স্থানাঙ্কের রূপান্তর
Transformation of coordinates
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
straight3
স্যার আইজ্যাক নিউটন ( ১৬৪২-১৭২৭ )
১৬৬৯ সালে তিনি ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন।
গ্রীক শব্দ Geo এবং Metria এর সমন্বিত রূপ হলো জ্যামিতি (Geometry)। মূলতঃ স্থানিক সম্পর্ক সংক্রান্ত আলোচনাই জ্যামিতির জন্ম দেয়। গণিতশাস্ত্রের দুটি প্রাক আধুনিক শাখার মধ্যে জ্যামিতি অন্যতম। সনাতন জ্যামিতি মূলতঃ রুলার কম্পাস নির্মিত চিত্র নির্ভর। ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) গাণিতিক যথাযথতা এবং স্বীকার্যভিত্তিক পদ্ধতি প্রবর্তন করলে জ্যামিতিশাস্ত্রে বৈপ্লবিক পরিবর্তন সাধিত হয়। ইউক্লিডের এই ধারণাসমূহ অদ্যাবধি জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়। খ্রীষ্টপূর্ব ৩০০ অব্দে তার রচিত The Element গ্রন্থটি অদ্যাবধি সর্বকালের সবচেয়ে প্রভাবশালী পাঠ্যপুস্তক হিসেবে পরিগণিত হয়। যা বিংশ শতাব্দীর মধ্যভাগ পর্যন্ত পাশ্চাত্যের সকল শিক্ষিতজনের নিকট এক নামে পরিচিত ছিল। আধুনিক যুগে জ্যামিতিক ধারণা সাধারণীকরণ এর ফলে আরও বেশি বিমূর্ততা ও জটিলতায় পরিপূর্ণ এটি উচ্চ-পর্যায়ে উন্নিত হয়েছে। ক্যালকুলাসের মত গণিতের অন্যান্য অনেক শাখাই জ্যামিতিক ধারণার উপর প্রতিষ্ঠিত। তাই বর্তমানকালের গণিতশাস্ত্রের বহু শাখাকে জ্যামিতিশাস্ত্রের উত্তরসূরী বলে বিবেচনা করা হয়। গ্রীক দার্শনিক ম্যানিসমিউস straight3 ম্যানিসমিউস (৩৮০-৩২০ খ্রিষ্টপূর্ব) কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা সমাধান করেন। এই সমস্যাগুলো সমাধানের ক্ষেত্রে তিনি এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করেন যা বর্তমান সময়ের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অনুরূপ। স্থানাঙ্কের অনুরূপ এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে তিনি কয়েকটি উপপাদ্যেরও প্রমাণ করেন। তাই ম্যানিসমিউসকে প্রায়শঃই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার প্রবর্তক হিসেবে বিবেচনা করা হয়। কোনো সরলরেখার অন্তর্গত কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে যেয়ে অ্যাপোলোনিয়াস straight3 পের্গার অ্যাপোলোনিয়াস ছিলেন গ্রীক জিওমিটার এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী, যেটি শঙ্কু বিভাগের বিষয়ে তত্ত্বগুলির জন্য পরিচিত ছিল। এই বিষয়ে ইউক্লিড এবং আর্কিমিডিসের তত্ত্বগুলি থেকে শুরু করে, তিনি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির আবিষ্কারের ঠিক আগে তারা তাদের সেই অবস্থায় নিয়ে এসেছিলেন। একটি অনুপাত-নির্ভর স্থানাঙ্ক পদ্ধতি বর্ণনা করেন। এই পদ্ধতিটির মাধ্যমেই এক-মাত্রিক স্থানাঙ্ক পদ্ধতির সূত্রপাত ঘটে। একাদশ শতাব্দীতে পারস্যের গণিতবিদ ওমর খৈয়াম বীজগণিত ও জ্যামিতির মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করেন। বৈশ্লেষিক জ্যামিতির বিকাসে মূল অবদানটি রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) এর। ১৬৩৭ সালে তার প্রকাশিত তিনটি রচনা হতেই মূলতঃ আধুনিক বৈশ্লেষিক জ্যামিতির সূচনা লাভ করে। যদিও ফরাসী ভাষায় লেখা এই রচনাগুলো যুক্তির কমতি ও জটিল সমীকরণের ব্যবহারের কারণে তৎকালীন সময়ে সাদরে গৃহীত হয়নি। পরবর্তীতে এই রচনাগুলো ল্যাটিন ভাষায় অনুবাদ করা হলে এবং ১৬৪৯ সাল হতে পরবর্তী কয়েকটি লেখায় ভ্যান স্কুটেন straight3 ফ্রান্সিস্কাস ভ্যান শুটেন ছিলেন একজন ডাচ গণিতবিদ যিনি রেনা ডেসকার্টসের বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি জনপ্রিয় করার জন্য সবচেয়ে বেশি পরিচিত। (Van Schooten) (১৬১৫-১৬৬০) কতৃক ব্যাখ্যা সংযোজনের ফলে সেগুলো সর্বজনস্বীকৃত হয়।
স্যার আইজ্যাক নিউটন straight3 ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। (Sir Isaac Newton) ( ১৬৪২-১৭২৭ ) দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় সমতলকে বর্তমানে বহুল প্রচলিত চারটি চতুর্ভাগে বিভক্ত করেন।
straight3
রেনে দেকার্তে (১৫৯৬-১৬৫০)
প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন ।
বৈশ্লেষিক জ্যামিতির ক্রমবিকাশের অপর একজন অগ্রদূত পিয়ারে ফার্মা straight3 পিয়েরে ডি ফার্মাট ছিলেন ফ্রান্সের টালুউজের পার্লামেন্টে ফরাসী আইনজীবী এবং একজন গণিতবিদ যিনি প্রাথমিক পর্যায়ে বিকাশের জন্য কৃতিত্ব লাভ করেছিলেন যার ফলে তার যথেষ্ট যোগ্যতার কৌশল সহ অনন্য ক্যালকুলাসের জন্ম হয়েছিল। (Pierre Fermat) (১৬০৭-১৬৬৫) । ১৬৩৭ সালে রেনে দেকার্তের রচনাগুলো প্রকাশের কিছুদিন পূর্বে এবং ফার্মার মৃত্যুর কিছুদিন পর ফার্মার রচিত Introductiion to Plane and Solid Loci শিরোনামের একটি অপ্রকাশিত পাণ্ডুলিপির কথা সমগ্র প্যারিস জুড়ে প্রচারিত হতে থাকে। যা অত্যান্ত সুলিখিত এবং সহজবোধ্য। দেকার্তে এবং ফার্মার গবেষণাকর্মের পার্থক্য মূলতঃ দৃষ্টিভঙ্গিগত। দেকার্তে জ্যামিতিক চিত্র হতে তার বীজগাণিতিক সমীকরণসহ অন্যান্য ধর্ম নির্ণয় করেন, পক্ষান্তরে ফার্মা কোনো বক্ররেখার বীজগাণিতিক সমীকরণ হতে তার চিত্র অঙ্কন করেন। পোলার স্থানাঙ্কের ইতিহাস অতি সুপ্রাচীন। আদিযুগ হতেই কোণ ও ব্যাসার্ধের ধারণা প্রচলিত ছিল। গ্রীক জোতির্বিদ হিপ্পার্কাস straight3 নিকিয়ার হিপ্পার্কাস ছিলেন একজন গ্রীক জ্যোতির্বিদ, ভূগোলবিদ এবং গণিতবিদ। তাকে ত্রিকোণমিতির প্রতিষ্ঠাতা হিসাবে বিবেচনা করা হয় তবে তিনি বিষুবোধগুলির প্রিভিসেশন সম্পর্কিত ঘটনাগত আবিষ্কারের জন্য সবচেয়ে বিখ্যাত। হিপ্পার্কাসের জন্ম বিথিনিয়ার নাইসিয়ায় হয়েছিল এবং সম্ভবত তিনি গ্রিসের রোডস দ্বীপে মারা গেছেন। (Hipparchus) (১৯০-১২০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিভিন্ন পরিমাপের কোণের বিপরীতে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের একটি সারণী প্রস্তুত করেন। আর্কিমিডিস তার On Spirals নামক গ্রন্থে এক ধরণের শঙ্খবৃত্ত (Spiral) এর কথা উল্লেখ করেন যার ব্যসার্ধ কোণ বৃদ্ধির সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়। এই শঙ্খবৃত্তটি আর্কিমিডিয়ান শঙ্খবৃত্ত (Archimedean Spiral) নামেও পরিচিত। অষ্টম শতাব্দীতে পৃথিবীর বিভিন্ন স্থান হতে কাবা শরীফের দিক এবং দূরত্ব নির্ণয়ের একটি পদ্ধতি আবিষ্কার করেন। অনেক গণিতবিদের মতে তাদের এই পদ্ধতির মধ্যেই পোলার স্থানাঙ্কের ধারণা লুকায়িত ছিল। জ্যাকব বার্নোলীই straight3 জেকব বার্নৌল্লি ছিলেন বার্নৌল্লি পরিবারের অনেক বিশিষ্ট গণিতবিদদের মধ্যে একজন। তিনি লাইবনিজিয়ান ক্যালকুলাসের প্রারম্ভিক প্রবক্তা ছিলেন এবং লাইবনিজ-নিউটনের ক্যালকুলাস বিতর্কের সময় গটফ্রাইড উইলহেলাম লাইবনিজের পক্ষে ছিলেন। (Jacob Bernoulli) (1655–1705) সম্ভবত প্রথম গণিতবিদ যিনি বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য পোলার স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করেন। স্থনাংক পদ্ধতি সংক্রান্ত বিভিন্ন আলোচনায় জন ওয়ালিস straight3 জন ওয়ালিস ছিলেন একজন ইংরেজ ধর্মযাজক এবং গণিতবিদ যিনি অনন্য ক্যালকুলাসের বিকাশের জন্য আংশিক কৃতিত্ব দেওয়া হয়। ১৬৪৩ থেকে ১৬৮৯ এর মধ্যে তিনি সংসদের প্রধান ক্রিপ্টোগ্রাফার এবং পরে রাজদরবারের দায়িত্ব পালন করেন। অনন্তের ধারণাকে উপস্থাপন করার জন্য \(\infty\) প্রতীকটি পরিচয় করিয়ে দেওয়ার কৃতিত্ব তাঁর। (John Wallis) (১৬১৬-১৭০৩), জেমস গ্রেগরি straight3 জেমস গ্রেগরি এফ আরএস ছিলেন একজন স্কটিশ গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিদ। তাঁর উপনামটি কখনও কখনও গ্রেগরি হিসাবে বানান হয়, মূল স্কটিশ বানান। (James Gregory) (১৬৩৮-১৬৭৫), আইজ্যাক ব্যারো straight3 আইজাক ব্যারো ছিলেন একজন ইংরেজ খ্রিস্টান ধর্মতত্ত্ববিদ এবং গণিতবিদ যিনি সাধারণত অনন্য ক্যালকুলাসের বিকাশে তাঁর প্রাথমিক ভূমিকার জন্য কৃতিত্ব লাভ করেন; বিশেষত, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য আবিষ্কারের জন্য। (Isaac Barrow) (1630-1677) প্রমূখের নাম বিশেষ উল্লেখযোগ্য।
স্থানাংক
Coordinates
বিন্দুর অবস্থান অঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করা হলে, ঐ অংকগুলিকে বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলে। যেমনঃ \(A(3, -7)\), \(B(3, 2)\)...........\(P(x, y)\). এখানে \(x\) এবং \(y\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। carte
স্থানাঙ্কের রূপান্তর
Transformation of coordinates
জ্যামিতিক সমস্যার সরলীকরণ ও সহজ সমাধানের জন্য অনেক সময়েই স্থানাংকের অক্ষদ্বয়ের অবস্থান পরিবর্তন করা আবশ্যক হয়ে দাঁড়ায়। অক্ষ দুইটির অবস্থান পরিবর্তনের কাজটি নিম্নলিখিত তিনটি উপায়ে হতে পারে,
অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুর পরিবর্তন।
মূলবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে অক্ষের দিক পরিবর্তন।
মূলবিন্দুর পরিবর্তিনসহ অক্ষের দিক পরিবর্তন।
স্পষ্টতই শেষোক্ত উপায়টি প্রথম ও দ্বিতীয় উপায়ের সংজোগ ফল।
ধরি, প্রদত্ত দুইটি অক্ষের সাপেক্ষে সমতলে কোনো বিন্দু \(P\) এর স্থানাংক \((x, y)\)। অক্ষ দুইটির অবস্থান পরিবর্তন করে প্রাপ্ত নতুন অক্ষদ্বয়ের সাপেক্ষে যদি \(P\) বিন্দুর স্থানাংক \((x^{\prime}, y^{\prime})\) হয় তবে \((x^{\prime}, y^{\prime})\) কে \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাংক বলা হয়। \(P\) এর আদি স্থানাংক \((x, y)\) এবং নতুন স্থানাংক \((x^{\prime}, y^{\prime})\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করা যায় এবং আমরা দেখব যে, \(x\) ও \(y\) এর প্রত্যেককে \(x^{\prime}\) ও \(y^{\prime}\) এর একঘাত ফাংশন অর্থাৎ \(x=l_1x^{\prime}+m_1y^{\prime}+n_1, \ y=l_2x^{\prime}+m_2y^{\prime}+n_2\) যেখানে, \(l_1, \ m_1, \ n_1\) ধ্রুবক। ধরি, আদি অক্ষদ্বয়ের সাপেক্ষে কোনো সঞ্চারপথের সমীকরণ \(f(x,y)=0\) এতে \(x=l_1x^{\prime}+m_1y^{\prime}+n_1\) এবং \(y=l_2x^{\prime}+m_2y^{\prime}+n_2\) বসালে আমরা \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) এর মাধ্যমে প্রকাশিত একটি সমীকরণ \(F(x^{\prime}, y^{\prime})=0\) পাব; যা নতুন অক্ষদ্বয়ের সাপেক্ষে সঞ্চার পথটিকে প্রকাশ করবে। \(F(x^{\prime}, y^{\prime})=0\) কে \(f(x,y)=0\) এর রূপান্তরিত সমীকরণ বলা হয়। আবার \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) এর প্রত্যেককে \(x\) ও \(y\) এর একঘাত ফাংশন হিসেবে পাওয়া যাবে এবং \(F(x^{\prime}, y^{\prime})=0\) এ \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) এর মান বসিয়ে আমরা \(f(x,y)=0\) সমীকরণটি ফিরে পাব।
কার্তেসীয় স্থানাংক এবং পোলার স্থানাংক
Cartesian and Polar Coordinates
এখানে, দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে বিন্দুর দুই প্রকারের স্থানাংক আলোচনা করা হয়েছে। যেমনঃ কার্তেসীয় স্থানাংক এবং পোলার স্থানাংক।
কার্তেসীয় স্থানাংকঃ পরস্পর সমকোণে ছেদকৃত একজোড়া সরলরেখার সাপেক্ষে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ককে আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলাহয়। সরলরেখাদ্বয়কে অক্ষরেখা যাদের একটি X-অক্ষ অপরটি Y-অক্ষ এবং তাদের ছেদবিন্দুকে মূল বিন্দু বলা হয়।
cartesian
carte
পোলার স্থানাংকঃ কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মূল বিন্দু হতে সরাসরি দূরত্ব এবং ঐ দূরত্ব রেখা X- অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে এই দুইয়ের সমন্বয়ে কোন বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করার পদ্ধতিকে পোলার স্থানাঙ্ক বলে।
cartesian
polar
পোলার ও কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক
Relation between Cartesian and Polar Coordinates
পোলার স্থানাঙ্ক হতে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তরঃ
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক হতে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তরঃ
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
দূরত্ব
Distance
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্ব
কোন সমতলের উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।
\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্ব
কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।
\(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) এবং মূলবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)।
\(P(x_{1}, \beta)\) ও \(P(x_{2}, \beta)\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(\beta-\beta)^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=|(x_{1}-x_{2})|\)।
\(P(\alpha, y_{1})\) ও \((\alpha, y_{2})\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\sqrt{(\alpha-\alpha)^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=|(y_{1}-y_{2})|\)।
বিভক্তিকরণ সূত্র
Section Formulae
অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্র
কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)\)
বহির্বিভক্তিকরণ সূত্র
কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)\)
মধ্যবিন্দুর সূত্র
Midpoint Formulae
কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র
Center of mass of triangle
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,
\(G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of triangle
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})\}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\sin{\omega}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\sin{\omega}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})\}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
কোন সমতলে \(A(r_{1}, \theta_{1})\), \(B(r_{2}, \theta_{2})\) এবং \(C(r_{3}, \theta_{3})\) বিন্দু তিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{2}-\theta_{1})}+r_{2}r_{3}\sin{(\theta_{3}-\theta_{2})}+r_{3}r_{1}\sin{(\theta_{1}-\theta_{3})}\}\)
চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Quadrilateral
কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দুচারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+y_{4}x_{1})\}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দুচারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\sin{\omega}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+y_{4}x_{1})\}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
কোন সমতলে \(A(r_{1}, \theta_{1})\), \(B(r_{2}, \theta_{2})\), \(C(r_{3}, \theta_{3})\) এবং \(D(r_{4}, \theta_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{2}-\theta_{1})}+r_{2}r_{3}\sin{(\theta_{3}-\theta_{2})}+r_{3}r_{4}\sin{(\theta_{4}-\theta_{3})}+r_{4}r_{1}\sin{(\theta_{1}-\theta_{4})}\}\)
বহুভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Polygon
অনুরূপভাবে যে কোন সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা সম্ভব।
কোন সমতলে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\)...... \((x_{n}, y_{n})\) বিন্দুগুলি কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দু হলে,
area1
বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+...+x_{n}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+...+y_{n}x_{1})\}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে কোন সমতলে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\)...... \((x_{n}, y_{n})\) বিন্দুগুলি কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দু হলে,
বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\sin{\omega}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+...+x_{n}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+...+y_{n}x_{1})\}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
কোন সমতলে \(P_{1}(r_{1}, \theta_{1})\), \(P_{2}(r_{2}, \theta_{2})\), \(P_{3}(r_{3}, \theta_{3})\)....\(P_{n}(r_{n}, \theta_{n})\) বিন্দু গুলি কোনো বহুভুজের শীর্ষবিন্দু হলে,
বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\{r_{1}r_{2}\sin{(\theta_{2}-\theta_{1})}+r_{2}r_{3}\sin{(\theta_{3}-\theta_{2})}+....+r_{n}r_{1}\sin{(\theta_{1}-\theta_{n})}\}\)
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ
General equation of the St. line through the Origin
\(y=mx\).
এখানে, \(m\) সরলরেখাটির ঢাল।
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ এবং ঢাল দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
Equation of the straight line given the intercept and slope of the \(Y\) axis
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \((c)\) এবং ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx+c\).
তীর্যক অক্ষের প্রেক্ষিতে \(y=mx+c\) এর আকার
Form of \(y=mx+c\) with respect to the oblique axis
\(y=\frac{\sin{\theta}}{\sin{(\omega-\theta)}}x+c\).
যেখানে,
\(\theta\) রেখাটির নতি
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
Equation of straight line given intersection of both axes
উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \(a\) ও \(b\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line through a fixed point
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং তার ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ
\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\).
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line through two fixed points
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\).
সরলরেখার লম্বরূপ সমীকরণ
Perpendicular type equation of straight line
মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\).
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখাটির সমীকরণ
Equation of a straight line through a fixed point and making an angle \(\theta\) with the positive direction of the \(X\) axis
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\).
যেখানে, \((x, y)\) বিন্দু হতে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর দূরত্ব=\(r\)
দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
Angle between two non-parallel straight lines
দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
Angle between two non-parallel straight lines to oblique axis
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left\{\pm \frac{(m_{1}-m_{2})\sin{\omega}}{1+(m_{1}+m_{2})\sin{\omega}+m_{1}m_{2}}\right\}\).
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\sin{\omega}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\cos{\omega}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ
\(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\cos{\omega}=0\)
তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত
The condition of three straight lines meeting at a point
ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of triangle formed by three straight lines
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
যেখানে, \(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।
অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যদি অক্ষদ্বয় তীর্যক হয় তবে \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2}\frac{\Delta^{2}\sin{\omega}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
লম্ব দূরত্ব
Perpendicular Distance
একটি বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
straight3
\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|(ax_{1}+by_{1}+c)\sin{\omega}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos{\omega}}}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
Perpendicular distance of a straight line from the origin
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)straight3

