অধিবৃত্ত-২ (Hyperbola-2)

ENGLISH VERSION

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\) \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \).


\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।

\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।

\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\) ।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।

\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\) \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\) \((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।

\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।

\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।

\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c (n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।

\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)

\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)

\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\); \((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)

\(Q.4.(xii)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\); \((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\) \((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \).

সমাধানঃ

\(Q.4.(i).(a)\)
দেওয়া আছে, locus4
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=12px ……….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-1)^2=12p.2 \)
\(\Rightarrow 1=24p \)
\(\Rightarrow 24p=1 \)
\(\therefore p=\frac{1}{24} \)
\((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x \)
\(y^2=\frac{1}{2}x …..(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) | \(y^2=4ax \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।

\(Q.4.(i).(b)\)
locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4-4)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4)-12-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2-10x-30=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10x+30\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10(x+3)\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
ধরি,
\(X=x+3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ……(1)\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{12}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু,
\((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\therefore x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু, \((-3, 2)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র,
\((a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3+\frac{5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-18+5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\therefore x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \(\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ,
\(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x+3+\frac{5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+18+5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+23}{6}=0\)
\(\therefore 6x+23=0\)

\(Q.4.(i).(c)\)locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0 ….(1)\)
ধরি,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\) -এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{x^2+y^2+1^2+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{x^2+y^2+1+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4-x^2-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা নিয়ামকরেখার উপর লম্ব,
অক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ….(2)\) | \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
ইহাই পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(=2\times SZ\)
\(=2\times \frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) | \(SZ=\) উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=2\times \frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)

\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-3);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
ধরি,
\(X=x-3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ….(1)\)
ইহাই পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
যখন, \( X=x-3, Y=y-2\)

\(Q.4.(ii).(b)\)locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax …….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3 \)
\(\Rightarrow 4=12a \)
\(\Rightarrow 12a=4 \)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12} \)
\(\therefore a=\frac{1}{3} \)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((a, 0)\)
\(\therefore (\frac{1}{3}, 0)\)

\(Q.4.(ii).(c)\)locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax …….(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ….(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)

\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iii).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) | উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1 …..(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) | \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2\times 5=10\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2\times 4=8\) একক।

\(Q.4.(iii).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ……(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) | \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\(Q.4.(iii).(c)\) locus4

দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,
\(a^2=l^2, b^2=m^2\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=l, b=m\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\) | \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{m^2}{l^2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore m^2=\frac{8l^2}{9} …..(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{l}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{8}=l\)
\(\Rightarrow l=\frac{m^2}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{\frac{8l^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{8l^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{2l^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9l=2l^2\)
\(\Rightarrow 2l^2=9l\)
\(\Rightarrow 2l=9, \because l\ne 0\)
\(\Rightarrow l=\frac{9}{2}\)
\(\therefore l^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(m^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=2\times 9\)
\(\therefore m^2=18\)
\(\therefore l^2+m^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)

conic
\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\) ।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(iv).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) | উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 …..(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=3\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore x=\pm 4\)

\(Q.4.(iv).(b)\) locus4

ধরি,
\(Z(\alpha, \beta), MZ\) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 4)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=0, \frac{\beta+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow \alpha+2=0, \beta+4=0\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=-4\)
\(\therefore Z(-2, -4)\)
\(SZ\) অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{4+4}{2+2}\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=-\frac{1}{2}\) | \(\because \) নিয়ামকরেখা, অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y+4=m_1(x+2)\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+4=-\frac{1}{2}(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-x-2\)
\(\Rightarrow x+2y+8+2=0\)
\(\therefore x+2y+10=0\)

\(Q.4.(iv).(c)\) locus4

দেওয়া আছে,
\(S(2, 4), P(x, y)\)
\(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1 \Rightarrow 2x-y-1=0\)
\(\therefore e=\frac{SP}{PM}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3}>1\)
\(\therefore e>1\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM \)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4x+4+y^2-8y+16}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{4+1}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2-4x-8y+20}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{5}} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-8y+20=3\frac{(2x-y-1)^2}{5}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(2x-y-1)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=12x^2+3y^2+3-12xy-12x+6y\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100-12x^2-3y^2-3+12xy+12x-6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+12xy+2y^2-8x-46y+97=0\)
\(\therefore 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\) | উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় কনিকের সমীকরণ।

\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\) \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\) \((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(v).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ……(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)

\(Q.4.(v).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
কনিকের সমীকরণ,
\(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\)
এবং \(a=0, b=1, c=0, d=0\);
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(0.x^2+1.y^2-16x+0.y+0=0\)
\(\Rightarrow y^2-16x=0\)
\(\therefore y^2=16x …..(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
ধরি,
কনিকের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) যার উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(SP=6\)
তাহলে,
\(SP=PM\)
\(=ZN\)
\(=ZA+AN\)
\(=AS+AN\)
\(=a+x\)
\(\therefore 6=a+x\)
\(\Rightarrow a+x=6\)
\(\Rightarrow x=6-a\)
\(\Rightarrow x=6-4\)
\(\therefore x=2\)
\((1)\) হতে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=4\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((2, \pm 4\sqrt{2})\)

\(Q.4.(v).(c)\) locus4

\(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) | উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ….(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(\) অক্ষের উপর এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm 1, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয়, \((3, -1), (1, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{5}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm 5\)
\(\Rightarrow x=2+5, x=2-5\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ।

