প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে অনির্দিষ্ট যোগজীকরণ
Indefinite integration in substitution method
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
Method of Replacement
যোগজীকরণ প্রক্রিয়ায় অনেক সময় প্রদত্ত ফাংশনের সরাসরি যোগজ নির্ণয় করা কঠিন হয়ে পড়ে। সেই ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি যোগজীকরণ প্রক্রিয়াকে সহজ করে দেয়। প্রদত্ত যোজ্য রাশি এর অন্তর্ভুক্ত কোনো ফাংশনের পরিবর্তে একটি চলরাশি স্থাপন করাকে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বলে।
\(\int{f(ax+b)dx}\) এর ক্ষেত্রে \(ax+b\) কে \(t\) ধরতে হয়।
ধরি,
\(ax+b=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dt\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dt\)
\(\int{f(ax+b)dx}\)
\(=\int{f(t).\frac{1}{a}dt}\)
\(=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\)
\(\therefore \int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\) এর পর প্রমিত ফাংশনের সূত্র প্রয়োগ করে যোগজীকরণ করতে হয়।
\((ax+b)^n\) এবং \(e^{ax}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \((ax+b)^n\) and \(e^{ax}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{(ax+b)^ndx}\)\(=\frac{1}{a}.\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{e^{ax}dx}\)\(=\frac{1}{a}e^{ax}+c\)

\(\frac{1}{ax+b}\) এবং \(\cos{(ax)}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{ax+b}\) and \(\cos{(ax)}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}\)\(=\frac{1}{a}\ln{|ax+b|}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\cos{(ax)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\sin{(ax)}+c\)

\(\sin{(ax)}\) এবং \(\sec^2{(ax)}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\sin{(ax)}\) and \(\sec^2{(ax)}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sin{(ax)}dx}\)\(=-\frac{1}{a}\cos{(ax)}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sec^2{(ax)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan{(ax)}+c\)

\(e^{ax+b}\) এবং \(\frac{1}{(ax+b)^2}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(e^{ax+b}\) and \(\frac{1}{(ax+b)^2}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{e^{ax+b}dx}\)\(=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}\)\(=-\frac{1}{a}\frac{1}{(ax+b)}+c\)

\(cosec^2{(ax)}\) এবং \(\sec{(ax)}\tan{(ax)}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(cosec^2{(ax)}\) and \(\sec{(ax)}\tan{(ax)}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{cosec^2{(ax)}dx}\)\(=-\frac{\cot{(ax)}}{a}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sec{(ax)}\tan{(ax)}dx}\)\(=\frac{\sec{(ax)}}{a}+c\)

\(cosec \ {(ax)}\cot{(ax)}\) এবং \(\cos{(ax+b)}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(cosec \ {(ax)}\cot{(ax)}\) and \(\cos{(ax+b)}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{cosec \ {(ax)}\cot{(ax)}dx}\)\(=-\frac{cosec \ {(ax)}}{a}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\cos{(ax+b)}dx}\)\(=\frac{\sin{(ax+b)}}{a}+c\)

\(\sin{(ax+b)}\) এবং \(\sec^2{(ax+b)}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\sin{(ax+b)}\) and \(\sec^2{(ax+b)}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sin{(ax+b)}dx}\)\(=-\frac{\cos{(ax+b)}}{a}+c\)

যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sec^2{(ax+b)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan{(ax+b)}+c\)

\(a^{mx+n}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(a^{mx+n}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{a^{mx+n}dx}\)\(=\frac{a^{mx+n}}{m\ln{a}}+c\)

×
প্রমাণ কর যে, \(\int{(ax+b)^ndx}=\frac{1}{a}.\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{(ax+b)^ndx}\)
\(=\int{z^n.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}.\int{z^ndz}\)
\(=\frac{1}{a}.\frac{z^{n+1}}{n+1}+c\) ➜ \(\because \int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}.\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{e^{ax}dx}=\frac{1}{a}e^{ax}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{e^{ax}dx}\)
\(=\int{e^z.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{e^zdz}\)
\(=\frac{1}{a}e^z+c\) ➜ \(\because \int{e^xdx}=e^x+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}e^{ax}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln{|ax+b|}+c \)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\frac{1}{ax+b}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\ln{|z|}+c\) ➜ \(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}\ln{|ax+b|}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\cos{ax}dx}=\frac{1}{a}\sin{ax}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\cos{ax}dx}\)
\(=\int{\cos{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\cos{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\sin{z}+c\) ➜ \(\because \int{\cos{x}dx}=\sin{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}\sin{ax}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\sin{ax}dx}=-\frac{1}{a}\cos{ax}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\sin{ax}dx}\)
\(=\int{\sin{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\sin{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}(-\cos{z})+c\) ➜ \(\because \int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{1}{a}\cos{ax}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\sec^2{ax}dx}=\frac{1}{a}\tan{ax}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\sec^2{ax}dx}\)
\(=\int{\sec^2{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\sec^2{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\tan{z}+c\) ➜ \(\because \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}\tan{ax}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{e^{ax+b}dx}=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{e^{ax+b}dx}\)
\(=\int{e^{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{e^{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}e^{z}+c\) ➜ \(\because \int{e^{x}dx}=e^{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}=-\frac{1}{a}\frac{1}{(ax+b)}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{z^2}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{z^2}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{z^{-2}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\frac{z^{-2+1}}{-2+1}+c\) ➜ \(\because \int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}\frac{z^{-1}}{-1}+c\)
\(=-\frac{1}{a}z^{-1}+c\)
\(=-\frac{1}{a}\frac{1}{z}+c\)
\(=-\frac{1}{a}\frac{1}{ax+b}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{cosec^2{ax}dx}=-\frac{\cot{ax}}{a}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{cosec^2{ax}dx}\)
\(=\int{cosec^2{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{cosec^2{z}dz}\)
\(=-\frac{1}{a}\cot{z}+c\) ➜ \(\because \int{cosec^2{x}dx}=-\cot{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{\cot{ax}}{a}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\sec{ax}\tan{ax}dx}=\frac{\sec{ax}}{a}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\sec{ax}\tan{ax}dx}\)
\(=\int{\sec{z}\tan{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\sec{z}\tan{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\sec{z}+c\) ➜ \(\because \int{\sec{x}\tan{x}dx}=\sec{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{\sec{ax}}{a}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{cosec \ {ax}\cot{ax}dx}=-\frac{cosec \ {ax}}{a}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{cosec \ {ax}\cot{ax}dx}\)
\(=\int{cosec \ {z}\cot{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{cosec \ {z}\cot{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}(-cosec \ {z})+c\) ➜ \(\because \int{cosec \ {x}\cot{x}dx}=-cosec \ {x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{cosec \ {ax}}{a}+c\) ➜ \(\because z=ax\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\cos{(ax+b)}dx}=\frac{\sin{(ax+b)}}{a}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\cos{(ax+b)}dx}\)
\(=\int{\cos{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\cos{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\sin{z}+c\) ➜ \(\because \int{\cos{x}dx}=\sin{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{\sin{(ax+b)}}{a}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\sin{(ax+b)}dx}=-\frac{\cos{(ax+b)}}{a}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\sin{(ax+b)}dx}\)
\(=\int{\sin{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\sin{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}(-\cos{z})+c\) ➜ \(\because \int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{\cos{(ax+b)}}{a}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{\sec^2{(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\tan{(ax+b)}+c\)
Proof:
ধরি,
\(ax+b=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dz\)
\(L.H=\int{\sec^2{(ax+b)}dx}\)
\(=\int{\sec^2{z}.\frac{1}{a}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\sec^2{z}dz}\)
\(=\frac{1}{a}\tan{z}+c\) ➜ \(\because \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{a}\tan{(ax+b)}+c\) ➜ \(\because z=ax+b\)
\(=R.H\)
(Proved)
×
প্রমাণ কর যে, \(\int{a^{mx+n}dx}=\frac{a^{mx+n}}{m\ln{a}}+c\)
Proof:
ধরি,
\(mx+n=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(mx+n)=\frac{d}{dx}(z)\)
\(\Rightarrow m.1+0=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow m=\frac{dz}{dx}\)
\(\Rightarrow mdx=dz\)
\(\therefore dx=\frac{1}{m}dz\)
\(L.H=\int{a^{mx+n}dx}\)
\(=\int{a^{z}.\frac{1}{m}dz}\)
\(=\frac{1}{m}\int{a^{z}dz}\)
\(=\frac{1}{m}\frac{a^{z}}{\ln{a}}+c\) ➜ \(\because \int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln{a}}+c\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{a^{z}}{m\ln{a}}+c\)
\(=\frac{a^{mx+n}}{m\ln{a}}+c\) ➜ \(\because z=mx+n\)
\(=R.H\)
(Proved)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.(1)\) \(\int{(2x+3)^5dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(2x+3)^{6}+c\)
\(Ex.(2)\) \(\int{\sin{x^{o}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{180}{\pi}\cos{\frac{\pi{x}}{180}}+c\)
\(Ex.(3)\) \(\int{\sin{5x}\sin{3x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+c\)
যঃ ২০১০; চঃ ২০১২]
\(Ex.(4)\) \(\int{\cos^3{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(\sin{3x}+9\sin{x})+c\)
\(Ex.(5)\) \(\int{\cos^4{x}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{32}(12x+8\sin{2x}+\sin{4x})+c\)
ঢাঃ ২০১৪; দিঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ ২০১৪,২০০৭; চঃ ২০০৫
\(Ex.(6)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\left\{x^{\frac{3}{2}}+(x-1)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)
\(Ex.(7)\) \(\int{(1-2x)^4dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{10}(1-2x)^{5}+c\)
Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

বিকাস/নগদ, 01715651163 নম্বরে টাকা সেন্ট করে টোকেন সংগ্রহ করুনঃ


100 টাকা150 counter
200 টাকা400 counter
300 টাকা600 counter
500 টাকা1000 counter
1000 টাকা2000 counter

Please enter your 9-digit token:



Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry