সরলরেখা-৩ (straightline-3)

অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।

\(Q.4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \(-3, 2\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x=y; \ x+y=4.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0 \) ।

\(Q.4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 …….(1)\)
\(kx+4y-7=0 …….(2)\)
\(4x-5y+1=0 …….(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।

\(Q.4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।

\(Q.4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।

\(Q.4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।

\(Q.4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\) \((c) \ \) ।
locus4

\(Q.4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) (AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ x+(\sqrt{2}-1)y+1+6\sqrt{2}=0\) ।
locus4

\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
locus4

\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।

\(Q.4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}), \frac{5\pi}{4}\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (1, 1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1. \) ।
locus4

\(Q.4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।
\(Q.4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
locus4

\(Q.4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।
\(Q.4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
locus4

\(Q.4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।
locus4

\(Q.4.(xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xix)\) একটি সরলরেখা \((-4, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xx)\) \((5x-4y-1=0)\) ও \((-8x+7y+1=0)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\) সরলরেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।

নিজে করঃ

locus4

\(Q.4.(xxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\) \((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \).

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxii)\) দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\) ও \(B(2, 270^{o})\)।
\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxiii)\) \(A(2, 3)\) ও \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থীর বিন্দু।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxiv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(B(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(B(6, -8)\)। মধ্যমাত্রয় \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\); \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।

নিজে করঃ

locus4

\(Q.4.(xxv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\) \((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxvi)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\) \((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxvii)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত। \(OC\) এর সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\)।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxviii)\) নিচের বিন্দু চারটি লক্ষ কর।
\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxix)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\) \((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxx)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\) \((c) \ 6x+2y=17\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(3x+by+1=0 ……..(1)\)
\(ax+6y+1=0 ……..(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\) \((c) \ 2y-7=0\)

নিজে করঃ

locus4

\(Q.4.(xxxii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiii)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক। \((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxiv)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(2x-3y+4=0 ……..(1)\)
\(3x+3y-5=0 ……..(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxv)\) নিচের বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু ।
\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxvi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(y=2x+1 ……..(1)\)
\(2y-x=4 ……..(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক। \((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)

নিজে করঃ

locus4

\(Q.4.(xxxvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)। \((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxviii)\) \((-4, 4)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(CD\) রেখার সমীকরণ \(2x-7y+11=0\) এবং \(DE\) রেখার সমীকরণ \(x+3y-8=0\).
\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক। \((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \).

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxix)\) \(x+2y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক। \((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \).

নিজে করঃ

\(Q.4.(xxxx)\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\).

নিজে করঃ

locus4

\(Q.4.(xxxxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)। \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)

নিজে করঃ

1 2 3 4 5 6