সম্ভাবনা শব্দটি প্রাত্যহিক জীবনে আমরা সচরাচর ব্যবহার করে থাকি ।“আগামীকাল ঢাকা বিভাগের কয়েকটি স্থানে অন্থায়ী দমকা হাওয়াসহ হালকা বৃষ্টি অথবা ব্জ্রসহ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা আছে। দেশের অন্যত্র আবহাওয়া প্রধানত শুষ্ক থাকতে পারে । “ছেলেটির এবার পাস করার সম্ভাবনা নেই” । আগামী বিশ্বকাপ ক্রিকেট খেলায় ইংল্যাভ দলের বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনা আছে । দৈনদ্দিন জীবনে আমরা এই ধরনের প্রশাসনিক, সামাজিক, অর্থনৈতিক, রাজনৈতিক ইত্যাদি নানা প্রকার সম্ভাবনা সংবলিত মন্তব্য ও ভবিষ্যদ্বাণী শুনতে পাই। প্রতিটি মন্তব্যের বেলায়ই মন্তব্যকারীর মনে সম্ভাবনা সন্বন্ধীয় একটি ধারণা দেখা যায়। পরিসংখ্যানবিদগণ সম্ভাবনার ক্ষেত্রে এই ধারণাশুলিকে সূক্ষ্ণভাবে যাচাই করে সুনির্দিষ্ট সংখ্যাভিত্তিক পরিমাপ ব্যবহার করেন|
সম্ভাবন্যা সবসময়ই পরোজনীয় গাণিতিক তথ্যের ভত্তিতে নির্ণয় করা হয়। জুয়া খেলার আড্ডা থেকেই মূলত সম্ভাবনা তুত্ত্বের সৃষ্টি হয়েছে । ইতালির গণিতবিদ গ্যালিলিও (Galileo) সর্বপ্রথম সম্ভাবনার একটি গাণিতিক পরিমাপ উদ্ভাবন করেন।
সংজ্ঞাঃ কোনো ঘটনা ঘটবে কি ঘটবে না তার নিশ্চয়তার মাত্রা পরিমাপক রাশিকে সম্ভাব্যতা বলা হয়।

পরীক্ষা (Experiment): যদি কোনো একটি কাজ একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় কতকগুলি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ সাপেক্ষে পুনরাবৃত্তি করা যায় তাকে পরীক্ষা বলা হয়। অন্যভাবে বলা যায়, পরীক্ষা হলো কোনো একটি ঘটনা ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্ণয়ের একটি উপায়। তাই শর্তসাপেক্ষে পুনরাবৃত্তি ঘটানো যায় এমন কাজই পরীক্ষা বা পরীক্ষণ।
উদাহরণঃ একটি শ্রোণিতে 80 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্য থেকে পুনঃস্থাপন না করে 5 জনকে নির্বাচিত করে একটি দল গঠন করা হবে । দৈবচয়ন ভিতিতে প্রত্যেকবার একজন করে পাঁচজনকে নির্বাচিত করা একটি পরীক্ষা । আবার, একটি অনপেক্ষ মুদ্রা শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে হেভ বা টেল উপরের দিকে উঠতে পারে । মুদ্রাটিকে বেশ কয়েকবার নিক্ষেপ করে উপরে হেড (Head) কতবার এসেছে বা টেল (Tail) কতবার এসেছে তা নির্ণয় করাও একটি পরীক্ষা।

কোনো পরীক্ষা সম্পাদনের আগে এর সম্ভাব্য সকল কলাফলণুলি জানা থাকে কিন্তু কোন ফলটি ঘটবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না এবং একেকবার একেকটি ফলাফল আসে, তাকে দৈব পরীক্ষা বলা হয়। সুতরাং সম্ভাবনার সাথে যুক্ত সকল পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে ।
উদাহরণঃ একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় সম্ভাব্য ফলগুলি হবে \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5\) ও \(6\) বিন্দুবিশিষ্ট সংখ্যা । কিন্তু নিক্ষেপের পূর্বে নিশ্চিতভাবে বলা যাবে না কোন সংখ্যাটি উপরে আসবে। তাই এ ধরনের পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলা হর

