সরলরেখা-২ (Straightline-2)

অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।

\(Q.2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।

\(Q.2.(iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3\sqrt{3}\)।

\(Q.2.(iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব।
[ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।

\(Q.2.(v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।

\(Q.2.(vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।
| hints: \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(3x+8y-10=0\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উতপন্ন করে
\(Q.2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) ।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।

\(Q.2.(viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।

\(Q.2.(ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।

\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে ।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।

\(Q.2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।

\(Q.2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।

\(Q.2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।
[ ঢাঃ ২০১৩, রাঃ ২০১৩ ] ।

\(Q.2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।

\(Q.2.(xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।

\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

\((xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।

\(Q.2.(xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।

\(Q.2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।

\(Q.2.(xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(a=3\)।

\(Q.2.(xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) ।
[সিঃ ২০০১ ] ।

\(Q.2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।

\(Q.2.(xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y+2=0\)।

\(Q.2.(xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(5x-1=0\)।

\(Q.2.(xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-4=0\)।

\(Q.2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।

\(Q.2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।

\(Q.2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।

\(Q.2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।

\(Q.2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\)রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।

\(Q.2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।

\(Q.2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।

\(Q.2.(xxxiv)\) \(Y\)অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।
1 2 3 4 5 6