অনুসিদ্ধান্তঃ
তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c\sin{\omega}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos{\omega}}}\)
যেখানে,
\(\omega\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
অনুসিদ্ধান্তঃ
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0; \ (b>0)\) সরলরেখার ওপর অংকিত লম্বের বীজগাণিতিক দৈর্ঘ্য \(d=-\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(0>c\) হলে \(d>0;\)
অতএব লম্বটি প্রথম অথবা দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে যদি \(x\) এর সহগ \(a\) ধনাত্মক অথবা ঋনাত্মক হয়।
\(c>0\) হলে \(0>d;\)
কাজেই লম্বটি তৃতীয় অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে থাকবে যদি \(a\) ধনাত্মক অথবা ঋনাত্মক হয়।
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব
Perpendicular distance between two parallel straight lines
\(ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)straight3
দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ
Equation of the bisector of the angle included by two intersecting straight lines
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).straight3
ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়
Finding incenter of a triangle
একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি এবং বাহুগুলির মাধ্যমে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়।
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু তিনটি \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\) এবং বাহুগুলি \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c \) হলে, এর অন্তঃকেন্দ্র,
\(I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).straight3
কোনো সরলরেখার সমান্তরাল এবং নির্দিষ্ট একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line parallel to and a given unit distance from a straight line
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+c\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\).straight3
অক্ষের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুর পরিবর্তন
Changing the origin while keeping the direction of the axis unchanged
অক্ষের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দু \(O(0,0)\) কে \(O^{\prime}(\alpha, \beta)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করলে, নুতন অক্ষের সাপেক্ষে
কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক,
\((x^{\prime}, y^{\prime})\Rightarrow (x-\alpha, y-\beta)\) \((x, y)\Rightarrow (x^{\prime}+\alpha, y^{\prime}+\beta)\)
\(f(x, y)=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ
\(f(x^{\prime}+\alpha, y^{\prime}+\beta)=0\)
মূলবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে অক্ষদ্বয়কে নির্দিষ্ট কোণে আবর্তন
Rotate the two axes through a specified angle, keeping the position of the origin unchanged
মূলবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে অক্ষদ্বয়কে \(\theta\) কোণে আবর্তন করলে, নুতন অক্ষের সাপেক্ষে
কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক,
\((x^{\prime}, y^{\prime})\Rightarrow (x\cos{\theta}+y\sin{\theta}, -x\sin{\theta}+y\cos{\theta})\)
\((x, y)\Rightarrow (x^{\prime}\cos{\theta}-y^{\prime}\sin{\theta}, x^{\prime}\sin{\theta}+y^{\prime}\cos{\theta})\)
\(f(x, y)=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(f(x^{\prime}\cos{\theta}-y^{\prime}\sin{\theta}, x^{\prime}\sin{\theta}+y^{\prime}\cos{\theta})=0\)
মূলবিন্দুর অবস্থান পরিবর্তিত করে অক্ষদ্বয়কে নির্দিষ্ট কোণে আবর্তন
Rotate the axis by a certain angle by changing the position of the origin
অক্ষদ্বয়কে \(\theta\) কোণে আবর্তন করলে এবং মূলবিন্দু \(O(0,0)\) কে \(O^{\prime}(\alpha, \beta)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করলে, নুতন অক্ষের সাপেক্ষে
কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক,
\((x^{\prime}, y^{\prime})\Rightarrow \{(x-\alpha)\cos{\theta}+(y-\beta)\sin{\theta}, -(x-\alpha)\sin{\theta}+(y-\beta)\cos{\theta}\}\)
\((x, y)\Rightarrow \{\alpha+x^{\prime}\cos{\theta}-y^{\prime}\sin{\theta}, \beta+x^{\prime}\sin{\theta}+y^{\prime}\cos{\theta}\}\)
\(f(x, y)=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(f(\alpha+x^{\prime}\cos{\theta}-y^{\prime}\sin{\theta}, \beta+x^{\prime}\sin{\theta}+y^{\prime}\cos{\theta})=0\)
দুই জোড়া অক্ষ সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক
The transformed coordinates of a point with respect to two pairs of axes
যদি \(OX, \ OY\) এবং \(O^{\prime}X^{\prime}, \ O^{\prime}Y^{\prime}\) দুইজোড়া ভিন্ন ভিন্ন অক্ষ হয় এবং \(OX, \ OY\) অক্ষ সাপেক্ষে \(O^{\prime}X^{\prime},\) এবং \(O^{\prime}Y^{\prime}\) এর সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে \(ax+by+c=0\) ও \(bx-ay+d=0\) হয় তবে, নুতন অক্ষের সাপেক্ষে
কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক,
\((x^{\prime}, y^{\prime})\Rightarrow \left(\frac{bx-ay+d}{\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+a^2}}\right)\)
\((x, y)\Rightarrow \left(\frac{bx^{\prime}+ay^{\prime}}{\sqrt{a^2+b^2}}-\frac{ac+bd}{a^2+b^2}, -\frac{ax^{\prime}-by^{\prime}}{\sqrt{a^2+b^2}}-\frac{bc-ad}{a^2+b^2}\right)\)
\(f(x, y)=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(f\left(\frac{bx^{\prime}+ay^{\prime}}{\sqrt{a^2+b^2}}-\frac{ac+bd}{a^2+b^2}, -\frac{ax^{\prime}-by^{\prime}}{\sqrt{a^2+b^2}}-\frac{bc-ad}{a^2+b^2}\right)=0\)
মূলবিন্দু ও \(x\) অক্ষকে স্থির রেখে তীর্যক অক্ষদ্বয়কে আয়তাকার অক্ষদ্বয়ে রূপান্তর করলে
By keeping the origin and \(x\) axis fixed, the oblique axes are converted to rectangular axes
কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক,
\((x^{\prime}, y^{\prime})\Rightarrow (x+y\cos{\omega}, y\sin{\omega})\)
\((x, y)\Rightarrow (x^{\prime}-y^{\prime}\cot{\omega}, y^{\prime} \ cosec \ {\omega})\)
\(f(x, y)=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(f(x^{\prime}-y^{\prime}\cot{\omega}, y^{\prime} \ cosec{\omega})=0\)
যেখানে, \(\omega\) তীর্যক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
মূলবিন্দুকে স্থির রেখে প্রদত্ত কোনো তীর্যক অক্ষদ্বয়কে অন্য তীর্যক অক্ষদ্বয়ে রূপান্তর
Transform any given oblique axis to another oblique axis while keeping the origin fixed
রূপান্তর সূত্র,
\(x=\frac{x^{\prime}\sin{(\omega-\theta)}}{\sin{\omega}}+\frac{y^{\prime}\sin{(\omega-\omega^{\prime}-\theta)}}{\sin{\omega}}\) \(y=\frac{x^{\prime}\sin{\theta}}{\sin{\omega}}+\frac{y^{\prime}\sin{(\omega^{\prime}+\theta)}}{\sin{\omega}}\)
যেখানে, \(\omega\) আদি তীর্যক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\omega^{\prime}\) নুতন তীর্যক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ হতে এক ঘাত পদগুলো অপসারণ
Eliminating the linear terms from the general quadratic equation
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ হতে এক ঘাত পদগুলো অর্থাৎ \(x\) ও \(y\) সম্বলিত পদ অপসারণ
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ হতে এক ঘাত পদগুলো অর্থাৎ \(x\) ও \(y\) সম্বলিত পদ অপসারণ
রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2+c^{\prime}=0\)
যেখানে, \((\alpha,\beta)\Rightarrow \left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\) নুতন মূলবিন্দু
\(c^{\prime}=g\alpha+f\beta+c\) নুতন ধ্রুবক