(Trial): কোনো ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয়ের জন্য কতকগুলি নির্দিষ্টি শর্তের অধীনে একটি কাজ যতবারে সম্পন্ন করা হয় তাদের প্রত্যেকটিকে ট্রায়াল বা চেষ্টা বলা হয়। অর্থাৎ কোনো পরীক্ষার অন্তর্গত প্রতিটি ট্রায়াল হলো পরীক্ষাটির এক একটি অংশ। মূলত পরীক্ষার ক্ষুদ্রতম একক হলো চেষ্টা বা ট্রায়াল ।
উদাহরণঃ একটি শ্রেণিতে 40 জন ছাত্র ও 30 জন ছাত্রী আছে। তাদের মধ্য খেকে দৈবচয়ন ভিত্তিতে তিনবারের ড্র এর মাধ্যেমে তিনজনকে নির্বাচিত করা হলে হলে প্রত্যেকবার একজনকে নির্বাচন করা হলো এক একটি ট্রায়াল। এ পরীক্ষায় তিনটি ট্রায়াল থাকবে । একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে প্রত্যেকবারের নিক্ষেপ এক একটি ট্রায়াল ।

কোনো পরীক্ষার অন্তর্গত এক একটি ট্রায়াল এর ফলাফল বা ফলাফলের সমাহারকে ঘটনা বলা হয়। নমুনাক্ষেত্রের যে কোনো উপসেটই ঘটনা । নমুনা বিন্দুর নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট দ্বারা ঘটনার নামকরণ করা হয় । ঘটনাকে সাধারণত ইংরেজি বড় অক্ষর \(A, \ B, \ C\) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণঃ একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নিয়ে একটি ঘটনা হবে, \(A=\{2, \ 4, \ 6\}\) এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নিয়ে অপর ঘটনাটি হবে, \(B=\{3, \ 6\}\) । তাই এগুলি এক একটি ঘটনা। যেহেতু ঘটনা একটি বিশেষ ধরনের সেট। তাই কোনো নমুনাক্ষেত্রের এক একটি ঘটনাকে আয়তাকার ক্ষেত্রের অন্তর্গত এক একটি বৃত্ত-দ্বারা ভেনচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়। পাশের চিত্রে ঘটনা \(A\) ও \(B\) এর ভেনচিত্র দেওয়া হলো ।

একই শর্তাধীনে পরিচালিত একটি পরীক্ষার প্রতিটি ট্রায়াল এর প্রত্যেকটি কল্পনীয় বা পর্যবেক্ষিত ফলাফলকে নমুনা বিন্দু বা ঘটনা বলা হয় এবং এ সকল নমুনা বিন্দুর সমাহারকে নমুনাক্ষেত্র বলা হয়। নমুনাক্ষেত্র হলো পরীক্ষার ফলাফলের গাণিতিক উপস্থাপন। সুতরাং কোনো একটি দৈব পরীক্ষা হতে প্রাপ্ত সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে । একে \(S\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণঃ মনে কর, একটি পরিবারের 2 জন সন্তান আছে এবং এক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র হবে \(\mathcal{S} = \{ (b, b), \ (b, g), \ (g, b), \ (g,g)\};\) এখানে বালক এবং বালিকাকে যথাক্রমে \(b\) এবং \(g\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। এখানে চারটি নমুনাবিন্দু নিয়ে নমুনাক্ষেত্র গঠিত হয়েছে। নমুনাক্ষেত্র দুই ধরনের।
যথা- বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন।

কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রে যদি নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সসীম হয় বা গণনাযোগ্য অসীম হয়, তবে তাকে বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা বিচ্ছিন্ন ঘটন জগত বলা হয়।
উদাহরণঃ দুইটি নিরপেক মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে বে নমুনাক্ষেত্র গঠিত হবে তা একটি বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র। এই বিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্রটি হবে \(S=\{HH, \ HT, \ TH, \ TT\}\)

কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রে যদি নমুনা বিন্দুর সংখ্যা অসীম হয়, তবে তাকে অবিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র বা অবিচ্ছিন্ন ঘটন জগত বলা হয়।
উদাহরণঃ দৈব নিয়মে এক থেকে তিনের মধ্যে বাস্তব সংখ্যা নির্বাচন। এটি একটি অবিচ্ছিন্ন নমুনাক্ষেত্র হবেঃ
নমুনাক্ষেত্রটিঃ \(S=\{x/x \text{ এক থেকে তিনের মধ্যে বাস্তব সংখ্যা বা} \} 1\le{x}\le{3}\)

