বিস্তার হল একটি গতির সময়কালের চলকের একক সময়ের পরিবর্তনের একটি পরিমাপ। বিস্তারের বিভিন্ন সংজ্ঞা রয়েছে, যেগুলি সমস্ত চলকের পরিবর্তনের চরম মানের মধ্যে পার্থক্যের পরিমাণ। প্রাচীন গ্রন্থগুলোতে, পর্যায়বৃত্ত গতির দশা কে কখনও কখনও বিস্তার বলা হয়।
বিস্তার বলতে সংখ্যাগুলোর মধ্যে বিদ্যমান ভেদ বা ব্যবধান বুঝায়। আর মধ্যক মান থেকে অন্যান্য সংখ্যাগুলো কত ছোট বা বড় তার পরিমাপই বিস্তার পরিমাপ। বিস্তার দ্বারা দুই বা ততোধিক নিবেশনের ভেদের তুলুনামূলক পরিমাপকেও বুঝানো হয়। কোনো নিবেশনের সংখ্যাগুলো সমান অর্থাৎ একই রাশি হলে নিবেশনটির বিস্তার শূণ্য হবে। সংখ্যাগুলো যতই বিক্ষিপ্ত বা ছোট-বড় হবে অর্থাৎ সংখ্যাগুলোর মধ্যে ব্যবধান যতই বাড়তে থাকবে তাদের বিস্তারও ততই বাড়তে থাকবে।

Data এর বাংলা আভিধানিক অর্থ হচ্ছে উপাত্ত বা তথ্য। Data শব্দটি ল্যাটিন শব্দ থেকে এসেছে যার অর্থ হলো 'যা দেওয়া আছে'। সুতরাং পরিসংখ্যানিক গবেষণার কাঁচামাল হচ্ছে তথ্য বা উপাত্ত। অর্থাৎ কোনো গবেষণার কাজে অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে কোনো বৈশিষ্ঠ্য পরিমাপ বা গণনা করে যে কাঁচামাল সংগ্রহ করা হয় তাকে উপাত্ত বলে। তথ্যবিশ্ব উপাদান বা এককের বৈশিষ্ঠ্য পর্যালোচনা করার জন্য পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে তাদের বিভিন্ন বৈশিষ্ঠ্য সংগ্রহ করা হয়। কোনো বৈশিষ্ঠ্যের উপর যে সব রাশিমালা সংগ্রহ করা হয় তাই উপাত্ত বা তথ্য।
সংজ্ঞাঃ কোনো অনুসন্ধানের নিমিত্তে সংগৃহীত এক সেট পর্যবেক্ষণ, মান, উপাদান বা বস্তুকে তথ্য বা উপাত্ত বলা হয়।
উদাহরণঃ একটি শিল্প প্রতিষ্ঠানের কর্মচারিদের মাথাপিছু আয় জানার জন্য ঐ প্রতিষ্ঠানের সকলের বা কিয়দাংশের সংগৃহীত মাসিক আয়ের সাংখিক সমাহার হলো উপাত্ত।
পরিসংখ্যনিক উপাত্তকে কতগুলি বৈশিষ্ঠ্যের অধিকারী হতে হয়।
তথ্যসমূহ কোনো সুনির্দিষ্ট অনুসন্ধান ক্ষেত্রের সাথে সংশ্লিষ্ট হতে হবে।
তথ্যসমূহ সংখ্যায় প্রকাশিত হতে হবে।
তথ্যসমূহ পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হতে হবে।

কোনো তথ্যসারির কেন্দ্রীয় মান থেকে এর সংখ্যাগুলো কত ছোট বা বড় তার পরিমাপই বিস্তার। সংখ্যাগুলো যতই বিক্ষিপ্ত বা ছোট-বড় হবে অর্থাৎ সংখ্যাগুলোর মধ্যে ব্যবধান যতই বাড়তে থাকবে তাদের বিস্তারও ততই বাড়তে থাকবে। কিন্তু সংখ্যাগুলো সমান অর্থাৎ একই রাশি হলে নিবেশনটির বিস্তার শূণ্য হবে। বিস্তার সম্পর্কিত বিভিন্ন মনিষীদের প্রদত্ত সংজ্ঞা হলো-
A.L. Bowley এর মতে 'Dispersion is the measure of the variation of the items.' অর্থাৎ 'বিস্তার হলো তথ্যসারির উপাদানগুলির ভিন্নতার পরিমাপ।'
Brooks and Dick এর মতে 'Dispersion or spread is the degree of the scatter or variation of the variables of a central value.' অর্থাৎ 'বিস্তার হলো কোনো চলকের কেন্দ্রীয় মান হতে অন্যান্য মানের বিস্তৃতির মাত্রা।'
M.R. Spiegel এর ভাষায় 'The degree to which numerical data tend to sread about on average value is called the variation or Dispersion of data.' অর্থাৎ 'কোনো সংখ্যাত্মক তথ্যের গড় মান থেকে অন্যান্য মানগুলির বিস্তৃতির মাত্রাকে ঐ তথ্যসারির ভেদ বা বিস্তার বলে।'
উপর্যুক্ত সংজ্ঞাগুলিতে বিস্তারকে কোনো কেন্দ্রীয় মান হতে তথ্যসারির অন্যান্য মানগুলির দূরত্বকে বুঝানো হয়েছে।
সংজ্ঞাঃ কোনো তথ্যসারির বা গণসংখ্যা নিবেশনের বিভিন্ন মানগুলির পারস্পারিক দূরত্ব বা কোনো কেন্দ্রীয় মান (মধ্যক মান) থেকে অন্য মানগুলির দূরত্বের মাত্রাকেই বিস্তার বলে।
উদাহরণঃ \(5, \ 6, \ 8, \ 10, \ 11\) তথ্যসারির মধ্যক মান \(8\) থেকে তথ্য পাঁচটির ব্যাপ্তি যথাক্রমে \(3, \ 2, \ 0, \ 2, \ 3\) এদের গড় মান \(2\)। সুতরাং \(5, \ 6, \ 8, \ 10, \ 11\) তথ্যসারির বিস্তার \(2\)।

