অন্তরীকরণ-৪ ( Differentiation-4 )

অনুশীলনী \(9.E / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ

অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(x^{x}\ln{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x-1}\{1+x\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
[ চঃ২০১২;বঃ২০১২;দিঃ২০১০]

\(Q.3.(ii)\) \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+e^{x^2-1}(1+\ln{x^2})\)
[ঢাঃ ২০১২,২০০৬;সিঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(iii)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\left(\ln{x}(1+\ln{x})+\frac{1}{x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ০৮-০৯;বুটেক্সঃ০৫-০৬; কুঃ ২০০৫;যঃ২০১১,২০০৯;সিঃ২০১৬,২০০৪;রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬]

\(Q.3.(iv)\) \(e^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{x^{x}}x^{x}(1+\ln{x})\)

\(Q.3.(v)\) \(x^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{e^{x}}e^{x}\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(vi)\) \(e^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{e^{x}}e^{x}\)

\(Q.3.(vii)\) \(a^{a^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{a^{x}}a^{x}(\ln{a})^2\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(viii)\) \(x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
[ চঃ২০১৩;সিঃ২০০৯]

\(Q.3.(ix)\) \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\ln{\sqrt{x}})\)
[ কুঃ২০১১;বঃ২০১২]

\(Q.3.(x)\) \(a^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{x^{x}}x^{x}\ln{a}(1+\ln{x})\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \((x^{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((x^{x})^{x}\{x(1+\ln{x^2})\}\)
[ ঢাঃ২০১১;রাঃ২০১২;কুঃ২০১৪;যঃ২০১১;বঃ২০১৪;দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xii)\) \((ax)^{bx}\)
উত্তরঃ \((ax)^{bx}\{b(1+\ln{ax})\}\)
\(Q.3.(xiii)\) \(x^{x}+x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})+x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)

\(Q.3.(xiv)\) \((\tan{x})^{x}+x^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\tan{x})^{x}(x\cot{x}\sec^2{x}+\ln{\tan{x}})\)\(+x^{\tan{x}}\left(\frac{\tan{x}}{x}+\sec^2{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xv)\) \(a^{x}+b^{x^2}\)
উত্তরঃ \(a^{x}\ln{a}+2xb^{x^2}\ln{b}\)

\(Q.3.(xvi)\) \((\ln{x})^{x}+x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{x}\left(\frac{1}{\ln{x}}+\ln{\ln{x}}\right)\)\(+x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\cos{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xvii)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}+(\sin^{-1}{x})^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}x}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)\(+(\sin^{-1}{x})^{x}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\ln{(\sin^{-1}{x})}\right)\)

\(Q.3.(xviii)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{(\sin{x})}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{\cos{x}\ln{(\cos{x})}-\tan{x}\sin{x}\}\)

\(Q.3.(xix)\) \((1+x^2)^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2x(1+x^2)^{x^2}\left(\frac{x^2}{1+x^2}+\ln{(1+x^2)}\right)\)

\(Q.3.(xx)\) \((1+x^2)^{2x}\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{2x}\left(\frac{4x}{1+x^2}+2\ln{(1+x^2)}\right)\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxi)\) \((\sin{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{x}\{x\cot{x}+\ln{(\sin{x})}\}\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxii)\) \((1+x)^{x}\)
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\)
[ বঃ২০১৩]

\(Q.3.(xxiii)\) \(y=\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+…….\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos{x}}{2y-1}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(y=\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}…….\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\sin{x}}{\cos{x}-2y}\)
\(Q.3.(xxv)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{dy}{dx}=1-xy-x^2\)
1 2 3 4 5