অথবা
\(a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2+\frac{\Delta}{ab-h^2}=0\)
যেখানে, \((\alpha,\beta)\Rightarrow \left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\) নুতন মূলবিন্দু
\(c^{\prime}=\frac{\Delta}{ab-h^2}\) নুতন ধ্রুবক
দ্রষ্টব্যঃ সমীকরণ \((1)\) থেকে এটা স্পষ্ট যে অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে ওপর কোনো বিন্দুতে স্থানান্তরিত করলে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের \(x^2, \ y^2, \ xy\) এর সহগগুলি অর্থাৎ \(a, \ b, \ h\) সহগগুলি অপরিবর্তিত থাকে কিন্তু \(x, \ y\) এর সহগ \(g, \ f\) এবং ধ্রুবক পদ \(c\) এরা বদলিয়ে যায়। সুতরাং রূপান্তরিত দ্বিঘাত সমীকরণটি দাঁড়ায়
\(a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2+c^{\prime}=0\)
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ হতে \(xy\) সম্বলিত পদ অপসারণ
Eliminating \(xy\) terms from the general quadratic equation
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ হতে \(xy\) সম্বলিত পদ অপসারণ
রূপান্তরিত সমীকরণ,
\(a^{\prime}{x^{\prime}}^2+b^{\prime}{y^{\prime}}^2+2g^{\prime}x^{\prime}+2f^{\prime}y^{\prime}+c=0\)
যেখানে,
\(a^{\prime}=a\cos^2{\theta}+2h\sin{\theta}\cos{\theta}+b\sin^2{\theta}\)
\(b^{\prime}=a\sin^2{\theta}-2h\sin{\theta}\cos{\theta}+b\cos^2{\theta}\)
\(g^{\prime}=g\cos{\theta}+f\sin{\theta}\)
\(f^{\prime}=f\cos{\theta}-g\sin{\theta}\)
\(\theta=\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{2h}{a-b}\right)}\)
দ্রষ্টব্যঃ মূল সমীকরণ এবং রূপান্তরিত সমীকরণ উভয়ের একই ধ্রুবক পদ। অতএব, মূলবিন্দুতে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে কোনো কোণে ঘুরালে সমীকরণের ধ্রুবক পদ অপরিবর্তিত থেকে যায়।
মূলবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে নির্দিষ্ট কোণে আবর্তন
Rotate the rectangular axis through a specified angle, keeping the origin unchanged
মূলবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে \(\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{2h}{a-b}\) কোণে আবর্তন করায় \(ax^2+2hxy+by^2+c=0\) সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ \(a^{\prime}x^2+b^{\prime}y^2+c=0\) হওয়ার শর্ত,
\(a^{\prime}+b^{\prime}=a+b\) \(a^{\prime}b^{\prime}=ab-h^2\)
মূলবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে আবর্তন
Rotate the rectangular axis keeping the origin unchanged
মূলবিন্দু অপরিবর্তিত রেখে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে আবর্তন করায় \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0\) হওয়ার শর্ত,
\(a^{\prime}+b^{\prime}=a+b\) \(a^{\prime}b^{\prime}-{h^{\prime}}^2=ab-h^2\)

