পরাবৃত্ত (Parabola)

অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।

\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।

\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।

\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।

\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।

\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।

\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।

\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।

\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{61}{40}\right) 2x+3=0, 40y+81=0\)।

\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
\(Q.2.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।

\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।

\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((\acute c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(\acute c-c)(x-\acute c)\)।

\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।

\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।

\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।

\(Q.2.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply