উপবৃত্ত (Ellipse)

অনুশীলনী \(5.B\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) \(25x^{2}+16y^2=400\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৫, ২০০৯; যঃ ২০০১৪; কুঃ ২০০৯,২০০৭; দিঃ ২০১২; বঃ, রাঃ ২০০৮,২০০৬; বুয়েটেক্স ১২-১৩]

উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]

উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]

উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬ ; যঃ ২০১২]

উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]

উদাহরণ \(6.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+2=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]

উদাহরণ \(8.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((3, 4)\), দিকাক্ষরেখা \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ২০০২,২০১০; যঃ২০০১,২০০৭,২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; ঢাঃ ২০১০, ২০০৭; বঃ২০০১; মাঃ ২০০৭ ]

উদাহরণ \(9.\) উপবৃত্তের অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\); উপবৃত্তটির দিকাক্ষরেখার সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০০; যঃ২০০৫,২০১২; ]

উদাহরণ \(10.\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০০; ]

উদাহরণ \(11.\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০১; ঢাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৯;চঃ ২০০৩;কুঃ২০০৬;সিঃ ২০০৮।]

উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]

উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) \(4x^2+25y^2=100\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((5, 0)\) , \((0, 2)\) , \((3, 1.6)\) এবং \((-4, 1.2)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(15.\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫;বঃ২০০২;মাঃ২০১০,২০০৮।]

উদাহরণ \(16.\) \(4x^2+py^2=80\) উপবৃত্তটি \((0, \pm 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১০;যঃ২০০৮;চঃ২০০১।]

উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]

উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]

উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]

উদাহরণ \(20.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং দিকাক্ষরেখা \(2x+y=3\)।
[ ঢাঃ২০০১,২০০০; চঃ২০০১,২০০০ ]

উদাহরণ \(21.\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(22.\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(23.\) \(5x^2+4y^2=1\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।

উদাহরণ \(25.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।

উদাহরণ \(27.\) \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর বিভিন্ন উপাদান নির্ণয় কর।

অনুশীলনী \(5.B\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) \(25x^{2}+16y^2=400\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০১২; সিঃ ২০১০,২০০৬]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
\(25x^{2}+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^{2}}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(x=0\) এবং \(y=0\).
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm 3\)
নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 25\)
\(\therefore 3y\pm 25=0\)

উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(px^{2}+4y^2=1 …….(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।

উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2^{2}}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1 …….(2)\)
আবার,
\(\frac{3^{2}}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1 …….(3)\)
\((3)\times 4-(2) \)-এর সাহায্যে
\(\frac{36}{a^2}+\frac{4}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{a^2}-\frac{4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{36-4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{32}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=32\)
\(\therefore a^2=\frac{32}{3}\)
\(a^2\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{9}{\frac{32}{3}}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{27}{32}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1-\frac{27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{32-27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{5}{32}\)
\(\Rightarrow 5b^2=32\)
\(\therefore b^2=\frac{32}{5}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{32}{3}}+\frac{y^2}{\frac{32}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^{2}}{32}+\frac{5y^2}{32}=1\)
\(\therefore 3x^{2}+5y^2=32\) | উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{32}{5}}{\frac{32}{3}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{32}{5}\times \frac{3}{32}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-3}{5}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2}{5}}\)

উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় ক র।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১২]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\), অতএব \(Y\) অক্ষ হবে এর বৃহৎ অক্ষ।
উৎকেন্দ্রতা \(e=\frac{4}{5}\)
এখন,
\(be=4\) | উপকেন্দ্ \((0, \pm be)\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{5}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{5}{4}\)
\(\therefore b=5\)
আবার,
\(a^2=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow a^2=5^2\{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\{1-\frac{16}{25}\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\(\therefore a=3\)
\(a\) ও \(b\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0 ….(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y+3)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y+3)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2+9-2xy+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2-9+2xy-6x+6y=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+10x-10y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(6.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+2=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উঃ \(3x^2+3y^2+2xy-12x+12y+4=0; 4\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8a^2}{9} ……(2)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{8a^2}{9}=8a\) | \((2)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16a^2=72a\)
\(\Rightarrow 2a=9\) | \(8a\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{8a^2}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times \frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=2\times 9\)
\(\therefore b^2=18\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{4x^{2}}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(8.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((3, 4)\), দিকাক্ষরেখা \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ কুঃ২০০২,২০১০; যঃ২০০১,২০০৭,২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; ঢাঃ ২০১০, ২০০৭; বঃ২০০১; মাঃ ২০০৭ ]
উঃ \(17x^2+17y^2-2xy-104x-140y+446=0\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(9.\) উপবৃত্তের উপবৃত্তের অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\); উপবৃত্তটির দিকাক্ষরেখার সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০০; যঃ২০০৫,২০১২; ]
উঃ \(8x^2+9y^2=848; x=\pm 27\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(10.\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০০; ]
উঃ \((\pm \sqrt{7}, 0);\) \(\sqrt{7}x=\pm 16\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(11.\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০১; ঢাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৯;চঃ ২০০৩;কুঃ২০০৬;সিঃ ২০০৮।]
উঃ \(p=100; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) | উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(X=x-2, Y=y+1\) হলে,
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ………..(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(0, 0)\)
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=-1\)
\(\therefore C(2, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=-1\) এবং \(x=-1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3, y=-1\) এবং \(x=1, y=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয় \( (3, -1)\) এবং \((1, -1) \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\) একক।
দিকাক্ষের সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2\) এবং \(x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7\) এবং \(x=-3\)
\(\therefore x-7=0\) এবং \(x+3=0\)

উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর কটি \(y=0\)
\(\therefore \frac{x}{7}+\frac{0}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=1\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (7, 0)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর ভুজ \(x=0\)
\(\therefore \frac{0}{3}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow y=5\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (0, 5)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \( (7, 0)\) এবং \( (0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{7^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{49}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow a^2=49\)
\(\therefore a=7\)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(\therefore b=5\)
\(\therefore a>b \)
এখন,
\(a^2=49, b^2=25\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{49-25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{24}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 6}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\frac{2\sqrt{6}}{7}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 7\times \frac{2\sqrt{6}}{7}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{6}, 0)\)

উদাহরণ \(14.\) \(4x^2+25y^2=100\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((5, 0)\) , \((0, 2)\) , \((3, 1.6)\) এবং \((-4, 1.2)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+25y^2=100\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{100}+\frac{25y^2}{100}=1\) | উভয় পার্শে \(100\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1 ……..(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=2\)
\(\therefore a>b \)
আমরা জানি,
উপবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যেকোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((5, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{2.5}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{0}{10}\right)=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (5, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos0^{o}, 2\sin0^{o})\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.2}{2.0}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{10}{0}\right)=\tan^{-1}\infty=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos90^{o}, 2\sin90^{o})\)
\((3, 1.6)\) বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.6}{2\times 3}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)=53^{o}\acute 6\)
\(\therefore (3, 1.6)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos53^{o}\acute 6, 2\sin53^{o}\acute 6)\)
\((-4, 1.2)\) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.2}{2\times -4}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{6}{-8}\right)\)\(=-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(therefore \theta=143^{o}\acute{7}\)
\(\therefore (-4, 1.2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 2\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=143^{o}\acute{7}\)

উদাহরণ \(15.\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫;বঃ২০০২;মাঃ২০১০,২০০৮।]
উত্তরঃ \( e=\frac{3}{5}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5}; x=\pm 3; 3x=\pm 25\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(16.\) \(4x^2+py^2=80\) উপবৃত্তটি \((0, \pm 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১০;যঃ২০০৮;চঃ২০০১।]
উত্তরঃ \(4\sqrt{5}; 8; e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2(1-e^2) ………(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{a^2}\)
\(e^2\)-এর এই মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(b^2=a^2\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1 …….(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow a^2-1=\frac{3a}{2}\) | \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 2a^2-2=3a\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\((3)\) হতে \(b^2=4-1\)
\(\therefore b^2=3\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=2ae\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2ae=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{8}{2a}\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{a}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{16}{a^2}…….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{16}{a^2}\right)\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-16}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-16 ……..(3)\)
আবার,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
দেওয়া আছে,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=18\)
\(\therefore \frac{2a}{e}=18\)
\(\Rightarrow 2a=18e\)
\(\Rightarrow a=9e\)
\(\Rightarrow a^2=81e^2\)
\(\Rightarrow a^2=81\times \frac{16}{a^2}\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^4=81\times 16\)
\(\Rightarrow a^2=\sqrt{81\times 16}\)
\(\Rightarrow a^2=9\times 4\)
\(\Rightarrow a^2=36\)
\((3)\) হতে \(b^2=36-16 \)
\(\therefore b^2=20 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ……..(3)\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow a^2=16\)
আবার,
\((3)\) হতে \(b^2=16-4 \)
\(\therefore b^2=12 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(20.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং দিকাক্ষরেখা \(2x+y=3\)।
[ ঢাঃ২০০১,২০০০; চঃ২০০১,২০০০ ]
উত্তরঃ \((11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(21.\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\pm 4, 0); x=\pm 25.\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(22.\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6; 4.\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(23.\) \(5x^2+4y^2=1\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{5}}; \left(0, \pm \frac{1}{2\sqrt{5}}\right); 2y=\pm \sqrt{5}; \frac{4}{5}; 2\sqrt{5}y=\pm 1.\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ……..(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) | \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) | উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) | উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(25.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)…..(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} …….(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) | \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ……..(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) | \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(27.\) \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর বিভিন্ন উপাদান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C\left(-1, \frac{3}{2}\right); e=\frac{2}{3};\) উপকেন্দ্রদ্বয় \( \left(1, \frac{3}{2}\right), \left(-3, \frac{3}{2}\right);\) অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ \( 2y=3; x+1=0;\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ \( 2x-7=0, 2x+11=0\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ \(\frac{10}{9}; x-1=0, x+3=0\)

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article