অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)

\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).

\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).

\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).

\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).

\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).

\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).

\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o}, 157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)

(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)

\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)

\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)

\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)

\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t+\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।

\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)

\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((ae, 0),(-ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(=ae-(-ae)=ae+ae=2ae\)
\(\therefore 2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times 2}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=16\times 2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=32\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2=b^2=32\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \((0, b),(0, -b)\)
শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=b-(-b)=b+b=2b\)
\(\therefore 2b=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=1\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{1\}\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2=b^2=1\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\)
\(\therefore 2a=24\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow \pm be=\pm 13\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore b^2e^2=169\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2e^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=b^2e^2-a^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2=144, b^2=25\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3\sqrt{3}, 0)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a=3\sqrt{3}\times \frac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\therefore a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2\{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{23}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=23\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{23}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{23}}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{23}x\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{23}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).

সমাধানঃ

শর্তমতে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ……..(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 4)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow be=4\)
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{3}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{3}{4}\)
\(\therefore b=3\)
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=3^2\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=7\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{7}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{7}y=\pm 3x\)
\(\therefore \sqrt{7}y\pm 3x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\)
অর্থাৎ উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\), \(\acute{S}((-4, 2))\)
\(S\acute{S}\)-এর মুধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(S\acute{S}=\sqrt{()^2+()^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\) | \(\because S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(8)^2+(0)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64+0}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(3)\)
\(\Rightarrow b^2=12\)
\(\Rightarrow b=2\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-0)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}-\frac{(y-2)^2}{(2\sqrt{3})^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1 ……..(1)\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y-2=\pm \frac{b}{a}x\) | \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y-2=\pm \frac{2\sqrt{3}}{2}x\)
\(\Rightarrow (y-2)=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore (y-2)\pm \sqrt{3}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y)-9(x^2-4x)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16-16)-9(x^2-4x+4-4)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16)-400-9(x^2-4x+4)+36-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2-504=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2=504\)
\(\Rightarrow \frac{25(y+4)^2}{504}-\frac{9(x-2)^2}{504}=1\)
\(\therefore \frac{(y+4)^2}{\frac{504}{25}}-\frac{(x-2)^2}{56}=1 ….(1)\)
এখানে,
\(a^2=56, b^2=\frac{504}{25}\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{56}, b=\frac{\sqrt{504}}{5}\)
\(\therefore a=2\sqrt{14}, b=\frac{6\sqrt{14}}{5}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y+4=\pm \frac{b}{a}(x-2)\) | \(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{\frac{6\sqrt{14}}{5}}{2\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{6\sqrt{14}}{10\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{3}{5}(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)=\pm 3(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\)

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) | উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 ….(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{4}x\)
\(\therefore 4y\pm 3x=0\)

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o}, 157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=169\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=13\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec0^{o}, 13\tan0^{o})\)
\( (13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{5}{12}=22.62^{o}\)
\(\therefore (13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec22.62^{o}, 13\tan22.62^{o})\)
\((-12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}0=180^{o}+0^{o}=180^{o}\)
\(\therefore (-12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec180^{o}, 13\tan180^{o})\)
\( (-13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}-22.62^{o}=157.38^{o}\)
\(\therefore (-13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec157.38^{o}, 13\tan157.38^{o})\)
\( (-13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}+22.62^{o}=202.62^{o}\)
\(\therefore (-13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec202.62^{o}, 13\tan202.62^{o})\)
\( (13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=360^{o}-22.62^{o}=337.38^{o}\)
\(\therefore (13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec337.38^{o}, 13\tan337.38^{o})\)

\(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=90^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{3}\right)\)\(=90^{o}+\tan^{-1}0=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan90^{o}, 2\sec90^{o})\)
\( (4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=53.13^{o}\)
\(\therefore (4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan53.13^{o}, 2\sec53.13^{o})\)
\( (-4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan126.87^{o}, 2\sec126.87^{o})\)
\( (-4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan233.13^{o}, 2\sec233.13^{o})\)
\( (4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=360^{o}-53.13=306.87^{o}\)
\(\therefore (4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan306.87^{o}, 2\sec306.87^{o})\)

\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400 ……(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((5, 3)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(25x.5-16y.3=25.5^2-16.3^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}-a^2y.y_{1}=b^2x_{1}-a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 125x-48y=25.25-16.9\)
\(\Rightarrow 125x-48y=625-144\)
\(\therefore 125x-48y=481\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।

\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2-2y^2=-6 ……(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরস্থ \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(3x.2-2y.3=-6\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}-\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 6x-6y=-6\)
\(\Rightarrow 6(x-y)=-6\)
\(\Rightarrow x-y=-1\)
\(\therefore y-x=1\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)

