যদি \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে \(a+ib\) আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা বা জটিল রাশি বলে যেখানে, \(i=\sqrt{-1}\) । \(a\) কে সংখ্যাটির বাস্তব অংশ এবং \(b\) কে কাল্পনিক অংশ বলা হয়। যদি \(Z=a+ib\) হয়, তবে \(Z\) এর বাস্তব অংশকে সংক্ষেপে \(Re(Z)\) এবং কাল্পনিক অংশকে \(Im(Z)\) অর্থাৎ, \(Re(Z)=a\) ও \(Im(Z)=b\) দ্বারা প্রকাশ করা করা হয়। সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a=0\) হলে, তাকে কাল্পনিক সংখ্যা বলে। আবার, কাল্পনিক অংশ \(b=0\) হলে তাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।
জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে \((a, b)\) ক্রমজোড় (ordered pair) আকারে প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(1+2i=(1, 2); \ 0+i=(0, 1); 2-5i=(2, -5)\) ইত্যাদি।

জটিল সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রমজোড় \((x, y)\) হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাটি হচ্ছে জটিল সমতলে একটি বিন্দু, ঠিক যেমন বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখার উপর একটি বিন্দু হিসেবে প্রকাশ করা যায়। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয় জটিল সমতল বা জেড প্লেন। এ ক্ষেত্রে \(x\) অক্ষ বরাবর বাস্তব অংশ এবং \(y\) অক্ষ বরাবর সংখ্যাটির কাল্পনিক অংশ ধরা হয়। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় \((x, 0)\) আকারের প্রতিটি জটিল সংখ্যাই আসলে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর একেকটি বিন্দু, এবং এরা একই সাথে একেকটি বাস্তব সংখ্যা। এভাবে জটিল সমতলে \(x\) অক্ষ বরাবর ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দিকে যেতে থাকলে আমরা \(\mathbb{R}\) এর প্রতিটি সংখ্যা অর্থাৎ প্রত্যেকটা বাস্তব সংখ্যাকেই খুঁজে পাব। তার মানে আমরা এই \(x\) অক্ষকে আমাদের পরিচিত সংখ্যারেখা হিসেবে ভাবতে পারি।
অতএব, দেখা যাচ্ছে সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দুই আসলে জটিল সমতলের অন্তর্ভুক্ত। এখান থেকে সহজেই দেখা যায় যে, \(\mathbb{R}\subset{\mathbb{C}}\)। যদি \((x, y)\) ক্রমজোড়টিকে আমরা \(Z\) নাম দেই তাহলে \(Z=(x, y)\) যেখানে \(Re(Z)=x\) এবং \(Im(Z)=y\) লেখা যায়।
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Z_{2}=(x_{2}, y_{2})\) সমান হবে যদি তারা জটিল সমতলে একই বিন্দু নির্দেশ করে, অর্থাৎ \((x_{1}, y_{1})=(x_{2}, y_{2})\) হয়, জটিল সংখ্যা পদ্ধতি আসলে বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতির একটা প্রাকৃতিক প্রবৃদ্ধি (Natural Extension)।

যে কোনো জটিল সংখ্যা \(a+ib\) এর ক্রমজোড় \((a, b)\) কে বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করে সমতলে নির্দেশ করা যায়। চিত্রের মাধ্যমে এ পদ্ধতি ১৮০৬ খৃস্টাব্দে প্রথম প্রকাশ করেন গণিতবিদ রবার্ট আরগাঁ। তার নাম অনুসারে জটিল সংখ্যা সমতলে স্থাপনের চিত্রকে আরগাঁ চিত্র (Argand diagram) বলা হয়।
মনে করি,
\(XOX^{\prime}\) ও \(YOY^{\prime}\) সরলরেখাদ্বয় কোনো সমতলে পরস্পরকে লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, \(XOX^{\prime}\) কে \(x\) অক্ষ এবং \(YOY^{\prime}\) কে \(y\) অক্ষ বলা হয়। \(x\) অক্ষকে বাস্তব অক্ষ এবং \(y\) অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ ধরা হলে, \(P(a, b)\) বিন্দুটি জটিল সংখ্যা \(a+ib\) কে নির্দেশ করবে, যেখানে জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ \(a\) কে \(P\) বিন্দুটির ভুজ (বাস্তব অক্ষ বরাবর) এবং কাল্পনিক অংশ \(b\) কে \(P\) বিন্দুটির কোটি (কাল্পনিক অক্ষ বরাবর) হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
যদি \(b=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(x\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(a\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
আবার, \(a=0\) হয়, তাহলে \(P\) বিন্দুটি \(y\) অক্ষের উপর মূলবিন্দু \(O\) হতে \(b\) একক দূরত্বে অবস্থান করবে।
Example:
\(-2+3i\) সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র পাশে দেখানো হলোঃ
\(-2+3i\) সংখ্যাটির ক্রমজোড় \((-2, 3)\)

