অন্তরীকরণ-৩ ( Differentiation-3 )

অনুশীলনী \(9.D / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ

\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\ln (\sin 2x)\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)

\(Q.2.(iii)\) \(\log_{10}x\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\ln (\ln x)\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)

\(Q.2.(v)\) \([\ln (\sin x^2)]^n\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)

\(Q.2.(vii)\) \(a^{\ln (\cos x)}\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)

\(Q.2.(viii)\) \(x^2e^{4x}\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)

\(Q.2.(ix)\) \(\sin x\ln (\sin x)\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)

\(Q.2.(x)\) \(x\sqrt{\sin x}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)

\(Q.2.(xi)\) \(x^3\sin (\ln x)\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)

\(Q.2.(xii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
\(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\sin^{-1} x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)

\(Q.2.(xv)\) \((\sin^{-1} x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\sin^{-1} (\sin x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\tan x^2\sin^{-1} x\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
\(Q.2.(xviii)\) \(\ln (\cos^{-1} x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xix)\) \((x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)

\(Q.2.(xx)\) \(a^{\sin^{-1} x}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\tan^{-1} (\sin e^x)\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) অথবা, \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\sin^{-1} (\sin e^x)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(3^{\sin^{-1} x}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \((\sec^{-1} x)^2\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)
1 2 3 4 5