অন্তরীকরণ-৩ ( Differentiation-3 )

অনুশীলনী \(9.D / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ

অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.3.(ii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)

\(Q.3.(iii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.3.(v)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.3.(vi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.3.(vii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.3.(viii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(x)\) \(\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xix)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xx)\) \(\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\) অথবা, \(\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xxv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x) \)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)

\(Q.3.(xxxiv)\) \(e^{ax}\tan^2 x\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)

\(Q.3.(xxxv)\) \(\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
\(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)

\(Q.3.(xl)\) \(\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)

\(Q.3.(xli)\) \(\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.3.(xlii)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-xy-x^2\)
1 2 3 4 5