\(Z=x+iy\) হলে \(Z\) কে কার্তেসীয় আকারের জটিল সংখ্যা বলা হয়। একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,
\(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
এখন, \(Z=x+iy\)
\(\Rightarrow Z=r\cos{\theta}+ir\sin{\theta}\)
\(=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
\(=re^{i\theta}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}+i\sin{\theta}=e^{i\theta}\)

\(re^{i\theta}\) কে \(Z\) পোলার আকার বলা হয়।
\(\therefore re^{i\theta}=x+iy\)
এক্ষেত্রে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(r\) এবং \(\theta\) যথাক্রমে \(Z\) এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট।
দ্রষ্টব্যঃ \(\cos{\theta}+i\sin{\theta}=re^{i\theta}\) এবং \(\cos{\theta}-i\sin{\theta}=re^{-i\theta}\) এই সূত্র অয়লারের সূত্র (Euler's formula) নামে পরিচিত।
উদাহরণঃ \(Z=3+5i\) জটিল সংখ্যার পোলার আকার \(Z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)
যেখানে, \(r=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\) এবং \(\theta=\tan^{-1}{\frac{5}{3}}\)

কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy=(x, y)\) কে ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}\) হিসেবে চিহ্নিত করা যায়।
যার \(O\) আদি বিন্দু এবং \(P\) প্রান্ত বিন্দু।
দৈর্ঘ্য \(OP\) হলো \(\overrightarrow{OP}\) বা \((Z=x+iy)\) এর পরমমান
এবং \(Z=x+iy=\overrightarrow{OP}\) কে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর বলা হয়।

\(Z=x+iy\) জটিল সংখ্যাটির আরগাঁ চিত্র \(P\) বিন্দু এবং \(P\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) হলে,
চিত্রানুযায়ী \(OP=r\) এবং \(\angle{XOP}=\theta\)
\(r=OP=\sqrt{x^2+y^2}\) কে \(Z\) এর মডুলাস (প্রকৃতমান বা পরমমান) বলা হয়
এবং একে \(|Z|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ, \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\{Re(Z)\}^2+\{Im(Z)\}^2}\) ।
চিত্রানুযায়ী \(x=r\cos{\theta}\) এবং \(y=r\sin{\theta}\) তাহলে \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\) কে \(Z\) এর আর্গুমেন্ট বলা হয়।
যদি, \(-\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\) হয় তবে \(\theta\) কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়। \(Z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্টকে \(Arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(x\) এবং \(y\) এর মান নির্দিষ্ট থাকলেও ত্রিকোণমিতিক নিয়ম অনুযায়ী \(\theta\) এর অসংখ্য মান হতে পারে।
\(2n\pi+\theta\) কে সাধারণ আর্গুমেন্ট বলা হয়, যেখানে \(n\) যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(\theta\) মুখ্য আর্গুমেন্ট। ইহাকে \(arg(Z)\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
অর্থাৎ, \(arg(Z)=2n\pi+\theta\)
উল্লেখ্য যে, \(-\pi\lt{\theta}\le{\pi}\) ব্যাবধিতে \(\theta\) এর কেবলমাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং এ মানটিই মূখ্য আর্গুমেন্ট। যদি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট নির্ণয় করতে বলা হয়, সেক্ষেত্রে মূখ্য আর্গুমেন্টকেই বোঝায়।
উদাহরণঃ \(4+3i\) এর মডলাস এবং আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি \(Z=4+3i\)
\(\Rightarrow x=4, \ y=3\) ➜Note \(Z=x+iy\) এর সহিত তুলুনা করে।

\(Z\) এর মডুলাস \(|Z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এবং \(Z\) এর আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
\(\therefore \) মডুলাস \(=5\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)