একটি মাত্র নমুনাবিন্দু নিয়ে গঠিত ঘটনাকে সরল ঘটনা বলা হয়। অন্যভাবে বলা যায়, যে সকল ঘটনাকে কখনও বিশ্লেষণ করা যায় না ঐগুলিকে সরল ঘটনা বলা হয়। সুতরাং নমুনাক্ষেত্রের প্রত্যেকটি উপাদান দ্বারা গঠিত ঘটনাই সরল ঘটনা।
উদাহরণঃ একটি ছক্কাকে একবার শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র হবে \(S=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\}\) । এ পরীক্ষায় \(6\) টি সরল ঘটনা হবে কেননা নমুনাক্ষেত্রের নমুনাবিন্দুর সংখ্যা ছয়।

একাধিক নমুনা বিন্দু নিয়ে গটিত ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলা হয়। অন্যভাবে যে সকল ঘটনাকে কয়েকটি সরল ঘটনায় বিশ্লেষণ করা যায়, তাদেরকে যৌগিক ঘটনা বলা হয়। অর্থাৎ যৌগিক ঘটনা হলো দুই বা ততোধিক সরল ঘটনার সংযোগে গঠিত ঘটনা।
উদাহরণঃ একটি ছক্কাকে একবার শূণ্যে নিক্ষেপ করা হলে বিজোড় সংখ্যা নিয়ে গঠিত একটি ঘটনা, \(A=\{1, \ 3, \ 5\}\) এ ঘটনাটি তিনটি নমুনা বিন্দু নিয়ে গঠিত। তাই \(A\) গঠিত ঘটনা।

দুই বা ততোধিক ঘটনাকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হয় যদি তাদের যে কোনো একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনা বা ঘটনাগুলি সংঘটিত হওয়া সম্ভব না হয়। অর্থাৎ একাধিক ঘটনা যুগপৎভাবে ঘটতে না পারলে ঐ ঘটনাগুলিকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হয়। এরূপ ঘটনার নমুনা বিন্দুগুলির মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু থাকে না।
উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(4\) টি লাল, \(5\) টি সাদা এবং \(3\) টি নীল রঙের বল আছে। তা হতে দৈব নিয়মে একটি বল চয়ন করা হলে উহা যদি সাদা রঙের হয় তবে লাল বা নীল বল আসতে পারবে না। তাই লাল, সাদা ও নীল রঙের বল ঘটনাগুলি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা । নিম্নে ভ্যান চিত্রে \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি বর্জনশীল ঘটনা দেখানো হলো। এখানে ঘটনা নির্দেশক বৃত্তগুলি কখনও পরস্পরকে ছেদ করবে না।

দুই বা ততোধিক ঘটনাকে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলা হয় যদি তাদের যে কোনো একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনা বা ঘটনাগুলি সংঘটিত হতে পারে। অর্থাৎ অবর্জনশীল ঘটনা হবে ঐ ঘটনাগুলি যেগুলি এক সাথে ঘটতে পারে। এরূপ ঘটনাগুলির মধ্যে অবশ্যই সাধারণ নমুনা বিন্দু থাকবে।
উদাহরণঃ \(A\) হচ্ছে \(1\) থেকে \(10\) পর্যন্ত সকল পূর্ণ সংখ্যা এবং \(B\) হচ্ছে \(5\) থেকে \(12\) পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যাগুলির মধ্যে \(4\) এর গুণিতক সংখ্যা ঘটনা দুইটি অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা। \(A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10\}\) এবং \(B=\{8, \ 12\}\)
এখানে \(A\) ও \(B\) এর মধ্যকার সাধারণ বিন্দু \(8\)। \(A\) ও \(B\) পাশে ভ্যানচিত্রে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা দুইটি দেখানো হলো। এখানে ঘটনাগুলির মধ্যে সাধারণ বিন্দু আছে, তাই ভ্যানচিত্রে ঘটনা নির্দেশক বৃত্তগুলি পরস্পরকে ছেদ করবে এবং ছেদিতাংশ \(AB\) বা \(A\cap{B}\) দ্বারা নির্দেশ করা হয়েছে।