কোনো তথ্যসারির বা গণসংখ্যা নিবেশনের কেন্দ্রীয় মান (গড়, মধ্যক, প্রচুরক ইত্যাদি) হতে অন্যান্য মানগুলির ব্যবধান বা বিস্তৃতি যে সংখ্যাত্মক মানের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়, তাকে বিস্তার পরিমাপ বলে। অন্যভাবে বলা যায়, দুই বা ততোধিক নিবেশনকে তুলনা করতে বা কোনো নিবেশনের কেন্দ্রীয় মান হতে অন্যান্য মানগুলির ব্যবধান নির্ণয় করতে যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, তাকে বিস্তার পরিমাপ বলে। বিস্তার পরিমাপের সাহায্যে তথ্যসারির কেন্দ্রীয় মান হতে অন্যান্য মানগুলির ব্যবধানের গড় নির্ণয় করা হয় বলে একে দ্বিতীয় পর্যায়ের গড়ও বলা হয়।

বিস্তার ঘটনসংখ্যা বিন্যাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ঠ্য। কেন্দ্রীয় প্রবণতার বিভিন্ন পরিমাপ যেমন- গড়, মধ্যক, প্রচুরক ইত্যাদি কোনো তথ্যসারির বা নিবেশনের কেবল মধ্যম মানের অবস্থান বা আধিকাংশ সংখ্যার অবস্থান সম্পর্কে ধারণা দেয়। কিন্তু এ সকল পরিমাপ তথ্যসারির প্রকৃতি উদ্ভাবনে ব্যর্থতার পরিচয় দেয় এবং তখনই বিস্তার পরিমাপ করার প্রয়োজন হয়। নিচে বিস্তার পরিমাপের গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োজনীয়তাসমূহ উল্লেখ করা হলোঃ
বিস্তার কেন্দ্রীয় মানের যথার্থতা নির্ণয় করে। কেননা যে তথ্যসারির বিস্তার যত কম তার কেন্দ্রীয় মানগুলি তত বেশী প্রতিনিধিত্বকারী।
দুইটি বিন্যাসের একই গাণিতিক গড় হতে পারে কিন্তু মানগুলির ভিন্নতার দরুন বিস্তার আলাদা হতে পারে। তাই দুই বা ততোধিক বিন্যাসের ভিন্নতা বিস্তারের সাহায্যে তুলনা করা যায়।
বিস্তার তথ্যসারির মানগুলির সামঞ্জস্যতা পরিমাপ করে।
কারখানায় উৎপাদিত পণ্যের মান নিয়োন্ত্রণে ব্যবহার হয়।
বিভিন্ন পরিসাংখিক পদ্ধতি যেমনঃ নির্ভর, নমুনায়ন ইত্যাদির পরিমাপক হিসেবে ব্যবহার হয়।
বিস্তার তথ্যসারির বা বিন্যাসের মানগুলির বিস্তৃতি নিয়োন্ত্রণ করে। যেমনঃ শরীরের তাপ, রক্তের চাপ এবং নাড়ির স্পন্দনের ভিন্নতার উপর ভিত্তি করে রোগ নির্ণয় করা হয় এবং ঔষধের সাহয্যে এ ভিন্নতাগুলি দূর করা হয়।

যে সংখ্যাত্মক মানগুলির সাহায্যে বিস্তার পরিমাপ করা হয় তাকে বিস্তার পরিমাপক বলে। নির্ণয়ের পদ্ধতি ও বৈশিষ্ঠ্যের উপর ভিত্তি করে বিস্তার পরিমাপককে দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথাঃ
পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপ (Absolute measures Of dispersion)
আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ (Relative measures Of dispersion)

পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপঃ
যে পদ্ধতিতে কোনো নিবেশনের প্রতিনিধিত্বকারী মানগুলির ব্যবধান বা কেন্দ্রীয় মান (মধ্যক) থেকে মানগুলির ব্যবধান পরিমাপ করে তাকে পরম বিস্তার পরিমাপ বলা হয়। তথ্যসারির মানগুলির একক টাকা, মিটার ইত্যাদি হলে বিস্তার পরিমাপের এককও যথাক্রমে টাকা, মিটার ইত্যাদি হবে। অর্থাৎ পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপসমূহকে চলকের মূল এককে পরিমাপ করা হয়। পরম বা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপ চার প্রকারঃ
পরিসর (Range)
গড় ব্যবধান (Mean deviation)
পরিমিত ব্যবধান ও ভেদক (Standard deviation and Variance)
চতুর্থক ব্যবধান (Quartile deviation)
নিচে বিভিন্ন প্রকার বিস্তার পরিমাপ আলোচনা করা হলোঃ

পরিসরঃ কোনো তথ্যসারির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের ব্যবধান বা পার্থক্যকে পরিসর বা ব্যাপ্তি বলা হয়। এটি বিস্তার পরিমাপের সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি। একে \(R\) দ্বার প্রকাশ করা হয়।
অবিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো চলক \(X\) এর \(n\) সংখ্যক মানের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মান \(X_{L}\) এবং বৃহত্তম মান \(X_{H}\) পরিসর \(R=X_{H}-X_{L}\) বা \(R=|X_{L}-X_{H}|\)
উদাহরণঃ একাদশ শ্রেণীর একজন ছাত্রের বিভিন্ন বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর \(55, \ 50, \ 65, \ 75, \ 85\) এর পরিসর নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ শ্রেণীর উচ্চসীমা এবং সর্বনিম্ন শ্রেণীর নিম্নসীমার ব্যবধান বা পার্থক্যকে পরিসর বলে। অর্থাৎ পরিসর \(R=L_{2}-L_{1}\)
এখানে, \(L_{1}=\) গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন শ্রেণীর নিম্নসীমা এবং \(L_{2}=\) গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ শ্রেণীর উচ্চসীমা।
উদাহরণঃ নিচের নিবেশনের পরিসর নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের গণসংখ্যা নিবেশন থেকে পরিসর নির্ণয় কর।
পরিসরের ব্যবহারঃ
শিল্প কারখানায় উৎপাদিত দ্রব্যের মান নিয়োন্ত্রণে \(R-chart\) তৈরিতে পরিসর ব্যবহৃত হয়।
আবহাওয়ার পূর্বাভাস প্রদানের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা, আর্দ্রতা ইত্যাদি নির্ণয়ে পরিসর ব্যবহৃত হয়ে থাকে।
যে সকল দ্রব্যের মূল্য উঠানামা করে তাদের মূল্যমানের এবং শেয়ার বাজারের শেয়ার মূল্যের হ্রাসবৃদ্ধি পরিমাপে পরিসর ব্যবহৃত হয়।
মূদ্রা বিনিময় ব্যবসায়, মজুতদারদের গচ্ছিত মালামাল বেচাকেনায় এটি ব্যবহৃত হয়।