\(x\gt{0}\) এবং \(y\gt{0}\) হলে, জটিল সংখ্যা \(x+iy, \ -x+iy, \ -x-iy\) ও \(x-iy\) কে যথাক্রমে \(P(x, y), \ Q(-x, y), \ R(-x, -y)\) ও \(S(x, -y)\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। \((x, y), \ (-x, y), \ (-x, -y)\) ও \((x, -y)\) বিন্দুর অবস্থান যথাক্রমে প্রথম , দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগে। জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট \(]-\pi, \pi]\) সীমার মধ্যে থাকে।
সুতরাং \(x\gt{0}, \ y\gt{0}\) হলে,
জটিল সংখ্যা \(x+iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
জটিল সংখ্যা \(-x+iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{-x}\right)}=\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
জটিল সংখ্যা \(-x-iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\left(\frac{-y}{-x}\right)}=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}-\pi\)
জটিল সংখ্যা \(x-iy\) এর আর্গুমেন্ট \(=-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}=2\pi-\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)

\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা, \(\theta\) সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
তাহলে,
\(\theta=|arg(Z_{1})-arg(Z_{2})|\)
\(\theta\gt{\pi}\) হলে, জটিল সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হবে, \(=2\pi-\theta\)

\(\sqrt{-1}\) কে কাল্পনিক একক বলা হয় এবং একে \(i\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং, \(i=\sqrt{-1}\)
\(\therefore i^2=-1\)
\(i^3=i^2.i=-i\)
\(i^4=i^2\times{i^2}=-1\times-1=1\)
\(i^5=i^2\times{i^2}\times{i}=-1\times-1\times{i}=i\) ইত্যাদি।
\(n\) যে কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে সাধারণভাবে,
\(i^{4n+1}=i^{4n}.i=(i^{2})^{2n}.i=(-1)^{2n}.i=\{(-1)^{2}\}^n.i\)\(=1^n.i=1.i=i\)
\(i^{4n+2}=i^{4n}.i^2=(i^{2})^{2n}\times-1=(-1)^{2n}\times-1\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-1=1^n\times-1=1\times-1=-1\)
\(i^{4n+3}=i^{4n}.i^2.i=(i^{2})^{2n}\times-1\times{i}=(-1)^{2n}\times-i\)\(=\{(-1)^{2}\}^n\times-i=1^n\times-i=1\times-i=-i\)
\(i^{4n+4}=i^{4n}.i^4=(i^{2})^{2n}.(i^2)^2=(-1)^{2n}.(-1)^2\)\(=\{(-1)^{2}\}^n.1=1^n=1\) ইত্যাদি।
আবার,
\(i^{-1}=\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i\)
\(i^{-2}=\frac{1}{i^2}=\frac{1}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
\(i^{-3}=\frac{1}{i^3}=\frac{1}{i^2.i}=\frac{1}{-1.i}\)\(=\frac{1}{-i}=\frac{i}{-i^2}=\frac{i}{-(-1)}=\frac{i}{1}=i\)
\(i^{-4}=\frac{1}{i^4}=\frac{1}{i^2.i^2}=\frac{1}{(-1)(-1)}\)\(=\frac{1}{1}=1\) ইত্যাদি।

জটিল সংখ্যার যোগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর যোগফল \(Z_{1}+Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}+Z_{2}=x_{1}+iy_{1}+x_{2}+iy_{2}\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4-2)+i(-3+5)\)
\(=2+2i\)
জটিল সংখ্যার বিয়োগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর বিয়োগফল \(Z_{1}-Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}-Z_{2}=x_{1}+iy_{1}-x_{2}-iy_{2}\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর যোগফল \(=(4+2)+i(-3-5)\)
\(=6-8i\)

জটিল সংখ্যার গুণঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর গুণফল \(Z_{1}Z_{2}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})\)
\(=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}\)
\(=x_{1}x_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})-y_{1}y_{2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\)
উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর গুণফল \(=\{4\times-2-(-3)\times5\}+i\{4\times5+(-2)\times-3\}\)
\(=\{-8+15\}+i\{20+6\}\)
\(=7+26i\)
জটিল সংখ্যার ভাগঃ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) এর ভাফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) কে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((x_{2}-iy_{2})\) গুণ করে।

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})-i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

উদাহরণঃ \(4-3i\) ও \(-2+5i\) এর ভাফল \(=\frac{\{4\times-2+(-3)\times5\}-i\{4\times5-(-2)\times-3\}}{(-2)^2+5^2}\)
\(=\frac{\{-8-15\}-i\{20-6\}}{4+25}\)
\(=\frac{-23-14i}{29}\)
\(=-\frac{23}{29}-\frac{14}{29}i\)

\(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যা দুইটি সমান হবে অর্থাৎ, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে যদি এবং কেবল যদি \(x_{1}=x_{2}\) এবং \(y_{1}=y_{2}\) হয়।
Click Me to Proof
\(Z_{1}=3+5i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}=Z_{2}\) হবে।
\(Z_{1}=5+3i\) এবং \(Z_{2}=3+5i\) হলে, \(Z_{1}\ne{Z_{2}}\) হবে কারণ, \(Re(Z_{1})\ne{Re(Z_{1})}\) এবং \(Im(Z_{1})\ne{Im(Z_{1})}\)।

জটিল সংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে একটি বিশেষ অবস্থা লক্ষ করি, \(a+ib\) এর সাথে \(a-ib\) গুণ করলে পাই, \(a^2-i^2b^2=a^2+b^2\in{\mathbb{R}}\) যা একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং কোনো জটিল সংখ্যাকে যে জটিল সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে ফলাফল বাস্তব সংখ্যা হয় তাদের পরস্পর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়।
\(a+ib\) এবং \(a-ib\) জটিল সংখ্যা দুইটির একটিকে অপরটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা নির্ণয় করেতে শুধুমাত্র কাল্পনিক একক \(i\) এর চিহ্নের পরিবর্তন করতে হয়।
কোনো জটিল সংখ্যাকে \(Z\) দ্বারা প্রকাশ করলে, তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যাকে \(\overline{Z}\) অথবা \(Z^{\star}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং \(Z=a-ib\) হলে, \(\overline{Z}=a+ib\) বা \(Z^{\star}=a+ib\)
ফরাসি গণিতবিদ অগাস্টিন কসি (1789-1857) ১৮২১ খ্রিস্টাব্দে অনুবন্ধী শব্দটি প্রবর্তন করেন।
\(2+3i, \ 2-3i\) ও \(3i\) জটিল সংখ্যাগুলির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা যথাক্রমে \(2-3i, \ 2+3i\) ও \(-3i\)
উল্লেখ্য জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী সংখ্যাটিতে বাস্তব অংশের কোনো পরিবর্তন হয় না, কিন্তু কাল্পনিক অংশের চিহ্নের পরিবর্তন হয়।
যদি \(x\) কোনো বাস্তব সংখ্যা হয় তবে একে \(x+i.0\) লেখা যায় এবং সংখ্যাটির অনুবন্ধী সংখ্যা \(x-i.0=x\) হয়। অর্থাৎ কোনো জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ শূন্য (0) হলে তার অনুবন্ধী সংখ্যা ও ঐ সংখ্যাটি একই।
জটিল সমতলে কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এবং তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(\overline{Z}=x-iy\) পাশের চিত্রে দেখানো হলো।

কোনো জটিল সংখ্যা \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\ne{0}\) দ্বারা \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) কে ভাগ করলে তা, \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\) হয়।
এ রাশিটিকে \(A+iB\) আকারে পরিণত করার পদ্ধতি নিম্নরূপঃ
\(\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}\)
\(=\frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}-ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}-i^2y_{1}y_{2}}{x_{2}^2-i^2y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^2+y_{2}^2}\)
\(=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^2+y_{2}^2}\) যা \(A+iB\) আকারের।
অর্থাৎ, ভাগ আকৃতির জটিল রাশিকে, রাশিটির হরের অনুবন্ধী সংখ্যা দ্বারা লব ও হরকে গুণ করে সরল করলে অপর একটি জটিল রাশি আকারে পরিণত করা যায়।
উদাহরণঃ \(\frac{-1+2i}{3+4i}\) কে \(A+iB\) আকারে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
\(\frac{-1+2i}{3+4i}\)
\(=\frac{(-1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((3-4i)\) গুণ করে।

\(=\frac{-3+4i+6i-8i^2}{3^2-4^2i^2}\)
\(=\frac{-3+10i+8}{9+16}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{5+10i}{25}\)
\(=\frac{5}{25}+\frac{10}{25}i\)
\(=\frac{1}{5}+i\frac{2}{5}\)
\(A+iB\) আকারে প্রকাশ করঃ
\((1)\) \((a+ib)(c+id)\)
\((2)\) \(\frac{(1+i)^3}{4+3i}\)
\((3)\) \(\frac{5+2i}{4-3i}\)
Click Me to Solve

