অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)


অনুশীলনী \(5.C\) উদাহরণ সমুহ

উদাহরণ \(1.\) \(x^2-3y^2-2x=8\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রতা, অক্ষদ্বয় ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]

উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]

উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]

উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]

উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, b, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(9.\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]

উদাহরণ \(10.\) এরূপ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y=1\) ।
[ ঢাঃ ২০০৮,২০০৪;যঃ২০০৮,২০০৩;কূঃ২০০৯,২০০৮,২০০৪;দিঃ২০১১,২০০৯;রাঃ২০১৫;চঃ২০১৪,২০১১বঃ২০১৪,২০০৮;মাঃ২০১১,২০০৯ ]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।hyperbola
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।

অনুশীলনী \(5.C\) উদাহরণ সমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) \(x^2-3y^2-2x=8\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রতা, অক্ষদ্বয় ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-3y^2-2x=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x-3y^2=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=8+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{3y^2}{9}=1\) | উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1\)
ধরি,
\(x-1=X, y=Y\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{3}=1 …..(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{12}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে,
\(X=0,Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0,y=0\) | \(\because X=x-1, Y=y\)
\(\Rightarrow x=1,y=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(1, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\)
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+3,1-3, y=0\)
\(\therefore x=4,-2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষ, \((4, 0), (-2, 0)\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times 2, y=0\)
\(\therefore x=1\pm 2\sqrt{3}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \((1+2\sqrt{3}, 0), (1-2\sqrt{3}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2.3=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b=2\sqrt{3}\)
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{3}\)
\(=2\)
নিয়ামকের সমীকরণ ,\(X=\pm ae\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore 2(x-1)=\pm 3\sqrt{3}\)
লেখচিত্র অংকনঃ প্রদত্ত সমীকরণ, \(x^2-3y^2-2x=8\)hyperbola
\(\Rightarrow x^2-2x-8=3y^2\)
\(\Rightarrow 3y^2=x^2-2x-8\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{3}(x^2-2x-8)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-4x+2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\{x(x-4)+2(x-4)\}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x-4)(x+2)}\)
এখন, \((x-4)(x+2)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0, x+2\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0, x+2\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4, x\geq -2\) বা, \(x\leq 4, x\leq -2\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -2\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।

\(x\) \(-5\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(y\) \(\pm 3\) \(\pm 2.3\) \(\pm 1.5\) \(0\) \(0\) \(\pm 1.5\) \(\pm 2.3\) \(\pm 3\)

উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((-5, \pm 3),(-4, \pm 2.3),(-3, \pm 1.5),(-2, 0),(4, 0),(5, \pm 1.5),(6, \pm 2.3),(7, \pm 3)\) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই।

উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S(4, 2)\) ও \(\acute{S}(8, 2)\)
\(\therefore S\acute{S}=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(0)^2}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব, \(S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 4=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=2\) | \(\because e=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b^2=1.(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=3\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার মধ্যবিন্দু অধিবৃত্তের কেন্দ্র,
\(C(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2})\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{12}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\therefore C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\Rightarrow \alpha=6, \beta=2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore (x-6)^2-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)

উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা্‌ \(e=\sqrt{5}\)
নিয়ামকরেখা, \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ……(1)\)
অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{3x-4y-10}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+16y+65=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (3x-4y-10)^2=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y-5x^2-5y^2+10x-80y-325\)
\(\Rightarrow 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]

সমাধানঃ

ধরি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore ((\pm 5, 0)\)
নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)

উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, p, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((b)\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,hyperbola
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ……(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) | \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\((c)\) \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 ….(1)\) যেখানে,\( p, q\ne 0\).
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,hyperbola
\(a^2=p^2, b^2=q^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=p, b=q\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{q^2}{p^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore q^2=\frac{8p^2}{9} …..(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{p}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{8}=p\)
\(\Rightarrow p=\frac{q^2}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{\frac{8p^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{8p^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2p^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9p=2p^2\)
\(\Rightarrow 2p^2=9p\)
\(\Rightarrow 2p=9, \because p\ne 0\)
\(\Rightarrow p=\frac{9}{2}\)
\(\therefore p^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(q^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=2\times 9\)
\(\therefore q^2=18\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)

উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x-9y^2+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)-9(y^2-2y)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)-9(y^2-2y+1-1)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16-9(y^2-2y+1)+9-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2-36=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{36}-\frac{9(y-1)^2}{36}=1\) | উভয় পার্শে \(36\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y-1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{4}=1 ……(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ,
\(y-1=\pm \frac{2}{3}(x-2)\) | \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ, \(y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=\pm 2(x-2)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=2(x-2); 3(y-1)=-2(x-2) \)
\(\Rightarrow 3y-3=2x-4; 3y-3=-2x+4 \)
\(\Rightarrow 2x-4=3y-3; 2x-4+3y-3=0 \)
\(\Rightarrow 2x-4-3y+3=0; 2x+3y-7=0 \)
\(\therefore 2x-3y-1=0; 2x+3y-7=0 \)

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) | উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2\times 2}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 4\)
(Showed)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2\times \frac{1}{4}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
(Showed)

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-14x-9y^2-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x)-9(y^2+4y)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1-1)-9(y^2+4y+4-4)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1)-7-9(y^2+4y+4)+36-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2-63=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7(x-1)^2}{63}-\frac{9(y+2)^2}{63}=1\) | উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{7}=1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{7}=1 …….(1)\) যেখানে, \(X=x-1,Y=y+2\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=7\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore\) কেন্দ্র, \( (1, -2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{4}{3}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \( (5, -2), (-3, -2)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\therefore X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}} \)
\(\Rightarrow x=1\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm 9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+9}{4}, x=\frac{4-9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{13}{4}, x=\frac{-5}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=13, 4x=-5\)
\(\therefore\) দিকাক্ষের সমীকরণ, \(4x-13=0, 4x+5=0\)

উদাহরণ \(9.\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]

সমাধানঃ

মনে করি,hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(10.\) এরূপ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y=1\) ।
[ ঢাঃ ২০০৮,২০০৪;যঃ২০০৮,২০০৩;কূঃ২০০৯,২০০৮,২০০৪;দিঃ২০১১,২০০৯;রাঃ২০১৫;চঃ২০১৪,২০১১বঃ২০১৪,২০০৮;মাঃ২০১১,২০০৯ ]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)

সমাধানঃ

উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।hyperbola
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে,hyperbola
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(x^2=4y …..(1)\)
এখানে,
\(4a=4\) | \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
\((1)\)-এর \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2=2a(y+1)\) | \(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরোস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)
\(\Rightarrow 2x=2.1.(y+1)\)
\(\Rightarrow 2x=2(y+1)\)
\(\Rightarrow x=y+1\)
\(\therefore x-y-1=0\)
\((b)\)
ধরি,
উপবৃত্তটির সমীকরণ,hyperbola
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 …….(2)\)
উদ্দীপকের চিত্র থেকে,
\(A\acute{A}=8\)
\(\Rightarrow 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\Rightarrow b^2=16\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\frac{3^2}{a^2}+\frac{2^2}{16}=1\) | \(\because b^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{4-1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 3a^2=36\)
\(\therefore a^2=12\)
\(\therefore a^2=12, b^2=16, (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((c)\)
চিত্রমতে অধিবৃত্তটির সমীকরণ,hyperbola
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 …….(3)\)
চিত্রে অসীমতটরেখা মূলবিন্দু এবং \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \) অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow 3y=2x\)
\(\therefore y=\frac{2}{3}x\)
\(\therefore\) অসীমতটরেখার সমীকরণ, \( y=\pm \frac{2}{3}x ….(4)\)
আবার,
আমরা জানি,
অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x ……..(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) তুলুনা করে,
\(a=3, b=2\)
কিন্তু \((b)\) হতে প্রাপ্ত \(b=4\)
সে ক্ষেত্রে \((4)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\( y=\pm \frac{4}{6}x \)
\(\therefore a=6, b=4\)
\(\therefore a^2=36, b^2=16\)
\((3)\) হতে,
\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,hyperbola
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 3)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ……(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ……(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3}{a}=1\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
\(\therefore a^2=b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((3, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (3, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec0^{o}, 2\tan0^{o})\)
\( (5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{4}{3}=53.13^{o}\)
\(\therefore (5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec53.13^{o}, 2\tan53.13^{o})\)
\( (-5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec126.87^{o}, 2\tan126.87^{o})\)
\( (-5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec233.13^{o}, 2\tan233.13^{o})\)
\( (5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=360^{o}-53.13^{o}=306.87^{o}\)
\(\therefore (5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec306.87^{o}, 2\tan306.87^{o})\)

উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 …….(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{2}\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=\frac{8}{3}\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
\(\therefore \frac{2a}{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4a}{3}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{8\times 3}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(b^2=4\{\left(\frac{3}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{5}{4}\}\)
\(\therefore b^2=5\)
\(a^2=4, b^2=5 (1)\) সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

1 2 3 4 5