পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ
Successive differentiation
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ
Successive Differentiation
\(x\) এর সাপেক্ষে \(y=f(x)\) এর প্রথম অন্তরজকে \(\frac{dy}{dx}, \ f^{\prime}(x), \ y_{1}\) বা \(y^{\prime}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যদি প্রথম অন্তরজও সাধারণত \(x\) এর একটি ফাংশন হয়। তবে \(x\) এর এই নতুন ফাংশনের \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজকে \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজ বলা হয়। \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজকে \(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\) বা সংক্ষেপে \(\frac{d^2y}{dx^2}, \ f^{\prime\prime}(x), \ y_{2}\) বা \(y^{\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অনুরূপভাবে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর অন্তরজকে \(f(x)\) এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয় এবং একে \(\frac{d^3y}{dx^3}, \ f^{\prime\prime\prime}(x), \ y_{3}\) বা \(y^{\prime\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এরূপভাবে \(f(x)\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(\frac{d^ny}{dx^n}, \ f^{n}(x), \ y_{n}\) বা \(y^{n}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এভাবে কোনো ফাংশনকে ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করার প্রক্রিয়াকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলা হয়।
অন্তরজের প্রতীক
Symbol of Differentiation
\(\frac{dy}{dx}=y_{1}, \ \frac{dy_{1}}{dx}=y_{2}, \ \frac{dy_{2}}{dx}=y_{3}, \ ...\frac{dy_{n-1}}{dx}=y_{n}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=y_{2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=y_{3}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)=y_{4}\)
\(............\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=y_{n}\)
ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ
The \(n^{th}\) derivative of the function
\(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)

\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)

\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)

\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)

\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)

\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)

\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)

\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)

\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)

\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)

\(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

ম্যাকলরিনের উপপাদ্য
Maclurin's theorem
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(0)+ .......+\frac{x^n}{n!}f^{n}(0)+ ...\infty\)