\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(vi).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
\(y^2=4mx …….(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-2)^2=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=20m \)
\(\Rightarrow 20m=4 \)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{20} \)
\(\therefore m=\frac{1}{5} \)
\(m=\frac{1}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\times \frac{1}{5}\times x\)
\(y^2=\frac{4}{5}x ……..(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{5}\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{5\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{5}\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-1\)
\(\therefore 5x+1=0\)

\(Q.4.(vi).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\)
এবং \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=3-2\)
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=9\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=3\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \(y=\pm be\)
\(\Rightarrow y=\pm 3\times \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{5}\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{5}\)

\(Q.4.(vi).(c)\) locus4

দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-a, b) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(\sqrt{a}\)
এবং নিয়ামকরেখ্‌ \(Pa-Qb=ab\)
যেখানে,
\(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
তাহলে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-2, 3) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা, \(x.2-y.3=2.3\)
\(\Rightarrow 2x-3y=6\)
\(\therefore 2x-3y-6=0 ….(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\sqrt{2}.\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=2.\frac{(2x-3y-6)^2}{13}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{2(4x^2+9y^2+36-12xy-24x+36y)}{13}\)
\(\Rightarrow 13(x^2+4x+y^2-6y+13)=8x^2+18y^2+72-24xy-48x+72y\)
\(\Rightarrow 13x^2+52x+13y^2-78y+169-8x^2-18y^2-72+24xy+48x-72y=0\)
\(\therefore 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

conic
\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(vii).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1 …….(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=\sqrt{5}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{21}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{21}}{4}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow(\pm 4\times \frac{\sqrt{21}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{21}, 0)\)

\(Q.4.(vii).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র যথাক্রমে \(A(2, -3)\) ও \(S(-1, 1)\)
ধরি,
অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha-1}{2}=2, \frac{\beta+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow \alpha-1=4, \beta+1=-6\)
\(\Rightarrow \alpha=4+1, \beta=-6-1\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=-7\)
\(\therefore Z(5, -7)\)
\(ZS\)অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{-7-1}{5+1}\)
\(=\frac{-8}{6}\)
\(=-\frac{4}{3}\)
নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব,
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=\frac{3}{4}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m_1(x-5)\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{3}{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow 4(y+7)=3(x-5)\)
\(\Rightarrow 4y+28=3x-15\)
\(\Rightarrow 3x-15=4y+28\)
\(\Rightarrow 3x-15-4y-28=0\)
\(\therefore 3x-4y-43=0\)

\(Q.4.(vii).(c)\) locus4

দেওয়া আছে,
\(PS:PM=2:3\)
\(\therefore \frac{PS}{PM}=\frac{2}{3}\)
আমরা জানি,
কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{PS}{PM}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\(\therefore 1>e\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-1, 1) \)
এবং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{2}{3}.\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{4}{9}.\frac{(3x-4y-1)^2}{25}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{4(9x^2+16y^2+1-24xy-6x+8y)}{225}\)
\(\Rightarrow 225(x^2+2x+y^2-2y+2)=36x^2+64y^2+4-96xy-24x+32y\)
\(\Rightarrow 225x^2+450x+225y^2-450y+450-36x^2-64y^2-4+96xy+24x-32y=0\)
\(\therefore 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c\) \((n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।

সমাধানঃ

\(Q.4.(viii).(a)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax …….(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ….(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)

\(Q.4.(viii).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ……(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ……(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) | \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\(Q.4.(viii).(c)\) locus4

দেওয়া আছে,
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) | উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) | যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=\pm 3\times \frac{2}{3}, y-\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-1\pm 2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=-1+2,-1-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=1,-3, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (1, \frac{3}{2}), (-3, \frac{3}{2})\)

\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(ix).(a)\)

ধরি,straight3
\(y^2=12x …….(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) | উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

\(Q.4.(ix).(b)\) locus4

দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-6y-4x+5=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y+9-9-4x+5=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2-4x-4=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4x+4\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4(x+1)\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-3\)
\(\therefore Y^2=4X ….(1)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
এখানে,
\(4a=4\) | \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=1, y-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1+1, y=3\)
\(\therefore x=0, y=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((0, 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.1|\)
\(=|4|\)
\(=4\)

\(Q.4.(ix).(c)\)

\((b)\) হতে প্রাপ্ত, locus4
পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(Y^2=4X ….(1)\)
যেখানে,
\(X=x+1, Y=y-3\)
এবং \(a=1\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ ,
\(X=a\)
\(\Rightarrow x+1=1\)
\(\Rightarrow x=1-1\)
\(\therefore x=0\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+1=-1\)
\(\Rightarrow x+1+1=0\)
\(\therefore x+2=0\)

\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)

সমাধানঃ

\(Q.4.(x).(a)\)

দেওয়া আছে,straight3
কনিকের সমীকরণ, \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+5y^2+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+5(y^2+2y)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+5(y^2+2y+1)-5+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2-10=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2=10\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{10}+\frac{5(y+1)^2}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{2}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ….(1)\) | যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=5, b^2=2\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)

\(Q.4.(x).(b)\) locus4

\((a)\) হতে প্রাপ্ত,
উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ….(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\therefore\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)

\(Q.4.(x).(c)\)

\((a)\)\((b)\) হতে প্রাপ্ত, locus4
উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ….(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=2\pm \sqrt{3}\)
উপবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x-2=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{5}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{3}x=2\sqrt{3}\pm 5\)

conic
\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\); \((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)

নিজে করঃ

conic
\(Q.4.(xii)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\); \((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)

নিজে করঃ

1 2

Please comment on the Article