দ্রষ্টব্যঃ এখানে, \(a+b\) এবং \(ab-h^2\) কে অপরিবর্তক বলা হয়।
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1\) প্রমাণ কর যে ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো এক বিন্দুতে মিলিত হয়।

\(Ex.2\) \((-2, 3)\) ও \((3, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি \(X\) অক্ষ দ্বারা কি অনুপাতে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর ভুজ কত?
উত্তরঃ \(3:4;\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। ভুজ \(=-17\)

\(Ex.3\) আয়তাকার অক্ষের সাপেক্ষে কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক \((a\cos{\alpha}, b\sin{\alpha}), \ (a\cos{\beta}, b\sin{\beta}), \ (a\cos{\gamma}, b\sin{\gamma})\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2ab\sin{\frac{\beta-\gamma}{2}}\sin{\frac{\gamma-\alpha}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(Ex.4\) নিম্নলিখিত বিন্দুগুলোর পোলার স্থনাংক নির্ণয় কর।
\((i) \ (\sqrt{3}, -1)\)
\((ii) \ (4, 5)\)
\((iii) \ (-1, -1)\)
উত্তরঃ \((i) \ \left(2, \frac{11\pi}{6}\right); \ (ii) \left(\sqrt{41}, \tan^{-1}{\frac{5}{4}}\right);\) \((iii) \left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right) \)