×
\(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=x^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=n\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=n(n-1)x^{n-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=n(n-1)\frac{d}{dx}(x^{n-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=n(n-1)(n-2)\frac{d}{dx}(x^{n-3})\)
...............
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{n-n}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.x^{0}\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1.1\) ➜ \(\because x^{0}=1\)
\(\Rightarrow y_{n}=n(n-1)(n-2)........3.2.1\)
\(\therefore y_{n}=n!\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because n(n-1)(n-2)........3.2.1=n!\)
×
\(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=e^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=e^x\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=e^x\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=e^x\)
×
\(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=ae^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{2}=ae^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2e^{ax}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3e^{ax}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^{n}e^{ax}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^{n}e^{ax}\)
×
\(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\ln{a}.a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\ln{a}\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\ln{a}.a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(\ln{a})^2a^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(\ln{a})^2\frac{d}{dx}(a^{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^2a^{x}\ln{a}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(\ln{a})^3a^{x}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=(\ln{a})^na^{x}\)
×
\(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{4})=(-1)^3.1.2.3.x^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)x^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x)^{n}}\)
×
\(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(x)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{-1})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x)^{-1-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)x^{-2-1}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.x^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}(x^{-3})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2.(-3)x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^3.1.2.3.x^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........nx^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x)^{n+1}}\)
×
\(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(x+a)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+a)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+a}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}.1\)
\(\Rightarrow y_{4}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(x+a)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(x+a)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)
×
\(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x+a}\)
\(\Rightarrow y=(x+a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x+a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x+a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x+a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x+a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x+a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x+a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x+a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x+a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)
×
\(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{x-a}\)
\(\Rightarrow y=(x-a)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-1}\}\) ➜\(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-1(x+a)^{-1-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}.1\)
\(\Rightarrow y_{1}=(-1)^1.1(x-a)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^1.1.(-2)(x-a)^{-2-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-1)^2.1.2.(x-a)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x-a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^2.1.2.(-3)(x-a)^{-3-1}\frac{d}{dx}(x-a)\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=(-1)^3.1.2.3.(x-a)^{-(3+1)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}.1.2.3 .........n(x-a)^{-(n+1)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=(-1)^{n}n!\frac{1}{(x-a)^{n+1}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n=n!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)
×
\(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{xa}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(xa)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa)^{n}}\)
×
\(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{xa+b}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a(xa+b)^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-1}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)(xa+b)^{-1-1}\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a(-1)^1.1(xa+b)^{-2}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2(-1)^1.1(xa+b)^{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2(-1)^1.1\frac{d}{dx}\{(xa+b)^{-2}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^1.1.(-2)(xa+b)^{-2-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3(-1)^2.1.2.(xa+b)^{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=a^3(-1)^2.1.2\frac{d}{dx}\{(x+a)^{-3}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^2.1.2.(-3)(xa+b)^{-3-1}.\frac{d}{dx}(xa+b)\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^3(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}.a\)
\(\Rightarrow y_{4}=a^4(-1)^3.1.2.3.(xa+b)^{-4}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}.1.2.3 .........(n-1)(xa+b)^{-n}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\Rightarrow y_{n}=a^n(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{(xa+b)^{n}}\) ➜\(\because 1.2.3 .........n-1=(n-1)!\)
\(\therefore y_{n}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!a^n}{(xa+b)^{n}}\)
×
\(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
×
\(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
×
\(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because \cos{A}=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\sin{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
×
\(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\sin{\left(\frac{\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{2}=\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+x\right)}.1\)
\(\Rightarrow y_{3}=\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)
×
\(y=\cos{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}\frac{d}{dx}(ax)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\left(\frac{\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}\frac{d}{dx}\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\left(\frac{2\pi}{2}+ax\right)}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\left(\frac{3\pi}{2}+ax\right)}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
×
\(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(ax+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(ax+b)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}\frac{d}{dx}(ax+b)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(ax+b)}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=a\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\) ➜ \(\because -\sin{A}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+A\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=a\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-a\sin{\{\frac{\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=a^2\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=a^2\frac{d}{dx}\{\cos{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}\frac{d}{dx}\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}\)
\(\Rightarrow y_{3}=-a^2\sin{\{\frac{2\pi}{2}+(ax+b)\}}.a\)
\(\Rightarrow y_{3}=a^3\cos{\{\frac{3\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
\(\therefore y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)
×
\(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx)}\}+\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.b+e^{ax}\sin{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.a+e^{ax}\cos{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx)}\cos{\theta}+\cos{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+\theta)}\}+r\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx)}\}+\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}\frac{d}{dx}(bx)+e^{ax}\cos{(bx)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx)}.b+e^{ax}\cos{(bx)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.a-e^{ax}\sin{(bx)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx)}\cos{\theta}-\sin{(bx)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+\theta)}\}+r\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{(bx+c)})+\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.b+e^{ax}\sin{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.a+e^{ax}\cos{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\cos{\theta}+e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\sin{(bx+c)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\sin{(bx+c+\theta)}\}+r\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.a+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\sin{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}+\cos{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\sin{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\sin{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)
Proof:
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{(bx+c)})+\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}\frac{d}{dx}(bx+c)+e^{ax}\cos{(bx+c)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b+e^{ax}\cos{(bx+c)}.a\)
\(\therefore y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.a-e^{ax}\sin{(bx+c)}.b\)
ধরি,
\(a=r\cos{\theta} .....(1)\)
\(b=r\sin{\theta} ......(2)\)
\(\therefore a^2+b^2=r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2.1\) ➜ \(\because \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=a^2+b^2\)
\(\therefore r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\)
আবার,
\(\frac{b}{a}=\frac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}\) ➜ \((2)\div{(1)}\)এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\tan{\theta}\) ➜ \(\because \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
এখন,
\(y_{1}=e^{ax}\cos{(bx+c)}.r\cos{\theta}-e^{ax}\sin{(bx+c)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\{\cos{(bx+c)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{1}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=r\frac{d}{dx}\{e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=re^{ax}\frac{d}{dx}\{\cos{(bx+c+\theta)}\}+r\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(bx+c+\theta)+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((bx+c)\) এবং \((ax)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b+re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a\)
\(\therefore y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.a-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.b\)
আবার,
\(y_{2}=re^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}.r\cos{\theta}-re^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}.r\sin{\theta}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।।
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-r^2e^{ax}\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\{\cos{(bx+c+\theta)}\cos{\theta}-\sin{(bx+c+\theta)}\sin{\theta}\}\)
\(\Rightarrow y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+\theta+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}=\cos{(A+B)}\)
\(\therefore y_{2}=r^2e^{ax}\cos{(bx+c+2\theta)}\)
\(...............\)
\(...............\)
\(...............\)
\(\Rightarrow y_{n}=r^ne^{ax}\cos{(bx+c+n\theta)}\)
\(\therefore y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\) যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ➜ \(\because r=(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\)
×
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)
Proof:
মনে করি,
\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+a_{4}x^4+ ..... (1)\)
\((1)\) নং কে পর্যায়ক্রম অন্তরীকরণ করে।
\(f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+4a_{4}x^3+ ..... \)
\(f^{''}(x)=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^2+ ..... \)
\(f^{'''}(x)=6a_{3}+24a_{4}x+ ..... \)
\(...............\)
\(...............\)
\(x=0\) বসালে,
\(f(0)=a_{0}, \ f^{'}(0)=1!a_{1}, \ f^{''}(0)=2!a_{2}\), \( \ f^{'''}(0)=3!a_{3} ..... \ f^{n}(0)=n!a_{n}\)
\(\Rightarrow a_{0}=f(0), \ a_{1}=\frac{1}{1!}f^{'}(0), \ a_{2}=\frac{1}{2!}f^{''}(0)\), \( \ a_{3}=\frac{1}{3!}f^{'''}(0) ..... \ a_{n}=\frac{1}{n!}f^{n}(0)\)
এখন,
\(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3} ..... \ a_{n}\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{'}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ .......+\frac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+ ...\infty\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.(1)\) যদি \(y=a\sin{x}+b\cos{x}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\)
\(Ex.(2)\) \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
\(Ex.(3)\) \(y=(p+qx)e^{-2x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0\)
\(Ex.(4)\) \(y=\sin{(\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\tan{x}+y\cos^2{x}=0\)
বঃ ২০১৪,২০০৯; ঢাঃ ২০১৪, ২০০১; কুঃ ২০১৩,২০০৭; সিঃ ২০১১,২০০৬; যঃ২০০৫
\(Ex.(5)\) \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-4y=0\)
\(Ex.(6)\) \(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) অথবা, \(y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৩,২০০৬; কুঃ ২০০৯,২০০৬; যঃ ২০১৪,২০১২,২০০৫; দিঃ ২০১৪,২০১১; চঃ ২০১৩,২০১১;সিঃ ২০১৩,২০১০; মাঃ ২০১৩,২০০৯
\(Ex.(7)\) \(y=\sin{(2\cos^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\) অথবা, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
\(Ex.(8)\) \(y=\sin{(m\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\tan{x}+m^2y\cos^2{x}=0\)
\(Ex.(9)\) \(y=x^3+5x^2+10x+14\) হলে, \(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}\) এবং \(\frac{d^4y}{dx^4}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+10x+10, 6x+10, 6, 0\)
\(Ex.(10)\) \(y=ax\sin{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}-2xy_{1}+(x^2+2)y=0\)
Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

বিকাস/নগদ, 01715651163 নম্বরে টাকা সেন্ট করে টোকেন সংগ্রহ করুনঃ


100 টাকা150 counter
200 টাকা400 counter
300 টাকা600 counter
500 টাকা1000 counter
1000 টাকা2000 counter

Please enter your 9-digit token:



Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry