অধিবৃত্ত-২ (Hyperbola-2)

mybarcode
অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\) \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \).

\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।

\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।

\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\) ।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।

\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\) \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\) \((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।

\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।

\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c (n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।

\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)

\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)

\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\); \((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)
নিজে কর।
\(Q.4.(xii)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\); \((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
নিজে কর।
1 2