বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ (Differentiation of inverse circular function)

অনুশীলনী \(9.D / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
\(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)

\(Q.1.(ii)\) \(e^{3x}\cos x^{o}\)
\(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)

\(Q.1.(iii)\) \(4x^{o}\sin 2x^{o}\)
[ যঃ ২০১৫ ]
\(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)

\(Q.1.(iv)\) \(e^{5x}\sin x^{o}\)
[ সিঃ ২০০২]
\(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)

\(Q.1.(v)\) \(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)

\(Q.1.(vi)\) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)

\(Q.1.(x)\) \(\sin x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)

\(Q.1.(xii)\) \(\cos^3 x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^2 x^2\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\sec \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)

\(Q.1.(xix)\) \(e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)

\(Q.1.(xx)\) \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(10^{\ln (\sin x)}\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\cot^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\tan^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\sin^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(\sin^{-1} (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\sin (\tan^{-1} x)\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

\(Q.1.(xxx)\) \((\sin^{-1} x)^5\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)

\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)

\(Q.1.(xl)\) \(\cos^4 \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)

\(Q.1.(xli)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)

\(Q.1.(xlii)\) \(e^{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)

\(Q.1.(xliii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
\(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)

\(Q.1.(xliv)\) \(e^{5\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)

\(Q.1.(xlv)\)\(e^{2\ln (\tan 5x)}\)
[ ঢাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬; কুঃ ২০০৭; সিঃ ২০১৩, ২০১০; বঃ ২০১১,২০০৬ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan 5x\)

\(Q.1.(xlvi)\) \(a^{px+q}\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)

\(Q.1.(xlvii)\)\(\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
\(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)

\(Q.1.(xlviii)\) \(\log_ax+\log_xa\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)

\(Q.1.(xlix)\) \(\log_x\tan x\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)

\(Q.1.(l)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.1.(li)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2+1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(Q.1.(lii)\) \(\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)

\(Q.1.(liii)\) \(\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)

\(Q.1.(liv)\) \( cosec \ \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
1 2 3 4 5

Leave a Reply