কোনো নিবেশনের প্রতিটি মান থেকে মধ্যক মানের ব্যবধানের পরম মানের সমষ্টিকে মোট তথ্যসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় ব্যবধান বা গড় বিচ্যুতি বলে। এক্ষেত্রে মধ্যক মান হিসেবে গাণিতিক গড় \((\bar{X})\) বা মধ্যমা (M_{e}) বা প্রচুরক (M_{o}) ব্যবহার করা হয়। একে \(M.D.\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অবিন্যস্ত বা অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো চলক \(X\) এর \(n\) সংখ্যক মানসমূহ \(X_{1}, \ X_{2}, \ X_{3}, ..... \ X_{n}\) এবং এদের গাণিতিক গড় \((\bar{X})\) মধ্যমা (M_{e}) প্রচুরক (M_{o}) হলে,
উদাহরণঃ \(5, \ 3, \ 9, \ 2, \ 1, \ 7, \ 8, \ 5, \ 11, \ 13, \ 4, \ 7, \ 8, \ 6, \ 13, \ 11, \ 1, \ 7, \ 9, \ 10\) তথ্যসারির গাণিতিক গড় হতে প্রাপ্ত গড় ব্যবধান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিন্যস্ত বা শ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের ক্রমবিন্যস্ত মান বা শ্রেণি মধ্যবিন্দুগুলি \(X_{1}, \ X_{2}, \ X_{3}, ..... \ X_{n}\) এবং এদের পর্যায়ক্রমিক গণসংখ্যা \(f_{1}, \ f_{2}, \ f_{3}, ..... \ f_{n}\) যেখানে, \[\sum_{i=1}^n{f_{i}=N}\]
উদাহরণঃ নিচের গণসংখ্যা নিবেশন হতে গড় ব্যবধান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের তথ্যসারি হতে গড় ব্যবধান নির্ণয় কর।
\(7, \ 11, \ 13, \ 17\)
গড় ব্যবধানের ব্যবহারঃ
তথ্যসারির আকার ছোট হলে বিস্তার পরিমাপে ব্যবহৃত হয়।
অর্থনৈতিক ও ব্যবসায়িক চক্রের পূর্বাভাস প্রদানে ব্যবহৃত হয়ে থাকে।
তথ্যসারির মানগুলির পরিবর্তনশীলতা খুব বেশি হলে বিস্তার পরিমাপে ব্যবহৃত হয়।
গড় ব্যবধানের ধর্ম বা বৈশিষ্ঠঃ
গড় ব্যবধান মূল হতে স্বাধীন কিন্তু মাপনীর উপর নির্ভরশীল।
মধ্যমা হতে নির্ণীত গড় ব্যবধান ক্ষুদ্রতম।
কোনো তথ্যসারির গড় ব্যবধান পরিমিত ব্যবধান অপেক্ষা বড় হতে পারে না, অর্থাৎ \(MD\le{SD}\)
কোনো তথ্যসারির গড় ব্যবধান পরিসর অপেক্ষা ক্ষুদ্রতম, অর্থাৎ \(MD\lt{R}\)
দুইটি অসম সংখ্যার গড় ব্যবধান তাদের পরিসরের অর্ধেক, অর্থাৎ \(MD=\frac{R}{2}\)
কোনো সুষম নিবেশনের ক্ষেত্রে, \(M.D(\bar{X})=M.D(M_{e})=M.D(M_{o})\)
কোনো তথ্যসারির মানগুলো পরস্পর সমান হলে গড় ব্যবধানের মান শূণ্য হয়।
গড় ব্যবধানের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। তবে এর সর্বনিন্ম মান শূণ্য।

পরিমিত ব্যবধান হলো বিস্তার পরিমাপের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ও বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি। এটি হলো কোনো তথ্যসারি বা ঘটনসংখ্যা বিন্যাসের পরম বা অনপেক্ষ পরিমাপক। পরিমিত ব্যবধান বিস্তার পরিমাপের আদর্শ পরিমাপ বলে অভিহিত করা হয়। তথ্যসারির মানগুলি ও পরিমিত ব্যবধান একই এককবিশিষ্ট। ১৮৯৩ সালে কার্ল পিয়ারসন সর্বপ্রথম পরিমিত ব্যবধানের ধারণা প্রদান করেন।
সংজ্ঞাঃ কোনো তথ্যসারি বা ঘটনসংখ্যা বিন্যাসের গাণিতিক গড় থেকে এর মানগুলির বিয়োগফলের বর্গের গাণিতিক গড়কে ভেদাংক বলে এবং ভেদাংকের ধনাত্মক বর্গমূলকে পরিমিত ব্যবধান বলা হয়।
কোনো তথ্যসারির পরিমিত ব্যবধানকে গ্রিক অক্ষর \(\sigma\) (সিগমা) বা \(SD\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং ভেদাংককে \(\sigma^2\) বা \(s^2\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অবিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ ধরি, কোনো তথ্যসারির \(n\) সংখ্যক মান \(x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, ..... \ x_{n}\) এবং এর গাণিতিক গড় \(\bar{x}.\)
তাহলে, পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-\bar{x})^2}}\]
ব্যবহারিক সূত্র, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^2}-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^2}\]
উদাহরণঃ \(-3, \ 0, \ 3\) তথ্য থেকে পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিন্যস্ত বা শ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ ধরি, কোনো গণসংখ্যা সারণির চলক \(x\) বা শ্রেণীর মধ্যবিন্দুর \(n\) সংখ্যক মান \(x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, ..... \ x_{n}\) এবং এদের সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা যথাক্রমে \(f_{1}, \ f_{2}, \ f_{3}, ..... \ f_{n}\) যেখানে, \(\sum{f_{i}}=N\) এবং গাণিতিক গড় \(\bar{x}.\)
তাহলে, পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{(x_{i}-\bar{x})^2}}\]
ব্যবহারিক সূত্র, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}^2}-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}\right)^2}\]
উদাহরণঃ দ্বাদশ শ্রেণীর \(55\) জন ছাত্রের গণিতের নম্বরের ডাটা হতে পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের একজন ক্রিকেটারের কয়েকটি ইনিংসের উইকেট প্রাপ্তির সংখ্যা এবং রান দেওয়ার সংখ্যা দেওয়া হলোঃ
পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
পরিমিত ব্যবধানের ব্যবহারঃ
অর্থনৈতিক সামাজিক গবেষণার তথ্য বিশ্লেষণে গাণিতিক গড়ের পাশাপাশি পরিমিত ব্যবধানের ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।
একই এককে প্রকাশিত দুইটি তথ্য সেটের গাণিতিক গড় প্রায় সমান হলে এর তুলুনা করার জন্য পরিমিত ব্যবধান ব্যবহার করা হয়।
যে কোনো পরিসংখ্যানিক গবেষণায় কল্পনা যাচাইয়ে নমুনামান গঠনে এটি ব্যবহৃত হয়।
সম্ভাবনা বিন্যাস, নমুনায়ন, সংশ্লেষ, নির্ভরণ, কালীন সারি ইত্যাদি ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ব্যাপক ব্যবহৃত হয়।
পরিমিত ব্যবধানের ধর্ম বা বৈশিষ্ঠঃ
পরিমিত ব্যবধান মূল হতে স্বাধীন কিন্তু মাপনীর উপর নির্ভরশীল।
পরিমিত ব্যবধান গড় ব্যবধান অপেক্ষা ছোট হতে পারে না। অর্থাৎ \(SD\ge{MD}\)
পরিমিত ব্যবধান পরিসর অপেক্ষা বড় হতে পারে না। অর্থাৎ \(SD\le{R}\)
প্রথম \(n\) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান \(=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\)
দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান তাদের গাণিতিক গড় অপেক্ষা ছোট। অর্থাৎ \(\sigma\lt{\bar{x}}\)
দুইটি অসম সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান তাদের পরিসরের অর্ধেক। অর্থাৎ \(SD=\frac{R}{2}\)
তথ্যসারির সবগুলো মান সমান হলে পরিমিত ব্যবধান শূণ্য হয়।
পরিমিত ব্যবধান একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

