এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- মূলদ ভগ্নাংশ (Rational fractions)
- মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ (Integration of Rational fractions)
- হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত কিন্তু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই (Denominator factors are monotonic but have no repeats)
- অভিজ্ঞতালদ্ধ পদ্ধতি (Cover-up Method)
- হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত এবং পুনরাবৃত্তি আছে (Denominator factors are monotonic and have repeats)
- হরের উৎপাদকসমূহ দ্বিঘাত এবং জটিল (Denominator factors are quadratic and complex)
- লবের ঘাত, হরের ঘাতের সমান (The powers of both the numerator and denominator are the same)
- লবের ঘাত, হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর (The power of the numerator is greater than the power of the denominator)
- লক্ষণীয় এবং স্মরণীয় তত্ত্বসমুহ (Noticeable and memorable theory)
- অধ্যায় \(x.F\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(x.F\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.F\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.F\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.F\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
মূলদ ভগ্নাংশ
Rational fractions
মূলদ ভগ্নাংশঃ একটি বহুপদীকে হর এবং অপর একটি বহুপদীকে লব নিয়ে গঠিত ভগ্নাংশকে মূলদ ভগ্নাংশ বলে।
যেমনঃ \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) অথবা, \(\frac{ax^2+bx+c}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) অথবা, \(\frac{2x+3}{x(x-1)(x+1)(x-3)}\) একটি মূলদ ভগ্নাংশ।
যেমনঃ \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) অথবা, \(\frac{ax^2+bx+c}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) অথবা, \(\frac{2x+3}{x(x-1)(x+1)(x-3)}\) একটি মূলদ ভগ্নাংশ।
মূলদ ভগ্নাংশের যোগজীকরণ
Integration of Rational fractions
একটি বহুপদীকে হর এবং অপর একটি বহুপদীকে লব নিয়ে যে ভগ্নাংশ গঠিত তাই মূলদ ভগ্নাংশ। কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজ নির্ণয় করতে হলে প্রথমে তাকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক অংশের জন্য পৃথক যোজিত মান নির্ণয় করতে হয়। যদি কোনো যোগজ \(\int{\frac{\phi(x)}{\psi(x)}dx}\) আকারের থাকে ও আনুপাতিক ফাংশন \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) এর হরের ঘাত লবের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয় এবং \( \psi(x)\) কে বিভিন্ন উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। তবে \(\frac{\phi(x)}{\psi(x)}\) কে আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করার পর যোগজীকরণ করতে হয়।
যদি লবের ঘাত হরের ঘাতের সমান হয় অথবা হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয়, তবে সাধারণ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে \(\phi(x)\) কে \(\psi(x)\) দ্বারা এমনভাবে ভাগ করতে হবে, যেন অবশিষ্টের লবের ঘাত, হর \(\psi(x)\) এর ঘাত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়।
যদি লবের ঘাত হরের ঘাতের সমান হয় অথবা হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয়, তবে সাধারণ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে \(\phi(x)\) কে \(\psi(x)\) দ্বারা এমনভাবে ভাগ করতে হবে, যেন অবশিষ্টের লবের ঘাত, হর \(\psi(x)\) এর ঘাত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়।
হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত কিন্তু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই
Denominator factors are monotonic but have no repeats
যদি হরের উৎপাদকসমূহ বাস্তব এবং একঘাত হয় কিন্তু কোনোটিরই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে প্রত্যেক \((ax+b)\) একঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}\) হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{2x}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। অভিজ্ঞতালদ্ধ পদ্ধতি
Cover-up Method
এই পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত এবং পুনরাবৃত্তি আছে
Denominator factors are monotonic and have repeats
যদি হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত এবং পুনরাবৃত্তি আকারের হয়, তবে অভিজ্ঞতালদ্ধ পদ্ধতি সমাধান করা যায়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। হরের উৎপাদকসমূহ দ্বিঘাত এবং জটিল
Denominator factors are quadratic and complex
যদি হরের উৎপাদকসমূহ দ্বিঘাত এবং জটিল আকারের হয়, তবে নিম্নের উদাহরণের মতো আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয় করতে হবে।
যেমনঃ
\(\int{\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। লবের ঘাত, হরের ঘাতের সমান
The powers of both the numerator and denominator are the same
যদি লবের ঘাত, হরের ঘাতের সমান হয় ( অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ), তাহলে প্রথমে ভাগ করে অবশিষ্টকে প্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করে অতঃপর আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। লবের ঘাত, হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর
The power of the numerator is greater than the power of the denominator
যদি লবের ঘাত, হরের ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর হয় ( অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ), তাহলে প্রথমে ভাগ করে অবশিষ্টকে প্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করে অতঃপর আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। লক্ষণীয় এবং স্মরণীয় তত্ত্বসমুহ
Noticeable and memorable theory
যদি হরের উৎপাদকসমূহ বাস্তব এবং একঘাত হয় কিন্তু কোনোটিরই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে প্রত্যেক \((ax+b)\) একঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}\) হয়।
প্রত্যেক \((ax+b)^n\) উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}+\frac{C}{(ax+b)^3}+ ...\) হয়।
প্রত্যেক \((ax^2+bx+c)\) দ্বিঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\) হয়।
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)(x+c)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^2}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^3}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}+\frac{D}{(x+b)^3}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x^2+b)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b}\)
প্রত্যেক \((ax+b)^n\) উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}+\frac{C}{(ax+b)^3}+ ...\) হয়।
প্রত্যেক \((ax^2+bx+c)\) দ্বিঘাত উৎপাদকের জন্য প্রতিসঙ্গী আংশিক ভগ্নাংশ \(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\) হয়।
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)(x+c)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^2}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x+b)^3}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{(x+b)^2}+\frac{D}{(x+b)^3}\)
\(\frac{f(x)}{(x+a)(x^2+b)}\equiv \frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b}\)
×
\(\int{\frac{2x}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{2x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜ \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.3=A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 6=A.1+0\)
\(\Rightarrow 6=A\)
\(\therefore A=6\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}+\frac{-4}{x-2}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\right)dx}\)
\(=6\int{\frac{1}{x-3}dx}-4\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=6\ln{\left|x-3\right|}-4\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\int{\frac{2x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜ \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.3=A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 6=A.1+0\)
\(\Rightarrow 6=A\)
\(\therefore A=6\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}+\frac{-4}{x-2}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\right)dx}\)
\(=6\int{\frac{1}{x-3}dx}-4\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=6\ln{\left|x-3\right|}-4\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
×
\(\int{\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2.1-1}{(x-1)(1-2)(1-3)}+\frac{2.2-1}{(2-1)(x-2)(2-3)}+\frac{2.3-1}{(3-1)(3-2)(x-3)}\) ➜ এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\), \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2-1}{(x-1)(-1)(-2)}+\frac{4-1}{(1)(x-2)(-1)}+\frac{6-1}{(2)(1)(x-3)}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-3\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x-3}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-3\ln{|x-2|}+\frac{5}{2}\ln{|x-3|}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2.1-1}{(x-1)(1-2)(1-3)}+\frac{2.2-1}{(2-1)(x-2)(2-3)}+\frac{2.3-1}{(3-1)(3-2)(x-3)}\) ➜ এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\), \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2-1}{(x-1)(-1)(-2)}+\frac{4-1}{(1)(x-2)(-1)}+\frac{6-1}{(2)(1)(x-3)}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-3\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x-3}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-3\ln{|x-2|}+\frac{5}{2}\ln{|x-3|}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
×
\(\int{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2(-1)-1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{2.2-1}{(2+1)(x-2)}\right\}\) ➜ এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-2-1}{(x+1)(-3)}+\frac{4-1}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-3}{(x+1)(-3)}+\frac{3}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{1}{(2+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\) ➜ এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x+1)(-3)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\int{\frac{1}{(x-2)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x-2|}-\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{(x-2)}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2(-1)-1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{2.2-1}{(2+1)(x-2)}\right\}\) ➜ এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-2-1}{(x+1)(-3)}+\frac{4-1}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-3}{(x+1)(-3)}+\frac{3}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{1}{(2+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\) ➜ এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x+1)(-3)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\int{\frac{1}{(x-2)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x-2|}-\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{(x-2)}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
×
\(\int{\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
ধরি, \(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜ \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.1=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 2=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 2=5A\)
\(\Rightarrow 5A=2\)
\(\therefore A=\frac{2}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜ অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{2}{5}\) ➜ \(\because A=\frac{2}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{2}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{8}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{4}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
ধরি, \(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜ \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.1=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 2=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 2=5A\)
\(\Rightarrow 5A=2\)
\(\therefore A=\frac{2}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜ অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{2}{5}\) ➜ \(\because A=\frac{2}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{2}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{8}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{4}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
×
\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}=\frac{(x^2-5x+6)+8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=\frac{x^2-5x+6}{x^2-5x+6}+\frac{8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x^2-3x-2+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x(x-3)-2(x-3)}\)
\(=1+\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\)
\(=1+\frac{8.3-10}{(x-3)(3-2)}+\frac{8.2-10}{(2-3)(x-2)}\) ➜ এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=1+\frac{24-10}{(x-3).1}+\frac{16-10}{(-1)(x-2)}\)
\(=1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{14}{x-3}dx}-\int{\frac{6}{x-2}dx}\)
\(=\int{dx}+14\int{\frac{1}{x-3}dx}-6\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=x+14\ln{|x-3|}-6\ln{|x-2|}+c\) ➜\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}=\frac{(x^2-5x+6)+8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=\frac{x^2-5x+6}{x^2-5x+6}+\frac{8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x^2-3x-2+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x(x-3)-2(x-3)}\)
\(=1+\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\)
\(=1+\frac{8.3-10}{(x-3)(3-2)}+\frac{8.2-10}{(2-3)(x-2)}\) ➜ এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=1+\frac{24-10}{(x-3).1}+\frac{16-10}{(-1)(x-2)}\)
\(=1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{14}{x-3}dx}-\int{\frac{6}{x-2}dx}\)
\(=\int{dx}+14\int{\frac{1}{x-3}dx}-6\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=x+14\ln{|x-3|}-6\ln{|x-2|}+c\) ➜\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
×
\(\int{\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(\int{\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}=\frac{x(x^2-5x+4)+5(x^2-5x+4)+21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=\frac{x(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{5(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x^2-4x-x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x(x-4)-1(x-4)}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{(x-4)(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{21.4-24}{(x-4)(4-1)}+\frac{21.1-24}{(1-4)(x-1)}\) ➜ এখানে \((x-4)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=4\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=x+5+\frac{84-24}{3(x-4)}+\frac{21-24}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{60}{3(x-4)}+\frac{-3}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+\int{\frac{20}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+20\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{x^2}{2}+5x+20\ln{|x-4|}+\ln{|x-1|}+c\) ➜\(\because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}, \int{dx}=x\), \(\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
এখন,
\(\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}=\frac{x(x^2-5x+4)+5(x^2-5x+4)+21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=\frac{x(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{5(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x^2-4x-x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x(x-4)-1(x-4)}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{(x-4)(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{21.4-24}{(x-4)(4-1)}+\frac{21.1-24}{(1-4)(x-1)}\) ➜ এখানে \((x-4)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=4\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=x+5+\frac{84-24}{3(x-4)}+\frac{21-24}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{60}{3(x-4)}+\frac{-3}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+\int{\frac{20}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+20\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{x^2}{2}+5x+20\ln{|x-4|}+\ln{|x-1|}+c\) ➜\(\because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}, \int{dx}=x\), \(\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002