কোনো জটিল সংখ্যা \(x+iy=0\) হবে, যদি \(x=0\) এবং \(y=0\) হয়।
প্রমাণঃ
\(x+iy=0,\) যেখানে \(x,y\in{\mathbb{R}}\)
\(\therefore x=-iy\)
\(\Rightarrow x^2=i^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2=-y^2\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=0\)
\(\therefore x=0, \ y=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

দুইটি জটিল সংখ্যা \(x_{1}+iy_{2}\) এবং \(x_{1}+iy_{2}\) সমান হবে যদি প্রথমটির বাস্তব অংশ \((x_{1})=\) দ্বিতীয়টির বাস্তব অংশ \(x_{2}\) এবং প্রথমটির কাল্পনিক অংশ \((y_{1})=\) দ্বিতীয়টির কাল্পনিক অংশ \(y_{2}\) হয়।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যার অনুবন্ধীর অনুবন্ধী ঐ জটিল সংখ্যাই অর্থাৎ \(\overline{\overline{Z}}=Z\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=\overline{x-iy}\)
\(\Rightarrow \overline{\overline{Z}}=x+iy\) ➜Note \(\because \overline{x-iy}=x+iy\)

\(\therefore \overline{\overline{Z}}=Z\)
দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর সমষ্টি \(Z+\overline{Z}\) এবং গুণফল \(Z\overline{Z}\) উভয়ে বাস্তব সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(Z=x+iy\) তাহলে, \(\overline{Z}=x-iy\)
এখন, \(Z+\overline{Z}\)
\(=x+iy+x-iy\)
\(=2x\) যা বাস্তব।
আবার,
\(Z\overline{Z}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\) যা বাস্তব। ➜Note \(\because i^2=-1\)

দুইটি অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \(Z\) এবং \(\overline{Z}\) এর বিয়োগফল \(Z-\overline{Z}\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা এবং ভাগফল \(\frac{Z}{\overline{Z}}\) একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
অনুবন্ধী নয় এরূপ দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) এর যোগফল \((Z_{1}+Z_{2}),\) বিয়োগফল \((Z_{1}-Z_{2}),\) গুণফল \((Z_{1}Z_{2})\) এবং ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রতিটিই এক একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর মূলও একটি জটিল সংখ্যা।
প্রমাণঃ
ধরি, \(\sqrt[n]{a+ib}=x\)
তাহলে, \(a+ib=x^n\)
যদি \(x\) বাস্তব সংখ্যা হয় তবে \(x^n\) ও একটি বাস্তব সংখ্যা। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যা \((a+ib)\) একটি বাস্তব সংখ্যা \((x^n)\) এর সমান হয়ে যায়, যা অসম্ভব। অতএব, \(x\) একটি জটিল সংখ্যা হবে। অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যার \(n-\)তম (যে কোনো সসীমতম) মূলও জটিল সংখ্যা হবে। সুতরাং একটি জটিল সংখ্যার মূল একটি জটিল সংখ্যা।
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) এর শক্তির সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে শক্তিবিশিষ্ট জটিল সংখ্যাটিও একটি জটিল সংখ্যা।
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z=x+iy\) হলে
(a) \(|Z|=|\overline{Z}|=|-Z|=|-\overline{Z}|\)
(b) \(|Z|^2=|\overline{Z}|^2=|-Z|^2=|-\overline{Z}|^2=Z\overline{Z}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(|Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+|Z_{3}|}\)
\(|Z_{1}+Z_{2}+....+Z_{n}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|+....+|Z_{n}|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}-Z_{2}|\ge{|Z_{1}|-|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
Click Me to Proof
কোনো জটিল সংখ্যা \(Z\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি, \(Z\times\frac{1}{Z}=1\)
\(\Rightarrow \left|Z\times\frac{1}{Z}\right|=|1|\)
\(\Rightarrow |Z|\times\left|\frac{1}{Z}\right|=1\) ➜Note \(\because |ab|=|a||b|\)

\(\therefore \left|\frac{1}{Z}\right|=\frac{1}{|Z|}\)
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা এবং \(Z_{2}\ne{0}\) হলে, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg(Z_{1}Z_{2})=arg(Z_{1})+arg(Z_{2})\)
Click Me to Proof
\(Z_{1}\) এবং \(Z_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, \(arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=arg(Z_{1})-arg(Z_{2})\)
Click Me to Proof