কোনো নিবেশনের তৃতীয় ও প্রথম ব্যবধানের গড় মানকে চতুর্থক ব্যবধান বলে। অর্থাৎ মধ্যমা থেকে প্রথম ও তৃতীয় চতুর্থকের পার্থক্যের গড় পরিমাপ হলো চতুর্থক ব্যবধান একে \(QD\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো তথ্যসারির প্রথম ও তৃতীয় চতুর্থক \(Q_{1}\) ও \(Q_{3}\) এবং তথ্যসারির দ্বিতীয় চতুর্থক বা মধমা \(M_{e}\) হলে, \(QD=\frac{(M_{e}-Q_{1})+(Q_{3}-M_{e})}{2}=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\)
অন্যভাবে বলা যায়, কোনো তথ্যসারির বা গণসংখ্যা নিবেশনের ৩য় এবং ১ম চতুর্থকের ব্যবধানকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায়, তাকে উক্ত তথ্যসারির বা নিবেশণের চতুর্থক ব্যবধান বলে। একে অর্ধ-আন্তঃচতুর্থক পরিসরও (Semi-inter Quartile Range) বলা হয়।
অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয়ঃ
পদসংখ্যা \(n\) বিজোড় হলে, \(\frac{n+1}{4}\) এবং \(\frac{n+1}{4}\times3\) তম পদের মান যথাক্রমে \(Q_{1}\) ও \(Q_{3}.\)
পদসংখ্যা \(n\) জোড় এবং \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হলে, \(\frac{n}{4}\) এবং \(\left(\frac{n}{4}+1\right)\) তম পদের মান দুইটির গড় \(=Q_{1}\) এবং \(\frac{3n}{4}\) ও \(\left(\frac{3n}{4}+1\right)\) তম পদের মান দুইটির গড় \(=Q_{3}.\)
পদসংখ্যা \(n\) জোড় এবং \(4\) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এরূপক্ষেত্রে তথ্যগুলিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে প্রথম ভাগের মধ্যম সংখ্যাটি \(=Q_{1}\) এবং দ্বিতীয় ভাগের মধ্যম সংখ্যাটি \(=Q_{3}\) হবে।
দ্রষ্টব্যঃ সকল ক্ষেত্রে প্রথমে তথ্যসারিকে মানের ঊর্ধবক্রমে সাজাতে হবে।
উদাহরণঃ প্রদত্ত তথ্যসারির চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর। \(82, \ 75, \ 70, \ 35, \ 62, \ 45, \ 30\).
সমাধানঃ
কাজঃ নিম্নের তথ্যসারি থেকে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর।
\(68, \ 80, \ 42, \ 76, \ 66, \ 55, \ 40, \ 87\).
উদাহরণঃ নিম্নের তথ্যসারি থেকে চতুর্থক ব্যবধান, আন্তঃচতুর্থক পরিসর এবং অর্ধ আন্তঃচতুর্থক পরিসর নির্ণয় কর।
\(2, \ 4, \ 6, \ 3, \ 4, \ 6, \ 7, \ 5\).
সমাধানঃ
উদাহরণঃ নিম্নের তথ্যসারি থেকে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর।
\(10, \ 8, \ 9, \ 7, \ 5, \ 0, \ 11, \ 12, \ 15, \ 14\).
সমাধানঃ
শ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয়ঃ
শ্রেণিকৃত কোনো নিবেশনের \(i-\)তম চতুর্থক, \(Q_{i}=L_{i}+\frac{\frac{N\times{i}}{4}-f_{c}}{f_{i}}\times{C}\)
যেখানে, \(L_{i}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির নিম্নসীমা।
\(f_{c}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির পূর্ব শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।
\(f_{i}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির গণসংখ্যা।
\(C=\) চতুর্থক শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান।
\(N=\) মোট গণসংখ্যা।
উদাহরণঃ নিচের নিবেশন হতে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচে \(NDC\) ঢাকার দাদশ শ্রেণির \(60\) জন ছাত্রের গণিত দ্বিতীয় পত্রের প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হল। এর চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয় কর।
চতুর্থক ব্যবধানের ব্যবহারঃ
কোনো তথ্যসারি বা বিন্যাসের কেন্দ্রীয় ৫০% তথ্যের বিস্তার পরিমাপে এটি সবচেয়ে বেশি উপযোগী।
পরিসরের পরে চতুর্থক ব্যবধান দ্রুত বিস্তার পরিমাপক হিসেবে ব্যবহার করা হয়।
খোলা নিবেশনের ক্ষেত্রে অন্যান্য পরিমাপকগুলি ব্যবহার করা যায় না। এই ক্ষেত্রে চতুর্থক ব্যবধান ব্যবহার করে ভাল ফল পাওয়া যায়।

