অধিবৃত্ত-১ (Hyperbola-1)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)

\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)

\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)

\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).

\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).

\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).

\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).

\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).

\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o}, 157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)

\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)

\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)

\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)

\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t+\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।

\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)

\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)
1 2 3 4 5