দুই বা ততোধিক ঘটনা ঘটবার সময় যদি একটি অপর যে কোনোটি অপেক্ষা কম বা বোশি পরিমাণ আশা করা না যায় অর্থাৎ ঘটনাগুলি ঘটার সম্ভাবনা সমান হলে ঐ ঘটনাগুলিকে সমসম্ভাব্য ঘটনা বলা হয়। একটি অনপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\) এর প্রত্যেকটি উপরে আসার সম্ভাবনা \(\frac{1}{6}\)।
অতএব এগুলি সমসম্ভাব্য ঘটনা।

কোন দৈব পরীক্ষায় দুইটি ঘটনা যদি এমন হয় যে, পরীক্ষাটিতে ঘটনা দুইটির একটি এবং কেবলমাত্র একটি অবশ্যই সংঘটিত হবে, তবে ঘটনাদ্বয়কে পরম্পরের পরিপূর বলে। \(A\) একটি ঘটনা হলে \(A\) এর পরিপূরক বা পূরক ঘটনাকে সাধারণত \(A^{c}\) বা \(\bar{A}\) বা \(A^{\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। দুইটি পূরক বা পরিপূরক ঘটনা পরম্পর বর্জনশীল হয় এবং তাদের সংযোগ নমুনাক্ষেএের সমান হয়।
উদাহরণঃ একটি ছকা নিক্ষেপের জোড় সংখ্যার ঘটনা \(A=\{2, \ 4, \ 6\}\) হলে জোড় সংখ্যা না আসার বা বিজোড় সংখ্যা আসার ঘটনা হবে \(A\) ঘটনার পূরক বা পরিপূরক ঘটনা।

কোন দৈব পরীক্ষণের সম্ভাব্য সকল ফলাফল বা উপাদানকে সম্পূর্ণ ঘটনা বলে। অর্থাৎ কোন দৈব পরীক্ষণে দুই বা ততোবিক ঘটনা যদি এমন হয় যে, ঘটনাগুলোর যেকানো একটি কিংবা কমপকে একটি অবশ্যই সংঘটিত হবে, তবে ঘটনাসমূহকে একএে সম্পূর্ণ ঘটনা বলা হয়। সম্পূর্ণ ঘটনামূহ সংযোগ করলে তা অবশ্যই নমুনাক্ষেত্রের সমান হবে।
উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা, \(A=\{1, \ 3, \ 5\}\) এবং জোড় সংখ্যা, \(B=\{2, \ 4, \ 6\}\) আসার ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা। কারণ \(A\cup{B}=\{1, \ 3, \ 5\} \cup \{2, \ 4, \ 6\} = \{1, \ 2, \ 3; \ 4, \ 5, \ 6\}=S\)

কোন দৈব পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট কোন ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, পরীক্ষার সকল ক্ষেত্রে ঐ ঘটনা ঘটে তবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে । যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাই নিশ্চিত ঘটনা। নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা \(1\)।
উদাহরণঃ বিজোড় সাভাবিক সংখ্যার একটি সেট হতে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে এটি বিজোড় সংখ্যা হবে, এটি একটি নিশ্চিত ঘটনা।

কোন দৈব পরীক্ষণের সাথে সংগ্লিষ্ট ঘটনা যদি এমন হয়, ঘটনাটি কখনো ঘটে আবার কখনো কখনো ঘটে না তবে উক্ত ঘটনাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা \(0\) এর চেয়ে বড় এবং \(1\) এর চেয়ে ছোট হয়ে থাকে। অর্থাৎ \(0\le{P(A)}\le{1}\)
উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপে \(Head\) আসার ঘটনাটি একটি অনিশ্চিত ঘটনা।

অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের সাপেক্ষে ঐ ঘটনার কোন নমুনা বিন্দু থাকে না। কোন ঘটনা যদি এমন হয় যে, তা পরীক্ষণের কোন ক্ষেত্রেই আদৌ ঘটবে না তবে উক্ত কল্পিত ঘটনাকেই অসম্ভব ঘটনা বলে। এ ঘটনার কোন অনুকূল নমুনা বিন্দু থাকে না বিধায় এর সম্ভাবনার মান শূন্য।
উদাহরণঃ একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় \(\{H, \ H\}\) আসার ঘটনা একটি অসম্ভব ঘটনা । এক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র \(\{H, \ T\}\)

দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, একটি ঘটনা ঘটা বা না ঘটা কোনো অবস্থাতেই অন্য কোনো ঘটনার উপর নির্ভর করে না বা প্রভাবিত হয় না, তবে উক্ত ঘটনাগুলোকে স্বাধীন ঘটনা বলে । দুটি স্বাধীন ঘটনার একত্রে ঘটার সম্ভাবনা এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমান।
উদাহরণঃ একটি ছক্কার উপরের পিঠে প্রাপ্ত ‘জোড় সংখ্যা’ এবং ‘বিজোড় সংখ্যা’ আসার ঘটনা পরস্পর স্বাধীন।

যদি দুটি ঘটনা এরূপ হয় যে, তাদের কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্য ঘটনাটি ঘটার উপর নির্ভর করে তবে ঘটনাটিকে অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা বলে। এক্ষেত্রে প্রথম যে ঘটনাটি ঘটে তা স্বাধীন ঘটনা।
\(P(B|A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
এখানে, \(A=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B=\) অধীন ঘটনা
উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(8\) টি সাদ ও \(6\) টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে এটি হতে পরপর দুটি বল নেওয়া হলে দ্বিতীয় বলটি কোন নির্দিষ্ট রঙের হওয়ার সম্ভাবনা, প্রথম বলটি বাক্সে ফেরত দেওয়া বা না দেওয়ার উপর নির্ভর করে। এ ধরনের ঘটনা হলো অধীন ঘটনা।
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}\)
এখানে, \(B=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A=\) অধীন ঘটনা

সপ্তদশ শতাব্দীর প্রথম ভাগ হতে শুরু হয়ে আজ পর্যন্ত সম্ভাবনা বা সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত নানাবিধ তত্ত্ব ও সংজ্ঞা প্রবর্তিত হয়ে আসছে। কোনো একটি ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সুনির্দিষ্ট প্রত্যাশার সংখ্যাগত পরিমাপই হলো সম্ভাবনা। সম্ভাব্যতাকে সাধারণত তিনটটি সংজ্ঞার সাহায্যে পরিমাপ করা যায়।
যেমনঃ
সম্ভাবনার প্রাচীন (ক্লাসিক্যাল) বা অবরোহী বা পূর্ববর্তী বা গাণিতিক সংজ্ঞা (Priori or mathematical or classical definition of probability)
সম্ভাবনার পরিসংখ্যানীয় বা পরীক্ষালব্ধ বা আরোহী সংজ্ঞা (Emperical or statistical or relative definition)
সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা (Axiomatic definition of probability)

কোনো একটি দৈব পরীক্ষায় যদি (১) কোনো একটি ঘটনা \(A\) এর ঘটার অনুকূলে \(m\) সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল থাকে; (২) ঘটনা না ঘটার অনুকূলে সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল থাকে; (৩) প্রত্যেক সম্ভাব্য ফলাফল সমসম্ভাব্য হয় এবং (8) সকল ফলাফল পরস্পর বর্জনশীল হয়, তাহলে \(A\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে \(A\)-এর অনুকূল ফলাফল সংখ্যা ও পরীক্ষায় মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা-এর অনুপাত।
অতএব, \(P(A)=\frac{A \text{-এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা}}\)
\(=\frac{m}{m+n}\)
\(=\frac{m}{N},\) যখন \(N=m+n\)
\(A\) ঘটনা না ঘটাকে যদি \(A^{\prime}\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল \(1\)। অর্থাৎ \(P(A)+P(A^{\prime})=1\)
সম্ভাবনার এ সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান একটি বাস্তব সংখ্যা যা শূন্য থেকে এ্রক এর মধ্যে। যখন \(m=N\) হয়, তখন \(P(A)=1\)। আবার, যখন \(m=0\) হয়, তখন \(P(A)=0\) হয়। সুতরাং \(0\le{P(A)}\le{1}.\)
একে যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনাও বলা হয়। গণিত শাস্ত্রবিদ P. S. Laplace এ সংজ্ঞাটি দিয়েছেন বলে একে সম্ভাবনার ল্যাপনাসের সংজ্ঞাও বলা হয়।
উদাহরণঃ একটি বাক্সে \(6\) টি লাল এবং \(7\) টি সাদা বল আছে। এখানে \(13\) টি পরস্পর বর্জনশীল，সমসম্ভাব্য ফলাফল আছে। তাদের মধ্যে \(6\) টি ফলাফল লাল বলের অনুকূলে আছে। অতএব，বাক্স হতে \(1\) টি বল দৈব নিয়মে নেওয়া হলে বলটি লাল হবে তার সম্ভাবনা， \(P(R)=\frac{m}{m+n}\)
\(=\frac{6}{6+7}\)
\(=\frac{6}{13}\)
এখানে, \(m=6, \ n=7, \ R=\) লাল বল ঘটনা।