বিস্তারের পরম পরিমাপগুলির সাথে এর সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রিয় মানের অনুপাতকে আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ বলে। এর সাহায্যে ভিন্ন ভিন্ন এককে প্রকাশিত দুই বা ততোধিক তথ্যসারির বা নিবেশনের বিস্তৃতির তুলনা করা হয়। বিস্তারের আপেক্ষিক পরিমাপগুলোকে বিস্তারাঙ্ক বা বিস্তারে সহগ বলা হয়। আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ একক বিহীন। আপেক্ষিক পরিমাপগুলি শতকরায় প্রকাশ করা হয়। বিস্তারের সকল পরম পরিমাপকের আপেক্ষিক পরিমাপক বিদ্যমান।
আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপকগুলো নিম্নরূপঃ
পরিসারাঙ্ক (Co-efficient of range)
চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক (Co-efficient of quartile deviation)
গড় ব্যবধানাঙ্ক (Co-efficient of mean deviation)
বিভেদাঙ্ক বা ব্যবধানাঙ্ক (Co-efficient of variation)

পরিসরাঙ্কঃ কোনো নিবেশনের পরিসরকে তার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের যোগফল দ্বারা ভাগ করলে যে একক বিহীন সংখ্যা পাওয়া যায় তার শতকরা মানকে ঐ নিবেশনের/তথ্যসারির পরিসারাঙ্ক বলে। একে \(CR\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অবিন্যাস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ
পরিসরাঙ্ক, \(CR=\frac{R}{X_{H}+X_{L}}\times100\)%
এখানে পরিসর, \(R=X_{H}-X_{L}\)
\(X_{H}=\) বৃহত্তম মান।
\(X_{L}=\) ক্ষুদ্রতম মান।
উদাহরণঃ একাদশ শ্রেণীর দশজন ছাত্রের গণিতের প্রাপ্ত নম্বরসমূহ \(40, \ 45, \ 57, \ 50, \ 64, \ 65, \ 85, \ 70, \ 90, \ 67\) এপ্রাপ্ত নম্বরসমূহের পরিসরাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিন্যাস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ
পরিসরাঙ্ক, \(CR=\frac{R}{L_{2}+L_{1}}\times100\)%
এখানে পরিসর, \(R=L_{2}-L_{1}\)
\(L_{2}=\) সর্বোচ্চ শ্রেণির উচ্চসীমা।
\(L_{1}=\) সর্বনিম্ন শ্রেণির নিম্নসীমা।
উদাহরণঃ নিচের নিবেশনের পরিসরাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের তথ্যসারির পরিসরাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(-0.3, \ 0, \ 0.3\)
কাজঃ নিচের ঘটনসংখ্যা বিন্যাস হতে পরিসরাঙ্ক নির্ণয় কর।

চতুর্থক ব্যবধানাঙ্কঃ কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের তৃতীয় ও প্রথম চতুর্থকের দূরত্বকে এর তৃতীয় ও প্রথম চতুর্থকের সমষ্টি দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায় তাকে শতকরায় প্রকাশ করা হলে, তাকে চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক বলে। একে \(C.Q.D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক, \(C.Q.D=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\times100\)%
এখানে, \(Q_{3}=\) তৃতীয় চতুর্থক।
\(Q_{1}=\) প্রথম চতুর্থক।
উদাহরণঃ নিচে কোনো পরীক্ষায় \(43\) জন ছাত্রের পরীক্ষার নম্বরের ঘটনসংখ্যা বিন্যাস দেওয়া হলো। চতুর্থক ব্যবধান ও এর ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের ঘটনসংখ্যা বিন্যাস হতে চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।

গড় ব্যবধানাঙ্কঃ কোনো তথ্যসারি বা গণসংখ্যা বিন্যাসের গড় ব্যবধানকে তার যথার্থ কেন্দ্রীয় মান দ্বারা ভাগ করে, ভাগফলকে শতকরায় প্রকাশ করা হলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় ব্যবধানাঙ্ক বলা হয়। একে \(C.M.D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণঃ নিম্নলিখিত উপাত্ত হতে গড় ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(4, \ 9, \ 11, \ 12\)
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের গণসংখ্যা নিবেশন থেকে গড় ব্যবধান ও গড় ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।

বিভেদাঙ্ক বা ব্যবধানাঙ্কঃ কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের ভেদাঙ্ক বা পরিমিত ব্যবধানের আপেক্ষিক পরিমাপ হলো বিভেদাঙ্ক। কোনো তথ্যসারির পরিমিত ব্যবধানকে ঐ তথ্যসারির গাণিতিক গড় দ্বারা ভাগ করে শতকরায় প্রকাশ করা হলে, তাকে বিভেদাঙ্ক বলা হয়। একে \(C.V\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
কোনো তথ্যসারির পরিমিত ব্যবধান \(\sigma\) ও গাণিতিক গড় \(\bar{x}\) হলে,
বিভেদাঙ্ক, \(C.V=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\)%
উদাহরণঃ নিচের নিবেশন সারণি থেকে বিভেদাঙ্ক বা ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
কাজঃ নিচের নিবেশন সারণি হতে বিভেদাঙ্ক বা ব্যবধানাঙ্ক নির্ণয় কর।
বিভেদাঙ্ক বা ব্যবধানাঙ্কের ব্যবহার ও ধর্মঃ বিভেদাঙ্ক একটি এককমুক্ত সংখ্যা। দুই বা ততোধিক তথ্যসারি বা নিবেশনকে তুলনা করতে এটি ব্যবহৃত হয়। দুইটি তথ্যসারি বা নিবেশনের মধ্যে যেটির বিভেদাঙ্ক কম সেটি অধিক গ্রহণযোগ্য বা সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে প্রতীয়মান হয়, আর যেটির বিভেদাঙ্ক বাশি সেটি কম গ্রহণযোগ্য বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ বলে প্রতীয়মান হয়ে থাকে। ভিন্ন এককবিশিষ্ট দুইটি তথ্যসারির তুলনা করতে এটি ব্যবহৃত হয়। এটি মূল ও মাপনী উভয়ের উপর নির্ভরশীল।

অবিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো চলক \(X\) এর \(n\) সংখ্যক মানের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মান \(X_{L}\) এবং বৃহত্তম মান \(X_{H}\)
পরিসর \(R=|X_{L}-X_{H}|\)
বিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ শ্রেণীর উচ্চসীমা এবং সর্বনিম্ন শ্রেণীর নিম্নসীমার ব্যবধান বা পার্থক্যকে পরিসর বলে।
পরিসর \(R=L_{2}-L_{1}\)
গড় থেকে গড় ব্যবধানঃ
\[M.D \ (\bar{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{|X_{i}-\bar{X}|}\]
মধ্যমা থেকে গড় ব্যবধানঃ
\[M.D \ (M_{e})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{|X_{i}-M_{e}|}\]
প্রচুরক থেকে গড় ব্যবধানঃ
\[M.D \ (M_{o})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{|X_{i}-M_{o}|}\]
অবিন্যস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো তথ্যসারির \(n\) সংখ্যক মান \(x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, ..... \ x_{n}\) এবং এর গাণিতিক গড় \(\bar{x}.\)
পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^2}-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^2}\]
পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{d_{i}^2}-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{d_{i}}\right)^2}\]
যেখানে, \(d_{i}=x_{i}-A\)
শ্রেণির মধ্যবিন্দু \(=x_{i}\)
অনুমিত গড় \(=A\)
ভেদাঙ্ক, \[\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^2}-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^2\]
ভেদাঙ্ক, \[\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{d_{i}^2}-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{d_{i}}\right)^2\]
যেখানে, \(d_{i}=x_{i}-A\)
শ্রেণির মধ্যবিন্দু \(=x_{i}\)
অনুমিত গড় \(=A\)
বিন্যস্ত বা শ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ কোনো গণসংখ্যা সারণির চলক \(x\) বা শ্রেণীর মধ্যবিন্দুর \(n\) সংখ্যক মান \(x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, ..... \ x_{n}\) এবং এদের সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা যথাক্রমে \(f_{1}, \ f_{2}, \ f_{3}, ..... \ f_{n}\) যেখানে, \(\sum{f_{i}}=N\) এবং গাণিতিক গড় \(\bar{x}.\)
পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}^2}-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}\right)^2}\]
পরিমিত ব্যবধান, \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}^2}-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}\right)^2}\times{C}\]
যেখানে, \(d_{i}=\frac{x_{i}-A}{C}\)
শ্রেণির মধ্যবিন্দু \(=x_{i}\)
অনুমিত গড় \(=A\)
শ্রেণিব্যাপ্তি \(=C\)
ভেদাঙ্ক, \[\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}^2}-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}\right)^2\]
ভেদাঙ্ক, \[\sigma^2=\left\{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}^2}-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}\right)^2\right\}\times{C^2}\]
যেখানে, \(d_{i}=\frac{x_{i}-A}{C}\)
শ্রেণির মধ্যবিন্দু \(=x_{i}\)
অনুমিত গড় \(=A\)
শ্রেণিব্যাপ্তি \(=C\)
কোনো তথ্যসারির পরিমিত ব্যবধান \(\sigma\) ও গাণিতিক গড় \(\bar{x}\)
বিভেদাঙ্ক, \(C.V=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\)%
অশ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয়ঃ
পদসংখ্যা \(n\) বিজোড় হলে, \(\frac{n+1}{4}\) এবং \(\frac{n+1}{4}\times3\) তম পদের মান যথাক্রমে \(Q_{1}\) ও \(Q_{3}.\)
পদসংখ্যা \(n\) জোড় এবং \(4\) দ্বারা বিভাজ্য হলে, \(\frac{n}{4}\) এবং \(\left(\frac{n}{4}+1\right)\) তম পদের মান দুইটির গড় \(=Q_{1}\) এবং \(\frac{3n}{4}\) ও \(\left(\frac{3n}{4}+1\right)\) তম পদের মান দুইটির গড় \(=Q_{3}.\)
পদসংখ্যা \(n\) জোড় এবং \(4\) দ্বারা বিভাজ্য নয়। এরূপক্ষেত্রে তথ্যগুলিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে প্রথম ভাগের মধ্যম সংখ্যাটি \(=Q_{1}\) এবং দ্বিতীয় ভাগের মধ্যম সংখ্যাটি \(=Q_{3}\) হবে।
শ্রেণিকৃত তথ্যের ক্ষেত্রে চতুর্থক ব্যবধান নির্ণয়ঃ
শ্রেণিকৃত কোনো নিবেশনের \(i-\)তম চতুর্থক, \(Q_{i}=L_{i}+\frac{\frac{N\times{i}}{4}-f_{c}}{f_{i}}\times{C}\)
যেখানে, \(L_{i}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির নিম্নসীমা।
\(f_{c}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির পূর্ব শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।
\(f_{i}=i-\)তম চতুর্থক শ্রেণির গণসংখ্যা।
\(C=\) চতুর্থক শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান।
\(N=\) মোট গণসংখ্যা।
চতুর্থক ব্যবধানঃ
\(QD=\frac{(M_{e}-Q_{1})+(Q_{3}-M_{e})}{2}=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\)
অবিন্যাস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ
পরিসরাঙ্ক, \(CR=\frac{R}{X_{H}+X_{L}}\times100\) %
এখানে পরিসর, \(R=X_{H}-X_{L}\)
\(X_{H}=\) বৃহত্তম মান।
\(X_{L}=\) ক্ষুদ্রতম মান।
বিন্যাস্ত তথ্যের ক্ষেত্রেঃ
পরিসরাঙ্ক, \(CR=\frac{R}{L_{2}+L_{1}}\times100\)%
এখানে পরিসর, \(R=L_{2}-L_{1}\)
\(L_{2}=\) সর্বোচ্চ শ্রেণির উচ্চসীমা।
\(L_{1}=\) সর্বনিম্ন শ্রেণির নিম্নসীমা।
চতুর্থক ব্যবধানাঙ্কঃ
\(C.Q.D=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\times100\)%
এখানে, \(Q_{3}=\) তৃতীয় চতুর্থক।
\(Q_{1}=\) প্রথম চতুর্থক।
গাণিতিক গড় হতে নির্ণিতঃ
গড় ব্যবধানাঙ্ক, \(C.M.D.(\bar{x})=\frac{M.D.(\bar{x})}{\bar{x}}\times100\)%
মধ্যমা থেকে নির্ণিতঃ
গড় ব্যবধানাঙ্ক, \(C.M.D.(M_{e})=\frac{M.D.(M_{e})}{M_{e}}\times100\)%
প্রচুরক থেকে নির্ণিতঃ
গড় ব্যবধানাঙ্ক, \(C.M.D.(M_{o})=\frac{M.D.(M_{e})}{M_{o}}\times100\)%