বৃত্ত-২ (Circle-Two)

অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।

\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।

\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।

\(Q.3.(iv)\)\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।

\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।

\(Q.3.(vi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-3=0\)।

\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।

\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।

\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।

\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।

\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।

\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।

\(Q.3.(xiv)\) \(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।

\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।

\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।

\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।

\(Q.3.(xix)\) \(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\)।

\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxi)\) নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
। উত্তরঃ \(10\)।

\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 10\)।

\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।

\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।

\(Q.3.(xxv)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।

\(Q.3.(xxvi)\) \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।

\(Q.3.(xxvii)\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।

\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।

\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)

\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .

\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .

\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।

\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।

\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।

\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।

\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
1 2 3 4 5 6 7