\(Ex.5\) নিম্নলিখিত বিন্দুগুলোর কার্তেসীয় স্থনাংক নির্ণয় কর।
\((i) \ \left(-5, \frac{\pi}{3}\right)\)
\((ii) \ \left(2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
\((iii) \ \left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{4}\right)\)
\((iv) \ \left(\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ \((i) \ \left(-\frac{5}{2},-\sqrt{5\frac{3}{2}}\right); \ (ii) (-2,-2);\) \((iii) \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right); \ (iv) (1, -1) \)

\(Ex.6\) সমীকরণটিকে কার্তেসীয় সমীকরণে রূপান্তরিত কর।
\((i) \ r^2=a^2\cos{2\theta}\)
\((ii) \ r\cos{(\theta-\alpha)}=p\)
উত্তরঃ \((i) \ (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2); \ (ii) \ x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)

\(Ex.7\) পোলার সমীকরণে রূপান্তরিত কর।
\((i) \ x^3=y^2(2a-x)\)
\((ii) \ y=x\log{x}\)
\((iii) \ x^2-3y^2=1\)
\((iv) \ x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)
উত্তরঃ \((i) \ r\cos{\theta}=2a\sin^2{\theta}; \ (ii) \ r\cos{\theta}=e^{\tan{\theta}};\)
\((iii) \ r^2(1-4\sin^2{\theta})=1; \ (iv) \ r\cos{(\theta-\alpha)}=p\)

\(Ex.8\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর পোলার স্থানাঙ্ক \((1, 30^{o}); \ (2, 60^{o}); \ (3, 90^{o})\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\left(8-3\sqrt{3}\right)\)

\(Ex.9\) \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(60^{o}\) কোণ বরাবর \((-1,2)\) বিন্দু থেকে \(2x+y-4=0\) রেখাটির দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8(2-\sqrt{3})\)

\(Ex.10\) \(4x-3y-18=0\) কে লম্ব আকারে প্রকাশ করে মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর লম্বের অবস্থান নির্দেশ কর।
উত্তরঃ মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \(=\frac{18}{5};\) লম্বটি চতুর্থ চুতুর্ভাগে অবস্থিত।

\(Ex.11\) \(2x-4y+7=0\) রেখার প্রেক্ষিতে \((5,6)\) বিদুর অবস্থান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিন্দুটি রেখাটির ধনাত্মক পার্শে অবস্থিত।

\(Ex.12\) \((4, -1)\) বিদুগামী যে রেখা দুইটি \(3x-2y+7=0\) রেখার যথাক্রমে সমান্তরাল ও লম্ব তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-2y-14=0; \ 2x+3y-5=0\)

\(Ex.13\) \((x^{\prime}, y^{\prime})\) বিদুগামী দুইটি সরলরেখার প্রত্যাক্যে \(y=mx+c\) রেখার সাথে \(\alpha\) কোণে নত থাকে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y-y^{\prime}=\frac{m+\tan{\alpha}}{1-m\tan{\alpha}}(x-x^{\prime}); \ y-y^{\prime}=\frac{m-\tan{\alpha}}{1+m\tan{\alpha}}(x-x^{\prime})\)

\(Ex.14\) অক্ষ দুইটি তীর্যক হলে দেখাও যে, \(ax+by+c=0\) এর উপর লম্ব যে রেখাটি \((x^{\prime}, y^{\prime})\) বিদুগামী তার সমীকরণ \(\frac{x-x^{\prime}}{a-b\cos{\omega}}=\frac{y-y^{\prime}}{b-a\cos{\omega}}\)

\(Ex.15\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(120^{o}\) হলে \((1, 1)\) বিদু থেকে \(3x+4y+5=0\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}\)

\(Ex.16\) \((h, k)\) বিদু থেকে \(\omega\) কোণ ধারণকারী তীর্যক অক্ষদ্বয়ের ওপর দুইটি লম্ব টানা হলো। লম্ব দুইটির পাদবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ বের কর এবং দেখাও যে, \((h, k)\) বিন্দু থেকে এই রেখার লম্ব দূরত্ব \(\frac{hk\sin^2{\omega}}{\sqrt{h^2+k^2+2hk\cos{\omega}}}\)

\(Ex.17\) আয়তাকার অক্ষের সাপেক্ষে কোনো সামান্তরিকের বাহু চারটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(ax+by+c=0 ....(1)\)
\(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c=0 ....(2)\)
\(ax+by+c^{\prime}=0 ....(3)\)
\(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 ....(4)\)
দেখাও যে সামান্তরিকটির কর্ণ দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি \(a^2+b^2={a^{\prime}}^2+{b^{\prime}}^2\) হয়।

\(Ex.18\) দেখাও যে একটি ত্রিভুজের শীর্ষগুলো হতে বিপরীত বাহুগুলোর ওপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি একবিন্দুতে মিলিত হয়।

\(Ex.19\) আয়তাকার অক্ষের সাপেক্ষে একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমীকরণ
\(x+y+2=0\)
\(2x-y-3=0\)
\(3x+2y-5=0\)
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{338}{21}\) বর্গ একক।

\(Ex.20\) আয়তাকার অক্ষের সাপেক্ষে \(12x+5y-4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলোর সম দ্বি খন্ডক রেখা দুইটির সমীকরণ বের কর এবং মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডকটি সনাক্ত কর।
উত্তরঃ \(7x-9y-37=0\)
\(99x+77y+71=0\)
মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডকটি
\(99x+77y+71=0\)

\(Ex.21\) দেখাও যে একটি ত্রিভুজের
\((i)\) কোণগুলোর অন্তঃদ্বিখন্ডক রেখা তিনটি একবিন্দুতে মিলিত হয়।
\((ii)\) যে কোনো দুইটি কোণের বহিঃদ্বিখন্ডক রেখা দুইটি এবং তৃতীয় কোণটির অন্তঃদ্বিখন্ডক রেখাটি একবিন্দুতে মিলিত হয়।

\(Ex.22\) আয়তাকার অক্ষের সাপেক্ষে একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমীকরণ
\(y-2x=0=0\)
\(x+2y-4=0\)
\(x-2y-2=0\)
ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।

\(Ex.23\) \((a)\) \(\frac{l}{r}=\cos{\theta}+e\cos{(\theta+\alpha)}\) রেখাটি মূলরেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1+e\cos{\alpha}}{e\sin{\alpha}}\right)}\)

\(Ex.23\) \((b)\) একটি রেখা \((\sqrt{2}, 45^{o})\) বিন্দুগামী এবং \(r(2\cos{\theta}+3\sin{\theta})+7=0\) রেখার ওপর লম্ব। রেখাটির পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(r(3\cos{\theta}-2\sin{\theta})-1=0\)

\(Ex.24\) দুইটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(O\) দেওয়া আছে। \(O\) বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা হলো যা প্রদত্ত রেখা দুইটিকে \(R_{1}\) ও \(R_{2}\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(OR_{1}R_{2}\) রেখাটির ওপর \(R\) এরূপ একটি বিন্দু যে \(\frac{2}{OR}=\frac{1}{OR_{1}}+\frac{1}{OR_{2}}\)
দেখাও যে \(R\) বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।

\(Ex.25\) অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \((-2, 3)\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হলো। \(4x^2+8xy+3y^2=0\) সমীকরণটির পরিবর্তিত রূপ কি হবে?
উত্তরঃ \(4x^2+8xy+3y^2+8x+2y-5=0\)

\(Ex.26\) মূলবিন্দুকে \((1, -2)\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করে অক্ষদ্বয়কে \(60^{o}\) কোণে ঘুরালে \(x^2+4xy+y^2+6x-3=0\) সমীকরণটির পরিবর্তিত রূপ কি হবে?
উত্তরঃ \((1+\sqrt{3})x^2-2xy+(1-\sqrt{3})y^2=0\)

\(Ex.27\) \(30^{o}\) কোণ ধারণকারী তীর্যক অক্ষদ্বয়কে আয়তাকার অক্ষে রূপান্তরিত করা হলো যেন মূলবিন্দু ও \(x\) অক্ষ অপরিবর্তিত থাকে। এই পরিবর্তনের ফলে \(2x^2+\sqrt{3}xy+3y^2=2\) সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ কি দাঁড়াবে?
উত্তরঃ \(x^2-\sqrt{3}xy+6y^2-1=0\)

\(Ex.28\) মূলবিন্দু ঠিক রেখে আয়তাকার অক্ষদ্বয়কে \(2\alpha\) কোণ ধারণকারী অক্ষে রূপান্তরিত করা হলে যেন নুতন \(x\) অক্ষটি মূল \(x\) অক্ষের সাথে \(-\alpha\) কোণে নত থাকে। অক্ষদ্বয়ের এই পরিবর্তনের ফলে \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ কি হবে ? যদি \(\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) হয়।
উত্তরঃ \(xy=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\)

\(Ex.29\) \(x-2y+1=0\) ও \(2x+y-8=0\) রেখা দুইটিকে যথাক্রমে নুতন আয়তাকার \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ ধরে এদের প্রেক্ষিতে \(11x^2-4xy+14y^2-48x-44y+126=0\) সমীকরণটিকে রূপান্তরিত কর।
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=1\)

\(Ex.30\) বিন্দু \((\alpha, \beta)\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেন, অক্ষদ্বয়কে সমান্তরালভাবে এই বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হলে \(2x^2+y^2-xy-5x-4y+11=0\) সমীকরণের পরিবর্তীতরূপে শুধুমাত্র দ্বিঘাত পদগুলো থাকবে।
উত্তরঃ \(2x^2-xy+y^2=0\)

\(Ex.31\) আয়তাকার অক্ষদ্বয়ের যথাযথ রূপান্তর করে \(x^2-3xy+3y^2+7x-18y+10=0\) সমীকরণ থেকে \(x\) পদ \(y\) পদ এবং \(xy\) পদ অপসারণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{4+\sqrt{13}}{2}x^2+\frac{4-\sqrt{13}}{2}y^2-36=0\)

\(Ex.32\) \((2, 3)\) বিন্দুগামী দুইটি নুতন আয়তাকার অক্ষের প্রেক্ষিতে \(3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0\) সমীকরণটি \(4x^2+2y^2=1\) সমীকরণে রূপান্তরিত হলে নুতন অক্ষগুলো মূল অক্ষগুলোর সাথে কত ডিগ্রী কোণ উৎপন্ন করে?
উত্তরঃ \(45^{o}\)

\(Ex.33\) যদি একই মূলবিন্দু বিশিষ্ট দুই দল তীর্যক অক্ষের সাপেক্ষে একই বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x, y)\) ও \((x^{\prime}, y^{\prime})\) হয় এবং স্থানাঙ্কের রূপান্তর সমীকরণগুলো \(x=mx^{\prime}+ny^{\prime}, \ y=m^{\prime}x^{\prime}+n^{\prime}y^{\prime}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে,
\(\frac{m^2+{m^{\prime}}^2-1}{n^2+{n^{\prime}}^2-1}=\frac{mm^{\prime}}{nn^{\prime}}\)

\(Ex.34\) আয়তাকার অক্ষদ্বয়ের রূপান্তরের ফলে যদি \(\frac{X^2}{p}+\frac{Y^2}{q}\) রাশিটি \(ax^2+2hxy+by^2\) রাশিটিতে পরিবর্তিত হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{X^2}{p-\lambda}+\frac{Y^2}{q-\lambda}\) এর পরিবর্তিত রূপ হবে, \(\frac{ax^2+2hxy+by^2-\lambda(ab-h^2)(x^2+y^2)}{1-(a+b)\lambda+(ab-h^2)\lambda^2}\)

\(Ex.35\) যদি অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\omega\) হয় তবে, রূপান্তর পদ্ধতি প্রয়োগ করে
\((i)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0, \ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0,\) রেখা দুইটির পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(x_{1}, y_{1}\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) রেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((i), \ a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\cos{\omega}\)
\((ii), \ \frac{(ax_{1}+by_{1}+c)\sin{\omega}}{\sqrt{a^2-2ab\cos{\omega}+b^2}}\)

\(Ex.36\) অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে, মূলবিন্দুকে \((3, 4)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করলে \((-1, -2)\) বিন্দুটির রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-4, -6)\)

\(Ex.37\) অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে, মূলবিন্দুকে \((1, -1)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করলে পরিবর্তিত অক্ষদ্বয় সাপেক্ষে \(ax^2+by+c=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(ax^2+by+2ax+(a-b+c)=0 \)

\(Ex.38\) অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে, মূলবিন্দুকে \((2, 3)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করলে পরিবর্তিত অক্ষদ্বয় সাপেক্ষে \(2x^2+y^2-xy-5x-4y+11=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x^2+y^2-xy=0 \)

\(Ex.39\) যদি মূলবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে অক্ষদ্বয়কে \(45^{o}\) কোণে আবর্তন করা হয় তবে \((\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\) বিন্দুটির রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 1)\)

\(Ex.40\) মূলবিন্দুর অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে অক্ষদ্বয়কে \(90^{o}\) কোণে আবর্তন করলে \(x^4+y^4+6x^2y^2+3x+2y+1=0\) সমীকরণটির রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^4+y^4+6x^2y^2+2x-3y+1=0\)

\(Ex.41\) আদি অক্ষের সাপেক্ষে \(45^{o}\) কোণে আনত অক্ষের ক্ষেত্রে \(x^2-y^2=5\) সমীকরণের পরবর্তিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2xy+5=0\)

\(Ex.42\) মূলবিন্দুকে স্থানান্তর না করে অক্ষদ্বয়কে \(\theta=45^{o}\) কোণে আবর্তন করে \(x^2-2xy+y^2+2x-4y+3=0\) সমীকরণকে রূপান্তর কর।
উত্তরঃ \(2y^2-\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y+3=0\)

\(Ex.43\) মূলবিন্দুকে স্থির রেখে অক্ষদ্বয়কে \(\tan^{-1}{\left(-\frac{4}{3}\right)}\) কোণে আবর্তন করলে \(11x^2+24xy+4y^2-20x-40y-5=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2-4y^2-4x+8y+1=0\)

\(Ex.44\) মূলবিন্দুকে \((1,2)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করে এবং আদি অক্ষদ্বয়কে \(90^{o}\) কোণে আবর্তন করে \((3, 4\)) বিন্দুর রূপান্তরিত স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -2)\)

\(Ex.45\) মূলবিন্দুকে \((2,3)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করে অক্ষদ্বয়কে \(45^{o}\) কোণে আবর্তন করলে তখন \(3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+2y^2=1\)

\(Ex.46\) \(3x+4y+1=0\) এবং \(-4x+3y+1=0\) সরলরেখদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, 3)\) বিন্দুটির রূপান্তরিত স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{6}{5}, \frac{16}{5}\right)\)

\(Ex.47\) পরস্পরের সহিত লম্ব \(x-2y+1=0\) এবং \(2x+y-8=0\) সরলরেখদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে নুতন অক্ষ সাপেক্ষে \(11x^2-4xy+14y^2-58x-44y+126=0\) সমীকরণের পরিবর্তিত আকার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=1\)

\(Ex.48\) \(x^2+2xy+3y^2+2x-4y-1=0\) সমীকরণ থেকে একঘাত বিশিষ্ট পদগুলি অপসারণ কর।
উত্তরঃ \(x^2+2xy+3y^2=\frac{13}{2}\)

\(Ex.49\) \(2x^2-3xy+4y^2+10x-19y+1=0\) সমীকরণ থেকে একঘাত বিশিষ্ট পদগুলি অপসারণ কর।
উত্তরঃ \(2x^2-3xy+4y^2-23=0\)

\(Ex.50\) যে মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(x^2+4y^2-4x-24y+36=0\) সমীকরণ থেকে একঘাত বিশিষ্ট পদগুলি অপসারণ হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 3)\)

\(Ex.51\) \(4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2-1=0\) সমীকরণ হতে \(xy\) পদ অপসারণের জন্য অক্ষদ্বয়কে যে কোণে আবর্তন করতে হবে তা নির্ণয় কর এবং রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30^{o}; \ 5x^2+y^2=1\)

\(Ex.52\) \(17x^2+18xy-7y^2-16x-32y-18=0\) সমীকরণ হতে \(x, \ y\) এবং \(xy\) যুক্ত পদগুলি অপসারণ করে রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x^2-y^2=1\)

\(Ex.53\) \(19x^2+5xy+7y^2-13=0\) সমীকরণ হতে \(xy\) পদ অপসারণ করে রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+y^2=2\)

\(Ex.54\) মূলবিন্দুকে ঠিক রেখে আয়তাকার অক্ষকে যে কোনো কোণে আবর্তন করলে প্রমাণ কর যে, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে \(a+b, \ g^2+f^2\) এবং \(ab-h^2\) অচ্যুত রাশি বা অপরিবর্তক।

\(Ex.55\) মূলবিন্দুকে স্থির রেখে আয়তাকার অক্ষকে আবর্তনের ফলে \(ax^2+2hxy+by^2\) রাশিটির পরিবর্তিত আকার \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2\) হলে প্রমাণ কর যে,
\((i)\) \(a+b=a^{\prime}+b^{\prime}\)
\((ii)\) \(ab-h^2=a^{\prime}b^{\prime}-{h^{\prime}}^2\)

\(Ex.56\) মূলবিন্দুকে \((2, 3)\) বিন্দুতে স্থানান্তর করে আয়তাকার অক্ষকে পূর্বের অক্ষের সহিত কত কোণে আবর্তন করলে \(3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0\) সমীকরণটি \(4x^2+2y^2=1\) আকারে পরিণত হবে।
উত্তরঃ \(45^{o}\)

\(Ex.57\) মূলবিন্দুকে স্থির রেখে অক্ষদ্বয়কে \(\alpha\) কোণে আবর্তন করলে দেখাও যে, \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) সমীকরণের পরিবর্তিত আকার \(x=p\) হবে।

\(Ex.58\) পরস্পরের সহিত লম্ব \(ax+by+c=0\) এবং \(bx-ay+d=0\) সরলরেখদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে নুতন অক্ষ সাপেক্ষে \((ax+by+c)(bx-ay+d)=a^2+b^2\) সমীকরণের পরিবর্তিত আকার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(xy=1\)

\(Ex.59\) পরস্পরের সহিত লম্ব \(ax+by+c=0\) এবং \(bx-ay+d=0\) সরলরেখদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে নুতন অক্ষ সাপেক্ষে \((a^2+b^2)(x^2+y^2)+2(ac+bd)x+\)\(2(bc-ad)y+(c^2+d^2)=(a^2+b^2)r^2\) সমীকরণের রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=r^2\)

\(Ex.60\) আয়তাকার অক্ষের যে পরিবর্তন দ্বারা \(\frac{X^2}{P}+\frac{Y^2}{Q}\) রাশিটি \(ax^2+2hxy+by^2\) আকার ধারণ করে, দেখাও যে, ঐ একই পরিবর্তন দ্বারা \(\frac{X^2}{P-\alpha}+\frac{Y^2}{Q-\alpha}\) রাশিটি নিম্নের আকার ধারণ করে।
\(\frac{(ax^2+2hxy+by^2)-\alpha(ab-h^2)(x^2+y^2)}{1-(a+b)\alpha+(ab-h^2)\alpha^2}\)

\(Ex.61\) অক্ষের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে স্থানান্তর করলে দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((h, k)\) এবং \((-h, -k)\) হয় যাদের আদি স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((5, -13)\) এবং \((-3, 11)\) মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
উত্তরঃ \((1,-1)\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry