ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরীকরণ ( Differentiation of multiplication and division of two functions )

অনুশীলনী \(9.C / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\frac{x\sin x}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x+\sin x}{1+\cos x}\)

\(Q.3.(ii)\) \(e^{x}\cos x\ln x\)
\(\frac{e^x}{x}(x\cos x\ln x-x\ln x\sin x+\cos x)\)

\(Q.3.(iii)\) \(\frac{e^x}{x^2\ln x}\)
\(\frac{e^x(x\ln x-\ln x^2+1)}{x^3(\ln x)^2}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{e^{x}\ln x}{\cos x}\)
\(\frac{e^{x}\cos x+xe^{x}\ln x(\sin x+\cos x)}{x\cos^2 x}\)

\(Q.3.(v)\) \(x^2e^x\ln x\)
উত্তরঃ \(xe^x(\ln x^2+x\ln x+1)\)

\(Q.3.(vi)\) \(x^2\sin x\ln x\)
\( x\sin x+x\ln x(x\cos x+2\sin x)\)

\(Q.3.(vii)\) \(x\ln x\log_ax\)
উত্তরঃ \(\log_ax(\ln x+2)\)
\(Q.3.(viii)\) \(e^x\ln x(x^3+x^4)\)
\(e^x(x^2+x^3)+e^x\ln x(x^4+5x^3+3x^2)\)

\(Q.3.(ix)\) \(x^2\log_ax-x^3\ln a^x+6xe^x\ln x\)
\( x(\frac{1}{\ln a}+2\log_ax)-4x^3\ln a+6e^x(1+\ln x+x\ln x)\)

\(Q.3.(x)\) \(\frac{x\ln x}{1+\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(1+\sin x)(1+\ln x)-x\ln x\cos x}{(1+\sin x)^2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(4e^t\sin t\)
উত্তরঃ \(4e^t(\sin t+\cos t)\)

\(Q.3.(xii)\) \(\frac{e^t+\ln t}{\sin t}\)
\(\frac{\sin t(te^t+1)-t\cos t(e^t+\ln t)}{t\sin^2 t}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x\cos x}{(x+1)\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x\cos x-x(x+1)}{(x+1)^2\sin^2 x}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(y=\frac{1-2x}{x^3+5}\) হলে, \(x=1\)-এর জন্য \(\frac{d}{dx}(y)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\)

\(Q.3.(xv)\) \(u\)এবং \(f\) স্থির রাশি, \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d}{dt}(s)=u+ft\)

\(Q.3.(xvi)\) \(f(x)=80x-16x^2\) হলে, \(\acute{f}(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর। \(\acute{f}(x)=16\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(80-32x; 2\)

\(Q.3.(xvii)\) \(y=x(x^2-12)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর যার জন্য \(\frac{d}{dx}(y)=0\)
উত্তরঃ \( x=2, -2\)

\(Q.3.(xviii)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ \(y=4x^2\) দেওয়া আছে। বক্ররেখাটির \(x=2\) বিন্দুতে \(\frac{d}{dx}(y)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16\)

\(Q.3.(xix)\) \(s=\sqrt{t}+7\) হলে \(\frac{d}{dt}(s)\)-এর মাণ নির্ণয় কর যখন, \(t=9\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{6}\)

\(Q.3.(xx)\) \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)
1 2 3 4

Leave a Reply