সমাধানঃ

ধরি, locus4
সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=k-2x ……(1)\)
বক্ররেখার সমীকরণ,
\(xy=1……(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(x(k-2x)=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2-1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-kx+1=0\) | \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore 2x^2-kx+1=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে।
যেহেতু, \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বক্ররেখাকে স্পর্শ করে। তাই \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\((-k)^2=4.2.1\) | \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow k^2=8\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) | \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1 …..(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}x\)
\(\therefore y=\frac{5}{4}x …..(2)\)
এবং
\(y=-\frac{5}{4}x …..(3)\)
\((2)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{1}=\frac{5}{4}\)
\((3)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{2}=-\frac{5}{4}\)
অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(\theta=\tan^{-1}\{\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{4}+\frac{5}{4}}{1+\frac{5}{4}\times -\frac{5}{4}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5+5}{4}}{1-\frac{25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{10}{4}}{\frac{16-25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{2}}{\frac{-9}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{5}{2}\times \frac{16}{9}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{40}{9}\}\)
যেহেতু \(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ,
\(\therefore +ve\) চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(=\tan^{-1}\frac{40}{9}\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের ফোকাস \(S(1, -1)\)
অধিবৃত্তের অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0 …..(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
এবং অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e.\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2.\frac{(2x+y+1)^2}{5} …..(2)\)
\((2)\) নং অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (0-1)^2+(1+1)^2=e^2.\frac{(2.0+1+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (-1)^2+(2)^2=e^2.\frac{(0+2)^2}{5}\)
\(\Rightarrow 1+4=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 5=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{4}\)
\((2)\) হতে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{25}{4}\times \frac{(2x+y+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{5}{4}\times (2x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+2y+2=\frac{5}{4}\times (4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=5(4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8=20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y=4x^2-8x+4y^2+8y+8\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y-4x^2+8x-4y^2-8y-8=0\)
\(\therefore 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ ।

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\)
\(\therefore x=a\frac{1+t^2}{1-t^2} …..(1)\)
এবং \( y=\frac{2at}{1-t^2} …….(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2-1+t^2}\) | যোজন ও বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{2}{2t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1}{t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{x+a}=t^2\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{x-a}{x+a}\)
\(\therefore t=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\therefore t\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{2a\times \sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{1-\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{x+a-x+a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{2a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=2a\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \frac{x+a}{2a}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \sqrt{x+a}\times \sqrt{x+a}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x^2-a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=x^2-a^2\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-x^2=-a^2\)
\(\therefore x^2-y^2=a^2 ….(3)\) যা একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
অতএব, বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((3)\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=b^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore \) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{a^2}{a^2}}\) | \(\because a^2=b^2\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right)\)
ধরি,
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right) …..(1)\)
এবং \(y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right) …….(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{2x}{a}=t+\frac{1}{t}\)
\(\therefore t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
আবার,
\((2)\Rightarrow y^2=\frac{1}{4}b^2\left(t-\frac{1}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-4t\times \frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(\frac{2x}{a}\right)^2-4\) | \(\because t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\frac{4x^2}{a^2}-4\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}-\frac{4x^2}{a^2}=-4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) | উভয় পার্শে \(-4\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((showed)\)

\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2-y^2=a^2 …..(1)\)
\((1)\)-এর উপর একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\)
এবং একটি স্থির বিন্দু \(A(2a, 0)\)
\(AP\)-এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{0+a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore x=\frac{2a+a\sec\theta}{2}, y=\frac{a\tan\theta}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=2a+a\sec\theta, 2y=a\tan\theta\)
\(\Rightarrow 2a+a\sec\theta=2x, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow a\sec\theta=2x-2a, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow \sec\theta=\frac{2x-2a}{a}, \tan\theta=\frac{2y}{a}\)
\(\therefore \sec\theta=\frac{2x-2a}{a} ……(2)\)
এবং
\(\tan\theta=\frac{2y}{a} ……(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বর্গ করে বিয়োগ করি।
\(\sec^2\theta-\tan^2\theta=\frac{(2x-2a)^2}{a^2}-\frac{(2y)^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}\) | \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2-4y^2}{a^2}=1 \)
\(\therefore 4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, locus4
সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7 …..(1)\)
এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7} ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}+\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=7+\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{49+1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{50}{7}\)
\(\therefore \frac{x}{5}=\frac{25}{7} …..(3)\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) বিয়োগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}-\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7-\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow -\frac{2y}{4}=\frac{49-1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2y}{4}=-\frac{48}{7} …..(4)\)
\(\therefore \frac{y}{4}=-\frac{24}{7} …..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে বিয়োগ করে।
\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625}{49}-\frac{576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625-576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{49}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-25y^2}{400}=1\)
\(\therefore 16x^2-25y^2=400\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

1 2 3 4 5