একই শর্তাধীনে কোনো পরীক্ষার কোনো ট্রায়াল যদি অসংখ্যবার পুনরাবৃত্তি করা হয়，তবে কোনো ঘটনা \(A\)－এর় অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ও পরীক্ষার মোট ফলাাফলের সংখ্যার অনুপাতের সীমাস্ত মানকে উক্ত ঘটনার পরীক্ষালব্ধ বা পরিসংখ্যানিক সম্ভাবনা বলা হয়।
অতএব, \[P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{m}{N}\]
এখানে，\(m=A\) ঘটনার অনুকূল ফলাফল এবং \(N=\) মোট চেষ্টার সংখ্যা। এটাকে ভন মাইসেস \((Von-Mises)\)－এর পর্রীক্ষালব্ধ সংজ্ঞাও বলা হয়।
উদাহরণঃ একটি নিরপেক্ষ মুদ্রাকে \(500\) বার নিক্ষেপ করা হলো। এতে \(255\) বার হেড \((H)\) উপরে এসেছে। অতএব একটি হেড আসার সম্ভাবনা, \(P(A)=\frac{255}{500}\)
মুদ্রাটি যদি নিরপেক্ষ না হয় বা পক্ষপাতদুষ্ট হয়，তথাপি এ সূত্রের সাহায্যে ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করা যাবে না।

রুশ গণিতবিদ কোলমোগ্রোভ \(Kolmogorov \ 1933\) সালে সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ ধারণাটির প্রবর্তন করেন। সম্ভাবনার অবরোহী ও আরোহী সংজ্ঞায় কতিপয় শর্ত আরোপের মাধ্যমে আরো অধিক পরিমাণে ব্যবহার উপযোগী করা যায়। এই শর্তসমূহকে এক একটি স্বতঃসিদ্ধ বলে। কোনো নমুনাক্ষেত্রে \(S\) এর অন্তর্গত যে কোনো একটি ঘটনা \(A\) এর সম্ভাবনা \(P(A)\) যা নিচে স্বতঃসিদ্ধ মেনে চলে－
\((1)\) \(P(A)\) একটি বাস্তব সংখ্যা হতে হবে।
\((2)\) \(P(A)\ge{0}\)
\((3)\) যদি \(A\) নিশ্চিত ঘটনা অর্থাৎ \(A=S\) হয়, তবে \(P(A)=P(S)=1\) হয়।
\((4)\) যদি \(A_{1}, \ A_{2}, \ A_{3}, ......\) সমীম বা অসীম সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনা হয়，তবে \(P(A_{1}\cup{A_{2}}\cup{A_{3}}\cup ..........)\)\(=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+....\)

একই ঘটনার পুনরাবৃত্তি ঘটলে ঘটনাগুলি পরস্পর অনির্ভরশীল ঘটনা অর্থাৎ একটি ঘটনা ঘটার উপর অপর ঘটনাটি নির্ভরশীল নয়। কোনো দৈব পরীক্ষণে দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি এরূপ হয় যে, একটি ঘটনা ঘটা কোনো অবস্থায় অন্য একটি ঘটনার উপর নির্ভর না করে বা অন্য কোনো ঘটনার দ্বারা প্রতাবিত না হয় তবে উক্ত ঘটনা দুইটি বা ঘটনাগুলিকে স্বাধীন ঘটনা বা অনির্ভরশীল ঘটনা বলা হয়।
যদি \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা হয়, তবে \(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা হবে যদি এবং কেবল যদি-
\((1)\) \(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\)
\((2)\) \(P(A|B)=P(A)\) যখন \(P(B)\gt{0}\) এবং
\((3)\) \(P(B|A)=P(B)\) যখন \(P(A)\gt{0}\) হয়।

