\) ও \(CO\) বাহুত্রয় দ্বারা মানে ও দিকে একইক্রমে গৃহীত হবে।
আবার লামির উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{P}{\sin{\angle{YOZ}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{ZOX}}}=\frac{R}{\sin{\angle{XOY}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{(\pi-\angle{BOC})}}=\frac{Q}{\sin{(\pi-\angle{AOC})}}=\frac{R}{\sin{(\pi-\angle{OAC})}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{BOC}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{R}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{Q}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{R}{\sin{\angle{OAC}}}\)
\(\therefore \frac{P}{OA}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{CO}\) ➜ \(\because \frac{OA}{\sin{\angle{OCA}}}=\frac{AC}{\sin{\angle{AOC}}}=\frac{OC}{\sin{\angle{OAC}}}\)
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী
Required formulas
সাইন সূত্রঃ
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
কোসাইন সূত্রঃ
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
কোসাইন সূত্রঃ
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004