উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) \(25x^{2}+16y^2=400\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৫, ২০০৯; যঃ ২০০১৪; কুঃ ২০০৯,২০০৭; দিঃ ২০১২; বঃ, রাঃ ২০০৮,২০০৬; বুয়েটেক্স ১২-১৩]

উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]

উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]

উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬ ; যঃ ২০১২]

উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]

উদাহরণ \(6.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+2=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]

উদাহরণ \(8.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((3, 4)\), দিকাক্ষরেখা \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ২০০২,২০১০; যঃ২০০১,২০০৭,২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; ঢাঃ ২০১০, ২০০৭; বঃ২০০১; মাঃ ২০০৭ ]

উদাহরণ \(9.\) উপবৃত্তের অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\); উপবৃত্তটির দিকাক্ষরেখার সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০০; যঃ২০০৫,২০১২; ]

উদাহরণ \(10.\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০০; ]

উদাহরণ \(11.\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০১; ঢাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৯;চঃ ২০০৩;কুঃ২০০৬;সিঃ ২০০৮।]

উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]

উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) \(4x^2+25y^2=100\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((5, 0)\) , \((0, 2)\) , \((3, 1.6)\) এবং \((-4, 1.2)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫;বঃ২০০২;মাঃ২০১০,২০০৮।]

উদাহরণ \(16.\) \(4x^2+py^2=80\) উপবৃত্তটি \((0, \pm 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১০;যঃ২০০৮;চঃ২০০১।]

উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]

উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]

উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]

উদাহরণ \(20.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং দিকাক্ষরেখা \(2x+y=3\)।
[ ঢাঃ২০০১,২০০০; চঃ২০০১,২০০০ ]

উদাহরণ \(21.\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(22.\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(23.\) \(5x^2+4y^2=1\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।

উদাহরণ \(25.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।

উদাহরণ \(27.\) \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর বিভিন্ন উপাদান নির্ণয় কর।
1 2 3 4 5 6

Leave a Reply