পরস্পর বর্জনশীল ও অবর্জনশীল ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র দুই প্রকারেরঃ
\((1)\) বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র।
\((2)\) অবর্জনশীল ঘটনার কেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র।

সূত্রঃ দুইটি বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A\) ও \(B\) দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B)=P(A\cup{B})=P(A)+P(B).\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৪; রাঃ ২০১৬,২০০৯,২০০৭; যঃ ২০১৬,২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০১১; সিঃ ২০১৬,২০১১,২০০৭; বঃ ২০১৪,২০১২,২০০৫,২০০৩; দিঃ ২০১৪,২০০৯;
Proof

সূত্রঃ তিনটি বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B \text{বা} C)=P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C).\)
Proof

সূত্রঃ \(n\) সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের প্রত্যেকটির স্বতন্ত্রভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n,\) \(n\) সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা এবং ঘটনাগুলি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A_1 \text{বা} A_2 \text{বা} A_3 ..... \text{বা} A_n)\)
\(=P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)\)\(+P(A_3)......+P(A_n)\)
dh:04; r:03; j:04; k:03; c:01; s:11
Proof

সূত্রঃ দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার যে কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনার যোগফল হতে ঘটনাগুলির একত্রে ঘটার সম্ভাবনার বিয়োগফলের সমান। অর্থাৎ, \(A\) ও \(B\) দুইটি অবর্জনশীল ঘটনা হলে তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{বা} B)=P(A)+P(B)-P(A \text{এবং} B)\)
অথবা, \(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
ঢাঃ ২০০৭; রাঃ ২০১৩,২০১১; যঃ ২০০৮,২০০৬; কুঃ ২০০৮; চঃ ২০১৬; সিঃ ২০১৪,২০০৯; বঃ ২০১০,২০০৬;
Proof

সূত্রঃ তিনটি অবর্জনশীল বা আবিচ্ছিন্য় ঘটনার যেকোনো একটি ঘটনার সম্ভাবনা, এদের প্রত্যেকটির আলাদা আলাদা সম্ভাবনার বোাগফল হতে (১ম, ২য়); (২য়, ৩র); (৩য়, ১ম) ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাবনার বিয়োগকলের সাথে তিনঢি. ঘটনার একত্রে ঘটার সম্ভাবনার যোগফলের সমান । অর্থাৎ, তিনটি ঘটনা \(A, \ B\) ও \(C\) অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন হলে \(A\) বা \(B\) বা \(C\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})\)\(-P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\)
রাঃ ২০১৫,২০১৩,২০১১; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৮; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৯;
Proof

শর্তাধীন সম্ভাবনাঃ দুইটি ঘটনার মধ্যে, একটি ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্ত সাপেকে অপর ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করা হলে প্রাপ্ত সম্ভাবনাকে শর্তাধীন সম্ভাবনা বলা হয় । মনে করি, \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(A\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(B\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap{B})}{P( A)};\) এখানে, \(P(A)\gt{0}, \ A\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B\) অধীন ঘটনা।
আবার, \(B\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(A\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)};\) এখানে, \(P(B)\gt{0}, \ B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A\) অধীন ঘটনা।

সূত্রঃ দুইটি স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাবনা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনার গুণফলের সমান।
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A \text{এবং} B)=P(A)P(B)\)
\(\Rightarrow P(A\cap{B})=P(A)P(B)\)
রাঃ ২০০৯,২০১২; দিঃ ২০১৬
Proof
দ্রষ্টব্যঃ \(n\) সংখ্যক স্বাধীন ঘটনা \(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n\) এর জন্য \(P(A_1\cap{A_2}\cap{A_3}....\)\(...\cap{A_n})=P(A_1)P(A_2)P(A_3) .....P(A_n)\)

সূত্রঃ দুইটি অধীন ঘটনা একএে ঘটার সম্ভাবনা তাদের যে কোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা এবং এটি ঘটেছে এ শর্তাধীনে অপর ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার গুণফলের সমান। \(A\) ও \(B\) দুহটি অধীন ঘটনা হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B\mid{A})\)
\(=P(B)P(A\mid{B})\)
চঃ ২০০৫
Proof

ব্যাখ্যাঃ \(P(A)=1\) এর অর্থ \(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা
এবং \(P(A)=0\) এর অর্থ \(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
Proof

ব্যাখ্যাঃ সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে।
অর্থাৎ \(0\le{P(A)}\le{1}\)
Proof

ব্যাখ্যাঃ কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)।
অর্থাৎ \(P(A)+P(\bar{A})=1\)
অথবা, \(p+q=1\)
Proof

ব্যাখ্যাঃ দুটি ঘটনা একত্রে বা একই সাথে বা যুগপৎভাবে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}, \ P(B)\ne{0}\) এবং \((A\cap{B})=0\) হতে পারে না।
Proof

ব্যাখ্যাঃ \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(A\) ও \(\bar{B}\) পরস্পর স্বাধীন।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে, \(P(A\cap{\bar{B}})=P(A)\times{P(\bar{B})}\)।
Proof

ব্যাখ্যাঃ \(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, \(\bar{A}\) ও \(B\) পরস্পর স্বাধীন।
অর্থাৎ \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে, \(P(\bar{A}\cap{B})=P(\bar{A})\times{P(B)}\)।
Proof

\(A=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B=\) অধীন ঘটনা হলে,
\(P(B|A)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\)
\(B=\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A=\) অধীন ঘটনা হলে,
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}\)
\(A\) ঘটনা না ঘটাকে যদি \(A^{\prime}\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,
\(P(A)+P(A^{\prime})=1\)
\(m=A\) ঘটনার অনুকূল ফলাফল এবং \(N=\) মোট চেষ্টার সংখ্যা,
\[P(A)=\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{m}{N}\]
\(A\) ও \(B\) স্বাধীন ঘটনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\)
\(P(A|B)=P(A)\) যখন \(P(B)\gt{0}\)
\(P(B|A)=P(B)\) যখন \(P(A)\gt{0}\)
\(A\) ও \(B\) দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)\)
\(A, \ B\) ও \(C\) তিনটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)\)
\(A_1, \ A_2, \ A_3, . . . . . . . A_n,\) \(n\) সংখ্যক পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A_1\cup{A_2}\cup{A_3}.......\cup{A_n})=P(A_1)+P(A_2)\)\(+P(A_3)......+P(A_n)\)
\(A\) ও \(B\) দুইটি অবর্জনশীল ঘটনা হলে,
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
\(A, \ B\) ও \(C\) অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন হলে \(A\) বা \(B\) বা \(C\) ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cup{B}\cup{C})=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap{B})\)\(-P(A\cap{C})-P(B\cap{C})+P(A\cap{B}\cap{C})\)
\(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(A\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(B\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(B\mid A) = \frac{P(A\cap{B})}{P( A)};\) এখানে, \(P(A)\gt{0}, \ A\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(B\) অধীন ঘটনা।
\(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা। \(B\) ঘটনা পূর্বে ঘটেছে এ শর্তে \(A\) ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)};\) এখানে, \(P(B)\gt{0}, \ B\) স্বাধীন ঘটনা এবং \(A\) অধীন ঘটনা।
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে, তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা হবে,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B)\)
\(A\) ও \(B\) দুহটি অধীন ঘটনা হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা,
\(P(A\cap{B})=P(A)P(B\mid{A})\)
\(=P(B)P(A\mid{B})\)
\(A\) একটি নিশ্চিত ঘটনা,
\(P(A)=1\)
\(A\) একটি অসম্ভব ঘটনা।
\(P(A)=0\)
সম্ভাবনার মান \(0\) থেকে \(1\) এর মধ্যে অবস্থান করে
\(0\le{P(A)}\le{1}\)
কোনো ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি \(1\)
\(P(A)+P(\bar{A})=1\)
\(A\) ও \(B\) দুইটি স্বাধীন ঘটনা, \(P(A)\ne{0}\) এবং \(P(B)\ne{0}\) হলে,
\(P(A\cap{\bar{B}})=P(A)\times{P(\bar{B})}\)