ধরি, জটিল সমতলে \(Z_{1}=x_{1}+iy_{1}\) এবং \(Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দু দ্বারা সূচিত। । \(OPRQ\) একটি সামান্তরিক অঙ্কন করি, যেখানে \(OP\) এবং \(OQ\) সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
\(P, \ Q\) ও \(R\) বিন্দু হতে \(x\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(PA, \ QB\) ও \(RC\) লম্ব অঙ্কন করি। তাহলে \(A\) ও \(B\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, 0)\) ও \((x_{2}, 0)\)।
এখানে, \(OC=OX\) এর উপর, \(OR\) এর লম্ব অভিক্ষেপ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(PR \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ।
\(=OX\) এর উপর, \((OP \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})+(OQ \ \text{এর লম্ব অভিক্ষেপ})\) ➜Note \(\because OQ\parallel{PR}\)
এবং \(OQ=PR\)

\(=OA+OB\)
\(=x_{1}+x_{2}\)
আবার, \(OY\) এর উপর লম্ব অভিক্ষেপ অঙ্কন করে এভাবে দেখানো যায়, \(RC=y_{1}+y_{2}\)
সুতরাং, \(R\) বিন্দুর ভুজ \(x_{1}+x_{2}\) এবং কোটি \(y_{1}+y_{2}\)
অর্থাৎ, \(R\) বিন্দুর স্থানাংক \((x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2})\)
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\)
\(=x_{1}+x_{2}+iy_{1}+iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}+Z_{2}\) ➜Note \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সুতরাং, জটিল সমতলে \(R\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত জটিল সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল প্রকাশ করে।
অনুরূপভাবে, \(OQ^{\prime}SP\) সামান্তরিক অঙ্কন করি যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে \(OQ^{\prime}\) ও \(OP\)
এখানে, \(-Z_{2}=-x_{2}-iy_{2}\) জটিল সংখ্যাটি \(Q^{\prime}\) বিন্দু সূচিত করে। পূর্বের ন্যায় অগ্রসর হয়ে দেখানো যায় যে, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটিই \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে এবং \(S\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2})\)।
বিন্দুটির জটিল আকার \((x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})\)
\(=x_{1}-x_{2}+iy_{1}-iy_{2}\)
\(=(x_{1}+iy_{1})-(x_{2}+iy_{2})\)
\(=Z_{1}-Z_{2}\) ➜Note \(\because x_{1}+iy_{1}=Z_{1}, \ Z_{2}=x_{2}+iy_{2}\)

সতরাং, জটিল সমতলে \(S\) বিন্দুটি, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা সূচিত সংখ্যাদ্বয়ের বিয়োগফল প্রকাশ করে।
চিত্র হতে,
\(OR\le{OP+PR}\)
\(\Rightarrow OR\le{OP+OQ}\)
\(\therefore |Z_{1}+Z_{2}|\le{|Z_{1}|+|Z_{2}|}\)

ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল,
\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\times{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i(\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}})-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}\}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=r_{1}r_{2}\{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})\}\)
\(=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)

\(\therefore Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(|Z_{1}Z_{2}|=|r_{1}r_{2}\{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}\}|\)
\(=r_{1}r_{2}|\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}|\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=r_{1}r_{2}\sqrt{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=r_{1}r_{2}\)
\(\therefore |Z_{1}Z_{2}|=r_{1}r_{2}\)
\(\Rightarrow |Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
আবার,
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=\tan^{-1}{\left\{\frac{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{r_{1}r_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}+\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}+\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\therefore Arg(Z_{1}Z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(|Z_{1}Z_{2}|=|Z_{1}||Z_{2}|\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের গুণফলের সমান।
\(Arg(Z_{1}Z_{2})=Arg(Z_{1})+Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের যোগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর গুণফল \(Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=r_{1}r_{2}=|Z_{1}||Z_{2}|=OP.OQ\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{1}+\theta_{2}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{POA}\) এর সমান \(\angle{QOR}\) অঙ্কন করি যেন \(OR=\frac{OP.OQ}{OA}\) হয়।
তাহলে, \(R\) বিন্দুই \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) জটিল সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল প্রকাশ করে।
\(P, A\) এবং \(R, Q\) যোগ করি। উৎপন্ন ত্রিভুজদ্বয় \(POA\) এবং \(ROQ\) হতে \(\angle{POA}=\angle{ROQ}\) এবং \(\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{OA}\) পাওয়া যায়। সুতরাং \(POA\) এবং \(ROQ\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
অতএব আরগাঁ চিত্রে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের জন্য \(OX\) হতে নির্বাচিত স্কেলে \(OA=1\) অংশ কেটে নিয়ে অঙ্কিত \(POA\) ত্রিভুজের সদৃশ \(ROQ\) ত্রিভুজ আঁকতে হবে, যেখানে \(OQ\) এর যে পাশে \(OP\) অবস্থিত তার বিপরীত পাশে \(OR\) অবস্থিত। তাহলে \(P(Z_{1})\) ও \(Q(Z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের গুণফল \(R\) দ্বারা প্রকাশিত হবে।

ধরি, দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)
তাহলে সংখ্যাদ্বয়ের ভাগফল,
\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{{r_{2}}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}{(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})(\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})}\) ➜Note লব ও হরের সাথে \((\cos{\theta_{2}}-i\sin{\theta_{2}})\) গুণ করে।

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i^2\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}-i^2\sin^2{\theta_{2}}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-i\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}}{\cos^2{\theta_{2}}+\sin^2{\theta_{2}}}\) ➜Note \(\because i^2=-1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\frac{(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}+\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})+i(\sin{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}})}{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\) ➜Note \(\because \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}\)
এবং \(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)

\(\therefore \frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\)
এটি অপর একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে।
এখন, \(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\times\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}\right|\)
\(=\left|\frac{r_{1}}{r_{2}}\right|\times|\{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}\}|\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{\cos^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}+\sin^2{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\sqrt{1}\) ➜Note \(\because \cos^2{A}+\sin^2{A}=1\)

\(=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\therefore \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{r_{1}}{r_{2}}\)
\(\Rightarrow \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
আবার,
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{r_{1}}{r_{2}}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\frac{r_{1}}{r_{2}}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}}{\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{(\theta_{1}-\theta_{2})}}\)
\(=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\Rightarrow Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
সুতরাং এখানে দুইটি বিষয় স্পষ্ট
\(\left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের মডুলাস তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডুলাসের ভাগফলের সমান।
\(Arg\left(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\right)=Arg(Z_{1})-Arg(Z_{2})\)
অর্থাৎ দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের বিয়োগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
ধরি, আরগাঁ চিত্রে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(Z_{1}=r_{1}(\cos{\theta_{1}}+i\sin{\theta_{1}})\) এবং \(Z_{2}=r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=Z\) দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু \(R.\)
তাহলে, \(OP=r_{1}=|Z_{1}|\)
\(OQ=r_{2}=|Z_{2}|\)
\(OR=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}=\frac{OP}{OQ}\)
\(\angle{POX}=\theta_{1}, \ \angle{QOX}=\theta_{2}, \ \angle{ROX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(OX\) বরাবর, \(OA=1\) বিবেচনা করি এবং \(OP\) এর যে পাশে \(OQ\) আছে, তার বিপরীত পাশে \(\angle{QOX}\) এর সমান \(\angle{POR}\) অঙ্কন করি যেন \(\angle{OQP}\) এর সমান \(\angle{OAR}\) হয়।
তাহলে চিত্রানুযায়ী, \(\angle{QOX}=\theta_{2}=\angle{POR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}+\angle{POX}=\angle{POX}+\angle{XOR}\)
\(\Rightarrow \angle{QOP}=\angle{XOR}=\angle{AOR}\)
আবার, \(\angle{OQP}=\angle{OAR}\)
সুতরাং, \(OPQ\) এবং \(OAR\) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে, \(\frac{OR}{OP}=\frac{AR}{PQ}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{OA}{OQ}\)
\(\Rightarrow \frac{OR}{OP}=\frac{1}{OQ}\) ➜Note \(\because OA=1\)

\(\therefore OR=\frac{OP}{OQ}\)
আবার, \(\angle{XOR}=\angle{POR}-\angle{POX}=\theta_{2}-\theta_{1}\)
অতএব, \(R\) বিন্দুই দুইটি জটিল সংখ্যা \(Z_{1}\) ও \(Z_{2}\) এর ভাগফল \(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\) প্রকাশ করে।
\(Question.\) \(Z_{1}=2+3i, \ Z_{2}=2-2i\) হলে, জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখাওঃ
\((a) \ Z_{1}+Z_{2}\)
\((b) \ Z_{2}-Z_{1}\)
\((c) \ Z_{1}Z_{2}\)
\((d) \ \frac{Z_{1}}{Z_{2}}\)

\(|Z-k_{1}|=k_{2}\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((k_{1}, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k_{2}\)
\(|Z|=k\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=k\)
\(|aZ+k_{1}|=|aZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(|aZ+k_{1}|=|bZ+k_{2}|\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Z\overline{Z}=a^2\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\)
\(|Z+k|=x\) বা, \(|Z+k|=y\) সমীকরণটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(|Z+k|+|Z-k|=r\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Question.1\) \(Z_{1}, \ Z_{2}, \ Z_{3}\) ও \(Z_{4}\) জটিল সংখ্যা হলে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \left|\frac{Z_{1}}{Z_{2}+Z_{3}}\right|=\frac{|Z_{1}|}{||Z_{2}|-|Z_{3}||}\) যখন \(|Z_{2}|\ne{|Z_{3}|}\)
\((b) \ \left|\frac{Z_{1}+Z_{2}}{Z_{3}+Z_{4}}\right|=\frac{|Z_{1}|+|Z_{2}|}{||Z_{3}|-|Z_{4}||}\) যখন \(|Z_{3}|\ne{|Z_{4}|}\)
উদাহরণের যাহায্যে \((1)\) ও \((2)\) এর সত্যতা যাচাই কর।
\((2) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z-2|=3\) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। এটি কিসের সমীকরণ নির্দেশ করে?
\((3) \ Z=x+iy\) হলে \(|Z+2i|\gt{3}\) দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অঞ্চল চিত্রের সাহায্যে দেখাও।

\(a+ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}}, \ b\gt{0})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a+ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}+i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)
Click Me to Proof
আবার, \(b\lt{0}\) হলে,
\(a-ib, \ (a,b\in{\mathbb{R}})\) এর বর্গমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt{a-ib}=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)^{\frac{1}{2}}-i\left(\sqrt{a^2+b^2}-a\right)^{\frac{1}{2}}\right\}}\)

\(1\) এর ঘনমূলঃ
অর্থাৎ, \(\sqrt[3]{1}=1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
একের তিনটি ঘনমূল \(1, \ \frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)। এদের মধ্যে \(1\) বাস্তব এবং অপর দুইটি \(\left\{\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right), \ \frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\right\}\) জটিল।
বিষেশ দ্রষ্টব্যঃ যে কোনো বাস্তব সংখ্যা \(a^3\) এর তিনটি ঘনমূল হচ্ছে \(a, \ a\omega, \ a\omega^2.\)

একের জটিল ঘনমূল দুইটির গুণফল \(1\) অর্থাৎ একটি অপরটির বিপরীত।
অতএব, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\frac{1}{\omega}=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \frac{1}{\omega}\)।
আবার, \(\omega\times\omega^3=1\) ➜Note যেহেতু জটিল মূল দ্বয়ের গুণফল \(1\)।

\(\therefore \omega^3=1\)।
একের জটিল ঘনমূল দুইটি একটি অপরটির বর্গ।
অর্থাৎ, \(\omega=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{-3}\right)\) হলে,
\(\omega^2=\frac{1}{2}\left(-1-\sqrt{-3}\right)\)
Click Me to Proof
তাহলে একের ঘনমূল তিনটি \(1, \ \omega, \ \omega^2\)।
একের ঘনমূল তিনটির যোগফল শূন্য \((0)\)।
অর্থাৎ, \(\omega^2+\omega+1=0\)
Click Me to Proof
দ্রষ্টব্যঃ
\(\omega^3=1\) \(\omega^2+\omega+1=0\) \(\omega^{n+2}+\omega^{n+1}+1=0\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)

\(\omega\) একের জটিল ঘনমূলের একটি হলে,
অপর জটিল ঘনমূলটি হয় \(\omega^2\)
সে ক্ষেত্রে \(\omega^3=1\)
তাহলে, \(\omega^4=\omega^3\times\omega=1\times\omega=\omega\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^5=\omega^3\times\omega^2=1\times\omega^2=\omega^2\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^6=(\omega^3)^2=1^2=1\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

অতএব, \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\(\omega^{3n}=(\omega^3)^n=1^n=1\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+1}=\omega^{3n}\times\omega=(\omega^3)^n\times\omega=1^n\times\omega=\omega\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

\(\omega^{3n+2}=\omega^{3n}\times\omega^2=(\omega^3)^n\times\omega^2=1^n\times\omega^2=\omega^2\) ➜Note \(\because \omega^3=1\)

অর্থাৎ, \(\omega^{n}=1, \ \omega, \ \omega^2\) হবে যদি \(n\) কে \(3\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে \(0, \ 1, \ 2\) হয়।